1.1、探索勾股定理导学案(2)
北师大版七上勾股定理2导学案
学科数学年级八年级时间课题 1.1探索勾股定理（2）小组姓名学习目标1.掌握拼图法证明勾股定理.2.学会应用勾股定理.自主·前置1.回忆勾股定理：在ABCRt∆中,︒=∠90C，A∠，B∠，C∠对应的边为cba,,那么 .2.已知直角三角形的两直角边为5和12，则此三角形的周长是 .活动·探究探究一：利用拼图证明勾股定理1.已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为 a、b、c．求证：a2＋b2=c2．思考：如图所示图形的面积，满足：4S△+S小正=S大正2.已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c．求证：a2＋b2=c2．思考：左右两边的大正方形边长相等，则两个大正方形的面积相等．你还知道哪些方法可以证明勾股定理吗？从书上或者网络上收集有关勾股定理的资料，撰写小论文或者手抄报，并与同伴进行交流.1．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为（）A．20 B．22 C．24 D．262.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，若S1=3，S3=9，则S2的值为（）A．12 B．18 C．24 D．483.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为.（π不取近似值）4.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6abccbbbbccccaaaabbbbaaccaa题图第24 257检测·反思第3题图第4题图第5题图第6题图5.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．6.如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为cm．7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．扩展提升8.如图，在△ABC中，AB=AC=13厘米，BC=10厘米，AD⊥BC于点D，动点P从点A出发以每秒1厘米的速度在线段AD上向终点D运动．设动点运动时间为t秒．（1）求AD的长；（2）当△PDC的面积为15平方厘米时，求t的值；（3）动点M从点C出发以每秒2厘米的速度在射线CB上运动．点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动．是否存在t，使得S△PMD=S△ABC？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．我的收获：。
1.1探索勾股定理(2)导学案
§1.1 探索勾股定理（2）编写人：皇甫悦雷审核：刘磊宝王光发许斌斌温馨寄语：相信自己，从每一节课中每一次作业中扎扎实实走过，不断进步自然是水到渠成。
【学习目标】1.经历运用拼图的方法说明勾股定理的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2.掌握勾股定理和他的简单应用【学习重点】能熟练运用拼图的方法证明勾股定理。
【学习难点】用面积法证勾股定理。
【学情分析】【学法指导】自主探索法【课前准备】四个全等的直角三角形纸片，多媒体课件【学习过程】（一）自学反馈1.上节课我们通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系（即勾股定理），那么勾股定理的内容是什么呢？2．利用拼图来验证勾股定理：（1）准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）；（2）你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看，那么在你拼的正方形中是否含有以斜边c为边长的正方形？若有，请画出拼摆后的图形。
（3）你能否就你拼出的图说明222a b c+=？①提示：大正方形的面积可以表示为或，还可以表示为或。
（课件演示）②证明过程：（二）课堂助学例1：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？⑴分析：把实际问题转化为数学问题，把实物抽象为几何图形，在此题中，应把小王和飞机看成一个点，距离看成是线段，你能画出图形吗？请你写出解题过程：（三）合作探究1.在得出勾股定理时，我们知道以直角三角形三边为边长得到三个正方形，三个正方形的面D'C'C B A 积之间存在222a b c +=；若推广为以直角三角形三边为直径的半圆的面积，是否仍存在类似的结论呢？2.一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启发人们发现了勾股定理的一种新的证法。
如图，火柴盒的一个侧面ABCD 倒下到AB ’C ’D ’的位置，连接CC ’，设AB=a ，BC=b ，AC=c ，请利用四边形BCC ’D ’的面积证明勾股定理（多媒体介绍“总统证法”）（四）课堂学习效果检测题：（多媒体显示，采用抢答的形式完成）一、判断题.1.∆ABC 的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( )2.∆ ABC 的两边a=6,b=8,则第三边c=10 ( )二、填空题1.在∆ ABC 中,C=90°, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.(2)若a=9,b=40,则c=______.2.在∆ ABC 中, C=90°,若AC=6,CB=8,则∆ABC 面积为_____,斜边为上的高为______.三、选择题1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离（ ）A 、600米；B 、800米；C 、1000米；D 、不能确定2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是 （ ）A 、6厘米；B 、 8厘米；C 、 80/13厘米；D 、 60/13厘米；课后学习效果检测题：1.如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M,O,Q 三城市的沿江高速的建设成本是100万元∕千米，该沿江高速的造价是多少？120km50km 40km30km Q P N O MC B A ED B CA F E D C BA 2.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？3.一直角三角形的斜边比直角边大2，另一直角边长为6，则斜边长为4.直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么斜边上的高是5.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为6.以直角三角形的两直角边为边长向外作正方形，所作的正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为7.有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝，现将ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长8．如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10，BC=6，E 为BC 上一点将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长板书设计：课后反思：。
探索勾股定理(2)导学案
1.1.2探索勾股定理（二）
【学习目标】
1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展探究意识和合作交流的习惯
2、掌握勾股定理和它的简单应用。
【学习过程】
一、创设问题情境，激发学习热情，导入课题
上节课已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容，请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形。
并回答：大正方形的面积可有两种表示：
（1）（2）
因此，可得：
化简，得到：
2c
2
2
+
b
a=
这就可以从理论上说明了勾股定理存在。
二、讲解例题
例1、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，
过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？
三、议一议：
（书中图1—9)观察上图应用数格子方法判断图中的三角形的三边长是否满足2c
2
2
+
b
a=
这说明：勾股定理存在于直角三角形中，不是直角三角形就不能使用勾股定理。
四、巩固练习：
1. 已知直角三角形的一条直角边长等于1.5cm，斜边长为1.7cm，求另一条直角边长
2. 已知直角三角形的两条直角边长之比为1∶3，以斜边为边长的正方形的面积是40cm2，求这个三角形的两条直角边的长。
3. 直角三角形的斜边长为1.5cm，周长为3.6cm，求这个直角三角形的面积。
4. 等腰三角形的两边长分别为41和18，求这个三角形的顶角的平分线的长。
1.1探索勾股定理(第2课时)(教案)
在学生小组讨论环节，我注意到有些小组在分享成果时，表达能力有待提高。为了提高ห้องสมุดไป่ตู้生的表达能力，我计划在今后的课堂中增加一些口语表达训练，如小组内轮流发言、总结观点等，帮助他们更加自信地展示自己的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
2.提升直观想象与数学建模能力：借助图形和实际案例，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，激发直观想象力。
3.强化数学运算与数据分析能力：在勾股数的寻找与应用过程中，锻炼学生的数学运算能力，学会从数据中提炼规律，解决问题。
4.增强数学应用意识：通过拓展勾股定理的应用场景，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识，提高数学素养。
最后，总结回顾环节，我觉得可以让学生更多地参与进来，让他们谈谈自己在本节课中的收获和感悟。这样既能检验学生对知识点的掌握程度，又能提高他们的自我反思能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-核心内容：勾股定理的证明、勾股数的识别与应用。
-重点讲解：
-通过多种方法（如几何拼贴、代数计算等）证明勾股定理，强调定理的普适性和重要性。
-识别勾股数，理解其概念，并能举例说明。
探索勾股定理(2)导学案
图1 君召初中八年级 数学（ 上 ）册导学案（总第2 课时）课题： 探索勾股定理（2）课型：新授 时间： 备课人：张彦勋 审核人：学习目标： 1.在一般的直角三角形中用割补法验证勾股定理2.应用勾股定理解决一些实际问题3.体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想 学习重点： 用面积法验证勾股定理及应用勾股定理解决简单的实际问题 学习内容与过程: 自主学习问题思考：（1）勾股定理：（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们将继续验证勾股定理（板书）.合作探究1.如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理. 2.结合教材上P5页图1-5和图1-6（板书），应用等面积法证明勾股定理，（提示：图中的正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示成小正方形加上四个直角三角形的面积）展示点拨结合图1-5和图1-6加深学生对本节内容的理解（重点）。
操作训练例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m ，10s 后，汽车与他图2相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？当堂检测一、选择题1.课本P6随堂练习2.下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（ D ）B C DA3．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（ B ）A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34二．填空题3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法其中正确结论序号是①④：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．三、解答题5.勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是直角三角形，结论是a2+b2=c2（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；课堂小结通过这节课的学习，你有什么样的收获？.1.数形结合的思想和从特殊到一般的思想（割补法）；2.应用勾股定理解决一些实际问题作业：知识技能1，数学理解2教与学反思：。
探索勾股定理导学案
化简得：
化简得：
拼图法思路： 1.用全等的直角三角形去拼图 2.图形进行割补拼接后，只要没有重叠、没有缝隙，面积不会改变 3.根据同一个图形的面积，不同的表示方法，列出等式，化简后推导出勾股定理
4
【议一议】
观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a2 + b2 = c2 .
c a
b
第一章 勾股定理导学案
1.1 探索勾股定理（1） 【学习目标】 1、会计算网格中正方形的面积。（方法：割、补成直角三角形 技巧：从正方形顶点处出发，横竖分割） 2、通过测量法、数格子法来探索勾股定理。 3、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。 【课前准备】 1、 你能快速说出 1---20 各整数的平方吗？试一试。
2、如图，在 Rt ABC 中，AB=1,则 AB 2 BC 2 AC 2 的值为（
）
A、2
B、4
C、6
D、8
3、如图，在 ABC 中， B = 90 ，ＡC＝17，ＢＣ＝15，求ＡB 的长。
5
4、1876 年，美国总统伽菲尔德利用如图梯形的面积验证了勾股定理。请你把他的验证过程写下来。
5、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方 4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个 男孩 5000 米，飞机每小时飞行多少千米？（分析：把实际问题转化为数学问题，把实物抽象为几何图 形，在此题中，应把小王和飞机看成一个点，距离看成是线段，画出图形）
间有怎样的关系： _____________________
3、总结结论： （1）勾股定理的文字语言叙述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 （2）勾股定理的符号语言叙述：在 Rt△ABC 中，∠C=90o,AB=c,AC=b,BC=a,
《勾股定理》导学案 (2)
第3课时1.会利用勾股定理证明“HL”.2.能利用勾股定理作出长度为无理数的线段.3.经历在数轴上画出表示无理数的点的过程,体会数形结合的数学思想方法.4.重点:在数轴上画出表示无理数的点.问题探究一阅读本节教材中的第二个“思考”,回答下列问题.1.写出命题“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”的条件和结论.条件:两个直角三角形中的斜边和一条直角边对应相等;结论:这两个三角形全等.2.若用“SSS”证明上面的命题,需先证另一条直角边相等,可利用勾股定理证明.3.你还有其它方法证明上面“题”中的命题吗?还可以利用SAS证明.【归纳总结】若两个直角三角形中的斜边和一条直角边对应相等,利用勾股定理可以证问题探究二阅读本节教材中的第二个“探究”1.长为的线段能是直角边为整数的直角三角形的斜边吗?若能,请说出两直角边的长.能.直角边的长为2,3.2.请在右面数轴上作出表示的点.如图,点C即为表示的点.3.请仿照以上作法,在右面数轴上作出表示的点.如图,点D即为表示的点.【归纳总结】要在数轴上找表示无理数的点,常常通过构造直角三角形,借助于勾股定理来完成.【预习自测】在数轴上作出表示-的点.如图,点A即为表示-的点.互动探究1:如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,则在网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边是AB、BC .互动探究2:已知在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1.(1)计算图①中正方形ABCD的边长与面积.(2)利用图②中正方形网格,画出两条线段,使它们的长分别为和5,要求在所画的线段旁标明长度.解:(1)正方形ABCD的边长为=;面积为()2=10.(2)如图.互动探究3:在数轴上作出表示-2的点.解:如图,点A即为表示-2的点.【方法归纳交流】在数轴上确定表示无理数的点时,通常先作出两条直角边为整数,且斜边等于这个无理数的直角三角形.[变式训练]如图,数轴上点A表示的数为a,则a的值为(C)A.+1B.-+1C.-1D.互动探究4:图中的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成,其序号依次为①、②、③…,则第n个等腰直角三角形的斜边为.互动探究5:如图,A,B两村在河边CD的同侧,A,B两村到河的距离分别为AC=1 km,BD=3 km,又CD=3 km,现要在河边CD上建一水厂向A,B两村输送自来水,铺设水管时工程费用为每千米20000元,请你在CD上选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用.解:如图,作点A关于CD的对称点A',连接A'B交CD于点O,则点O即为所求.过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E,则A'E=CD=3 km,DE=A'C=AC=1 km,BE=BD+DE=3+1=4(km).在Rt△A'EB中,A'B===5(km).∴OA+OB=A'B=5(km).∴总费用为5×20000=100000(元).答:铺设水管的总费用为100000元.见《导学测评》P10。
八年级数学下册《探索勾股定理》教案(2)
课题：探索勾股定理（二）教案教学目标：1．经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯。
2．掌握勾股定理和他的简单应用重点难点：重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理难点：用面积证勾股定理教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情，导入课题我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需加以论证，下面就是今天所要研究的内容，下边请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形，拼一拼、摆一摆，看看能否得到一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学交流。
在同学操作的过程中，教师展示投影1（书中p7 图1—7）接着提问：大正方形的面积可表示为什么？（同学们回答有这几种可能：（1）)(22b a （2）2421c ab ）在同学交流形成共识之后，教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连接起来。
22b a =2421c ab 请同学们对上面的式子进行化简，得到：22222c ab b aba 即22b a =2c这就可以从理论上说明勾股定理存在。
请同学们去用别的拼图方法说明勾股定理。
二、讲例例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方4000多米处，过20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每时飞行多少千米？分析：根据题意：可以先画出符合题意的图形。
如右图，图中△ABC 的4000,90AC c 米，AB=5000米，欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道飞机在20秒的时间里的飞行路程，即图中的CB 的长，由于直角△ABC 的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样的CB 就可以通过勾股定理得出。
这里一定要注意单位的换算。
解：由勾股定理得千米）(94522222AC AB BC 即BC=3千米飞机20秒飞行3千米，那么它1小时飞行的距离为：小时）千米/(5403203600答：飞机每个小时飞行540千米。
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1.1、探索勾股定理导学案(2)
主备教师：张凡
课时： 一课时
授课时间：2013年8月29日
授课班级：八年级1.2班
授课类型: 新授课
学习目标：掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
学习重点 ：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.
学习难点：验证勾股定理.
二、知识回顾：
（1）勾股定理的内容是
（2）直角三角形两边长为3和4，求第三边长
（3）、求出x 的值
三、探索活动：验证勾股定理
拼图验证. 准备的四个全等的直角三角形拼出正方形.
思考1： 你能由图1表示大正方形的面积吗？
能用两种方法吗？能由此得到勾股定理吗？
2：你能由图2表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？
能由此得到勾股定理吗？
3、请利用图3验证勾股定理
图3
x 1517图
1 图
2 a a b b
c c
4、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你还有哪些方法？
四、 交流展示
1、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b =
2、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？
五、达标检测
1．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为1.5m ，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .
2．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .
3．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为（ ）． A ．30 cm 2 B ．130 cm 2 C ．120 cm 2 D ．60 cm 2
4．轮船从海中岛A 出发，先向北航行9km ，又往西航行9km ，由于遇到冰山，只好又向南航行4km ，再向西航行6km ，再折向北航行2km ，最后又向西航行9km ，到达目的地B ，求AB 两地间的距离.
5．一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？
6．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.
六、课后反思
E C
F B D A。