四元数与欧拉角之间的转换
欧拉角转四元数 罗德里格斯公式
题目：欧拉角转四元数罗德里格斯公式欧拉角转四元数罗德里格斯公式首先是一个涉及到物理学、数学和工程学的重要公式。
它是一种用来描述刚体在空间中的旋转变换的数学工具。
欧拉角和四元数是描述旋转变换的两种常用方法，它们在飞行器、机器人、动画、游戏等领域应用广泛。
在介绍欧拉角转四元数和罗德里格斯公式之前，我们需要了解欧拉角和四元数的基本概念。
1. 欧拉角的概念欧拉角是一种描述物体在空间中旋转的方法，它由三个独立的角度组成，一般情况下是绕固定坐标系的三个不同轴进行旋转。
常见的欧拉角表示方式有欧拉角-欧拉矢量表示法和Z-Y-X（yaw-pitch-roll）表示法。
2. 四元数的概念四元数是一种扩展了复数的数学结构，它由一个实部和三个虚部组成。
在描述旋转变换时，四元数可以更加简洁地表示旋转的参数。
四元数的乘法和加法运算具有一定的规则，它可以准确地描述旋转的角度和方向。
了解了欧拉角和四元数的基本概念后，现在我们来介绍欧拉角转四元数的方法。
3. 欧拉角转四元数的方法欧拉角转四元数是一个常见的数学运算问题，在实际应用中需要将欧拉角表示的旋转变换转换成对应的四元数。
以Z-Y-X（yaw-pitch-roll）表示法为例，欧拉角转四元数的公式可以描述如下：设欧拉角为（φ, θ, ψ），对应的四元数表示为q，其实部为实部w，虚部为矢量v=(x, y, z)。
公式如下：w = cos(φ/2) * cos(θ/2) * cos(ψ/2) + sin(φ/2) * sin(θ/2) * sin(ψ/2) x = sin(φ/2) * cos(θ/2) * cos(ψ/2) - cos(φ/2) * sin(θ/2) * sin(ψ/2) y = cos(φ/2) * sin(θ/2) * cos(ψ/2) + sin(φ/2) * cos(θ/2) * sin(ψ/2) z = cos(φ/2) * cos(θ/2) * sin(ψ/2) - sin(φ/2) * sin(θ/2) * cos(ψ/2)通过这个公式，我们可以将给定的欧拉角转换成对应的四元数，从而方便地进行旋转变换的计算。
欧拉角四元数转换
欧拉角四元数转换欧拉角和四元数都是用于描述物体在三维空间中的旋转状态的数学表示方法。
欧拉角是一个由三个角度组成的向量，而四元数是一个由四个实数组成的向量。
在计算机图形学和机器人学等领域中，这两种方法都被广泛使用。
欧拉角和四元数之间的转换可以帮助我们在不同的数学表示方法中进行转换，从而更方便地进行计算和应用。
下面是欧拉角和四元数之间的转换公式：欧拉角转四元数：给定欧拉角向量 [α, β, γ]，我们可以通过以下公式将其转换为对应的四元数 [q0, q1, q2, q3]：q0 = cos(α/2)cos(β/2)cos(γ/2) + sin(α/2)sin(β/2)sin(γ/2)q1 = sin(α/2)cos(β/2)cos(γ/2) - cos(α/2)sin(β/2)sin(γ/2)q2 = cos(α/2)sin(β/2)cos(γ/2) + sin(α/2)cos(β/2)sin(γ/2)q3 = cos(α/2)cos(β/2)sin(γ/2) - sin(α/2)sin(β/2)cos(γ/2)四元数转欧拉角：给定四元数 [q0, q1, q2, q3]，我们可以通过以下公式将其转换为对应的欧拉角向量 [α, β, γ]：α = atan2(2(q0q1 + q2q3), 1 - 2(q1^2 + q2^2))β = asin(2(q0q2 - q3q1))γ = atan2(2(q0q3 + q1q2), 1 - 2(q2^2 + q3^2))其中，atan2() 是一个带有两个参数的反正切函数，它可以根据两个参数的正负关系来确定结果的正负号。
通过以上公式，我们可以方便地在欧拉角和四元数之间进行转换，从而更加灵活地描述物体在三维空间中的旋转状态。
四元数
1.轴、角转四元数公式：q = [cos(Q/2), sin(Q /2)v] v是旋转轴矢量，Q是旋转角度2.欧拉角转四元数:qroll = [cos (y/2), (sin(y/2), 0, 0)]qpitch = [cos (q/2), (0, sin(q/2), 0)]qyaw = [cos(f /2), (0, 0, sin(f /2)]pitch(俯仰），yaw(偏航），roll（滚转）3.四元数转旋转矩阵：| 1 - 2y2 - 2z2 2yz + 2wx 2xz - 2wy | Rm = | 2xy - 2wz 1 - 2x2 - 2z2 2yz - 2wx | | 2xz + 2wy 2yz - 2wx 1 - 2x2 - 2y2|4.矩阵转四元数代码：MatToQuat(float m[4][4], QUAT * quat){float tr, s, q[4];int i, j, k;int nxt[3] = {1, 2, 0};tr = m[0][0] + m[1][1] + m[2][2];// check the diagonalif (tr > 0.0){s = sqrt (tr + 1.0);quat->w = s / 2.0;s = 0.5 / s;quat->x = (m[1][2] - m[2][1]) * s;quat->y = (m[2][0] - m[0][2]) * s;quat->z = (m[0][1] - m[1][0]) * s;}else{// diagonal is negativei = 0;if (m[1][1] > m[0][0]) i = 1;if (m[2][2] > m[i][i]) i = 2;j = nxt[i];k = nxt[j];s = sqrt ((m[i][i] - (m[j][j] + m[k][k])) + 1.0); q[i] = s * 0.5;if (s != 0.0) s = 0.5 / s;q[3] = (m[j][k] - m[k][j]) * s;q[j] = (m[i][j] + m[j][i]) * s;q[k] = (m[i][k] + m[k][i]) * s;quat->x = q[0];quat->y = q[1];quat->z = q[2];quat->w = q[3];}}5.四元数转矩阵代码：QuatToMatrix(QUAT * quat, float m[4][4]){float wx, wy, wz, xx, yy, yz, xy, xz, zz, x2, y2, z2;// calculate coefficientsx2 = quat->x + quat->x;y2 = quat->y + quat->y;z2 = quat->z + quat->z;xx = quat->x * x2;xy = quat->x * y2;xz = quat->x * z2;yy = quat->y * y2;yz = quat->y * z2;zz = quat->z * z2;wx = quat->w * x2;wy = quat->w * y2;wz = quat->w * z2;m[0][0] = 1.0 - (yy + zz);m[1][0] = xy - wz;m[2][0] = xz + wy;m[3][0] = 0.0;m[0][1] = xy + wz;m[1][1] = 1.0 - (xx + zz);m[2][1] = yz - wx;m[3][1] = 0.0;m[0][2] = xz - wy;m[1][2] = yz + wx;m[2][2] = 1.0 - (xx + yy);m[3][2] = 0.0;m[0][3] = 0;m[1][3] = 0;m[2][3] = 0;m[3][3] = 1;}6.欧拉角转四元数代码：EulerToQuat(float roll, float pitch, float yaw, QUAT * quat) {float cr, cp, cy, sr, sp, sy, cpcy, spsy;// calculate trig identitiescr = cos(roll/2);cp = cos(pitch/2);cy = cos(yaw/2);sr = sin(roll/2);sp = sin(pitch/2);sy = sin(yaw/2);cpcy = cp * cy;spsy = sp * sy;quat->w = cr * cpcy + sr * spsy;quat->x = sr * cpcy - cr * spsy;quat->y = cr * sp * cy + sr * cp * sy; quat->z = cr * cp * sy - sr * sp * cy; }四元数乘法QuatMul(QUAT *q1, QUAT *q2, QUAT *res){ float A, B, C, D, E, F, G, H;A = (q1->w + q1->x)*(q2->w + q2->x);B = (q1->z - q1->y)*(q2->y - q2->z);C = (q1->w - q1->x)*(q2->y + q2->z);D = (q1->y + q1->z)*(q2->w - q2->x);E = (q1->x + q1->z)*(q2->x + q2->y);F = (q1->x - q1->z)*(q2->x - q2->y);G = (q1->w + q1->y)*(q2->w - q2->z);H = (q1->w - q1->y)*(q2->w + q2->z);res->w = B + (-E - F + G + H) /2;res->x = A - (E + F + G + H)/2;res->y = C + (E - F + G - H)/2;res->z = D + (E - F - G + H)/2;}四元数插值QuatSlerp(QUAT * from, QUAT * to, float t, QUAT * res){float to1[4];double omega, cosom, sinom, scale0, scale1;// calc cosinecosom = from->x * to->x + from->y * to->y + from->z * to->z + from->w * to->w;// adjust signs (if necessary)if ( cosom <0.0 ){ cosom = -cosom; to1[0] = - to->x;to1[1] = - to->y;to1[2] = - to->z;to1[3] = - to->w;} else {to1[0] = to->x;to1[1] = to->y;to1[2] = to->z;to1[3] = to->w;}// calculate coefficientsif ( (1.0 - cosom) > DELTA ) {// standard case (slerp)omega = acos(cosom);sinom = sin(omega);scale0 = sin((1.0 - t) * omega) / sinom; scale1 = sin(t * omega) / sinom;} else {// "from" and "to" quaternions are very close// ... so we can do a linear interpolationscale0 = 1.0 - t;scale1 = t;}// calculate final valuesres->x = scale0 * from->x + scale1 * to1[0]; res->y = scale0 * from->y + scale1 * to1[1]; res->z = scale0 * from->z + scale1 * to1[2]; res->w = scale0 * from->w + scale1 * to1[3]; }。
欧拉角速度与姿态四元数角速度的关系
欧拉角速度与姿态四元数角速度的关系姿态控制是机器人领域中的重要问题之一，它涉及到机器人在空间中的姿态变化。
在姿态控制中，欧拉角和姿态四元数是常用的描述姿态的方法。
欧拉角由三个连续旋转角度组成，而姿态四元数是一种四维复数，它可以表示三维空间中的旋转。
欧拉角速度是指机器人在姿态变化过程中的角度变化速度。
它可以通过欧拉角的导数来计算。
而姿态四元数角速度是指机器人在姿态变化过程中的四元数变化速度。
它可以通过姿态四元数的导数来计算。
那么欧拉角速度与姿态四元数角速度之间有什么关系呢？下面我将详细介绍一下它们之间的关系。
我们来看欧拉角速度。
欧拉角速度的计算方法是将欧拉角分别对时间求导。
假设欧拉角分别为α、β、γ，对应的欧拉角速度分别为ωx、ωy、ωz。
那么欧拉角速度可以表示为：ωx = α'ωy = β'ωz = γ'其中，α'、β'、γ'分别表示α、β、γ的导数。
接下来，我们来看姿态四元数角速度。
姿态四元数的计算方法是将旋转轴和旋转角度转化为一个四元数。
假设姿态四元数为q = [qw, qx, qy, qz]，对应的姿态四元数角速度为ω = [ωw, ωx, ωy, ωz]。
那么姿态四元数角速度可以表示为：ωw = 0.5 * (ωx * qw + ωy * qz - ωz * qy)ωx = 0.5 * (ωy * qw - ωz * qx + ωw * qy)ωy = 0.5 * (ωz * qw + ωx * qy - ωw * qx)ωz = 0.5 * (-ωx * qz + ωy * qx + ωw * qz)其中，qw、qx、qy、qz分别表示姿态四元数的四个分量。
从上面的公式可以看出，姿态四元数角速度的计算涉及到姿态四元数和欧拉角速度的乘法和加法运算。
因此，欧拉角速度与姿态四元数角速度之间存在一定的关系。
总结起来，欧拉角速度与姿态四元数角速度之间的关系可以通过一系列的数学公式来表示。
四元数与欧拉角（RPY角）的相互转换
四元数与欧拉⾓（RPY⾓）的相互转换RPY⾓与Z-Y-X欧拉⾓ 描述坐标系{B}相对于参考坐标系{A}的姿态有两种⽅式。
第⼀种是绕固定（参考）坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕{A}的X轴旋转γ，然后绕{A}的Y轴旋转β，最后绕{A}的Z轴旋转α，就能旋转到当前姿态。
可以称其为X-Y-Z fixed angles或RPY⾓(Roll, Pitch, Yaw)。
Roll:横滚 Pitch: 俯仰Yaw: 偏航（航向） 由于是绕固定坐标系旋转，则旋转矩阵为（cα is shorthand for cosα, sα is shorthand for sinα,and so on.）R XYZ(γ,β,α)=R Z(α)R Y(β)R X(γ)=cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ 另⼀种姿态描述⽅式是绕⾃⾝坐标轴旋转：假设开始两个坐标系重合，先将{B}绕⾃⾝的Z轴旋转α，然后绕Y轴旋转β，最后绕X轴旋转γ，就能旋转到当前姿态。
称其为Z-Y-X欧拉⾓，由于是绕⾃⾝坐标轴进⾏旋转，则旋转矩阵为：R Z′Y′X′(α,β,γ)=R Z(α)R Y(β)R X(γ)=cαcβcαsβsγ−sαcγcαsβcγ+sαsγsαcβsαsβsγ+cαcγsαsβcγ−cαsγ−sβcβsγcβcγ 可以发现这两种描述⽅式得到的旋转矩阵是⼀样的，即绕固定坐标轴X-Y-Z旋转(γ,β,α)和绕⾃⾝坐标轴Z-Y-X旋转(α,β,γ)的最终结果⼀样，只是描述的⽅法有差别⽽已。
In gerenal: three rotations taken about fixed axes yield the same final orientation as the same three rotations taken in opposite order about the axes of the moving frame.Axis-Angle与四元数 绕坐标轴的多次旋转可以等效为绕某⼀转轴旋转⼀定的⾓度。
四元数和欧拉角
四元数和欧拉角
四元数与欧拉角：
1、四元数
四元数是一种数学物体，它由ONE个实部和THREE个虚部组成。
实部是非负实数，其余的THREE个部分是虚数。
四元数的表达式可以表示为：Q=a+bi+cj+dk (a、b、c、d是实实部）。
它们有助于以三维空间中的方式表示方向和旋转。
离散空间中表示四元数，当旋转发生时，它们保持一致。
2、欧拉角：
欧拉角是一种三维旋转矢量，可以用来表示不同方向之间的关系。
它将旋转分成THREE个不同的轴，分别为X轴、Y轴和Z轴。
每个轴都有自己的旋转角度，比如X轴有X角度，Y轴有Y角度，Z轴有Z角度。
欧拉角的表达式可以写作：[X,Y,Z]，其中X、Y、Z分别表示每个轴的旋转角度。
欧拉角与四元数之间的差别在于欧拉角表示的是不同方向间的关系，而四元数表示的是不同方向的空间旋转。
可以说四元数和欧拉角均是用来表示旋转有关信息的，但是又是有所差别的。
下面我们来总结下它们两者之间的区别：
1）表示方式不同：欧拉角表示的是不同方向间的关系，而四元数是表
示不同方向的空间旋转；
2）用途不同：欧拉角被广泛应用于3D图形学处理领域，可以很方便
地实现3D模型的几何变换；而四元数方便地表示空间任意的旋转变换，是用来表达机器人的运动控制中的基本角度表示方式；
3）值域不同：欧拉角的值域为[0,2π)，而四元数的值域为[-1,1]；
4）叠加角度表示方法不同：四元数是可以用乘法表达累加旋转；而欧
拉角只能使用加法来表达叠加旋转。
大话多旋翼飞行器--欧拉角与四元数
始先绕着 z-轴旋转 角值。然后，绕着 x-轴旋转 角值。最后，绕着 z-轴作角值 的
旋转” 我们通常使用的欧拉角是服从描述A）的。也就是绕着固定于刚体的坐标轴的三个旋转的复 合。为什么呢？因为对物体施加的转矩通常都是相对于物体自身的坐标轴的，控制上更直观 更容易。 另一个问题，欧拉角的三次旋转的旋转轴和旋转顺序。根据维基百科的说法，“在经典力 学里，时常用 zxz 顺规来设定欧拉角；照着第二个转动轴的轴名，简称为 x 顺规。另外， 还有别种欧拉角组。合法的欧拉角组中，唯一的限制是，任何两个连续的旋转，必须绕着 不同的转动轴旋转。因此，一共有 12 种顺规。例如，y 顺规，第二个转动轴是 y‐轴，时 常用在量子力学，核子物理学，粒子物理学。另外，还有一种顺规，xyz 顺规，是用在航空 航天工程学”。
a2通常用 表示，代表升降或俯仰（elevation or pitch）
a3通常用 表示，代表倾斜或横滚（bank or roll）
注意：有些书上a3用φ表示，其实 和φ是同一个字母的两种写法，本质是一样的。
小常识：
根据第一部分的介绍，可以知道，经过三个欧拉角转动后，世界坐标系下的一个矢量 rW=(xW,yW,zW)与其对应的运载体坐标系下的矢量rB=(xB,yB,zB)之间的关系可以表示为
个多体系统提供一个统一的参照坐标系。在物体上要建立一个局部坐标系，称为 BCS（Body Coordinate System），一方面用来描述物体在 GCS 内的位置和姿态，另一方面，为物体上的 点或其它坐标系提供局部的确定位置和姿态的标准。此外，在物体上可以根据需要建立其它 的坐标系，例如，为描述物体上的约束及列写约束方程，需要建立约束的坐标系。 //==========================================================================
四元数转欧拉角的雅可比矩阵
四元数转欧拉角的雅可比矩阵在机器人控制和运动规划中，四元数是一种常用的表示机器人位姿的方法。
然而，在某些情况下，需要将四元数转换为欧拉角，以方便人类理解和可视化机器人姿态。
因此，本文将介绍四元数转欧拉角的雅可比矩阵，该矩阵可以用于求解机器人位姿控制中的导数和微分方程。
首先，我们需要定义四元数和欧拉角的概念。
四元数是一种四维复数，通常用一个实部和三个虚部表示。
欧拉角是一种用于描述旋转的坐标系，通常包括绕x轴的旋转角度、绕y轴的旋转角度和绕z轴的旋转角度。
接下来，我们需要考虑如何将四元数转换为欧拉角。
这可以通过以下公式实现：$ psi = atan2(2(q_0q_3+q_1q_2),1-2(q_2^2+q_3^2)) $$ theta = asin(2(q_0q_2-q_1q_3)) $$ phi = atan2(2(q_0q_1+q_2q_3),1-2(q_1^2+q_2^2)) $ 其中，$ q_0, q_1, q_2, q_3 $ 分别表示四元数的实部和虚部。
然而，由于四元数和欧拉角之间存在非线性关系，因此我们需要使用雅可比矩阵来求解导数和微分方程。
具体来说，$ psi, theta, phi $ 分别表示绕z轴、绕y轴和绕x轴的旋转角度，因此我们可以将欧拉角表示为一个向量 $ vec{e} = [psi theta phi]^T $。
则四元数对欧拉角的雅可比矩阵可以表示为：$ J_q(vec{e}) = begin{bmatrix} frac{partial psi}{partialq_0} & frac{partial psi}{partial q_1} & frac{partialpsi}{partial q_2} & frac{partial psi}{partial q_3}frac{partial theta}{partial q_0} & frac{partialtheta}{partial q_1} & frac{partial theta}{partial q_2} &frac{partial theta}{partial q_3} frac{partial phi}{partial q_0} & frac{partial phi}{partial q_1} & frac{partialphi}{partial q_2} & frac{partial phi}{partial q_3} end{bmatrix} $其中，每个元素的求解可以使用链式法则和欧拉角转四元数的公式求解。
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四元数与欧拉角之间的转换
在3D图形学中，最常用的旋转表示方法便是四元数和欧拉角，比起矩阵来具有节省存储空间和方便插值的优点。
本文主要归纳了两种表达方式的转换，计算公式采用3D笛卡尔坐标系：
图1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)
定义分别为绕Z轴、Y轴、X轴的旋转角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分别为Yaw、Pitch、Roll。
图2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)
一、四元数的定义
通过旋转轴和绕该轴旋转的角度可以构造一个四元数：
其中是绕旋转轴旋转的角度，为旋转轴在x,y,z方向的分量（由此确定了旋转轴）。
二、欧拉角到四元数的转换
三、四元数到欧拉角的转换
arctan和arcsin的结果是，这并不能覆盖所有朝向(对于角的取值范围已经满足)，因此需要用atan2来代替arctan。
四、在其他坐标系下使用
在其他坐标系下，需根据坐标轴的定义，调整一下以上公式。
如在Direct3D中，笛卡尔坐标系的X轴变为Z轴，Y轴变为X轴，Z轴变为Y轴（无需考虑方向）。
五、示例代码
/Files/heath/Euler2Quaternion.rar
Demo渲染两个模型，左边使用欧拉角，右边使用四元数，方向键Up、Left、Right旋转模型。
参考文献：
[1]
/wiki/Conversion_between_quaternions_and _Euler_angles
[2] Ken Shoemake, Animating Rotation with Quaternion Curves, 1985。