旋转矩阵、欧拉角、四元数
表示数字姿态
表示数字姿态刚体的姿态（attitude）有很多种表示方法，关于这个话题有一篇十分出名的综述[1]，也是这篇文章的主要资料来源。
这篇文章从二维旋转开始，会讨论旋转矢量、旋转矩阵、四元数、欧拉角等旋转的表示方法。
在开始讨论前，需要明确的一点是刚体的姿态具有三个自由度，但使用三个参数对姿态进行全局的、没有奇异性的描述已经被证明是不可能的[2]，这也是近来IMU姿态估计的方法大多使用四元数或旋转矩阵的原因。
1.二维旋转的表示相比在三维空间中的旋转，二维旋转十分直观且易于理解。
二维旋转指将二维平面上的一个向量 \bm{v} （起点为原点）绕原点旋转一个角度 \theta ，得到一个新的向量\bm{v}_{\theta} 。
角度 \theta 可以完全描述这个旋转操作，因此是最直接的二维旋转的表示方法。
但需要注意的是，因为角度具有周期性，任何相差 2\pi 的整数倍的两个角度所代表的旋转是相同的（只考虑旋转的结果），所以表示角度的空间不是实数集 \mathbb{R} ，而是一个商空间\mathbb{R}/2\pi 。
这个商空间可以和平面上的单位圆做一一对应：\theta\leftrightarrow(\cos{\theta},\sin{\theta}) ，也就是说，我们可以认为单位圆上的每一个点，对应了一个独特的旋转操作，这也是二维旋转的第二种表示方法。
最后，如果我们把旋转后得到的向量写成坐标的形式，可以得到：\bm{v}_{\theta}=\left[\begin{matrix}\cos{\theta}&-\sin{\theta}\\\sin{\theta}&\cos{\theta}\end{matrix}\ri ght]\bm{v}=\mathbf{R}(\theta)\bm{v} (1)其中 \mathbf{R}(\theta) 被称为二维旋转矩阵，可以和\mathbb{R}/2\pi 作一一对应，是二维旋转的第三种表示方法。
旋转矩阵、旋转向量、欧拉角、四元数的关系
旋转矩阵、旋转向量、欧拉⾓、四元数的关系向量的矩阵形式有两个向量：→a =(a 1,a 2,a 3)→b =(b 1,b 2,b 3)叉乘的结果表⽰⼀个向量，这个向量向量垂直于a,b 向量构成的平⾯。
→a ×→b =‖e 1e 2e 3a 1a 2a 3b 1b 2b 3‖=a 2b 3−a 3b 2a 3b 1−a 1b 3a 1b 2−a 2b 1=0−a 3a 2a 30−a 1−a 2a 10b 1b 2b 3=a ∧b将向量a 对应的矩阵表⽰出来，为⼀个反对称矩阵，每⼀个向量都对应着⼀个反对称矩阵。
这就引出向量的矩阵形式。
a ∧=0−a 3a 2a 30−a 1−a 2a 1坐标变换的易混点在齐次变换中p 1=T 12·p 2p 2=T 23·p 3T 12表⽰，把坐标系{2}的向量变换到坐标系{1}中，T 23同理，如果把坐标系{3}下的向量变换到坐标系{1}中为：p 1=T 12·T 23·p 3旋转向量和欧拉⾓: SO(3)的旋转矩阵有9个量，但是只有3个⾃由度，同理SE(3)有16个量，但是也只有6个⾃由度。
在实际的旋转中，任意的旋转都可⽤⼀个旋转轴和⼀个旋转⾓来表⽰，我们使⽤⼀个向量，⽅向与旋转轴⼀致，长度等于旋转⾓，这样只需要⼀个三维向量即可描述旋转。
对于SE(3),⽤⼀个旋转向量和⼀个平移向量即可表达，恰好⾃由度为6.如果⽤旋转向量来描述R ：旋转轴为⼀个单位长度的向量n,⾓度为θ，那么θn 可以表⽰这个旋转。
旋转矩阵R 和旋转向量θn 的转换过程为罗德⾥格斯变换：R =cos θI +(1−cos θ)nn T +sin θn ∧此处末尾的n ∧ 如上⾯所⽰，代表矩阵表⽰的向量。
那么反过来通过旋转矩阵获取转⾓ θ;θ=arccostr (R )−12tr(R)为矩阵R 的迹。
对于转轴n,Rn=n;表⽰为转轴绕⾃⾝转动不⽣改变，从数学来说n 是矩阵R 特征值为1时对应的特征向量。
旋转矩阵、欧拉角、四元数理论及其转换关系
旋转矩阵、欧拉⾓、四元数理论及其转换关系1. 概述旋转矩阵、欧拉⾓、四元数主要⽤于表⽰坐标系中的旋转关系，它们之间的转换关系可以减⼩⼀些算法的复杂度。
本⽂主要介绍了旋转矩阵、欧拉⾓、四元数的基本理论及其之间的转换关系。
2、原理2.1 旋转矩阵对于两个三维点p1(x1,y1,z1)，p2(x2,y2,z2)，由点 p1 经过旋转矩阵 R 旋转到 p2，则有注：旋转矩阵为正交矩阵RR^T=E任意旋转矩阵：任何⼀个旋转可以表⽰为依次绕着三个旋转轴旋三个⾓度的组合。
这三个⾓度称为欧拉⾓。
三个轴可以指固定的世界坐标系轴，也可以指被旋转的物体坐标系的轴。
三个旋转轴次序不同，会导致结果不同。
2.2 欧拉⾓欧拉⾓有两种：静态：即绕世界坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴保持静⽌，所以称为静态。
动态：即绕物体坐标系三个轴的旋转，由于物体旋转过程中坐标轴随着物体做相同的转动，所以称为动态。
使⽤动态欧拉⾓会出现万向锁现象；静态欧拉⾓不存在万向锁的问题。
对于在三维空间⾥的⼀个参考系，任何坐标系的取向，都可以⽤三个欧拉⾓来表现。
参考系⼜称为实验室参考系，是静⽌不动的。
⽽坐标系则固定于刚体，随着刚体的旋转⽽旋转。
如图1，设定xyz-轴为参考系的参考轴。
称xy-平⾯与XY-平⾯的相交为交点线，⽤英⽂字母（N）代表。
zxz顺规的欧拉⾓可以静态地这样定义：α是x-轴与交点线的夹⾓，β是z-轴与Z-轴的夹⾓，γ是交点线与X-轴的夹⾓。
图中三个欧拉⾓分别为：(α,β,γ)；蓝⾊的轴为：xyz轴红⾊的轴为：XYZ轴绿⾊的线为交线：Nα∈[0,2π],β∈[0,π],γ∈[0,2π]很可惜地，对于夹⾓的顺序和标记，夹⾓的两个轴的指定，并没有任何常规。
科学家对此从未达成共识。
每当⽤到欧拉⾓时，我们必须明确的表⽰出夹⾓的顺序，指定其参考轴。
实际上，有许多⽅法可以设定两个坐标系的相对取向。
欧拉⾓⽅法只是其中的⼀种。
此外，不同的作者会⽤不同组合的欧拉⾓来描述，或⽤不同的名字表⽰同样的欧拉⾓。
三维旋转矩阵与自身相乘
三维旋转矩阵与自身相乘1. 介绍在计算机图形学和计算机视觉领域，三维旋转矩阵是一种用于描述三维空间中物体旋转的数学工具。
它可以通过矩阵相乘的方式将一个向量或者一个矩阵进行旋转变换。
本文将详细介绍三维旋转矩阵的定义、性质以及如何将一个三维旋转矩阵与自身相乘的操作。
2. 三维旋转矩阵的定义三维旋转矩阵是一个3x3的正交矩阵，表示一个物体在三维空间中的旋转变换。
它的每一列向量都是一个单位向量，且互相垂直。
三维旋转矩阵可以通过欧拉角、四元数或旋转矩阵的形式进行表示。
2.1 欧拉角表示欧拉角表示法使用三个角度来描述旋转变换。
常用的欧拉角顺序有XYZ、XZY、YXZ、YZX、ZXY和ZYX六种。
以XYZ顺序为例，旋转矩阵可以表示为：R = Rz * Ry * Rx其中Rx、Ry和Rz分别表示绕X轴、Y轴和Z轴的旋转矩阵。
2.2 四元数表示四元数是一种扩展了复数的数学工具，可以用来表示旋转变换。
一个四元数可以表示为：q = w + xi + yj + zk其中w、x、y和z是实数，i、j和k是虚数单位。
通过四元数可以构造一个旋转矩阵，表示为：R = | 1-2y^2-2z^2 2xy-2wz 2xz+2wy || 2xy+2wz 1-2x^2-2z^2 2yz-2wx || 2xz-2wy 2yz+2wx 1-2x^2-2y^2 |2.3 旋转矩阵表示旋转矩阵可以直接表示为一个3x3的矩阵，其中每一列向量都是一个单位向量，且互相垂直。
例如，绕X轴旋转θ角度的旋转矩阵可以表示为：R = | 1 0 0 || 0 cosθ -si nθ || 0 sinθ cosθ |3. 三维旋转矩阵的性质三维旋转矩阵具有一些重要的性质，这些性质对于理解旋转矩阵的操作非常重要。
3.1 正交性旋转矩阵的每一列向量都是单位向量，且互相垂直。
这意味着旋转矩阵是一个正交矩阵，满足以下等式：R^T * R = I其中R^T表示R的转置，I表示单位矩阵。
旋转知识点总结
旋转知识点总结旋转是一种常见的几何变换，它改变了物体的方向、位置和角度。
在计算机图形学、几何学、物理学和工程学等领域都有广泛的应用。
下面是对旋转相关知识点的一些总结：1. 旋转的定义：旋转是一种刚体运动，它将物体绕着特定的轴线转动一定的角度。
旋转由旋转中心、旋转轴和旋转角度三个要素来描述。
2. 旋转的方向：旋转可以是顺时针方向或逆时针方向。
在三维空间中，右手法则可以确定旋转的方向。
3. 旋转角度的表示：旋转角度可以用弧度制或角度制来表示。
弧度制是使用弧长与半径的比值来表示角度，角度制则是使用度数来表示。
4. 旋转矩阵：旋转可以用旋转矩阵来表示。
旋转矩阵是一个二维矩阵，其中每个元素表示旋转后的坐标与旋转前的坐标之间的关系。
5. 旋转轴的表示：旋转轴可以用向量来表示，向量的方向和大小决定了旋转轴的方向和旋转角度的大小。
6. 旋转的基本性质：旋转具有一些基本的性质，包括不变性、可逆性、可叠加性等。
这些性质对于旋转的应用非常重要。
7. 旋转的合成：旋转可以进行合成，即先进行一个旋转，再进行另一个旋转。
合成旋转可以通过旋转矩阵的乘法来实现。
8. 旋转的变换：旋转可以用来进行物体的变换，包括位置的变换、形状的变换和姿态的变换等。
旋转变换可以通过矩阵乘法来实现。
9. 欧拉角和四元数：欧拉角和四元数是常用的旋转表示方法。
欧拉角使用三个独立的角度来表示旋转，而四元数使用一个四维向量来表示旋转。
10. 旋转的应用：旋转在计算机图形学中有广泛的应用，包括三维建模、动画、物理模拟等。
旋转也被广泛应用于机器人学、飞行控制、游戏开发等领域。
11. 旋转的误差：由于测量误差和计算误差等原因，旋转变换可能会引入一定的误差。
为了减少误差，可以使用数值方法和优化算法等技术来进行旋转估计和校正。
12. 旋转的性能优化：旋转的计算通常比较复杂，对于大规模的数据和复杂的模型，旋转计算可能会成为性能瓶颈。
为了提高性能，可以使用并行计算、SIMD指令、快速算法等技术来加速旋转计算。
四元数
1.轴、角转四元数公式：q = [cos(Q/2), sin(Q /2)v] v是旋转轴矢量，Q是旋转角度2.欧拉角转四元数:qroll = [cos (y/2), (sin(y/2), 0, 0)]qpitch = [cos (q/2), (0, sin(q/2), 0)]qyaw = [cos(f /2), (0, 0, sin(f /2)]pitch(俯仰），yaw(偏航），roll（滚转）3.四元数转旋转矩阵：| 1 - 2y2 - 2z2 2yz + 2wx 2xz - 2wy | Rm = | 2xy - 2wz 1 - 2x2 - 2z2 2yz - 2wx | | 2xz + 2wy 2yz - 2wx 1 - 2x2 - 2y2|4.矩阵转四元数代码：MatToQuat(float m[4][4], QUAT * quat){float tr, s, q[4];int i, j, k;int nxt[3] = {1, 2, 0};tr = m[0][0] + m[1][1] + m[2][2];// check the diagonalif (tr > 0.0){s = sqrt (tr + 1.0);quat->w = s / 2.0;s = 0.5 / s;quat->x = (m[1][2] - m[2][1]) * s;quat->y = (m[2][0] - m[0][2]) * s;quat->z = (m[0][1] - m[1][0]) * s;}else{// diagonal is negativei = 0;if (m[1][1] > m[0][0]) i = 1;if (m[2][2] > m[i][i]) i = 2;j = nxt[i];k = nxt[j];s = sqrt ((m[i][i] - (m[j][j] + m[k][k])) + 1.0); q[i] = s * 0.5;if (s != 0.0) s = 0.5 / s;q[3] = (m[j][k] - m[k][j]) * s;q[j] = (m[i][j] + m[j][i]) * s;q[k] = (m[i][k] + m[k][i]) * s;quat->x = q[0];quat->y = q[1];quat->z = q[2];quat->w = q[3];}}5.四元数转矩阵代码：QuatToMatrix(QUAT * quat, float m[4][4]){float wx, wy, wz, xx, yy, yz, xy, xz, zz, x2, y2, z2;// calculate coefficientsx2 = quat->x + quat->x;y2 = quat->y + quat->y;z2 = quat->z + quat->z;xx = quat->x * x2;xy = quat->x * y2;xz = quat->x * z2;yy = quat->y * y2;yz = quat->y * z2;zz = quat->z * z2;wx = quat->w * x2;wy = quat->w * y2;wz = quat->w * z2;m[0][0] = 1.0 - (yy + zz);m[1][0] = xy - wz;m[2][0] = xz + wy;m[3][0] = 0.0;m[0][1] = xy + wz;m[1][1] = 1.0 - (xx + zz);m[2][1] = yz - wx;m[3][1] = 0.0;m[0][2] = xz - wy;m[1][2] = yz + wx;m[2][2] = 1.0 - (xx + yy);m[3][2] = 0.0;m[0][3] = 0;m[1][3] = 0;m[2][3] = 0;m[3][3] = 1;}6.欧拉角转四元数代码：EulerToQuat(float roll, float pitch, float yaw, QUAT * quat) {float cr, cp, cy, sr, sp, sy, cpcy, spsy;// calculate trig identitiescr = cos(roll/2);cp = cos(pitch/2);cy = cos(yaw/2);sr = sin(roll/2);sp = sin(pitch/2);sy = sin(yaw/2);cpcy = cp * cy;spsy = sp * sy;quat->w = cr * cpcy + sr * spsy;quat->x = sr * cpcy - cr * spsy;quat->y = cr * sp * cy + sr * cp * sy; quat->z = cr * cp * sy - sr * sp * cy; }四元数乘法QuatMul(QUAT *q1, QUAT *q2, QUAT *res){ float A, B, C, D, E, F, G, H;A = (q1->w + q1->x)*(q2->w + q2->x);B = (q1->z - q1->y)*(q2->y - q2->z);C = (q1->w - q1->x)*(q2->y + q2->z);D = (q1->y + q1->z)*(q2->w - q2->x);E = (q1->x + q1->z)*(q2->x + q2->y);F = (q1->x - q1->z)*(q2->x - q2->y);G = (q1->w + q1->y)*(q2->w - q2->z);H = (q1->w - q1->y)*(q2->w + q2->z);res->w = B + (-E - F + G + H) /2;res->x = A - (E + F + G + H)/2;res->y = C + (E - F + G - H)/2;res->z = D + (E - F - G + H)/2;}四元数插值QuatSlerp(QUAT * from, QUAT * to, float t, QUAT * res){float to1[4];double omega, cosom, sinom, scale0, scale1;// calc cosinecosom = from->x * to->x + from->y * to->y + from->z * to->z + from->w * to->w;// adjust signs (if necessary)if ( cosom <0.0 ){ cosom = -cosom; to1[0] = - to->x;to1[1] = - to->y;to1[2] = - to->z;to1[3] = - to->w;} else {to1[0] = to->x;to1[1] = to->y;to1[2] = to->z;to1[3] = to->w;}// calculate coefficientsif ( (1.0 - cosom) > DELTA ) {// standard case (slerp)omega = acos(cosom);sinom = sin(omega);scale0 = sin((1.0 - t) * omega) / sinom; scale1 = sin(t * omega) / sinom;} else {// "from" and "to" quaternions are very close// ... so we can do a linear interpolationscale0 = 1.0 - t;scale1 = t;}// calculate final valuesres->x = scale0 * from->x + scale1 * to1[0]; res->y = scale0 * from->y + scale1 * to1[1]; res->z = scale0 * from->z + scale1 * to1[2]; res->w = scale0 * from->w + scale1 * to1[3]; }。
三维旋转：旋转矩阵，欧拉角，四元数
三维旋转：旋转矩阵，欧拉⾓，四元数原⽂见我的，欢迎⼤家过去评论。
如何描述三维空间中刚体的旋转，是个有趣的问题。
具体地说，就是刚体上的任意⼀个点P(x, y, z)围绕过原点的轴(i, j, k)旋转θ，求旋转后的点P\'(x\', y\', z\')。
旋转矩阵旋转矩阵乘以点P的齐次坐标，得到旋转后的点P'，因此旋转矩阵可以描述旋转，$$\begin{bmatrix}x'\\ y'\\ z'\\ 1\end{bmatrix}=R\cdot \begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}$$绕x，y，或z轴旋转θ的矩阵为：$$R_{x}(\theta)=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta\\ 0 & \sin\theta & \cos\theta\end{bmatrix}$$$$R_{y}(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & 0 & -\sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\theta & 0 & \cos\theta\end{bmatrix}$$$$R_{z}(\theta)=\begin{bmatrix}\cos\theta & -\sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$$所以，绕任意轴旋转的矩阵为$$R_{x}(-p)\cdot R_{y}(-q)\cdot R_{z}(\theta)\cdot R_{y}(q)\cdot R_{x}(p)$$这表⽰：1. 绕x轴旋转⾓度p使指定的旋转轴在xz平⾯上2. 绕y轴旋转⾓度q使指定的旋转轴与z轴重合3. 绕z轴旋转⾓度θ4. 绕y轴旋转⾓度-q5. 绕x轴旋转⾓度-p其中，p和q的值需要⽤i,j,k计算出来。
三维空间旋转坐标表示
三维空间旋转坐标表示
在三维空间中，旋转坐标通常用欧拉角、旋转矩阵或四元数来表示。
1. 欧拉角：欧拉角是用来描述三维空间中旋转的一种方法，它使用三个角度值（通常用α、β和γ表示）来表示一个物体的方位。
其中，α表示物体绕着垂直于纸面的轴线旋转的角度，β表示物体绕着平行于纸面的轴线旋转的角度，γ表示物体绕着通过旋转轴线的垂直轴线旋转的角度。
2. 旋转矩阵：旋转矩阵是一种用来描述三维空间中旋转的数学工具，它是一个3x3的方阵，可以表示一个绕着某个轴旋转一定角度的旋转操作。
旋转矩阵的表示方法有很多种，其中最常用的是单位矩阵和绕着Z轴旋转的矩阵。
单位矩阵表示不进行任何旋转，而绕着Z轴旋转的矩阵则可以用来表示绕着Z轴旋转一定角度的操作。
3. 四元数：四元数是一种用来描述三维空间中旋转的数学工具，它由一个实数和三个虚数组成，可以表示一个绕着某个轴旋转一定角度的旋转操作。
四元数的表示方法有很多种，其中最常用的是单位四元数和绕着Z轴旋转的四元数。
单位四元数表示不进行任何旋转，而绕着Z轴旋转的四元数则可以用来表示绕着Z轴旋转一定角度的操作。
总之，三维空间的旋转坐标表示方法有很多种，具体使用哪种方法取决于具体的应用场景和需求。
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旋转矩阵、欧拉角、四元数比较
旋转矩阵、欧拉角、四元数主要用于:
向量的旋转、坐标系之间的转换、角位移计算、方位的平滑插值计算
各方法比较
任务/性质旋转矩阵欧拉角四元数
在坐标系间(物体和惯性)旋转点能不能(必须转换到矩
阵)
不能(必须转换到矩
阵)
连接或增量旋转能,但经常比四元数
慢,小心矩阵蠕变的情
况
不能能,比矩阵快
插值基本上不能能,但可能遭遇万向锁
或其他问题Slerp提供了平滑插值
易用程度难易难
在内存或文件中存储9个数3个数4个数
对给定方位的表达方式是否唯一是不是,对同一方位有无
数多种方法
不是,有两种方法,它
们互相为互
可能导致非法矩阵蠕变任意三个数都能构成
合法的欧拉角可能会出现误差积累,从而产生非法的四元数
不同的方位表示方法适用于不同的情况。
下面是我们对合理选择格式的一些建议:
l 欧拉角最容易使用。
当需要为世界中的物体指定方位时,欧拉角能大大的简化人机交互,
包括直接的键盘输入方位、在代码中指定方位(如为渲染设定摄像机)、在调试中测试。
这个优点不应该被忽视,不要以”优化”为名义而牺牲易用性,除非你去顶这种优化的确有效果。
2如果需要在坐标系之间转换响亮,那么就选择矩阵形式。
当然,这并不意味着你就不能用其他格式来保存方位,并在需要的时候转换到矩阵格式。
另一种方法是用欧拉角作为方位的”主拷贝”但同时维护一个旋转矩阵,当欧拉角发生改变时矩阵也要同时进行更新。
3 当需要大量保存方位数据(如:动画)时,就使用欧拉角或四元数。
欧
拉角将少占用25%的内存,但它在转换到矩阵时要稍微慢一些。
如果动画数据需要嵌套坐标系之间的连接,四元数可能是最好的选择。
4 平滑的插值只能用四元数完成。
如果你用其他形式,也可以先转换
到四元数然后再插值,插值完毕后再转换回原来的形式。