2019年天津市高考数学试卷(理科)解析版
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+. ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高.·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R …，则()A CB =（ ）A. {}2B. {}2,3C. {}1,2,3-D. {}1,2,3,4【答案】D 【解析】 【分析】先求A B ⋂，再求()A C B 。
【详解】因为{1,2}A C =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D 。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．2.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ） A. 2 B. 3C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值。
由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -， 所以max 4(1)15z =-⨯-+=。
故选C 。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】250x x -<，即05x <<，11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<。
故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件。
故选B 。
【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；(2)集合法：根据由p ，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A. 5B. 8C. 24D. 29【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果。
【详解】详解：1,2S i ==→11,1225,3j S i ==+⋅==8,4S i ==，结束循环，故输出8。
故选B 。
【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为( ）A.B. C. 2D.【答案】D 【解析】 【分析】只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】l 的方程为1x =-，双曲线的渐近线方程为by x a=±， 故得(1,),(1,)b b A B a a ---，所以2b AB a =，24ba=，2b a =，所以c e a ===故选D 。
【点睛】双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==6.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。
【详解】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=，10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<。
故选A 。
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待。
7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫=⎪⎝⎭则38f π⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 2-B.C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】只需根据函数性质逐步得出,,A ωϕ值即可。
【详解】()f x 为奇函数，可知(0)sin 0f A ϕ==， 由ϕπ<可得0ϕ=；把其图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得1()sin 2g x A x ω=， 由()g x 的最小正周期为2π可得2ω=，由()4g π=2A =，所以()2sin 2f x x =，33()2sin 84f ππ== 故选C 。
【点睛】在0x =处有定义的奇函数必有(0)0f =。
8.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩…若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为（ ）A. []0,1B. []0,2C. []0,eD. []1,e【答案】C 【解析】 【分析】先判断0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立；若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，转化为ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立。
【详解】首先(0)0f ≥，即0a ≥，当01a ≤≤时，2222()22()22(2)0f x x ax a x a a a a a a a =-+=-+-≥-=->， 当1a <时，(1)10f =>，故当0a ≥时，2220x ax a -+≥在(,1]-∞上恒成立； 若ln 0x a x -≥在(1,)+∞上恒成立，即ln xa x≤在(1,)+∞上恒成立， 令()ln xg x x=，则2ln 1'()(ln )x g x x -=，易知x e =为函数()g x 在(1,)+∞唯一的极小值点、也是最小值点， 故max ()()g x g e e ==，所以a e ≤。
综上可知，a 的取值范围是[0,]e 。
故选C 。
【点睛】()a f x ≤在D 上恒成立，等价于min (),a f x x D ≤∈；()a f x ≥在D 上恒成立，等价于max (),a f x x D ≥∈。
第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题.9.i 是虚数单位，则51ii-+的值为________.【解析】 【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】解法一：5(5)(1)231(1)(1)i i i i i i i ---==-=++-。
解法二：5511i i i i --===++ 【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意求解．10.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________.【答案】28 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r 的值，再求出其常数项。
【详解】8848418831(2)()(1)28rrr r r r rr T C x C x x---+=-=-， 由840r -=，得2r =，故所求的常数项为228(1)28C -=.【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。
11.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______. 【答案】π4【解析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
2=， 故圆柱的高为1，圆柱的底面半径为12， 故其体积为21124ππ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
12.设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.【答案】34【解析】 【分析】根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出a 满足的方程，解之解得。
【详解】圆心坐标为(2,1)，圆的半径为2，2=，即2244144a a a ++=+， 解得34a =。
【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。
13.设0,0,25x y x y >>+=______.【答案】【解析】把分子展开化为26xy +，再利用基本不等式求最值。
==≥=等号当且仅当3xy =，即3,1x y ==时成立。
故所求的最小值为【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。
14.在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅=_________. 【答案】1- 【解析】 【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
2019年天津卷理科数学高考真题及标准答案解析
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P AB P A P B =+．·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =．·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈≤<R ，则()A C B =A ．{}2B ．{}2,3C ．{}1,2,3-D ．{}1,2,3,42．设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y =-+的最大值为A ．2B ．3C ．5D ．63．设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A ．5B ．8C ．24D ．295．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为ABC ．2D 6．已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为 A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．CD ．28．已知a ∈R ，设函数222,1,()ln ,1.x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩若关于x 的不等式()0f x ≥在R 上恒成立，则a 的取值范围为A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]0,eD ．[]1,e2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年高考试题(天津卷)-数学(理)(word有解析)
2019年高考试题（天津卷）-数学（理）（word 有解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学〔理〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第一卷本卷须知1. 每题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.本卷共8小题, 每题5分, 共40分.参考公式:如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+棱柱的体积公式V =Sh ，其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B = 球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.【一】选择题: 在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.(1) 集合A = {x ∈R | |x |≤2}, B = {x ∈R | x ≤1}, 那么A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [－2,2] (D) [－2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩那么目标函数z = y －2x 的最小值为(A) －7(B) －4 (C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 假设输入x 的值为1, 那么输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585 ①假设一个球的半径缩小到原来的12,那么其体积缩小到原来的18; ②假设两组数据的平均数相等,那么它们的标准差也相等;③直线x +y +1=0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A)①②③ (B)①②(C)①③ (D)②③ (5)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点.假设双曲线的离心率为2,△AOB 那么p =(A)1 (B)32 (C)2 (D)3(6)在△ABC 中,,3,4AB BC ABC π∠===那么sin BAC ∠=(7)函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(8)函数()(1||)f x x a x =+.设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A ,假设11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,那么实数a 的取值范围是(A)⎫⎪⎪⎝⎭(B)⎫⎪⎪⎝⎭(C)⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭ (D)⎛- ⎝⎭∞ 第二卷本卷须知1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.【二】填空题:本大题共6小题,每题5分,共30分.(9)a ,b ∈R ,i 是虚数单位.假设(a +i )(1+i )=bi ,那么a +bi =. (10)6x⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为.(11)圆的极坐标方程为4cos ρθ=,圆心为C ,点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭,那么|CP |=. (12)在平行四边形ABCD 中,AD =1,60BAD ︒∠=,E 为CD 的中点.假设·1AD BE =,那么AB 的长为.(13)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD //AC .过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E ,AD 与BC 交于点F .假设AB =AC ,AE =6,BD =5,那么线段CF 的长为.(14)设a +b =2,b >0,那么当a =时,1||2||a a b+取得最小 值.【三】解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题总分值13分)函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ)求f (x )的最小正周期; (Ⅱ)求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. (16)(本小题总分值13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ)再取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X ,求随机变量X 的分布列和数学期望.(17)(本小题总分值13分)如图,四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中,侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,AB //DC ,AB ⊥AD ,AD =CD =1,AA 1=AB =2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ)证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ)求二面角B 1－CE －C 1的正弦值.(Ⅲ)设点M 在线段C 1E 上,且直线AM 与平面ADD 1A 1所成,求线段AM 的长. (18)(本小题总分值13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,,过点F 且与x (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A ,B 分别为椭圆的左右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.假设··8AC DB AD CB +=,求k 的值.(19)(本小题总分值14分)首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列,其前n 项和为(*)n S n ∈N ,且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设*()1n n nT S n S ∈=-N ,求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. (20)(本小题总分值14分)函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ)证明:对任意的t >0,存在唯一的s ,使()t f s =. (Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =,证明:当2>e t 时,有2ln ()15ln 2g t t <<.。
2019年天津市高考数学试卷（理科）-解析版
2019年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈< ，则()(A C B = )A ．{2}B ．{2，3}C ．{1-，2，3}D ．{1，2，3，4}【解答】解：设集合{1A =-，1，2，3，5}，{|13}C x R x =∈< ，则{1A C = ，2}，{2B = ，3，4}，{()1A C B = ，2}{2 ，3，4}{1=，2，3，4}；故选：D ．2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩ 则目标函数4z x y =-+的最大值为()A ．2B ．3C ．5D ．6【解答】解：由约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩作出可行域如图：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线4y x z =+过A 时，z 有最大值为5．故选：C ．3．（5分）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：250x x -< ，05x ∴<<，|1|1x -< ，02x ∴<<，05x << 推不出02x <<，0205x x <<⇒<<，05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，即250x x -<是|1|1x -<的必要不充分条件．故选：B ．4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为()A ．5B ．8C ．24D ．29【解答】解：1i =，0s =；第一次执行第一个判断语句后，1S =，2i =，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，1j =，5S =，3i =，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，8S =，4i =，满足退出循环的条件；故输出S 值为8，故选：B ．5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为()ABC ．2D【解答】解： 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．(1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24b a=，2b a ∴=，c ∴==，∴双曲线的离心率为c e a==故选：D ．6．（5分）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【解答】解：由题意，可知：5log 21a =<，110.5122221log 0.25log 5log 425b log log --====>=．0.20.51c =<，b ∴最大，a 、c 都小于1．521log 25a log ==，10.2510.5()2c ====．而22log 5log 42>=>∴215log <．a c ∴<，a cb ∴<<．故选：A ．。
2019年天津市高考数学试卷(理科)-含答案
2019年天津市高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈<„，则()(A C B =I U)A ．{2}B ．{2，3}C ．{1-，2，3}D ．{1，2，3，4}2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………则目标函数4z x y =-+的最大值为() A ．2B ．3C ．5D ．63．（5分）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．295．（5分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为()A B C ．2D6．（5分）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x的最小正周期为2π，且()4g π，则3()(8f π= )A ．2-B ．CD ．28．（5分）已知a R ∈．设函数222,1,(),1x ax a x f x x alnx x ⎧-+=⎨->⎩g „若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，]eD ．[1，]e二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．（5分）i 是虚数单位，则5||1ii-+的值为 ． 10．（5分）831(2)8x x -的展开式中的常数项为 ．11．（5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 ．12．（5分）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切，则a 的值为 ．13．（5分）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．14．（5分）在四边形ABCD 中，//AD BC ，AB =5AD =，30A ∠=︒，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE =u u u r u u u rg ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．17．（13分）如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．18．（13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为45． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率．19．（14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式； ()ii 求2*1()ni i i a c n N =∈∑．20．（14分）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f xg x x π+-…； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．2019年天津市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合{1A =-，1，2，3，5}，{2B =，3，4}，{|13}C x R x =∈<„，则()(A C B =I U)A ．{2}B ．{2，3}C ．{1-，2，3}D ．{1，2，3，4}【分析】根据集合的基本运算即可求A C I ，再求()A C B I U ；【解答】解：设集合{1A =-，1，2，3，5}，{|13}C x R x =∈<„，则{1A C =I ，2}， {2B =Q ，3，4}，(){1A C B ∴=I U ，2}{2⋃，3，4}{1=，2，3，4}；故选：D ．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设变量x ，y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………则目标函数4z x y =-+的最大值为() A ．2B ．3C ．5D ．6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-⎧⎪-+⎪⎨-⎪⎪-⎩„………作出可行域如图：联立120x x y =-⎧⎨-+=⎩，解得(1,1)A -，化目标函数4z x y =-+为4y x z =+，由图可知，当直线4y x z =+过A 时，z 有最大值为5． 故选：C ．【点评】本题考查简单的线性规划知识，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 3．（5分）设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果 【解答】解：250x x -<Q ，05x ∴<<， |1|1x -<Q ，02x ∴<<， 05x <<Q 推不出02x <<， 0205x x <<⇒<<，05x ∴<<是02x <<的必要不充分条件，即250x x -<是|1|1x -<的必要不充分条件．故选：B ．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题． 4．（5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为( )A ．5B ．8C ．24D ．29【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：1i =，0s =；第一次执行第一个判断语句后，1S =，2i =，不满足条件； 第二次执行第一个判断语句后，1j =，5S =，3i =，不满足条件； 第三次执行第一个判断语句后，8S =，4i =，满足退出循环的条件； 故输出S 值为8， 故选：B ．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题5．（5分）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点），则双曲线的离心率为()A B C ．2D【分析】推导出(1,0)F ，准线l 的方程为1x =-，2||bAB a=，||1OF =，从而2b a =，进而c =，由此能求出双曲线的离心率． 【解答】解：Q 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ． (1,0)F ∴，准线l 的方程为1x =-，l Q 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||(AB OF O =为原点）， 2||b AB a ∴=，||1OF =，∴24b a=，2b a ∴=，c ∴==，∴双曲线的离心率为ce a=故选：D ．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，考查抛物线、双曲线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．6．（5分）已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【分析】本题先将a 、b 、c 的大小与1作个比较，发现1b >，a 、c 都小于1．再对a 、c 的表达式进行变形，判断a 、c 之间的大小． 【解答】解：由题意，可知： 5log 21a =<，110.5122221log 0.25log 5log 425b log log --====>=． 0.20.51c =<，b ∴最大，a 、c 都小于1．521log 25a log ==Q，10.2510.5()2c ===而22log 5log 42>=>∴215log <． a c ∴<，a cb ∴<<．故选：A ．【点评】本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数1作为中间量来比较．本题属基础题．7．（5分）已知函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)ϕπ<是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且()4g π，则3()(8f π= )A ．2-B．CD ．2【分析】根据条件求出ϕ和ω的值，结合函数变换关系求出()g x 的解析式，结合条件求出A 的值，利用代入法进行求解即可． 【解答】解：()f x Q 是奇函数，0ϕ∴=， 则()sin()f x A x ω=将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ． 即1()sin()2g x A x ω=()g x Q 的最小正周期为2π，∴2212ππω=，得2ω=， 则()sin g x A x =，()sin 2f x A x =，若()4g π=，则()sin 44g A A ππ===2A =，则()2sin 2f x x =，则333()2sin(22sin 2884f πππ=⨯== 故选：C ．【点评】本题主要考查三角函数的解析式的求解，结合条件求出A ，ω和ϕ的值是解决本题的关键．8．（5分）已知a R ∈．设函数222,1,(),1x ax a x f x x alnx x ⎧-+=⎨->⎩g „若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．[0，1]B ．[0，2]C ．[0，]eD ．[1，]e【分析】分2段代解析式后，分离参数a ，再构造函数求最值可得． 【解答】解：当1x =时，f （1）12210a a =-+=>恒成立；当1x <时，22()22021x f x x ax a ax =-+⇔-厖恒成立，令2222(11)(1)2(1)11()(12)2)011111x x x x x g x x x x x x x -----+==-=-=-=--+--=-----„，2()0max a g x ∴=…，0a ∴>．当1x >时，()0xf x x alnx alnx=-⇔厔恒成立， 令()x h x lnx=，则2211()()()lnx x lnx x h x lnx lnx --'==g， 当x e >时，()0h x '>，()h x 递增， 当1x e <<时，()0h x ''<，()h x 递减，x e ∴=时，()h x 取得最小值h （e ）e =， ()min a h x e ∴=…，综上a 的取值范围是[0，]e ． 故选：C ．【点评】本题考查了函数恒成立，属中档题． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）i 是虚数单位，则5||1ii-+【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算． 【解答】解：由题意，可知：225(5)(1)56231(1)(1)1i i i i i i i i i i -+---+===-++--，5|||23|1ii i-∴=-+【点评】本题主要考查复数定义及模的概念及基本运算．本题属基础题． 10．（5分）831(2)8x x-的展开式中的常数项为 28 ． 【分析】本题可根据二项式的展开式的通项进行计算，然后令x 的指数为0即可得到r 的值，代入r 的值即可算出常数项． 【解答】解：由题意，可知： 此二项式的展开式的通项为： 888188833111(2)()2()()(1)288r r r r rr r r r r r T C x C x C x x---+=-=-=-g g g g g 8484rr x --g ．∴当840r -=，即2r =时，1r T +为常数项．此时22218(1)2T C +=-g 84228-⨯=．故答案为：28．【点评】本题主要考查二项式的展开式的通项，通过通项中未知数的指数为0可算出常数项．本题属基础题．11．（5．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为4π．【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分， 由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于12； 由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1， 则该圆柱的体积为：21()124v sh ππ==⨯=；故答案为：4π 【点评】本题考查正四棱锥与圆柱内接的情况，考查立体几何的体积公式，属基础题． 12．（5分）设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切，则a 的值为 34． 【分析】推导出圆心(2,1)到直线20ax y -+=的距离：2d r ===，由此能求出a 的值．【解答】解：a R ∈Q ，直线20ax y -+=和圆22cos ,(12sin x y θθθ=+⎧⎨=+⎩为参数）相切， ∴圆心(2,1)到直线20ax y -+=的距离：2d r ==，解得34a =． 故答案为：34． 【点评】本题考查实数值的求法，考查直线与圆相切的性质、圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．（5分）设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【分析】利用基本不等式求最值． 【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，===；由基本不等式有：=时，即：3xy=，25x y+=时，即：31xy=⎧⎨=⎩或232xy=⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，的最小值为故答案为：【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于中档题．14．（5分）在四边形ABCD中，//AD BC，AB=5AD=，30A∠=︒，点E在线段CB 的延长线上，且AE BE=，则BD AE=u u u r u u u rg1-．【分析】利用ADu u u r和ABu u u r作为基底表示向量BDu u u r和AEu u u r，然后计算数量积即可．【解答】解：AE BE=Q，//AD BC，30A∠=︒，∴在等腰三角形ABE中，120BEA∠=︒，又AB=2AE∴=，∴25BE AD=-u u u r u u u r，Q AE AB BE=+u u u r u u u r u u u r，∴25AE AB AD=-u u u r u u u r u u u r又BD BA AD AB AD=+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∴2()()5BD AE AB AD AB AD=-+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g227255AB AB AD AD=-+-u u u r u u u r u u u r u u u rg2272||||cos55AB AB AD A AD=-+-u u u r u u u u u r u u u u u r u u u rg721252555=-+⨯⨯-⨯1=-故答案为：1-．【点评】本题考查了平面向量基本定理和平面向量的数量积，关键是选好基底，属中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2b c a+=，3sin 4sin c B a C =．（Ⅰ）求cos B 的值； （Ⅱ）求sin(2)6B π+的值．【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得． 【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC 中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =，又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得43a b =，23a c =，由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-g g ．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B，从而sin 22sin cos B B B ==， 227cos2cos sin 8B B B =-=-，故71sin(2)sin 2cos cos2sin 66682B B B πππ+=+=-⨯=． 【点评】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．属中档题． 16．（13分）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【分析】()I 甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~()3X B ，可求分布列及期望；()II 设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3M X ==，1}{2Y X ==⋃，0}Y =，由题意知{3X =，1}Y =与{2X =，0}Y =互斥，且{3}X =与{1}Y =，{2}X =与{0}Y =相互独立，利用相互对立事件的个概率公式可求【解答】解：()I 甲上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()()()33k k k P x k C -==，0k =，1，2，3．2()323E X =⨯=； ()II 设乙同学上学期间的三天中7:30到校的天数为Y ，则2~(3,)3Y B ，且{3M X ==，1}{2Y X ==⋃，0}Y =，由题意知{3X =，1}Y =与{2X =，0}Y =互斥，且{3}X =与{1}Y =，{2}X =与{0}Y =相互独立，由()I 知，()({3P M P X ==，1}{2Y X ==⋃，0}({3Y P X ===，1}{2Y P X =+=，0}Y = 824120(3)(1)(2)(0)279927243P X P Y P X P Y ===+===⨯+⨯=【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列与期望，互斥事件与相互独立事件的概率计算公式，考查运算概率公式解决实际问题的能力．17．（13分）如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，2AE BC ==．（Ⅰ）求证：//BF 平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长．【分析】（Ⅰ）以A 为坐标原点，分别以AB u u u r ，AD u u u r ，AE u u u r所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得A ，B ，C ，D ，E 的坐标，设(0)CF h h =>，得(1F ，2，)h ．可得(1,0,0)AB =u u u r是平面ADE 的法向量，再求出(0,2,)BF h =u u u r ，由0BF AB =u u u r u u u rg ，且直线BF ⊂/平面ADE ，得//BF 平面ADE ；（Ⅱ）求出(1,2,2)CE =--u u u r，再求出平面BDE 的法向量，利用数量积求夹角公式得直线CE与平面BDE 所成角的余弦值，进一步得到直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BDF 的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为13列式求线段CF 的长．【解答】（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，分别以AB u u u r ，AD u u u r ，AE u u u r所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(1C ，2，0)，(0D ，1，0)，(0E ，0，2)． 设(0)CF h h =>，则(1F ，2，)h ．则(1,0,0)AB =u u u r 是平面ADE 的法向量，又(0,2,)BF h =u u u r ，可得0BF AB =u u u r u u u rg ．又Q 直线BF ⊂/平面ADE ，//BF ∴平面ADE ；（Ⅱ）解：依题意，(1,1,0)BD =-u u u r ，(1,0,2)BE =-u u u r ，(1,2,2)CE =--u u u r．设(,,)n x y z =r为平面BDE 的法向量，则020n BD x y n BE x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，令1z =，得(2,2,1)n =r ．4cos ,9||||CE n CE n CE n ∴<>==-u u u r r u u u r g r u u u r r g ． ∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49； （Ⅲ）解：设(,,)m x y z =r为平面BDF 的法向量， 则020m BD x y m BF y hz ⎧=-+=⎪⎨=+=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，取1y =，可得2(1,1,)m h =-r ， 由题意，22|4|||1|cos ,|||||3432m n h m n m n h -<>===⨯+r rg r rr r g ，解得87h =．经检验，符合题意． ∴线段CF 的长为87．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解线面角与二面角的大小，是中档题．18．（13分）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||(ON OF O =为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【分析】（Ⅰ）由题意可得2b =，运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，可得a ，c ，进而得到所求椭圆方程；（Ⅱ）(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+，联立椭圆方程，求得P 的坐标，M 的坐标，由OP MN ⊥，运用斜率之积为1-，解方程即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得24b =，即2b =，c e a ==222a b c -=，解得a ，1c =，可得椭圆方程为22154x y +=；（Ⅱ）(0,2)B ，设PB 的方程为2y kx =+， 代入椭圆方程224520x y +=， 可得22(45)200k x kx ++=， 解得22045kx k =-+或0x =，即有220(45kP k -+，22810)45k k -+，2y kx =+，令0y =，可得2(M k-，0)， 又(0,1)N -，OP MN ⊥，可得281011220k k k-=---g，解得k = 可得PB的斜率为 【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆方程联立，求交点，考查化简运算能力，属于中档题．19．（14分）设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知14a =，16b =，2222b a =-，3324b a =+． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． ()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式； ()ii 求2*1()ni i i a c n N =∈∑．【分析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，利用等差数列、等比数列的通项公式列出方程组，能求出{}n a 和{}n b 的通项公式．（Ⅱ）()i 由222(1)(1)n n n n a c a b -=-，能求出数列22{(1)}n n a c -的通项公式． (Tex translation failed)，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ， 依题意有：26626124q d q d =+⎧⎨=+⎩，解得32d q =⎧⎨=⎩，4(1)331n a n n ∴=+-⨯=+，16232n n n b -=⨯=⨯．（Ⅱ）()i Q 数列{}n c 满足11c =，11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈． 222(1)(1)(321)(321)941n n n n n n n a c a b ∴-=-=⨯+⨯-=⨯-，∴数列22{(1)}n n a c -的通项公式为：22(1)941n n n a c -=⨯-．(Tex translation failed)12(21)(243)(941)2n n nni i =-=⨯+⨯+⨯-∑2114(14)(3252)914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--2112725212n n n +-=⨯+⨯--．*()n N ∈．【点评】本题考查等差数列、等比数列通项公式及前n 项和等基础知识，考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．20．（14分）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f xg x x π+-…； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，可得当(24x k ππ∈+，52)()4k k Z ππ+∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；当3(24x k ππ∈-，2)()4k k Z ππ+∈时，()0f x '>，()f x 单调递增； （Ⅱ）记()()()()2h x f x g x x π=+-，依题意及（Ⅰ），得到()(cos sin )x g x e x x =-，由()0h x '<，得()h x 在区间[4π，]2π上单调递减，有()()()022h x h f ππ==…，从而得到当[4x π∈，]2π时，()()()02f xg x x π+-…；（Ⅲ）依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos 1n x n e x =，记2n n y x n π=-，则(,)42n y ππ∈，且2()()n n f y e x N π-=∈．由20()1()n n f y e f y π-==„及（Ⅰ），得0n y y …，由（Ⅱ）知，当(4x π∈，)2π时，()g x 在[4π，]2π上为减函数，有0()()()04n g y g y g π<=„，又由（Ⅱ）知，()()()02n n n f y g y y π+-…，得0222200000()2()()()sin cos (sin cos )n n n n n n y n n f y e e e e y g y g y g y x x e y y πππππ-----=-=<--剟， 从而证得20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．【解答】（Ⅰ）解：由已知，()(cos sin )x f x e x x '=-，因此， 当(24x k ππ∈+，52)()4k k Z ππ+∈时，有sin cos x x >，得()0f x '<，()f x 单调递减； 当3(24x k ππ∈-，2)()4k k Z ππ+∈时，有sin cos x x <，得()0f x '>，()f x 单调递增． ()f x ∴的单调增区间为3[24k ππ-，2]()4k k Z ππ+∈，单调减区间为[，52]()4k k Z ππ+∈；（Ⅱ）证明：记()()()()2h x f x g x x π=+-，依题意及（Ⅰ），有()(cos sin )x g x e x x =-，从而()()()()()(1)()()022h x f x g x x g x g x x ππ'='+'-+-='-<g g ．因此，()h x 在区间[4π，]2π上单调递减，有()()()022h x h f ππ==…．∴当[4x π∈，]2π时，()()()02f xg x x π+-…； （Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos 1n x n e x =．记2n n y x n π=-，则(,)42n y ππ∈，且22()cos cos(2)()n n y x n n n n n f y e y e x n e x N πππ--==-=∈．由20()1()n n f y e f y π-==„及（Ⅰ），得0n y y …，由（Ⅱ）知，当(4x π∈，)2π时，()0g x '<，()g x ∴在[4π，]2π上为减函数，因此，0()()()04n g y g y g π<=„， 又由（Ⅱ）知，()()()02n n n f y g y y π+-…，故0222200000()2()()()sin cos (sin cos )n n n n n n y n n f y e e e e y g y g y g y x x e y y πππππ-----=-=<--剟． 20022sin cos n n e n x x x πππ-∴+-<-．【点评】本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题．。
2019年天津高考理科数学试题答案解析
2019年高考天津卷理科数学试题解析1.设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B =，{|13}C x R x =∈<，则()A C B =A.{2}B.{2，3}C.{-1，2，3}D.{1，2，3，4}D先求A B ⋂，再求()A C B 。
【解析】因为{1,2}A C = ，所以(){1,2,3,4}A C B = .故选D。
2.设变量,x y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+，，，，1-y 1-x 02y -x 02-y x ，则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.6D 画出可行域，用截距模型求最值。
【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距，故目标函数在点A 处取得最大值。
由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=。
故选C。
3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【解析】化简不等式，可知05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B。
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为A.5B.8C.24D.29B 根据程序框图，逐步写出运算结果。
【解析】1,2S i ==→11,1225,3j S i ==+⋅==8,4S i ==，结束循环，故输出8。
故选B5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为A.B. C.2 D.D 只需把4AB OF =用,,a b c 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
精品解析：2019年天津市高考数学试卷(理科)(原卷版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B ⋃=+.·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高.·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ，则()A C B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}1,2,3- D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩ 则目标函数4z x y =-+的最大值为（）A.2B.3C.5D.63.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（）A.5B.8C.24D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为(）A.B. C.2D.6.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a c b<< B.a b c <<C.b c a << D.c a b<<7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2-B.C. D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩ 若关于x 的不等式()0f x 在R 上恒成立，则a 的取值范围为（）A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e 第Ⅱ卷二.填空题：本大题共6小题.9.i 是虚数单位，则51i i -+的值为________.10.83128x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式中的常数项为________.11.已知四棱锥的.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______.12.设a R ∈，直线20ax y -+=和圆22cos ,12sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）相切，则a 的值为____.13.设0,0,25x y x y >>+=，则14.在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=︒∥，点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ⋅= _________.三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在V ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b ca +=，3sin 4sin c B a C =.（Ⅰ）求cos B 的值；（Ⅱ）求sin 26B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率.17.如图，AE ⊥平面ABCD ，,CF AE AD BC ∥∥，,1,2AD AB AB AD AE BC ⊥====.（Ⅰ）求证：BF ∥平面ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E BD F --的余弦值为13，求线段CF 的长.18.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，上顶点为B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为5.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上.若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率.19.设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列.已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,1,,2,k k n k k n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N .（i）求数列(){}221n n a c -的通项公式；（ii）求()2*1ni i i a c n =∈∑N .20.设函数()e cos ,()x f x x g x =为()f x 的导函数.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，证明()()02f x g x x π⎛⎫+- ⎪⎝⎭ ；（Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间2,242m m πππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n n x x e x πππ-+-<-.。
2019普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)—数学(理)解析版
2019 普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）—数学（理）解析版注意事项 ：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多 理解！无论是单选、多选还是论述题， 最重要的就是看清题意。
在论述题中， 问题大多具有委婉性， 尤其是历年真题部分， 在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料， 明确考察要点， 最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲， 揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学〔理科〕该套试卷整体上来说与往年相比， 比较平稳， 试题中没有偏题和怪题， 在考查了基础知识的基础上，还考查了同学们灵活运用所学知识的解决问题的能力。
题目没有很多汉字的试题， 都是比较简约型的。
但是不乏也有几道创新试题，像选择题的第8 题，填空题的 13 题，解答题第 20 题，另外别的试题保持了往年的风格，入题简单，比较好下手，但是做出来并不 是很容易。
整体上试题由梯度，由易到难，而且大部分试题适合同学们来解答表达了双基， 考查了同学们的四大思想的运用，是一份比较好的试卷。
本试卷分为第 I 卷〔选择题〉和第二卷( 非选择题 ) 两部分，共 150 分, 考试用时 120 分钟第 I 卷【一】选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的 .〔1〕 i 是虚数单位，复数z= 7 i =3 i〔A 〕 2 i 〔Ｂ〕 2 i〔Ｃ〕2 i〔Ｄ〕2 i１、 B【解析】7 i =(7 i )(3 i ) =21 7i 3i1 =2 iz=3 i (3i )(3 i )10〔２〕设R ，那么“=0 ”是“f (x)=cos( x+ ) (xR) 为偶函数”的〔A 〕充分而不必要条件〔Ｂ〕必要而不充分条件 〔Ｃ〕充分必要条件〔Ｄ〕既不充分也不必要条件 2、 A【命题意图】 本试题主要考查了三角函数的奇偶性的判定以及充分条件与必要条件的判定 .【解析】∵ =0f (x)=cos( x+ ) (x R)为偶函数，反之不成立，∴“=0”是“f (x)=cos( x+) (x R) 为偶函数”的充分而不必要条件.〔３〕阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为 25 时，输出 x 的值为〔A 〕1〔Ｂ〕 1〔Ｃ〕 3 〔Ｄ〕 93、 C【命题意图】本试题主要考查了算法框图的读取，并能根据已给的算法程序进行运算.【解析】根据图给的算法程序可知：第一次 x=4，第二次x=1，那么输出x=2 1+1=3.〔4〕函数f (x)=2 x +x32 在区间 (0,1) 内的零点个数是〔A 〕 0〔Ｂ〕 1〔Ｃ〕 2〔Ｄ〕 3 4、 B【命题意图】 本试题主要考查了函数与方程思想， 函数的零点的概念， 零点存在定理以及作图与用图的数学能力 .【解析】解法 1：因为 f (0)=1+0 2= 1，f (1)=2+2 32=8，即f 0)( 1)<0(f且函数f (x)在 (0,1) 内连续不断，故 f (x) 在 (0,1)内的零点个数是1.解法2：设y 1 =2 x ，y 2=2 x 3 ，在同一坐标系中作出两函数的图像如下图：可知B 正确.425 102〔5〕在421 5 的二项展开式中，x 的系数为)(2 xx6〔A 〕 10〔Ｂ〕 -10 〔Ｃ〕 40〔Ｄ〕 -405、 D【命题意图】8 本试题主要考查了二项式定理中的通项公式的运用， 并借助于通项公式分析项的系数 .【解析】∵T r +1 =C 5r (2 x 2 )5- r ( x 1) r= 25-r (1)rC 5r x10-3r ，∴10 3r =1，即r =3，∴x的系数为40.〔6〕在△ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别是 a,b,c ， 8b=5c ， C=2 B ，那么cosC=〔A 〕7 〔Ｂ〕7 〔Ｃ〕7 〔Ｄ〕 24252525256、 A【命题意图】本试题主要考查了正弦定理、三角函数中的二倍角公式 . 考查学生分析、转化与计算等能力 .【解析】∵ 8b=5c，由正弦定理得8sin B=5sin C，又∵C=2 B，∴8sin B=5sin2B ，所以8sin B=10sin B cosB，易知sin B 0，∴4 ，cosC =cos 2B=2cos 2B1=7.cos =B255〔7〕△ ABC 为等边三角形， AB=2，设点P ，Q 满足AP = AB ， AQ=(1)AC，R，假设3 ，那么 =BQ CP=2〔A 〕 1 〔Ｂ〕 12〔Ｃ〕110 〔Ｄ〕3 2 2 22227、 A【命题意图】 本试题以等边三角形为载体， 主要考查了向量加减法的几何意义， 平面向量基本定理，共线向量定理及其数量积的综合运用.【解析】∵ BQ= AQ AB =(1 )AC AB ，CP=AP AC=AB AC，又∵3 ，且|AB|=|AC|=2，< AB,AC >=60，AB AC =|AB ||AC|cos60 0=2，BQ CP=2∴) AC AB ]( ABAC )=3 ，2 21)AB2 3，[(12|AB| +(AC +(1 )|AC| =2所以+2( 21)+4(13 ，解得1.4)==22BPCQA〔8〕设 m ， n R ，假设直线(m1)x+( n1) y2=0与圆(x 1)2+(y 1)2=1相切，那么m+n 的取值范围是〔A 〕 [1 3,1+ 3]〔Ｂ〕(,13] [1+ 3,+ )〔Ｃ〕 [22 2,2+2 2]〔Ｄ〕(,2 2 2][2+22,+ )8、 D【命题意图】本试题主要考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，重要不等式，一元二次不等式的解法，并借助于直线与圆相切的几何性质求解的能力.【解析】∵直线 (m 1)x+( n 1)y2=0与圆(x 1) +(y1) =1 相切，∴圆心 (1,1)到直线22的距离为|(m 1)+(n 1) 2|，所以mm n)2，设t=mn，d =22=1mnn 1 ((m21) +(n 1)那么 12，解得 t(,22 2][2+2 2,+).tt+14【二】填空题：本大题共 6 小题，每题 5 分，共 30 分.〔9〕某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所 . 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取所学校，中学中抽取所学校.9、 18， 9【命题意图】本试题主要考查了统计中的分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算 .【解析】∵分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为 250 所，所以应从小学中抽取150，中学中抽取75 .30=1830=9250 250〔10〕―个几何体的三视图如下图( 单位： m ) ，那么该几何体的体积为 m 3 .10、18+9【命题意图】本试题主要考查了简单组合体的三视图的画法与体积的计算以及空间想象能 力 .【解析】 由三视图可该几何体为两个相切的球上方了一个长方体组成的组合体， 所以其体积为：4 3 3 =18+9 m 3.V=3 6 1+2()32〔11〕集合 A={ x R||x+2|<3} ，集合B={ x R|(x m)(x 2)<0} , 且A B=( 1,n)，那么 m= , n=.11、 1， 1 【命题意图】 本试题主要考查了集合的交集的运算及其运算性质，同时考查绝对值不等式与一元二次不等式的解法以及分类讨论思想.【解析】∵ A={ x R||x+2|<3} ={ x|| 5<x<1} ,又∵A B=( 1,n)，画数轴可知m= 1，n=1.〔12〕己知抛物线的参数方程为x=2 pt 2 ,〔 t为参数〕，其中p>0，焦点为F，准线为 l，y=2 pt,过抛物线上一点 M 作的垂线， 垂足为 E ，假设 |EF |=|MF |，点 M 的横坐标是 3，那么 p= . 12、 2【命题意图】 本试题主要考查了参数方程及其参数的几何意义， 抛物线的定义及其几何性质 . 【解析】 ∵x=2 pt 2 , 可得抛物线的标准方程为y 2=2 px (p>0) ，∴焦点 p,0) ，∵点 MF (y=2 pt,2的横坐标是 3，那么6 p)，所以点p ，pp 2M (3,E(EF 2+(06 p )2,6 p)=()222由抛物线得几何性质得，∵EF =MF，∴，解得.MF = p +3p 2+6 p= 1p 2+3 p+9p=224〔13〕如图， AB 和 AC 是圆的两条弦 . 过点 B 作圆的切线与 AC 的延长线相交于点 D,过点 C作 BD 的平行线与圆相交于点Ｅ， 与 AB 相交于点 F ，AF =3，FB =1， 3 ，那么线段 CDEF =2的长为 .13、 43【命题意图】 本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理， 切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质 .【解析】∵ AF =3 ， FB =1，3 ，由相交弦定理得AF FB=EF FC，所以FC=2，EF =2又∵ BD ∥ CE ，∴ AF FC，AB4 = 8，设CD =x，那么AD =4x，再由= BD =FC =323ABBD AF切割线定理得 BD 2=CD AD ，即8 2 ，解得x=4 ，故4 .x 4x=()CD =333〔14〕函数2的图象与函数 y=kx2 的图象恰有两个交点， 那么实数 k 的取值范围|x 1| y=x 1是.14、(0,1) (1,4)【命题意图】 本试题主要考查了函数的图像及其性质， 利用函数图像确定两函数的交点，从而确定参数的取值范围 .【解析】 ∵函数 y=kx 2 的图像直线恒过定点B(0, 2) ，且A(1,2)，C ( 1,0) ，D (1,2) ，∴2+2，0+2，2+2，由图像可知 k(0,1)(1,4).k AB =1 0 =0k BC=1 0=2 k BD=1 0=442DCO5102AB4【三】解答题：本大题共 6小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6〔15〕〔本小题总分值 13 分〕函数f (x)=sin (2 x+ )+sin(2 x)+2cos2， xR .8x 13310( Ⅰ ) 求函数 f(x) 的最小正周期；12〔Ⅱ〕求函数f (x)在区间, ]上的最大值和最小值 .[4 4【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】〔1〕f (x)=sin (2 x+)+sin(2 x )+2cos 2x 1 2sin 2x cos 3cos 2x2 sin(2 x)334函数f (x)的最小正周期为2T〔2〕232x2xsin(2 x ) 1 1f ( x)2 4444244当( x 时，f ( x)max2 ，当 2x( x 时，f ( x)min12x8)4)4244【点评】该试题关键在于将的函数表达式化为模型的图像与性质进行解题即可.y=Asin (x+ ) 的数学模型，再根据此三角〔16 〕〔本小题总分值 13 分〕现有 4 个人去参加某娱乐活动， 该活动有甲、 乙两个游戏可供参加者选择 . 为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏，掷出点数为 1 或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于 2 的人去参加乙游戏 .〔Ⅰ〕求这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率：〔Ⅱ〕求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率：〔Ⅲ〕用X ,Y分别表示这 4 个人中去参加甲、乙游戏的人数，记=|X Y| ，求随机变量的分布列与数学期望E .【命题意图】本试题主要考查了【参考答案】〔1〕每个人参加甲游戏的概率为 1 ，参加乙游戏的概率为2p 1 p33这 4 个人中恰有 2 人去参加甲游戏的概率为8C42 p2 (1p) 227〔2〕X B(4, p) P( X k)C4k p k (1 p) 4 k ( k0,1,2,3, 4)，这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为P( X3)P( X4)1 9〔3〕可取0,2, 4P(0)P( X2)8 27P(2)P( X1)P( X40 3)81P(4)P( X0)P( X17 4)81随机变量的分布列为024********E 02481 84017278181【点评】应用性问题是高考命题的一P818127个重要考点，近年来都通过概率问题来考查，且常考常新, 对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质 , 将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.〔17〕〔本小题总分值13 分〕如图，在四棱锥P ABCD 中，PA丄平面ABCD，AC 丄AD，AB丄BC，BAC45，PA=AD=2，AC =1.(Ⅰ)证明： PC 丄 AD ；〔Ⅱ〕求二面角A PC D 的正弦值；〔Ⅲ〕设 E 为棱 PA 上的点，满足异面直线 BE 与 CD 所成的角为 300，求 AE 的长.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】〔1〕以AD, AC , AP 为 x, y, z正半轴方向，建立空间直角左边系A xyz那么D (2,0,0), C (0,1,0), B( 1 ,1,0), P(0,0,2)2 2PC (0,1, 2), AD(2,0,0)PC AD 0 PC AD〔2〕 PC (0,1, 2), CD (2, 1,0)，设平面PCD的法向量n( x, y, z)那么 n PCy 2z 0 y2z取z1 n(1,2,1)n CD 0 2x y 0x zAD (2,0,0)是平面PAC的法向量cosAD, nAD n6 sin AD ,n30AD n66得：二面角 APCD 的正弦值为306〔3〕设 AEh [0,2]；那么AE(0,0, 2)，1 1(2, 1,0)BE ( ,, h), CD 22即10 cosBE, CDBE CD33 h10AE10BE CD10 20h 2210【点评】 试题从命题的角度来看， 整体上题目与我们平时练习的试题相似， 但底面是非特殊的四边形， 一直线垂直于底面的四棱锥问题， 那么创新的地方就是第三问中点 E 的位置是不确定的， 需要学生根据条件进行确定， 如此说来就有难度，因此最好使用空间直角坐标系解决该问题为好 .〔 18〕 ( 本小题总分值13 分〕 {} 是等差数列，其前n 项和为， { } 是等比数列 , 且a nS nb na 1 =b 1=2，a 4 +b 4 =27 ，S 4 b 4 =10.( Ⅰ ) 求数列 { a n } 与 { b n } 的通项公式；( Ⅱ ) 记 T n a n b 1a n 1b2a n 2b3a 1b n；证明：T n +12= 2a n +10b n (n N + ) .【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】（1）设数列{ a n }的公差为d，数列{ b n }的公比为q；那么a 4b 4 27 2 3d 2q 327d 3S 4b 4 104a 1 6d 2q 310q2得： a n3n 1,b n 2n〔2〕T n a n b 1 a n 1b 2 a n 2b 3a 1b n 2na 1 2n 1a 22a n 2n(a 1 a 2an n1 )a n 3n 1 3n2 3n52 2c n2n 12n 12n 2 2n 1 c n1T n2n[( c 1 c 2 ) (c 2c 3 )(c n c n 1 )] 2n(c 1c n 1 )10 2n2(3n 5) 10b n2a n 12T n 12 10b n2a n【点评】该试题命制比较直接， 没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样， 第二问可以用错位相减法求解证明， 也可用数学归纳法证明， 给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原那么.A,B，点P〔19〕〔本小题总分值 14 分〕设椭圆22(a>b>0) 的左、右顶点分别为x + y=1a 2b 2在椭圆上且异于A, B 两点， O 为坐标原点 .〔Ⅰ〕假设直线AP 与 BP 的斜率之积为1 ，求椭圆的离心率；2〔Ⅱ〕假设|AP|=|OA|，证明：直线OP的斜率k满足|k|>3.【命题意图】本试题主要考查了 【参考答案】〔1〕取 P(0, b) ，A(a,0), B( a,0) ；那么bb 1 a 22b2kAPkBP( )2aa2 a2b 212ea22e2〔 2〕设P(a cos , b sin )(0 2 ) ；那么线段 OP 的中点Q( a cos , bsin )22|AP|=|OA|AQOPkAQk1kAQb sin b sinak AQ cos2ak AQ2a a cos2ak AQb2a 2 k AQ 2 a 1 k AQ2kAQ3 k33【点评】〔20〕〔本小题总分值 14 分〕函数 f (x)x ln( xa) 的最小值为 0，其中a>0 .〔Ⅰ〕求 a 的值；〔Ⅱ〕假设对任意的 x [0,+) , 有f (x)kx 2 成立，求实数 k 的最小值；〔Ⅲ〕证明：ni =12(n N *).2i ln (2n+1)<21【参考答案】〔 1〕函数f (x) 的定义域为 ( a,)f ( x) x ln( x a)f ( x) 1x 1 x a 1 0 x 1 aaax af (x) 0 x 1 a, f ( x) 0a x 1 a得： x1a时，f ( x)minf (1 a) 1 a 0 a 1〔2〕设 g( x) kx2f ( x) kx2x ln( x 1)(x0)那么g(x) 0 在x [0,+ ) 上恒成立g( x)min0 g(0) 〔 *〕g(1) k1 ln 2kg (x) 2kx 11 x(2kx 2k 1)1x 1x①当0(k1 时，0 0x1 2k x 0g( x 0 ) 与〔*〕矛2k 1) g ( x) 2kg (0) 02盾②当1时，g ( x)g( x)ming(0)0 符合〔 *〕k2得：实数k的最小值为12〔3〕由〔 2〕得：对任意的x0 值恒成立x ln( x1) 1 x22取2：22x[ln(2 i 1)ln(2 i 1)](i 1,2,3, , n)2i1)2 2i11(2i当n1时，2 ln3 2得：ni =12ln (2n+1)<2 2i 1当i 2 时，211(2i1)22i32i1得：ni 1[212ln(2 i 1) ln(2 i 1)] 2 ln 3 12n2i11【点评】试题分为三问，题面比较简单，给出的函数比较常规，因此入手对于同学们来说没有难度，第二问中，解含参数的不等式时，要注意题中参数的讨论所有的限制条件，从而做到不重不漏；第三问中，证明不等式，应借助于导数证不等式的方法进行.。
2019年高考数学真题试卷(理)(天津卷)含逐题详解
【答案】D
【分析】
只需把 用 表示出来,即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】 的方程为 ,双曲线的渐近线方程为 .
故得 .
所以 , , .
所以 。
故选D。
【点睛】双曲线 的离心率 。
6
【答案】A
【分析】
利用利用 等中间值区分各个数值的大小。
【详解】 .
.
,故 .
所以 。
故选A。
【点睛】利用指数函数,对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待。
在 中,内角 所对的边分别为 ．已知 , ．
（Ⅰ）求 的值.
（Ⅱ）求 的值．
16．（本小题满分13分）
设甲,乙两位同学上学期间,每天7：30之前到校的概率均为 ．假定甲,乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立．
（Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数,求随机变量 的分布列和数学期望.
A． B． C． D．
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（理工类）
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题,共110分。
二．填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分．
9． 是虚数单位,则 的值为_____________．
10． 的展开式中的常数项为_____________．
7.
【答案】A
【分析】
只需根据函数性质逐步得出 值即可。
【详解】 为奇函数,可知 .
由 可得 .
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍,得 .
由 的最小正周期为 可得 .
由 ,可得 .
2019年高考真题理科数学(天津卷含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。
参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U . ·如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =.·圆柱的体积公式V Sh =，其中S 表示圆柱的底面面积，h 表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示棱锥的底面面积，h 表示棱锥的高. 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R „，则()A C B =I UA.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,42.设变量,x y 满足约束条件20,20,1,1,x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎪⎨-⎪⎪-⎩……则目标函数4z x y =-+的最大值为A.2B.3C.5D.63.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为 A.5 B.8 C.24 D.295.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为 23256.已知5log 2a =，0.5og 2.l 0b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 7.已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕπ=+>><是奇函数，将()y f x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π，且24g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A.2-B.D.28.已知a R ∈，设函数222,1,()ln ,1,x ax a x f x x a x x ⎧-+=⎨->⎩„若关于x 的不等式()0f x …在R 上恒成立，则a 的取值范围为A.[]0,1B.[]0,2C.[]0,eD.[]1,e第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2019年天津卷 理科数学真题(解析版)
2019年天津卷 理科数学真题（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分。
1.设集合{}1,1,2,3,5A =-，{}2,3,4B = ，{|13}C x R x =∈< ，则()A C B =（ ）A. {2}B. {2，3}C. {-1，2，3}D. {1，2，3，4}【答案】D 【详解】因为{1,2}AC =，所以(){1,2,3,4}A C B =.故选D 。
2.设变量,x y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≥+≤+，，，，1-y 1-x 02y -x 02-y x ，则目标函数4z x y =-+的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6【答案】D【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。
目标函数的几何意义是直线4y x z =+在y 轴上的截距， 故目标函数在点A 处取得最大值。
由20,1x y x -+=⎧⎨=-⎩，得(1,1)A -，所以max 4(1)15z =-⨯-+=。
故选C 。
3.设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B【详解】化简不等式，可知 05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<，故“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故选B 。
4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为（ ）A. 5B. 8C. 24D. 29【答案】B【详解】1,2S i ==→11,1225,3j S i ==+⋅==8,4S i ==，结束循环，故输出8。
故选B 。
5.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A.2B.3 C. 2 D.5【答案】D【详解】抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-， 双曲线的渐近线方程为b y x a =±，则有(1,),(1,)b bA B a a--- ∴2b AB a =，24b a =，2b a =，∴225c a b e a +===。