不确定非线性系统的自适应反推终端滑模控制

第１３卷第５期　２０１２年ｌ０月　空军工程大学学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＡＩＲ　ＦＯＲＣＥ　ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ　ＵＮＩＶＥＲＳｒＩＹ（ＮＡＴＵＲＡＬ　ＳＣＩＥＮＣＥ　ＥＤＩＴＩＯＮ）　Ｖ０１．１３　Ｎｏ．５　

Ｏｃｔ．２０１２　

不确定非线性系统的自适应反推终端滑模控制　刘　东　，　武　杰　，　杨朋松　（１．北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京，１００１９１，２．空军工程大学航空航天工程学院，陕西西　安，７１００３８，３．９４５７９部队，山东新泰，２７１２０６）　

摘要针对一类具有未知非线性函数的严格反馈型不确定非线性系统，提出了一种自适应反推　终端滑模控制方法。反推控制的前ｎ一１步结合动态面控制技术设计虚拟控制律，第ｎ步仅采　用一个神经网络函数逼近器补偿系统所有未知非线性函数，得到了基于全局快速终端滑模控制　的自适应神经网络控制器；通过引入一阶滤波器，不仅避免了传统反推控制存在的复杂计算，提　高了系统的收敛速度，而且通过引入逼近误差和不确定干扰上界的自适应补偿项来消除建模误　差和参数估计误差的影响，改善了稳态跟踪精度。理论分析证明闭环系统所有信号半全局一致　终结有界，仿真结果验证了该方法的有效性。　关键词　自适应神经网络控制；反推；终端滑模控制；动态面　ＤＯＩ　１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９—３５１６．２０１２．０５．００４　中图分类号Ｖ４４８．２　文献标识码Ａ　文章编号１００９—３５１６（２０１２）０５—００１４—０６　

不确定非线性系统的控制问题历来是控制领域的热点之一，其中滑模变结构控制是一种较为有效的方　法，但要求系统的不确定性满足匹配条件¨Ｊ。对于非匹配不确定非线性系统，一般采用自适应反推（Ｂａｃｋ．　ｓｔｅｐｐｉｎｇ）控制　，该方法在逐步递推的设计过程中引入中间虚拟控制量，并基于Ｌｙａｐｕｎｏｖ稳定性理论给出　整个系统控制律。然而，自适应反推控制要求系统不确定性可参数化表示，并且存在计算复杂性和控制律高　度非线性问题　Ｊ，使得控制器难以实现．　近年来，一些学者将滑模变结构控制与自适应反推控制相结合，取得了一定研究成果。文献［４］针对一　类最小相位仿射非线性系统，设计了自适应反推滑模变结构控制器；文献［５］为了减弱抖振，将二阶滑模控　制方法应用于自适应反推控制最后２步构造的辅助系统中，减少了算法计算量，并允许系统最后２个方程存　在非参数化不确定性；文献［６］针对　类非线性函数已知的不确定严格反馈块控非线性系统，提出了一种模　糊自适应反推全局快速终端滑模控制方法，对于ｒｇ个未知不确定函数，引入０（ｒｔ）个模糊逼近器，使得控制　器的复杂程度大大增加。　本文针对一类具有未知非线性函数和不确定干扰的严格反馈非线性系统，提出了一种自适应神经网络　反推快速终端滑模控制方案。　

１　问题描述和预备知识　

ｉｆ　￣　ｉ　：　Ｘ　Ｉ＋ｃＩ　＋　ｆ＋／（６ｘｕｉ）＋’ｄ：　，　’…＇ｎ一　收稿日期：２０１２—０７—１１　基金项目：国家自然科学基金资助项目（６０５４３００６）　作者简介：刘东（１９８４一），男，河南郑州人，博士生，主要从事故障诊断和容错控制的研究　Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｉｕｄｏｎｇ＿１５６＠ｓｉｎａ．ｃｏｒｎ　第５期　刘　东等：不确定非线性系统的自适应反推终端滑模控制　１５　式中：　＝［　，　，…，　］　∈Ｒ　，　＝［　。，　：，…，　］　∈Ｒ　为可测状态向量；　，Ｙ∈Ｒ分别为系统控制输人和输　出　（　），ｉ＝１，２，…，ｎ为未知不确定非线性函数；６≠Ｏ为已知常数；ｄ（ｔ，　）为未知外界扰动不确定项。　假设１　对Ｖ（ｔ，　）∈Ｒ＋Ｘ　Ｒ　，存在未知正常数Ｐ　，ｉ＝１，２，…，／２—１，使得Ｉ　ｄ（ｔ，　）Ｉ≤ｐ’咖（　），咖（　）为　已知非负光滑函数。　本文采用ＲＢＦ神经网络逼近系统未知非线性函数，可表示为：　ｈ　（Ｚ）＝ｗＴ￣（Ｚ）　（２）　式中：输人向量Ｚ∈　ＣＲ　，／２为神经网络输入维数；Ｗ＝［　，　，…，　］　∈Ｒ　为神经网络权值向量，ｚ＞１　为网络节点数；　（ｚ）＝［　。（Ｚ），　（Ｚ），…，　（ｚ）］　Ｅ　Ｒ　为基函数向量，选取基函数　（ｚ）为如下的高斯函　数：　

（ｚ）一　］　ｌ　．’２　／２ｉ　式中　＝［Ａｔ　，…，　ｒ为高斯函数的中心；　为高斯函数的宽度．　

ＲＢＦ神经网络（２）能够在紧集　ｃＲ　上以任意精度逼近连续函数ｈ（Ｚ）：　ｈ（Ｚ）＝Ｗ　（Ｚ）＋占（Ｚ），ＶＺ∈ＯｚｃＲ　式中：　（Ｚ）为神经网络逼近误差且有界；Ｗ　为最优权值向量，ｗ　的选取原则为：对于所有的Ｚ∈Ｏｚ，使ｌ　（ｚ）ｌ为最小的ｗ值，即：　ｗ　＝ａｒｇ　ｍＥＲｆｉｎ｛　ｓ　ｕ　ｐ　Ｉ　ｈ（ｚ）一ｗ。　（ｚ）Ｉ｝　（３）　

假设２神经网络重构误差ｓ（ｚ）有界，即Ｉ　（Ｚ）Ｉ≤　，ＶＺ∈　ｃ　Ｒ　，　＞０为未知常数。　为了削弱滑模控制的抖振，本文引入文献［７］提出的连续且可导的平滑函数［ｇ（ｓ）］　近似表示符号函　数：　

［　儿＝　，Ｖｖ＞０，且　ｓＩ　

２控制器设计与稳定性分析　控制器设计如下：　Ｓｔｅｐ　１考虑闭环系统（１）的第一阶子系统：ａｄ　＝　（　）＋　，定义系统状态跟踪误差ｅ　＝　。一Ｙ　，则系统　跟踪误差ｅ＝ｅ。，对状态跟踪误差ｅ　求导得：　１＝ｆｌ（　１）＋　２一Ｙｄ　（４）　若非线性函数　（　）已知，则根据上式可设计如下虚拟控制律：　】Ｉ＝　２＝一．ｉ｝１ｅ１一　（　１）＋Ｙｄ．　若非线性函数未知，采用神经网络逼近，本文将在设计的最后一步对所有未知非线性函数进行补偿。则第一　阶子系统虚拟控制律为：　卢１＝一Ｊｊ｝１ｅ１＋Ｙｄ　（５）　针对传统反推设计由于对虚拟控制律反复求导带来的计算复杂性问题，采用动态面控制技术　Ｊ，引入　

一阶低通滤波器对虚拟控制律进行滤波，滤波器动态方程为：　Ｔ１０２１＋　１＝卢１，Ｏｔｌ（０）＝／３ｌ（０）　（６）　式中ｒ　为滤波器时间常数。定义第一阶子系统的边界层误差为：　１＝　１一　１　（７）　定义状态跟踪误差ｅ：＝　：一ｏｔ。，且由式（４）和式（５）可得：　１＝　（　１）一ｋｌｅｌ＋ｅ２＋∞１　（８）　Ｓｔｅｐ　ｉ考虑闭环系统（１）的第ｉ阶子系统：　＝　（　）＋　…，２≤ｉ≤凡一１。定义状态跟踪误差ｅ　＝　一　０／　，对其求导得：　＝　（　）＋　Ｅ＋１—０２ｆ一１　（９）　根据上式设计如下虚拟控制律：　ｌ６　空军工程大学学报（自然科学版）　２０１２正　卢　＝一ｅ　～１一ｋｉｅ　＋ｄｔ　一１　（１０）　对　进行滤波得到期望虚拟控制Ｏｌ　，定义第ｉ阶子系统边界层误差为：　

＝ＯＬ　一　（１１）　由状态跟踪误差ｅ…＝　…一Ｏｔ　及式（９）和（１０）可得：　

＝　（　）一ｅ　一ｌ—ｋｉｅ　＋ｅ　＋１＋　（１２）　Ｓｔｅｐ　ｎ考虑闭环系统（１）的第ｎ阶子系统：　＝　（　）＋６“（ｔ）＋ｄ（ｔ，　）。由状态跟踪误差ｅ　＝　一　

ＯＬ　１，

对ｅ　求导得：　

＝　十ｂｕ（ｔ）＋ｄ（ｔ，　）一ｄｔ　一１　（１３）　为了提高误差系统的收敛速度和稳态跟踪精度，本文采用如下全局快速终端滑模面　］：　

＝一ＯｒＳ—　言　（１４）　ｎ一１　式中：ｓ：　ｃ　ｅ　＋ｅ　，ａ，卢＞０，Ｐ和ｑ为正奇数，且Ｐ＞ｑ。对ｓ求导并由式（１４）可得：　

ｎ一１　∑ｃ　＋　＋　ｓ＋　詈＝０　（１５）　

当切换函数ｓ远离零点时，ｓ的收敛速度主要由　决定，　越大，收敛速度越陕；当切换函数ｓ接近零点时，　ｓ的收敛速度主要由卢决定，卢越大，收敛速度越快。　将式（８）、（１２）和（１３）代人式（１５）得：　ｎ一１　ｎ一１　∑ｃ　（　一　ｆｅｆ＋ｅ　＋　ｉ）一∑Ｃｉｅ　＋　＋ｂｕ十ｄ—ｄ　＋０ｌ￥＋　＝０　（１６）　

１　‘　２　ｎ一１　上式中的未知函数∑ｃ　＋　采用ＲＢＦ神经网络逼近，可得：　

Ｉ＝１　Ｉ　ｎ一１　∑Ｃｉ（ｅⅢ一｜ｉ｝　ｅ　＋占　）一∑Ｃｉｅ　＋　＋　＋ｂｕ＋ｄ—ｄ　＋　ｓ＋　詈＝０　（１７）　

式中ｗ　的变量为ｚ，Ｚ＝［　，　：，…，　］　∈　ｃ　Ｒ　，且神经网络逼近误差和不确定干扰满足如下不等式：　＋ｄ≤　＋Ｐ　咖（　）≤　咖（　）　（１８）　式中：６　：ｍ￣１．ｘ｛　，Ｐ　｝；　（　）＝１＋　（　）。　设计如下控制律：　

卵＋“ｗｓ　叼＝一６　［　ｃｉ（　ｔ一　＋　）＋　一ｄ　＋　詈一　（１９）　

ｕ　酃ｃ　毒鼯错　引入　一修正方法口　，神经网络权值自适应律　和参数自适应律　设计如下：　＝Ｊｒ１（ｓ　一　１ｏ　），　８＝　（　Ｉ　ｓ　ｌ一盯，　８）　（２０）　式中Ｆ＝ｒ。＞０为自适应增益矩阵，ｙ＞０自适应增益系数，　。。＞０，　。＞０为设计参数。　定理１　对于由系统（１）、控制律（１９）、自适应律（２ｏ）组成的闭环系统，且定义初始紧集　：　ｎ—ｌ　＝｛ｓ。＋∑（ｅ　＋ｓ　）＋　厂　￣ｗ＋　≤２Ａ）．　

Ａ为任意给定正数，在假设１—２条件下，存在参数　，卢，Ｐ，ｇ，Ｆ，　，　。。，　ｕ和　，ｃ　，７－　，ｉ＝１，２，…，ｎ—　ｌ，使得闭环系统的半全局一致终结有界，且系统跟踪误差收敛到原点附近的一个小邻域内。　证　定义闭环系统（１）的Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数：　

：　＋÷∑（ｅ　＋　）＋÷　厂　＋÷ｙ　艿　（２１）　一　一‘　Ｉ　一　－　对　按时间ｔ求导得：　

ｎ一１　＝ｓｇ＋∑（ｅｉ　＋　）＋　Ｊ１＿　＋ｙ　弱　（２２）　

由　＝　一卢　得　＝一ｅｉ／（ｒ　一　），由文献［９］Ｈ　可知存在Ｋ　类函数Ｋｎ和Ｋ　使，Ｋ　１≤Ｉ卢　ｌ　≤