江苏理工学院工科高数练习题
常熟理工学院 高数A2 题库系列：第12章
第 1 页/共 10 页1.下列级数中发散的是 ( D )A. 1(1)nn ∞=-∑1n ∞=11(1)n n n ∞=+∑ D. 1(1)n n ∞=-∑ 2．下列级数中发散的是（ D ）A.21121n n ∞=+∑ B.1325n nn n ∞=+∑C.1n ∞= D.)11001(21n n +∑∞= 3．下列幂级数中收敛域为[1,1]-的是（ A ）A.n n x n ∑∞=121 B.n n x n ∑∞=11 C.nn n x n ∑∞=-1)1( D.∑∞=1n n x4.级数2ln ln ln n x x x ++++的收敛域是( C ).A. x<eB. x>eC. 1x e e<< D. 0<x<e5．设k 是非零常数，则级数∑∞=+-021)1(n n nk （ B ）A.发散B.条件收敛C.绝对收敛D.敛散性与k 有关 6. 下列级数中收敛级数是（ A ）A. 3251∑∞=+n n nB.1121n n ∞=-∑C.∑∞=+121n n nD.)11(12∑∞=+n n 7. 级数)0(1)1(1>-∑∞=p nn pn的敛散情况是（ A ）。
A. 1>p 时绝对收敛，1≤p 时条件收敛 B. 1<p 时绝对收敛，1≥p 时条件收敛 C. 1≤p 时发散，1>p 时收敛 D. 对任何0>p ，级数绝对收敛 8．下列级数中条件收敛的是（ D ）。
A.()∑∞=+-111n nn n B. ()∑∞=-11n n n C. ()∑∞=-1211n n n D. ()∑∞=-111n n n9．当1||<x 时，幂级数∑∞=+-013)1(n n n x 的和函数为（ B ）A.31x x + B. 31x x - C. 31x x +- D. 31xx-- 10.级数∑∞=+-1211)1(n nn （ B ）A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性不确定11.设级数∑∞=-125n p n 收敛,则常数p 满足 ( B ).A. 51>p B. 51<p C. 5>p D. 5<p 12. 若级数∑∞=1n n u 收敛，则级数∑∞=-1)1(n n n u （ D ）A.收敛但不绝对收敛B. 绝对收敛C. 发散D. 敛散性不确定 13. 若无穷级数∑∞=+111n a n收敛，则a 满足 （ B ）A. 0≤aB. 0>aC. 1≤aD. 1>a 14．下列级数中收敛的为 （ C ）A.1n ∞=B.1n ∞=C.1n ∞=112n n ∞=∑ 15.设级数nn 11(1)(1)(n ∞=+--∑,则该级数( A )A. 发散B. 条件收敛C. 绝对收敛D. 不确定 16.若级数∑∞=1n n a 收敛，则下列正确的是（ C ）A.∑∞=-+110)10(n na收敛 B.∑∞=-1)1(n n na 绝对收敛C. ∑∞=+1)1(n n n a 发散 D.∑∞=1||n n a 收敛17.下列级数中有（ D ）是收敛的。
2021年理工大学工程管理专业《高等数学》统考试卷 (A)及答案
2021年理工大学工程管理专业《高等数学》统考试卷 (A) 考试方式 闭卷 考试时长 120 分钟一、填空题(每小题3分，共15分) 1．函数arcsin(1)y x =-的定义域为 ． 2．极限01lim sin x x e x →-= ． 3．设2(sec )y x =，则d y = ． 4．函数2)(x e x f -=的凸区间为 ． 5.交换二重积分的积分次序：0211d (,)d y y f x y x --=⎰⎰ ． 二、选择题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求，把所选项前的字母填在括号内) 1．设)x (x |x |)x (f 1-=，则（ ） A 、0=x 是可去间断点； B 、1=x 是跳跃间断点； C 、0=x 是震荡间断点； D 、1=x 是无穷间断点. 2. 的是时当x ,x x x 2320-+→（ ） A 、高阶无穷小； B 、低阶无穷小； C 、同阶无穷小但非等价无穷小； D 、等价无穷小． 3．设()f x 在x a =处可导，那么0(2)()lim h f a h f a h →+-=（ ） A 、2()f a '； B 、3()f a '； C 、()f a '； D 、2()f a '-． 学院： 专业班级： 姓名： 学号：装订线4．已知曲线L 的参数方程为2(sin )2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩，则曲线L 上2t π=处的切线方程为（ ）A 、x y π+=；B 、4x y π-=-；C 、x y π-=；D 、4x y π+=-．5．二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个偏导数存在是(,)f x y 在该点可微的（ ）A 、充分条件而非必要条件；B 、必要条件而非充分条件；C 、充分必要条件；D 、既非充分条件又非必要条件．三、计算题（本题共6小题，每小题7分，满分42分）1．求不定积分34cos(1)d x x x +⎰．2．求定积分20()d f x x ⎰,其中,1()1,1x xe x f x xx ⎧≤=⎨->⎩ ．3．设ln(1)2,0(),0x x f x ax b x ++≥⎧=⎨+<⎩，选择适当的,a b ，使()f x 在0x =处可导．4．计算2d d Dxy x y ⎰⎰，D 是由抛物线x y =2和直线1x =所界的区域．5．设3cos()u x xy =，求x u ∂∂，y x u ∂∂∂2．6．求微分方程224x y xy e '-=，满足0|1x y ==的特解．四、综合题（本题共2小题，每小题10分，满分20分）1． 某厂生产某种商品x 单位的总成本函数为502+=x )x (C ，总收益函数为2202x x )x (R -=，问生产多少单位产品时利润最大，并求出最大利润．2．设曲线ln y x =与1y x e=及x 轴围成平面图形D ． (1) 求D 的面积S ；求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V ．五、证明题（本题8分） 证明不等式：)(01211>+>+x x x ．《高等数学》统考试卷(A )参考答案与评分标准 一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1．[0,2]； 2．1-； 3．22(sec )tan d x x x ； 4．)(2222,-； 5．2011d (,)d x x f x y y -⎰⎰. 二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1． D ； 2．C ； 3. A ； 4．B ； 5．B .三、计算题（本题共6小题，每小题7分，满分42分）1．求不定积分34cos(1)d x x x +⎰． 解：34441cos(1)d cos(1)d(1)4x x x x x +=++⎰⎰ ．．．．．．．．．４分 41sin(1)4x c =++． ．．．．．．．．．．7分 2．求定积分20()d f x x ⎰,其中,1()1,1x xe x f x x x ⎧≤=⎨->⎩ ． 解：20()d f x x =⎰1201d (1)d x xe x x x +-⎰⎰ ．．．．．．．．．４分 211002113d ()()d 10222x x x x x e x xe e x =+-=-+=⎰⎰． ．．．．．．．．．．7分 3．设ln(1)2,0(),0x x f x ax b x ++≥⎧=⎨+<⎩，选择适当的,a b ，使()f x 在0x =处可导． 解：由可导必连续知，若()f x 在0x =处连续，则：00lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==， 即 00lim()lim[ln(1)2]x x ax b x -+→→+=++，由此可得2b = ．．．．．．．．．．4分 要使()f x 在0x =处可导，则应有(00)(00)f f ''+=-．0ln(1)(00)lim 1x x f x→+'+==，0(00)lim x ax f a x →'-==，由此可得1a =． 即当1a =，2b =时，()f x 在0x =处可导. ．．．．．．．7分4．计算2d d Dxy x y ⎰⎰，D 是由抛物线x y =2和直线1x =所界的区域． 解：画出积分区域D （图略），选D 为Y 型区域，则D 可表示为1112<<<<-x y ,y D :．2d d D xy x y ⎰⎰=⎰⎰-11122y dx xy dy ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分 214211162=-=⎰-dy y y )( ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 5．设3cos()u x xy =，求x u ∂∂，yx u ∂∂∂2． 解：233cos()sin()u x xy x y xy x∂=-∂， ．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 2344sin()cos()u x xy x y xy x y∂=--∂∂． ．．．．．．．．．．．．．．．．7分 6．求微分方程224x y xy e '-=，满足0|1x y ==的特解．解： 此方程为一阶线性非齐次微分方程．()2P x x =-，2()4x Q x e =，通解为：2()()22(())(4)P x dx P x dx xdx xdx x y Q x e dx c e e e dx c e --⎰⎰⎰⎰=+=+⎰⎰ 2222(4)(4)x x x x e e dx c e x c e -=+=+⎰， ．．．．．．．．．．．．．．5分 将0|1x y ==代入得：1c =．所以特解为：2(41)x y x e =+． ．．．．．．．．．．．．．．7分 四、综合题（本题共2小题，每小题10分，满分20分）1. 某厂生产某种商品x 单位的总成本函数为502+=x )x (C ，总收益函数为2202x x )x (R -=，问生产多少单位产品时，利润最大，并求出最大利润． 解：利润函数为501822-+-==x x x C x R x L )(-)()( ．．．．．．．．．．．．．3分所以 18+-='x )x (L令0=')x (L 得唯一驻点18=x ．．．．．．．．．．．．．．6分 由唯一性原理可知，当18=x 时利润最大，且最大利润为1121=8)(L ． ．．．．．．．．．．．．．．10分 2．设曲线ln y x =与1y x e =及x 轴围成平面图形D ． (2) 求D 的面积S ；(3) 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积V ．解：(1) 120111()d ()1022y y S e ey y e ey e =-=-=-⎰． ．．．．．．．．．．．．5分 (2) 22011()d (ln )d e e V x x x x eππ=-⎰⎰ 12(2)233e e e ππππ=--=-． ．．．．．．．．．．．．10分 五、证明题（本题8分） 证明不等式：)(01211>+>+x x x ． 证明：令0)()(=+-+=01211f ,x x x f ． 则 )-(1)(xx x f +=+-='112112121 ．．．．．．．．．．．．．．．4分 当0>x 时，0)(>'x f ，故当0>x 时)(x f 单调增加，于是0)()(=>0f x f 即01211>+-+x x 所以 )(01211>+>+x x x ． ．．．．．．．．．．．．．．．8分。
江苏理工学院线性代数指导用书答案[]
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线性代数指导用书答案辅导一练习题：1. 计算下列二阶行列式（1）-19 （2）8 （3）-14 （4）-14 2. 计算下列三阶行列式（1）12 （2）12 （3）-7 （4）1 （5）0 3. 计算下列行列式（1）24 （2）24 （3）24 （4）24 4. 根据行列式的定义填空（1）abcde （2）abcde （3）1 （4）()11!n n +-(按第一列展开)（5）()(1)21!n n n -- （6）()112111n n n a a a a +--L5. 解线性程组（1）31x y =⎧⎨=-⎩ （2）122313x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（3）123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ （4）123112x x x =⎧⎪=-⎨⎪=⎩6. 21k =-或 第一次作业：1. 用对角线法则计算下列行列式（1）-43 （2）-3 （3）-1 （4）-1 （5）18 （6）5 （7）-8 （8）18 2. 解线性程组（1）21x y =-⎧⎨=⎩ （2）1275x x =-⎧⎨=⎩ （3）123651525x x x ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩（4）123112x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩辅导二练习题： 1. 234x =或或2. （1）6k （2）k （3）15k - （4）3k3. 计算下列行列式（1）6123000 （2）1000 （3）2 （4）-63 （5）-3 （6）0 （7）900 （8）1 （9）4x （10）()()331x x +- （11）()()11!2nn n n +- （12）()2!n n - （13）()1n x x n -+ （14）()()111n n ---第二次作业：1. 6k -2. 计算下列行列式（1）160 （2）1 （3）5 （4）-8 （5）-4 （6）5 3. 计算下列行列式（1）221ni i =-∑ （2）12n b b b L辅导三练习题： 1. 填空题（1）29 （2）-15 （3）116 （4）()112111n n n a a a a +--L（5）2 （6）0 （7）37 （8）=1或-2 （9）1λ= 2. 选择题（1）D （2）C （3）A3. x 的余子式211M y =+，代数余子式211A y =-- y 的余子式3210M x =+，代数余子式3210A x =--4. x 的系数134A =-5. 06. -287. （1） 1 （2）()11n n n x y ++-8. 123418310373x x x x =-⎧⎪⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪⎪=-⎪⎩第三次作业： 1. -4 2.()()cu wd ax by --3. （1） 90 （2） 54. 12λλ==或5. 系数行列式300D =-≠，所以只有零解辅导四练习题： 1. 选择题（1）A （2）D 2. 计算题（1）100012110-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭（2）906600609-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭ （3）222200442-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭（4）()()()111211222212a x a y b x a x a y b y b x b y c ++++++++（5）11112222n n nn n A ----⎛⎫= ⎪⎝⎭（6）416000016000016000016A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （7）()12112000k k k kkk kk k k A k λλλλλλ----⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭第四次作业：1. 计算（1）10 （2）12332x x x ++ （3）241236-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭（4）1231231232223334x x x x x x x x x ++⎛⎫ ⎪++ ⎪ ⎪++⎝⎭2. 计算91716193739316167AB ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 303950354556212838BA ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 3. 计算11433100310833X ⎛⎫-⎪⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭4. 4444--⎛⎫⎪⎝⎭ 5. 21021A λ⎛⎫= ⎪⎝⎭31031A λ⎛⎫= ⎪⎝⎭101k A k λ⎛⎫= ⎪⎝⎭6. 1123212331236312491016x z z z x z z z x z z z=-++⎧⎪=-+⎨⎪=--+⎩辅导五练习题： 1. 选择题（1）B （2）D 2. 填空题（1）0 （2）33126329932⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）0044⎛⎫ ⎪--⎝⎭3. 解答题（1）919199⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （2）341014-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭ （3）058056290⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭4. *3223A -⎛⎫=⎪-⎝⎭ *2332B ⎛⎫= ⎪--⎝⎭5. *022202220A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ *221314117550B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭第五次作业：1. 0171315⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 262115066319--⎛⎫⎪--- ⎪⎪-- ⎪---⎝⎭3. *5005AA ⎛⎫=⎪⎝⎭*5005A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭4. 215633422-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭5. 6A = ()3972TA A =辅导六练习题： 1. 填空题（1）4132-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ 411325-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）2 （3）8 32（4）()135A E -- 2. 选择题（1）B （2）D （3）B （4）B （5）B （6）C （7）B （8）D （9）B 3. 解答题（1）12546223132108X ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）1111143120112011102X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）1143153164A ---⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭（4）1123111211722512131121103325075103x x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=--=-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）1111222333221749315637323324y x x y x x y x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭112321233123749637324y x x x y x x x y x x x=--+⎧⎪∴=+-⎨⎪=+-⎩（6）()10112321330X A E A --⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪⎝⎭（7）()()()()()112B A E A E A E A E A E --=-+=+-+⎡⎤⎣⎦()()()()1111002010100A E A E A E A E ---⎛⎫- ⎪ ⎪=-++=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭,12B =（8）1P AP -=ΛQ1A P P -∴=Λ1111111111()()()14101411102113A P P P P P P P P ----∴=ΛΛΛ=Λ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭L131311111242131242⎛⎫++= ⎪----⎝⎭第六次作业：1. 求下列矩阵的逆矩阵（1）5221-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）3423-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （3）010100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （4）461351341-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭2. 解矩阵程（1）4558⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）223381133⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ （3）302122112⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭3. -164. 证明：22(0),A A E --=由得 ()2A A E E -=,()12A A E E •-=即 ()112A A A E -=-故可逆，且 又22(0),A A E --=由得()()234A E A E E +-=-,()()1234A E A E E +•--=即 ()()()112234A E A E A E -++=--故可逆，且即 辅导七练习题： 1. 选择题（1）C （2）A 2. 用初等变换求逆矩阵（1）123213225223A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭（2）11210012100120001A --⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪⎝⎭（3）11234012300120001A -⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3. 解矩阵程（1）()1232510032,22131010233434300113A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L322313X ⎛⎫ ⎪∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭（2）1110332211132218243233533110X BA -⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪==--= ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭（3）()11333320037X A E A -⎛⎫⎪=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭（4）()13624132X A E B -⎛⎫ ⎪=-=- ⎪ ⎪-⎝⎭第七次作业：1. 利用初等变换求逆矩阵（1）111240101113621610A ---⎛⎫⎪-⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭（2）1100011002211102631511824124A -⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭2. 解矩阵程（1）102153124 X⎛⎫⎪=--⎪⎪⎝⎭（2）011101110 X-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭辅导八练习题：1.填空与选择（1）13-（2）3 （3）D （4）D （5）B （6）B（7）A （8）C （9）C （10）B （11）A （12）D 2. 解线性程组（1）14314323101112003Aλλ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-→→-⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭L()()133231233,3,3,23,101011000()11,1R A R A A x x x x x x x c c x λλ≠-==-=⎛⎫ ⎪→→- ⎪ ⎪⎝⎭=-⎧⎨=⎩-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭p L 若时原方程组只有零解若时原方程组有非零解此时方程组的通解为为自由未知量或为任意常数（2）110100120000A --⎛⎫ ⎪→→- ⎪ ⎪⎝⎭L124243412121234()21110,0201x x x x x x x x x c c c x x =+⎧⎨=⎩⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组的通解为,为自由未知量或,c 为任意常数（3）()11110222,0001000000A b ⎛⎫-⎪⎪→→ ⎪ ⎪⎪⎝⎭L 12323412121234111()2220111222010,001000x x x x x x x x c c c x x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组的通解为,为自由未知量或,c 为任意常数（4）()81410555132,0155500000A b ⎛⎫- ⎪ ⎪⎪→→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L1343423412121234481555()213555481555213,555010001x x x x x x x x x x c c c x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=---⎪⎩⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪---=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭方程组的通解为,为自由未知量或,c 为任意常数 3. 10,1A p p =-≠≠当即时，方程组仅有零解。
南理工高数(I)试题 答案
1设 ,则 ____________.
2曲线 上的拐点为_______________.
3设函数 ,在 处连续,则 ______________.
4若 的一个原函数是 ,则 ___________.
5 _________.
二判断题(每题1分,共5分)判断下列各命题是否正确,不正确请给出反例,对错误命题,若举不出反例,则该题不得分.
5假设 存在,则 收敛.
A正确B错误;反例:__________________
三(6分)设 可导,且满足方程 ,试求函数 .
四求极限(每小题6分,共12分)
1 ; 2 .
五求导计算(8分)设 由 确定,求 .
六计算积分(每小题5分,共10分)
1 ; 2 .
七(8分)设 , (1)证明 ; (2)求 的最大值和最小值.
1. , 2. , 3. , 4. , 5. ，
二、判断题（每小题1分，共5分）
1. B, , 2. A, 3. B, ,
4. B, , 5. B， ，但是， 发散。
三．计算题（6分）解：令 ,则 ，
所以 ，由已知得： ，对上式求导得：
，即： -
所以 ，再由 得： 。
四、计算题（每小题6分，共12分）
1设 在 内可导,则 在 内无界的充要条件是 在 内无界.
A正确B错误;反例:__________________
2连续的奇函数的任意原函数都是偶函数.
A正确B错误;反例:__________________
3设 在 内有定义,且对任意的 ,有 ,则 在 内是连续的.
A正确B错误;反例:__________________
解：设切点 ，切线方程： ，
常熟理工学院高数A2题库系列：第8章
一、单项选择题1.空间坐标系中0 (0,0,0), A(2,1,0), B(2,1,1)，则向量AB 与OB 的夹角为(C )fA. —B.一C.arccos —6D.0236A. 2B. 26 -C.7 D.13325.向量 ={2, _3,6}，则与a 同向的单位向量为（ D)A.{2,_3,6}B.1{2, _3,6} C.1_-{2^3,6} D.1—{2,_3,6}7776. 平面方程3x _5z - 1 0中，下列结论正确的是（B ） A.平行于zox 平面 B. 平行于y 轴 C. 垂直于y 轴 D. 垂直于x 轴7. 直线—二y=「与平面3x-y+z=0的位置关系是（D ）2 2 1A.垂直B. 平行C. 重合D. 斜交8. 直线1二与平面2x_4y ・4z=2的位置关系是（C ）1-22A.平行B. 重合C.垂直D. 斜交9. 平面2z ・3y=o 的特点是（C ）A.与x 轴平行但无公共点的平面B.与yOz 平面平行的平面C.通过x 轴的平面D.与x 轴垂直的平面10.向量 a =2i -3 j • k 与：=4i 2 j -2k 的夹角为( A )A. —B. 0C.兀D. 一2411. 设x 轴在平面 Ax By Cz D = 0上，则必有（ A ) A. A 二 D=0 B.B=0,CK0 C. B 』0,C=0 D. B = D = 0二、填空题(将正确答案填在横线上)1.过点(2,—1,3)且垂直于直线「！=工=乙_!的平面方程为 ______________________ . x ・2y-z ・3=01 2 -12 .平面 x-y+ 2z-6= 0 和 2x+ y+ z-5= 0 的夹角 0= _______________________________________ . —333. 设 a ={1, -2,2} , b ={1,1, 7},则夹角(a,b)= __________ . - n44. 设向量 a 与 b ={2, -1,2}平行，a b - -18，贝U a = _______________________ . ______________ { —4, 2, -4}5. _________________________________________________________________ 设a ={0,1,2}, bA. (1,2,3 )B. (-1,2，-3 )C. (-1,-2,3 )D.(1,2,-3 )3. 下列平面中，与平面 x _2y ：(]，z ：卜1 =0垂直的平面是（C )A.x_2y z 5=0B. 2 x _. y 3 z 5 - 0C. x —,y _,3z 亠 10 =0D4.设向量a =「3,2, _门， -r 4]b = 2,~,k.已知a _ b ，贝U k = (B ).3x —5y - 02.设空间点A （1,-2,3）,则与点A 关于原点对称的点的坐标为（B ）={—1,1,-3}，则同时垂直于a和b的单位向量为_______________________________________ .-^{—5,—2,1}V30设向量^='1,-1, k ?与向量 b = [2 , 4, 2 '■＞垂直，贝U k =解：所求直线的方向向量为所求直线方程为口二口-7-21二 0垂直的平面方程.3x ■5y - 2z 1=0解：s^(1, -2,4), S 2 =(3, 5, -2)取所求平面方程的一个法向量为--16i 14 j 11k6. 7. 曲线2_x =1 4 z = 0绕X 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为8. 设两向量分别为a J 1,_2, 2?和 b ・..1,1,_4?，则数量积 a b =.-99. 设点A 位于第I 卦限，向径OA 与x 轴，y 轴的夹角依次为—36 ,则点A 的坐标(3, 3、、2,3)10.点(1,2,1)到平面3x 5y —z —2 =0的距离为11.直线X-1八2=-与平面3x • y _z • 4 =0的交点为15 ( 4三、解答下列各题1■求平行于x 轴，且过点M (3,_1,2)及N (0,1,0)的平面方程.解：设该平面的方程为Ax By Cz D = 0，由于该平面平行于 x 轴，所以A = 0. 又因为经过点M , N ，于是_B 2C D =0解上述方程组有： B 二C, B 二一D，所以平面的方程:y z 「1 = 0。
工科数学分析练习题
2. 设 A ( x 2 yz ) i ( y 2 xz ) j ( z 2 xy ) k ，则 div A
是球面 x 2 y 2 z 2 R 2 的外侧. 11.计算二次积分 dy
1 4 2 y
ln x dx . x2 1
12．求 ( x 2 y 2 )dV ，其中 是由曲面 4 z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面 z 5 所围成的闭区域.
. .
x 2 y 2 介于 z 0, z 1 之间的部分，则曲面积分 I ( x 2 y 2 )dS
x 2 y 2 z 2 3x 0 在点 (1,1,1) 处的切线方程是 13. 曲线 2 x 3 y 5 z 4 0
.
14. 球面 z a 2 x 2 y 2 在柱面 x 2 y 2 a x 内部的部分的表面积 A= 15. 函数 u ln( xy z ) 2 yz 2 在点 (1,3,1) 处沿方向 l (1,1,1) 方向的方向导数
a
n 0
n
( x 1) n ， 2 x 0 ，则 a n
7. 已知
( x a y )dx y dy 是某函数的全微分，则常数 a ( x y )2
2
8.设函数 f ( x ) x ,0 x 1 , 而 S ( x )
b
n1
n
sin n x , x . 其中
)
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高等数学(下)重修练习题 1．设a是从点A(2, 1, 2)到点B(1, 2, 1)的向量 则与a同方向的单位向量为a_______ 2．设向量a{2, 1, 2} b{1, 2, 1} 则|ab|________ 3．设向量a{2, 1, 2} b{1, 2, 1} 则|ab|________ 4．设向量a{2, 1, 2} b{1, 2, 1} 则ab________ 5．设向量a{2, 1, 2} b{1, 2, 1} 则与a和b都垂直的向量c_______ 6．设向量a{2, 1, 2} b{1, 2, 1} 则cos(a^ b)________ 7．设向量a{2, 1, 2} 则与a的方向相同而模为2的向量b________ 8．1. 以向量a(1 1 2)与b(2 1 1)为邻边的平行四边形的面积为________.
9．以曲线xzzyx222为准线 母线平行于z轴的柱面方程是________.
10．2. 以曲线220xyzxyz为准线 母线平行于z轴的柱面方程是________. 11．2. 曲线00222yzzx绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为________. 12．2. 曲线22200yzzx绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为________. 13．2. 旋转抛物面x2y2z与平面xz1的交线在xoy面上的投影方程为________. 14．2. 锥面22zxy与抛物柱面xz2的交线在xoy面上的投影方程为_________.
15．2. 过点M(1 2 1)且与直线2341xtytzt垂直的平面方程是________. 16．2. 过点M(1 2 1)且与直线421131yxz垂直的平面方程是________. 17．2. 过点M(1 2 1)且与平面2x3yz20垂直的直线方程是_________. 18．2. 过点M(1 1 2)且与平面x2y10垂直的直线方程是________. 19．函数f(x y)在点P0处的偏导数存在是函数f(x y)在P0处连续的( ) (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 20．函数f(x y)在点P0处连续是函数f(x y)在P0处的偏导数存在的( ) (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 21．函数f(x y)在点P0处连续是函数f(x y)在P0处可微分的( ) (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件 22．若f(x y)在点P0的某个邻域内( ) 则f(x y)在P0处可微. (A)连续 (B)有界 (C)存在两个偏导数 (D)存在连续的一阶偏导数.
23．3. 设zf(x2y2 x2y2 2xy) 且f (u v w)可微分 则xz________.
24．3. 设wf(u v) uxy vx2y2 且f (u v)可微分 则wx________. 25．3. 设zln(1+x2+y2) 则dz|(1 1) ________. 26．设f(x y z)x2y2z2 则梯度grad f(1 1 2) ________. 27．设f(x y z) x3y2z 则梯度grad f(1 1 1) ________. 28．函数f(x y z)x2y2z2在点(1 1 2)处沿方向________的方向导数最大. 29．函数f(x y z) x3y2z在点(1 1 1)处沿方向_____{3,2,1}_______的方向导数最大. 30．函数f(x y z)x2y2z2在点(1 1 2)处方向导数的最大值为________. 31．函数f(x y z) x3y2z在点(1 1 1)处方向导数的最大值为________.
32．交换二次积分的积分次序 则100d(,)dyyfxyx________.
33．交换二次积分的积分次序 则110d(,)dxxfxyy________. 34．交换二次积分的积分次序 则10d(,)dyyyfxyx________. 35．交换二次积分的积分次序 则210d(,)dxxxfxyy________. 36．设D为上半圆域x2y24(y0) 则二重积分dD________.
37．设D是由两个坐标轴与直线xy1所围成的区域 则二重积分dD______. 38．设D是由直线x1、yx及x轴所围成的区域 则二重积分dD________. 39．设D是由椭圆221916yx所围成的区域 则二重积分dD________. 40．设L为上半圆21yx 则曲线积分22edxyLs________. 41．设L为圆x2y21 则曲线积分22edxyLs________. 42．设L为上半圆21yx 则曲线积分22ln(1)dLxys________. 43．设L为圆x2y21 则曲线积分22ln(1)dLxys________. 44．设L是以O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形区域的正向边界 则 22ddLxyxxy
________.
45．设L是以O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形区域的正向边界 则 (ecos)desindxxLyxxyy________.
46．设L是以O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形区域的正向边界 则 22d(2)dLxyxxxy
________.
47．设L是由上半圆21yx x轴所围成的区域的正向边界 则 22d(2)dLxyxxxy
________.
48．若p满足________ 则级数11pnn发散
49．若p满足________ 则级数11(1)pnn收敛 50．若q满足________ 则级数0()2nnqa收敛 51．若p满足________ 则级数01()2nnnp收敛 52．若p满足________ 则级数2011()pnnn收敛 53．设1nnu是任意项级数 则lim0nnu是级数1nnu收敛的( )条件 (A)充分 (B)必要 (C)充分必要 (D)无关 54．设1nnu是任意项级数 则级数1nnu收敛是级数1nnku(k0)收敛的( )条件 (A)充分 (B)必要 (C)充分必要 (D)无关 55．下列级数中收敛是( A ).
(A)11(1)1nnn (B)11nn (C)111()2nnn (D)11nn 56．下列级数中绝对收敛的是( C ). (A)11(1)nnn (B)11(1)nnn (C)11(1)2nnn (D)11(1)(1)nnnn 57．下列级数中绝对收敛的是( D ). (A)11(1)nnn (B)11(1)nnn (C)11(1)(1)nnnn (D)211(1)nnn
58．设幂级数0nnnax的收敛半径为R 则当xR时 幂级数0nnnax ( ) (A)条件收敛 (B)发散 (C)绝对收敛 (D)可能收敛 也可能发散 59．设幂级数0nnnax的收敛半径为R 则当xR时 幂级数0nnnax ( ) (A)条件收敛 (B)发散 (C)绝对收敛 (D)可能收敛 也可能发散 60．如果幂级数0nnnax在x2处收敛 则收敛半径为R满足( ) (A)R2 (B)R2 (C)R2 (D)R2 61．如果幂级数0nnnax在x2处收敛 则收敛半径为R满足( C ) (A)R2 (B)R2 (C)R2 (D)R2 62．将函数21()1fxx展开为x的幂级数 则f(x)_______
63．将函数21()1fxx展开为x的幂级数 则f(x)________ 64．将函数1()4fxx在区间________可展开为x的幂级数 65．将函数1()12fxx在区间________可展开为x的幂级数 66．求通过直线113yxz和点(2 1 1)的平面方程. 67．求过三点A(1 0 1)、B(0 2 2)及C(1 1 0)的平面的方程 68．求通过点(1 2 1)且与直线23503240xyzxyz垂直的平面方程
69．求通过点(1 2 1)且与直线23503240xyzxyz平行的直线方程 70．求通过点(1 2 1)且与平面2x3yz50和3xy2z40都平行的直线方程