2.3.1 空间直角坐标系
2.3.1空间直角坐标系
B′
C
y
思考：坐标轴上的点的坐标有何特点？坐标平面上的 点呢？
一、坐标轴上的点
x轴:A(x,0,0)
z C
y轴:B(0,y,0)
E
M O B y
z轴:C(0,0,z)
F
A x
二、坐标平面内的点
D
xoy平面: D(x,y,0) yoz平面：E(0,y,z) xoz平面: F(x,0,z)
思考：怎样确切的表示飞机的位置？
思考：怎样确切的表示室内灯泡的位置？
思考：怎样确切的表示空间中点的位置？
1、直线上的点： 数x表示；
O
建立数轴，用与它对应的实
M x
x
2、平面上的点： 序实数对(x，y)表示．
y
建立平面直角坐标系，用有
y O x
A (x,y) x
3、空间中的点：
建立空间直角坐标系
在平面直角坐标系xOy 基础上加与xOy平面垂直的z 轴，组成空间直角坐标系O-xyz。 右手螺旋。 点O：坐标原点；x轴、y轴、z轴：坐标轴； 通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为 z xOy平面、yOz平面、xOz平面.
z O
O
y
y
x
x
思考:在空间直角坐标系O-xyz中， 三个坐标轴位置关系如何？ 三个坐标平面的位置关系如何？它们将空间分成 几个部分？ 3
思考：已知点M(1，2，3),如何找到它的位置呢？ z 3
M
2 1
O
y
x
思考：已知点M(1，2，3),如何找到它的位置呢？ z
M
3 2 1
O
M’
y
x
例3. 在空间直角坐标系中标出下列各点： A(0,2,4) B(1,0,-3) C(1,-2,3) D(1,3,4)
(北师大版)高中数学必修2课件：2.3.1-2空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标
数 学 必修2
第二章
解析几何初步
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2．(1)在空间直角坐标系中，点 M(－2,1,0)关于原点的对称点 M′的坐标是 ( ) A．(2，－1,0) C．(2,1,0) B．(－2，－1,0) D．(0，－2,1)
(2)已知点 A(2,3－μ，－1＋υ)关于 x 轴的对称点为 A ′(λ，7，－6)，则 λ，μ， υ 的值为( )
c)， 平面的对称点 M2 的坐标为(a， －b， 关于 yOz 平面的对称点 M3 的坐标为(－a， b，c)． 关于 x 轴的对称点 M4 的坐标为(a，－b，－c)， 关于 y 轴的对称点 M5 的坐标为(－a，b，－c)， 关于 z 轴的对称点 M6 的坐标为(－a，－b，c)， 关于原点对称的点 M7 的坐标为(－a，－b，－c)．
2 2 1 1 1 2 2 2 2 DD DF DA DG DC P ， ， | | | | | | | | | | ′ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，所以 点的坐标为 3 3 3 3 3 3 3 3 3，故
选 D.
答案：
(1)D
(2)D
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理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点的位置 写出点的坐标．
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空间直角坐标系的建立 (1)空间直角坐标系建立的流程图 平面直角坐标系 ↓
2.3.1 空间直角坐标系的建立 2.3.2 空间直角坐标系中点的坐标
z
1350 o 1350 x y
有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ 有了空间直角坐标系，那空间中的任意一点Ａ怎样来表示它 的坐标呢？ 的坐标呢？ 经过A 经过A点作三个 平面分别垂直于x 平面分别垂直于x轴、
z
y轴和z轴，它们与x 轴和z 它们与x 轴、y轴和z轴分别交 轴和z 于三点，三点在相应 于三点， 的坐标轴上的坐标
不实心不成事，不虚心不知事，不自是者博 闻，不自满者受益。
z
4 3
墙 墙 地面
4
1
(4,5,3)
5
O 1
y某一个定点０ 从空间某一个定点０引三条互相 垂直且有相同单位长度的数轴， 垂直且有相同单位长度的数轴，这样 就建立了空间直角坐标系０ xyz． 就建立了空间直角坐标系０－xyz．
o y x
点Ｏ叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条 叫作坐标原点， 轴统称为坐标轴， 坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、 xoy平面 yoz平面、 zox平面 平面． yoz平面、和 zox平面． 平面
右手系：伸出右手， 右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂 直，并使四指先指向x轴正方向，然后让 并使四指先指向x轴正方向， 指向y 四指沿握拳方向旋转 90o 指向y轴正方 向，此时大拇指的指向即为z轴正向.我 此时大拇指的指向即为z轴正向. 们也称这样的坐标系为右手系 ．
z 说明: 说明:
☆本书建立的坐标系
o
都是右手直角坐标系. 都是右手直角坐标系.
y x
空间直角坐标系的画法: 空间直角坐标系的画法:
1.x轴与y 1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135°, 轴与 轴与z轴均成135° 135 而z轴垂直于y轴． 轴垂直于y 2.y轴和z轴的单位长度相同，x 2.y轴和z轴的单位长度相同， 轴和 轴上的单位长度为y 轴上的单位长度为y轴（或z轴） 的单位长度的一半． 的单位长度的一半．
空间直角坐标系
2．3．1 空间直角坐标系一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。
2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
本书上所指的都是右手直角坐标系。
（2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z轴垂直于y 轴，，y 轴和z 轴的长度单位相同，，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。
3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数对（x ，y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。
二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。
例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。
法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。
法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。
2.3.1空间直角坐标系
2.3.1空间直角坐标系2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置； 3．感受类比思想在探索新知识过程中的作用．自学评价1．空间直角坐标系（从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同的单位长度的数轴，这样就建立了一个空间直角坐标系________.点O 叫做______， x 轴、y 轴、z 轴叫_______，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为______平面、______平面和________平面． 2．空间右手直角坐标系的画法通常，将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成______，而z 轴垂直于y 轴．y 轴和z 轴的单位长度_____，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的单位长度的_____ ．3. 空间点的坐标表示 对于空间任意一点A ，作点A 在三条坐标轴上的射影，即经过点A 作三个平面分别垂直于x 轴与y 轴与z 轴，它们与x 轴与y 轴和z 轴分别交与R Q P ,,．点R Q P ,,在相应数轴上的坐标依次为x ，y ，z ，我们把有序实数对(,,)x y z 叫做点A 的______，记为____________．【自学应用】例1：在空间直角坐标系中，作出点(5,4,6)P ．例2：如上右图，已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为5,8,12='==A A AD AB ．以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线A A AD AB ',,分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．例3：（1）在空间直角坐标系xyz O -中，画出不共线的3个点R Q P ,,，使得这3个点的坐标都满足3=z ，并画出图形；（2）写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．追踪训练一1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：(0,0,3),(1,2,3)A B2. 已知长方体D C B A ABCD ''''-的边长为6,4,7AB AD AA '===．以这个长方体的顶点B 为坐标原点，射线,,BA BC BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．3．写出坐标平面yOz 内的点的坐标应满足的条件．【自学探究】一、对称点例4: 求点(2,3,1)A --关于xOy 平面，zOx 平面及原点的对称点． 小结：追踪训练二1．写出分别在坐标轴、坐标平面上的点(,,)A x y z 的坐标所满足的条件．反馈练习1．空间直角坐标系中，点(1,2,3)P 关于x 轴对称的点的坐标是_________2．空间直角坐标系中，(3,5,1),(3,5,1)P Q ---两点的位置关系是__________3．动点(,,)P x y z 的坐标始终满足3y =，则动点P 的轨迹为__________4．空间中过点(2,1,3)A -，且与xOy 坐标平面垂直的直线上点的坐标满足____________ 5．点(2,3,6)-在x 轴、y 轴上的射影的坐标分别是 、 ． 6．在空间直角坐标系中，点P 的坐标是(7,4,2)，过点P 向yOz 平面作垂线PQ ，则垂足Q 的坐标是 ． 8．在空间直角坐标系中画出下列各点： (3,2,1)A -、(5,4,3)B -、(9,5,2)C --．9．如图，正三棱柱ABC A B C '''-中，底面边长为2，侧棱长为3，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标．例题答案：例1分析：可按下列步骤作出点P ， 541x y O P −−−−−−→−−−−−−→从原点出发沿轴正沿与轴平行的方向方向移动个单位向右移动个单位62z P P −−−−−−→沿与轴平行的方向向上移动个单位【解】所作图如下左图所示：例2．【解】因为5,8,12='==A A AD AB ，点A 在坐标原点，即)0,0,0(A ，且A D B ',,分别在x 轴、y 轴、z 轴上，所以它们的坐标分别为)5,0,0(),0,8,0(),0,0,12(A D B '． 点D B C '',,分别在xOy 平面、zOx 平面和y O z 平面内，坐标分别为)0,8,12(C ，)5,8,0(),5,0,12(D B ''．点C '在三条坐标轴上的射影分别是点A D B ',,，故点C '的坐标为)5,8,12(． 例3．【解】（1）取三个点(0,0,3),P (4,0,3),Q (0,4,3)R ．（2）R Q P ,,三点不共线，可以确定一个平面，又因为这三点在xOyAA ' BB 'C 'C平面的同侧，且到xOy 平面的距离相等，所以平面PQR 平行于xOy 平面，而且平面PQR 内的每一个点在z 轴上的射影到原点的距离都等于3，即该平面上的点的坐标都满足3=z ．追踪训练一答案 1．答案略 2．答案：(6,0,0)A ，(0,0,0)B ，(0,4,0)C ，(6,4,0)D ，(6,0,7)A '，(0,0,7)B '，(0,4,7)C '，(6,4,7)D '．3．答案：yOz 平面上的点的x 坐标都为0． 追踪训练二答案答案：若点A 在x 轴上，则0y z ==； 若点A 在y 轴上，则0x z ==； 若点A 在z 轴上，则0x y ==； 若点A 在xOy 平面上，则0z =； 若点A 在yOz 平面上，则0x =； 若点A 在zOx 平面上，则0y =． 自学探究答案例4．【解】(2,3,1)A --在xOy 平面上的射影为(2,3,0),C -在zOx 平面上的射影为(2,0,1)B -，∴(2,3,1)A --关于xOy 平面的对称点为(2,3,1),C -关于zOx 平面及原点的对称点分别为(2,3,1)B '-、(2,3,1)A '-小结:一般的，点(,,)x y z 关于xOy 平面的对称点为(,,)x y z -，关于yOz 平面的对称点为(,,)x y z -，关于zOx 平面的对称点为(,,)x y z -，关于原点的对称点(,,)x y z ---反馈练习答案1．答案： (1,2,3)--2．答案：关于坐标原点对称3．答案：与坐标平面xOz 平行的一个平面 4．答案：2x =-且 1y =5．答案：（2，0，0），(0,3,0)-。
第2章 §2.3 空间直角坐标系 2.3.1 2.3.2
(3，－4，－5) ，点 P 关于点 Q(1,2,3)的对称点的 2 21 (5,0,11) 坐标____________，P、Q 间的距离为________．
7．已知三角形的三个顶点为 A(2，－1,4)，B(3,2， －6)， C(－5， 0,2)， 则过 A 点的中线长为________． 7
§2.3 空间直角坐标系 2．3.1 空间直角坐标系 2．3.2 空间两点间的距离公式 自主学案
自学导引 1．如图所示，为了确定空间点的位置， 我们建立空间直角坐标系：以单位 正方体为载体，以 O 为原点，分别以 射线 O A 、O C 、O D ′的方向为 正方向， 以线段 O A 、O C 、 O D ′的长为单位长，
解 建立如图所示空间直角 坐标系．D 为坐标原点，据 已知，得 F
解
(1)A， C， 都在平面 xOy 内， 的坐标都为 0， B， D z
它们在 x 轴、 轴所组成的直角坐标系中的坐标分别是 y A(0,0)，B(4,0)，C(4,3)，D(0,3)，因此空间坐标分别是 A(0,0,0)，B(4,0,0)，C(4,3,0)，D(0,3,0)． A′，B′，C′，D′同在一个垂直于 z 轴的平面内， 这个平面与 z 轴的交点 A′在 z 轴上的代表数是 5，故 这四点的竖坐标都是 5.这四点在 xOy 平面上的射影分 别是 A，B，C，D，故 A′，B′，C′，D′的 x，y 坐标分别与 A，B，C，D 相同，由此可知它们的空间 坐 标 分 别 是 A′(0,0,5) ， B′(4,0,5) ， C′(4,3,5) ， D′(0,3,5)．
P1P2＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2
.
对点讲练
知识点一 求空间中任意一点的坐标
第2章空间向量与立体几何知识点清单-高二下学期数学湘教版选择性
新教材湘教版2019版数学选择性必修第二册第2章知识点清单目录第2章空间向量与立体几何2. 1 空间直角坐标系2. 2 空间向量及其运算2. 3 空间向量基本定理及坐标表示2. 4 空间向量在立体几何中的应用第2章空间向量与立体几何2. 1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系1. 空间直角坐标系：在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz.2. 相关概念：在空间直角坐标系O-xyz中，点O叫坐标原点，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.二、空间点的坐标表示1. 空间直角坐标系点的坐标的概念在空间直角坐标系O-xyz中，若点P与有序实数组(x，y，z)之间为一一对应关系，此时，有序实数组(x，y，z)称为点P的坐标，记作P(x，y，z)，其中x称为点P的横坐标，y称为点P的纵坐标，z称为点P的竖坐标.2. 特殊点的坐标在空间直角坐标系中，原点O的坐标为(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y 轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)，xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z). 记忆方法：无谁谁为0.三、空间两点间的距离公式1. 设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)为空间中任意两点，则|AB|=√(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2.2. 特别地，原点O到空间中任意一点P(x，y，z)的距离为|OP|=√x2+y2+z2.3. 线段中点坐标公式已知空间中任意两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点M的坐标为(x1+x22，y1+y22，z1+z22).4. 三角形重心坐标公式已知△ABC的三个顶点分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，则△ABC的重心G的坐标为(x1+x2+x33，y1+y2+y33，z1+z2+z33).5. 空间中的对称问题在空间直角坐标系内，已知点P(x，y，z)，则有如下结论：(1)点P关于原点对称的点是P1(-x，-y，-z)；(2)点P关于横轴(x轴)对称的点是P2(x，-y，-z)；(3)点P关于纵轴(y轴)对称的点是P3(-x，y，-z)；(4)点P关于竖轴(z轴)对称的点是P4(-x，-y，z)；(5)点P关于xOy平面对称的点是P5(x，y，-z)；(6)点P关于yOz平面对称的点是P6(-x，y，z)；(7)点P关于xOz平面对称的点是P7(x，-y，z).记忆方法：关于谁对称谁不变，其余坐标变为相反数.四、空间直角坐标系点的坐标的确定1. 建立空间直角坐标系应遵循的原则(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；(2)充分利用几何图形的对称性；(3)充分利用图中已有的垂直关系.2. 确定空间中点的坐标的方法(1)垂面法：找到点P在三条坐标轴上的射影. 方法是过点P作三个平面分别垂直于x 轴、y轴、z轴于A，B，C三点(A，B，C即为点P在三条坐标轴上的投影)，点A，B，C的坐标分别为(x，0，0)，(0，y，0)，(0，0，z)，则(x，y，z)就是点P的坐标.⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度(2)垂线法：先将P投射(沿与z轴平行的方向)到xOy平面上的一点P1，由P1P及其方向确定竖坐标z，再在xOy平面上用同平面直角坐标系中一样的方法确定P1的横坐标x、纵坐标y，最后得出点P的坐标(x，y，z).五、空间两点间的距离公式的应用1. 计算空间两点间的距离(1)若两点坐标已知，则直接代入空间两点间的距离公式求解.(2)若点的坐标未知，则需利用平面图形及空间图形的性质结合空间直角坐标系求出点的坐标，再代入空间两点间的距离公式求解.2. 利用空间两点间的距离公式确定点的坐标设出点的坐标，利用空间两点间的距离公式构造方程求解. 此外，要注意点的坐标的巧设，如在x轴上的点的坐标可设为(x，0，0)，在xOy平面上的点的坐标可设为(x，y，0).3. 根据两点间的距离公式可求出三角形的三边长，从而判断三角形的形状.2. 2 空间向量及其运算一、空间向量的基本概念1. 空间向量的基本概念(1)定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量.(2)向量的模：空间向量a 的大小(或长度)称为a 的模，记为|a |.(3)表示：从空间中任意一点A 出发作有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，使AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向与a 相同，长度与|a | 相等，则有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量a ，记作a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 通常把A 称为向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的起点，B 称为向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的终点. 2. 几类特殊的空间向量 名称定义 零向量长度为0的向量 相等向量方向相同且长度相等的向量 相反向量 方向相反、长度相等的向量二、空间向量的加减法1. 空间向量的加减法法则平面向量求和的三角形法则和平行四边形法则对空间向量也成立.(1)对于空间任意两个向量a ，b ，在平面α内任取一点O ，作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则a +b =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，a -b =BA⃗⃗⃗⃗⃗ .(2)对于空间三个或更多的向量的求和，与平面内多个向量的加法类似，可将它们依次用首尾相接的折线来表示，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量即为这些向量的和向量.2. 空间向量的加法运算律(1)加法交换律：a +b =b +a .(2)加法结合律：(a +b )+c =a +(b +c ).三、向量与实数相乘1. 向量与实数相乘的定义：任何一个向量a 都可看作某平面上的向量，它与实数λ相 乘可类比平面向量数乘的法则进行，因而有|λa |=|λ||a |.当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向相反.空间向量的加法、减法、数乘三种运算统称为空间向量的线性运算.2. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量.对于每个非零向量a ，可得到与它方向相同的唯一单位向量e =1|a|a . 3. 共线向量：对于空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，若b =λa ，其中λ为实数，则b 与a 共线或平行，记作b ∥a .4. 零向量与任意向量共线.5. 空间向量与实数的乘法的运算律(1)对向量加法的分配律：λ(a +b )=λa +λb .(2)对实数加法的分配律：(λ1+λ2)a =λ1a +λ2a .四、向量的数量积1. 向量的夹角：作OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则∠AOB 称为向量a ，b 的夹角，记作<a ，b >，其取值范围为[0，π]. 两向量同向时，夹角为0；两向量反向时，夹角为π.2. 向量的数量积：定义a·b =|a ||b |·cos<a ，b >为a 与b 的数量积.3. 零向量与任意向量的数量积为0，即0·a =0.4. 向量数量积的性质(1)向量垂直的关系式： a ⊥b ⇔a ·b =0.注：零向量与任意向量垂直.(2)模长公式：a·a =|a |2=a 2，|a |=√a 2 .(3)夹角公式：若a ，b 均为非零向量，则cos<a ，b >=a⋅b |a||b|.5. 向量数量积的运算律(1)(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(λ∈R).(2)交换律：a·b =b·a .(3)分配律：a ·(b +c )=a·b +a·c .6. 向量数量积的几何意义(1)投影向量与投影长：如图，将空间任意两个向量a ，b 平移到同一个平面内，可得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ， OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，<a ，b >=α，过点B 作BB 1⊥OA，垂足为点B 1，则OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为OB⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影向量，投影向量的模|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||cos α|称为投影长， 称|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos α为OB⃗⃗⃗⃗⃗ 在OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影.(2)数量积的几何意义：a 与b 的数量积等于a 的模|a |与b 在a 方向上的投影|b |·cos α的乘积，也等于b 的模|b |与a 在b 方向上的投影|a |cos α的乘积.五、空间向量的三角不等式1. 如果a ，b 都是空间向量，那么||a |-|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |.六、空间向量的线性表示1. 空间向量的线性表示的步骤(1)在空间中选三条不在同一个平面内的向量；(2)利用向量的线性运算表示空间中的其他向量.七、利用数量积求距离问题1. 求解两点间距离问题时，转化为求以两点为端点的有向线段表示的向量的模的问题，然后将此向量表示为已知的几个向量和或差的形式，求出已知向量两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a|=√a⋅a(推广公式：|a±b|=√(a±b)2=√a2±2a⋅b+b2)求解即可.八、利用数量积求解夹角问题1. 求空间两个向量的夹角的方法(1)结合图形，平移向量，利用空间向量的夹角定义来求，但要注意向量夹角的范围；求cos<a，b>，最后确定<a，b>.(2)先求a·b，再利用公式cos<a，b>=a⋅b|a||b|2. 求两条异面直线所成的角的步骤(1)根据题设条件在两条异面直线上分别取一个有向线段表示的向量；(2)将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；(3)利用向量的数量积求向量夹角的余弦值；(4)由于异面直线所成的角为锐角或直角，因此向量夹角的余弦值的绝对值等于异面直线所成的角的余弦值，进而求出异面直线所成的角的大小.九、利用数量积证明两直线垂直1. 由数量积的性质a⊥b⇔a·b=0可知，要证两直线垂直，可构造与两直线分别平行的非零向量，然后证明这两个向量的数量积为0即可.2. 用向量法证明垂直关系的步骤(1)把几何问题转化为向量问题；(2)用已知向量表示所证向量；(3)结合数量积公式和运算律证数量积为0；(4)将向量问题回归到几何问题.2. 3 空间向量基本定理及坐标表示一、共面向量1. 共面向量的概念：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.2. 平面向量基本定理：如果两个向量e1，e2不共线，那么向量p与向量e1，e2共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得p=x e1+y e2.3. 相关结论：在三个向量a，b，c中，某个向量为0，或者某两个向量平行，则这三个向量共面.二、空间向量的基本定理1. 设e1，e2，e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以分解成这三个向量的实数倍之和：p=x e1+y e2+z e3，此表达式中的系数x，y，z由p唯一确定，即若p=x e1+y e2+z e3=x'e1+y'e2+z'e3，则x=x'，y=y'，z=z'.2. 我们把{e1，e2，e3}称为空间的一组基，e1，e2，e3叫作基向量，(x，y，z)称为向量p=x e1+y e2+z e3在基{e1，e2，e3}下的坐标.三、空间向量的直角坐标表示1. 标准正交基：空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基.2. 向量的坐标：空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p=x i+y j+z k，系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p=(x，y，z).3. 与向量坐标有关的结论：一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标.四、空间向量运算的坐标表示1. 空间向量的坐标运算法则设a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).设a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).四、拓展1. 四点共面的充要条件空间中任一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y)， 使MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，或对空间中任一点O ，有OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +y MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (或OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x-y)·OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ).2. 定比分点坐标公式已知A(x 1，y 1，z 1)，B(x 2，y 2，z 2)两点，点M 在直线AB 上，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R 且λ≠-1)则称点M 为有向线段AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的定比分点，其坐标为(x 1+λx 21+λ，y 1+λy 21+λ，z 1+λz 21+λ). 五、利用基向量解决几何问题1. 用基向量表示向量的步骤(1)定基向量：若未给定基向量，则应根据已知条件，确定三个不共面的向量作为空间的基向量.(2)找目标：用已给定或确定好的基向量表示目标向量，需要根据三角形法则或平行四边形法则，结合相等向量及向量的相关运算进行变形、化简.(3)下结论：将变形、化简后的目标向量进行整理，得到最终结果. 注意此结果中只能含有基向量，不能含有其他形式的向量.六、空间向量平行与垂直的坐标表示的应用1. 利用空间向量的坐标运算判断向量平行、垂直借助向量的坐标，可将向量的平行与垂直问题代数化，即借助代数运算达到判断向量平行或垂直的目的. 求解此类问题要抓住两个核心关系式：(1) a∥b (a ≠0)⇔x 2=λx 1，y 2=λy 1，z 2=λz 1，λ∈R；(2) a⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0. 其中，a =(x 1，y 1，z 1)，b =(x 2，y 2，z 2).2. 由平行、垂直求参数的值利用平行、垂直关系和上述的两个核心关系式列出方程，即可求出参数的值.3. 利用空间向量的坐标运算证明线线平行或垂直(1)在两直线上分别取一个有向线段表示的向量；(2)利用向量的坐标运算判断两向量的平行或垂直关系；(3)若两向量平行，且两直线不重合，则两直线平行；若两向量垂直，则两直线垂直.七、利用空间向量的坐标运算求夹角和线段的长1. 利用空间向量的坐标运算求夹角和线段长的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用题设条件写出相关点的坐标，进而得相关向量的坐标；(3)利用空间向量的模长公式与夹角公式求解.2. 4 空间向量在立体几何中的应用2. 4. 1 空间直线的方向向量和平面的法向量2. 4. 2 空间线面位置关系的判定一、空间直线的方向向量和平面的法向量1. 位置向量：在空间中，取一定点O 作为原点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 来表示， OP⃗⃗⃗⃗⃗ 称为点P 的位置向量. 2. 直线的方向向量：一般地，如果非零向量v 与直线l 平行，就称v 为l 的方向向量.由此可知，在直线l 上任取两点A ，B ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ (或BA⃗⃗⃗⃗⃗ )就是直线l 的方向向量. 3. 平面的法向量：如果非零向量n 所在直线与平面α垂直，则称n 为平面α的法向量.二、空间线面位置关系的判定1. 设空间两条直线l 1，l 2的方向向量分别为v 1=(x 1，y 1，z 1)，v 2=(x 2，y 2，z 2)，两个平面α1，α2的法向量分别为n 1=(a 1，b 1，c 1)，n 2=(a 2，b 2，c 2)，则三、三垂线定理及其逆定理1. 点在平面内的射影：过点P作平面α的垂线，则称垂足P0为点P在平面α内的射影.2. 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它和这条斜线也垂直. 可简记为：垂直于射影，则垂直于斜线.3. 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也垂直. 可简记为：垂直于斜线，则垂直于射影.四、利用空间向量证明垂直关系1. 利用向量法证明线线垂直的两种思路(1)坐标法：建立空间直角坐标系，将两直线的方向向量用坐标表示出来，再证明其数量积为0.(2)基向量法：利用向量的线性运算，将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来，再利用数量积运算证明两方向向量的数量积为0.2. 利用向量法证明线面垂直的两种思路(1)求平面的法向量，然后证明直线的方向向量与平面的法向量平行.(2)证明直线与平面内不共线的两直线分别垂直，线线垂直则利用向量法证得.3. 利用向量法证明面面垂直的两种思路(1)证明一个平面过另一个平面的垂线，其实质是转化为利用向量法证明线线垂直.(2)证明两个平面的法向量互相垂直.五、利用空间向量证明平行关系1. 利用向量法证明线线平行的两种思路(1)建立空间直角坐标系，利用向量平行的坐标表示证明两直线的方向向量平行.(2)用空间的一组基表示两直线的方向向量，通过向量的线性运算，结合向量共线的充要条件证明两直线的方向向量平行.2. 利用向量法证明线面平行的三种思路(1)设平面α外的直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，要证明l∥α，只需证明v⊥n，即v·n=0即可.(2)根据线面平行的判定定理，将线面平行转化为线线平行，证明线线平行则可转化为证明两直线的方向向量平行.(3)根据平面向量基本定理，要证线面平行，则只需证明这条直线的方向向量能够用平面内的两个不共线的向量线性表示即可.3. 利用向量法证明面面平行的两种思路(1)先分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行.(2)证明一个平面内有两个不共线的向量平行于另一个平面，转化为线面平行问题.六、利用空间向量解决立体几何中的探索性问题1. 解决探索性问题的基本方法(1)对于存在型问题，应先假设存在，把要成立的结论当作已知条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“是否有解”或“是否有规定范围内的解”的问题.(2)对于位置探究型问题，通常是借助向量，引入参数，综合已知条件和结论列方程或方程组，解出参数，从而确定位置.2. 4. 3 向量与夹角 2. 4. 4 向量与距离一、向量与夹角(1)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0；(2)两个平面相交会形成四个二面角，二面角的取值范围为[0，π]，一般规定较小的二面角为两个平面所成的角. 两个平面平行时，它们所成的角为0.二、向量与距离三、利用空间向量求空间角利用空间向量求空间角时，要注意空间角的范围与向量夹角的范围的区别.1. 两异面直线所成角的向量求法(1)基向量法：在一些不容易建立空间直角坐标系的题中，我们经常用基向量法求解. 求向量v1，v2的夹角时，先把v1，v2用同一组基向量表示出来，再利用向量的夹角公式求解.(2)坐标法：找出或作两条异面直线的方向向量，再利用向量夹角的坐标公式计算两直线的方向向量的夹角.2. 直线与平面所成角的向量求法法向量法：利用直线的方向向量和平面的法向量求直线与平面所成的角.3. 求二面角的两种方法(1)基向量法：在图形中找到与二面角的棱都垂直的两条异面直线，利用向量的线性运算法则对两条直线的方向向量进行转化，求出两方向向量的夹角，进而求得二面角的大小.(2)法向量法：找出或作两个半平面的法向量，应用向量的夹角公式求解.四、利用空间向量求空间距离1. 用向量法求点到直线的距离的两种思路(1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题，过已知点作直线的垂线段，利用待定系数法求出垂足的坐标，然后求出向量的模，这是求各种距离的通法.(2)直接套用点线距公式求解.2. 用向量法求点面距的步骤(1)求出平面的一个法向量；(2)找出从已知点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求得点到平面的距离.3. 用向量法求线线距、线面距、面面距(1)求线面距、面面距都可转化为求点面距，求两直线间的距离可转化为求一条直线上任一点到另一条直线的距离；(2)求线线距、线面距、面面距的前提分别是线线、线面、面面平行.五、利用空间向理解决与夹角、距离有关的探索性问题1. 利用空间向量解决与夹角、距离有关的探索性问题的解题步骤(1)假设存在(或结论成立)；(2)建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标；(3)得到有关向量的坐标；(4)利用空间角、空间距离的计算公式列关系式求解；(5)根据解的情况做出判断.。
2.3.1-2.3.2-空间直角坐标系的建立--空间直角坐标系中的坐标-课件(北师大必修2)
[悟一法] 1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性．
[错因] 因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正 三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系 ∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住 空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应 选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果 没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．
(2)确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由z坐标确 定点(x0，y0，z0)的位置． (3)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|， |z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)， 则长方体中与原点O相对的顶点即为所求的点．
[研一题]
[例1] 在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝3， AB＝5，AA1＝4，建立适当的坐标系写出此长方 体各顶点的坐标．
2．求某点的坐标时，一般先找这一点在某一 坐标平面的射影，确定其两个坐标，再找出它在另 一轴上的射影，(或者通过它到这个坐标平面的距离 加上正负号)确定第三个坐标．
[通一类]
1．如图，棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E 是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点， 试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的 坐标．
[自主解答]如图，以DA所在直线为x轴，以DC所在直 线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系 Oxyz. ∵长方体的棱长AD＝3， DC＝AB＝5， DD1＝AA1＝4， 显然D(0,0,0)，A在x轴上，∴A(3,0,0)； C在y轴上，∴C(0,5,0)；
3.1空间直角坐标系
(4)与点 关于原点对称的点 (-x,-y,-z) 与点M关于原点对称的点 与点 (5)与点 关于 与点M关于 与点 关于xOy平面对称的点 (x,y,-z) 平面对称的点 (6)与点 关于 与点M关于 与点 关于xOz平面对称的点 (x,-y,z) 平面对称的点 (7)与点 关于 与点M关于 与点 关于yOz平面对称的点 (-x,y,z) 平面对称的点
C M O A x
z y
x
B
y
思考4:x轴、y轴、z轴上的点的坐标 思考4:x 4: 有何特点？xOy平面 yOz平面 平面、 平面、 有何特点？xOy平面、yOz平面、xOz 平面上的点的坐标有何特点？ 平面上的点的坐标有何特点？
z
x轴上的点:(x,0,0) 轴上的点:(x,0,0)
O
y
x
xOy平面上的点:(x,y,0) xOy平面上的点:(x,y,0) 平面上的点
C O
x
A(a,b,0)
思考6:设点M的坐标为（ 思考6:设点M的坐标为（x，y，z） 6:设点 那么点M关于x 那么点M关于x轴、y轴、z轴及原点 对称的点的坐标分别是什么？ 对称的点的坐标分别是什么？
M(x,y,z)
z
O
y
x
N(x,-y,N(x,-y,-z)
规律总结 是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足 中的一点， 点M(x,y,z)是空间直角坐标系 是空间直角坐标系 中的一点 下列条件的点的坐标 (1)与点 关于 轴对称的点 与点M关于 与点 关于x轴对称的点 (2)与点 关于 轴对称的点 与点M关于 与点 关于y轴对称的点 (3)与点 关于 轴对称的点 与点M关于 与点 关于z轴对称的点 (x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z)
初中物理坐标知识点总结
初中物理坐标知识点总结一、坐标系的概念及构成1. 坐标系的概念坐标系是用来确定物体位置的工具，它包含了多个轴线和原点，通过坐标系可以方便地描述物体在空间中的位置。
2. 构成坐标系由多个轴线和一个原点构成。
一般来说，二维坐标系有两条轴线（横轴和纵轴），三维坐标系有三条轴线（x轴、y轴和z轴）。
原点是坐标系的起点，所有的坐标值都是相对于原点来确定的。
二、直角坐标系1. 直角坐标系的概念直角坐标系是最常用的坐标系之一，它包括了横轴和纵轴两条垂直的轴线。
在直角坐标系中，任意一个点的位置都可以用它与轴线的交点的坐标来表示。
2. 坐标的表示方法在直角坐标系中，对于二维坐标系来说，一个点的位置可以用(x, y)来表示，其中x表示横轴上的坐标，y表示纵轴上的坐标。
而对于三维坐标系来说，一个点的位置可以用(x, y, z)来表示，其中x、y、z分别表示x轴、y轴和z轴上的坐标。
3. 坐标系中的直线方程在直角坐标系中，直线的方程可以用y = kx + b来表示，其中k是斜率，b是y轴截距。
对于三维坐标系来说，直线方程可以用z = ax + by + c来表示。
4. 直角坐标系中的距离计算在直角坐标系中，两点之间的距离可以用勾股定理来计算，即d = √((x2-x1)²+ (y2-y1)²)，其中d表示两点之间的距离，(x1, y1)和(x2, y2)分别表示两个点的坐标。
三、极坐标系1. 极坐标系的概念极坐标系是一种以原点为中心、角度和半径为坐标的坐标系。
在极坐标系中，一个点的位置可以用(r, θ)来表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与正半轴的夹角。
2. 从直角坐标系到极坐标系的转换在直角坐标系中，点(x, y)可以转换为极坐标系中的点(r, θ)，其中r = √(x² + y²)，θ = arctan(y/x)。
3. 从极坐标系到直角坐标系的转换在极坐标系中，点(r, θ)可以转换为直角坐标系中的点(x, y)，其中x = r*cos(θ)，y =r*sin(θ)。
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P4(x，－y，－z) x轴的对称点的坐标为________________________ ；
P5(－x，－y，z) z轴的对称点的坐标为________________________ ．
数学应用
1．下列点中，位于yoz平面内的是( B ) A.(2，2，0) C.(2，0，2) B.(0，2，2) D.(2，0，0)
x＝0，且y＝0 ． z轴上点的坐标特征为_____________________
数学应用
例3．(1)在空间直角坐标系O-xyz中，画出不共线的3个点P，Q，R，使得这3 个点的坐标都满足z＝3，并画出图形； (2)写出由这三个点确定的平面内的点的坐标应满足的条件．z
O
y
x
数学应用
如图，已知四棱锥P－ABCD中，PA垂直于矩形ABCD所在平面，M是PC 的中点，N在PB上，且PN＝3NB，已知AB＝4，AD＝3，PA＝5， 建立如图 所示坐标系，写出点P，A，B，C，D，M，N的坐标． z
数学建构
空间直角坐标系 从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位 长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz． z
点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴， 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称 为xOy平面、yOz平面和xOz平面．
x
O
y
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的 正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系． 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系．
D A x O
5 2
13
C y
B
数学应用
P(3，－2，－1) ； 点P(3，－2，1)关于坐标平面xOy的对称点的坐标为_________________ Q(2，3，－1) ； 点Q(－2，－3，1)关于原点的对称点的坐标为_________________ R(－ 2，－ 4，1) ． 点R(2，4，1)关于z轴的对称点的坐标为_____________________
数学建构
空间任一点P(x，y，z)关于原点、轴、坐标平面的对称点的坐标特征. 点P(x，y，z)关于 P1(－x，－y，－z) 原点的对称点的坐标为______________________ ；
P2(x，y，－z) ； 坐标平面xOy的对称点的坐标为_______________
P3(－x ，y，z) ； 坐标平面yOz的对称点的坐标为_______________
，2，0) 2．点P(4，2，6)在xOy平面内射影P的坐标是(4 ________. 1 3．点P(－2，－1，4)到xOz平面的距离是____________.
数学建构
空间内落在坐标轴上或坐标平面内的点的坐标特征. z＝ 0 平面xOy内点的坐标特征为________________ ； x＝ 0 平面yOz内点的坐标特征为________________ ； y＝0 平面xOz内点的坐标特征为________________ ； y＝0，且z＝0 ； x轴上点的坐标特征为_____________________ x＝0，且z＝0 ； y轴上点的坐标特征为_____________________
P
M
N B A C D y
x
小结
1．右手坐标系的建立； 2．坐标轴、坐标面； 3．根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标的方法．
作业
课本122-123页习题2.3第1，6.
y
x
于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R．点P，Q，R
在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做
点A的坐标，记为A(x，y，z)．
数学应用
在空间直角坐标系中，作出点P(5，4，6)． z
O
y
x
数学应用
例2．如图，已知长方体ABCD－ABCD的边长为AB＝12，AD＝18， AA＝5．以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA分别为x轴、 y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标． A z D A D x C C B y B
数学建构
空间直角坐标系画法与表示. 通常，将空间直角坐标系画在纸上时， x轴 与y轴、x轴与z轴均成135，而z轴垂直于y轴． y 轴和z轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴 (或z轴)的单位长度的一半，这样，三条轴上的单 位长度在直观上大体相等．
z
A
O
对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上 的射影，即通过点A作三个平面分别垂直
高中数学 必修2
问题情境
平面解析几何的基本思想是什么?
借助平面直角坐标系，用代数方法来研究直线、圆等图形的有关性质． 建立平面直角坐标系，平面上任意一点与坐标建立一一对应关系． 直线、圆等几何图形就与方程f(x，y)＝0建立对应关系，进而利用方程揭 示图形的有关性质． 那么，怎样用坐标来表示空间任意一点的位置呢？
数学应用
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2， 写出正方体各顶点的坐标．
A1 D1 A D
z C1
B1 D1 B C y D
A1
z C1
B1
A1 D1
B x D
A
O C
y B x
x
建立适当空间直角坐标系．
数学应用
在正四棱锥S－ABCD中，建立如图所示的空间直角坐标系， 根据条件，确定各顶点的坐标． z S