欧拉角
欧拉角名词解释
欧拉角名词解释欧拉角（Eulerangles）是描述旋转位置的三个轴，它们也被称为欧拉轴。
这三个轴分别是沿x，y和z轴旋转的角度，它们组成的角称为欧拉角。
它们是应用于航空，航天和船舶的最普遍的旋转表示法，以及许多其他系统的机器人手臂，机械臂或工程器械的旋转。
欧拉角的结构是沿着三个不同的轴旋转，分别是绕z轴旋转，绕y轴旋转，然后绕x轴旋转。
这三个轴般的旋转可以被称为：“欧拉X”、“欧拉Y”和“欧拉Z”。
它们可以被用来描述任何可以被描述为旋转的位置，其中每个轴的旋转是相对于其前一个轴的，因此它们可以定义出任意位置的旋转状态。
拉角也可以被用来表示旋转后相对于坐标系的物体位置，因此它们是十分有用的在改变物体位置的应用中，特别是机器人控制的应用程序。
欧拉角的应用欧拉角可以用来描述空间中物体的位置和旋转情况。
如，在航空领域，欧拉角可以用来描述飞机的姿态，以及它的运动情况。
机器人控制系统中，它们可以用来描述机器人臂的位置和运动情况。
也可以用来控制船舶和潜艇的位置。
此外，欧拉角还可以用在许多其他领域，比如机械设计，机器视觉，触摸探头控制，数控机床控制等。
例如，它可以用来控制机械臂的移动，它也可以用来控制装配机器的工作位置。
欧拉角的优缺点欧拉角的优点在于它提供了一种可用于描述旋转状态的简单易用的方法。
另外，它还可以用来求解两个坐标系之间的关系。
它还可以快速地改变物体的位置，这对于机械臂运动或机器人控制操作是十分有用的。
然而，欧拉角也有一些缺点。
首先，它要求每个轴上的角度都必须是有限的，因此无法完全表示任意的角度。
外，当它被用来求解两个坐标系之间的关系时，它也可能会产生抖动。
是由于不同轴上的角度有限，因此当旋转过程中产生极小的角度变化时会发生数值问题。
总结欧拉角，也称作欧拉轴，是一种描述旋转位置的三轴旋转的方法。
它们被广泛应用于航空，航天，船舶和机器人控制系统中，以及机械设计和机器视觉等其他系统。
们的优点是可以用来描述物体位置旋转的情况，可以快速改变物体的位置，并且可以求解坐标系之间的关系。
欧拉角名词解释
欧拉角名词解释欧拉角（EulerAngles）是旋转空间中最常见的表示姿态变换的数学方法，用它可以表示物体以某种方式从一个姿态旋转到另一个姿态的变换。
它是由普林斯顿大学的数学家兼物理学家Leonhard Euler 发明的一种角度表示法，因此也叫做“尤拉角”。
欧拉角一般被用来描述复杂的三维旋转，可以准确地表示一个空间中的物体的姿态。
【定义】欧拉角定义为三个独立的角度，如α，β，γ，分别表示绕某个坐标轴的顺时针或逆时针旋转角度。
它可以用来指定一个坐标系在另一个坐标系中的方位，以及实现两个坐标系相对旋转的偏转量。
【类型】欧拉角可以分为两种：绕Z-Y-X（顺时针）和绕Z-X-Y（逆时针）。
绕Z-Y-X欧拉角，第一个角度α表示绕Z轴旋转，第二个角度β表示绕Y轴旋转，第三个角度γ表示绕X轴旋转。
而绕Z-X-Y欧拉角中，第一个角度α表示绕Z轴旋转，第二个角度β表示绕X轴旋转，第三个角度γ表示绕Y轴旋转。
【应用】欧拉角在机器人、航空航天、计算机视觉等领域有着广泛的使用。
欧拉角可以用来精确描述物体的旋转变换，进而可以更加精确的描述物体的位置和姿态。
在用欧拉角表示旋转时，需要进行一定的换算，以解决旋转变换的问题，以确保得到的旋转变换的准确性。
另外，欧拉角还可以用来解决其他空间变换问题，例如多维空间的缩放问题，可以用旋转矩阵来进行求解。
由此可见，欧拉角在多维空间变换领域有着广泛的应用。
【特点】欧拉角的一个优点在于它不会受到四元数（Quaternion）的混乱，也不会受到旋转矩阵的低效问题的困扰，它具有较高的准确度和计算效率，从而使得欧拉角成为空间绝对变换的理想表示方法。
此外，欧拉角有着很好的迭代特性，可以容易地模拟空间物体的仿射变换。
当然，欧拉角也有一些缺点，例如它不容易用来表示方位不同，但同时仍未实现旋转差异的情况，这就要求其时刻保持七个自由度，以免发生死区现象。
【总结】从上面可以看出，欧拉角是旋转空间中最常见的表示姿态变换的数学方法，它可以准确地表示一个空间中的物体的姿态。
欧拉角定义
（A-1）
其中，简记三角函数 。
类似的，在图A-2中，不难看出它的欧拉角定义方式为“312”，三个坐标轴各转动了一次， 系至 系的方向余弦阵为
（A-2）
在导航应用中，习惯上使用一组欧拉角来描述运载体的空间指向，比如舰船、车辆或飞机等，其中参考坐标系一般默认为当地地理坐标系，而动坐标系为与运载体固连的坐标系。与运载体固连的三轴俗称为横轴、纵轴和立轴，它们在物理上具有明确的含义，是绝大多数运动和控制的参考基准。当运载体水平停放时，横轴沿左右方向，可取向右方向为正；纵轴沿前后方向，可取向前方向为正；立轴沿上下方向，可取向上方向为正。描述运载体的一组欧拉角通常也称为姿态角，包括航向角（方位角或偏航角）、俯仰角（高低角或横摇角）和横滚角（滚动角或纵摇角），各角参数的定义与运载体各物理轴向相联系，详细定义如下。
在式（A-9）中， 等价于 ，即 ；同理，有 等价于 ；以及 等价于 。由此可得计算四元数各元素的伪代码如下
（A-11）
（5）从欧拉角到四元数
在实际惯导的姿态更新算法中经常使用的是四元数，需要涉及到四元数和欧拉角的转换问题。根据单位四元数的含义式（2.4-23），在“东-北-天312”欧拉角定义下，由欧拉角求解四元数的公式为
（3）从四元数到姿态阵
参考式（2.4-25），将姿态阵与四元数之间转换关系重写如下
（A-8）
（4）从姿态阵到四元数
根据式（A-8）的对角线元素，可得
解得 （A-9）
再由式（A-8）的非对角线元素，可得
解得 （A-10）
若仅根据式（A-9）将难以确定四元数各元素的正负符号。如果已知四元数的某一个元素，则根据式（A-10）可求解其它元素，但须避免该已知元素为0。由四元数归一化条件 可知，必然有 成立，也就是说，四个元素中必然存在某个 。实际应用时，可先根据式（A-9）计算获得某一个较大的元素 （不妨取为正值），再根据式（A-10）计算剩余的其它三个元素。
欧拉角旋转次序与方向余弦矩阵
欧拉角旋转次序与方向余弦矩阵1. 概述欧拉角和方向余弦矩阵是描述刚体在三维空间中旋转的重要数学工具。
在实际工程和科学研究中，经常需要对物体进行旋转操作，因此对欧拉角的理解和运用具有重要意义。
本文将从欧拉角的定义和意义出发，探讨欧拉角旋转次序对方向余弦矩阵的影响，旨在帮助读者更好地理解和使用欧拉角及其相关知识。
2. 欧拉角的定义欧拉角是描述刚体在空间中旋转的一种常用方法。
它由旋转轴和旋转角组成，通常用三个角度来描述旋转的过程。
在坐标系转动的过程中，可以通过欧拉角描述坐标系的转动角度。
欧拉角的常用表示方法有欧拉参数表示法和欧拉角矢量表示法。
3. 欧拉角的旋转次序在欧拉角的表示中，常常会涉及到旋转的次序。
欧拉角的旋转次序指的是在进行复合旋转时，各个旋转绕固定坐标轴的次序。
常用的欧拉角旋转次序有ZXZ、ZYZ、ZYX等，不同的旋转次序会对应不同的旋转顺序和结果。
4. 方向余弦矩阵的定义方向余弦矩阵是描述刚体在三维空间中旋转的一个重要工具。
它由旋转后的坐标系与旋转前的坐标系之间的乘旋阵组成。
方向余弦矩阵可以用来描述不同坐标系之间的转换关系，是描述物体旋转的数学表示。
5. 欧拉角与方向余弦矩阵的关系欧拉角与方向余弦矩阵之间存在着紧密的通联。
通过欧拉角的定义和旋转次序，可以推导出描述旋转的方向余弦矩阵。
具体来说，通过欧拉角的变化，可以得到相应的方向余弦矩阵，从而实现对旋转过程的描述和分析。
6. 不同欧拉角旋转次序对方向余弦矩阵的影响在实际应用中，不同的欧拉角旋转次序会对方向余弦矩阵产生不同的影响。
具体来说，不同的旋转次序会导致不同的旋转顺序和不同的方向余弦矩阵表示。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的欧拉角旋转次序，以确保得到正确的方向余弦矩阵表示。
7. 结论欧拉角和方向余弦矩阵是描述刚体在三维空间中旋转的重要数学工具，它们之间存在着紧密的通联。
欧拉角的旋转次序会对方向余弦矩阵产生影响，不同的旋转次序对应不同的旋转顺序和不同的方向余弦矩阵表示。
简述rpy欧拉角的转动顺序
简述rpy欧拉角的转动顺序
欧拉角是一种描述物体或坐标系在三维空间中旋转的方法之一。
rpy欧拉角，也称为Roll-Pitch-Yaw欧拉角，是最常用的一种欧拉角表示方法。
rpy欧拉角的转动顺序通常是先绕Z轴旋转一定角度Roll，然后绕新的Y轴旋转一定角度Pitch，最后绕新的X轴旋转一定角度Yaw。
这个顺序也可以记作ZYX，即旋转顺序为Z轴、Y轴、X轴。
在具体应用中，rpy欧拉角可以用来描述飞行器、机器人等在三维空间中的姿态。
例如，当一个飞行器需要转动时，首先绕飞行器的Z轴旋转一定角度，使飞行器做横滚（Roll）动作；然后绕新的Y轴旋转一定角度，使飞行器做俯仰（Pitch）动作；最后绕新的X轴旋转一定角度，使飞行器做偏航（Yaw）动作。
rpy欧拉角的优点是直观易懂，容易与人的直观感受和操作对应。
但是，rpy欧拉角也存在一些问题。
首先，rpy欧拉角存在万向锁问题，即在某些情况下，旋转顺序的限制会导致某个方向上的旋转无法独立实现。
其次，rpy欧拉角的旋转顺序不唯一，不同的旋转顺序会导致不同的结果，这可能会引起混淆。
为了解决rpy欧拉角的问题，还有其他的表示方法，如四元数、旋转
矩阵等。
这些方法可以避免万向锁问题，并且在一些计算和优化问题中更加方便使用。
但是，rpy欧拉角作为一种简单直观的表示方法，在许多应用中仍然被广泛使用。
欧拉角
我们也可以给予欧拉角两种不同的动态定义。一种是绕着固定于刚体 的坐标轴的三个旋转的复合；另外一种是绕着实验室参考轴的三个旋转的 复合。用动态的定义，我们能更了解，欧拉角在物理上的含义与应用。特 别注意，以下的描述，XYZ 坐标轴是旋转的刚体坐标轴；而 xyz 坐标轴是 静止不动的实验室参考轴。
作用
欧拉角 Eulerian angles 用来确定定点转动刚体位置的 3 个一组独立 角参量，由章动角 θ、旋进角（即进动角）ψ 和自转角 j 组成。为欧拉首 先提出而得名。它们有多种取法，下面是常见的一种。如图所示，由定点 O 作出固定坐标系 Oxyz 和固连于刚体的动坐标系 Ox′y′z′。以轴 Oz 和 Oz′ 为基本轴，其垂直面 Oxy 和 Ox′y′为基本平面。由轴 Oz 量到 Oz′的角 θ 称章动角。平面 zOz′的垂线 ON 称节线，它又是基本平面 Ox′y′和 Oxy 的交线。在右手坐标系中，由 ON 的正端看，角 θ 应按逆时针方向计量。 由固定轴 Ox 量到节线 ON 的角 ψ 称旋进角；由节线 ON 量到动轴 Ox′的角 j 称自转角。由轴 Oz 和 Oz′正端看，角 ψ 和 j 也都按逆时针方向计量。 若令 Ox′y′z′的初始位置与 Oxyz 重合，经过相继绕 Oz 、ON 和 Oz′ 的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。如果刚体绕通过定点 O 的某 一轴线以角速度 ω 转动，而 ω 在动坐标系 Ox′y′z′上的投影为 ωx′、 ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′ =sinθsinj+cosj，ωy′= sinθcosj－sinj，ωz′=cosθ+。如果已知 ψ、 θ、j 和时间的关系，则可用上式计算 ω 在动坐标轴上的 3 个分量；反之， 如已知任一瞬时 t 的 ω 各个分量，也可利用上式求出 ψ、θ、j 和时间 t 的关系，因而也就决定了刚体的运动。上式通常被称为欧拉运动学方程。
欧拉角名词解释
欧拉角名词解释欧拉角（Eulerangles）由普林斯顿大学的梅西耶欧拉于1775年发明，是一种使用不同的转动角度来描述飞机、船只和机器人的运动状态的一种标准描述办法，把运动状态看作由三个连续的转动来完成，即绕着三轴的角度：滚转角、俯仰角和偏航角。
滚转角（Roll angle），也叫绕X轴旋转，是指飞行器沿着X轴旋转的角度，也叫偏摆角，它可用来描述飞行器的横滚状态，用角度来表示，一般以笛卡尔坐标系统下X轴向右为正，X轴向左为负来表示。
俯仰角（Pitch angle），也叫绕Y轴旋转，是指飞行器沿着Y轴旋转的角度，它可用来描述飞行器的俯仰状态，用角度来表示，一般以笛卡尔坐标系统下Y轴向上为正，Y轴向下为负来表示。
偏航角（Yaw angle），也叫绕Z轴旋转，是指飞行器沿着Z轴旋转的角度，它可用来描述飞行器的偏航状态，用角度来表示，一般以笛卡尔坐标系统下Z轴顺时针方向为正，逆时针方向为负来表示。
欧拉角在飞行动力学中有着重要的作用，它可以描述飞行器的运动状态明确，以及相应的姿态变换，更便于工程上的应用和实现，比如从起飞姿态到绕场及横穿场、航线，等等，都可以用欧拉角来表示，它对于导航控制系统的稳定性有着举足轻重的作用。
欧拉角也可以用在机器人领域，如在机器人动力学中，可以使用欧拉角作为关节转动的标准描述，将一个机器人当前的运动状态和相应的姿态变换数学描述出来，将机器人的非线性动力学约束问题转换为一个线性的动力学，从而可以推导出机器人当前运动状态的最优解。
欧拉角以其解决复杂运动状态和姿态变换的数学模型，极大地提高了运动控制领域的精度和效率，可以说，欧拉角是影响着现代机器人技术发展的重要元素，成为机器人控制的基础，值得研究学习。
综上所述，欧拉角使用不同的转动角度来描述飞机、船只和机器人的运动状态，其中包括滚转角，俯仰角和偏航角。
欧拉角在飞行动力学和机器人领域都有着重要的作用，它极大地提高了运动控制领域的精度和效率，从而成为机器人控制的基础。
欧拉角转向量
欧拉角转向量介绍欧拉角和向量都是在空间几何中常见的表示方法，在飞行器、机器人等领域中广泛应用。
欧拉角是一种常用的方式来描述一个刚体在空间中的方向，而向量则是表示物体位置和方向的几何工具。
本文将介绍如何将欧拉角转换为向量，以及其应用。
欧拉角和向量的基本概念在开始讨论欧拉角转向量之前，我们先简单了解一下欧拉角和向量的基本概念。
欧拉角欧拉角是一种用于描述物体在三维空间中旋转的方法。
它由三个角度组成，通常分别表示绕三个相互垂直的轴旋转的角度，我们将这些轴分别记为X轴、Y轴和Z轴。
根据欧拉角的旋转顺序，常见的欧拉角表示方式有以下三种： 1. 绕X轴旋转的角度，绕Y轴旋转的角度，绕Z轴旋转的角度（俯仰-滚转-偏航） 2. 绕Z轴旋转的角度，绕X轴旋转的角度，绕Y轴旋转的角度（航向-俯仰-滚转） 3. 绕Y轴旋转的角度，绕Z轴旋转的角度，绕X轴旋转的角度（滚转-偏航-俯仰）向量向量是表示空间中方向和长度的几何工具。
它由有序的数字集合组成，每个数字表示一个维度上的分量。
在三维空间中，向量通常由三个分量表示，分别对应于X轴、Y轴和Z轴方向上的值。
向量可以表示位移、力、速度等，其长度和方向分别表示向量对应的实际量的大小和方向。
欧拉角转向量的方法将欧拉角转换为向量可以帮助我们更方便地在算法和计算中使用。
接下来将介绍欧拉角转向量的方法。
方法一：基于旋转矩阵的转换1.根据欧拉角的旋转顺序和角度，构造三个旋转矩阵。
旋转矩阵可以将单位向量转换为在相应方向上旋转后的向量。
2.将三个旋转矩阵按照旋转的顺序相乘，得到一个综合的旋转矩阵。
3.将综合的旋转矩阵乘以一个基准向量，得到旋转后的向量。
方法二：基于四元数的转换1.根据欧拉角的旋转顺序和角度，将欧拉角转换为四元数。
2.根据四元数的定义和运算规则，将四元数转换为旋转矩阵。
3.将旋转矩阵乘以一个基准向量，得到旋转后的向量。
欧拉角转向量的应用欧拉角转向量在许多领域都有广泛应用，以下列举其中几个常见的应用场景。
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欧拉角
科技名词定义
中文名称：欧拉角
英文名称：Euler angles
定义：构件在三维空间中的有限转动，可依次用三个相对转角表示，即进动角、章动角和自旋角，这三个转角统称为欧拉角。
所属学科：机械工程（一级学科）；机构学（二级学科）；机构运动学（三级学科）
本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布
欧拉角
用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成，为欧拉首先提出而得名。
目录
它们有多种取法，下面是常见的一种。
如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′。
以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。
由轴Oz
欧拉角
量到Oz′的角θ称章动角。
平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。
在右手坐标系中，由ON的正端看，角θ应按逆时针方向计量。
由固定轴Ox量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。
由轴Oz和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。
若令Ox′y′z′的初始位置与Oxyz重合，经过相继绕Oz、ON和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。
如果刚体绕通过定点O的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′＝sinθsinj＋cosj，ωy′＝ sinθcosj－sinj，ωz′＝cosθ＋。
如果已知ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。
上式通常被称为欧拉运动学方程。
原理
欧拉角
Eulerian angles
用来唯一地确定定点转动刚体位置的三个一组独立角参量[1]，由章动角θ、进动角ψ和自转角嗞组成，为L.欧拉首先提出，故得名。
对于任何一个参考系，一个刚体的取向，是依照顺序，从这参考系，做三个欧拉角的旋转而设定的。
所以，刚体的取向可以用三个基本旋转矩阵来决定。
换句话说，任何关于刚体旋转的旋转矩阵是由三个基本旋转矩阵复合而成的。
它们有多种取法，下面是常见的一种。
欧拉运动学方程
如图所示，由定点O作出固定坐标系Oxyz 以及固连于刚体的坐标系Ox┡y┡z┡。
以轴Oz和Oz┡为基本轴，其垂直面Oxy和Ox┡y┡为基本平面。
由轴Oz量到Oz┡的角度θ称为章动角。
平面zOz┡的垂线ON称为节线,它又是基本平面Ox┡y┡和Oxy的交线。
在右手坐标系中,由ON的正端看,角θ应按逆时针方向计量。
由固定轴Ox量到节线 ON的角度ψ称为进动角；由节线ON量到动轴Ox┡的角度嗞称为自转角。
由轴Oz和Oz┡正端看,角ψ和嗞也都按逆时针方向计量。
欧拉角(ψ，θ，嗞)的名称来源于天文学。
三个欧拉角是不对称的，且在几个特殊位置上具有不确定性（当θ＝0时,嗞和ψ就分不开）。
对不同的问题，宜取不同的轴作基本轴，并按不同的方式量取欧拉角。
若令Ox┡y┡z┡的原始位置重合于Oxyz，经过相继绕Oz、ON和Oz┡的三次转动Z(ψ)、N(θ)、Z┡(嗞)后，刚体将转到图示的任意位置（见刚体定点转动）。
变换关系可写为：
欧拉角
R(ψ，θ，嗞)=Z┡(嗞)N(θ)Z(ψ)，
式中R、Z┡、N、Z是转动算子,并可用矩阵表示如下:
Image:374-01.jpg Image:374-02.jpg
在进行转动算子的乘法运算时，应从最右端做起。
刚体上任一点Q在两个坐标系中的坐标x、y、z和x┡、y┡、z┡都可以通过矢径Image:374-06.jpg的模和方向余弦来表出。
两组坐标之间有如下变换关系：
x＝x┡cos(x,x┡)+y┡cos(x,y┡)+z┡cos(x,z┡)，
y＝x┡cos(y,x┡)+y┡cos(y,y┡)+z┡cos(y,z┡)，
z＝x┡cos(z,x┡)+y┡cos(z,y┡)+z┡cos(z,z┡)。
反变换只须在同名坐标间对调记号。
如果刚体绕通过定点O 的某一轴线以角速度ω转动，而ω在与刚体固连的活动坐标系Ox┡y┡z┡上的投影为Image:374-x.jpg、
Image:374-y.jpg、Image:374-z.jpg，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：
Image:374-x.jpg＝夗sinθsin嗞＋夝cos嗞，
Image:374-y.jpg＝夗sinθcos嗞－夝sin嗞，
Image:374-z.jpg＝夗cosθ＋夓。
由上式可以看出，如果已知ψ、θ、嗞和时间的关系，则可用上式计算角速度ω在活动坐标轴上的三个分量；反之,如在任一瞬时已知t和ω的各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、嗞和时间t的关系，因而也就决定了刚体运动。
我们通常把上式叫做欧拉运动学方程。
作用
欧拉角Eulerian angles用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量，由章动角θ、旋进角（即进动角）ψ和自转角j组成。
为欧拉首先提出而得名。
它们有多种取法，下面是常见的一种。
如图所示，由定点O 作出固定坐标系 Oxyz和固连于刚体的动坐标系Ox′y′z′ 。
以轴Oz和Oz′为基本轴，其垂直面Oxy和Ox′y′为基本平面。
由轴Oz量到Oz′的角θ称章动角。
平面zOz′的垂线ON称节线，它又是基本平面Ox′y′和Oxy的交线。
在右手坐标系中，由 ON 的正端看，角θ应按逆时针方向计量。
由固定轴 Ox 量到节线ON的角ψ称旋进角；由节线ON量到动轴Ox′的角j称自转角。
由轴 Oz 和Oz′正端看，角ψ和j也都按逆时针方向计量。
若令Ox′y′z′的初始位置与 Oxyz 重合，经过相继绕 Oz 、ON 和Oz′的三次转动后，刚体将转到图示的任意位置。
如果刚体绕通过定点 O 的某一轴线以角速度ω转动，而ω在动坐标系Ox′y′z′上的投影为
ωx′、ωy′、ωz′，则它们可用欧拉角及其微商表示如下：ωx′ ＝sinθsinj＋cosj，ωy′＝ sinθcosj－sinj，ωz′＝cosθ＋。
如果已知ψ、θ、j和时间的关系，则可用上式计算ω在动坐标轴上的 3个分量；反之，如已知任一瞬时t的ω各个分量，也可利用上式求出ψ、θ、j和时间t的关系，因而也就决定了刚体的运动。
上式通常被称为欧拉运动学方程。
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欧拉角
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应用
应用研究
欧拉角广泛地被应用于经典力学中的刚体研究，与量子力学中的角动量研究。
在刚体的问题上, xyz 坐标系是全局坐标系， XYZ 坐标系是局部坐标系。
全局坐标系是不动的；而局部坐标系牢嵌于刚体内。
关于动能的演算，通常用局部坐标系比较简易；因为，惯性张量不随时间而改变。
如果将惯性张量（有九个分量，其中六个是独立的）对角线化，那么，会得到一组主轴，以及一个转动惯量（只有三个分量）。
在量子力学里，详尽的描述SO(3)的形式，对于精准的演算，是非常重要的，并且几乎所有研究都采用欧拉角为工具。
在早期的量子力学研究，对于抽象群理论方法(称为Gruppenpest)，物理学家与化学家仍旧持有极尖锐的反对态度的时候；对欧拉角的信赖，在基本理论研究来说，是必要的。
欧拉角的哈尔测度
欧拉角的哈尔测度有一个简单的形式，通常在前面添上归一化因子
π2 / 8 。
欧拉角
单位四元数，又称欧拉参数，提供另外一种方法来表述三维旋转。
这与特殊酉群的描述是等价的。
四元数方法用在大多数的演算会比较快捷，概念上比较容易理解，并能避免一些技术上的问题，如万向节锁 (gimbal lock) 现象。
因为这些原因，许多高速度三维图形程式制作都使用四元数。