【优化方案】高中人教A数学选修1-2同步测试卷：高中同步测试卷(十四)(含答案解析)
高中同步测试卷(十四) 高考微专题 高考中的复数问题一、选择题(本大题共18小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·高考福建卷)复数(3＋2i)i 等于( ) A ．－2－3i B ．－2＋3i C ．2－3iD ．2＋3i2．(2014·高考山东卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若a ＋i ＝2－bi ，则(a ＋bi)2＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．4－3iD ．4＋3i3．(2014·高考辽宁卷)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i4．(2014·高考广东卷)已知复数z 满足(3－4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．－3－4i B ．－3＋4i C ．3－4i．3＋4i5．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)1＋3i 1－i ＝( )A ．1＋2iB ．－1＋2iC ．1－2iD ．－1－2i6．(2014·高考江西卷)若复数z 满足z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z|＝( ) A ．1 B ．2 C. 2D. 37．(2014·高考陕西卷)已知复数z ＝2－i ，则z·z －的值为( ) A ．5 B. 5 C ．3D. 38．(2014·高考湖北卷)i 为虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i9．若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( ) A ．－4B ．－45C ．4D.4510．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R)是纯虚数，则a 的值为 ( )A ．－3B ．－1C ．1D ．311．(2015·高考山东卷)若复数z 满足z－1－i ＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( )A ．1－iB ．1＋iC ．－1－iD ．－1＋i12．复数z ＝i ·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限13．若i(x ＋yi)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋yi 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．514．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2 B ．若z 1＝z －2，则z －1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 2215．在复平面内，复数z ＝2i1＋i (i 为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限16．(2014·高考天津卷)i 是虚数单位，复数7＋i3＋4i ＝( )A ．1－iB ．－1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i17．复数z ＝1i －1的模为( )A.12B.22C. 2D ．218.若复数z 满足iz ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( ) A ．(2，4) B ．(2，－4) C ．(4，－2)D ．(4，2)19．(2014·高考北京卷)若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R)，则x ＝________． 20．(2014·高考浙江卷)已知i 是虚数单位，计算1－i （1＋i ）2＝________．21．(2014·高考江苏卷)已知复数z ＝(5＋2i)2(i 为虚数单位)，则z 的实部为________． 22．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝bi ，则a ＋bi ＝________． 23．已知复数z ＝5i 1＋2i(i 是虚数单位)，则|z|＝________．24．(2015·高考江苏卷)设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________． 25．i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________．三、解答题(本大题共4小题．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 26．设复数z ＝a 2＋a －2＋(a 2－7a ＋6)i ，其中a ∈R ，问当a 取何值时， (1)z ∈R ； (2)z 是纯虚数； (3)z －＝28＋4i ；(4)z 所对应的点在复平面的第四象限内．27．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i均为实数，且复数(z ＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限内，求实数a 的取值范围．28.已知z 1，z 2是两个非零复数，且|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，求证：⎝⎛⎭⎫z 1z 22为负数．29．已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y)i ＝0(x ，y ∈R)． (1)当方程有实根时，求点(x ，y)的轨迹方程； (2)求方程的实根的取值范围．参考答案与解析1．[导学号28910088] 【解析】选B.(3＋2i)i ＝3i ＋2i 2＝－2＋3i. 2．【解析】选A.∵a ，b ∈R ，a ＋i ＝2－bi ，∴a ＝2，b ＝－1， ∴(a ＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.3．[导学号28910089] 【解析】选 A.由(z －2i)(2－i)＝5，得z ＝2i ＋52－i＝2i ＋5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝2i ＋2＋i ＝2＋3i.4．【解析】选D.由(3－4i)z ＝25，得z ＝253－4i ＝25（3＋4i ）（3－4i ）（3＋4i ）＝3＋4i ，故选D.5．[导学号28910090] 【解析】选B.1＋3i 1－i ＝（1＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i ＋3i ＋3i 22＝－2＋4i2＝－1＋2i.6．【解析】选C.∵z(1＋i)＝2i ，∴z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）2＝1＋i ，∴|z|＝12＋12＝ 2.7．[导学号28910091] 【解析】选A.z ·z －＝(2－i)(2＋i)＝22－i 2＝4＋1＝5，故选A.8．【解析】选B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2＝（1－i ）2（1＋i ）2＝－2i 2i＝－1.9．[导学号28910092] 【解析】选D.∵(3－4i)z ＝|4＋3i|， ∴z ＝|4＋3i|3－4i ＝42＋323－4i ＝5（3＋4i ）25＝35＋45i ，∴z 的虚部为45.10．【解析】选D.因为a －103－i ＝a －10（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝a －10（3＋i ）10＝(a －3)－i ，由纯虚数的定义，知a －3＝0，所以a ＝3.11．[导学号28910093] 【解析】选A.由已知得z －＝i(1－i)＝1＋i ，则z ＝1－i ，故选A.12．【解析】选B.∵z ＝i ·(1＋i)＝－1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(－1，1)，该点位于第二象限．13．[导学号28910094] 【解析】选D.法一：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以x ＋yi ＝3＋4i i＝（3＋4i ）（－i ）i （－i ）＝4－3i ，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋（－3）2＝5，故选D.法二：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以－y ＋xi ＝3＋4i ，所以x ＝4，y ＝－3，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋（－3）2＝5，故选D.法三：因为i(x ＋yi)＝3＋4i ，所以(－i)i(x ＋yi)＝(－i)·(3＋4i)＝4－3i ，即x ＋yi ＝4－3i ，故|x ＋yi|＝|4－3i|＝42＋（－3）2＝5，故选D.14．【解析】选D.A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z －1＝z －2，真命题； B ，z 1＝z －2⇒z －1＝z ＝2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z －1＝z 2·z －2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．15．【解析】选D.z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，所以z －＝1－i ，故复数z 的共轭复数对应的点位于第四象限．16．【解析】选A.7＋i 3＋4i ＝（7＋i ）（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25－25i25＝1－i ，故选A.17．【解析】选B.因为z ＝1i －1＝－12－12i ，所以|z|＝|－12－12i|＝22.18．【解析】选C.法一：因为iz ＝2＋4i ，所以z ＝2＋4i i ＝（2＋4i ）（－i ）i （－i ）＝4－2i.在复平面内，复数z 对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.法二：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，由iz ＝2＋4i ，得i(a ＋bi)＝2＋4i ，即－b ＋ai ＝2＋4i ，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝－2，即z ＝4－2i ，故复数z 对应的点的坐标为(4，－2)，故选C. 法三：因为iz ＝2＋4i ，所以(－i)iz ＝(－i)(2＋4i)＝4－2i ，即z ＝4－2i ，故复数z 对应的点的坐标为(4，－2)，故选C.19．【解析】由题意，得x ＋i ＝－1＋2i i ＝－i ＋2i 2i 2＝－i －2－1＝2＋i ，所以x ＝2. 【答案】220．【解析】1－i （1＋i ）2＝1－i 1＋2i ＋i 2＝1－i 2i ＝－i （1－i ）－2i 2＝－i －12 ＝－12－12i.【答案】－12－12i21．【解析】因为z ＝(5＋2i)2＝25＋20i ＋(2i)2＝25＋20i －4＝21＋20i ，所以z 的实部为21.【答案】2122．【解析】由(a ＋i)(1＋i)＝bi ，可得(a －1)＋(a ＋1)i ＝bi ，因此a －1＝0，a ＋1＝b ，解得a ＝1，b ＝2，故a ＋bi ＝1＋2i.【答案】1＋2i23．【解析】|z|＝⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝⎪⎪⎪⎪5i （1－2i ）5＝|i ＋2|＝ 5. 【答案】 524．【解析】∵ z 2＝3＋4i ，∴ |z 2|＝|z|2＝|3＋4i|＝32＋42＝5，∴ |z|＝ 5. 【答案】 525．【解析】∵(2，－3)关于原点的对称点是(－2，3)， ∴z 2＝－2＋3i. 【答案】－2＋3i26．【解】(1)z ∈R ，只须a 2－7a ＋6＝0， ∴a ＝1或a ＝6.(2)z 是纯虚数，只须⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－7a ＋6≠0，∴a ＝－2. (3)∵z ＝28＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝28，－（a 2－7a ＋6）＝4，∴a ＝5. (4)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2>0，a 2－7a ＋6<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－2，1<a<6.故当1<a<6时，z 所对应的点在复平面的第四象限内． 27．【解】设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)， z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.z 2－i ＝x －2i 2－i ＝（x －2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4. ∴z ＝4－2i.(z ＋ai)2＝(4－2i ＋ai)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 12＋4a －a 2>0，8（a －2）>0，解得2<a<6，∴实数a 的取值范围是(2，6)．28．【证明】法一：设z 1，z 2对应的向量分别为OZ 1→，OZ 2→，并以OZ 1→，OZ 2→为邻边作▱OZ 1ZZ 2，则向量OZ →，Z 2Z 1→对应的复数分别为z 1＋z 2，z 1－z 2.由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，知▱OZ 1ZZ 2为矩形． ∴OZ 1⊥OZ 2，∴z 1z 2＝λi (λ≠0，λ∈R)，即z 1z 2为纯虚数，故⎝⎛⎭⎫z 1z 22为负数．法二：∵|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，|z 1·z 2|≠0， ∴⎪⎪⎪⎪z 1z 2＋1＝⎪⎪⎪⎪z 1z 2－1，即点z 1z 2到点(－1，0)，(1，0)的距离相等．∴z 1z 2为纯虚数，∴⎝⎛⎭⎫z 1z 22为负数．29．【解】(1)设实根为t ，则t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y)i ＝0， 即(t 2＋2t ＋2xy)＋(t ＋x －y)i ＝0. 根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t ＋2xy ＝0， ①t ＋x －y ＝0. ② 由②得t ＝y －x ，代入①得(y －x)2＋2(y －x)＋2xy ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.③∴所求点的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2，其轨迹是以(1，－1)为圆心、2为半径的圆．(2)由③得圆心为(1，－1)，半径r ＝2，直线t ＋x －y ＝0与圆有公共点时有 |1－（－1）＋t|2≤2，即|t ＋2|≤2，∴－4≤t≤0.∴方程的实根的取值范围是[－4，0]．。
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（人教A版）高中数学选修1-2（全册）同步练习汇总+章节测试卷汇总课时作业31一、选择题1．[2013·北京通州一模]对两个变量y和x进行回归分析, 得到一组样本数据: (x1, y1), (x2, y2), …, (x n, y n), 则下列说法中不正确的是()A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x , y ) B ．残差平方和越小的模型, 拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果, R 2的值越小, 说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.9362, 则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析: R 2的值越大, 说明残差平方和越小, 也就是说模型的拟合效果越好, 故选C. 答案: C2．[2014·烟台高二检测]甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验, 并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表:甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0.69 0.85 m106115124103A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析: 由表可知, 丁同学的相关系数r 最大且残差平方和m 最小, 故丁同学的试验结果体现A 、B 两变量更强的线性相关性．答案: D3．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A 、B 两变量做回归分析, 分别得到散点图与残差平方和∑i ＝1n(y i －y ^i )2, 如下表:甲 乙 丙 丁散点图残差平方和115106124103A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析: 根据线性相关知识知, 散点图中各样本点条状分布越均匀, 同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据, R 2表达式中∑i ＝1n(y i －y )2为确定的数, 则残差平方和越小, R 2越大), 由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果就越好, 由试验结果知丁要好些．答案: D4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4, 据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析: 由表可计算x ＝4＋2＋3＋54＝72, y ＝49＋26＋39＋544＝42, 因为点(72, 42)在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上, 且b ^为9.4, 所以42＝9.4×72＋a ^, 解得a ^ ＝9.1, 故回归方程为y ^ ＝9.4x ＋9.1, 令x ＝6得y ^＝65.5, 选B.答案: B 二、填空题5．面对竞争日益激烈的消费市场, 众多商家不断扩大自己的销售市场, 以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位: 千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析, 结果如下: x ＝72, y ＝71, ∑i ＝16x 2i ＝79, ∑i ＝16x i y i ＝1481.b ^ ＝1481－6×72×7179－6×(72)2≈－1.8182,a ^＝71－(－1.8182)×72≈77.36, 则销量每增加1000箱, 单位成本下降__________元．解析: 由上表可得, y ^＝－1.8182x ＋77.36, 销量每增加1千箱, 则单位成本下降1.8182元．答案: 1.81826．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为(4,5), 则回归直线方程是________．解析: 由斜率的估计值为 1.23, 且回归直线一定经过样本点的中心(4,5), 可得y ^－5＝1.23(x －4),即y ^＝1.23x ＋0.08. 答案: y ^ ＝1.23x ＋0.087．[2014·宁夏吴忠模拟]某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系, 随机统计了某4天的用电量与当天气温, 并制作了对照表:由表中数据得线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2, 预测当气温为－4℃时, 用电量的度数约为________．解析: x ＝10, y ＝40, 回归方程过点(x , y ), ∴40＝－2×10＋a ^. ∴a ^＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4, ∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案: 68 三、解答题8．某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据:(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解: (1)由所给数据看出, 年需求量与年份之间是近似直线上升, 下面来求回归直线方程, 先将数据预处理如下:x ＝0, y ＝3.2, b ^＝6.5,a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果知, 所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2006)＋a ^＝6.5(x －2006)＋3.2. 即y ^ ＝6.5(x －2006)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程, 可预测2012年的粮食需求量为6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．9．[2013·重庆高考]从某居民区随机抽取10个家庭, 获得第i 个家庭的月收入x i (单位: 千元)与月储蓄y i (单位: 千元)的数据资料, 算得∑i ＝110x i ＝80, ∑i ＝110y i ＝20, ∑i ＝110x i y i ＝184, ∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^;(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元, 预测该家庭的月储蓄． 附: 线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中,b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2, a ^ ＝y －b ^x ,其中x , y 为样本平均值, 线性回归方程也可写为y ^ ＝b ^ x ＋a ^.解: (1)由题意知n ＝10, x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8, y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2, 又∑i ＝1n x 2i －n x 2＝720－10×82＝80, ∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24,由此得b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝2480＝0.3, a ^ ＝y －b ^ x ＝2－0.3×8＝－0.4, 故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ^＝0.3>0), 故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．课时作业32一、选择题1．对于分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k , 下列说法正确的是( ) A. k 越大, “X 与Y 有关系”的可信程度越小 B. k 越小, “X 与Y 有关系”的可信程度越小C. k越接近于0, “X与Y没有关系”的可信程度越小D. k越大, “X与Y没有关系”的可信程度越大解析: k越大, “X与Y没有关系”的可信程度越小, 则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小, “X与Y有关系”的可信程度越小．答案: B2．分类变量X和Y的列联表如下:A. ad－bc越小, 说明X与Y关系越弱B. ad－bc越大, 说明X与Y关系越弱C. (ad－bc)2越大, 说明X与Y关系越强D. (ad－bc)2越接近于0, 说明X与Y关系越强解析: 对于同一样本, |ad－bc|越小, 说明X与Y之间关系越弱; |ad－bc|越大, 说明X与Y 之间的关系越强．答案: C3．[2014·广州高二检测]利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验, 现通过计算高中生的性别与喜欢数学课程列联表中的数据, 得到K2≈5.12, 并且知道P(K2≥3.841)≈0.05, 那么下列结论中正确的是()A．100个高中生中只有5个不喜欢数学B．100个高中生中只有5个喜欢数学C．在犯错误的概率不超过0.05的前提下, 可以认为高中生的性别与喜欢数学课程有关系D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下, 可以认为高中生的性别与喜欢数学课程没有关系解析: 当K2≈5.12时, P(K2≥3.841)≈0.05, 说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为高中生性别与喜欢数学课程有关系．答案: C4．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查, 数据如表( ) A ．0.01 B ．0.005 C ．0.025 D ．0.001解析: K 2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>5.024.∵P (K 2≥5.024)＝0.025. ∴犯错误的概率不超过0.025. 答案: C 二、填空题5．下列说法正确的是__________．①对事件A 与B 的检验无关, 即两个事件互不影响 ②事件A 与B 关系越密切, K 2就越大③K 2的大小是判断事件A 与B 是否相关的唯一数据 ④若判定两事件A 与B 有关, 则A 发生B 一定发生解析: 对于①, 事件A 与B 的检验无关, 只是说两事件的相关性较小, 并不一定两事件互不影响, 故①错．②是正确的．对于③, 判断A 与B 是否相关的方式很多, 可以用列联表, 也可以借助于概率运算, 故③错．对于④, 两事件A 与B 有关, 说明两者同时发生的可能性相对来说较大, 但并不是A 发生B 一定发生, 故④错．答案: ②6．在一次独立性检验中, 有300人按性别和是否色弱分类如下表:由此表计算得解析: 代入K 2公式计算即可． 答案: 3.247．[2013·广东湛江一模]为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对该班50名学生进行了问卷调查, 得到了如下的2×2列联表:(请用百分数表示)．附: K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解析: K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20≈8.333>7.879, 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关． 答案: 0.5% 三、解答题8．为了调查胃病是否与生活规律有关, 在某地对540名40岁以上的人进行了调查, 结果是: 患胃病者生活不规律的共60人, 患胃病者生活规律的共20人, 未患胃病者生活不规律的共260人, 未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表;(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗? 为什么?解: (1)由已知可列2×2列联表:(2)k ＝540×(20×260－200×60)2220×320×80×460≈9.638.因为9.638>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．9．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系, 随机抽取了189名员工进行调查, 所得数据如下表所示:合计86103189解: 计算K2的观测值k＝189×(54×63－32×40)2≈10.759.94×95×86×103由于10.759>7.879, 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下, 可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．课时作业33一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误．．的是()A．归纳推理是由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析: 由归纳推理的定义与特征可知选项A错误, 选项B, C, D均正确, 故选A.答案: A2．定义A*B, B*C, C*D, D*B依次对应下列4个图形:那么下列4个图形中,可以表示A*D, A*C的分别是()A. 1,2B. 1,3C. 2,4D. 1,4解析: 由①②③④可归纳得出: 符号“*”表示图形的叠加, 字母A 代表竖线, 字母B 代表大矩形, 字母C 代表横线, 字母D 代表小矩形, ∴A *D 是图2, A *C 是图4.答案: C3．观察下列数表规律则数2014的箭头方向是( )解析: 因上行偶数是首项为2, 公差为4的等差数列, 若2014在上行, 则2014＝2＋(n －1)·4⇒n ＝504∈N *.故2014在上行, 又因为在上行偶数的箭头为, 故选A.答案: A4．观察(x 2)′＝2x , (x 4)′＝4x 3, (cos x )′＝－sin x , 由归纳推理可得: 若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x ), 记g (x )为f (x )的导函数, 则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析: 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容, 由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,∴g (－x )＝－g (x ), 选D, 体现了对学生观察能力, 概括归纳推理的能力的考查． 答案: D 二、填空题5．观察下列等式: 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2, …根据上述规律, 第四个等式．．．．．为__________． 解析: 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2, …, 所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2. 答案: 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)26．设{a n }是首项为1的正数项数列, 且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *), 经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．解析: 由首项为1, 得a 1＝1;由n ＝1时, 由2a 22－1＋a 2＝0, 得a 2＝12;当n ＝2时, 由3a 23－2(12)2＋12a 3＝0, 即6a 23＋a 3－1＝0, 解得a 3＝13; …归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n (n ∈N *)．答案: a n ＝1n(n ∈N *)7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10, …, 第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n , k )(k ≥3), 以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ,正方形数 N (n,4)＝n 2, 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ,六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ,............可推测N (n , k )的表达式, 由此计算N (10,24)＝________.解析: 首先将三、四、五、六边形数中第n 个数的表达式分别通分, 化成分母统一为2的形式如下:三角形数: N (n,3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n2＝(3－2)n 2＋(4－3)n2;正方形数: N (n,4)＝n 2＝(4－2)n 2＋(4－4)n2;五边形数: N (n,5)＝3n 22－12n ＝(5－2)n 2＋(4－5)n 2;六边形数: N (n,6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2＝(6－2)n 2＋(4－6)n2;....根据以上规律总结, 推测: N (n , k )＝(k －2)n 2＋(4－k )n2.故N (10,24)＝(24－2)×102＋(4－24)×102＝1000.答案: 1000 三、解答题8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·a n －n －1, 且a 2＝6, 设b n ＝a n ＋n (n ∈N *), 猜想数列{b n }的通项公式．解: a 1＝1, a 2＝6, a 3＝15, a 4＝28, b 1＝2, b 2＝8, b 3＝18, b 4＝32.可以通过求数列{a n }的通项公式来求数列{b n }的通项公式． 我们发现a 1＝1＝1×1; a 2＝6＝2×3; a 3＝15＝3×5; a 4＝28＝4×7; …, 猜想a n ＝n ×(2n －1), 进而猜想b n ＝2n 2－n ＋n ＝2n 2. 9．观察下列各式:sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34;sin 240°＋cos 270°＋sin40°cos70°＝34;sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34,分析以上各式的共同特点, 根据其特点写出能反映一般规律的等式, 并对等式是否正确加以证明．解: 反映一般规律的等式是:sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.(表达形式不唯一)该等式是正确的, 证明如下: sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋(cos αcos30°－sin αsin30°)2＋sin α(cos αcos30°－sin αsin30°) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α2＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝sin 2α＋34cos 2α＋14sin 2α－32sin αcos α＋32sin αcos α－12sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.课时作业34一、选择题1．下列平面图形中, 与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析: 只有平行四边形与平行六面体较为接近．答案: C2．类比平面内正三角形的“三边相等, 三内角相等”的性质, 可推知正四面体的下列哪些性质, 你认为比较恰当的是()①各棱长相等, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③解析: 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比, 正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比, 故①②③都对．答案: C3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间, 结论仍然正确的是()A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交, 则也与另一条相交B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直, 则也与另一条垂直C．如果两条直线同时与第三条直线相交, 则这两条直线相交或平行D．如果两条直线同时与第三条直线垂直, 则这两条直线平行解析: 推广到空间以后, 对于A, 还有可能异面, 对于C还有可能异面, 对于D, 还有可能异面．答案: B4．已知结论: “在正三角形ABC中, 若D是BC边的中点, G是三角形ABC的重心, 则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间, 则有结论: 在棱长都相等的四面体A－BCD中, 若ΔBCD的中心为M, 四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等, 则AOOM＝() A. 1 B. 2C. 3D. 4解析: 面的重心类比几何体重心, 平面类比空间, AG GD ＝2类比AOOM ＝3, 故选C. 答案: C 二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中, 二元一次方程Ax ＋By ＝0(A , B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地: 在空间直角坐标系O －xyz 中, 三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A , B , C 不同时为0)表示__________________．解析: 由方程的特点可知: 平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面, “过原点”类比仍为“过原点”, 因此应得到: 在空间直角坐标系O －xyz 中, 三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A , B , C 不同时为0)表示过原点的平面．答案: 过原点的平面6．[2014·潍坊质检]在平面几何中有如下结论: 若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1, 外接圆面积为S 2, 则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论: 若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1, 外接球体积为V 2, 则V 1V 2＝________.解析: 平面几何中, 圆的面积与圆半径的平方成正比, 而在空间几何中, 球的体积与半径的立方成正比, 设正四面A －BCD 的棱长为a , 可得其内切球的半径为612a , 外接球的半径为64a , 则V 1V 2＝127. 答案:1277．给出下列推理:(1)三角形的内角和为(3－2)·180°, 四边形的内角和为(4－2)·180°, 五边形的内角和为(5－2)·180°, …所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°;(2)三角函数都是周期函数, y ＝tan x 是三角函数, 所以y ＝tan x 是周期函数;(3)狗是有骨骼的; 鸟是有骨骼的; 鱼是有骨骼的; 蛇是有骨骼的; 青蛙是有骨骼的, 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物, 所以, 所有的动物都是有骨骼的;(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线, 则这两条直线互相平行, 那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面, 则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是__________．(填序号)解析: 根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理, (4)是类比推理, 而(2)不符合合情推理的定义, 所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案: (1)(3)(4) 三、解答题8．在公差为3的等差数列{a n }中, 若S n 是{a n }的前n 项和, 则有S 20－S 10, S 30－S 20, S 40－S 30也成等差数列, 且公差为300.类比上述结论, 相应的在公比为4的等比数列{b n }中, 若T n 是b n 的前n 项积, 试得出类似结论并证明．解: 类比等差数列可得等比数列对应性质:在公比为4的等比数列{b n }中, T n 表示b n 的前n 项积, 则T 20T 10, T 30T 20, T 40T 30也成等比数列且公比为4100.证明如下: T n ＝b 1b 2…b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2…b 1q n －1＝b n 1q0＋1＋2＋…＋(n －1)＝＝,∴T 10＝b 101·445, T 20＝b 2014190, T 30＝b 3014435, T 40＝b 4014780. ∴T 20T 10＝b 101·4145, T 30T 20＝b 1014245, T 40T 30＝b 1014345. 而b 1014245b 1014145＝4100, b 1014345b 1014245＝4100, ∴T 20T 10, T 30T 20, T 40T 30是以4100为公比的等比数列． 9．已知椭圆具有性质: 若M , N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点, 点P 是椭圆上任意一点, 当直线PM , PN 的斜率都存在, 并记为k PM , k PN 时, k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特征的性质, 并加以证明．解: 类似的性质为: 若M , N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点, 点P 是双曲线上任意一点, 当直线PM , PN 的斜率都存在, 并记为k PM , k PN 时, 那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明: 设点M , P 的坐标分别为(m , n ), (x , y ), 则N (－m , －n )． 因为点M (m , n )在已知的双曲线上, 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2, 同理, y 2＝b 2a2x 2－b 2. 则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．课时作业35一、选择题1．已知在△ABC 中, ∠A ＝30°, ∠B ＝60°, 求证: a <b . 证明:∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B . ∴a <b .画框格部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析: 本题应用了三段论．大前提是大角对大边, 小前提是∠A <∠B .故选B. 答案: B2．下面几种推理是演绎推理的是( )A. 全等三角形的对应角相等, 如果△ABC ≌△A ′B ′C ′, 则A ＝A ′B. 某校高三(1)班有55人, (2)班有54人, (3)班有52人, 由此得高三各班的人数均超过50人C. 由平面内三角形的性质, 推测空间中四面体的性质D. 在数列{a n }中, a 1＝1, a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2), 由此猜想出{a n }的通项公式解析: B 项是归纳推理, C 项是类比推理, D 项是归纳推理． 答案: A3．指数函数都是增函数, 大前提 函数y ＝(1e )x 是指数函数, 小前提所以函数y ＝(1e )x 是增函数．结论上述推理错误的原因是( ) A. 大前提不正确B. 小前提不正确C. 推理形式不正确D. 大、小前提都不正确解析: 大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)． 在a >1时是增函数, 而在0<a <1时为减函数．故选A.答案: A4．在R 上定义运算⊗: x ⊗y ＝x (1－y ), 若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立, 则( )A. －1<a <1B. 0<a <2C. －12<a <32D. －32<a <12解析: (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意x 恒成立 ⇔(x －a )[1－(x ＋a )]<1对任意x 恒成立 ⇔x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意x 恒成立 ⇔Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0⇔－12<a <32.答案: C 二、填空题5．已知推理: “因为△ABC 的三边长依次为3,4,5, 所以△ABC 是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论, 则大前提是________．解析: 大前提: 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形; 小前提: △ABC 的三边长依次为3,4,5满足32＋42＝52; 结论: △ABC 是直角三角形．答案: 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形6．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集, 则实数a 的取值范围为________． 解析: ①a ＝0时, 有2<0, 显然此不等式解集为∅.②a ≠0时须有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2. ∴0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2]． 答案: [0,2]7．有些导演留大胡子, 因此, 有些留大胡子的人是大嗓门, 为使上述推理成立, 请补充大前提________________．解析: 利用“三段论”推理． 大前提: 所有导演是大嗓门, 小前提: 有些导演留大胡子, 结论: 有些留大胡子的人是大嗓门． 答案: 所有导演是大嗓门 三、解答题8．如下图所示, 在梯形ABCD 中, AB ＝DC ＝AD , AC 和BD 是对角线．求证: CA平分∠BCD.证明: 等腰三角形两底角相等(大前提),△DAC是等腰三角形, DA, DC是两腰(小前提),∴∠1＝∠2(结论)．两条平行线被第三条直线所截得的内错角相等(大前提),∠1和∠3是平行线AD, BC被AC截出的内错角(小前提),∴∠1＝∠3(结论)．等于同一个量的两个量相等(大前提),∠2和∠3都等于∠1(小前提),∴∠2＝∠3(结论),即CA平分∠BCD.9．(1)证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞, 1]上是增函数;(2)判断函数f(x)＝－x2＋2x在区间[－5, －2]上的单调性, 并加以证明．(1)证法一: 任取x1, x2∈(－∞, 1], x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2),∵x1<x2≤1,∴x2＋x1－2<0.∴f(x1)－f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2)．于是, 根据“三段论”可知,f(x)＝－x2＋2x在(－∞, 1]上是增函数．证法二: ∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1),当x∈(－∞, 1)时, x－1<0,∴－2(x－1)>0.∴f′(x)>0在x∈(－∞, 1)上恒成立．故f(x)在(－∞, 1]上是增函数．(2)解: f(x)在区间[－5, －2]上单调递增, 证明如下:∵由(1)可知f(x)在(－∞, 1]上是增函数,而[－5, －2]是区间(－∞, 1]的子区间,∴f(x)在[－5, －2]上是增函数．课时作业36一、选择题1．命题“对于任意角θ, cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明: “cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”, 其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法解析: 从证明过程来看, 是从已知条件入手, 经过推导得出结论, 符合综合法的证明思路．答案: B2．欲证2－3<6－7成立, 只需证()A. (2－3)2<(6－7)2B. (2－6)2<(3－7)2C. (2＋7)2<(3＋6)2D. (2－3－6)2<(－7)2解析: A中, 2－3<0, 6－7<0平方后不等价; B、D与A情况一样; 只有C项, 2－3<6－7⇔2＋7<6＋3⇔(2＋7)2<(6＋3)2.故选C.答案: C3．在△ABC中, A>B是cos2B>cos2A的()A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件解析: ∵A>B⇔a>b⇔sin A>sin B(由正弦定理得), 又cos2B>cos2A⇔1－2sin2B>1－2sin2A ⇔sin2B<sin2A⇔sin B<sin A.∴A>B⇔cos2B>cos2A.故选C.答案: C4．已知a 、b 、c 、d 为正实数, 且a b <cd , 则( )A. a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋cb ＋d <a b <cdC. a b <c d <a ＋c b ＋dD. 以上均可能解析: 先取特值检验, ∵a b <cd ,可取a ＝1, b ＝3, c ＝1, d ＝2, 则a ＋cb ＋d ＝25, 满足a b <a ＋c b ＋d <cd .∴B 、C 不正确．要证a b <a ＋c b ＋d , ∵a 、b 、c 、d 为正实数,∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c ), 即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <cd 成立,∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d . 故A 正确, D 不正确． 答案: A 二、填空题5．设n ∈N , a ＝n ＋4－n ＋3, b ＝n ＋2－n ＋1, 则a , b 的大小关系是________． 解析: 要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小, 即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号, ∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2 ＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2)] ＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)<0, ∴n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1. 答案: a <b 6．已知p ＝a ＋1a －2(a >2), q ＝2－a 2＋4a －2(a >2), 则p 与q 的大小关系是________． 解析: p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4,－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2, ∴q <22＝4≤p .答案: p >q7．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立, 则实数a 的取值范围是________．解析: 当n 为偶数时, a <2－1n , 而2－1n ≥2－12＝32, ∴a <32.当n 为奇数时, a >－2－1n , 而－2－1n <－2,∴a ≥－2.综上可得－2≤a <32.答案: [－2, 32)三、解答题8．设a , b >0, 且a ≠b , 求证: a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明: 综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0 ⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab . 注意到a , b ∈R ＋, a ＋b >0, 由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.9．证明: 若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0, 则b 2－aca < 3.证明: ∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0, ∴a >0, c <0. 要证b 2－ac a <3,只需证b 2－ac <3a , 即证b 2－ac <3a 2. 因为b ＝－a －c ,故只需证(a ＋c )2－ac <3a 2, 即证2a 2－ac －c 2>0, 即证(2a ＋c )(a －c )>0.∵2a ＋c >a ＋b ＋c ＝0, a －c >0, ∴(2a ＋c )(a －c )>0成立． ∴原不等式成立．课时作业37一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中, 正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解解析: 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”, 所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”, 故应选C.答案: C2．设a, b, c为正实数, P＝a＋b－c, Q＝b＋c－a, R＝c＋a－b, 则“PQR>0”是“P, Q, R 同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 首先若P, Q, R同时大于零, 则必有PQR>0成立．其次, 若PQR>0, 则P, Q, R同时大于零或其中两个负数一个正数, 不妨假设P<0, Q<0, ∴a＋b－c<0, b＋c－a<0, ∴b<0与b为正实数矛盾, 故P, Q, R都大于0.故选C.答案: C3．已知f(x)是R上的增函数, a, b∈R, 下列四个命题:①若a＋b≥0, 则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b);②若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b), 则a＋b≥0;③若a＋b<0, 则f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b);④若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b), 则a＋b<0.其中真命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析: 易知①③正确．②用反证法: 假设a＋b<0, 则a<－b, b<－a, ∴f(a)<f(－b), f(b)<f(－a), ∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)与条件矛盾, 故a＋b≥0, 从而②为真命题, ④类似于②用反证法．故选D.答案: D4．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值, 则( ) A. △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B. △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C. △A 1B 1C 1是钝角三角形, △A 2B 2C 2是锐角三角形D. △A 1B 1C 1是锐角三角形, △A 2B 2C 2是钝角三角形解析: 因为正弦值在(0°, 180°)内是正值, 所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形．假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形, 并设cos A 1＝sin A 2, 则cos A 1＝cos(90°－∠A 2), 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2, cos C 1＝sin C 2, 则有∠B 1＝90°－∠B 2, ∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°,∴(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°, 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾, 所以原假设不成立．故选D. 答案: D 二、填空题5．用反证法证明“f (x )＝x 2＋px ＋q , 求证: |f (1)|, |f (2)|, |f (3)|中至少有一个不小于12”时的假设为________．解析: “至少有一个”的反设词为“一个也没有”． 答案: 假设|f (1)|, |f (2)|, |f (3)|都小于126．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤: ①∠A ＋∠B ＋∠C >180°, 这与三角形内角和为180°矛盾, 故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个钝角．③假设△ABC 中有两个钝角, 不妨设∠A >90°, ∠B >90°. 上述步骤的正确顺序为__________．解析: 根据反证法知, 上述步骤的正确顺序应为③①②. 答案: ③①②7．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根, 则实数a 的取值范围是______．解析: 假设两个一元二次方程均无实根, 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得{a |－2<a <－1}, 所以其补集{a |a ≤－2或a ≥ －1}即为所求的a 的取值范围． 答案: {a |a ≤－2或a ≥－1} 三、解答题8．设{a n }, {b n }是公比不相等的两个等比数列, c n ＝a n ＋b n , 证明数列{c n }不是等比数列． 证明: 假设数列{c n }是等比数列, 利用{a n }, {b n }是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾, 即知假设不成立．假设数列{c n }是等比数列, 则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①∵{a n }, {b n }是公比不相等的两个等比数列, 设公比分别为p , q , ∴a 2n ＝a n －1a n ＋1, b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理, 得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝a n b n (p q ＋q p ),即2＝p q ＋q p.②当p , q 异号时, p q ＋qp<0, 与②相矛盾;当p , q 同号时, 由于p ≠q , ∴p q ＋qp >2, 与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．9．已知a , b , c 是互不相等的实数, 求证: 由y ＝ax 2＋2bx ＋c , y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．证明: 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点． 由y ＝ax 2＋2bx ＋c , y ＝bx 2＋2cx ＋a , y ＝cx 2＋2ax ＋b , 得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0, 且Δ2＝(2c )2－4ab ≤0, 且Δ3＝(2a )2－4bc ≤0. 同向不等式求和得4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0, ∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0. ∴(a －b )2＋(b －c )2＋(a －c )2≤0. ∴a ＝b ＝c .这与题设a , b , c 互不相等矛盾,因此假设不成立, 从而命题得证．课时作业38一、选择题1．下列各数中, 纯虚数的个数是()3＋7, 23i,0i,8＋3i, (2＋3)i,0.618A. 0B. 1C. 2D. 3解析: 根据纯虚数的定义知, 23i, (2＋3)i是纯虚数．答案: C2．复数(1＋3)i的虚部是()A．1 B. 3C．0D．1＋ 3解析: (1＋3)i为纯虚数, 故虚部为1＋ 3.答案: D3．下列命题中, 正确命题的个数是()①若x, y∈C, 则x＋y i＝1＋i的充要条件是x＝y＝1;②若a, b∈R且a>b, 则a＋i>b＋i;③若x2＋y2＝0, 则x＝y＝0.A．0 B．1C．2D．3解析: ①由于x, y∈C,所以x＋y i不一定是复数的代数形式, 不符合复数相等的充要条件, ①是假命题．②由于两个虚数不能比较大小,∴②是假命题．③当x＝1, y＝i时,x2＋y2＝0成立,∴③是假命题． 答案: A4．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数, 则θ的值为( ) A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D.k π2＋π4(以上k ∈Z ) 解析: 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，得⎩⎨⎧2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4(k ∈Z )．答案: B 二、填空题5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数, 则a 的取值范围是________．解析: 若复数为纯虚数, 则有⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|－1≠0，a 2－a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0且a ≠2，a ＝2或a ＝－1，∴a ＝－1.故复数不是纯虚数时a ≠－1. 答案: (－∞, －1)∪(－1, ＋∞)6．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1, 则实数x 的值(或取值范围)是________．解析: 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2－3x －2)>1.解得x ＝－2. 答案: －27．已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i, 则实数x 、y 的值分别为________、________. 解析: 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2.答案: 3 －2 三、解答题8．已知M ＝{1, (m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}, P ＝{－1,1,4i}, 若M ∪P ＝P , 求实数m 的值． 解: ∵M ∪P ＝P , ∴M ⊆P .即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1; 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.9．当实数m 为何值时, z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数．解: 复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3, 虚部为m 2＋5m ＋6.(1)复数z 是实数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时复数z 为实数． (2)复数z 是虚数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，即m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时复数z 为虚数． (3)复数z 是纯虚数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3且m ≠－3，m ≠－2且m ≠－3 ⇔m ＝3.∴当m ＝3时复数z 为纯虚数．课时作业39一、选择题。
2019-2020学年数学人教A版选修1-2同步检测：第二章测试卷
又∵BM⊂平面 ABB1A1，
∴BC⊥BM，
1
1
15
∴S△NBC＝2×BC×BB1＝2×3×5＝ 2 ， 1
∴S△MBC＝2×BC×BM
1
41 3 41
＝2×3× 2 ＝ 4 ， 1
又点 M 到平面 BCN 的距离为 h′＝2AB＝2，
设点 N 到平面 MBC 的距离为 h，
由 V 三棱锥 MNBC＝V 三棱锥 NMBC，
a＋ b
a＋b
14．已知 a>0，b>0，m＝lg 2 ，n＝lg 2 ，则 m，n 的大小关系是________． 解析：ab>0⇒ ab>0⇒a＋b＋2 ab>a＋b
⇒( a＋ b)2>( a＋b)2⇒ a＋ b> a＋b a＋ b a＋b a＋ b a＋b
⇒ 2 > 2 ⇒lg 2 >lg 2 .
[ ]1 ，3 ∵x∈ 2 ， ∴当 x＝1 时，f(x)min＝－1； 当 x＝3 时，f(x)max＝3.
[ ]1 ，3 即当 x∈ 2 时，函数 f(x)的值域是[－1,3]． (2)由 g(x＋4)＝g(x)可得，函数 g(x)的周期 T＝4， g(1)＝f(1)＝－1，g(2)＝f(2)＝0， g(3)＝g(－1)＝－g(1)＝1， g(4)＝g(0)＝f(0)＝0， ∴g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0， 故 g(1)＋g(2)＋…＋g(2 017)＝g(1)＋504×0＝－1. 20．(12 分)如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，BC＝3，AB＝4，AC＝CC1＝5，M，N 分别是 A1B，B1C1 的中点．
答案：D
二、填空题(共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分)
【优化方案】高中人教A数学选修1-2同步测试卷：高中同步测试卷(八)(含答案解析)
高中同步测试卷(八)单元检测 复数代数形式的四则运算(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数1＋i 的共轭复数是( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i 2．已知i 是虚数单位，则3－i2＋i 等于( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i3．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位且a ＋bi ＝1－i2i ，则( )A ．a ＝－12，b ＝12B ．a ＝－12，b ＝－12C ．a ＝12，b ＝－12D ．a ＝12，b ＝124．复数z ＝2i －1，则图中表示z 的共轭复数的点可能是( )A ．PB ．RC ．KD ．H5．设z ＝1－aii ，若复数z 为纯虚数(其中i 是虚数单位)，则实数a 等于( )A ．－1B ．0C ．1 D.126．定义：⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d ＝ad －bc.若复数z 满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1 －i i ＝－1＋2i ，则z 等于( ) A ．1＋i B ．1－i C ．3＋i D ．3－i7．若复数z 满足|z －i|＋|z ＋3|＝10，则复数z 在复平面内对应的点的集合表示图形( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．圆 8.如图所示在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i ，0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( )A ．3＋iB ．3－iC ．1－3iD ．－1＋3i9．设z 1，z 2为复数，则下列四个结论中正确的是( )A ．若z 21＋z 22>0，则z 21>－z 22 B ．|z 1－z 2|＝（z 1＋z 2）2－4z 1z 2 C ．z 21＋z 22＝0⇔z 1＝z 2＝0D ．z 1－z 1是纯虚数或零10．已知f(n)＝i n －i －n (n ∈N *)，则集合{f(n)}中元素的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个 11．已知i 为虚数单位，且1＋3i3＋i＝cos θ＋isin θ(0<θ<π)，则θ的值为( ) A.π6 B.π2 C.π3 D.2π312．已知函数f(x)＝x 21＋x 2，那么f(1)＋f(2i)＋f(12i )＋f(3i)＋f(13i )＋f(4i)＋f(14i )等于( ) A.72 B.32 C.12 D ．213．已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝______．14.⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i （－4＋3i ）（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（1＋2i ）＝________． 15．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则z ＝z 2z 1在复平面内所对应的点位于第________象限．16．对于任意两个复数z 1＝x 1＋y 1i ，z 2＝x 2＋y 2i(x 1，y 1，x 2，y 2∈R)，定义运算“⊙”：z 1⊙z 2＝x 1x 2＋y 1y 2.设非零复数ω1，ω2在复平面内对应的点分别为P 1，P 2，点O 为坐标原点，若ω1⊙ω2＝0，则在△P 1OP 2中，∠P 1OP 2的大小为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z ＝（1＋3）＋（1－3）i 4＋4i ，求z －及1z .18．(本小题满分12分)实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭复数； (3)对应的点在x 轴上方．19.(本小题满分12分)已知复数z 满足|z|＝1，求|z ＋1＋3i|的最值．20．(本小题满分12分)设z ＝log 2(1＋m)＋ilog 12(3－m)(m ∈R)．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值．21.(本小题满分12分)已知a ∈R ，则z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应的点的轨迹是什么？22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋9＋ai ＝0(a ∈R)有实数根b. (1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足|z －－a －bi|＝2|z|，求z 为何值时，|z|有最小值并求出最小值．参考答案与解析1．[导学号28910047] 【解析】选D.z ＝1＋i 的共轭复数z －＝1－i. 2．【解析】选D.3－i 2＋i ＝（3－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝6－5i ＋i 25＝1－i.3．[导学号28910048] 【解析】选B.a ＋bi ＝1－i 2i ＝（1－i ）i 2i 2＝i －i 2－2＝i ＋1－2＝－12－12i. 4．【解析】选A.z ＝2i －1＝2（i ＋1）（i －1）（i ＋1）＝2（i ＋1）－2＝－1－i ，z 的共轭复数z －＝－1＋i ，对应的点为(－1，1)．5．[导学号28910049] 【解析】选B.z ＝1－ai i ＝（1－ai ）i i 2＝i ＋a－1＝－a －i.若z 为纯虚数，则a ＝0.6．【解析】选A.由已知可得⎪⎪⎪⎪⎪⎪z1－i i ＝zi ＋i ＝－1＋2i ， ∴z ＝－1＋i i ＝（－1＋i ）i i 2＝－i －1－1＝1＋i.7．[导学号28910050] 【解析】选B.根据复数的模的几何意义，结合平面解析几何的知识即可．8．【解析】选D.OC →＝OA →＋OB →＝1＋2i －2＋i ＝－1＋3i ，所以C 对应的复数为－1＋3i. 9．[导学号28910051] 【解析】选D.举例说明：若z 1＝4＋i ，z 2＝2－2i ，则z 21＝15＋8i ，z 22＝－8i ，z 21＋z 22>0，但z 21与－z 22都是虚数，不能比较大小，A 错；因为|z 1－z 2|2≠(z 1－z 2)2，故|z 1－z 2|与（z 1＋z 2）2－4z 1z 2不一定相等，B 错；若z 1＝2＋i ，z 2＝1－2i ，则z 21＝3＋4i ，z 22＝－3－4i ，z 21＋z 22＝0，但z 1＝z 2＝0不成立，C 错；设z 1＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z 1＝a －bi ，故z 1－z －1＝2bi ，当b ＝0时是零，当b≠0时，是纯虚数，故D 正确．10．【解析】选B.f(1)＝i －i －1＝i －1i ＝2i ，f(2)＝i 2－i －2＝0，f(3)＝i 3－i －3＝－2i ，f(4)＝i 4－i －4＝0，f(5)＝i 5－i －5＝2i ，f(6)＝i 6－i －6＝0，…由此看出集合{f(n)}中含有3个元素：2i ，0，－2i.故选B.11．[导学号28910052] 【解析】选A.等式左边化简得32＋12i ，由复数相等得cos θ＝32，sin θ＝12.因为0<θ<π，所以θ＝π6.12．【解析】选A.f(1)＝121＋12＝12，f(x)＋f(1x )＝x 21＋x 2＋1x 21＋1x2＝1.f(1)＋f(2i)＋f(12i )＋f(3i)＋f(13i )＋f(4i)＋f(14i )＝12＋1＋1＋1＝72.13．[导学号28910053] 【解析】∵(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，∴z 1＝2－i.设z 2＝a ＋2i ，a ∈R ，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a)i.∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4，∴z 2＝4＋2i. 【答案】4＋2i14．【解析】⎪⎪⎪⎪⎪⎪2i （－4＋3i ）（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（1＋2i ）＝|2i|·|－4＋3i|·|1＋i||3＋i|·|3－i|·|1＋2i| ＝2×5×22×2×5＝52. 【答案】5215．【解析】z ＝z 2z 1＝1＋2i 2＋i ＝（1＋2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝4＋3i5，故z 在复平面内所对应的点在第一象限．【答案】一16．【解析】设ω1＝a 1＋b 1i ，ω2＝a 2＋b 2i(a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，a 1，b 1不同时为0，a 2，b 2不同时为0)，故得点P 1(a 1，b 1)，P 2(a 2，b 2)，且a 1a 2＋b 1b 2＝0.|OP 1|2＝|ω1|2＝a 21＋b 21，|OP 2|2＝|ω2|2＝a 22＋b 22，|P 1P 2|2＝|ω1－ω2|2＝|(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i|2＝a 21＋b 21＋a 22＋b 22－2(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21＋a 22＋b 22＝|OP 1|2＋|OP 2|2.由勾股定理的逆定理知∠P 1OP 2＝π2. 【答案】π217．【解】∵z ＝（1＋3）＋（1－3）i4＋4i＝[（1＋3）＋（1－3）i]（1－i ）4（1＋i ）（1－i ）＝（1＋3）＋（1－3）i －（1＋3）i ＋（1－3）8＝2－23i 8＝1－3i 4，∴z －＝1＋3i 4，1z ＝41－3i ＝1＋3i.18．【解】(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之，得m ＝－1.(2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之，得m ＝1. (3)根据复数z 对应的点在x 轴上方可得m 2－2m －15>0，解之，得m<－3或m>5.19.【解】法一：|z|＝1表示圆心在原点O(0，0)，半径为1的圆．|z ＋1＋3i|＝|z －(－1－3i)|表示圆O 上的点到点Z 0(－1，－3)的距离． 连接Z 0O 并延长，交圆O 于Z 1，Z 2两点(如图)． ∵|OZ 0|＝|－1－3i|＝2，∴|z ＋1＋3i|的最小值就是点Z 0到原点的距离减去半径长，即|Z 0Z 1|＝2－1＝1； 最大值就是点Z 0到原点的距离加上半径长，即|Z 0Z 2|＝2＋1＝3. 法二：∵||z 1|－|z 2||≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|， ∴|z ＋1＋3i|≤|z|＋|1＋3i|＝1＋2＝3， 且|z ＋1＋3i|≥||z|－|1＋3i||＝|1－2|＝1. ∴1≤|z ＋1＋3i|≤3.即|z ＋1＋3i|的最大值为3，最小值为1.20．【解】(1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧log 2（1＋m ）<0，log 12（3－m ）<0，1＋m>0，3－m>0，解不等式组得－1<m<0， 即m 的取值范围是(－1，0)．(2)由已知得，点(log 2(1＋m)，log 12(3－m))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m)－log 12(3－m)－1＝0，∴log 2[(1＋m)(3－m)]＝1， ∴(1＋m)(3－m)＝2， ∴m 2－2m －1＝0.∴m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m>0，且3－m>0， ∴m ＝1±2.21．【解】由题可知a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1， ∴复数z 的实部为正数，虚部为负数．因此，复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2），消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x≥3)．∴复数z 对应的点的轨迹是一条射线，相应的方程为y ＝－x ＋2(x≥3)． 22．【解】(1)将b 代入题设方程，整理得(b 2－6b ＋9)＋(a －b)i ＝0， 则b 2－6b ＋9＝0，且a －b ＝0，解得a ＝b ＝3.(2)设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则(x －3)2＋(y ＋3)2＝4(x 2＋y 2)， 即(x ＋1)2＋(y －1)2＝8.∴点Z 在以(－1，1)为圆心，22为半径的圆上．画图可知(图略)，z ＝1－i 时，|z|min ＝ 2.。
人教a版高中数学选修21全册同步练习及单元检测含答案
答案： 一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0) 此方程有两个不相等的实数根
假
三、解答题 ( 每小题 10 分，共 20 分 )
7．指出下列命题的条件 p 和结论 q： (1) 若 x＋ y 是有理数，则 x， y 都是有理数；
(2) 如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．
1
1
∴ a＋1≥１且 a≤ 2，即 0≤ a≤ 2.
1 ∴满足条件的 a 的取值范围为 0， 2 .
4 8．求证： 0≤ a< 是不等式
ax2－ ax＋1－ a>0 对一切实数
x 都成立的充要条件．
5
4 证明： 充分性：∵ 0<a< ，
5 ∴ Δ＝a2－ 4a(1 －a) ＝ 5a2－ 4a＝ a(5 a－4)<0 ， 则 ax2－ ax＋ 1－ a>0 对一切实数 x 都成立． 而当 a＝ 0 时，不等式 ax2－ax＋ 1－ a>0 可变成 1>0.
x 都成立的充要条件．
尖子生题库 ☆☆☆ 9． (10 分 ) 已知条件 p： A＝ { x|2 a≤ x≤ a2＋ 1} ，条件 q： B＝{ x| x2－ 3( a＋ 1) x＋2(3 a＋ 1) ≤0} ．若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 解析： 先化简 B， B＝ { x|( x－ 2)[ x－ (3 a＋1)] ≤0} ，
答案： (1)(2)(3)
x 6．设集合 A＝ x| x－1<0 ，B＝ { x|0< x<3} ，那么“ m∈ A”是“ m∈ B”的 ________条件．
x
解析：
A＝
x|
<0 x－ 1
【优化方案】高中人教A数学选修1-2同步测试卷：高中同步测试卷(一)(含答案解析)
高中同步测试卷(一) 章末检测 统计案例(A)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系； ②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法； ④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法． A ．①② B ．①②③ C ．①②④ D ．①②③④2．工人月工资(元)依劳动产值(千元)变化的回归直线方程为y ^＝60＋90x ，则下列判断正确的是( )A ．劳动产值为1 000元时，工资为50元B ．劳动产值提高1 000元时，工资提高150元C ．劳动产值提高1 000元时，工资提高90元D ．劳动产值为1 000元时，工资为90元 3．在2×2列联表中：数值a a ＋b 和c c ＋d 相差越大，则两个变量有关系的可能性就( )A ．越大B ．越小C ．无法判断D ．以上均不对 4．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②设有一个回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过点(x －，y －)；④在一个2×2列联表中，由计算得k ＝13.079，则有99%的把握确认这两个变量间有关系．其中错误的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．35．对100只白鼠进行某种激素试验，其中通过对雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表：由k ＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）≈5.56.则下列说法正确的是( )A ．在犯错的概率不超过0.1%的前提下认为“对激素敏感与性别有关”B ．在犯错的概率不超过0.1%的前提下认为“对激素敏感与性别无关”C ．有97.5%以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”D ．有97.5%以上的把握认为“对激素敏感与性别无关” 6．观察两个相关变量，数据如下表所示：A.y ^＝0.5x －1B.y ^＝xC.y ^＝2x ＋0.3D.y ^＝x ＋1 7．下列说法中：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选择的模型比较合适；②用相关指数可以刻画回归的效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟合效果越好．其中说法正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③8．春节期间，“厉行节约，反对浪费”之风悄然吹开，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：附：K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”9．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回归方程为y ^＝7.19x ＋73.93，若用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )A ．身高一定为145.83 cmB ．身高大于145.83 cmC ．身高小于145.83 cmD ．身高在145.83 cm 左右10．已知数组(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x 10，y 10)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，则“(x 0，y 0)满足线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^”是“x 0＝x 1＋x 2＋…＋x 1010，y 0＝y 1＋y 2＋…＋y 1010”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．对两个变量x 与y 进行回归分析，得到一组样本数据：(1，1)，(2，1.5)，(4，3)，(5，4.5)，若甲同学根据这组数据得到回归模型1：y ＝x －1，乙同学根据这组数据得到回归模型2：y ＝12x ＋12，则( )A ．模型1的拟合精度高B ．模型2的拟合精度高C ．模型1和模型2的拟合精度一样D ．无法判断哪个模型的拟合精度高12．将三颗骰子各掷一次，记事件A 表示“三个点数都不相同”，事件B 表示“至少出现一个3点”，则概率P(A|B)等于( )A.91216B.518C.6091D.1213．为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P(K 2≥3.841根据表中数据，得到K 2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．14．某市居民2010－2014年家庭年平均收入x(单位：万元)与年平均支出y(单位：万元)的统计资料如下表：(填“正的”或“负的”)15．统计中有一个非常有用的统计量K 2，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表：则K 2的观测值k 16．某产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据：根据散点图分析，x 与y 具有线性相关关系，且线性回归方程为y ＝6.5x ＋a ^，则a ^的值为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名女同学，15名男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．这8名同学的数学、物理分数对应如下表：(1) (2)求y 与x 的线性回归方程(系数精确到0.01)，并指出某个学生数学83分，物理约为多少分？参考数据：x －＝77.5，y －≈85，∑8i ＝1(x i －x －)2≈1 050，∑8i ＝1(x i －x －)(y i －y －)≈688.18．(本小题满分12分)某中学对高二甲、乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲、乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如下表所示：(1)试分别估计两个班级的优秀率；(2)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并问能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助？参考公式及数据：K2＝n（ad－bc）（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.19．(本小题满分12分)已知某生物出生后体重和生长时间的关系如下表：(1)请画出上表数据的散点图；(2)求y关于x的回归方程；(3)请你用R2来检验(2)中的回归方程的拟合效果．20．(本小题满分12分)某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94，30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂21．(本小题满分12分)某高中课外活动小组调查了100名男生与100名女生报考文、理科的情况，图为其等高条形图．(1)作出2×2列联表；(2)利用独立性检验方法判断性别与报考文、理科是否有关系？若有关系，所得结论的把握有多大？22．(本小题满分12分)某公司利润y与销售总额x(单位：千万元)之间有如下对应数据：(1)(2)求回归直线方程；(3)估计销售总额为24千万元时的利润．参考答案与解析1．[导学号28910001] 【解析】选C.①②显然正确；由回归分析方法及概念知④正确． 2．【解析】选C.回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位．3．[导学号28910002] 【解析】选A.a a ＋b 与c c ＋d 相差越大，则两个变量有关系的可能性越大．4．【解析】选C.①方差反映一组数据的波动大小，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变，故①正确；②回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加一个单位时，y 平均减少5个单位，故②错误；③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －)，故③正确；④由计算得k ＝13.079，对照临界值表，可得其两个变量间有关系的可能性是99.9%，故④错误．综上知，错误的个数是2，故选C.5．[导学号28910003] 【解析】选C.k ≈5.56>5.024，所以有97.5%以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”．6．【解析】选B.因为x －＝－1－2－3－4－5＋5＋4＋3＋2＋110＝0，y －＝－0.9－2－3.1－3.9－5.1＋5＋4.1＋2.9＋2.1＋0.910＝0，回归直线y ^＝b ^x ＋a ^经过样本点的中心(x ，y)， 故选B.7．[导学号28910004] 【解析】选C.根据残差图的特征知①正确；根据残差的概念及残差平方和公式知③正确．8．【解析】选C.由2×2列联表得到 a ＝45，b ＝10，c ＝30，d ＝15， a ＋b ＝55，c ＋d ＝45，a ＋c ＝75， b ＋d ＝25，ad ＝675，bc ＝300，n ＝100， 代入K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），得K 2的观测值 k ＝100×（675－300）255×45×75×25≈3.030.因为2.706<3.030<3.841，所以有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”，故选C.9．[导学号28910005] 【解析】选D.用线性回归方程预测的不是精确值，而是估计值．当x ＝10时，y ＝145.83，只能说身高在145.83 cm 左右．故选D.10．【解析】选B.x 0，y 0为这10组数据的平均值，又因为线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －)，因此(x －，y －)一定满足线性回归方程，但满足线性回归方程的除了(x －，y －)外，可能还有其他样本点．11．[导学号28910006] 【解析】选A.b 1＝1>b 2＝12，r 1>r 2，所以选A.12．【解析】选C.三颗骰子各掷一次，点数共有6×6×6＝216种，事件B 表示“三次都没有出现3点”，共有5×5×5＝125种，则P(B)＝1－P(B －)＝1－125216＝91216，P(AB)＝5×4×3216＝518，所以P(A|B)＝P （AB ）P （B ）＝6091.13．【解析】由K 2≈4.844>3.841.故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 【答案】5%14．【解析】由表格所给的数据，可知居民家庭年平均收入x 越大，年平均支出y 也越大，故家庭年平均收入与年平均支出有正的线性相关关系．【答案】正的15．【解析】由2×2列联表，可得 k ＝n （ad －bc ）2（a ＋c ）（b ＋d ）（a ＋b ）（c ＋d ） ＝90×（12×36－33×9）221×69×45×45≈0.559.【答案】0.55916．【解析】∵x －＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y －＝30＋40＋60＋50＋705＝50，∴这组数据的样本点的中心是(5，50)，∵y ^＝6.5x ＋a ^，将样本点的中心代入得，a ^＝y －－6.5x －＝50－6.5×5＝17.5. 【答案】17.517．【解】(1)画样本散点图如下：由图可知：物理成绩y 与数学成绩x 之间是正相关关系．(2)从散点图中可以看出，这些点分布在一条直线附近，因此可以用公式计算．由∑8i ＝1(x i －x －)(y i －y －)≈688，∑8i ＝1(x i －x －)2≈1 050， 得b ^＝∑8i ＝1 （x i －x －）（y i －y －）∑8i ＝1（x i －x －）2＝6881 050≈0.66， 由x －＝77.5，y ≈85，得a ^＝y －－b ^x －＝85－0.66×77.5＝33.85， 所以线性回归方程为y ^＝0.66x ＋33.85. 当x ＝83时，y ^＝0.66×83＋33.85＝88.63≈89， 因此某学生数学83分时，物理约为89分．18．【解】(1)由题意知，甲、乙两班均有学生50人，甲班优秀人数为30人， 优秀率为3050＝60%，乙班优秀人数为25人，优秀率为2550＝50%，所以甲、乙两班的优秀率分别为60%和50%. (2)2×2列联表如下：因为K 2＝100×（30×25－20×25）50×50×55×45＝10099≈1.010<1.323.因此，不能在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助．19．【解】(1)根据表格中数据画出散点图如图所示：(2)由散点图知，样本点呈条状分布，因此可以用线性回归方程来拟合． ∵x －＝2，y －＝57.2，＝603－5×2×57.230－5×4＝3.1，a ^＝y －－b ^x －＝57.2－3.1×2＝51， ∴所求的线性回归方程为y ^＝3.1x ＋51. (3)∵R 2＝＝1－（50－51）2＋（55－54.1）2＋（58－57.2）2＋（60－60.3）2＋（63－63.4）2（50－57.2）2＋（55－57.2）2＋（58－57.2）2＋（60－57.2）2＋（63－57.2）2≈1－0.027 3 ＝0.972 7，∴线性回归方程y ^＝3.1x ＋51的拟合精度高，效果好．20．【解】(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%； 乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%.(2)填表如下：k ＝1 000×（360×180－320×140）500×500×680×320≈7.35>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”．21．【解】(1)由男、女生各100人等高条形图可知报考文科的男生有100×0.4＝40人，报考文科的女生有100×0.6＝60人，∴报考理科的男生有100－40＝60人，报考理科的女生有100－60＝40人， 所以2×2列联表如下：(2)由公式计算K 2k ＝200×（40×40－60×60）2100×100×100×100＝8>7.879，又由临界值表知P(K 2≥7.879)≈0.005，所以我们有99.5%的把握认为报考文理科与性别有关系． 22．【解】(1)散点图如图所示，(2)x －＝17×(10＋15＋17＋20＋25＋28＋32)＝21，y －＝17×(1＋1.3＋1.8＋2＋2.6＋2.7＋3.3)＝2.1，∑7i ＝1x 2i ＝102＋152＋172＋202＋252＋282＋322＝3 447， ∑7i ＝1x i y i ＝10×1＋15×1.3＋17×1.8＋20×2＋25×2.6＋28×2.7＋32×3.3＝346.3，b ^＝∑7i ＝1x i y i －7x －y －∑7i ＝1x 2i －7x 2＝346.3－7×21×2.13 447－7×212≈0.104，a ^＝y －－b ^x －＝2.1－0.104×21 ＝－0.084.所以y ^＝0.104x －0.084.(3)把x ＝24(千万元)代入方程得，y ^＝2.412(千万元)． 所以估计销售总额为24千万元时，利润为2.412千万元．。
【人教A版】2021年高中数学选修1-2(全集)同步练习汇总+章节测试卷汇总
（人教A版）高中数学选修1-2（全册）同步练习汇总+章节测试卷汇总课时作业31一、选择题1．[2013·北京通州一模]对两个变量y 和x 进行回归分析, 得到一组样本数据: (x 1, y 1), (x 2, y 2), …, (x n , y n ), 则下列说法中不正确的是( )A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x , y ) B ．残差平方和越小的模型, 拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果, R 2的值越小, 说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数r ＝－0.9362, 则变量y 与x 之间具有线性相关关系 解析: R 2的值越大, 说明残差平方和越小, 也就是说模型的拟合效果越好, 故选C. 答案: C2．[2014·烟台高二检测]甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验, 并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表:A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析: 由表可知, 丁同学的相关系数r 最大且残差平方和m 最小, 故丁同学的试验结果体现A 、B 两变量更强的线性相关性．答案: D3．甲、乙、丙、丁4位同学各自对A 、B 两变量做回归分析, 分别得到散点图与残差平方和 i ＝1n(y i －y ^i )2, 如下表:A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析: 根据线性相关知识知, 散点图中各样本点条状分布越均匀, 同时保持残差平方和越小(对于已经获取的样本数据, R 2表达式中∑i ＝1n(y i －y )2为确定的数, 则残差平方和越小, R 2越大), 由回归分析建立的线性回归模型的拟合效果就越好, 由试验结果知丁要好些．答案: D4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为9.4, 据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析: 由表可计算x ＝4＋2＋3＋54＝72, y ＝49＋26＋39＋544＝42, 因为点(72, 42)在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上, 且b ^为9.4, 所以42＝9.4×72＋a ^, 解得a ^ ＝9.1, 故回归方程为y ^ ＝9.4x ＋9.1, 令x ＝6得y ^＝65.5, 选B.答案: B 二、填空题5．面对竞争日益激烈的消费市场, 众多商家不断扩大自己的销售市场, 以降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量(单位: 千箱)与单位成本的资料进行线性回归分析, 结果如下: x ＝72, y ＝71, ∑i ＝16x 2i ＝79, ∑i ＝16x i y i ＝1481.b ^ ＝1481－6×72×7179－6×(72)2≈－1.8182,a ^ ＝71－(－1.8182)×72≈77.36, 则销量每增加1000箱, 单位成本下降__________元．解析: 由上表可得, y ^＝－1.8182x ＋77.36, 销量每增加1千箱, 则单位成本下降1.8182元．答案: 1.81826．已知回归直线的斜率的估计值为 1.23.样本点的中心为(4,5), 则回归直线方程是________．解析: 由斜率的估计值为 1.23, 且回归直线一定经过样本点的中心(4,5), 可得y ^－5＝1.23(x －4),即y ^＝1.23x ＋0.08. 答案: y ^ ＝1.23x ＋0.087．[2014·宁夏吴忠模拟]某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系, 随机统计了某4天的用电量与当天气温, 并制作了对照表:由表中数据得线性回归方程y ＝b x ＋a 中b ＝－2, 预测当气温为－4℃时, 用电量的度数约为________．解析: x ＝10, y ＝40, 回归方程过点(x , y ), ∴40＝－2×10＋a ^. ∴a ^＝60.∴y ^＝－2x ＋60.令x ＝－4, ∴y ^＝(－2)×(－4)＋60＝68. 答案: 68 三、解答题8．某地最近十年粮食需求量逐年上升, 下表是部分统计数据:(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ; (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．解: (1)由所给数据看出, 年需求量与年份之间是近似直线上升, 下面来求回归直线方程, 先将数据预处理如下:x ＝0, y ＝3.2, b ^＝6.5,a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果知, 所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2006)＋a ^＝6.5(x －2006)＋3.2. 即y ^ ＝6.5(x －2006)＋260.2.(2)利用所求得的直线方程, 可预测2012年的粮食需求量为6．5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．9．[2013·重庆高考]从某居民区随机抽取10个家庭, 获得第i 个家庭的月收入x i (单位: 千元)与月储蓄y i (单位: 千元)的数据资料, 算得∑i ＝110x i ＝80, ∑i ＝110y i ＝20, ∑i ＝110x i y i ＝184, ∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^ ＝b ^x ＋a ^ ; (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;(3)若该居民区某家庭月收入为7千元, 预测该家庭的月储蓄． 附: 线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中,b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2, a ^ ＝y －b ^x ,其中x , y 为样本平均值, 线性回归方程也可写为y ^ ＝b ^ x ＋a ^.解: (1)由题意知n ＝10, x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8, y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2, 又∑i ＝1n x 2i －n x 2＝720－10×82＝80, ∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24,由此得b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝2480＝0.3, a ^ ＝y －b ^ x ＝2－0.3×8＝－0.4, 故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ^＝0.3>0), 故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．课时作业32一、选择题1．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k, 下列说法正确的是()A. k越大, “X与Y有关系”的可信程度越小B. k越小, “X与Y有关系”的可信程度越小C. k越接近于0, “X与Y没有关系”的可信程度越小D. k越大, “X与Y没有关系”的可信程度越大解析: k越大, “X与Y没有关系”的可信程度越小, 则“X与Y有关系”的可信程度越大．即k越小, “X与Y有关系”的可信程度越小．答案: B2．分类变量X和Y的列联表如下:A. ad－bc越小, 说明X与Y关系越弱B. ad－bc越大, 说明X与Y关系越弱C. (ad－bc)2越大, 说明X与Y关系越强D. (ad－bc)2越接近于0, 说明X与Y关系越强解析: 对于同一样本, |ad－bc|越小, 说明X与Y之间关系越弱; |ad－bc|越大, 说明X与Y 之间的关系越强．答案: C3．[2014·广州高二检测]利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验, 现通过计算高中生的性别与喜欢数学课程列联表中的数据, 得到K 2≈5.12, 并且知道P (K 2≥3.841)≈0.05, 那么下列结论中正确的是( )A ．100个高中生中只有5个不喜欢数学B ．100个高中生中只有5个喜欢数学C ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下, 可以认为高中生的性别与喜欢数学课程有关系D ．在犯错误的概率不超过0.05的前提下, 可以认为高中生的性别与喜欢数学课程没有关系解析: 当K 2≈5.12时, P (K 2≥3.841)≈0.05, 说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为高中生性别与喜欢数学课程有关系．答案: C4．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查, 数据如表( ) A ．0.01 B ．0.005 C ．0.025 D ．0.001解析: K 2＝50×(18×15－8×9)226×24×27×23≈5.059>5.024.∵P (K 2≥5.024)＝0.025. ∴犯错误的概率不超过0.025. 答案: C 二、填空题5．下列说法正确的是__________．①对事件A 与B 的检验无关, 即两个事件互不影响 ②事件A 与B 关系越密切, K 2就越大③K 2的大小是判断事件A 与B 是否相关的唯一数据 ④若判定两事件A 与B 有关, 则A 发生B 一定发生解析: 对于①, 事件A 与B 的检验无关, 只是说两事件的相关性较小, 并不一定两事件互不影响, 故①错．②是正确的．对于③, 判断A 与B 是否相关的方式很多, 可以用列联表, 也可以借助于概率运算, 故③错．对于④, 两事件A与B有关, 说明两者同时发生的可能性相对来说较大, 但并不是A发生B一定发生, 故④错．答案: ②6．在一次独立性检验中, 有300人按性别和是否色弱分类如下表:由此表计算得解析: 代入K2公式计算即可．答案: 3.247．[2013·广东湛江一模]为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关, 对该班50名学生进行了问卷调查, 得到了如下的2×2列联表:(请用百分数表示)．附: K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)解析: K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20≈8.333>7.879, 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为喜爱打篮球与性别有关．答案: 0.5%三、解答题8．为了调查胃病是否与生活规律有关, 在某地对540名40岁以上的人进行了调查, 结果是: 患胃病者生活不规律的共60人, 患胃病者生活规律的共20人, 未患胃病者生活不规律的共260人, 未患胃病者生活规律的共200人．(1)根据以上数据列出2×2列联表;(2)在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系吗? 为什么?解: (1)由已知可列2×2列联表:(2)k ＝540×(20×260－200×60)2220×320×80×460≈9.638.因为9.638>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．9．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系, 随机抽取了189名员工进行调查, 所得数据如下表所示:解: 计算K 2的观测值k ＝ 189×(54×63－32×40)294×95×86×103≈10.759.由于10.759>7.879, 所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下, 可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．课时作业33一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误．．的是()A．归纳推理是由一般到一般的推理过程B．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程C．归纳推理得出的结论不一定正确D．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能解析: 由归纳推理的定义与特征可知选项A错误, 选项B, C, D均正确, 故选A. 答案: A2．定义A*B, B*C, C*D, D*B依次对应下列4个图形:那么下列4个图形中,可以表示A*D, A*C的分别是()A. 1,2B. 1,3C. 2,4D. 1,4解析: 由①②③④可归纳得出: 符号“*”表示图形的叠加, 字母A代表竖线, 字母B代表大矩形, 字母C代表横线, 字母D代表小矩形, ∴A*D是图2, A*C是图4.答案: C3．观察下列数表规律则数2014的箭头方向是()解析: 因上行偶数是首项为2, 公差为4的等差数列, 若2014在上行, 则2014＝2＋(n －1)·4⇒n ＝504∈N *.故2014在上行, 又因为在上行偶数的箭头为, 故选A.答案: A4．观察(x 2)′＝2x , (x 4)′＝4x 3, (cos x )′＝－sin x , 由归纳推理可得: 若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x ), 记g (x )为f (x )的导函数, 则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析: 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容, 由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数,∴g (－x )＝－g (x ), 选D, 体现了对学生观察能力, 概括归纳推理的能力的考查． 答案: D 二、填空题5．观察下列等式: 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2, …根据上述规律, 第四个等式．．．．．为__________． 解析: 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2, …, 所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2. 答案: 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)26．设{a n }是首项为1的正数项数列, 且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *), 经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．解析: 由首项为1, 得a 1＝1;由n ＝1时, 由2a 22－1＋a 2＝0, 得a 2＝12; 当n ＝2时, 由3a 23－2(12)2＋12a 3＝0,即6a 23＋a 3－1＝0, 解得a 3＝13; …归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n (n ∈N *)．答案: a n ＝1n(n ∈N *)7．[2013·湖北高考]古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1,3,6,10, …, 第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n , k )(k ≥3), 以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式:三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ,正方形数 N (n,4)＝n 2, 五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ,六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ,............可推测N (n , k )的表达式, 由此计算N (10,24)＝________.解析: 首先将三、四、五、六边形数中第n 个数的表达式分别通分, 化成分母统一为2的形式如下:三角形数: N (n,3)＝12n 2＋12n ＝n 2＋n2＝(3－2)n 2＋(4－3)n2;正方形数: N (n,4)＝n 2＝(4－2)n 2＋(4－4)n2;五边形数: N (n,5)＝3n 22－12n ＝(5－2)n 2＋(4－5)n 2;六边形数: N (n,6)＝2n 2－n ＝4n 2－2n2＝(6－2)n 2＋(4－6)n2;....根据以上规律总结, 推测: N (n , k )＝(k －2)n 2＋(4－k )n2.故N (10,24)＝(24－2)×102＋(4－24)×102＝1000.答案: 1000三、解答题8．已知数列{a n }满足条件(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)·a n －n －1, 且a 2＝6, 设b n ＝a n ＋n (n ∈N *), 猜想数列{b n }的通项公式．解: a 1＝1, a 2＝6, a 3＝15, a 4＝28, b 1＝2, b 2＝8, b 3＝18, b 4＝32.可以通过求数列{a n }的通项公式来求数列{b n }的通项公式． 我们发现a 1＝1＝1×1; a 2＝6＝2×3; a 3＝15＝3×5; a 4＝28＝4×7; …, 猜想a n ＝n ×(2n －1), 进而猜想b n ＝2n 2－n ＋n ＝2n 2. 9．观察下列各式:sin 230°＋cos 260°＋sin30°cos60°＝34;sin 240°＋cos 270°＋sin40°cos70°＝34;sin 215°＋cos 245°＋sin15°cos45°＝34,分析以上各式的共同特点, 根据其特点写出能反映一般规律的等式, 并对等式是否正确加以证明．解: 反映一般规律的等式是:sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝34.(表达形式不唯一)该等式是正确的, 证明如下: sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝sin 2α＋(cos αcos30°－sin αsin30°)2＋sin α(cos αcos30°－sin αsin30°) ＝sin 2α＋⎝⎛⎭⎫32cos α－12sin α2＋32sin α·cos α－12sin 2α ＝sin 2α＋34cos 2α＋14sin 2α－32sin αcos α＋32sin αcos α－12sin 2α＝34(sin 2α＋cos 2α)＝34.课时作业34一、选择题1．下列平面图形中, 与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析: 只有平行四边形与平行六面体较为接近．答案: C2．类比平面内正三角形的“三边相等, 三内角相等”的性质, 可推知正四面体的下列哪些性质, 你认为比较恰当的是()①各棱长相等, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等②各个面都是全等的正三角形, 相邻两个面所成的二面角都相等③各个面都是全等的正三角形, 同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A．①B．①②C．①②③D．③解析: 正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比, 正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比, 故①②③都对．答案: C3．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间, 结论仍然正确的是()A．如果一条直线与两条平行线中的一条相交, 则也与另一条相交B．如果一条直线与两条平行线中的一条垂直, 则也与另一条垂直C．如果两条直线同时与第三条直线相交, 则这两条直线相交或平行D．如果两条直线同时与第三条直线垂直, 则这两条直线平行解析: 推广到空间以后, 对于A, 还有可能异面, 对于C还有可能异面, 对于D, 还有可能异面．答案: B4．已知结论: “在正三角形ABC 中, 若D 是BC 边的中点, G 是三角形ABC 的重心, 则AGGD＝2”．若把该结论推广到空间, 则有结论: 在棱长都相等的四面体A －BCD 中, 若ΔBCD 的中心为M , 四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等, 则AOOM＝( )A. 1B. 2C. 3D. 4解析: 面的重心类比几何体重心, 平面类比空间, AG GD ＝2类比AO OM ＝3, 故选C. 答案: C 二、填空题5．在平面直角坐标系xOy 中, 二元一次方程Ax ＋By ＝0(A , B 不同时为0)表示过原点的直线．类似地: 在空间直角坐标系O －xyz 中, 三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A , B , C 不同时为0)表示__________________．解析: 由方程的特点可知: 平面几何中的直线类比到立体几何中应为平面, “过原点”类比仍为“过原点”, 因此应得到: 在空间直角坐标系O －xyz 中, 三元一次方程Ax ＋By ＋Cz ＝0(A , B , C 不同时为0)表示过原点的平面．答案: 过原点的平面6．[2014·潍坊质检]在平面几何中有如下结论: 若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1, 外接圆面积为S 2, 则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论: 若正四面体A －BCD 的内切球体积为V 1, 外接球体积为V 2, 则V 1V 2＝________.解析: 平面几何中, 圆的面积与圆半径的平方成正比, 而在空间几何中, 球的体积与半径的立方成正比, 设正四面A －BCD 的棱长为a , 可得其内切球的半径为612a , 外接球的半径为64a , 则V 1V 2＝127. 答案:1277．给出下列推理:(1)三角形的内角和为(3－2)·180°, 四边形的内角和为(4－2)·180°, 五边形的内角和为(5－2)·180°, …所以凸n 边形的内角和为(n －2)·180°;(2)三角函数都是周期函数, y ＝tan x 是三角函数, 所以y ＝tan x 是周期函数;(3)狗是有骨骼的; 鸟是有骨骼的; 鱼是有骨骼的; 蛇是有骨骼的; 青蛙是有骨骼的, 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物, 所以, 所有的动物都是有骨骼的;(4)在平面内如果两条直线同时垂直于第三条直线, 则这两条直线互相平行, 那么在空间中如果两个平面同时垂直于第三个平面, 则这两个平面互相平行．其中属于合情推理的是__________．(填序号)解析: 根据合情推理的定义来判断．因为(1)(3)都是归纳推理, (4)是类比推理, 而(2)不符合合情推理的定义, 所以(1)(3)(4)都是合情推理．答案: (1)(3)(4) 三、解答题8．在公差为3的等差数列{a n }中, 若S n 是{a n }的前n 项和, 则有S 20－S 10, S 30－S 20, S 40－S 30也成等差数列, 且公差为300.类比上述结论, 相应的在公比为4的等比数列{b n }中, 若T n 是b n 的前n 项积, 试得出类似结论并证明．解: 类比等差数列可得等比数列对应性质:在公比为4的等比数列{b n }中, T n 表示b n 的前n 项积, 则T 20T 10, T 30T 20, T 40T 30也成等比数列且公比为4100.证明如下: T n ＝b 1b 2…b n ＝b 1·b 1q ·b 1q 2…b 1q n －1＝b n 1q0＋1＋2＋…＋(n －1)＝＝,∴T 10＝b 101·445, T 20＝b 2014190, T 30＝b 3014435, T 40＝b 4014780. ∴T 20T 10＝b 101·4145, T 30T 20＝b 1014245, T 40T 30＝b 1014345. 而b 1014245b 1014145＝4100, b 1014345b 1014245＝4100, ∴T 20T 10, T 30T 20, T 40T 30是以4100为公比的等比数列． 9．已知椭圆具有性质: 若M , N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点, 点P 是椭圆上任意一点, 当直线PM , PN 的斜率都存在, 并记为k PM , k PN 时, k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特征的性质, 并加以证明．解: 类似的性质为: 若M , N 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上关于原点对称的两个点, 点P 是双曲线上任意一点, 当直线PM , PN 的斜率都存在, 并记为k PM , k PN 时, 那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明: 设点M , P 的坐标分别为(m , n ), (x , y ), 则N (－m , －n )．因为点M (m , n )在已知的双曲线上, 所以n 2＝b 2a 2m 2－b 2, 同理, y 2＝b 2a2x 2－b 2.则k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)．课时作业35一、选择题1．已知在△ABC 中, ∠A ＝30°, ∠B ＝60°, 求证: a <b . 证明:∵∠A ＝30°，∠B ＝60°，∴∠A <∠B .∴a <b .画框格部分是演绎推理的( ) A ．大前提 B ．小前提 C ．结论D ．三段论解析: 本题应用了三段论．大前提是大角对大边, 小前提是∠A <∠B .故选B. 答案: B2．下面几种推理是演绎推理的是( )A. 全等三角形的对应角相等, 如果△ABC ≌△A ′B ′C ′, 则A ＝A ′B. 某校高三(1)班有55人, (2)班有54人, (3)班有52人, 由此得高三各班的人数均超过50人C. 由平面内三角形的性质, 推测空间中四面体的性质D. 在数列{a n }中, a 1＝1, a n ＝12(a n －1＋1a n －1)(n ≥2), 由此猜想出{a n }的通项公式解析: B 项是归纳推理, C 项是类比推理, D 项是归纳推理． 答案: A3．指数函数都是增函数, 大前提 函数y ＝(1e )x 是指数函数, 小前提所以函数y ＝(1e )x 是增函数．结论上述推理错误的原因是( ) A. 大前提不正确B. 小前提不正确C. 推理形式不正确D. 大、小前提都不正确解析: 大前提错误．因为指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)． 在a >1时是增函数, 而在0<a <1时为减函数．故选A. 答案: A4．在R 上定义运算⊗: x ⊗y ＝x (1－y ), 若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意实数x 都成立, 则( )A. －1<a <1B. 0<a <2C. －12<a <32D. －32<a <12解析: (x －a )⊗(x ＋a )<1对任意x 恒成立 ⇔(x －a )[1－(x ＋a )]<1对任意x 恒成立 ⇔x 2－x －a 2＋a ＋1>0对任意x 恒成立 ⇔Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)<0⇔－12<a <32.答案: C 二、填空题5．已知推理: “因为△ABC 的三边长依次为3,4,5, 所以△ABC 是直角三角形”．若将其恢复成完整的三段论, 则大前提是________．解析: 大前提: 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形; 小前提: △ABC 的三边长依次为3,4,5满足32＋42＝52; 结论: △ABC 是直角三角形．答案: 一条边的平方等于其他两条边的平方和的三角形是直角三角形6．若不等式ax 2＋2ax ＋2<0的解集为空集, 则实数a 的取值范围为________．解析: ①a ＝0时, 有2<0, 显然此不等式解集为∅.②a ≠0时须有⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4a 2－8a ≤0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >0，0≤a ≤2. ∴0<a ≤2.综上可知实数a 的取值范围是[0,2]． 答案: [0,2]7．有些导演留大胡子, 因此, 有些留大胡子的人是大嗓门, 为使上述推理成立, 请补充大前提________________．解析: 利用“三段论”推理． 大前提: 所有导演是大嗓门, 小前提: 有些导演留大胡子, 结论: 有些留大胡子的人是大嗓门． 答案: 所有导演是大嗓门 三、解答题8．如下图所示, 在梯形ABCD 中, AB ＝DC ＝AD , AC 和BD 是对角线．求证: CA 平分∠BCD .证明: 等腰三角形两底角相等(大前提), △DAC 是等腰三角形, DA , DC 是两腰(小前提), ∴∠1＝∠2(结论)．两条平行线被第三条直线所截得的内错角相等(大前提), ∠1和∠3是平行线AD , BC 被AC 截出的内错角(小前提), ∴∠1＝∠3(结论)．等于同一个量的两个量相等(大前提),∠2和∠3都等于∠1(小前提),∴∠2＝∠3(结论),即CA平分∠BCD.9．(1)证明函数f(x)＝－x2＋2x在(－∞, 1]上是增函数;(2)判断函数f(x)＝－x2＋2x在区间[－5, －2]上的单调性, 并加以证明．(1)证法一: 任取x1, x2∈(－∞, 1], x1<x2,则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)(x2＋x1－2),∵x1<x2≤1,∴x2＋x1－2<0.∴f(x1)－f(x2)<0, ∴f(x1)<f(x2)．于是, 根据“三段论”可知,f(x)＝－x2＋2x在(－∞, 1]上是增函数．证法二: ∵f′(x)＝－2x＋2＝－2(x－1),当x∈(－∞, 1)时, x－1<0,∴－2(x－1)>0.∴f′(x)>0在x∈(－∞, 1)上恒成立．故f(x)在(－∞, 1]上是增函数．(2)解: f(x)在区间[－5, －2]上单调递增, 证明如下:∵由(1)可知f(x)在(－∞, 1]上是增函数,而[－5, －2]是区间(－∞, 1]的子区间,∴f(x)在[－5, －2]上是增函数．课时作业36一、选择题1．命题“对于任意角θ, cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明: “cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”, 其过程应用了()A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证法解析: 从证明过程来看, 是从已知条件入手, 经过推导得出结论, 符合综合法的证明思路．答案: B2．欲证2－3<6－7成立, 只需证()A. (2－3)2<(6－7)2B. (2－6)2<(3－7)2C. (2＋7)2<(3＋6)2D. (2－3－6)2<(－7)2解析: A中, 2－3<0, 6－7<0平方后不等价; B、D与A情况一样; 只有C项, 2－3<6－7⇔2＋7<6＋3⇔(2＋7)2<(6＋3)2.故选C.答案: C3．在△ABC中, A>B是cos2B>cos2A的()A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D ．必要不充分条件解析: ∵A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B (由正弦定理得), 又cos2B >cos2A ⇔1－2sin 2B >1－2sin 2A ⇔sin 2B <sin 2A ⇔sin B <sin A .∴A >B ⇔cos2B >cos2A .故选C. 答案: C4．已知a 、b 、c 、d 为正实数, 且a b <cd , 则( )A. a b <a ＋c b ＋d <c dB.a ＋cb ＋d <a b <cdC. a b <c d <a ＋c b ＋dD. 以上均可能解析: 先取特值检验, ∵a b <cd ,可取a ＝1, b ＝3, c ＝1, d ＝2, 则a ＋cb ＋d ＝25, 满足a b <a ＋c b ＋d <cd .∴B 、C 不正确．要证a b <a ＋c b ＋d , ∵a 、b 、c 、d 为正实数,∴只需证a (b ＋d )<b (a ＋c ), 即证ad <bc . 只需证a b <c d .而a b <cd 成立,∴a b <a ＋cb ＋d .同理可证a ＋c b ＋d <c d . 故A 正确, D 不正确． 答案: A 二、填空题5．设n ∈N , a ＝n ＋4－n ＋3, b ＝n ＋2－n ＋1, 则a , b 的大小关系是________． 解析: 要比较n ＋4－n ＋3与n ＋2－n ＋1的大小, 即判断(n ＋4－n ＋3)－(n ＋2－n ＋1)＝(n ＋4＋n ＋1)－(n ＋3＋n ＋2)的符号, ∵(n ＋4＋n ＋1)2－(n ＋3＋n ＋2)2 ＝2[(n ＋4)(n ＋1)－(n ＋3)(n ＋2)] ＝2(n 2＋5n ＋4－n 2＋5n ＋6)<0, ∴n ＋4－n ＋3<n ＋2－n ＋1. 答案: a <b6．已知p ＝a ＋1a －2(a >2), q ＝2－a 2＋4a －2(a >2), 则p 与q 的大小关系是________． 解析: p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4,－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2, ∴q <22＝4≤p . 答案: p >q7．若不等式(－1)na <2＋(－1)n ＋1n 对任意正整数n 恒成立, 则实数a 的取值范围是________．解析: 当n 为偶数时, a <2－1n , 而2－1n ≥2－12＝32, ∴a <32.当n 为奇数时, a >－2－1n , 而－2－1n <－2,∴a ≥－2.综上可得－2≤a <32.答案: [－2, 32)三、解答题8．设a , b >0, 且a ≠b , 求证: a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 证明: 综合法a ≠b ⇒a －b ≠0⇒(a －b )2>0 ⇒a 2－2ab ＋b 2>0⇒a 2－ab ＋b 2>ab . 注意到a , b ∈R ＋, a ＋b >0, 由上式即得 (a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)>ab (a ＋b )． ∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2.9．证明: 若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0, 则b 2－aca < 3.证明: ∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0, ∴a >0, c <0. 要证b 2－ac a <3,只需证b 2－ac <3a , 即证b 2－ac <3a 2. 因为b ＝－a －c ,故只需证(a ＋c )2－ac <3a 2, 即证2a 2－ac －c 2>0, 即证(2a ＋c )(a －c )>0.∵2a＋c>a＋b＋c＝0, a－c>0,∴(2a＋c)(a－c)>0成立．∴原不等式成立．课时作业37一、选择题1．否定结论“至多有两个解”的说法中, 正确的是()A．有一个解B．有两个解C．至少有三个解D．至少有两个解解析: 在逻辑中“至多有n个”的否定是“至少有n＋1个”, 所以“至多有两个解”的否定为“至少有三个解”, 故应选C.答案: C2．设a, b, c为正实数, P＝a＋b－c, Q＝b＋c－a, R＝c＋a－b, 则“PQR>0”是“P, Q, R 同时大于零”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析: 首先若P, Q, R同时大于零, 则必有PQR>0成立．其次, 若PQR>0, 则P, Q, R同时大于零或其中两个负数一个正数, 不妨假设P<0, Q<0, ∴a＋b－c<0, b＋c－a<0, ∴b<0与b 为正实数矛盾, 故P , Q , R 都大于0.故选C.答案: C3．已知f (x )是R 上的增函数, a , b ∈R , 下列四个命题: ①若a ＋b ≥0, 则f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ); ②若f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b ), 则a ＋b ≥0; ③若a ＋b <0, 则f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ); ④若f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b ), 则a ＋b <0. 其中真命题的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3D. 4解析: 易知①③正确．②用反证法: 假设a ＋b <0, 则a <－b , b <－a , ∴f (a )<f (－b ), f (b )<f (－a ), ∴f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )与条件矛盾, 故a ＋b ≥0, 从而②为真命题, ④类似于②用反证法．故选D.答案: D4．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值, 则( ) A. △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B. △A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是钝角三角形C. △A 1B 1C 1是钝角三角形, △A 2B 2C 2是锐角三角形D. △A 1B 1C 1是锐角三角形, △A 2B 2C 2是钝角三角形解析: 因为正弦值在(0°, 180°)内是正值, 所以△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值均大于0.因此△A 1B 1C 1是锐角三角形．假设△A 2B 2C 2也是锐角三角形, 并设cos A 1＝sin A 2, 则cos A 1＝cos(90°－∠A 2), 所以∠A 1＝90°－∠A 2.同理设cos B 1＝sin B 2, cos C 1＝sin C 2, 则有∠B 1＝90°－∠B 2, ∠C 1＝90°－∠C 2. 又∠A 1＋∠B 1＋∠C 1＝180°,∴(90°－∠A 2)＋(90°－∠B 2)＋(90°－∠C 2)＝180°, 即∠A 2＋∠B 2＋∠C 2＝90°. 这与三角形内角和等于180°矛盾, 所以原假设不成立．故选D. 答案: D 二、填空题5．用反证法证明“f (x )＝x 2＋px ＋q , 求证: |f (1)|, |f (2)|, |f (3)|中至少有一个不小于12”时的假设为________．解析: “至少有一个”的反设词为“一个也没有”． 答案: 假设|f (1)|, |f (2)|, |f (3)|都小于126．用反证法证明“一个三角形不能有两个钝角”有三个步骤: ①∠A ＋∠B ＋∠C >180°, 这与三角形内角和为180°矛盾, 故假设错误． ②所以一个三角形不能有两个钝角．③假设△ABC 中有两个钝角, 不妨设∠A >90°, ∠B >90°. 上述步骤的正确顺序为__________．解析: 根据反证法知, 上述步骤的正确顺序应为③①②. 答案: ③①②7．若下列两个方程x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0, x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根, 则实数a 的取值范围是______．解析: 假设两个一元二次方程均无实根, 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝(a －1)2－4a 2<0，Δ2＝(2a )2－4(－2a )<0，即⎩⎪⎨⎪⎧3a 2＋2a －1>0，a 2＋2a <0，解得{a |－2<a <－1}, 所以其补集{a |a ≤－2或a ≥ －1}即为所求的a 的取值范围． 答案: {a |a ≤－2或a ≥－1} 三、解答题8．设{a n }, {b n }是公比不相等的两个等比数列, c n ＝a n ＋b n , 证明数列{c n }不是等比数列． 证明: 假设数列{c n }是等比数列, 利用{a n }, {b n }是公比不相等的等比数列的条件推出矛盾, 即知假设不成立．假设数列{c n }是等比数列, 则(a n ＋b n )2＝(a n －1＋b n －1)(a n ＋1＋b n ＋1)．①∵{a n }, {b n }是公比不相等的两个等比数列, 设公比分别为p , q , ∴a 2n ＝a n －1a n ＋1, b 2n ＝b n －1b n ＋1.代入①并整理, 得2a n b n ＝a n ＋1b n －1＋a n －1b n ＋1＝a n b n (p q ＋q p ),即2＝p q ＋q p.②当p , q 异号时, p q ＋qp<0, 与②相矛盾;当p , q 同号时, 由于p ≠q , ∴p q ＋qp >2, 与②相矛盾．故数列{c n }不是等比数列．9．已知a , b , c 是互不相等的实数, 求证: 由y ＝ax 2＋2bx ＋c , y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax＋b确定的三条抛物线至少有一条与x轴有两个不同的交点．证明: 假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x轴有两个不同的交点．由y＝ax2＋2bx＋c,y＝bx2＋2cx＋a,y＝cx2＋2ax＋b,得Δ1＝(2b)2－4ac≤0,且Δ2＝(2c)2－4ab≤0,且Δ3＝(2a)2－4bc≤0.同向不等式求和得4b2＋4c2＋4a2－4ac－4ab－4bc≤0,∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac≤0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2≤0.∴a＝b＝c.这与题设a, b, c互不相等矛盾,因此假设不成立, 从而命题得证．课时作业38一、选择题1．下列各数中, 纯虚数的个数是()3＋7, 23i,0i,8＋3i, (2＋3)i,0.618A. 0B. 1C. 2D. 3解析: 根据纯虚数的定义知, 23i, (2＋3)i 是纯虚数．答案: C2．复数(1＋3)i 的虚部是( ) A ．1 B. 3 C ．0D ．1＋ 3解析: (1＋3)i 为纯虚数, 故虚部为1＋ 3. 答案: D3．下列命题中, 正确命题的个数是( )①若x , y ∈C , 则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1; ②若a , b ∈R 且a >b , 则a ＋i>b ＋i; ③若x 2＋y 2＝0, 则x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2D ．3 解析: ①由于x , y ∈C ,所以x ＋y i 不一定是复数的代数形式, 不符合复数相等的充要条件, ①是假命题． ②由于两个虚数不能比较大小, ∴②是假命题． ③当x ＝1, y ＝i 时, x 2＋y 2＝0成立, ∴③是假命题． 答案: A4．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数, 则θ的值为( ) A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D.k π2＋π4(以上k ∈Z ) 解析: 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝0，2cos θ＋1≠0，得⎩⎨⎧2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4(k ∈Z )．答案: B 二、填空题5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数, 则a 的取值范围是________．解析: 若复数为纯虚数, 则有⎩⎪⎨⎪⎧|a －1|－1≠0，a 2－a －2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0且a ≠2，a ＝2或a ＝－1，∴a ＝－1.故复数不是纯虚数时a ≠－1. 答案: (－∞, －1)∪(－1, ＋∞)6．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1, 则实数x 的值(或取值范围)是________．解析: 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2－3x －2)>1.解得x ＝－2.答案: －27．已知2x －1＋(y ＋1)i ＝x －y ＋(－x －y )i, 则实数x 、y 的值分别为________、________. 解析: 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝x －y ，y ＋1＝－x －y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2. 答案: 3 －2 三、解答题8．已知M ＝{1, (m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}, P ＝{－1,1,4i}, 若M ∪P ＝P , 求实数m 的值． 解: ∵M ∪P ＝P , ∴M ⊆P .即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i. 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m ＝－1，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1; 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i 得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.9．当实数m 为何值时, z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数．解: 复数z 的实部为m 2－m －6m ＋3, 虚部为m 2＋5m ＋6.(1)复数z 是实数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝－3，m ≠－3⇔m ＝－2.∴当m ＝－2时复数z 为实数． (2)复数z 是虚数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0，即m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时复数z 为虚数． (3)复数z 是纯虚数的充要条件是:⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3且m ≠－3，m ≠－2且m ≠－3 ⇔m ＝3.∴当m ＝3时复数z 为纯虚数．课时作业39一、选择题1．若32<m <2, 则复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限解析: ∵32<m <2, ∴2m －2>0,3m －7<0.∴复数z ＝(2m －2)＋(3m －7)i 在复平面上对应的点位于第四象限． 答案: D2．已知复数z ＝a ＋3i(a ∈R )在复平面内对应的点位于第二象限, 且|z |＝2, 则复数z 等于( )A ．－1＋3iB ．1＋3iC ．－1＋3i 或1＋3iD ．－2＋3i解析: 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限, 所以a <0. 由|z |＝2知,a 2＋(3)2＝2, 解得a ＝±1.故a ＝－1, 所以z ＝－1＋3i. 答案: A3．复平面内, 向量OA →表示的复数为1＋i, 将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′―――→, 则向量O ′A ′―――→与点A ′对应的复数分别为( )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i解析: ∵OA →表示复数1＋i, ∴点A (1,1),将OA →向右平移一个单位, 将O ′A ′―――→对应1＋i, A ′(2,1), ∴点A ′对应复数2＋i. 故选C. 答案: C4．已知0<a <2, 复数z 的实部为a , 虚部为1, 则|z |的取值范围是( ) A ．(1, 3) B ．(1, 5) C ．(1,3)D ．(1,5) 解析: ∵|z |＝a 2＋1, a ∈(0,2), ∴|z |∈(1, 5)．故选B. 答案: B。
【优化方案】高中人教A数学选修1-2同步测试卷：高中同步测试卷(九)(含答案解析)
高中同步测试卷(九)章末检测 数系的扩充与复数的引入(A)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面四个命题：①－2i 是虚数，但不是纯虚数； ②任意两个复数都不能比较大小； ③x ＋yi ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1；④如果让实数a 与ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．已知i 是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝( ) A ．5－5i B ．7－5i C ．5＋5i D ．7＋5i3．已知z 1＝2－i ，z 2＝1＋3i ，则复数i z 1＋z 25的虚部为( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i4．若复数m(3＋i)－(2＋i)的模为17，则实数m ＝( ) A ．2 B ．－35 C ．－35或2 D.355．若复数i 满足z(1＋i)＝2i ，则在复平面内z 对应点的坐标是( ) A ．(1，1) B ．(1，－1) C ．(－1，1) D ．(－1，－1)6．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．复数z ＝1－cos θ＋isin θ(2π<θ<3π)的模为( ) A ．2cos θ2 B ．－2cos θ2 C ．2sin θ2 D ．－2sin θ28．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a ＝1”是“点M 在第四象限”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．设z 的共轭复数是z －，若z ＋z －＝2，z ·z －＝2，则z －z ＝( )A ．iB ．－iC ．±iD ．±110．若z ＝cos θ－isin θ(i 为虚数单位)，则使z 2＝－1的一个θ值是( ) A ．0 B.π2C ．πD ．2π11．下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题，其中真命题为( )p 1：|z|＝2；p 2：z 2＝2i ；p 3：z 的共轭复数为1＋i ；p 4：z 的虚部为－1. A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 2 C ．p 2，p 4 D ．p 3，p 412．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，且xi －y ＝－1＋i ，则(1＋i)x ＋y的值为( )A ．2B ．－2iC ．－4D ．2i13．i 为虚数单位，复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 3＝________．14．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z·z －＋z ＝________． 15．i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________．16．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋i)x ＋1＋i ＝0有实根，则实数m ＝________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知z ＝（4－3i ）2（－1＋3i ）10（1－i ）12，求|z|.18．(本小题满分12分)已知i 是虚数单位，m ，n ∈R ，且m(1＋i)＝1＋ni ，求⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋ni m －ni 2的值．19.(本小题满分12分)已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)． (1)求b 、c 的值； (2)1－i 也是方程的根吗？20．(本小题满分12分)已知复数z＝(2x＋a)＋(2－x＋a)i，x，a∈R，且a为常数，试求|z|的最小值g(a)的表达式．21.(本小题满分12分)已知z，ω为复数，(1＋3i)z为纯虚数，ω＝z2＋i，且|ω|＝52，求ω.22．(本小题满分12分)设复数z1＝(a2－4sin2θ)＋(1＋2cos θ)i，a∈R，θ∈(0，π)，z2在复平面内对应的点在第一象限，且z22＝－3＋4i.(1)求z2及|z2|；(2)若z1＝z2，求θ与a的值．参考答案与解析1．[导学号28910054] 【解析】选A.①－2i 是纯虚数；②当两个复数都是实数时可以比较大小；③x ＋yi ＝1＋i 的充要条件为x ＝y ＝1是错误的，因为没有表明x ，y 是否是实数；④当a ＝0时，没有纯虚数和它对应．故选A.2．【解析】选C.(2＋i)(3＋i)＝6＋5i ＋i 2＝5＋5i.3．[导学号28910055] 【解析】选A.i z 1＋z 25＝i2－i ＋1＋3i 5＝i （2＋i ）5＋15＋35i ＝i ，虚部为1.4．【解析】选C.依题意得(3m －2)2＋(m －1)2＝17，解得m ＝－35或m ＝2，故选C.5．[导学号28910056] 【解析】选A.z ＝2i1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2i （1－i ）2＝1＋i ，即对应的点为(1，1)．6．【解析】选B.由ab ＝0，得a ＝0或b ＝0，复数a ＋bi 为纯虚数，即a －bi 为纯虚数，则a ＝0且b≠0，故选B.7．[导学号28910057] 【解析】选 D.|z|＝（1－cos θ）2＋sin 2θ＝2－2cos θ＝4sin 2θ2，又2π<θ<3π，则π<θ2<3π2，sin θ2<0.故|z|＝－2sin θ2.8．【解析】选A.z ＝(a －2i)(1＋i)＝(a ＋2)＋(a －2)i ，则点M 的坐标为(a ＋2，a －2)，当a ＝1时，坐标为(3，－1)，即点M 在第四象限，若点M 在第四象限，而a ＝1却不一定成立，故“a ＝1”是“点M 在第四象限”的充分而不必要条件．9．[导学号28910058] 【解析】选C.设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z －＝a －bi ，由z ＋z －＝2，z ·z －＝2，得a ＝1，b ＝±1，所以z －z＝±i.10．【解析】选B.因为z 2＝(cos θ－isin θ)2＝cos 2θ－isin 2θ，又z 2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0，再由选项验证得θ＝π2.11．[导学号28910059] 【解析】选C.z ＝2－1＋i ＝2（－1－i ）（－1＋i ）（－1－i ）＝－2－2i 2＝－1－i ，所以|z|＝2，z 的虚部为－1，所以p 1错误，p 4正确．z 2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i ，所以p 2正确．z 的共轭复数为z ＝－1＋i ，所以p 3错误．所以选C.12．[导学号28910060] 【解析】选D.由xi －y ＝－1＋i 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－y ＝－1，所以x ＋y ＝2，(1＋i)x ＋y ＝(1＋i)2＝2i.13．【解析】⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 3＝⎝⎛⎭⎫－2i 23＝(－i)3＝i.【答案】i14．【解析】z ＝1－2i ，z －＝1＋2i ，z ·z －＋z ＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i ＝5＋1－2i ＝6－2i. 【答案】6－2i15．【解析】S ＝i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8， iS ＝i 2＋2i 3＋3i 4＋…＋7i 8＋8i 9，两式相减得(1－i)S ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 8－8i 9 ＝i （1－i 8）1－i－8i 9，∴S ＝i （1－i 8）（1－i ）2－8i 91－i ＝－8i 1－i ＝－8i （1＋i ）2＝4－4i. 【答案】4－4i16．【解析】设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋mx 0＋1)＋(x 0＋1)i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＋1＝0，x 0＋1＝0，解得m ＝2.【答案】217．【解】|z|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（4－3i ）2（－1＋3i ）10（1－i ）12＝|4－3i|2|－1＋3i|10|1－i|12＝52×210（2）12＝400. 18．【解】由m(1＋i)＝1＋ni ，得m ＋mi ＝1＋ni ，即m ＝1，n ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋ni m －ni 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝－1. 19．【解】(1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c ＝0， 即(b ＋c)＋(2＋b)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝2， ∴b 、c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)由(1)知方程x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边得 x 2－2x ＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i 也是方程的根．20．【解】|z|2＝(2x ＋a)2＋(2－x ＋a)2＝22x ＋2－2x＋2a(2x ＋2－x )＋2a 2，令t ＝2x ＋2－x ，则t≥2，且22x ＋2－2x＝t 2－2，从而|z|2＝t 2＋2at ＋2a 2－2＝(t ＋a)2＋a 2－2. 当－a≥2，即a≤－2时，g(a)＝a 2－2； 当－a<2，即a>－2时，g(a)＝（a ＋2）2＋a 2－2＝2|a ＋1|.综上可知，g(a)＝⎩⎨⎧a 2－2，a ≤－2，2|a ＋1|，a>－2.21．【解】设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则(1＋3i)z ＝a －3b ＋(3a ＋b)i ， 由题意得a ＝3b≠0，又因为|ω|＝⎪⎪⎪⎪z2＋i ＝52，所以|z|＝a 2＋b 2＝510.将a ＝3b 代入，解得a ＝15， b ＝5或a ＝－15，b ＝－5. 故ω＝±15＋5i2＋i＝±(7－i)．22．【解】(1)设z 2＝m ＋ni(m ，n ∈R)，则z 22＝(m ＋ni)2＝m 2－n 2＋2mni ＝－3＋4i ， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－n 2＝－3，2mn ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2， 或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2，所以z 2＝1＋2i 或z 2＝－1－2i.又因为z 2在复平面内对应的点在第一象限，所以z 2＝－1－2i 应舍去，故z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5.(2)由(1)知(a 2－4sin 2θ)＋(1＋2cos θ)i ＝1＋2i ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4sin 2θ＝1，1＋2cos θ＝2，解得cos θ＝12，因为θ∈(0，π)，所以θ＝π3，所以a 2＝1＋4sin 2θ＝1＋4×34＝4，a ＝±2.综上，θ＝π3，a ＝±2.。
人教A版高中数学选修1-1全册同步练习及单元检测含答案
人教版高中数学选修1～1 全册同步练习及检测目录1.1命题及其关系1.2充分条件与必要条件11.2充分条件与必要条件21.3_1.4试题1.3简单的逻辑联结词1.4全称量词与存在量词同步测试第1章《常用逻辑用语》单元测试（1）第1章《常用逻辑用语》单元测试（2）第1章《常用逻辑用语》单元测试（3）第1章《常用逻辑用语》单元测试（4）2.1椭圆《椭圆的几何性质》2.1椭圆2.2双曲线双曲线几何性质2.2双曲线双曲线及其标准方程2.3抛物线习题精选2.3抛物线抛物线及其标准方程第2章《圆锥曲线与方程》单元测试（1）第2章《圆锥曲线与方程》单元测试（2）3.1变化率与导数3.2.2导数的运算法则3.2导数的计算3.3.3函数的最大值与最小值3.3《导数在研究函数中的应用》3.4生活中的优化问题举例第3章《导数及其应用》单元测试（1）第3章《导数及其应用》单元测试（2）1.1 命题及其关系测试练习第1题. 已知下列三个方程24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.答案：312a a a⎧⎫--⎨⎬⎩⎭或，剠．第2题. 若a b c ∈R ，，，写出命题“200ac ax bx c <++=若则，”有两个相异实根的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.答案：逆命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈<R 有实根，则若，，，假；否命题：200ac ax bx c ++=若则，…（a b c ∈R ，，）没有实数根，假；逆否命题：()200ax bx c a b c ac ++=∈R 若没有两实根，则，，…，真．第3题. 在命题22a b a b >>若则“，”的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为.答案：3．第4题. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个钝角”时反设是.答案：假设三角形的内角中没有钝角．第5题. 命题“若0xy =，则0x =或0y =”的逆否命题是. 答案：若0x ≠且0y ≠，则0xy ≠．第6题. 命题“若a b ，>则55a b -->”的逆否命题是( ) (A)若a b ，<则55a b --<(B)若55a b --，>则a b >(C) 若a b ，…则55a b --… (D)若55a b --，…则a b …答案：Ｄ第7题. 命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的( )(A)逆命题 (B)否命题 (C)逆否命题 (D)无关命题答案：Ａ第8题. 命题“若60A ∠=，则ABC △是等边三角形”的否命题是( ) (A)假命题(B)与原命题同真同假(C)与原命题的逆否命题同真同假 (D)与原命题的逆命题同真同假答案：Ｄ第9题. ）(A) (B)是有理数(C) (D)答案：Ｄ第10题. 命题“对顶角相等”的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题是( ) (A)上述四个命题 (B)原命题与逆命题 (C)原命题与逆否命题 (D)原命题与否命题答案：Ｃ第11题. 原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是( ) (A)原命题是真命题 (B)逆命题是假命题 (C) 否命题是真命题 (D)逆否命题是真命题答案：Ｃ第12题. 命题“若a A b B ∈∈则，”的否定形式是( ) (A)a A b B ∉∉若则， (B)a A b B ∈∉若则， (C)a A b B ∈∈若则， (D)b A a B ∉∉若则，答案：Ｂ第13题. 与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是( ) (A)能被3整除的整数，一定能被6整除 (B)不能被3整除的整数，一定不能被6整除 (C)不能被6整除的整数，一定不能被3整除 (D)不能被6整除的整数，不一定能被3整除答案：Ｂ第14题. 下列说法中，不正确的是( ) (A)“若p q 则”与“若q p 则”是互逆的命题 (B)“若非p q 则非“与“若q p 则”是互否的命题 (C)“若非p q 则非”与“若p q 则”是互否的命题 (D)“若非p q 则非”与“若q p 则”是互为逆否的命题答案：Ｂ第15题. 以下说法错误的是( )(A) 如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题 (B)如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题(C)原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数 (D)一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题答案：Ｂ第16题. 下列四个命题:⑴“若220x y +=，则实数x y ，均为0”的逆命题；⑵“相似三角形的面积相等“的否命题 ; ⑶“A B A A B =⊆ 则，”逆否命题;⑷“末位数不是0的数可被3整除”的逆否命题，其中真命题为( ) (A) ⑴⑵ (B)⑵⑶ (C)⑴⑶ (D)⑶⑷答案：Ｃ第17题. 命题“a b ，都是偶数，则a b +是偶数”的逆否命题是．答案：a b +不是偶数则a b ，不都是偶数．第18题. 已知命题:33p …；:34q >，则下列选项中正确的是（） A ．p 或q 为真，p 且q 为真，非p 为假； B ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真； C ．p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为假； D ．p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假答案：Ｄ第19题. 下列句子或式子是命题的有（）个．①语文和数学；②2340x x --=；③320x ->；④垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？⑤一个数不是合数就是质数；⑥把门关上． Ａ．1个 Ｂ．3个 Ｃ．5个 Ｄ．2个答案：Ａ第20题. 命题①12是4和3的公倍数；命题②相似三角形的对应边不一定相等；命题③三角形中位线平行且等于底边长的一半；命题④等腰三角形的底角相等．上述4个命题中，是简单命题的只有（ ）． Ａ．①，②，④ Ｂ．①，④ Ｃ．②，④ Ｄ．④答案：Ａ第21题. 若命题p 是的逆命题是q ，命题q 的否命题是r ，则q 是r 的（ ） Ａ．逆命题 Ｂ．逆否命题 Ｃ．否命题 Ｄ．以上判断都不对答案：Ｂ第22题. 如果命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，那么q 为 命题．答案：真第23题. 下列命题：①“若1xy =，则x ，y 互为倒数”的逆命题；②4边相等的四边形是正方形的否命题；③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；④“22ac bc >则a b >”的逆命题，其中真命题是 ．答案：①，②，③第24题. 命题“若0ad =，则0a =或0b =”的逆否命题是 ，是 命题．答案：若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠，真第25题. 已知命题:p N Z Ü，:{0}q ∈N ，由命题p ，q 构成的复合命题“p 或q ”是 ，是 命题；“p 且q ”是 ，是 命题；“非p ”是 ，是 命题．答案：p 或q ：N Z Ü或{0}∈N ，为真；p 且q :N Z Ü且{0}∈N ，为假；非:p N Z Ú或=N Z ，为假．第26题. 指出下列复合命题构成的形式及构成它的简单命题，并判断复合命题的真假． （1）23≤；（2）()A A B Ú；（3）1是质数或合数；（4）菱形对角线互相垂直平分．答案：（1）这个命题是“p 或q ”形式，p ：23<，q ：23=．p 真q 假，p ∴或q 为真命题．（2）这个命题是“非p ”形式，:()p A A B ⊆ ，p 为真，∴非p 是假命题．（3）这个命题形式是p 或q 的形式，其中:1p 是命 数，:1q 是质数．因为p 假q 假，所以“p 或q ”为假命题．（4）这个命题是“p 且q ”形式，:p 菱形对角线互相垂直；:q 菱形对角线互相平分． 因为p 真q 真，所以“p 且q ”为真命题．第27题. 如果p ，q 是2个简单命题，试列出下列9个命题的直值表：（1）非p ；（2）非q ；（3）p 或q ；（4）p 且q ；（5）“p 或q ”的否定；（6）“p 且q ”的否定；（7）“非p 或非答案：第28题. 设命题为“若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．答案：否命题为“若0m >，则关于x 的方程20x x m +-=没有实数根”； 逆命题为“若关于x 的方程20x x m +-=有实数根，则0m >”； 逆否命题“若关于x 的方程20x x m +-=没有实数根，则0m ≤”． 由方程的判别式14m =+ 得0> ，即14m >-，方程有实根． 0m ∴>使140m +>，方程20x x m +-=有实数根，∴原命题为真，从而逆否命题为真．但方程20x x m +-=有实根，必须14m >-，不能推出0m >，故逆命题为假．1.2 充分条件与必要条件测试练习第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ａ第2题. 设x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．1x > Ｂ．1x < Ｃ．3x > Ｄ．3x <答案：Ａ第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的（ ） Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第4题. 设集合{}2M x x =>，{}3P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ ）Ａ．充分条件但非必要条件 Ｂ．必要条件但非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分条件，也非必要条件答案：Ｂ第5题.0x ≥是2x x ≤的___________条件． 答案：必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与“⇔”中选出适当的符号填空（U 为全集，A B ，为U 的子集）：（1）A B =___________A B ⊆． （2）A B ⊆___________U UB A 痧⊆．答案：⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件，则A 是B ⌝的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第8题. 设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第9题. 条件甲：()200ax bx c a ++=≠的两根，10x >，20x >，条件乙：0b a ->且0ca>，则甲是乙的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｃ第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“AB C A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．答案：（1）必要条件 （2）充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．答案：必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件．答案：必要不充分条件第13题. 设全集为U ，在下列条件中，哪些是B A ⊆的充要条件？ （1）A B A = ； （2）U A B =∅ ð； （3）U UA B 痧⊆．答案：三者都是第14题. 是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．如果存在，求出p 的取值范围．答案：4p ≥时，“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件；不存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．第15题. 已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．答案：解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．所以“q ⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R或，．由1123x --≤得210x -≤≤，所以 “p ⌝”：{}102B x x x =∈><-R或．由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩，，⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤．第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<<Ｄ．12x -<<答案：Ｂ第17题. 设A B ，是非空集合，则A B A = 是A B =的_________条件． 答案：必要不充分第18题. 已知:523p x ->，21:045q x x >+-，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件？ 答案：充分不必要条件第19题. 设1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（ ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件答案：Ｄ第20题. 已知条件M ：“A B C A B C '''△∽△”；条件N ：“AB A B ''∥，AC A C ''∥，BC B C ''∥”，则M 是N 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第21题. 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：（1）x A B ∈ 是x A ∈的 ； （2）x A B ∈ 是x B ∈的 ；（3）()U x A ∈ð是x U ∈的； （4）()U x A A ∈ 饀是x A ∈的； （5）“A =∅”是“A B B = ”的 ； （6）“A B Ü”是“A B A = ”的；（7）“x A ∈”是“x A B ∈ ”的 ； （8）“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的；（9）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的；（10）设1O ，2O 的半径为1r ，2r ，则“1212OO r r =+”是“两圆外切”的． 答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充分不必要条件 （4）必要不充分条件 （5）充分不必要条件 （6）充分不必要条件（7）必要而不充分条件 （8）既不充分也不必要条件 （9）充要条件 （10）充要条件．第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤，{}23B y y x x A ==+∈，，{}2C z z x x A ==∈，，求使C B ⊆的充要条件．答案：132a ≤≤．第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>，对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么？答案：04a <≤．第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件．答案：01a <≤．第25题. 求三个实数a b c ，，不全为零的充要条件．答案：a b c ，，中至少有一个不是零．第26题. 设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，写出B A Ü的一个充分不必要条件．答案：0m =，13m =，12m =-中之一即可．第27题. 三个数a b c ，，不全为零的充要条件是（ ） Ａ．a b c ，，都不是零 Ｂ．a b c ，，中至多一个是零 Ｃ．a b c ，，中只有一个为零 Ｄ．a b c ，，中至少一个不是零答案：Ｄ第28题. 设p ：“x y z ，，中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”；q ：22(3)0y z -+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”，那么p ，q 的真假是（） Ａ．p 真q 真Ｂ．p 真q 假Ｃ．p 假q 真Ｄ．p 假q 假答案：Ｂ第29题. 已知a 为非零实数，x 为某一实数，有命题p ：{}x a a ∈-，，q ：x a =，则p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗？若是，请说明理由；若不是，请给出“13x >且23x >”的充要条件．答案：不是充要条件；1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩．1.2 充分条件与必要条件 同步测试第1题. 设原命题“若p 则q ”真而逆命题假，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分又不必要条件答案：Ａ第2题. 设x ∈R ，则2x >的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．1x > Ｂ．1x < Ｃ．3x > Ｄ．3x <答案：Ａ第3题. 如果A 是B 的必要不充分条件，B 是C 的充分必要条件，D 是C 的充分不必要条件，那么A 是D 的（ ） Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第4题. 设集合{}2M x x =>，{}3P x x =<，那么“x M ∈或x P ∈”是“x M P ∈ ”的（ ）Ａ．充分条件但非必要条件 Ｂ．必要条件但非充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．非充分条件，也非必要条件答案：Ｂ第5题.0x ≥是2x x ≤的___________条件． 答案：必要不充分第6题. 从“⇒”“¿”与“⇔”中选出适当的符号填空（U 为全集，A B ，为U 的子集）：（1）A B =___________A B ⊆． （2）A B ⊆___________U UB A 痧⊆．答案：⇒ ⇔第7题. 若A ⌝是B 的充分不必要条件，则A 是B ⌝的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第8题. 设:05p x <<，:25q x -<，那么p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ａ第9题. 条件甲：()200ax bx c a ++=≠的两根，10x >，20x >，条件乙：0b a ->且0ca>，则甲是乙的（ ）Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｃ第10题. 从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“AB C A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．答案：（1）必要条件 （2）充分条件第11题. 已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．答案：必要第12题. 用多种方法判断“2t ≠”是“24t ≠”的什么条件．答案：必要不充分条件第13题. 设全集为U ，在下列条件中，哪些是B A ⊆的充要条件？ （1）A B A = ； （2）U A B =∅ ð； （3）U UA B 痧⊆．答案：三者都是第14题. 是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围．是否存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．如果存在，求出p 的取值范围．答案：4p ≥时，“40x p +<”是“220x x -->”的充分条件；不存在实数p ，使“40x p +<”是“220x x -->”的必要条件．第15题. 已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+->≤，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．答案：解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．所以“q ⌝”：{}110A x x m x m m =∈>+<->R或，．由1123x --≤得210x -≤≤，所以 “p ⌝”：{}102B x x x =∈><-R或．由p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件知01203110.m B A m m m >⎧⎪⇔--⇒<⎨⎪+⎩，，⊆≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤．第16题. 命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ） Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<<Ｄ．12x -<<答案：Ｂ第17题. 设A B ，是非空集合，则A B A = 是A B =的_________条件． 答案：必要不充分第18题. 已知:523p x ->，21:045q x x >+-，试判断p ⌝是q ⌝的什么条件？ 答案：充分不必要条件第19题. 设1a ，1b ，1c ，2a ，2b ，2c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（ ） Ａ．充分非必要条件 Ｂ．必要非充分条件Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分也非必要条件答案：Ｄ第20题. 已知条件M ：“A B C A B C '''△∽△”；条件N ：“AB A B ''∥，AC A C ''∥，BC B C ''∥”，则M 是N 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第21题. 从“充分而不必要条件”，“必要而不充分条件”或“充要条件”中选出适当的一种填空：（1）x A B ∈ 是x A ∈的 ； （2）x A B ∈ 是x B ∈的 ；（3）()U x A ∈ð是x U ∈的； （4）()U x A A ∈ 饀是x A ∈的； （5）“A =∅”是“A B B = ”的 ； （6）“A B Ü”是“A B A = ”的；（7）“x A ∈”是“x A B ∈ ”的 ； （8）“四边形的对角线互相垂直平分”是“四边形为矩形”的；（9）“四边形内接于圆”是“四边形对角互补”的；（10）设1O ，2O 的半径为1r ，2r ，则“1212OO r r =+”是“两圆外切”的． 答案：（1）充分不必要条件 （2）必要不充分条件 （3）充分不必要条件 （4）必要不充分条件 （5）充分不必要条件 （6）充分不必要条件（7）必要而不充分条件 （8）既不充分也不必要条件 （9）充要条件 （10）充要条件．第22题. 设{}2A x x a =∈-R ≤≤，{}23B y y x x A ==+∈，，{}2C z z x x A ==∈，，求使C B ⊆的充要条件．答案：132a ≤≤．第23题. 求关于x 的一元二次不等式210ax ax -+>，对一切x ∈R 都成立的充要条件是什么？答案：04a <≤．第24题. 求方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件．答案：01a <≤．第25题. 求三个实数a b c ，，不全为零的充要条件．答案：a b c ，，中至少有一个不是零．第26题. 设集合{}260A x x x =+-=，{}10B x mx =+=，写出B A Ü的一个充分不必要条件．答案：0m =，13m =，12m =-中之一即可．第27题. 三个数a b c ，，不全为零的充要条件是（ ） Ａ．a b c ，，都不是零 Ｂ．a b c ，，中至多一个是零 Ｃ．a b c ，，中只有一个为零 Ｄ．a b c ，，中至少一个不是零答案：Ｄ第28题. 设p ：“x y z ，，中至少有一个等于1”⇔“(1)(1)(1)0x y z ---=”；q ：22(3)0y z -+-=”⇔“(1)(2)(3)0x y z ---=”，那么p ，q 的真假是（） Ａ．p 真q 真Ｂ．p 真q 假Ｃ．p 假q 真Ｄ．p 假q 假答案：Ｂ第29题. 已知a 为非零实数，x 为某一实数，有命题p ：{}x a a ∈-，，q ：x a =，则p 是q 的（ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不充分也不必要条件答案：Ｂ第30题. “13x >且23x >”是“126x x +>且129x x >”的充要条件吗？若是，请说明理由；若不是，请给出“13x >且23x >”的充要条件．答案：不是充要条件；1212(3)(3)06x x x x -->⎧⎨+>⎩．高中新课标数学选修（1-1）1.3～1.4测试题一、选择题1．若命题:21()p m m -∈Z 是奇数，命题:21()q n n +∈Z 是偶数，则下列说法正确的是（ ）Ａ．p q ∨为真 Ｂ．p q ∧为真 Ｃ．p ⌝为真Ｄ．q ⌝为假答案：Ａ2．在下列各结论中，正确的是（ ）①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分条件但不是必要条件； ②“p q ∧”为假是“p q ∨”为假的充分条件但不是必要条件； ③“p q ∨”为真是“p ⌝”为假的必要条件但不充分条件； ④“p ⌝”为真是“p q ∧”为假的必要条件但不是充分条件． Ａ．①② Ｂ．①③ Ｃ．②④ Ｄ．③④ 答案：Ｂ3．由下列命题构成的“p q ∨”，“p q ∧”均为真命题的是（ ） Ａ．:p 菱形是正方形，:q 正方形是菱形 Ｂ．:2p 是偶数，:2q 不是质数 Ｃ．:15p 是质数，:4q 是12的约数 Ｄ．{}:p a a b c ∈，，，{}{}:q a a b c ⊆，， 答案：Ｄ4．命题:p 若a b ∈R ，，则1a b +>是1a b +>的充分条件但不是必要条件，命题:q 函数y =的定义域是(][)13--+ ，，∞∞，则下列命题（ ）Ａ．p q ∨假Ｂ．p q ∧真Ｃ．p 真，q 假Ｄ．p 假，q 真答案：Ｄ5．若命题:p x ∀∈R ，22421ax x a x ++-+≥是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）Ａ．3a -≤或2a ≥ Ｂ．2a ≥ Ｃ．2a >-Ｄ．22a -<<答案：Ｂ6．若k M ∃∈，对x ∀∈R ，210kx kx --<是真命题，则k 的最大取值范围M 是（ ） Ａ．40k -≤≤ Ｂ．40k -<≤ Ｃ．40k -<≤Ｄ．40k -<<答案：Ｃ 二、填空题7．命题“全等三角形一定相似”的否命题是 ，命题的否定是 ． 答案：两个三角形或不全等，则不一定相似；两个全等三角形不一定相似8．下列三个特称命题：（1）有一个实数x ，使2440x x ++=成立；（2）存在一个平面与不平行的两条直线都垂直；（3）有些函数既是奇函数又是偶函数．其中真命题的个数为 ． 答案：29．命题p q ∧是真命题是命题p q ∨是真命题的 （填“充分”、“必要”或“充要”）条件． 答案：充分10．命题:p x ∃∈R ，2250x x ++<是 （填“全称命题”或“特称命题”），它是 命题（填“真”或“假”），它的否定命题:p ⌝ ，它是 命题（填“真”或“假”）．答案：特称命题；假；x ∀∈R ，2250x x ++≥；真11．若x ∀∈R ，11x x a -++>是真命题，则实数a 的取值范围是 ．答案：(2)-，∞ 12．若x ∀∈R ，2()(1)x f x a =-是单调减函数，则a 的取值范围是 ．答案：(1)- 三、解答题13．已知命题2:10p x mx ++=有两个不相等的负根，命题2:44(2)10q x m x +-+=无实根，若p q ∨为真，p q ∧为假，求m 的取值范围．解：210x mx ++=有两个不相等的负根24020m m m ⎧->⇔⇔>⎨-<⎩，． 244(2)10x m +-+=无实根2216(2)160430m m x ⇔--<⇔-+<13m ⇔<<．由p q ∨为真，即2m >或13m <<得1m >；p q ∧∵为假，()p q p ⌝∧⇒⌝∴或q ⌝为真，p ⌝为真时，2m ≤，q ⌝为真时，1m ≤或3m ≥． p ⌝∴或q ⌝为真时，2m ≤或3m ≥．∴所求m 取值范围为{}123m m m <，或|≤≥．14．若x ∀∈R ，函数2()(1)f x m x x a =-+-的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围．解：（1）当0m =时，()f x x a =-与x 轴恒相交；（2）当0m ≠时，二次函数2()(1)f x m x x a =-+-的图象和x 轴恒有公共点的充要条件是14()0m m a ∆=++≥恒成立，即24410m am ∆=++≥恒成立，又24410m am ++≥是一个关于m 的二次不等式，恒成立的充要条件是2(4)160a '∆=-≤，解得11a -≤≤．综上，当0m =时，a ∈R ；当0m ≠，[]11a ∈-，．15．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“我获奖了”，乙说：“甲未获奖，乙也未获奖”，丙说：“是甲或乙获匀”，丁说：“是乙获奖”，四位歌手的话中有两句是对的，请问哪位歌手获奖． 甲获奖或乙获奖．解：①乙说的与甲、丙、丁说的相矛盾，故乙的话是错误的；②若两句正确的话是甲说的和丙说的，则应是甲获奖，正好对应于丁说的错，故此种情况为甲获奖；③若两句正确的话是甲说的和丁说的，两句话矛盾；④若两句正确的话是丙说的和丁说的，则为乙获奖，对应甲说的错，故此种情况乙获奖． 由以上分析知可能是甲获奖或乙获奖．《1.3简单的逻辑联结词》测试题A卷一．选择题：1．如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（）A 命题p一定是假命题 B命题q一定是假命题C命题q一定是真命题 D命题q是真命题或者是假命题2．在下列结论中，正确的结论为（）①“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件②“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件③“p或q”为真是“ p”为假的必要不充分条件④“ p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件A①② B①③ C②④ D③④3．对下列命题的否定说法错误的是（）A p：能被3整除的整数是奇数； p：存在一个能被3整除的整数不是奇数B p：每一个四边形的四个顶点共圆； p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C p：有的三角形为正三角形； p：所有的三角形都不是正三角形D p： x∈R，x2+2x+2≤0； p：当x2+2x+2>0时，x∈R4．已知p: 由他们构成的新命题“p且q”，“p或q”, “ ”中，真命题有（）A 1个B 2个C 3个D 4个5．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（）A存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根B不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根C对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根D至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根6．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A. p真，q真B. p假，q假C. p真，q假D. p假，q真二．填空题：7．命题“ x∈R，x2+1<0”的否定是__________________。
2021年高中数学选修1-2人教A版全册教学：1.1同步练习含答案
高中数学人教A版选修1-2 同步练习1.下列各项中的两个变量具有相关关系的是( )A．长方体的体积与高B．人的寿命与营养C．正方形的边长与面积D．匀速行驶的车辆的行驶距离与时间解析：选B.相关关系是一种不确定关系，A、C、D是确定关系，是函数关系，故选B.2.(2021·高考山东卷)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)423 5销售额y(万元)49263954根据上表可得回归方程y^＝b^x＋a^中的b^为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为( )A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元解析：选B.由表可计算x＝4＋2＋3＋54＝72，y＝49＋26＋39＋544＝42，因为点(72，42)在回归直线y^＝b^＋a^x上，且b^为9.4，所以42＝9.4×72＋a^，解得a^＝9.1，故回归方程为y^＝9.4x＋9.1，令x＝6得y^＝65.5.3.为了考察两个变量y与x的线性相关性，测得x，y的13对数据，若y与x 具有线性相关关系，则相关指数R2的取值范围是________．解析：相关指数R.R2的取值范围是［0，1］.当R2=0时，即残差平方和等于总偏差平方和，解释变量效应为0，x与y没有任何关系；当R2=1时，即残差平方和为0,x与y之间是确定的函数关系.其他情形，即当x与y是不确定的相关关系时，R2∈(0,1).答案：（0，1）4.如图是x和y的一组样本数据的散点图,去掉一组数据________________后,剩下的4组数据的相关指数最大.解析：经计算,去掉D（3，10）这一组数据后，其他4 组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关指数最大.答案：D(3,10)1.在回归分析中，代表了数据点和它在回归直线上相应位置的差异的是A.残差B.残差平方和C.随机误差D.相关指数R2解析：选B.残差平方和的大小表明了数据点和它在回归直线上相应位置的差异.3.对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：（x1,y1）,( x2,y2),…,( x n,y n),则下列说法中不正确的是A.若残差恒为0，则R2为1B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C.用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D.若变量y和x之间的相关系数r=-0.9362,则变量y和x之间具有线性相关关系解析：选C. R2的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好,故选C.6.（2012·莱州一中高二期中考试）一机器可以按各种不同速度运转，其生产物件有一些会有缺点.每小时生产有缺点物件的多少，随机器运转速度而变化，下列即为其试验结果.(1)求出机器运转速度影响每小时生产有缺点物件数的回归直线方程；（2）若实际生产中所允许的每小时最大缺点物件数为10，那么机器的运转速度不得超过多少转/秒？7.（2012·莱阳一中期中考试）〖HT〗如下所示的是一组观测值的四个回归模型对应的残差图，由残差图分析拟合效果最好的回归模型为解析：选A.如题中A所示的残差图中的点分布在以原点为中心的水平带状区域上，并且沿水平方向散点的分布规律相同，说明残差是随机的，所选择的回归模型是合理的.如题中B所示的残差图中的点分布在一条倾斜的带状区域上,并且沿带状区域方向散点的分布规律相同,说明残差与横坐标有线性关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地.如题中C所示的残差图中的点分布在一条抛物线形状的弯曲带状区域上,说明残差与坐标轴变量有二次关系,此时所选用的回归模型的效果不是最好的,有改进的余地.如题中D所示的残差图中的点分布范围随着横坐标的增加而扩大,说明残差与横坐标变量有关,所选用的回归模型的效果不是最好的，有改进的余地.综上分析可知,应选A8.如果散点图中所有的样本点均在同一条直线上,那么残差平方和与相关系数分别为A.1,0B.0,1C.0.5,0.5D.0.43,0.57解析：选B.如果所有的样本点均在同一条直线上,建立的回归模型一定是这条直线,所以每个样本点的残差均为0,所以残差平方和也为0,即此时的模型为y=bx+a,没有随机误差项,所以是严格的一次函数关系,通过计算可以证明解释变量与预报变量之间的相关系数是1.9.为了考察两个变量x和y之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自独立地做了10次和15次试验，并且利用线性回归方程，求得回归直线分别为l1和l2.已知两个人在试验中发现变量x的观测数据的平均值都是s，变量y的观测数据的平均值都为t，那么下列说法正确的是①l1与l2的相交点为（s,t）；②l1与l2相交，相交点不一定是(s,t);③l1与l2必关于点（s,t）对称；④l1与l2必定重合.10.某运动员训练次数与成绩之间的数据关系如下:(1)作出散点图；（2）求出线性回归方程；（3）作出残差图；（4）计算R2，并作出解释；（5）试预测该运动员训练47次及55次时的成绩.解： (1)作出该运动员训练次数(x)与成绩(y)之间的散点图,如图所示(3)残差分析将这8名运动员依次编号为1，2，3，…，8，因残差e^1≈－1.24，e^2≈－0.37，e^3≈0.55，e^4≈0.47，e^5≈1.39，e^6≈0.18，e^7≈0.09，e^8≈－1.07，于是可作残差图如图所示：由图可知，残差点比较均匀地分布在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适．(4)计算相关指数R2计算相关指数R2＝0.9855.说明了该运动员的成绩的差异有98.55%是由训练次数引起的．(5)作出预报由上述分析可知，我们可用回归方程y^＝1.0415x－0.003875作为该运动员成绩的预报值．将x＝47和x＝55分别代入该方程可得y≈49和y≈57.故预测运动员训练47次和55次的成绩分别为49和57.11.(创新题)已知x，y之间的5组数据如下表所示：x 13678y 1234 5对于表中数据，甲、乙两位同学给出的拟合直线分别为y^＝13x＋1与y^＝12x＋12，试利用“最小二乘法”判断哪条直线拟合效果更好？解：用y^＝13x＋1作为拟合直线时，所得y值与y实际值的差的平方和，即残差平方和为∑i ＝15(y i －y ^i )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫103－42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫113－52＝73.用y ^＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 实际值的差的平方和，即残差平方和为∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫72－32＋(4－4)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫92－52＝12.∵12<73，而残差平方和小的拟合效果好， ∴直线y ＝12x ＋12拟合效果更好．。
2021-2022年高中数学 综合测试 新人教A版选修1-2
2021-2022年高中数学综合测试新人教A版选修1-2在本模块中，学生将学习统计案例、推理与证明、数系扩充及复数的引入、框图。
学生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。
推理一般包括合情推理和演绎推理。
合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程。
归纳、类比是合情推理常用的思维方法。
在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。
演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标。
合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。
证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过演绎推理或逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。
在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，包括直接证明的方法（如分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。
数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。
在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。