五年级奥数因数与倍数(B级)

因数与倍数

一天，因数和倍数走到了一起。倍数傲慢地对因数说：“哎，哥们，见了我怎么也不下拜呀？” “我为什么要拜你，你算老几呀？”因数气愤地回答。

“我是老大呀。”

“你是老大？为什么”

“你说，一个数的个数有多少个呀？”

“这我知道，一个数的因数有无数个。”

只见倍数慢条斯理地说：“这就对嘛，一个数的因数的个数就那么可怜的几个。而一个数的倍数有无数个.你的家庭成员这么少，而我的家庭是这样的庞大。你说，你不应该拜我吗？”

“是的，你的家庭是庞大的，可是，你知道吗？因为你的家庭的庞大，你知道你是老几吗？我们的家庭成员是有限的，可是，我们都知道我们自己的位置。再说，离开我们这些因数，你们这些倍数还成立吗？”因数理直气壮地回答。

只见倍数挠着耳朵，想了想，说：“对，其实我们是密不可分的好伙伴，我们谁都离不开谁。刚才是我不对，我向你道歉了。”

“没有关系，没有关系，你知道自己错了就好。 在自然数中，我们谁离开了谁都是不存在的。没有倍数，我是谁的因数呢？同样，没有因数，你们又是谁的倍数呢？让我们共同携手，紧密团结在一起，永远做好兄弟！”因数诚恳地说。

因数和倍数两位好伙伴的手紧紧地握在了一起。

一、 因数的概念与最大公因数

0被排除在因数与倍数之外

1． 求最大公因数的方法

①分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以(231,252)3721=⨯=； ②短除法：先找出所有共有的因数，然后相乘．例如：2181239632

，所以(12,18)236=⨯=；

③辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公因数．用辗转相除法求两个数的最大公因数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止．那么，最后一个除数就是所求的最大公因数．(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)．

例如，求600和1515的最大公因数：151********÷=；6003151285÷=；315285130÷=；28530915÷=；301520÷=；所以1515和600的最大公因数是15．

2． 最大公因数的性质

①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数；

知识框架

课前预习 因数与倍数

②几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数；

③几个数都乘以一个自然数n ，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘以n ．

3． 求一组分数的最大公因数

先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a ；求出各个分数的分子的

最大公因数b ；b a

即为所求． 二、倍数的概念与最小公倍数

1. 求最小公倍数的方法

①分解质因数的方法；

例如：2313711=⨯⨯，22252237=⨯⨯，所以[]22231,252237112772=⨯⨯⨯=；

②短除法求最小公倍数； 例如：21812

39632

，所以[]18,12233236=⨯⨯⨯=； ③[,](,)

a b a b a b ⨯=． 2. 最小公倍数的性质

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．

②两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．

③两个数具有倍数关系，则它们的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．

3. 求一组分数的最小公倍数方法步骤

先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a ；求出各个分数分母的最大公因数b ；

b a 即为所求．例如：35[3,5]15[,]412(4,12)4== 注意：两个最简分数的最大公因数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：[]()1,414,4232,3⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

三、最大公因数与最小公倍数的常用性质

1． 两个自然数分别除以它们的最大公因数，所得的商互质。

如果m 为A 、B 的最大公因数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系：

①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积；

②最大公因数是A 、B 、A B +、A B -及最小公倍数的因数．

2． 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。

即(,)[,]a b a b a b ⨯=⨯，此性质比较简单，学生比较容易掌握。

3． 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为

a )奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数

例如：567210⨯⨯=，210就是567的最小公倍数

b )偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍

例如：678336⨯⨯=，而6,7,8的最小公倍数为3362168÷=

性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。

四、求因数个数与所有因数的和

1． 求任一整数因数的个数

一个整数的因数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积。 如:1400严格分解质因数之后为32257⨯⨯，所以它的因数有(3+1)×(2+1) ×(1+1)=4×3×2=24个。(包括1和1400本身)

因数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个因数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。 2． 求任一整数的所有因数的和

一个整数的所有因数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有因数的和。

如：33210002357=⨯⨯⨯，所以21000所有因数的和为

2323(1222)(13)(1555)(17)74880++++++++=

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。

重点：

1、分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。

2、本讲中的知识点并不难理解，对于因数、最大公因数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以对于平方差公式还有一些主要性质一定要记住.

难点：

1、在对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。

2、核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳，让学生自己初步

领悟“原来任何一个数字都可以表示为...⨯⨯⨯☆☆☆△△△的结构”

【例1】一次会餐供有三种饮料.餐后统计，三种饮料共用了65瓶；平均每2个人饮用一瓶A 饮料，每3人

饮用一瓶B 饮料，每4人饮用一瓶C 饮料.问参加会餐的人数是多少人？

【巩固】一张长方形纸，长2703厘米，宽1113厘米.要把它截成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩

例题精讲

重难点