期权定价理论

期权定价理论 期权是一种独特的衍生金融产品，它使买方能够避免坏的结果，同时，又能从好的结果中获益。金融期权创立于20世纪70年代，并在80年代得到了广泛的应用。今天，期权已经成为所有金融工具中功能最多和最激动人心的工具。因此，了解期权的定价对于了解几乎所有证券的定价，具有极其重要的意义。而期权定价理论被认为是经济学中唯一一个先于实践的理论。当布莱克（Black）和斯科尔斯（Scholes）于1971年完成其论文，并于1973年发表时，世界上第一个期权交易所——芝加哥期权交易所（CBOE）才刚刚成立一个月（1973年4月26日成立），定价模型马上被期权投资者所采用。后来默顿对此进行了改进。布莱克—斯科尔斯期权定价理论为金融衍生产品市场的快速发展奠定了基础。 期权定价理论并不是起源于布莱克—斯科尔斯定价模型（以下记为B—S定价模型）。在此之前，许多学者都研究过这一问题。最早的是法国数学家路易·巴舍利耶（Lowis Bachelier）于1900年提出的模型。随后，卡苏夫(Kassouf，1969年)、斯普里克尔（Sprekle，1961年）、博内斯（Boness，1964年）、萨缪尔森（Samuelson，1965年）等分别提出了不同的期权定价模型。但他们都没能完全解出具体的方程。本讲主要讨论以股票为基础资产的欧式期权的B—S定价理论。

一、预备知识 （一）连续复利 我们一般比较熟悉的是以年为单位计算的利率，但在期权以及其它复杂的衍生证券定价中，连续复利得到广泛的应用。因而，熟悉连续复利的计算是十分必要的。 假设数额为A的资金，以年利率r投资了n年，如果利率按一年计一次算，则该笔投资的终值为nrA)1(。如果每年计m次利息，则终值为：mnmrA)1(。

当m趋于无穷大时，以这种结果计息的方式就称为连续复利。在连续复利的情况下，金额A以利率r投资n年后，将达到：rnAe。

对一笔以利率r连续复利n年的资金，其终值为现值乘以rne，而对一笔以利率r连续复利贴现n年的资金，其现值为终值是乘上rne。 在股票投资中，我们一般都以连续复利计息。也就是说，现在金额为S投资股票，期望以复利μ计息，经过T时期后（T一般以年为单位），股票的期望价格为：TTSeS，从而可得：

SSTTln1

。也就是说，股票价格的期望收益率为股票价格比的对数。 （二）股票价格的行为过程 众所周知，股价运动一般没有规律可循，但我们可以用一种随机过程来刻划股价的运动。随机过程是指：如果某变量的价值以某种不确定的方式随时间变化，则称该变量遵循某种随机过程。特别地，当一个随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，我们称该随机过程为马尔可夫过程。以下我们要介绍几种特殊的马尔可夫过程。 1、基本的维纳过程

要理解遵循维纳过程的变量z的行为，可以考虑在短时间间隔上变量z值的变化。设一个小的时间间隔长度为Δt，定义Δz为在Δt时间内z的变化。如果满足：

（1）Δzt （6.1） 其中，是服从标准正态分布N（0，1）的一个随机变量； （2）对于任何两个不同的时间间隔Δt，Δz的值相互独立。 则称变量z遵循基本维纳过程。

由（1）知，Δz也服从正态分布，且其均值为0，方差为Δt，标准差为t。 由（2)知，z遵循马尔科夫过程。 设z值在时间T后的增量为)0()(zTz，这可以被看作在N个长度为Δt的小时间间隔后z的变

化的总量。其中tTN，从而

iNitzTz1)0()( (6.2)

其中),,2,1(Nii是服从标准正态分布的随机抽样值，且相互独立。从而)0()(zTz也服从正态分布，其均值为0，方差为)(tNT，标准差为T。 另外，6.1式的极限形式可表示为：dtdz (6.3) 2、一般化的维纳过程 变量x的一般化维纳过程定义如下： bdzadtdx (6.4)

其中ba,为常数，dz为同6.3式的基本维纳过程。

adt项表示变量x在单位时间内的漂移量，其期望值为a。

bdz项可被看作为增加到x轨迹上的波动率或噪声，其值为维纳过程的b倍。

在缺省bdz项的情况下，方程变为：adtdx 对其积分可得：atxx0

其中x0为变量x在零时刻的值。经过t时间后，x增加的值为at。 6.4式的离散形式为： tbtazbtax

(6.5)

从而，x具有正态分布，且x的均值为ta，方差为tb2，标准差为tb。 经过时间T后，x值的变化具有正态分布，同样，可以求得其均值为aT，方差为Tb2，标准差为Tb。 方程6.4给出了一般性维纳过程。其漂移率（单位时间的平均漂移）的期望值为a，方差率（即单位时间的方差）的期望值为2b。如图6.1所示。

3、ITO过程（ITO process） ITO过程是一个更一般化的维纳过程，其数学表达式为： dztxbdttxadx),(),(

ITO过程的期望漂移率和方差率都随时间的变化而变化。 在B—S期权定价模型中，很重要的一点就是假定股价的变动遵循ITO过程。但如何定义这一过

程的期望漂移率和方差率是关键。一个合理的假设就是股价S的变动可用瞬时期望漂移率为S，瞬

时方差率为22S的ITO过程来表达。表示为： SdzSdtdS (6.6)

dzdtSdS (6.7) 这是因为投资者要求来自股票的期望百分比收益与股票价格无关。当股价的方差率恒为0时：SdtdS，得：teSS0 。其中，0S是零时刻的股价。这说明了当方差率为0 时，股价以单位

时间为的连续复利方式增长。

图7.1 一般化的维纳过程时间t变量x6.7式的离散形式为： ttztSS (6.8)

例：考虑一种不付红利的股票，波动率为每年30%，预期收益率以连续复利计每年15%，即30.0,15.0，则股票价格的行为过程为：

dzdtSdS30.015.0 化为离散形式：ttSS30.015.0 方程6.8的左边是短时间t后股票的收益比, t项是这一收益的期望值,t项是收益的随机部分,其方差(也是整个收益的方差)为t2,该方程表明SS服从均值为t,方差为t2的正态分布。即： ),(~ttNSS

4、ITO定理和股票价格的对数正态分布 由前面的讨论知道，股价S的运动遵循ITO过程：SdzSdtdS 如果变量G是股价S和时间t的函数，即G=G（S，t） 由泰勒展开式，有：

22222222121ttGtStSGSSGttGSSGG (6.9)

由6.8式得， tStSzStSS

因此，)(2222totSS 由于服从标准正态分布，所以101)()()(22EDE 因此t2的期望值为t，其方差的阶数为2t。当t趋于0时，t2变为非随机项，且等于该值对t的期望值，所以tS222就变成非随机项，且当t趋向于零时，其值等于tS22。将上述结果代入6.9式，且令S和t趋向于零，得其微分形式： SdzSGdtSSGtGSSGdG)21(222

2

(6.10)

这就是ITO定理。它表明ITO过程S和时间t的函数G也遵循ITO过程。 由于G是S的函数，因此G与S都受到同一个基本的不确定性来源的影响。 上式中，令SGln，得：dzdtdG)2(2 这表明G遵循恒定的漂移率为22，方差率为2的一般化维纳过程。由前面的结果知，在当前时刻t0和将来某一时刻t1之间G的变化是正态分布， 均值为：T)2(2

方差为：T2 其中T为时间间隔t1－t0。 t0时刻G的值为0lnS，t1时刻G的值为TSln。其中ST是T时刻的股票价格，因此在T期间G

的变化为：0lnlnSST。从而有：



TTNSST,)2(~lnln2

0 （6.11）



TTSNST,)2(ln~ln2

0

])2/[(02TTTteSS

这表明，当S给定时，ST服从对数正态分布，且有： ][)()2/(02tTTTeEeSSE

TTTTeSeeS02/)2/(022 20])2/[(0][)(2TTTTeSeSESDt ]1[220TTeeS 另外，由6.11式得：



TTNSST,)2(~ln2



TNSSTT,2~ln1

2