北京高二下学期期末数学试卷含答案(共3套)
北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）2018.7试卷满分：150分考试时间：120分钟本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.(4,)+∞某个产品有若干零部件构成，加工时需要经过其中，有些工序因为是制造不同的零部件，所以可以在几台机器上同时加工；有些工第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 函数()f x =的图象在4x =处的切线的斜率为___________. 10. 在42()x x-的展开式中，常数项是___________.（用数字作答） 11. 已知某随机变量ξ的分布列如下（q ∈R ）：那么ξ的数学期望()E ξ=___________， ξ的方差()D ξ=___________.12. 若4名演讲比赛获奖学生和3名指导教师站在一排照相，则其中任意2名教师不相邻的站法有_______种. （用数字作答）13. 设函数2e ()1xf x ax=+，其中0a >. 若对于任意x ∈R ，()0f x '≥，则实数a 的取值范围是____. 14. 某电影院共有(3000)n n ≤个座位. 某天，这家电影院上、下午各演一场电影. 看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生，三所学校的观影人数分别是985人，1010人，2019人（同一所学校的学生既可看上午场，又可看下午场，但每人只能看一场）. 已知无论如何排座位，这天观影时总存在这样的一个座位，上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生，那么n 的可能取值有_____个.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11a =，121nn n a a a +=+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）在奥运知识有奖问答竞赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运知识的问题，已知甲答对这道题的概率是34，甲、乙两人都回答错误的概率是112，乙、丙两人都回答正确的概率是14. 设每人回答问题正确与否是相互独立的.（Ⅰ） 求乙答对这道题的概率；（Ⅱ） 求甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题的概率.17．（本小题满分13分）设,a b ∈R ，函数321()3f x x ax bx =++在区间(1,1)-上单调递增，在区间(1,3)上单调递减.(Ⅰ) 若2a =-，求b 的值；(Ⅱ) 求函数()f x 在区间[1,4]上的最小值（用b 表示）.18．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：乙队记录中有一个数字模糊（即表中阴影部分），无法确认，假设这个数字具有随机性，并用m 表示． （Ⅰ）在4次比赛中，求乙队平均得分超过甲队平均得分的概率；（Ⅱ）当5m =时，分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，记这2个比赛得分之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列；（Ⅲ）如果乙队得分数据的方差不小于甲队得分数据的方差，写出m 的取值集合.（结论不要求证明）19．（本小题满分14分）设函数2()(2)e (1)x f x x a x =---，其中a ∈R . （Ⅰ）当0a ≤时，求函数()f x 的极值；（Ⅱ）当0a >时，证明：函数()f x 不可能存在两个零点.20．（本小题满分14分） 已知函数()ln 2f x x x =+.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()y f x ax =+在区间(,)e +∞上为单调函数，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）设函数2()g x x x=-，其中0x >. 证明：()g x 的图象在()f x 图象的下方.北京市西城区2017 — 2018学年度第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准2018.7一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. C2. B3. D4. A5. C6. A7. B8. A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.1410. 24 11. 31-，8912. 1440 13. (0,1]14. 12注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：由题意，得213a =，315a =，417a =. ………………………… 3分 （Ⅱ）解：由1a ，2a ，3a ，4a 猜想121n a n =-. ………………………… 5分 以下用数学归纳法证明：对任何的*n ∈N ，121n a n =-. 证明：① 当1n =时，由已知，得左边11a =，右边11211=⨯-，所以1n =时等式成立. ……………………… 7分② 假设当()n k k =∈*N 时，121k a k =-成立， ……………………… 8分 则1n k =+时，111121121212(1)12121k k k a k a a k k k +-====+++-⨯+-， 所以 当1n k =+时，等式也成立. ………………………… 12分根据 ① 和 ②，可知对于任何n ∈*N ，121n a n =-成立. …………………… 13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ） 解：记甲、乙、丙3人独自答对这道题分别为事件A ，B ，C ， ………………1分 设乙答对这道题的概率()P B x =，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此A ，B ，C 是相互独立事件.由题意，并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得31()()()(1)(1)412P A B P A P B x ⋅=⋅=-⨯-= ………………………… 4分解得23x =， 所以，乙对这道题的概率为2()3P B =. ………………………… 6分（Ⅱ）解：设“甲、乙、丙三人中，至少有一人答对这道题”为事件M ，丙答对这道题的 概率()P C y =， ………………………… 7分 由（Ⅰ），并根据相互独立事件同时发生的概率公式，得21()()()34P B C P B P C y ⋅=⋅=⨯=， ………………………… 9分解得38y =. ………………………… 10分 甲、乙、丙三人都回答错误的概率为()()()()P A B C P A P B P C ⋅⋅=⋅⋅ 323(1)(1)(1)438=---596=. …………………… 12分 因为事件“甲、乙、丙三人都回答错误”与事件“甲、乙、丙三人中，至少有一人答 对这道题”是对立事件，所以，所求事件概率为591()19696P M =-=. ………………………… 13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：求导，得2()2f x x ax b '=++. ………………………… 1分因为函数()f x 在区间(1,1)-上单调递增，在区间(1,3)上单调递减，所以(1)120f a b '=++=. ………………………… 3分 又因为2a =-，所以3b =，验证知其符合题意. ………………………… 4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），得120a b ++=，即21a b =--. 所以3211()32b f x x x bx +=-+，2()(1)()(1)f x x b x b x b x '=-++=--. ……5分 当1b ≤时，得当(1,)x ∈+∞时，()()(1)0f x x b x '=-->，此时，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增. 这与题意不符. …………………… 7分当1b >时，随着x 的变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在(,1)-∞，(,)b +∞上单调递增，在(1,)b 上单调递减.由题意，得3b ≥. ………………………… 9分 所以当4b ≥时，函数()f x 在[1,4]上的最小值为40(4)43f b =-； …………… 11分 当34b <≤，函数()f x 在[1,4]上的最小值为3211()62f b b b =-+， 综上，当4b ≥时，()f x 在[1,4]上的最小值为40123b-；当34b <≤，()f x 在[1,4]上的最小值为321162b b -+. ………………………… 13分 (或写成：函数()f x 在[1,4]上的最小值为3211, 34,62()404, 4.3b b b g b b b ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≤≥ ）.18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设“乙队平均得分超过甲队平均得分”为事件A ， ………………………… 1分依题意 0,1,2,,9m =，共有10种可能. ………………………… 2分 由乙队平均得分超过甲队平均得分，得11[8993(90)92](88919296)44m ++++>+++， 解得3m >，所以当4,5,6,,9m =时，乙队平均得分超过甲队平均得分，共6种可能．…… 4分 所以乙队平均得分超过甲队平均得分的概率63()105P A ==． ………………… 5分 （Ⅱ）解：当5m =时，记甲队的4次比赛得分88, 91, 92, 96分别为1234,,,A A A A ，乙队的4次比赛得分89, 93, 95, 92分别为1234,,,B B B B ，则分别从甲、乙两队的4次比赛中各随机选取1次，所有可能的得分结果有4416⨯=种， 它们是：11(,)A B ，12(,)A B ，13(,)A B ，14(,)A B ，21(,)A B ，22(,)A B ，23(,)A B ，24(,)A B ，31(,)A B ，32(,)A B ，33(,)A B ，34(,)A B ，41(,)A B ，42(,)A B ，43(,)A B ，44(,)A B ，……… 6分则这2个比赛得分之差的绝对值为X 的所有取值为0,1,2,3,4,5,7. …………… 7分因此1(0)16P X ==，41(1)164P X ===，21(2)168P X ===，3(3)16P X ==，3(4)16P X ==， 1(5)16P X ==，21(7)168P X ===. ………………………… 9分所以随机变量X 的分布列为：………………………… 10分（Ⅲ）解：{7,8,9}m ∈． ………………………… 13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：求导，得()(1)e 2(1)(1)(e 2)x x f x x a x x a '=---=--，……………………2分 因为0a ≤，所以e 20x a ->，所以当(,1)x ∈-∞时，()0f x '<，函数()f x 为减函数； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 为增函数.故当1x =时，()f x 存在极小值(1)e f =-；()f x 不存在极大值. …………… 5分 （Ⅱ）证明：解方程()(1)(e 2)0x f x x a '=--=，得11x =，2ln 2x a =. 当ln21a >，即e2a >时， 随着x 的变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表：………………………… 7分所以函数()f x 在(,1)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(1,ln 2)a 上单调递减. 又因为(1)e 0f =-<，所以函数()f x 至多在区间(ln 2,)a +∞存在一个零点； ……………………… 9分当ln21a =，即e2a =时， 因为()(1)(e 2)0x f x x a '=--≥（当且仅当1x =时等号成立），所以()f x 在R 上单调递增，所以函数()f x 至多存在一个零点； ………………………… 11分 当ln21a <，即e2a <时， 随着x 的变化，()f x '与()f x 的变化情况如下表：………………………… 12分 所以函数()f x 在(,ln 2)a -∞，(1,)+∞上单调递增，在(ln 2,1)a 上单调递减. 又因为0a >，所以当1x ≤时，2()(2)e (1)0x f x x a x =---<，所以函数()f x 至多在区间(1,)+∞存在一个零点.综上，当0a >时函数()f x 不可能存在两个零点. ………………………… 14分20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：求导，得()ln 1f x x '=+， ………………………… 1分又因为(1)2f =，(1)1f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y -+=. ………………… 3分 （Ⅱ）解：设函数()()ln 2F x f x ax x x ax =+=++， 求导，得()ln 1F x x a '=++，因为函数()()F x f x ax =+在区间(,)e +∞上为单调函数，所以在区间(e,)+∞上，()0F x '≥恒成立，或者()0F x '≤恒成立， ………… 4分 又因为||1e (e,)a +∈+∞，且||1(e )||110a F a a +'=+++>，所以在区间(,)e +∞上，只能是()0F x '≥恒成立，即ln 1a x --≥恒成立. … 6分 又因为函数()ln 1h x x =--在区间(e,)+∞上单调递减，所以()(e)2h x h <=-，所以2a -≥. ………………………… 8分 （Ⅲ）证明：设2()()()ln 2h x f x g x x x x x=-=+-+，0x >. …………………… 9分 求导，得22()ln h x x x'=-． 设22()()ln m x h x x x'==-，则314()0m x x x '=+>（其中0x >）. 所以当(0,)x ∈+∞时，()m x （即()h x '）为增函数. ………………………… 10分 又因为(1)20h '=-<，22(e)10e h '=->，所以，存在唯一的0(1,e)x ∈，使得00202()ln 0h x x x '=-=． ………………… 11分 且()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增， 所以0()()h x h x ≥． ………………………… 12分又因为0(1,e)x ∈，00202()ln 0h x x x '=-=， 所以000002()ln 2h x x x x x =+-+0042x x =-+42e 0e>-+>， 所以()0h x >，即()g x 的图象在()f x 图象的下方. ………………………… 14分北京市西城区第二学期期末试卷高二数学（理科）试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9. 曲线1y x=在2x =处切线的斜率为______. 10. 4)12(xx -展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 11. 离散型随机变量ξ的分布列为:且2=ξE ，则1p =_________；2p = _________.12. 某班举行的联欢会由5个节目组成，节目演出顺序要求如下: 节目甲不能排在第一个，并且节目甲必须和节目乙相邻，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有_____种．13. 若函数32()f x ax ax x =-+在区间(1,0)-上恰有一个极值点，则a 的取值范围是_____．14. 已知，对于任意x ∈R ，e xax b ≥+均成立.①若e a =，则b 的最大值为__________；②在所有符合题意的b a ,中，a b -的最小值为_________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）在数列{}n a 中，11=a ，121++=+n n a nn a ，其中1,2,3,n =.(Ⅰ) 计算2a ，3a ，4a ，5a 的值；(Ⅱ) 根据计算结果，猜想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明.16．（本小题满分13分）甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. (Ⅰ)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(Ⅱ)若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率.17．（本小题满分13分）已知函数32()3f x x ax =+.(Ⅰ) 若1-=a ，求)(x f 的极值点和极值； (Ⅱ) 求)(x f 在[0,2]上的最大值.18．（本小题满分13分）一个袋中装有黑球，白球和红球共n (*n ∈N )个,这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52. 现从袋中任意摸出2个球. (Ⅰ) 用含n 的代数式表示摸出的2球都是黑球的概率，并写出概率最小时n 的值.（直接写出n 的值） (Ⅱ) 若15=n ，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是74，设X 表示摸出的2个球中红球的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望. 19．（本小题满分14分）已知函数2()f x ax bx =+和x x g ln )(=.(Ⅰ) 若1==b a ，求证：()f x 的图象在()g x 图象的上方；(Ⅱ) 若()f x 和()g x 的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，求a 的取值范围. 20．（本小题满分14分）已知函数()(1)e xf x x =-.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明：当0>a 时，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解；（Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，其中0>a .若()0h x ≥恒成立，求a 的取值范围.北京市西城区第二学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. B ；5. C ；6. D ；7. C ；8. B . 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 41-； 10. 24； 11. ,4211； 12. 42； 13. 1(,)5-∞-； 14. 0；1e-.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解： (Ⅰ) 根据已知，24a =；99a =；416a =；525a =. …………… 4分 (Ⅱ)猜想2n a n =. …………… 6分证明：① 当1=n 时，由已知11=a ；由猜想，2111a ==，猜想成立. …………… 8分②假设当k n =（k ∈*N ）时猜想成立，即2k a k =， ……………10分则1+=k n 时， 221)1(1212+=+⨯+=++=+k k kk a k k a k k . 所以，当1n k =+时，猜想也成立. ……………12分 由①和②可知，2n a n =对任意的*n ∈N 都成立. ……………13分 16.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)设“甲投球一次命中”为事件A ，则11(),()22P A P A ==. …………… 2分 故甲投球2次至少命中1 次的概率为31()1()()4P A A P A P A -⋅=-=. …………5分(Ⅱ) 设“乙投球一次命中”为事件B .由题意得1()(1)(1)16P B B p p ⋅=--=， ……………7分 解得43=p 或45(舍去)， 所以31(),()44P B P B ==. ……………8分甲、乙两人各投球2次共命中3次有两种情况：甲中两次，乙中一次；甲中一次，乙中两次. ……………9分甲中两次，乙中一次的概率为1211313()()()()2224432P A P A C P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…11分 甲中一次，乙中两次的概率为1211339()()()()2224432C P A P A P B P B =⨯⨯⨯⨯=.…12分事件“甲中两次，乙中一次”与“甲中一次，乙中两次”是互斥的，所以，所求事件概率为93332328+=. 所以甲、乙两人各投2次，共命中3次的概率为38. ……………13分 17.（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 当1-=a 时，32()3f x x x =-，2()36f x x x '=-. ……………2分令2()360f x x x '=-=，得0x =或2x =.(f '……………4分所以，函数)(x f 的极大值点为0x =，极大值为0；极小值点为2x =，极小值为4-.……………6分(Ⅱ) 2()363(2)f x x ax x x a '=+=+. ……………7分①当0a =时，()0f x '≥（仅当0x =时，()0f x '=），函数)(x f 是增函数，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)8128f a =+=. ……………8分②当0a >时，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数)(x f 是增函数.)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. ……………10分③当0a <时，()f x '与()f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：……………11分此时，(0)0f =，(2)812f a =+.当8120a +>，即203a -<<时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(2)812f a =+. 12分 当8120a +≤，即23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为(0)0f =. ………13分综上，当23a ≤-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为0；当23a >-时，)(x f 在[0,2]上的最大值为812a +.18.（本小题满分13分） 解：(Ⅰ) 依题意有n 52个黑球. 记“摸出的2球都是黑球”为事件A ， 则225222(1)41055()(1)2525n n C n n n P A C n n n --===--. ……………4分 ()P A 最小时5=n . ……………5分(Ⅱ) 依题意有21565⨯=个黑球. ……………6分 设袋中白球的个数为x (个)，记“从袋中任意摸出两个球至少得到一个白球”为事件B ，则2152154()17xC P B C -=-=，整理得2291200x x -+=，解得5x =或24x =（舍）. ……………8分 所以袋中红球的个数为4(个).随机变量X 的取值为0,1,2. ……………9分21121511(0)21C P X C ===；1141121544(1)105C C P X C ===；242152(2)35C P X C ===. X…………12分数学期望114428012211053515EX =⨯+⨯+⨯=. ……………13分 19.（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 当1==b a 时，2()f x x x =+.设2()ln h x x x x =+-，0x >. ……………1分则2121(21)(1)()21x x x x h x x x x x +--+'=+-==， ……………2分所以，在区间1(0,)2上()0h x '<，()h x 是减函数；在区间1(,)2+∞上()0h x '>，()h x 是增函数. ……………4分所以，()h x 的最小值为1()2h =31ln 42-，又31ln 042->，所以()0h x >恒成立. 即()f x 的图象在()g x 图象的上方. ……………5分 (Ⅱ) 设00(,)P x y ，其中00x >.由已知()2f x ax b '=+，1()g x x'=. 因为在点P 处的切线相同，所以2000000012,,ln ax b y ax bx y x x +==+=. ……………7分 消去0,b y 得200ln 10ax x +-=.根据题意，方程200ln 10ax x +-=有解. ……………8分设2()ln 1F x ax x =+-，则()F x 在(0,)+∞上有零点.2121()2ax F x ax x x+'=+=， 当0a ≥时，()0F x '>，函数()F x 在(0,)+∞上单调递增. 当1a ≥时，(1)10F a =-≥，110F =+-=≤，()F x 有零点. 当01a ≤<时，(1)10F a =-≤，22(e )e 10F a =+>，()F x 有零点. …11分 当0a <时，令()0F x '=，解得x =. (F '与在区间上的情况如下：令3ln 02≥，得 312ea ≥-. 此时(1)10F a =-<.所以()F x 有零点. ……………13分 综上，所求a 的取值范围为31[,)2e -+∞. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知()e (1)e e xxxf x x x '=+-=. ……………2分所以，在区间(,0)-∞上()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上()0f x '>，函数()f x 在区间(0,)+∞上单调递增. ……………4分 （Ⅱ）设()()(1)e xg x f x a x a =-=--，0a >. ……………5分()e x g x x '=，由（Ⅰ）知，函数()g x 在区间(0,)+∞上单调递增.且(1)0g a =-<，11(1)e(e 1)0a a g a a a a +++=-=->.所以，()g x 在区间(1,)+∞上只有一个零点，方程()f x a =在区间(1,)+∞上只有一个解. ……………8分 （Ⅲ）设()()ln(1)h x f x a x ax =---，0>a ，()h x 定义域为}1|{>x x ，()e (e )[(1)e ]111x x x a a x h x x a x x a x x x '=--=-=-----， ……………9分 令()0h x '=，则(1)e 0xx a --=，由（Ⅱ）知，()(1)e xg x x a =--在区间(1,)+∞上只有一个零点，是增函数， 不妨设()g x 的零点为0x ，则00(1)e 0xx a --=， ……………11分 所以，()h x '与()h x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，函数()h x 的最小值为0()h x ，00000()(1)e ln(1)x h x x a x ax =----，由00(1)e 0xx a --=，得001e x a x -=，所以00000()e ln ln e e x x x a ah x a ax a a a =⋅--=-. ……………13分依题意0()0h x ≥，即ln 0a a a -≥，解得0e a <≤，所以，a 的取值范围为(0,e]. ……………14分北京市东城区2016-2017学年下学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共100分。
2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测数学试卷(含解析)
2023-2024学年北京市通州区高二下学期期末质量检测数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集U ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，集合A ={x ∈Z|x 2<4}，则∁U A =( )A. {−3,3}B. {2,3}C. {−1,0,1}D. {−3,−2,2,3}2.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=1 xB. f(x)=(x−1) 2C. f(x)=lg xD. f(x)=(12)x 3.已知a =lg 12，b =30.1，c = 3，则( )A. a <b <cB. b <a <cC. a <c <bD. c <b <a 4.设A ，B 为两个随机事件，若P(B|A)=12，P (A )=25，P (B )=23，则P(A|B)=( )A. 15B. 310C. 12D. 355.已知a >0，b >0，则“ab =1”是“a +b ≥2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在(x−2)10的展开式中，x 6的系数为( )A. −64C 610B. 64C 610C. −16C 410D. 16C 4107.有两台车床加工同一型号零件，第1台加工的次品率为4%，第2台加工的次品率为5%，将两台车床加工出来的零件混放在一起，已知第1台，第2台车床加工的零件占比分别为40%，60%，现任取一件零件，则它是次品的概率为( )A. 0.044B. 0.046C. 0.050D. 0.0908.某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从A ，B ，C ，D ，E ，F 这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作(每道工序安排一人)，如果员工A 不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有( )A. 360种B. 300种C. 180种D. 120种9.设函数f (x )为定义在R 上的奇函数，若曲线y =f (x )在点(2,4)处的切线的斜率为10，则f′(−2)+f (−2)=( )A. −16B. −6C. 6D. 1610.已知函数f(x)={ln x x ,x >0x 2+2x,x ≤0；若方程f(x)=a 恰有三个根，则实数a 的取值范围是( )A. (0,1e ) B. [0,1e ] C. (−1,1e ) D. (0,1e )∪{−1}二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末数学试卷(含答案)
北京市海淀区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷本试卷共6页，共两部分。
19道题，共100分。
考试时长90分钟。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.5(1)x -的展开式中，所有二项式的系数和为A.0B.52C.1D.622.已知函数sin (),cos xf x x=则(0)f '的值为A.0B.1C.1- D.π3.若等比数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则公比q =A.12B.12-C.2D.2-4.下列函数中，在区间[]1,0-上的平均变化率最大的时A.2y x = B.3y x = C.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2xy =5.将分别写有2,0,2,4的四章卡片，按一定次序排成一行组成一个四位数（首位不为0），则组成的不同四位数的个数为A.9B.12C.18D.246.小明投篮3次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响，若投中一次的2分，没投中得0分，总得分为X ，则A.() 2.4E X = B.() 4.8E X = C.()0.48D X = D.()0.96D X =7.已知一批产品中，A 项指标合格的比例为80%，B 项指标合格的比例为90%，A 、B 两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A 项指标合格，则该产品的B 项指标也合格的概率是A.37B.23C.34D.568.已知等差数列n a 的前n 项和为n S ，若10a <、则“n S 有最大值”是“公差0d <”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.设函数()()ln 1sin f x x a x =-+.若()()0f x f ≤在()1,1-上恒成立，则A.0a =B.1a ≥C.01a <≤ D.1a =10.在经济学中，将产品销量为x 件时的总收益称为收益函数，记为()R x ，相应地把()R x '称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平.假设一个企业的边际收益函数()1000R x x '=-(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析).给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大;②若销量为800件时，总收益为T ，则当销量增加400件时，总收益仍为T ;③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500.其中正确结论的个数为A.0B.1C.2D.3第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2024北京房山区高二(下)期末数学试题及答案
2024北京房山高二（下）期末数 学本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知数列{}n a 满足12n n a a +=−，且11a =，则3a = （A ）14（B ）4 （C ）3− （D ）8−（2）函数()y f x =的图象如图所示，则（3）如图 ①、②、③、④ 分别为不同样本数据的散点图，其对应的线性相关系数分别为1234,,,r r r r ，则1234,,,r r r r 中最大的是（A ）1r （B ）2r （C ）3r（D ）4r（4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若253,10a S =−=−，则n S 取得最小值时n 的值为 （A ）4（B ）5（C ）6（D ）4或5（5）要安排5位同学表演文艺节目的顺序，要求甲同学既不能第一个出场，也不能最后一个出场，则不同的安排方法共有（A ）(1)(3)f f ''> （B ）(1)(3)f f ''= （C ）(1)(3)f f ''< （D ）(1)(3)0f f ''+>（A ）72种 （B ）120种 （C ）96种 （D ）60种（6）在62()x x+的展开式中，2x 的系数是（A ）15（B ）60（C ）6（D ）12（7）某地区气象台统计，夏季里，每天下雨的概率是415，刮风的概率为215，既刮风又下雨的概率为110则夏季的某一天里，已知刮风的条件下，也下雨的概率为 （A ）8225（B ）110 （C ）38（D ）34（8）为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高（单位：c m ），得到的数据如表所示. 父亲身高的平均数记为，儿子身高的平均数记为，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为0.83928.957y x =+.则下列结论中正确的是 （A ）y 与x 正相关，且相关系数为0.839 （B ）点(,)x y 不在回归直线上（C ）x 每增大一个单位，y 增大0.839个单位（D ）当176x =时，177y ≈.所以如果一位父亲的身高为176cm ，他儿子长大成人后的身高一定是177cm（9）设随机变量X 的分布列如下表所示，则下列说法中错误的是（A ）(4)1(P X P X =−≥（B ）随机变量X 的数学期望()E X 可以等于3.5 （C ）当1(1,2,3,4,5)2n n p n ==时，6512p = （D ）数列{}n p 的通项公式可以为1(1,2,3,4,5,6)(1)n p n n n ==+（10）已知数列A ：1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,，其中第一项是02，接下来的两项是012,2，再接下来的三项是0122,2,2，依此类推. n S 是数列A 的前n 项和，若*=2()t n S t ∈N ，则n 的值可以等于（A ）16 （B ）95 （C ）189 （D ）330第二部分（非选择题 共100分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市大兴区2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题含答案
大兴区2023~2024学年度第二学期高二期末检测数学（答案在最后）2024．72022．4第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）在621()x x-的展开式中，常数项为（A ）15（B ）30（C ）15-（D ）30-（2）若数列19a b c ，，，，是等比数列，则实数b 的值为（A ）3-（B ）3（C ）9-（D ）9（3）有5名同学被安排在周一至周五值日，每人值日一天，其中同学甲只能在周三值日，那么这5名同学值日顺序的不同编排方案种数为（A ）55A （B ）44A （C ）4554A A -（D ）1434A A （4）对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（A ）2431r r r r <<<（B ）2413r r r r <<<（C ）4213r r r r <<<（D ）4231r r r r <<<（5）已知函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则()f x 的极大值点为（A ）1x 和4x （B ）2x （C ）3x （D ）5x 1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分。
考试时间120分钟。
2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。
（6）随机变量X 服从正态分布2~(2)X N σ，，若(24)0.3P X <= ，则(0)P X =≤（A ）0.2（B ）0.3（C ）0.4（D ）0.5（7）已知{}n a 为等差数列，若m n p q ，，，是正整数，则“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中，记录了如图所示的“杨辉三角”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2024项为（A ）562C （B ）563C （C ）663C （D ）763C （9）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为q ，且20S <，则（A ）数列{}n S 是递增数列（B ）数列{}n S 是递减数列（C ）数列2{}n S 是递增数列（D ）数列2{}n S 是递减数列（10）已知函数1().e xx f x +=若过点(1)P m -，存在3条直线与曲线()y f x =相切，则实数m 的取值范围是（A ）(1e e )4-，（B ）(0)8e ，（C ）(04e，（D ）(1e )8e，第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2024北京二中高二(下)期末数学试题及答案
北京二中2023—2024学年度第六学段高二年级学段考试试卷数学选择性必修Ⅲ得分：一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.已知集合A ={x||x|<3,x ∈Z}，B ={x||x|>1,x ∈Z}，则A ∩B = A. ∅ B. {−3,−2,2,3} C. {−2,0,2} D. {−2,2}2.李老师全家一起外出旅游，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3. 已知邻居记得浇水的概率为0.6，忘记浇水的概率为0.4，那么李老师回来后发现花还存活的概率为 A. 0.45B. 0.5C. 0.55D. 0.63.已知函数f(x)=2x +x ，g(x)=log 2x +x ，ℎ(x)=x 3+x 的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为 A. b >c >aB.a >b >cC. c >a >bD. b >a >c4.已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.若直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β， 则A. α//β，l//αB. α与β相交，且交线平行于lC. α⊥β，l ⊥βD. α与β相交，且交线垂直于l5.已知函数其中若的最小正周期为,且当时, 取得最大值,则A. 在区间上是减函数B. 在区间上是减函数C. 在区间上是增函数D. 在区间上是增函数 6.命题“∀x ∈[1,2]，2x +ax ≥0”为真命题的一个充分不必要条件是 A. a ≥−1B. a ≥−2C. a ≥−3D. a ≥−47.有8位学生春游，其中小学生2名、初中生3名、高中生3名．现将他们排成一列，要求2名小学生相邻、3名初中生相邻，3名高中生中任意两名都不相邻，则不同的排法种数有 A. 288种B. 144种C. 72种D. 36种8.已知函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x +8)=−f (x )，若y =f (x +2)的图象关于点(−2,0)对称，且f (3)=3，则f (43)= A. 0B. −3C. 3D. 4()2sin(),,f x x x R ωϕ=+∈0,.ωπϕπ>−<≤()f x 6π2x π=()f x ()f x [2,0]π−()f x [3,]ππ−−()f x [2,0]π−()f x [3,]ππ−−班级学号 姓名 密 封 线 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------9.已知f(x)是定义在[−1,1]上的奇函数，且f(−1)=−1，当a ，b ∈[−1,1]，且a +b ≠0时，(a +b)(f(a)+f(b))>0成立，若f(x)<m 2−2tm +1对任意的[1,1]x ∈−,[1,1]t ∈−恒成立，则实数m 的取值范围是A. (−∞,−2)∪{0}∪(2,+∞)B.(−2,2)C. (−∞,−2)∪(2,+∞)D. (−2,0)∪(0,2)10.已知a >0，b >0，且ab =1，不等式12a+12b+m a+b≥4恒成立，则正实数m 的取值范围是A. [2,+∞)B. [4,+∞)C. [6,+∞)D. [8,+∞)二．填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.命题“∀x ∈R ，x 2+2x +2>0”的否定是 ． 12. 在二项式251()x x−的展开式中，含x 的项的系数是 ．13.已知()f x 为偶函数，当0x ≥时，2114,[0,]2()121,(,)2x x f x x x ⎧−∈⎪⎪=⎨⎪−∈+∞⎪⎩，则5[()]8f f = ；不等式3(1)4f x −≤的解集为 ． 14.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，点A 是抛物线上的动点．设点B(−2,0)，当|AF||AB|取得最小值时，|AF|= ；此时△ABF 内切圆的半径为 ．15.已知函数|1|,1,()(2)(1), 1.x a x f x a x x ⎧−⎪=⎨−−>⎪⎩≤其中0a >且1a ≠. 给出下列四个结论：① 若2a ≠，则函数()f x 的零点是0；② 若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,1)；③ 若存在实数M ，使得对任意的x R ∈,都有()f x M ≤，则M 的最小值为1； ④ 若关于x 的方程()2f x a =−恰有三个不相等的实数根123,,x x x ，则a 的取值范围为(2,3)，且123x x x ++的取值范围为(,2)−∞.其中，所有正确结论的序号是 ．三．解答题（共6小题，共85分。
2023-2024学年北京市清华大学附中高二(下)期末数学试卷(含答案)
2023-2024学年北京市清华大学附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={−1,0,1,2}，B={x|x=4k+3,k∈Z}，则集合A∩B=( )A. {−1}B. {1}C. {−1,1}D. ⌀2.已知复数z的共轭复数是1+i，则复数z2−i在复平面内对应的点在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量a=(3,sinθ)，b=(5,1)，若a//b，则cos2θ=( )A. 725B. −725C. 2425D. −24254.已知双曲线C：x2a2−y216=1的左右焦点依次为F1，F2，且|F1F2|=10，若点P在双曲线的右支上，则|PF1|−|PF2|=( )A. −6B. 6C. 8D. 105.设(2−mx)5=a0+a1x+…+a5x5，若a0+a1+a2+a3+a4+a5=1，则a3=( )A. 80B. 40C. −40D. −806.“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完(一尺约等于33.33厘米).若剩余的棍棒长度小于0.33厘米，则需要截取的最少次数为( )A. 5B. 6C. 7D. 87.已知直线l：y=k(x+1)与⊙C：(x−1)2+y2=4交于A、B两点，则“k=±1”是“△ABC的面积取得最大值”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8.设max{a,b}表示a与b的最大值.若x，y都是正数，z=max{x+y,1x +4y}，则z的最小值为( )A. 22B. 3C. 8D. 99.将f(x)=cos3x的图像向左平移φ(0<φ<π2)个单位后得到g(x)的图像，当|f(s)−g(t)|=2时，|s−t|min=π4，则φ=( )A. π12B. π6C. π4D. π310.边长为2的正方形ABCD 的中心为O ，将其沿对角线AC 折成直二面角.设E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，将△EOF 绕直线EF 旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为( )A. π2B. 3π4C. πD. 3π2二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
北京市东城区2023-2024学年高二下学期期末统一检测数学试题含答案
东城区2023—2024学年度第二学期期末统一检测高二数学（答案在最后）2024.7本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}20,,M a a =，{}2,1,0,1,2N =--，若1M ∈，则M N ⋂=（）A.{}0,1 B.{}1,0,1- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0,1,2--【答案】B 【解析】【分析】结合集合与元素的关系求出参数a 的值，结合交集的概念即可得解.【详解】由题意1a =或21a =，但是2a a ≠，所以1a =-，{}0,1,1M =-，因为{}2,1,0,1,2N =--，所以{}1,0,1M N ⋂=-.故选：B.2.某校学生科研兴趣小组为了解1~12岁儿童的体质健康情况，随机调查了20名儿童的相关数据，分别制作了肺活量、视力、肢体柔韧度、BMI 指数和身高之间的散点图，则与身高之间具有正相关关系的是（）A.肺活量B.视力C.肢体柔韧度D.BMI 指数【答案】A 【解析】【分析】根据给定的散点图，结合正相关的意义判断即得.【详解】对于A ，儿童的身高越高，其肺活量越大，肺活量与身高具有正相关关系，A 正确；对于B ，儿童的视力随身高的增大先增大，后减小，视力与身高不具有正相关关系，B 错误；对于C ，肢体柔韧度随身高增大而减小，肢体柔韧度与身高不具有正相关关系，C 错误；对于D ，BMI 指数与身高的相关性很弱，不具有正相关关系，D 错误.故选：A3.已知,R x y ∈，且x y >，则下列不等式中一定成立的是（）A.22x y >B.11x y> C.ln ln x y> D.22x y>【答案】D 【解析】【分析】举反例排除ABC ，由指数函数单调性即可说明D.【详解】取0x y =>，则22x y <，1,ln ,ln x y x无意义，故ABC 错误；对于D ，由指数函数2t y =在实数域上关于t 单调递增，且x y >，所以22x y >，故D 正确.故选：D.4.袋中有10个大小相同的小球，其中7个黄球，3个红球.每次从袋子中随机摸出一个球，摸出的球不再放回，则在第一次摸到黄球的前提下，第二次又摸到黄球的概率为（）A.23B.12C.13 D.310【答案】A 【解析】【分析】由条件概率、古典概型概率计算公式即可求解.【详解】在第一次摸到黄球的前提下，此时袋中有：6个黄球，3个红球，共9个球，所以所求概率为6293P ==.故选：A.5.已知23a =，4log 5b =，则22a b -的值为（）A.15B.53C.35D.2-【答案】C 【解析】【分析】利用指数式与对数式的互化，结合指数运算计算即得.【详解】由4log 5b =，得45b =，即225b =，而23a =，所以2223225a a bb --==.故选：C6.A ，B ，C 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（）A.30种B.36种C.72种D.81种【答案】B 【解析】【分析】将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到,,A B C 三所学校求解.【详解】设这四位同学分别为甲、乙、丙、丁，由题意将甲、乙、丙、丁四位同学分为三组2，1，1，然后分配到,,A B C 三所学校.则不同的报名方法共有2114213C C C =36种.故选：B.7.2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为4.2m 的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点F 处.若“金色大伞”的深度为0.49m ，则“金色大伞”的边缘A 点到焦点F 的距离为（）A.2.25mB.2.74mC.4.5mD.4.99m【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，再结合抛物线的定义求值即得.【详解】依题意，建立如图所示的平面直角坐标系，点(0.49,2.1)A 设抛物线的方程为22(0)y px p =>，则22.120.49p =⨯，解得29p =，抛物线29y x =的焦点9(,0)4F ，准线方程为94x =-，||0.49 2.25 2.74AF =+=，所以“金色大伞”的边缘A 点到焦点F 的距离为2.74m .故选：B8.已知直线:250l mx y m --+=被圆()()22344x y -+-=截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 共有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】C 【解析】【分析】首先求得d =，又d ==4，所以分4,3,2,1n =进行讨论即可求解.【详解】圆()()22344x y -+-=的圆心、半径分别为()3,4,2r =，圆心()3,4到直线:250l mx y m --+=的距离为d ==，设直线:250l mx y m --+=被圆()()22344x y -+-=截得的弦长为n ，由于直线被圆所截得的弦长不超过直径长度24r =，故分以下情形讨论：当4n =时，0d ===，解得1m =-，当3n =时，2d ====，化简得23830m m -+=，解得43m ±=，当2n =时，d ====，化简得210m m -+=，该方程无解，当1n =时，152d ==，化简得2118110m m -+=，该方程无解，而直线:250l mx y m --+=是斜率为m 且过定点()2,5的直线，直线l 由m 唯一决定，综上所述，满足条件的直线l 共有3条.故选：C.9.已知函数()()()()2,f x a x a x b a b =--∈R ，则“0b a >>”是“b 为()f x 的极小值点”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】在0b a >>的条件下利用导数证明b 为()f x 的极小值点，然后说明当1a =-，2b =-时，b 为()f x 的极小值点，但0b a >>并不成立，从而得到答案.【详解】由题设，()()()()()()][()()222322232f x a x b a x a x b a x a b x b a b a x a b x b ⎡⎤=-+--=-+++=-+-⎣⎦'，若0b a >>，则23a b a b +<<，故()2,,3a b x b +⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '>，2,3a b x b +⎛⎫∈⎪⎝⎭上()0f x '<，所以()f x 在()2,,,3a b b +⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭上递增，2,3a b b +⎛⎫⎪⎝⎭上递减，故b 为()f x 的极小值点，从而条件是充分的；当1a =-，2b =-时，有()()()212f x x x =--+，则()()()342f x x x '=-++，显然()4,2,3x ⎛⎫∈-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭上()0f x '<，42,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭上()0f x '>，所以()f x 在()4,2,,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭上递减，42,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭上递增，此时2b =-为()f x 的极小值点，但此时0b a >>并不成立，从而条件不是必要的.故选：A.10.《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同余除法进行了深入的研究.现给出一个同余问题：如果a 和b 被m 除得的余数相同，那么称a 和b 对模m 同余，记为()mod a b m ≡.若()0122202420242024202420242024C C 3C 3C 3,mod5a a b =+⨯+⨯++⨯≡ ，则b 的值可以是（）A.2023B.2024C.2025D.2026【答案】D 【解析】【分析】利用二项式定理求出被5整除得的余数，再逐项验证即得.【详解】()202401222024202420242024202420242024C C 3C 3C 3451a =+⨯+⨯++⨯==- 20241202322022202312024202420245C ×5C ×5C ×51=-+-⋯-+()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C 1=-+-⋯-+则()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C -+-⋯-能被5整除，故()20231202222021202320242024202455C ×5C ×5C 1-+-⋯-+除以5余数为1，所以0122202420242024202420242024C C 3C 3C 3a =+⨯+⨯++⨯ 除以5余数为1，由()mod5a b ≡，所以202354043÷= ，202454044÷= ，20255405÷=，202654051÷= ，故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()lnf x x =的定义域是_________.【答案】()1,+∞【解析】【分析】由表达式中的每个部分有意义得到不等式组，解之即可得到定义域为()1,+∞.【详解】为了让函数()ln f x x =的表达式有意义，需要1000x x -≥⎧≠>⎩.解得1x >，所以函数()f x 的定义域是()1,+∞.故答案为：()1,+∞.12.已知双曲线C 的焦点为()2,0-和()2,0，一条渐近线方程为y =，则C 的方程为_________.【答案】2213y x -=【解析】【分析】由焦点坐标以及渐近线方程列式求出,a b 即可得解.【详解】双曲线C 的焦点在x 轴上，设C 的方程为()22221,0,0x ya b a b-=>>，由题意2222,bc a b c a==+=，解得1,a b ==所以C 的方程为2213y x -=.故答案为：2213y x -=.13.已知二项式()111021...nn n n n x a x a x a x a --+=++++的所有项的系数和为243，则n =_____________；2a =_________.【答案】①.5②.40【解析】【分析】首先利用系数和条件，再原式中取1x =得到5n =；再对展开式两边求导两次并取0x =，得到240a =.【详解】由已知有()111021...nn n n n x a x a x a x a --+=++++，且110...243n n a a a a -++++=.再前一式中令1x =得1103...nn n a a a a -=++++，所以3243n =，得5n =.所以()5543254321021x a x a x a x a x a x a +=+++++.由二项式定理可知，353325C 21104140a -=⨯⨯=⨯⨯=.故答案为：5；40.14.某学校要求学生每周校园志愿服务时长不少于1小时.某周可选择的志愿服务项目如下表所示：岗位环保宣讲器材收纳校史讲解食堂清扫图书整理时长20分钟20分钟25分钟30分钟40分钟每位学生每天最多可选一个项目，且该周同一个项目只能选一次，则不同选择的组合方式共有________种.【答案】20【解析】【分析】分选择两个项目、三个项目、四个项目和五个项目四种情况考虑.【详解】由题意得选择两个项目有4种组合；选择三个项目有35C 10=种组合；选择四个项目有45C 5=种组合；选择五个项目有55C 1=种组合，所以共有4105120+++=种.故答案为：20.15.设R a ∈，函数()32,,ax x x af x x x a⎧->=⎨-≤⎩给出下列四个结论：①当0a =时，函数()f x 的最大值为0；②当7a =时，函数()f x 是增函数；③若函数()f x 存在两个零点，则01a <<；④若直线y ax =与曲线()y f x =恰有2个交点，则a<0.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①③##③①【解析】【分析】把0a =和7a =代入解析式，分析单调性即可判断①②，令()0f x =，解出零点，判断零点是否在区间内，对含a 的零点分有无意义，是否在相应区间内进行讨论，即可判断③，把④转化为()32,,ax ax x x ag x x ax x a⎧-->=⎨--≤⎩恰有两个零点，解出零点，易得取2a =-时有3个零点，可判断④错误.【详解】①当0a =时，()2,0,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩，当0x ≤时，()0f x ≤，当0x >时，()0f x <，故max ()0f x =，故①正确；②当7a =时，()327,7,7x x x f x x x ⎧->=⎨-≤⎩，当0x ≤时，2()f x x =-在(,0)-∞上单调递增，当07x <≤时，2()f x x =-在(0,7)上单调递减，故()f x 不是增函数，故②错误；③当0a =时，()2,0,0x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩只有一个零点，令函数30y ax x =-=，解得1230,x x x ===当a<0时，函数2y x =-在(,]a -∞上没有零点，23,x x 无意义，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上有且只有一个零点为0，即()f x 有且只有一个零点，故不符合题意；当0a >时，函数2y x =-在(,]a -∞上有1个零点为0，10x =，3x =x a >范围内，当01a <<时，21x a =>>，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上有一个零点，即()f x 有两个零点，符合题意，当1a >时，21x a =<<，故函数3y ax x =-在(,)a +∞上没有零点，即()f x 有且只有一个零点，故不符合题意；综上所述：当01a <<时，()f x 有两个零点.故③正确；④直线y ax =与曲线()y f x =恰有2个交点，可转化为()32,,ax ax x x ag x x ax x a⎧-->=⎨--≤⎩恰有两个零点.令函数30y ax ax x =--=，解得1230,x x x ===，当2a =-时，123,,x a x a x a >>>，函数3y ax ax x =--在(,)a +∞上有3个零点，令220y x x =-+=得340,2x x ==，故函数22y x x =-+在(,]a -∞上没有零点，即()g x 有3个零点，故④错误.故答案为：①③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.某次乒乓球比赛单局采用11分制，每赢一球得一分.每局比赛开始时，由一方进行发球，随后每两球交换一次发球权，先得11分且至少领先2分者胜，该局比赛结束；当某局比分打成10:10后，每球交换发球权，领先2分者胜，该局比赛结束.已知甲、乙两人要进行一场五局三胜制（当一方赢得三局比赛时，该方获胜，比赛结束）的比赛.（1）单局比赛中，若甲发球时甲得分的概率为45，乙发球时甲得分的概率为12，求甲4:0领先的概率；（2）若每局比赛乙获胜的概率为13，且每局比赛结果相互独立，求乙以3:1赢得比赛的概率.【答案】（1）425；（2）227.【解析】【分析】（1）利用相互独立事件乘法公式列式计算即得.（2）确定乙以3:1赢得比赛的事件，再利用相互独立事件的概率公式计算即得.【小问1详解】设事件A ：单局比赛中甲4:0领先，则44114()552225P A =⨯⨯⨯=，所以单局比赛中甲4:0领先的概率为425.【小问2详解】设事件B ：乙以3:1赢得比赛，即前3局中乙输1局胜2局，第4局乙胜的事件，则3212()3()3327P B =⨯⨯=，所以乙以3:1赢得比赛的概率是227.17.设函数()e xf x a x =+，其中R a ∈.曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x b =-+.（1）求a ，b 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）2a b ==-（2）递增区间为(,ln 2)-∞-，递减区间为(ln 2,)-+∞.【解析】【分析】（1）求出函数()f x 的导数，利用导数的几何意义列式计算即得.（2）利用（1）的结论，利用导数求出单调区间.【小问1详解】依题意，(0)f a b ==，又()e 1xf x a '=+，则(0)11f a '=+=-，解得2a =-，所以2a b ==-.【小问2详解】由（1）知，()2e xf x x =-+的定义域为R ，()2e 1x f x '=-+，当ln 2x <-时，()0f x '>，函数()f x 在(,ln 2)-∞-上单调递增，当ln 2x >-时，()0f x '<，函数()f x 在(ln 2,)-+∞上单调递减，所以函数()f x 的递增区间为(,ln 2)-∞-，递减区间为(ln 2,)-+∞.18.近年来，我国新能源汽车蓬勃发展，极大地促进了节能减排.遥遥计划在1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 这6个国产新能源品牌或在1B ，2B ，3B ，4B 这4个国产燃油汽车品牌中选择购车.预计购买新能源汽车比燃油车多花费40000元.据测算，每行驶5公里，燃油汽车约花费3元，新能源汽车约消耗电1千瓦时.如果购买新能源汽车，遥遥使用国家电网所属电动汽车公共充电设施充电，充电价格分为峰时、平时、谷时三类，具体收费标准（精确到0.1元/千瓦时）如下表：充电时间段充电价格（元/千瓦时）充电服务费（元/千瓦时）峰时10：00—15：00和18：00—21：00 1.00.8平时7：00—10：00，15：00—18：00和21：00—23：000.7谷当日23：00—次日7：000.4时（1）若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌作比较，求品牌1A 被选中的概率；（2）若遥遥选购新能源汽车，他在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点给车充电，每次充电30千瓦时（用时不超过半小时）.设X 为遥遥每次充电的费用，求X 的分布列和数学期望；（3）假设遥遥一年驾车约行驶30000公里，按新车使用8年计算，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，计算说明选择新能源汽车和燃油汽车哪个的总花费更少.【答案】（1）13（2）分布列见解析，期望()48E X =（3）选择新能源汽车的总花费最少【解析】【分析】（1）由古典概型概率计算公式直接计算即可求解；（2）X 的所有可能取值为36,45,54，分别求出对应的概率即可得分布列以及数学期望；（3）分别求出各自的购车成本以及能源消耗支出的表达式，从而即可进行比较.【小问1详解】若遥遥在6个新能源汽车品牌中选出2个品牌，共有26C 15=种，若品牌1A 被选中，则有15C 5=种选择，从而所求概率为51153P ==；【小问2详解】在峰时充电，每次充电30千瓦时需要花费()10.83054+⨯=，在平时充电，每次充电30千瓦时需要花费()0.70.83045+⨯=，在谷时充电，每次充电30千瓦时需要花费()0.40.83036+⨯=，所以X 的所有可能取值为36,45,54，在18：00，18：30，19：00，19：30，…，23：30这12个时间点中随机选择一个时间点中：峰时充电有：18：00，18：30，19：00，19：30，20：00，20：30，共六个时间点，平时充电有：21：00，21：30，22：00，22：30，共四个时间点，谷时充电有：23：00，23：30，共两个时间点，所以()65412P X ==，()4145123P X ===，()2136126P X ===，X 的分布列为：X k =364554()P X k =161312X 的数学期望为()11136455448632E X =⨯+⨯+⨯=；【小问3详解】解法一：设燃油车购车成本为x 万元，则新能源汽车购车成本为()4x +万元，燃油车能源消耗支出为33814.45⨯⨯=万元，设Y 为在某个时间段充电1千瓦时的费用，在峰时充电，每次充电1千瓦时需要花费10.8 1.8+=，在平时充电，每次充电1千瓦时需要花费0.70.8 1.5+=，在谷时充电，每次充电1千瓦时需要花费0.40.8 1.2+=，则Y 的所有可能取值为1.8,1.5,1.2，且()()()5313321811.8, 1.5, 1.2243243243P Y P Y P Y +++=========，所以() 1.8 1.5 1.21.53E Y ++==，新能源汽车能源消耗支出为138 1.57.25⨯⨯⨯=万元，如果只考虑购车成本与能源消耗支出，则燃油汽车的总花费为114.4y x =+，新能源汽车的总花费为2147.211.2y x x y =++=+<，综上所述，选择新能源汽车的总花费最少.解法二：按新车使用8年计算，燃油汽车使用的燃油费为30000831440005⨯⨯=(元)，新能源汽车使用电费最多为300008(1.00.8)864005⨯⨯+=(元)，因为购买新能源汽车比燃油车多花费40000元，所以144000400008640017600--=(元).新能源汽车至少比燃油汽车总花费少17600元，所以选择新能源汽车总花费更少.19.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点，A ，B 分别是E 的左顶点和下顶点，F 是E 右焦点，π3AFB ∠=.（1）求E 的方程；（2）过点F 的直线与椭圆E 交于点P ，Q ，直线AP ，AQ 分别与直线4x =交于不同的两点M ，N .设直线FM ，FN 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k 为定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出,,a b c 即可得E 的方程.（2）设出直线PQ 的方程，与椭圆方程联立，由直线,AP AQ 求出,M N 的坐标，利用韦达定理结合斜率的坐标表示计算即得.【小问1详解】由椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点，得b =，由π3AFB ∠=，得椭圆半焦距1c =，则长半轴长2a ==，所以E 的方程为22143x y +=.【小问2详解】显然直线PQ 不垂直于y 轴，设直线PQ 的方程为1x my =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，由2213412x my x y =+⎧⎨+=⎩消去x 得22(34)690m y my ++-=，显然0∆>，12122269,3434m y y y y m m --+==++，直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令4x =，得点M 的纵坐标11116623M y y y x my ==++，同理点N 的纵坐标2263N y y my =+，因此12121221212124433(3)(3)3()9N M y y y y y y k k my my m y y m y y =⋅==+++++22229434196393434m m m m m m -⋅+==---⋅+⋅+++为定值，所以12k k为定值.20.已知函数()()2ln 1f x x a x a =--∈R .（1）当2a =时，求()f x 的极值；（2）若对任意()1,x ∈+∞，有()0f x >恒成立，求a 的取值范围；（3）证明：若()f x 在区间()1,+∞上存在唯一零点0x ，则20e a x -<（其中e 2.71828...=）.【答案】（1）极小值为0，无极大值（2）(],2-∞（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接通过求导判断单调性，从而求得极值；（2）对2a >和2a ≤分类讨论，当2a >时由0f <知条件不满足，当2a ≤时可通过求导得到单调性，推知条件满足，从而得到a 的取值范围是(],2-∞；（3）由条件可直接得到2a >，然后通过导数判断()f x在∞⎫+⎪⎪⎭上的单调性，再证明20e a x -≥>，即可通过反证法得到结论.【小问1详解】当2a =时，()22ln 1f x x x =--，从而()()()21122x x f x x x x-+=-='.故对01x <<有()()()2110x x f x x-'+=<，对1x >有()()()2110x x f x x-'+=>.所以()f x 在(]0,1上递减，在[)1,+∞上递增.从而()f x 有唯一的极值点1x =，且是极小值点，对应极小值为()10f =，无极大值.【小问2详解】由()2ln 1f x x a x =--，知()2222a a f x x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'.若2a >1>.而对1x <<()2202a f x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，所以()f x 在⎡⎢⎣上递减.故()10f f <=，从而()0f x >对x =若2a ≤，则对1x >有()2221022a a f x x x x ⎛⎫⎛⎫=->-≥ ⎪ ⎝'⎪⎝⎭⎭，所以()f x 在[)1,+∞上递增.从而对任意()1,x ∞∈+，有()()10f x f >=，满足条件.综上，a 的取值范围是(],2-∞.【小问3详解】据（2）的结果，当2a =时对()1,x ∞∈+有()0f x >，故对1x >有22ln 10x x -->.此即()22ln 1x x >+，所以对任意的1t >，在()22ln 1xx >+中取2t x =就有ln 1t t >+.回到原题.若()f x 在区间()1,∞+上存在唯一零点0x ，根据（2）的结果，首先有2a >.此时对1x <<()2202a f x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭'，对x >()2202a f x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭'.所以，()f x 在⎡⎢⎣上递减，在∞⎫+⎪⎪⎭上递增.而()10f =，故()1,∞+上的零点0x 满足0x >.由于2e 1a ->，而对任意的1t >，都有ln 1t t >+，取2e a t -=，就有2e 1a a ->-，从而()224e 1a a ->-.所以()()()()()222222424e e ln e 1e 21e 10a a a a a f a a a a -----=--=---=-->.假设20ea x -≥，由2a >及2e 1a a ->-有2e 1a a ->-=>，所以20e a x -≥>.由()f x 在∞⎫+⎪⎪⎭上递增，且()2e 0af ->，即可从20e a x -≥>，推知()()20e0a f x f -≥>.但这与0x 是()f x 的零点矛盾，所以20e a x -<.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在小问（3）中，适当使用小问（2）的结论，进行进一步的拓展或适当的利用，从而证得小问（3）所求的结论.21.已知n 项数列()12:,,...,3n n A a a a n ≥，满足对任意的i j ≠有i j a a ≠.变换T 满足对任意{}1,2,...,i n ∈，有(){}12,,...,i n T a a a a ∈，且对i j ≠有()()i j T a T a ≠，称数列()()()()12:,,...,n n T A T a T a T a 是数列nA 的一个排列.对任意{}1,2,...,i n ∈，记()()1i i T a Ta =，()()()()1*k k i i T a T T a k +=∈N ，如果k 是满足()()11,2,...,k i n i T a a i n +-==的最小正整数．．．．．，则称数列n A 存在k 阶逆序排列，称T 是n A 的k 阶逆序变换.（1）已知数列4:1,2,3,4A ，数列()4:3,1,4,2T A ，求()24T A ，()44T A ；（2）证明：对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换；（3）若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，求n 的最小值.【答案】（1）()24:4,3,2,1TA ，()44:1,2,3,4T A （2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）直接根据定义求解对应的数列即可；（2）先证明若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，则n 1-和n 中必有一个是6的倍数，再由4n =不满足该条件，即得结论；（3）由上面的结果可知6n ≥，然后对6n =构造符合条件的3阶逆序变换T 即可.【小问1详解】由于4:1,2,3,4A ，()4:3,1,4,2T A ，故()13T =，()21T =，()34T =，()42T =.所以()()()()()24:3,1,4,2T A T T T T ，即()24:4,3,2,1T A .所以()()()()()34:4,3,2,1T A T T T T ，即()34:2,4,1,3T A .所以()()()()()44:2,4,1,3T A T T T T ，即()44:1,2,3,4T A .故()24:4,3,2,1TA ，()44:1,2,3,4T A .【小问2详解】对3n ≥，设有n 个不同的点12,,...,n P P P ，若()i j T a a =，则在,ij P P 之间画一个箭头i j P P →.则每个点恰好发出一个箭头，也恰被一个箭头指向，这些箭头将形成若干互不相交的圈.若各项互不相同的数列n A 存在3阶逆序变换T ，则对12n i +≠，i a 经过三次变换T 后得到1n i a +-.这意味着i P 和n i P -必然位于一个长度为6的圈中.从而，如果n 是偶数，则必定有12n i +≠，故每个点12,,...,n P P P 都位于一个长度为6的圈中，所以n 是6的倍数；如果n 是奇数，则除12n P +以外的点都位于一个长度为6的圈中，若12n P +单独作为一个圈，则n 1-是6的倍数，若12n P +位于包含其它点的圈中，则n 是6的倍数.但n 是奇数，故只可能是：12n P +单独作为一个圈，n 1-是6的倍数.综上，若各项互不相同的数列n A 存在3阶逆序变换T ，则n 1-和n 中必有一个是6的倍数.由于4n =不满足该条件，故对于4项数列4A ，不存在3阶逆序变换；【小问3详解】若n 项数列n A 存在3阶逆序变换，根据（2）的结果，n 1-和n 中必有一个是6的倍数.而3n ≥，故6n ≥.而当6n =时，对各项互不相同的数列6123456:,,,,,A a a a a a a ，构造变换{}{}123456123456:,,,,,,,,,,T a a a a a a a a a a a a →，满足()12T a a =，()23T a a =，()36T a a =，()41T a a =，()54T a a =，()65T a a =.则()16236145:,,,,,TA a a a a a a ，()26365214:,,,,,T A a a a a a a ，()36654321:,,,,,T A a a a a a a .所以T是数列6A的3阶逆序变换.综上，n的最小值为6.和n中必有一个是6的倍数，进【点睛】关键点点睛：本题的关键在于从3阶逆序变换的存在性推出n1而可以迅速由条件确定n的大致范围，最后得到结果.。
2023北京东城区高二下学期期末数学试题及答案
2023北京东城高二（下）期末数 学2023.7本试卷共6页，满分100分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题 共36分)一、选择题共12小题，每小题3分，共36分。
在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
AB =}101−，， 中选取两个不同的元素，组成平面直角坐标系中点的坐标，则可确定的点的个数为A ．10 B ．15 C ．20 D ．25 3. 已知lg e a =，2e b =，1ln10c = e 2.71828=（），那么 A. b c a << B ．c b a << C. b a c << D. c a b <<4．如图，曲线()y f x =在点()22，处的切线为直线l ，直线l 经过原点O ，则(2)(2)'+=f fA. 1B. 2C. 3D. 4 5. 在10(2)x −的展开式中，。
6x 的系数为A ．61064C −B ．61064CC ．41016C −D ．41016C6. 如图（1）、（2）、（3）分别为不同样本数据的散点图，其对应的样本相关系数分别是123,,r r r ， 那么123,,r r r 之间的关系为(1) （2） (3)A. 321r r r <<B. 231r r r <<C. 312r r r <<D. 132r r r <<7．已知等比数列{}n a 的首项和公比相等，那么数列{}n a 中与37a a 一定相等的项是 A ．5a B ．7a C ．9a D ．10a8．已知1x =是函数2()(1)()f x x x a =−−的极小值点，那么a 的取值范围是A. (1)−∞，B. (1,)+∞C. ](1−∞，D. [1,)+∞9．在函数ln y x x =，cos y x =，2xy =，ln y x x =−中，导函数值不可能取到1的是A. ln y x x =B. cos y x =C. 2xy = D. ln y x x =−10．已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为A ．47B ．23C ．13D ．1611. 声压级（SPL ）是指以对数尺衡量有效声压相对于一个基准值的大小，其单位为dB （分贝）.人类产生听觉的最低声压为20μPa （微帕），通常以此作为声压的基准值.声压级的计算公式为：SPL 20lg =⨯refP P ，其中P 是测量的有效声压值，ref P 声压的基准值，ref P = 20μPa .由公式可知，当声压20 μPa =P 时，SPL 0dB =.若测得某住宅小区白天的SPL 值为50dB ，夜间的SPL 值为30dB ，则该小区白天与夜间的有效声压比为A ．53B ．10C ．32D ． 2012．已知函数21()e (R)2xf x a x a =−∈， ① 当0a ≤时，()f x 在区间()0,+∞上单调递减；② 当10e <<a 时，()f x 有两个极值点；③ 当1e≥a 时，()f x 有最大值.那么上面说法正确的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3第二部分 (非选择题 共64分)二、填空题共6小题，每小题318分。
2024北京顺义区高二(下)期末数学试题及答案
2024北京顺义高二(下)期末数 学一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.)(1)函数()ln 1f x x =−的零点是 (A)e (B)1e(C)10 (D)110(2) 35C 3!⋅ 的值为(A) 10 (B) 30 (C) 60 (D) 180 (3)下列函数中，在R 上为减函数的是(A)()cos f x x = (B)()1()2xf x =(C) ()2f x x =− (D) ()1f x x=(4) 已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，a 1+a 2=0，a 3+a 4=8，则S 6的值为 (A)16 (B)20 (C)24 (D)28 (5) 函数sin 2y x =的导数为(A)cos 2y x '= (B)cos 2y x '=− (C)2cos 2y x '=− (D)2cos 2y x '= (6) 下列函数中，图象不存在与x 轴平行的切线的是 (A) 31y x =−− (B)y = (C)sin y x = (D)cos y x =(7) 2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从24个节气中选择2个节气，且2个节气不在同一个季节，那么不同的选法有(A)60种 (B)216种(C)276种(D)432种(8) 若奇函数()f x 的定义域为()()(),00,,f x ∞∞−⋃+在(),0∞−上的图象如图所示，则不等式()()0f x f x '<的解集是(A)()(),10,1∞−−⋃(B)()()1,01,∞−⋃+ (C)()(),11,∞∞−−⋃+(D)()()1,00,1−⋃(9) 碳14是透过宇宙射线撞击空气中的氮14原子所产生.碳14原子经过β衰变转变为氮原子. 由于其半衰期达5730年，经常用于考古年代鉴定.半衰期(Half-life)是指放射性元素的原子核有半数发生衰变时所需要的时间.对北京人遗址中某块化石鉴定时，碳14含量约为原来的1%，则这块化石距今约为(参考数据：lg 20.3010≈)(A)40万年 (B)20万年 (C)4万年 (D)2万年(10)对于数列{}n a ，若存在0M >，使得对任意*n N ∈，有32112nn a a a a aa M ++++−−−<，则称{}n a 为“有界变差数列”．给出以下四个结论：① 若等差数列{}n a 为“有界变差数列”，则{}n a 的公差d 等于0；② 若各项均为正数的等比数列{}n a 为“有界变差数列”，则其公比q 的取值范围是()0,1； ③ 若数列{}n x 是“有界变差数列”，{}n y 满足12n n y =，则{}n n x y 是“有界变差数列”； ④ 若数列{}n x 是“有界变差数列”，{}n y 满足2n y n =，则n n x y ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是“有界变差数列”； 其中所有正确结论的个数是 (A)1 (B) 2 (C) 3 (D) 4第二部分(非选择题 共110分)二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡上.) (11)函数()lg(1)f x x =−的定义域为 .(12)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 3=12，a 5=2，则a 7= ;{a n}前n 项积 T n 的最小值为 ．(13)已知随机变量X 取所有值n 2 1，，， 是等可能的，且2)(=XE ，则=n ___________.(14)顺义石门农副产品批发市场是北京市重要的农产品集散地之一，该市场每天要对进场销售的蔬菜进行无公害检测.来自A ，B ，C 三个产区的土豆在某天的进场数量(单位：吨)如下表：(忽略土豆的个体大小差异)，再从这10个土豆中随机抽取2个进行重金属残留量检测，则来自A 产区的土豆被抽到的概率为____________.(15)已知函数33,()2,.x x x a f x x x a ⎧−≤=⎨>⎩，①当0a =时，函数()f x 的最小值是 ；②若函数()f x 无最小值，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(16)(本小题13分)已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项的系数之和为729. (Ⅰ)求n 的值；(Ⅱ)判断展开式中是否存在含2x 的项，若存在，求出该项；若不存在，说明理由. (17)(本小题 13分)已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1=8，a 2∙a 4=4，设b n =log 2a n . (Ⅰ)证明：数列{b n }是等差数列；(Ⅱ)记数列{b n }的前n 项和为S n ，求S n 的最大值． (18)(本小题14分) 已知函数f (x )=x 3+ax 2+1.(Ⅰ)求在点(0，f (0))处的切线方程；(Ⅱ)当302a −<<时，求f (x )在区间[0,1]上的最大值.(19)(本小题15分)某学校有A ，B 两个学生餐厅.在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中，为帮助餐厅把握每日每餐的用餐人数，科学备餐，该校学生会从全校随机抽取了100名学生作为样本，收集他们在某日的就餐信息，经过整理得到如下数据：()f xA 餐厅 35人 60人 30人B 餐厅 48人 40人60人 不在学校用餐17人0人10人用频率估计概率，且学生对餐厅的选择相互独立，每日用餐总人数相对稳定. (Ⅰ)若该学校共有2000名学生，估计每日在A 餐厅用早餐的人数；(Ⅱ)从该学校每日用午餐的学生中随机抽取3人，设X 表示这3人中在A 餐厅用餐的人数，求X 的分布列和数学期望()E X ；(Ⅲ)一个星期后，从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了10人，发现在B 餐厅用晚餐的有2人.根据抽查结果，能否认为在B 餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化？说明理由．(20)(本小题15分)已知函数2()xf x ax e =−，设()()h x f x '=.(Ⅰ)若2ea =，求()h x 的单调区间； (Ⅱ)若()f x 在区间(0,)+∞上存在极小值m ， (ⅰ) 求a 的取值范围； (ⅱ)证明：m a >−．(21)(本小题15分) 若数列12,,,(2)n n A a a a n ≥： 满足{}11,0,1(1,2,,1)k k a a k n +−∈−=−，则称n A 为E 数列．记12()n n S A a a a =+++.(Ⅰ)若E 数列5A 满足151,1a a =−=，直接写出5()S A 所能取到的最大值和最小值； (Ⅱ)若E 数列n A 满足12024,1,1n n a a ==−=，求证：存在{}1,2,,2024k ∈，使得0k a =；(Ⅲ)若E 数列(2)n A n ≥满足11n a a ==，求()n S A 所能取到的最大值(结果用含n 的代数式表示).参考答案一、选择题ACBCD BBACC 二、填空题11.[)3,1− 12.8, 16413. 3 14. 815 15. -2,∞（-，-1）三、解答题 (16)(本小题13分) 解：(Ⅰ)12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项的系数之和为729，∴ 令1x =，得3729n =， --------------------------4分解得6n =. --------------------------6分(Ⅱ)612x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为6662661C (2)()2C r r r r r rx x x −−−=， --------8分若存在含2x 的项，则622r −=， --------10分 解得2r =. --------12分所以展开式中存在含2x 的项，此项为422262C 240x x =. --------13分 (17)(本小题13分)解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q, ∵数列{a n }是等比数列，且a n >0,∴ a 2∙a 4=a 32=4, -------------------------------------------------------------------1分∴a 3=2 , --------------------------------------------------------------------2分∴a 3=a 1∙q 2=2 . (或a 2∙a 4=a 1q ∙a 1q 3=a 12∙q 4=4) --------------2分又∵a 1=8,∴q =12 , -------------------------------------------------------------------------------4分∴a n =a 1∙q n−1=24−n , --------------------------------------------------------5分 ∴b n =log 2a n =4−n , -----------------------------------------------------------------6分 ∴b n+1−b n =[4−(n +1)]−(4−n) ----------------------------------------------7分 =−1 是常数.∴数列{b n }是等差数列， 首项b 1=3 ,公差d =−1. -----------------------------8分 (Ⅱ)(法一) ∵S n =b 1+b n 2∙n =−12n 2+72n , -------------------------------------------------10分∴对称轴n =72, ----------------------------------------------------------------------------11分∴n =3或4时，S n 最大，最大值为6.---------------------------------------------------------13分 (法二) ∵b n =4−n ,∴数列{b n }是递减数列. -------------------------------------------------------------9分 又由b n =4−n ，可知： 当n <4时，b n >0 ; 当n =4时，b n =0 ; 当n >4时，b n <0 ;-------------------------------------------------------------11分 ∴12345S S S S S <<=>>.∴n =3或4时，S n 最大 . --------------------------------------------12分 ∵61233213=++=+bbbS ，∴S n 的最大值为6 . --------------------------------------------13分 (18)(本小题14分) 解:(Ⅰ)∵32()1f x x ax =++,,x R ∈∴2'()32f x x ax =+. ————————————————————2分(0)1,'(0)0f f ∴==. ————————————————————————4分∴ f (x )在(0，f (0))处的切线方程为10(0)y x −=−，即1y =.———--————5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知2'()32f x x ax =+. 令'()0f x =，可得0x =或23x a =−. 320,0 1.23a a −<<∴<−< —————————————————————7分当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表所示.∴()f x 在2(0,)3a −上单调递减，在2(,1)3a −上单调递增. 310,2222a a −<<∴<+<———————————10分当21a +<，即312a −<<−时，max ()(0)1f x f ==. ———————————12分 当21a +≥，即10a −≤<时，m ()(1)2ax f x f a ==+. ——————————14分 所以当312a −<<−时，()f x 的最大值为1；当10a −≤<时，()f x 的最大值为 2.a +. 19.(本小题15分)解：(Ⅰ)样本中学生在A 餐厅用早餐的频率为10035，据此估计该学校2000名学生每日在A 餐厅用早餐的人数为：700100352000=⨯. -------------------4分 (Ⅱ)从该学校用午餐的学生中随机抽取1人，由样本的频率估计该学生在A 餐厅用餐的概率5310060==p . ---------------------------------------------------5分X 的可能取值为3,2,1,0,X ～），（533.-----------------------------------6分1258)531()0(303=−⨯==CXP ； 12536)531(53)1(213=−⨯⨯==CXP ；12554)531()53()2(1223=−⨯⨯==CXP ； 12527)53(3)(333==⨯=P X C . ----------------------------------------10分 X 的分布列为X 0 1 2 3P1258 12536 12554 12527 59533)(=⨯==np XE . -------------------------------------------12分(Ⅲ)此问3分，结论和理由不唯一，阅卷时结合给出的理由酌情给分.设事件E 为“随机抽查10人，有2人在B 餐厅用晚餐”. 假设在B 餐厅用晚餐的人数较上个星期没有变化，由样本估计从在学校用晚餐的学生中随机抽查1人，此人在B 餐厅用晚餐的概率为329060=.由上个星期的样本数据估计003.0656120)32)(132()(82210=⨯⨯−=≈P E C ， 示例答案1:可以认为发生了变化.理由如下：事件E 是一个小概率事件，一般认为小概率事件在一次随机试验中不易发生，如果发生了，可以认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化； 示例答案2：无法确定有没有变化.理由如下：)(EP 比较小，一般不容易发生，随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，事件E 也是有可能发生的，所以无法确定有没有变化；示例答案3：无法确定有没有变化.理由如下：抽查的人数少，样本容量太小，可能抽到的大部分是在A 餐厅用餐的学生(抽到了极端情形)，所以抽查结果可能无法准确反映在两个餐厅的实际用餐人数. -------------------------------------------15分 (20)(本小题15分) 解：(Ⅰ)若e2a =， 则2()2xe f x x e =−，'()x f x ex e =−. ——————————————1分 所以()'()xh x f x ex e ==−，则'()xh x e e =− . ——————————————2分 令'()0h x >，即0xe e −>，解得1x <; 令'()0h x <，即0xe e −<，解得1x >.所以()h x 在(,1)−∞上单调递增，在 (1,)+∞上单调递减 . ——————————4分 (Ⅱ)(ⅰ)法一：因为()2((0,))xh x ax e x =−∈+∞，所以'()2xh x a e =−.易知'()h x 在(0,)+∞上单调递减，'(0)21h a =−.——————————————6分 当210a −≤即12a ≤时，'()(0)0h x h '<<，()h x 在(0,)+∞上单调递减， 因为(0)10h =−<，所以()'()0h x f x =<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减， 所以()f x 无极值.—————————————————————————————7分 当210a −>即12a >时， 由'()0h x =可得2,ln(2)xe a x a =∴=.当x 变化时，()h x '与()h x 的变化情况如下表所示.当ln(2)x a =时，()h x 有极大值(ln(2))2ln(2)22(ln(2)1)h a a a a a a =−=−.—————————————————8分①当(ln(2))0h a ≤即1ln(2)1,22ea a ≤<≤时， ()'()0h x f x =≤，()f x 在(0,)+∞上单调递减.所以()f x 无极值.—————————————————————————————9分 ②当(ln(2))0h a >即ln(2)1,2ea a >>时， 因为(0)10h =−<，所以()h x 在(0,ln(2))a 上有且只有一个零点，记为0x . 当x 变化时，()()h x f x '即与()f x 的变化情况如下表所示.所以，当2a >时，()f x 有极小值.—————————————————————11分 (ⅰ)法二：()'()2(2)(((0,))xxe h xf x ax e x a x x==−=−∈+∞.令g()2(0)xe x a x x =−>，则22(1)g'().x x x e x e e x x x x −−=−=———————————6分当(0,1)x ∈时，'()0,g x >()g x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，'()0,g x <()g x 在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)2.g x g a e ∴==−———————————————————————7分①当20a e −≤，即2e a ≤时，20,xe a x−≤()'()0,()h x f x f x ∴=≤∴在(0,)+∞上单调递减，所以()f x 无极值.—————————————————————————————8分 ②当20a e −>，即2ea >时， 当0x >且0x →时，1,,,2x x xxe e e e a x x x→∴→+∞∴−→−∞∴−→−∞.又(1)20g a e =−>，0(0,1),x ∴∃∈使0()0g x =.0()0h x ∴= ———————9分所以当0(0,)x x ∈时，()0,h x <即'()0,f x < ()f x ∴在(0,)+∞上单调递减. 当0(,1)x x ∈时，()0,h x >即'()0,f x >()f x ∴在(0,)+∞上单调递增.∴当0x x =时，()f x 有极小值.∴()f x 有极小值时，a 的取值范围是(,)2e+∞.———————————————11分(ⅱ)0200()xm f x ax e ==−.000()0,20x h x ax e =∴−= . ———————————————————————12分 220002(1)m ax ax a x a ∴=−=−−. —————————————————————13分 (0)10,(1)20,h h a e =−<=−> 0(0,1)x ∴∈,2ea >. ———————————————14分.m a ∴>− ———————————————————————————————15分(21)(本小题15分)解答：(Ⅰ)5()S A 所能取到的最大值是3，所能取到的最小值是-3； —————4分 (Ⅱ)用反证法，假设任意{}1,2,,2024k ∈，0k a ≠. —————5分设l a 是n A 中最后一个小于零的项(由11,2024a n =−=可知这样的项存在)，并且由1n a =可知l n <. 由11a =−，{}11,0,1(1,2,,1)k k a a k n +−∈−=−可知n A 是整数列，从而11,1l l a a +≤−≥，所以12l l a a +−≥，与{}11,0,1(1,2,,1)k k a a k n +−∈−=−矛盾.所以假设不成立，从而存在{}1,2,,2024k ∈，使得0k a =； ————— 9分(Ⅲ)令1k k k c a a +=−(1,2,,1)k n =−，则{}1,0,1k c ∈−.因为211a a c =+，3112a a c c =++,…,1121n n a a c c c −=++++，所以112311231()(1)(2)(3)(1)(2)(3)n n n S A na n c n c n c c n n c n c n c c −−=+−+−+−++=+−+−+−++根据1n a a =可知1210n c c c −+++=，注意到{}1,0,1k c ∈−(1,2,,1)k n =−，并且k c 中1与-1的个数相等.当()*21n k k N=+∈ 时，()()12311221212212122121222()(1)(2)(3)212(21)2133112122222132122n n k kk k k k k k S A n n c n c n c c k kc k c c c k k c k c k c k c k c c c c k k c c k c c −−−−=+−+−+−++=+++−+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++−+−++−+−++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=++−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()11221102213121222222212123111,2k k c c k k k k k k k n k −+⎛⎫++−++⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫≤++−⋅+−⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++−+−+++⎛⎫=+= ⎪⎝⎭等号取到当且仅当121221,1k k k k c c c c c c ++========−.第11页/共11页当()*2n k k N=∈ 时，()()()()()()()()()()()()()123112222112222112222112122211()(1)(2)(3)221(22)2212212121002122212n n k k k k k k k k k k k S A n n c n c n c c k k c k c c c k k c k c k c k c k c c c c k k c c k c c c c c k k k k −−−−−−−−−−+=+−+−+−++=+−+−+++=+−+−++−+−+⋅++++=+−−+−−++⋅−+⋅+⋅≤+−⋅+−⋅++⋅()211,2n k k ⎡⎤+⎛⎫=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦等号取到当且仅当1211221,1,0k k k k k c c c c c c c −++========−=.综上所述，()n S A 所能取到的最大值是()()()22max 1,2,121,2 1.n k k n k n S A k n k +=⎧⎡⎤+⎪⎛⎫==⎢⎥⎨ ⎪⎝⎭+=+⎢⎥⎪⎣⎦⎩ —————15分(注：第三问，奇数偶数结果各占1分，证明过程各占2分.)。
2022-2023学年北京市海淀区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市海淀区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A ＝{x |﹣3＜x ＜3}，B ＝{﹣3，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1} B ．{0，1，2}C ．{﹣3，0，1，2}D ．{﹣2，﹣1，0，1，2}2．已知命题p ：∃x ≤3，|x ﹣2|≤1，则¬p 为（ ） A ．∃x ≤3，|x ﹣2|＞1 B ．∃x ＞3，|x ﹣2|≤1 C ．∀x ≤3，|x ﹣2|＞1D ．∀x ＞3，|x ﹣2|＞13．已知{a n }为等比数列，公比q ＞0，a 2+a 3＝12，a 1•a 5＝81，则a 5＝（ ） A ．81B ．27C ．32D ．164．下列四个函数中，在区间[0，1]上的平均变化率最大的为（ ） A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝sin xD ．y =1x+15．已知a ＜b ，则（ ） A ．a 2＜b 2B ．e ﹣a ＜e ﹣bC ．ln （|a |+1）＜ln （|b |+1）D ．a |a |＜b |b |6．已知函数f （x ）＝x 2•sin x ，则f ′(π2)的值为（ ） A ．0B ．πC ．π24D ．−π247．从A ，B ，C ，D 4本不同的文学读物中选出3本分给甲、乙、丙3名学生（每人一本）．如果甲不得A 读物，则不同的分法种数为（ ） A ．24B ．18C ．6D ．48．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ，则“S n 有最大值”是“d ＜0”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．学校要从8名候选人中选4名同学组成学生会．已知恰有3名候选人来自甲班，假设每名候选人都有相同的机会被选中，则甲班恰有2名同学被选中的概率为（ ） A ．14B ．23C ．37D ．41510．已知函数f （x ）＝x 3+3x 2+bx +c ．若函数g （x ）＝e ﹣x f （x ）有三个极值点m ，1，n ，且m ＜1＜n ，则mn 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，1）B ．（﹣∞，14）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，﹣2）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。