人教版八年级第2讲与三角形有关的角

人教版八年级第2讲与三角形有关的角学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知，如图①，一根木棒BC 斜靠在墙上，木棒与它在墙壁即地板上的影子AB ，AC 构成一个直角三角形ABC ，若CBA ∠与BCA ∠的角平分线交于点P ，求P ∠的度数.若木棒向上或向下滑动，其他条件不变，P ∠的度数有什么变化？请说明理由.2．在ABC ∆中，（1）若60C ∠=°，3A B ∠=∠，则A ∠=______，B ∠=______. （2）若1123A B C ∠=∠=∠，则A ∠=______，B ∠=______，C ∠=______. （3）若A B C ∠-∠=∠，则A ∠=______；若75A ∠=︒，15B C ∠-∠=︒，则C ∠=______.3．如图，在△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，且分别交BC ，AC 于点D 和E ，∠B ＝60°，∠C ＝25°，则∠BAD 为（ ）A ．50°B ．70°C ．75°D ．80°4．ABC ∆的三角形内角A ∠，B ，C ∠满足关系3A B ∠>∠，2B C ∠>∠，则这个三角形是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形但不等边D ．等边三角形5．（1）若三角形的三个外角的比为2:3:4，则它的三个内角的比为（______）A ．4:3:2B ．1:3:5C ．5:3:1D ．3:2:1（2）在ABC ∆中，点D ，E 分别是BC ，AC 边上的点，AD ，BE 相交于点F ，则123C ∠+∠+∠+∠=______.6．如图，点E ，F 分别是ABC ∆的边AB ，BC 上任意一点，将BEF ∆沿EF 折叠至DEF ∆，已知CFD β∠=.（1）若已知BMF α∠=，探究D ∠，α，β之间的关系.（2）若已知AMF α∠=，探究D ∠，α，β之间的关系（直接写出结论，不需要证明）.（3）若已知DEM α∠=，探究D ∠，α，β之间的关系（直接写出结论，不需要证明）.7．如图，AB ∥CD ，∠ABE=60°，∠D=50°，则∠E 的度数为A ．30°B ．20°C ．10°D ．40°8．将一副直角三角板如图摆放，点C 在EF 上，AC 经过点D ．已知∠A=∠EDF=90°，AB=AC ．∠E=30°，∠BCE=40°，则∠CDF= ．9．（1）如图，求证：A B C D ∠+∠=∠+∠.∠+∠+∠=∠.（2）如图，求证：A B C BDC∠+∠+∠+∠+∠=______.（3）如图，则A B C D E∠+∠+∠+∠+∠+∠=______. （4）如图，则A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠=______. （5）如图⑤，则A B C D E∠+∠+∠+∠+∠+∠=______. （6）如图⑥，则A B C D E F10．如图，三角形纸片ABC ，AB=AC ，∠BAC=90°，点E 为AB 中点，沿过点E 的直线折叠，使点B 与点A 重合，折痕现交于点F ，已知EF=32，则BC 的长是（ ）A ．2B ．C ．3D ．11．如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD AE =，60BAD ∠=︒，则EDC ∠=______.12．如图，点O 是△ABC 的两条角平分线的交点，若∠BOC ＝118°，则∠A 的大小是 。

13．如图，已知ABC ∠，ACB ∠的外角平分线交于点O ，40A ∠=︒，那么O ∠=______.14．在ABC ∆中，高BD 和高CE 所在的直线相交于点O ，若ABC ∆不是直角三角形，且60A ∠=︒，求BOC ∠的度数.15．如图，A 在x 轴负半轴上，点B 的坐标为()0,4-，点()6,4E -在射线BA 上.（1）求证：点A 为BE 的中点.（2）在y 轴正半轴上有一点F ，使45FEA ∠=︒，求点F 的坐标.（3）如图，点M ，N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN NB MA ==，点I 为MON ∆的内角平分线的交点，AI ，BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P ，Q 两点，IH ON ⊥于点H ，记POQ ∆的周长为POQ C ∆.求证：2POQ C HI ∆=.参考答案1．详见解析【解析】【分析】利用三角形内角和定理可知90CBA BCA ∠+∠=︒，又因角平分线性质可知()1452CBP BCP CBA BCA ∠+∠=∠+∠=︒，最后还是三角形内角和定理得到∠P=180°-45°=135°，上下滑动不影响CBA BCA ∠+∠，则不影响CBP BCP ∠+∠，所以∠P 不变【详解】在ABC ∆中，90A ∠=︒，而180CBA BCA A ∠+∠+∠=︒；∴90CBA BCA ∠+∠=︒.又∵BP ，CP 分别平分CBA ∠与BCA ∠， ∴12CBP CBA ∠=∠，12BCP BCA ∠=∠， 从而()11145222CBP BCP CBA BCA CBA BCA ∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， ∴在PBC ∆中，()180P CBP BCP ∠=︒-∠+∠18045135=︒-︒=︒.当木棒向上或向下滑动时，P ∠的度数不变，仍为135︒.事实上，木棒向上或向下滑动，不影响A ∠的大小，所以CBA BCA ∠+∠仍为90︒，CBP BCP ∠+∠还是45︒，因而()180********P CBP BCP ∠=︒∠+∠=︒-︒=︒.【点睛】本题主要考查角平分线性质与三角形内角和定理，难度适中，熟练掌握基础知识是本题关键 2．1）90︒，30.（2）30，60︒，90︒.（3）90︒，45︒.【解析】【分析】利用三角形内角和是180°和题中所给的等量关系进行解题即可【详解】（1）在ABC ∆中，∠A+∠B+∠C=180°，又3A B ∠=∠，60C ∠=°所以有4∠B+60°=180°，得到∠B=30°，∠A=90°（2）在ABC ∆中，∠A+∠B+∠C=180°， 由1123A B C ∠=∠=∠，得到∠B=2∠A ，∠C=3∠A 所以有∠A+2∠A+3∠A=180°，得到∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°（3）在ABC ∆中，∠A+∠B+∠C=180°，又A B C ∠-∠=∠，得到∠A=∠B+∠C 所以∠A+∠A=180°，得到∠A=90°；在ABC ∆中，∠A+∠B+∠C=180°，若75A ∠=︒，得到∠B+∠C=105°又15B C ∠-∠=︒，两式联立，解出∠B=60°，∠C=45°故填（1）90︒，30.（2）30，60︒，90︒.（3）90︒，45︒.【点睛】本题重点考察三角形内角和定理，基础知识扎实是本题关键3．B【解析】分析：根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC ，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠C ，根据三角形内角和定理求出∠BAC ，计算即可．详解：∵DE 是AC 的垂直平分线，∴DA=DC ，∴∠DAC=∠C=25°， ∵∠B=60°，∠C=25°， ∴∠BAC=95°， ∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=70°， 故选B ．点睛：本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．4．A【解析】【分析】180°=∠A+∠B+∠C<∠A+∠B+2∠B=∠A+3∠B<∠A+∠A=2∠A ，即得∠A ＞90°【详解】∵3A B ∠>∠，2B C ∠>∠∴∠A+∠B+∠C<∠A+∠B+2∠B=∠A+3∠B<∠A+∠A=2∠A.又∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠A>180°.∴∠A>90°.故三角形为钝角三角形.选A【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，熟知三角形内角和定理是解题关键5．（1）C ；（2）180︒.【解析】【分析】（1）三角形的外角和为360°，利用比求出三个外角，进而求出三个内角，作比即可 （2）利用三角形外角性质与内角和定理直接解题即可【详解】（1）三角形的外角和为360°，三个外角的比为2:3:4得到三个外角分别为80°，120°，160°对应的三个内角分别为100°，60°，20°故三个内角的比为5：3：1，故选C（2）∵∠AEB 为△BCE 的外角∴∠AEB=∠1+∠C∵∠3+∠AEB+∠AFE=180°，∠AFE=∠2∴∠1+∠2+∠3+∠C=180°【点睛】本题主要考查三角形内角和定理与外角性质，熟练掌握基础知识是解题关键6．（1）D βα=+∠；（2）180D βα=︒-+∠；（3）2D βα=+∠【解析】【分析】（1）由折叠得B D ∠=∠，又三角形外角性质，CFD BMF B BMF D ∠=∠+∠=∠+∠，所以得到D βα=+∠ （2）由∠BMF+∠AMF=180°，将（1）结论代入即可得到关系；（3）由∠DEM+∠D+∠AMF=180°，结合前两问结论即可得关系【详解】（1）∵BEF ∆沿EF 折叠得到DEF ∆，∴B D ∠=∠.∵CFD BMF B BMF D ∠=∠+∠=∠+∠，∴D βα=+∠.（2）180D βα=︒-+∠.（3）2D βα=+∠.【点睛】本题主要考查折叠性质、三角形内角和定义与外角性质的简单应用，解题关键在于第一问的关系找出之后后续两问要结合前面结论7．C【解析】试题分析：∵AB ∥CD ，∴∠CFE=∠ABE=60°．∵∠D=50°，∴∠E=∠CFE ﹣∠D=10°．故选C ．8．25°【解析】试题分析：∵AB=AC ，∠A=90°，∴∠ACB=∠B=45°．∵∠EDF=90°，∠E=30°，∴∠F=90°﹣∠E=60°．∵∠ACE=∠CDF+∠F ，∠BCE=40°，∴∠CDF=∠ACE ﹣∠F=∠BCE+∠ACB ﹣∠F=45°+40°﹣60°=25°．9．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）180︒；（4）360︒；（5）180︒；（6）360︒.【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理与对顶角相等即可得证（2）连接BC ，连接AD 并延长交BC 于点E ，三角形外角性质得BDE B BAD ∠=∠+∠，CDE C CAD ∠=∠+∠，又BDE CDE BDC ∠+∠=∠，所以就有BDC B C BAD CAD B C A ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠（3）由三角形外角性质∠1=∠D+∠C，∠2=∠B+∠E，，再由三角形内角和定理可知∠1+∠2+∠A=180°，代入即可得到结果（4）利用三角形内角和定理进行计算即可得到结果（5）连接EC ，由三角形内角和定理和对顶角相等即可得到结果（6）利用四边形角度关系和三角形内角和定理解决即可【详解】（1）∵180A B AOB ∠+∠+∠=︒，180D C DOC ∠+∠+∠=︒，又∵AOB DOC ∠=∠，∴A B C D ∠+∠=∠+∠.（2）连接BC ，连接AD 并延长交BC 于点E .∵BDE B BAD ∠=∠+∠，CDE C CAD ∠=∠+∠，又∵BDE CDE BDC ∠+∠=∠，∴BDC B C BAD CAD B C A ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠+∠.（3）由三角形外角性质∠1=∠D+∠C，∠2=∠B+∠E，又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠D+∠C+∠B+∠E+∠A=180°（4）由三角形内角和定理得∠1=180°-∠E-∠F ；∠2=180°-∠A-∠B ；∠3=180°-∠C-∠D又有∠1+∠2+∠3=180°所以180°-∠E-∠F+180°-∠A-∠B+180°-∠C-∠D=180°得到A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°（5）连接EC，由三角形内角和定理知∠A+∠B=∠1+∠2又在三角形DCE中，∠1+∠2+∠ACD+∠DEB+∠D=180°所以∠A+∠B +∠ACD+∠DEB+∠D=180°（6）由四边形关系可知∠1+∠2=∠E+∠D又由三角形内角和可知，∠1+∠A+∠C=180°，∠2+∠B+∠F=180°∠+∠+∠+∠+∠+∠=360°所以∠1+∠A+∠C+∠2+∠B+∠F=306°，即A B C D E F.【点睛】本题主要考查三角形内角和定理与外角性质，能在复杂图形中找出三角形是解题关键10．B【解析】【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知45B EAF ∠=∠=︒,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知12EF AB =,所以AB AC =,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC 的长． 【详解】解：E B A 沿过点的直线折叠，使点与点重合，B EAF 45∠∠∴==︒，AFB 90∠∴=︒，E AB AFB 90∠=︒点为中点，且， 1EF AB 2∴=， 3EF 2=， 3AB 2EF 232∴==⨯=， ΔRtABC 在中，AB ＝AC ，AB 3，=BC ∴===故选B.【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．11．25︒【解析】【分析】设B C x ∠=∠=，ADE AED y ∠=∠=，则有EDC x y ∠+=与60EDC y x ∠+=+︒，联立方程解方程组即可【详解】依题意，设B C x ∠=∠=，ADE AED y ∠=∠=，EDC x y ∠+=，①60EDC y x ∠+=+︒，②由+①②得260EDC ∠=︒，∴30EDC ∠=︒.【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，在复杂图形中找三角形的外角与不相邻的两内角是解题关键12．56°【解析】试题分析：∵∠BOC ＝118°，∴∠OBC+∠OCB=62°。