11.2 与三角形有关的角(2)
人教版八年级数学上册第11.2.2三角形的外角 教学课件(共28张PPT)
外角
归纳：
1、每一个三角形都有_6___个外角; 2、每一个顶点相对应的外角都有_2__个。 3、这6个外角中有_3____对外角相等。
4、一个三角形的每一个外角对应一个
_相___邻__的___内__角__和两个__不___相__邻___的__内__.角
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9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21.8.1021.8.10T uesday, August 10, 2021
底角为_3_0__或__7_5_°_.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,则 ∠BDC=_1__2_0_外围走一圈，在每一个拐弯 的地方都转了一个角度（∠ 1， ∠ 2，∠ 3）， 那么回到原来位置时，一共转了几度？
∠1＋∠2 ＋∠3 ＝ ?
∠1= 90º ∠1= 85º ∠1= 95º
2. 如图所示, ∠A=37°, ∠CBE=155°,
求∠1, ∠2, ∠3的度数.
D
C 3
2
A 37°
155°
1B
E
∠1=25°, ∠2=62°, ∠3=118°
3.图中∠1与 ∠A、 ∠B 、∠C度 数有什么关系？
课堂巩固:
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这
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5、You have to believe in yourself. That's the secret of success. ----Charles Chaplin人必须相信自己，这是成功的秘诀。-Thursday, June 17, 2021June 21Thursday, June 17, 20216/17/2021
11.2与三角形相关的角
11.2与三角形相关的角：1.三角形的内角和等于180°任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有3个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角。
2.直角三角形的两个锐角互余。
3.三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。
探索研究三角形内角和等于180°。
jCB AC B A C B A法一：通过减拼的方法，验证三角形的内角和等于180°。
法二： 法三：法四： 法五：例1：如图，在ΔABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD 是⊿ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数。
DCBA例2：如图，A,B,C,三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°，B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向。
从B 岛看A,C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A,B 两岛的视角∠ACB 呢？CBA直角三角形的两个锐角互余,反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形。
1.在ΔABC 中，∠C=90°,则∠A+∠B=90°。
则直角三角形用符号Rt Δ表示，直角三角形ABC 表示成“Rt ΔABC ”。
例3.如图，∠C=∠D=90°,AD ，BC 相交于点E ，∠CAE 与∠DBE 有什么关系？为什么？ DE B A C三角形的外角=与它不相邻的两个内角之和。
1.已知ΔABC ，∠ACD 是ΔABC 的外角，求证：∠ACD=∠A+∠B 。
DCB A例4：如图，∠BAE,∠CBF,∠ACD 是ΔABC 的三个外角，它们的和是多少？DC BEA三角形内角和一、选择题1、一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（ ）A.95°，20°B.45°，80°C.45°，60°2、一个等腰三角形，顶角是100°，一个底角是（ ）。
【2023年】人教初中数学八上 11.2.1 与三角形有关的角课件 【通用,最新经典教案】
活动3 等腰三角形中相等的线段 如果DE，DF分别是∠ADB，∠ADC 的平分线 ，
它们还有相等的数量关系吗？
DE =DF．
A
E
B D
F C
活动3 等腰三角形中相等的线段
已知：如图，在△ABC 中，AB =AC，点D 是BC 边 的中点，DE，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线．求 证：DE =DF.
方法：度量、剪拼图、折叠
A
B
B
C
A
B
C
A
B
C
探索并证明三角形内角和定理
问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形三个 内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的 吗？请大家利用手中的三角形纸片进行探究．
方法：度量、剪拼图、折叠 A
B
C
探索并证明三角形内角和定理
追问1 运用度量的方法，得出的三个内角的和都 是180°吗？为什么？
测量可能会有误差．
探索并证明三角形内角和定理
追问2 通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手 中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中 的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的 三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的 三个内角的和都等于180°”这个结论呢？
需要通过推理的方法去证明．
证明：过点A 作直线l ，使l ∥BC． ∵ l ∥BC ， ∴ ∠2 = ∠4，
∠3 = ∠5 （两直线平行，内错角相等） ．
A
l
4
5
1
2 B
3 C
探索并证明三角形内角和定理
追问3 结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？ 已知：△ABC．求证：∠A +∠B + ∠C = 180°．
11.2 与三角形有关的角
11.2 与三角形有关的角教学目标1．探索并证明三角形内角和定理．2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．3．使学生在操作活动中，探索出三角形的外角的两条性质，并利用学过的定理论证这些性质．4．能利用三角形的外角性质解决实际问题．教学重点探索并证明三角形内角和（外角和）定理，体会证明的必要性．课时安排2课时教案A第1课时教学内容三角形的内角．教学过程一、新课导入在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180°，你还记得是怎么发现这个结论的吗？二、探究新知1．动手操作教师让学生利用手中的三角形纸片进行探究，提醒学生可以采用三种方法：度量、剪拼图、折叠．通过学生的实验探究后，教师指出运用度量的方法时，测量可能会有误差，得出的三个内角的和接近180°．通过度量、剪拼图或折叠的方法验证了手中的三角形纸片的三个内角和等于180°，但我们手中的三角形只是所有三角形中有限的几个，而形状不同的三角形有无数多个，我们如何能得出“所有的三角形的三个内角的和都等于180°”这个结论呢？2． 探究证明师生共同完成三角形内角和的证明过程． 已知：△ABC ．求证：∠A ＋∠B ＋ ∠C ＝ 180°．证明：如右图，过点A 作直线l ，使l //BC ． ∵ l //BC ，∴ ∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）． 同理∠3＝∠5．∵ ∠1，∠4，∠5组成平角， ∴ ∠1＋∠4＋∠5＝180° （平角定义）． ∴ ∠1＋∠2＋∠3＝180° （等量代换）．通过前面的操作和证明过程，你能受到什么启发？你能用其他方法证明此定理吗？ 学生独立思考，讨论其他做法．注意：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常用虚线表示．3． 例题分析下图是A ，B ，C 三岛的平面图，C 岛在A 岛的北偏东50°方向， B 岛在A 岛的北偏东80°方向，C 岛在B 岛的北偏西40°方向，从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 是多少度？从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评． 想一想：你还有其他解法吗？ 4．直角三角形的性质在△ABC 中，若∠C ＝90°，你能求出∠A ，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A ＋∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评． 明晰：直角三角形的两个锐角互余．提示：直角三角形可以用符号“Rt △”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt △ABC ． 5．直角三角形的性质的应用如图，∠C ＝∠D ＝90°，AD ，BC 相交于点E ，∠CAE 与∠DBE有什么关系？为什么？分析：两个角的关系是什么？这两个角分别在什么三角形中？你如何验证自己的想法？解：在Rt △AEC 中，∠CAE ＝90°－∠AEC ． 在Rt △BDE 中，∠DBE ＝90°－∠BED ． ∵∠AEC ＝∠BED ， ∴∠CAE ＝∠DBE ．如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评． 明晰：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、课堂小结1．探索并证明三角形内角和定理．2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．3．掌握直角三角形的两个锐角互余，并能简单应用． 四、布置作业习题11.2 第1、3、4题．第2课时教学内容三角形的外角． 教学过程 一、新课导入如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝50°，则∠C ＝ ．把△ABC 的一边BC 延长，得到∠ACD ．这个角还是三角形的内角吗？∠ACD ＝ ．二、探究新知1．三角形外角的定义定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．想一想：三角形的外角有几个？ ．每个顶点处有 个外角，但它们是 ．2．外角的性质在右图中，△ACD 与△ABC 的内角有什么关系？ （1）∠ACD ＝ ＋ ；（2）∠ACD∠A，∠ACD∠B（填“<”、“＝”“>”）．再画△ABC的其他的外角试一试，还会得到这些结论吗？请学生用几何语言叙述这个结论：三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．3．外角性质的证明你能用学过的定理证明这些定理的成立吗？已知：△ACD是△ABC的外角．求证：（1）△ACD＝∠A＋∠B（2）△ACD＞∠A，△ACD＞∠B．学生独立思考，师生完成证明过程．证明：（1）因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°．所以∠A＋∠B＝180°－∠ACB．又因为∠ACB＋∠ACD＝180°，所以∠ACD＝180°－∠ACB．所以∠ACD＝∠A＋∠B．（2）由（1）的证明结果可以得出：△ACD＞∠A，△ACD＞∠B．想一想：你还可以结合右图形给予说明吗？4．外角性质的应用如右图，∠1、∠2、∠3是三角形ABC的不同三个Array外角，则它们的和是多少？解：因为∠1＝∠ABC＋∠ACB，∠2＝∠BAC＋∠ACB，∠3＝∠ABC＋∠BAC，所以∠1＋∠2＋∠3＝2（∠ABC＋∠BAC＋∠ACB）．因为∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180º，所以∠1＋∠2＋∠3＝2×180º＝360º．三、课堂小结1．了解三角形的外角的两条性质2．利用学过的定理论证这些性质3．能利用三角形的外角性质解决实际问题四、布置作业习题11.2第6、8题．教案B第1课时教学内容三角形的内角．教学过程一、新课导入活动1说出三角形内角和是多少，并思考如何证明．二、自主学习1.活动2 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起，就得到一个平角．从这个操作过程中，你能发现证明的思路吗？下面是两种拼合的方法，试一试，看看得到什么结果．学生动手操作后与同伴交流，得到：所有的三角形的三个内角的和都等于180°．2.活动3如果我们不用上面的办法，可不可以用推理论证的方法来说明三角形内角和定理的正确性呢？学生独立思考后，小组合作交流．优秀小组代表发言，师生完成规范步骤的书写．提示：为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助Array线通常用虚线表示．3.活动4如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线．求∠ADB的度数．学生独立思考后，小组合作交流．优秀小组代表发言，师生完成规范步骤的书写．4. 活动5 在△ABC中，若∠C＝90°，你能求出∠A，∠B的度数吗？为什么？你能求出∠A＋∠B的度数吗？你能得出什么结论？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评．明晰：直角三角形的两个锐角互余．提示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．5. 活动6 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证你的想法？学生先独立解决，再合作交流，最后教师点评．明晰：有两个角互余的三角形是直角三角形．三、自我检测1．在△ABC中，若∠A＝40°，∠A＝2∠B，则∠C＝．2．如右图，在△ABC中∠C＝60°，∠B＝50°，AD是∠BAC的平分线，则∠BAD＝．答案1．120°2．35°四、课堂小结1．探索并证明三角形内角和定理．2．能运用三角形内角和定理解决简单问题．3．掌握直角三角形的两个锐角互余，并能简单应用．五、布置作业习题11.2第1、3、4题．第2课时教学内容三角形的外角．教学过程一、新课导入复习上节内容，导入新课的教学．二、自主学习1.活动1阅读教材的内容，找出上题的答案．明晰：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．2.活动2 画出△ABC的所有外角，并找出外角出现的规律．学生独立画图后，小组合作交流，优秀小组代表发言．提示：三角形的外角有6个，每个顶点处有2个外角，但它们是对顶角．3.活动3 找出右图中∠ACD与△ABC的内角有什么关系？学生独立思考后，小组合作交流，优秀小组代表发言．明晰：三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．4.活动4 你能用学过的定理说明这些定理的成立吗？学生独立思考后，小组合作交流．优秀小组代表发言，师生完成规范步骤的书写．三、自我检测1．若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角，则这个三角形是（ ）．A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法确定 2．如下图所示，则α＝ °． 3．如图，∠A ＝55°，∠B ＝30°，∠C ＝35°，求∠CDB 的度数．答案 1．C 2．114° 3．120° 四、课堂小结1．了解三角形的外角的两条性质 2．利用学过的定理论证这些性质3．能利用三角形的外角性质解决实际问题 五、布置作业 习题11.2 第6、8题．5（第2题）23α ACDB （第3题）。
人教版八年级数学上册作业课件 第十一章 三角形 与三角形有关的角 三角形的外角
解：(1)∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－12 (∠ABC＋∠ACB) ＝180°－12 (180°－∠A)＝90°＋12 ∠A (2)∠P＝∠PCE－∠PBE＝12 (∠ACE－∠ABC)＝12 ∠A (3)∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－12 (∠EBC＋∠BCF)＝ 180°－12 (∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC)＝ 180°－12 (∠A＋180°)＝90°－12 ∠A
15．一个零件的形状如图所示，按规定∠A应等于90°， ∠B，∠C应分别是21°和32°，检验员量得∠BDC＝148°， 就断定这个零件不合格，这是为什么？ 解：延长CD交AB于E，则∠CEB＝∠C＋∠A＝90°＋32°＝122°， 又∵∠CDB是△DBE的外角，∴∠CDB＝122°＋21°＝143°≠148°， ∴这个零件不合格
13．如图，AB∥CD，∠ABE＝66°，∠D＝54°，则∠E的度数为___1度2 ．
14．(新乡期中)如图，已知DE分别交△ABC的边AB，AC于点D，E， 交BC的延长线于点F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°， 求∠BDF的度数．
解：∠A＝180°－∠B－∠ACB＝180°－67°－74°＝39°， ∴∠BDF＝∠A＋∠AED＝39°＋48°＝87°
7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA， 那么，∠EAC与∠B相等吗？为什么？ 解：相等．理由如下：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD， 又∵∠EAD＝∠EDA， ∴∠EAC＝∠EAD－∠CAD＝∠EDA－∠BAD＝∠B
8．如果一个三角形的两个外角的和等于270°，则这个三角形一定是(B) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形
16．(宜昌中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°， △ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E. (1)求∠CBE的度数； (2)过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．
初中数学人教版八年级上册11三角形的内角和(2课时) 教案
11．2与三角形有关的角三角形的内角第1课时三角形的内角和一、教学目标1．探索并掌握三角形内角和定理．2．学会运用三角形内角和定理．二、教学重难点1.三角形内角和定理．2.三角形内角和定理的推导过程．三、教学设计◆活动1新课导入1．问题：三角形的内角和是多少度？2．在直角△ABC中，∠C＝90°，则∠A与∠B的关系是____∠A＋∠B＝90°__．3．三角形的三个内角之比为1∶3∶5，那么这个三角形的最大内角为__100°__．本节课我们一起学习有关三角形内角和的有关知识．◆活动2探究新知1．现在有一副三角板．提出问题：(1)每个三角板的每个角各是多少度？(2)每个三角板三个内角的和各是多少度？(3)猜一猜，任意一个三角形的三个内角和都相同吗？等于多少度？学生完成并交流展示．2．教材P11探究．提出问题：(1)在图(1)中，直线l与△ABC的边BC有什么关系？(2)在图(2)中，直线l与△ABC的边AB有什么关系？(3)利用图(1)或图(2)能证明三角形的内角和定理吗？这样证明的依据是什么？(4)你还能想出其他方法证明三角形的内角和定理吗？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳三角形的内角和定理：__三角形三个内角的和等于180°__．◆活动4例题与练习例1教材P12例1.例2教材P12例2.例3若△ABC的一个内角∠A是另一个内角∠B的23，也是第三个内角∠C的45，求△ABC三个内角的度数．解：依题意，得∠A＝23∠B，∠A＝45∠C，∴∠B＝32∠A，∠C＝54∠A.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＋32∠A＋54∠A＝180°，∴∠A＝48°，∠B＝72°，∠C＝60°.例4如图，将△ABC沿EF折叠，使点C落在点C′处，试探求∠1，∠2与∠C的数量关系．解：由折叠的性质，得∠CEF＝∠C′EF，∠CFE＝∠C′FE.∴∠1＝180°－2∠CEF，∠2＝180°－2∠CFE，∴∠1＋∠2＝360°－2(∠CEF＋∠CFE)＝360°－2(180°－∠C)＝2∠C，即∠1＋∠2＝2∠C.练习1．教材P13练习第1，2题．2．如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝20°，∠COD＝100°，则∠C的度数是(C) A．80° B．70° C．60° D．50°(第2题图)(第3题图) 3．如图，AB∥CD，AD平分∠BAC.若∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(A)A．40° B．35° C．50° D．45°4．当三角形中的一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为__30°__．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝∠ABC，∠A＝40°，P是△ABC内一点，且∠1＝∠2，求∠BPC 的度数．解：∵∠A＝40°，∠ACB＝∠ABC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°.又∵∠1＝∠2，∴∠BCP＝∠ABP，∴∠2＋∠BCP＝∠2＋∠ABP＝∠ABC＝70°，∴∠BPC＝180°－(∠2＋∠BCP)＝180°－70°＝110°.◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结三角形的内角和定理．四、作业和反思1．作业布置(1)教材P16习题11.2第3，9题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思第2课时直角三角形的两个锐角互余一、教学目标1．了解直角三角形两个锐角的关系．2．掌握直角三角形的判定．二、教学重难点1.了解直角三角形两个锐角的关系，掌握直角三角形的判定．2.掌握直角三角形的判定，会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算．三、教学设计◆活动1新课导入三角形中求角的度数问题，当角之间存在数量关系时，一般根据三角形内角和为180°建立方程来解决．◆活动2探究新知1．教材P13练习下面的内容．提出问题．(1)在△ABC中，∠C＝90°，∠A与∠B之间有什么关系？(2)你能证明吗？如何证明？学生完成并交流展示．2．在△ABC中，若∠B＋∠A＝90°，那么△ABC是什么形状的三角形？并说明理由．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．直角三角形的两个锐角__互余__．2．有两个角互余的三角形是__直角__三角形．◆活动4例题与练习例1教材P14例3.例2如图，点E是△ABC中AC边上的一点，过点E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么．解：△ABC是直角三角形．理由如下：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，∴△ADE是直角三角形，∴∠1＋∠A＝90°.又∵∠1＝∠2，∴∠2＋∠A＝90°，∴∠C＝180°－(∠2＋∠A)＝180°－90°＝90°，∴△ABC是直角三角形．例3(1)如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E.试猜测∠1与∠2的关系，并说明理由；(2)如图②，在△ABC中，如果∠BAC是钝角，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，那么(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．解：(1)∠1＝∠2.理由如下：∵AD⊥BC，CE⊥AB，∴△ABD和△BCE都是直角三角形，∴∠1＋∠B＝90°，∠2＋∠B＝90°，∴∠1＝∠2；(2)结论仍然成立．理由如下：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠1＋∠4＝90°，∠2＋∠3＝90°.又∵∠3＝∠4，∴∠1＝∠2.练习1．教材P14练习第1，2题．2．如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，BE平分∠ABC交边AC于点E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的度数是(B)A．15° B．20° C．25° D．30°(第2题图)(第3题图) 3．如图，将有一块含有60°角的直角三角板的两个顶点分别放在长方形的对边上．如果∠1＝18°，那么∠2的度数是__12°__．4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明△EPF为直角三角形．解：∵AB∥CD，∴∠BEF＋∠DFE＝180°.∵EP为∠BEF的平分线，FP为∠DFE的平分线，∴∠PEF＝12∠BEF，∠PFE＝12∠DFE，∴∠PEF＋∠PFE＝12(∠BEF＋∠DFE)＝90°，∴△EPF为直角三角形．◆活动5完成《名师测控》随堂反馈手册◆活动6课堂小结1．直角三角形的性质——两锐角互余．2．直角三角形的判定——有两角互余的三角形是直角三角形．四、作业与反思1．作业布置(1)教材P16习题11.2第4，10题；(2)《名师测控》对应课时练习．2．教学反思。
11.2.2三角形的外角课件 2
A
已知∠ACD是△ABC 的外角，求证： ∠ACB=∠A+∠B
证明： ∵ ∠ACD+∠ACB＝180° ∠A+∠B+∠ACB＝180°
B C
ห้องสมุดไป่ตู้
D
∴ ∠ACD＝ ∠A+∠B
你还有其 他方法来 证明吗？
∴ ∠ACD ＞ ∠A
∠ACD ＞∠B
例1： ∠BAE ∠CBF ∠ACD 是 △ABC的三个外角，他们的和是多少？
因为 ACB > ∠D 所以应把球传给在C处的球员
问题4：已知如图：P是△ABC内的一 点，求证：∠BPC＞∠A A
证明：延长BP交AC于E
∵∠BPC是△ABC的外角 （外角定义） ∴∠BPC＞∠PEC（外角定 理） 同理可证：∠PEC＞∠A ∴∠BPC＞∠A(不等式性质）
B P E
C
外角定理：
E 解：∵ ∠BAE ∠CBF ∠ACD 是△ABC
的三个外角（已知） 1 2 3 C A
∴ ∠BAE =∠3 + ∠2 三角形一个 ∠CBF =∠1+∠3 外角等于和 ∠ACD =∠1+∠2
= 2（∠3 + ∠2 +∠1）
∴ ∠BAE +∠CBF + ∠ACD
它不相邻的 两个内角的和
B F
D
(等式性质）
B C A 1 D
∵AD平分∠EAC (已知）
∴∠EAC=2∠1（角平分线定义） ∴ 2∠1 =2∠C （等量代换） ∴ ∠1 =∠C （等式性质） ∴ AD∥BC （内错角相等，两直线平行）
在绿茵场上，球员在 P处受到阻挡需要传球，请帮 助作出选择，应传给在C处的球员还是D处的球员，其射 门不易射偏。（不考虑其他因素）
初中数学人教版八年级上册《11.2.2三角形的外角》课件
判定下列观点是否正确.
（1）三角形的外角都是钝角.
（×）
（2）三角形的外角大于任何一个内角.
（×）
（3）三角形的外角等于它的两个内角的和. （×）
（4）三角形的外角和等于360°.
（√ ）
解：（1）三角形的外角是锐角、钝角或者直角. （2）三角形的外角大于任何一个不相邻内角. （3）三角形的外角等于它的不相邻两个内角的和.
C
D
小明把一副含有45°、30°的直角三角板如图摆放，若∠C=∠F=90°，
∠A=45°，∠D=30°，则∠α+∠β等于（ B）
A.180°
B.210°
C.360°
D.270°
解：∵∠α、∠β是三角形的外角， ∴∠α=∠1+∠D，∠β=∠2+∠F. ∵∠1=∠3，∠2=∠4， ∴∠α+∠β=∠1+∠D+∠2+∠F =∠3+∠4+∠D+∠F =210°.
A
F B
GE
C
D
已知五角星如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
A
F B
GE
C
D
解：∵在△BGD中，∠AGF是它的外角， ∴∠AGF=∠B+∠D.
∵在△CFE中，∠AFG是它的外角， ∴∠AFG=∠C+∠E.
∵在△AFG中，∠A、∠AFG、∠AGF是三个内角，
∴∠A+∠AFG+∠AGF=180°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
则∠BAC=∠1+∠DAC=70°.
人教版八年级数学上册 三角形 知识点归纳
人教版八年级数学上册第十一章三角形知识点归纳11.1与三角形有关的线段由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
顶点是A、B、C的三角形记为△ABC，读作“三角形ABC”，线段AB、BC、CA是△ABC的三边，∠A、∠B、∠C是△ABC的内角。
△ABC的三边除了可以用AB、BC、CA来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示。
顶点A所对的边用a表示，顶点B所对的边用b表示，顶点C所对的边用c表示。
三角形的顶点也可以用其它大写字母表示，例如△DEF，其读法和写法也以此类推。
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
三边都相等的三角形叫做等边三角形。
三角形按边的相等关系可以这样分类：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
从三角形的一个端点向它的对边作一条垂线，三角形的顶点和它对边垂足之间的线段叫做三角形这条边上的高。
在三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。
三角形其中一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的高、中线、角平分线都是线段。
三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
三角形的一条中线会把这个三角形分成面积相等的两部分。
锐角、钝角、直角三角形的三条中线、三条角平分线、三条高（1）锐角、钝角、直角三角形的三条中线：（2）锐角、钝角、直角三角形的三条角平分线：（3）锐角、钝角、直角三角形的三条高：当三角形三边的长度都确定时，这个三角形的面积和形状就已经完全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。
三角形具有稳定性，四边形、五边形、六边形等图形具有不稳定性。
11.2与三角形有关的角按角来分类：三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。
直角三角形的两个锐角互余。
有两个角互余的三角形是直角三角形。
三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角。
人教版(部编)八年级数学上册-直角三角形的性质和判定
总结归纳
思考：通过前面的例题，你能画出这些题型的基本 图形吗？
基本图形
AB o
A
B
o D
C
D
∠A=∠D
C
∠A=∠C
二 有两个角互余的三角形是直角三角形
问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC 是直角三角形吗？
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是 △ABC是直角三角形.
C．∠BCD和∠A
D．∠BCD
7.如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是 AB上一点，且∠ACD=∠B．求证：△ACD是直角 三角形．
证明：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵∠ACD=∠B， ∴∠A+∠ACD=90°， ∴△ACD是直角三角形.
课堂小结
直角三角 形的性质 与判定
八年级数学上（RJ） 教学课件
第十一章 三角形
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
情境引入
内角三兄弟之争
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟 非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它 指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样 大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们 这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷. 你知道其中的道理吗？
B．50°
C．60°
D．70° 5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ D） A．∠A+∠B=∠C B．∠A-∠B=∠C C．∠A：∠B：∠C=1：2：3 D．∠A=∠B=3∠C
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八 年级 数学 学科 备课人 尚海娜
课题名称
11.2 与三角形有关的角(2) 课时 安排 1 备课时间
授课时间
教学目标
1．探索并掌握直角三角形的两个锐角互余．
2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形．
教学重点
探索并掌握直角三角形的两个锐角互余．
教学难点 探索直角三角形两个锐角互余的过程。
教学方法
课型
课前准备
教 学 设 计
一、复习三角形的内角和
问题1 在△ABC 中，∠A =60°，∠B =30°，∠C 等于多少度？
你用了什么知识解决的？
二、探索直角三角形的性质
问题2 在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为
什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么
结论？
结论：直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，
直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC ．
问题3 此性质的几何推理格式该怎样表示？
在Rt△ABC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠A +∠B =90°
A
B
C
八 年级 数学 学科 备课人 尚海娜
三、例题讲解
例 如图，∠C =∠D =90°，AD，BC 相交于点E， ∠CAE 与∠DBE 有
什么关系？为什么？
分析：两个角的关系是
什么？这两个角分别在什么
三角形中？你如何验证自己
的想法？
解：在Rt△AEC 中，
∵ ∠C =90°，
∴ ∠CAE +∠AEC =90°
（直角三角形两锐角互余）．
在Rt△BDE 中，
∵ ∠D =90°，
∴ ∠DBE +∠BED =90°
（直角三角形两锐角互余）．
∵ ∠AEC =∠BED
（对顶角相等），
∴ ∠CAE =∠DBE
（等角的余角相等）．
四、探索直角三角形的判定
问题4 我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有
两个角互余．反过来，你能得出什么结论？这个结论成立吗？如何验证
你的想法？
利用三角形内角和定理可得：
有两个角互余的三角形是直角三角形．
问题5 类比性质的几何推理格式，判定的几何推理格式又该怎样表
示？
推理格式：
在Rt△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
∴ △ABC 是直角三角形．
C
D
E
A
B
八 年级 数学 学科 备课人 尚海娜
五、课堂练习
练习 如图，∠ACB =90°，CD⊥AB，垂足为D，
∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？
变式1 若∠ACD =∠B，∠ACB =90°，则CD 是
△ACB 的高吗？为什么？
变式2 若∠ACD =∠B，CD ⊥AB，△ACB
为直角三角形吗？为什么？
变式3 如图，若∠C =90°，
∠AED =∠B，△ADE 是直角三角形吗？为什么？
六、课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？
（2）你是如何探索直角三角形的性质与判定的？它们
是怎么叙述的？它们有什么区别与联系？
（3）利用直角三角形的性质与判定分别可以解决哪些
问题？
板
书
设
计
教
后
札
记
D
A B
C