浙江省2020年高考数学模拟题分项汇编 08 平面解析几何(原卷版)
第八章.平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线的方程及几何性质为主，难度在中等或以下，其中圆的问题是五年两考，直线与椭圆的位置关系，五年三考，圆锥曲线基本问题五年五考；大题则主要考查直线与抛物线的位置关系问题，五年五考，直线与椭圆位置关系问题只2016年理科考查一次；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线(圆、椭圆、抛物线)的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量(共线、垂直、数量积)结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.一.选择题1．(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知双曲线22:193x yC-=，则C的离心率为( )A．3B．3C．23D．22．(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)直线与圆交于两点，则的面积为 ( )A． B． C． D．3．(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知圆C的方程为22(3)1x y-+=，若y轴上存在一点A，使得以A为圆心、半径为3的圆与圆C有公共点，则A的纵坐标可以是( )A．1 B．–3 C．5 D．-74．(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)已知双曲线()22210y x b b-=>右焦点为F ，左顶点为A ，右支上存在点B 满足BF AF ⊥，记直线AB 与渐近线在第一象限内的交点为M ，且2AM MB =u u u u r u u u r，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．2y x =± B ．12y x =±C ．43y x =±D ．34y x =?5．(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为( ) A ．5B ．5C ．2D ．226.(2020届浙江省温州市11月适应测试)已知双曲线22x a -22y b=1(a>0,b>0)的离心率为3,则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y=±2x B ．y=±2x C ．y=±2x D ．y=±12x7.(2019年10月浙江省金丽衢十二校零模)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>一条渐近线与直线2420x y -+=垂直，则该双曲线的离心率为( ) A ．5B ．5C ．2D ．228.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)如图，已知抛物线21:4C y x =和圆222:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，自上而下依次交1C 和2C 于A ，B ，C ，D 四点，则AB CD ⋅u u u r u u u r的值为( )A ．14B ．12C ．1D ．29.(2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考)已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，其右焦点为()223,0F ，则双曲线C 的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=10．(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知三个实数2，a ，8成等比数列，则双曲线22219y x a-=的渐近线方程为( ) A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0C ．3x ±2y ＝0D ．9x ±16y ＝011.(2020届浙江省高三上学期百校联考)已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为B ，交y 轴于点C ，交另一条渐近线于点A ，并且满足点C 位于A ，B 之间.已知O 为原点，且53OA a =，则||||FB FC =( ) A ．45B ．23C ．34D ．1312.(2020届浙江省温州市11月适应测试)如图，P 为椭圆22122:1(0)x y E a b a b +=>>上的一动点，过点P 作椭圆22222:(01)x y E a bλλ+=<<的两条切线P A ，PB ，斜率分别为1k ，2k .若12k k ⋅为定值，则λ=( )A ．14B ．24C ．12D ．2213.(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)已知(1,63,3()0,5A B ，作直线l ，使得点,A B 到直线l 的距离均为d ，且这样的直线l 恰有4条，则d 的取值范围是( ) A ．1d ≥B ．01d <<C ．01d <≤D ．02d <<14．(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，设点P 是该椭圆和双曲线的一个公共点，且123F PF π∠=，若椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的最小值为( ) A ．232+ B ．423+ C ．23+ D ．13+二.填空题15．(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)抛物线的焦点坐标是___________，准线方程是___________.16．(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)抛物线210x y =-的焦点在直线2mx +my +1=0上，则m =__________．17．(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)双曲线22145x y -=的焦距为__________，离心率为__________18.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知,A B 是抛物线24y x =上的两点，F 是焦点，直线,AF BF 的倾斜角互补，记,AF AB 的斜率分别为1k ,2k ，则222111k k -=____. 19.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)设双曲线的右焦点为，过点作与轴垂直的直线交两渐近线于两点，且与双曲线在第一象限的交点为，设为坐标原点，若，，则双曲线的离心率的值是_______.20.(2020届浙江省高三上学期百校联考)已知1F 、2F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点2F 关于直线y x =对称的点Q 在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过1F 且斜率为(0)k k >的直线与椭圆相交于AB 两点，且113AF F B=u u u r u u u r，则k =___. 21.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知P 是椭圆2222111x y a b +=(110>>a b )和双曲线2222221x y a b -=(220,0a b >>)的一个交点，12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，12,e e 分别为椭圆和双曲线的离心率，若123F PF π∠=，则12e e ⋅的最小值为________．22.(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)设03F -（，）是椭圆()222210y x a b a b+=>>的一个焦点，点()02A ，，若椭圆上存在点P 满足9PA PF +=，则椭圆离心率的取值范围是_____________. 23.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知O 为坐标原点，F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点，A ，B 分别为双曲线C 的左.右顶点，P 为双曲线C 上的一点，且PF x ⊥轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于M ，与y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若3OE ON =，则双曲线C 的离心率为___________．24.(2020届浙江省高三上学期百校联考)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:()(3)4()M x a y a a -++-=∈R .过原点的动直线l 与圆M 交于A ，B 两点若以线段AB 为直径的圆与以M 为圆心MO 为半径的始终无公共点，则实数a 的取值范围是________.25．(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)已知12,F F 是椭圆22:143x y C +=的左右焦点，P 是直线: ()l y x m m R =+∈上一点，若12PF PF +的最小值是4，则实数m =__________. 26.(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考月考)已知1F ，2F 是椭圆1C ：2213x y +=与双曲线2C 的公共焦点，P 是1C ，2C 的公共点，若1OP OF =，则2C 的渐近线方程为______.27.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知椭圆221106x y +=，倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A 、B 两点且AB =，点C 是椭圆上不同于A 、B 一点，则△ABC 面积的最大值为_____． 28.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知点A (1，0)，B (0，2)，点(),P a b 在线段AB 上，则直线AB 的斜率为______；⋅a b 的最大值为______．29.(2020届浙江省温州市11月适应测试)直线142x y+=与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则AB =______；以线段AB 为直径的圆的方程为_________．30.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知圆22:1O x y +=，设点P 是恒过点(0，4)的直线l 上任意一点，若在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则直线l 的斜率k 的取值范围为______．31.(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)已知实数a b c ，，满足2a b c +=，则直线:?0l ax by c +=－恒过定点 ，该直线被圆229x y +=所截得弦长的取值范围为 .32.(2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考)已知点P 在圆22680x y y +-+=上，点Q 在椭圆()22211x y a a+=>上，且PQ 的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于__________，当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F ，则PQ QF +的最大值等于__________． 三.解答题33.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知抛物线24x y =，F 为其焦点，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 为其左右焦点，离心率12e =，过F 作x 轴的平行线交椭圆于,P Q 两点，46||3PQ =.(1)求椭圆的标准方程；(2)过抛物线上一点A 作切线l 交椭圆于,B C 两点，设l 与x 轴的交点为D ，BC 的中点为E ，BC 的中垂线交x 轴为K ，KED ∆，FOD ∆的面积分别记为1S ，2S ，若121849S S =，且点A 在第一象限．求点A 的坐标．34．(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，直线与的两个交点间的距离为.(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)分别过作满足，设与的上半部分分别交于两点，求四边形面积的最大值.35.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的焦距为23，且过点(2,0)A ．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若点(0,1)B ，设P 为椭圆C 上位于第三象限内一动点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值，并求出该定值．36.(2020届浙江省高三上学期百校联考)如图，过抛物线2:C y x =上的一点()1,1A 作抛物线的切线，分别交x 轴于点D 交y 轴于点B ，点Q 在抛物线上，点E ，F 分别在线段AQ ，BQ 上，且满足AE λEQ =u u u r u u u r ，BF μFQ =u u u r u u u r，线段QD 与EF 交于点P.(1)当点P 在抛物线C 上，且12λμ==时，求直线EF 的方程； (2)当1λμ+=时，求:PAB QAB S S △△的值.37.(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)如图，已知抛物线()220Cx py p =>：，过抛物线上点B 作切线24l y x =-：交y 轴于点A ．(Ⅰ)求抛物线方程和切点B 的坐标；(Ⅱ)过点A 作抛物线的割线，在第一象限内的交点记为D ，E ，设F 为y 轴上一点，满足FD FE =，M为DE中点，求DEF AMFS S V V 的取值范围.38.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)设1F 、2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，122F F =，直线1过1F 且垂直于x 轴，交椭圆C 于A 、B 两点，连接A 、B 、2F ，所组成的三角形为等边三角形. (1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点2F 的直线m 与椭圆C 相交于M 、N 两点，试问：椭圆C 上是否存在点P ，使OP OM ON =+u u u v u u u u v u u u v成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.39．(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，,,A B M是抛物线上三点(M 在第一象限)，直线AB 交x 轴于点N (N 在F 的右边)，四边形FMNA 是平行四边形，记MFN △，FAB V 的面积分别为12,S S .(1)若1MF=，求点M的坐标(用含有p的代数式表示)；(2)若1225SS=，求直线OM的斜率(O为坐标原点).40．(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考)过抛物线()220y px p=>上一点P作抛物线的切线l交x轴于Q，F为焦点，以原点O为圆心的圆与直线l相切于点M.(Ⅰ)当p变化时，求证：PFQF为定值.(Ⅱ)当p变化时，记三角形PFM的面积为1S，三角形OFM的面积为2S，求12SS的最小值.41.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)如图，P是抛物线E：y2＝4x上的动点，F是抛物线E的焦点．(1)求|PF|的最小值；(2)点B，C在y轴上，直线PB，PC与圆(x﹣1)2+y2＝1相切．当|PF|∈[4，6]时，求|BC|的最小值．42.(2020届上海市建平中学高三月考)已知点()00,A x y在抛物线24y x=上，,P Q是直线2y x=+上的两个不同的点，且线段,AP AQ的中点都在抛物线上.(Ⅰ)求0y 的取值范围；(Ⅱ)若APQ V 的面积等于62，求0y 的值.43.(2020届浙江省温州市11月适应测试)如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过F 的直线交抛物线于()11,A x y ，()22,B x y 两点，其中10y >，124y y =-．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ．(1)求p 的值；(2)求四边形APBQ 的面积S 的最小值．44.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)在平面直角坐标系中，已知()()2,0,2,F P t -，若线段FP 的中垂线l 与抛物线C ：()220y px p =>总是相切．(1)求抛物线C 的方程；(2)若过点Q (2，1)的直线l ′交抛物线C 于M ，N 两点，过M ，N 分别作抛物线的切线12,l l 相交于点A ．12,l l 分别与y 轴交于点B ，C ．( i )证明：当'l 变化时，ABC ∆的外接圆过定点，并求出定点的坐标 ； ( ii )求ABC ∆的外接圆面积的最小值．45.(2020届浙江省五校高三上学期联考)过椭圆2212x y +=的左焦点F 作斜率为()110k k ≠的直线交椭圆于A ，B 两点，M 为弦AB 的中点，直线OM 交椭圆于C ，D 两点.(1)设直线OM 的斜率为2k ，求12k k 的值；(2)若F ，B 分别在直线CD 的两侧，2MB MC MD =⋅，求FCD V 的面积.。
2020年浙江省高考数学试卷(解析版)
为
当 时，则 ， ，要使 ，必有 ，且 ，
即 ，且 ，所以 ；
当 时，则 ， ，要使 ，必有 .
综上一定有 .
故选：C
【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题.
10.设集合S，T，S N*，T N*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
【详解】依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而 ，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题.
故选：A.
【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
5.某几何体 三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm3）是（）
三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（I）求角B的大小；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I） ；（II）
【解析】
【分析】
（I）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B的大小；
浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷及解析word版
浙江省2020届高三高考模拟试题数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U＝R，集合A={x|x＜32}，集合B＝{y|y＞1}，则∁U（A∩B）＝（）A．[32，+∞)B．(−∞，1]∪[32，+∞)C．(1，32)D．(−∞，32)2．已知i是虚数单位，若z=3+i1−2i，则z的共轭复数z等于（）A．1−7i3B．1+7i3C．1−7i5D．1+7i53．若双曲线x2m−y2=1的焦距为4，则其渐近线方程为（）A．y=±√33x B．y=±√3x C．y=±√55x D．y=±√5x4．已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A．β内一定能找到与l平行的直线B．β内一定能找到与l垂直的直线C．若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行D．若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5．等差数列{a n}的公差为d，a1≠0，S n为数列{a n}的前n项和，则“d＝0”是“S2nS n∈Z”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．随机变量ξ的分布列如表：ξ﹣1012P13a b c其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)=19，则D（ξ）＝（）A．181B．29C．89D．80817．若存在正实数y，使得xyy−x =15x+4y，则实数x的最大值为（）A．15B．54C．1D．48．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ） A ．85B ．95C ．2040D ．22809．已知三棱锥P ﹣ABC 的所有棱长为1．M 是底面△ABC 内部一个动点（包括边界），且M 到三个侧面P AB ，PBC ，P AC 的距离h 1，h 2，h 3成单调递增的等差数列，记PM 与AB ，BC ，AC 所成的角分别为α，β，γ，则下列正确的是（ ）A ．α＝βB ．β＝γC ．α＜βD ．β＜γ10．已知|2a →+b →|=2，a →⋅b →∈[−4，0]，则|a →|的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．[12，1]C ．[1，2]D ．[0，2]二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．若α∈(0，π2)，sinα=√63，则cosα＝ ，tan2α＝ ．12．一个长方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则该几何体与原长方体的体积之比是 ，剩余部分表面积是 ．13．若实数x ，y 满足{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4，若3x +y 的最大值为7，则m ＝ ．14．在二项式(√x +1ax 2)5(a ＞0)的展开式中x﹣5的系数与常数项相等，则a 的值是 ．15．设数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *，则a 2＝ ，S 5＝ ． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知a cos B ＝b cos A ，∠A =π6，边BC 上的中线长为4．则c ＝ ；AB →⋅BC →= ．17．如图，过椭圆C：x2a2+y2b2=1的左、右焦点F1，F2分别作斜率为2√2的直线交椭圆C上半部分于A，B两点，记△AOF1，△BOF2的面积分别为S1，S2，若S1：S2＝7：5，则椭圆C离心率为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知函数f(x)=sin(2x+π3)+sin(2x−π3)+2cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在区间[−π4，π2]上的最大值和最小值．19．（15分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1．（1）求证：AB1⊥平面A1BC1；（2）若D在B1C1上，满足B1D＝2DC1，求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值．20．（15分）已知等比数列{a n}（其中n∈N*），前n项和记为S n，满足：S3=716，log2a n+1＝﹣1+log2a n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n•log2a n}（n∈N*）的前n项和T n．21．（15分）已知抛物线C：y=12x2与直线l：y＝kx﹣1无交点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点．（1）证明：直线AB恒过定点Q；（2）试求△P AB面积的最小值．22．（15分）已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．（1）求a的取值范围；（2）证明：f(x1)−f(x2)＜12．一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【详解详析】∵U＝R，A={x|x＜32}，B＝{y|y＞1}，∴A∩B=(1，32)，∴∁U(A∩B)=(−∞，1]∪[32，+∞)．故选：B．2．【详解详析】∵z=3+i1−2i =(3+i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=15+75i，∴z=15−75i．故选：C．3．【详解详析】双曲线x2m−y2=1的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y=±√33x．故选：A．4．【详解详析】由α，β是两个相交平面，其中l⊂α，知：在A中，当l与α，β的交线相交时，β内不能找到与l平行的直线，故A错误；在B中，由直线与平面的位置关系知β内一定能找到与l垂直的直线，故B正确；在C中，β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行或该直线在α内，故C错误；在D 中，β内有无数条直线与l 垂直，则β与α不一定垂直，故D 错误． 故选：B ．5．【详解详析】等差数列{a n }的公差为d ，a 1≠0，S n 为数列{a n }的前n 项和， “d ＝0”⇒“S 2n S n∈Z ”，当S2nS n∈Z 时，d 不一定为0，例如，数列1，3，5，7，9，11中，S 6S 3=1+3+5+7+9+111+3+5=4，d ＝2，故d ＝0”是“S 2n S n∈Z ”的充分不必要条件．故选：A ．6．【详解详析】∵a ，b ，c 成等差数列，E （ξ）=19， ∴由变量ξ的分布列，知：{a +b +c =232b =a +c (−1)×13+b +2c =19，解得a =13，b =29，c =19，∴D （ξ）＝（﹣1−19）2×13+（0−19）2×13+（1−19）2×29+（2−19）2×19=8081．故选：D ．7．【详解详析】∵xyy−x =15x+4y ， ∴4xy 2+（5x 2﹣1）y +x ＝0， ∴y 1•y 2=14＞0， ∴y 1+y 2=−5x 2−14x ≥0，∴{5x 2−1≥0x ＜0，或{5x 2−1≤0x ＞0， ∴0＜x ≤√55或x ≤−√55①， △＝（5x 2﹣1）2﹣16x 2≥0， ∴5x 2﹣1≥4x 或5x 2﹣1≤﹣4x ， 解得：﹣1≤x ≤15②，综上x 的取值范围是：0＜x ≤15；x的最大值是15，故选：A．8．【详解详析】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法；故选：C．9．【详解详析】依题意知正四面体P﹣ABC的顶点P在底面ABC的射影是正三角形ABC的中心O，由余弦定理可知，cosα＝cos∠PMO•cos＜MO，AB＞，其中＜MO，AB＞表示直线MO与AB的夹角，同理可以将β，γ转化，cosβ＝cos∠PMO•cos＜MO，BC＞，其中＜MO，BC＞表示直线MO与BC的夹角，cosγ＝cos∠PMO•cos＜MO，AC＞，其中＜MO，AC＞表示直线MO与AC的夹角，由于∠PMO是公共的，因此题意即比较OM与AB，BC，AC夹角的大小，设M到AB，BC，AC的距离为d1，d2，d3则d1＝sinℎ1θ，其中θ是正四面体相邻两个面所成角，sinθ=2√23，所以d1，d2，d3成单调递增的等差数列，然后在△ABC中解决问题由于d1＜d2＜d3，可知M在如图阴影区域（不包括边界）从图中可以看出，OM与BC所成角小于OM与AC所成角，所以β＜γ，故选：D．10．【详解详析】选择合适的基底．设m →=2a →+b →，则|m →|=2，b →=m →−2a →，a →⋅b →=a →⋅m →−2a →2∈[−4，0]， ∴（a →−14m →）2=a →2−12a →•m →+116m →2≤8+116m →2 |m →|2=m →2＝4，所以可得：m→28=12，配方可得12=18m →2≤2(a →−14m →)2≤4+18m →2=92，所以|a →−14m →|∈[12，32]， 则|a →|∈[0，2]． 故选：D ．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．【详解详析】∵α∈(0，π2)，sinα=√63， ∴cosα=√1−sin 2α=√33，tanα=sinαcosα=√2，∴tan2α=2tanα1−tan 2α=√21−(√2)2=−2√2．故答案为：√33，﹣2√2．12．【详解详析】根据几何体的三视图转换为几何体为： 如图所示：该几何体为长方体切去一个角．故：V =2×1×1−13×12×2×1×1=53．所以：V 1V =532=56．S ＝2（1×2+1×2+1×1）−12(1×2+1×2+1×1)+12×√2×√2=9．故答案为：56，9．13．【详解详析】作出不等式组{x +y −3≥02x −y +m ≤0y ≤4对应的平面区域如图：（阴影部分）．令z ＝3x +y 得y ＝﹣3x +z ， 平移直线y ＝﹣3x +z ， 由图象可知当3x +y ＝7．由 {3x +y =7y =4，解得 {x =1y =4，即B （1，4），同时A 也在2x ﹣y +m ＝0上， 解得m ＝﹣2x +y ＝﹣2×1+4＝2． 故答案为：2．14．【详解详析】∵二项式(√x +1ax2)5(a ＞0)的展开式的通项公式为 T r +1=C 5r •(1a)r•x5−5r 2，令5−5r 2=−5，求得r ＝3，故展开式中x﹣5的系数为C 53•(1a )3；令5−5r 2=0，求得r ＝1，故展开式中的常数项为 C 51•1a =5a ， 由为C 53•(1a )3=5•1a ，可得a =√2，故答案为：√2．15．【详解详析】∵数列{a n }的前n 项和为S n ．S 2＝6，a n +1＝3S n +2，n ∈N *， ∴a 2＝3a 1+2，且a 1+a 2＝6，解得a 1＝1，a 2＝5，a 3＝3S 2+2＝3（1+5）+2＝20， a 4＝3S 3+2＝3（1+5+20）+2＝80， a 5＝3（1+5+20+80）+2＝320， ∴S 5＝1+5+20+80+320＝426． 故答案为：5，426．16．【详解详析】由a cos B ＝b cos A ，及正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ， 所以sin （A ﹣B ）＝0， 故B ＝A =π6，所以由正弦定理可得c =√3a ，由余弦定理得16＝c 2+（a2）2﹣2c •a2•cos π6，解得c =8√217；可得a =8√77，可得AB →⋅BC →=−ac cos B =−8√77×8√217×√32=−967．故答案为：8√217，−967． 17．【详解详析】作点B 关于原点的对称点B 1，可得S △BOF 2=S△B′OF 1，则有S 1S2=|y A ||y B 1|=75，所以y A =−75y B 1．将直线AB 1方程x =√2y4−c ，代入椭圆方程后，{x =√24y −c x 2a 2+y 2b 2=1，整理可得：（b 2+8a 2）y 2﹣4√2b 2cy +8b 4＝0， 由韦达定理解得y A +y B 1=4√2b 2cb 2+8a 2，y A y B 1=−8b 4b 2+8a 2，三式联立，可解得离心率e =ca =12． 故答案为：12．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【详解详析】（1）f （x ）＝sin2x +cos2x +1=√2sin(2x +π4)+1 所以最小正周期为π． 因为当π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ时，f （x ）单调递减．所以单调递减区间是[π8+kπ，5π8+kπ]．（2）当x ∈[−π4，π2]时，2x +π4∈[−π4，5π4]，当2x +π4=π2函数取得最大值为√2+1，当2x +π4=−π4或5π4时，函数取得最小值，最小值为−√22×√2+1＝0．19．【详解详析】（1）在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1， 根据已知条件易得AB 1⊥A 1B ，由A 1C 1⊥面ABB 1A 1，得AB 1⊥A 1C 1， A 1B ∩A 1C 1＝A 1，以AB 1⊥平面A 1BC 1；（2）以A 1B 1，A 1C 1，A 1A 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，设AB ＝a ， 则A （0，0，a ），B （a ，0，a ），C 1(0，a ，0)，D(a3，2a 3，0)，所以AD →=(a3，2a 3，−a)，设平面A 1BC 1的法向量为n →，则n →=(1，0，−1)， 可计算得到cos ＜AD →，n →＞=2√77，所以AD 与平面A 1BC 1所成的角的正弦值为2√77． 20．【详解详析】（1）由题意，设等比数列{a n }的公比为q ， ∵log 2a n +1＝﹣1+log 2a n ， ∴log 2a n+1−log 2a n =log 2a n+1a n=−1，∴q =a n+1a n =12．由S 3=716，得a 1[1−(12)3]1−12=716，解得a 1=14．∴数列{a n }的通项公式为a n =12n+1．（2）由题意，设b n ＝a n •log 2a n ，则b n =−n+12n+1． ∴T n ＝b 1+b 2+…+b n =−(222+323+⋯+n+12n+1) 故−T n =222+323+⋯+n+12n+1，−T n2=223+⋯+n2n+1+n+12n+2．两式相减，可得−T n2=12+123+⋯+12n+1−n+12n+2=34−n+32n+2．∴T n=n+32n+1−32．21．【详解详析】（1）由y=12x2求导得y′＝x，设A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1=12x12，y2=12x22则k P A＝x1，P A：y﹣y1＝x1（x﹣x1），设P（x0，kx0﹣1），代入P A直线方程得kx0﹣1+y1＝x1x0，PB直线方程同理，代入可得kx0﹣1+y2＝x2x0，所以直线AB：kx0﹣1+y＝xx0，即x0（k﹣x）﹣1+y＝0，所以过定点（k，1）；（2）直线l方程与抛物线方程联立，得到x2﹣2kx+2＝0，由于无交点解△可得k2＜2．将AB：y＝xx0﹣kx0+1代入y=12x2，得12x2−xx0+kx0−1=0，所以△=x02−2kx0+2＞0，|AB|=2√1+x02√△，设点P到直线AB的距离是d，则d=02√1+x02，所以S△PAB=12|AB|d=(x02−2kx0+2)32=[(x0−k)2+2−k2]32，所以面积最小值为(2−k2)32．22．【详解详析】（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．∵g′(x)=1x −2a=1−2axx．当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；当a＞0时，令g′（x）＝0，解得x=12a，所以x∈(0，12a )，g′(x)＞0，g(x)单调递增，x∈(12a，+∞)，g′(x)＜0，g(x)单调递减．所以x=12a 是g（x）的极大值点，则g(12a)＞0，解得0＜a＜12；（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且x1＜12a＜x2，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以x1＜1＜12a＜x2，从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．所以f(x1)＜f(1)=−a＜0，f(x2)＞f(1)=−a＞−1，2．所以f(x1)−f(x2)＜12。
浙江专用2020年高考数学仿真试卷(含两套,解析版)
浙江高考仿真卷(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合A ＝{x |x 2<1}，集合B ＝{x |log 2x <0}，则A ∩B 等于( ) A ．(0,1) B ．(－1,0) C ．(－1,1) D ．(－∞，1) 答案 A解析 根据题意集合A ＝{x |－1<x <1}，集合B ＝{x |0<x <1}，∴A ∩B ＝(0,1)．2．在平面直角坐标系中，经过点P (22，－2)，渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 27－y 214＝1 C.x 23－y 26＝1 D.y 214－x 27＝1 答案 B解析 ∵双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，∴设所求双曲线的标准方程为2x 2－y 2＝k .又()22，－2在双曲线上，则k ＝16－2＝14，即双曲线的方程为2x 2－y 2＝14，∴双曲线的标准方程为x 27－y 214＝1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．7 答案 C解析 画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，2x －3y －9＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 将z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ＋z ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点(3，－1)时， 直线在y 轴上的截距最大，即z 最大， z 的最大值为z ＝2×3－1＝5.4．若复数z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，其中i 是虚数单位，则|z 1－z 2|的最大值为 A.5－1 B.5－12 C.5＋1 D.5＋12答案 C解析 方法一 由题可得z 1－z 2＝2＋i －cos α－isin α＝2－cos α＋(1－sin α)i(α∈R )， 则|z 1－z 2|＝(2－cos α)2＋(1－sin α)2 ＝4－4cos α＋cos 2α＋1－2sin α＋sin 2α ＝6－2sin α－4cos α＝6－22＋42sin (α＋φ)＝6－25sin (α＋φ)，其中tan φ＝2，当sin(α＋φ)＝－1时， |z 1－z 2|有最大值，此时|z 1－z 2|＝6＋25＝5＋1. 方法二 ∵z 1＝2＋i ，z 2＝cos α＋isin α(α∈R )，∴z 2在复平面内对应的点在以原点为圆心，以1为半径的圆上，z 1＝2＋i 对应的点为Z 1(2,1)． 如图：则|z 1－z 2|的最大值为5＋1.5．“α≠β”是“cos α≠cos β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 因为α＝β⇒cos α＝cos β，所以cos α≠cos β⇒α≠β (逆否命题)必要性成立，α＝－β⇒cos α＝cos β，充分性不成立，故“α≠β”是“cos α≠cos β”的必要不充分条件． 6．函数f (x )＝ln|x |x的图象大致为( )答案 A解析 函数的定义域为{x |x ≠0}，f (x )＝ln ||x x ，f ()－x ＝ln ||－x －x ＝－ln ||x x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，图象关于原点对称，故可排除B ；当x >1时，f (x )＝ln ||x x ＝ln xx >0，故可排除C ；当x >0时，f (x )＝ln ||x x ＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2，显然当1<x <e 时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，当x >e 时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，可排除D ，故选A.7．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有( )A ．72种B ．144种C ．288种D ．360种 答案 B解析 第一步排语文、英语、化学、生物4科，且化学排在生物前面，有A 442＝12(种)排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空档中的2个，有A 24＝12(种)排法，所以不同的排表方法共有12×12＝144(种)． 8．已知随机变量X 的分布列如下表：其中a ，b ，c >0.若X 的方差D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，则( )A ．b ≤13B ．b ≤23C ．b ≥13D ．b ≥23答案 D解析 由X 的分布列可得X 的期望为E (X )＝－a ＋c ， a ＋b ＋c ＝1，所以X 的方差D (X )＝(－1＋a －c )2a ＋(a －c )2b ＋(1＋a －c )2c ＝(a －c )2(a ＋b ＋c )－2(a －c )2＋a ＋c ＝－(a －c )2＋a ＋c ＝－(2a －1＋b )2＋1－b ＝－4⎝⎛⎭⎫a －1－b 22＋1－b ，因为a ∈(0,1－b )，所以当且仅当a ＝1－b 2时，D (X )取最大值1－b ，又D (X )≤13对所有a ∈(0,1－b )都成立，所以只需1－b ≤13，解得b ≥23.9．如图所示，用一边长为2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为4π3的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为( )A.2－12 B.2＋12 C.6－12 D.3－12答案 D解析 因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为4π3，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离d ＝1－14＝32，而截面到球体最低点的距离为1－32，而蛋巢的高度为12，故球体到蛋巢底面的最短距离为12－⎝⎛⎭⎫1－32＝3－12.10．设α，β是方程x 2－x －1＝0的两个不等实数根，记a n ＝αn ＋βn (n ∈N *)． 下列两个命题( )①数列{a n }的任意一项都是正整数； ②数列{a n }存在某一项是5的倍数． A ．①正确，②错误 B ．①错误，②正确 C ．①②都正确 D ．①②都错误答案 A解析 因为α，β是方程x 2－x －1＝0的两个不等实数根，所以α＋β＝1，αβ＝－1， 因为a n ＝αn ＋βn ，所以a n ＋1＝αn ＋1＋βn ＋1＝(αn ＋βn )α＋(αn ＋βn )β－βn α－αn β＝(αn ＋βn )(α＋β)－αβ(αn －1＋βn －1)＝(αn＋βn )＋(αn －1＋βn －1)＝a n ＋a n －1，即当n ≥3时，数列{a n }中的任一项都等于其前两项之和，又a 1＝α＋β＝1，a 2＝α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝3，所以a 3＝a 2＋a 1＝4，a 4＝a 3＋a 2＝7，a 5＝a 4＋a 3＝11，以此类推，即可知数列{a n }的任意一项都是正整数，故①正确，若数列{a n }存在某一项是5的倍数，则此项个位数字应当为0或5.由a 1＝1，a 2＝3，依次计算知，数列{a n }中不存在个位数字为0或5的项，②错误．二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”．其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”．设x ，y 分别为人数、猪价，则x ＝________，y ＝________. 答案 10 900解析 由题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＋100＝100x ，y ＝90x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝900.12．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm 2，体积是________cm 3.答案 20＋45 8解析 由题意得，该几何体为三棱柱，故其表面积S ＝2×12×4×2＋22＋4×2＋2×25＝20＋45，体积V ＝12×4×2×2＝8.13．已知多项式(x ＋2)m (x ＋1)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a m ＋n x m ＋n满足a 0＝4，a 1＝16，则m ＋n＝________，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a m ＋n ＝________. 答案 5 72解析 令x ＝0，得a 0＝2m ＝4，又由二项展开式的通项公式得C m －1m ·2m －1·C n n ·1n ＋C m m ·2m ·C n －1n ·1n－1＝16，所以m ＝2，n ＝3，则m ＋n ＝5；令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a m ＋n ＝32×23＝72. 14．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，若c ＝2a cos B ，S ＝12a 2－14c 2，则△ABC 的形状为________，C 的大小为________． 答案 等腰三角形 π4解析 在△ABC 中，由c ＝2a cos B 及正弦定理得sin C ＝2sin A cos B ，则sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，化简得sin(A －B )＝0，那么A ＝B ，从而有a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形；由S ＝12a 2－14c 2及余弦定理得12ab sin C ＝12a 2－14(a 2＋b 2－2ab cos C )，化简得a 2sin C ＝a 2cos C ，又a >0，所以sin C ＝cos C ，则tan C ＝1，又C 是△ABC 的内角，故C ＝π4.15．已知x >0，y >－1，且x ＋y ＝1，则x 2＋3x ＋y 2y ＋1的最小值为________．答案 2＋ 3解析 x 2＋3x ＋y 2y ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x ＋⎝⎛⎭⎫y －1＋1y ＋1， 结合x ＋y ＝1可知原式＝3x ＋1y ＋1，且3x ＋1y ＋1＝⎝⎛⎭⎫3x ＋1y ＋1×x ＋()y ＋12 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋3()y ＋1x ＋x y ＋1 ≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤4＋23()y ＋1x ×x y ＋1＝2＋3， 当且仅当x ＝3－3，y ＝－2＋3时等号成立． 即x 2＋3x ＋y 2y ＋1的最小值为2＋ 3.16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，△PF 1F 2的内心I 的轨迹方程为____________________________． 答案 x 2＋3y 2＝1(y ≠0)解析 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设点P (x ，y )，I (m ，n )，－2<x <2，y ≠0，则|PF 1|＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋3－3x 24＝⎪⎪⎪⎪x 2＋2＝2＋x 2，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－⎝⎛⎭⎫2＋x 2＝2－x 2，|F 1F 2|＝2c ＝2，|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6，则由点I 为△PF 1F 2的内心结合图形(图略)得⎩⎨⎧2＋x2＝m ＋1＋1，12×n ×6＝12×2×y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝3n ，代入椭圆C 的方程得三角形的内心I 的轨迹方程为m 2＋3n 2＝1(n ≠0)，即x 2＋3y 2＝1(y ≠0)．17．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝1，∠A ＝120°，E ，F 分别是边AB ，AC 上的点，且AE →＝λAB →，AF →＝μAC →，其中λ，μ∈(0,1)，且λ＋4μ＝1，若线段EF ，BC 的中点分别为M ，N ，则|MN →|的最小值为________．答案77解析 连接AM ，AN (图略)，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝1，∠A ＝120°，所以AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－12，因为AM 是△AEF 的中线，所以AM →＝12(AE →＋AF →)＝12(λAB →＋μAC →)，同理可得AN →＝12()AB →＋AC →，由此可得MN →＝AN →－AM →＝12(1－λ)AB →＋12()1－μAC →，两边平方并化简得MN →2＝14(1－λ)2－14(1－λ)(1－μ)＋14(1－μ)2，由于λ＋4μ＝1，可得1－λ＝4μ，代入上式并化简得MN →2＝214μ2－32μ＋14＝214⎝⎛⎭⎫μ－172＋17，由于λ，μ∈()0，1，所以当μ＝17时，MN →2取得最小值17，所以|MN →|的最小值为77.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，0<ω<4，|φ|<π2过点⎝⎛⎭⎫0，12，且当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值1.(1)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )，求函数g (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，函数h (x )＝f (x )＋g (x )＋2cos 2x －1，求h (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域． 解 (1)由题意得A ＝1，由函数过⎝⎛⎭⎫0，12得sin φ＝12，∵|φ|<π2， ∴φ＝π6.又f ⎝⎛⎭⎫π6＝1，∴π6ω＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∵0<ω<4， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)h (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，π6≤2x ＋π6≤7π6，－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， －1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2，所以h (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为[－1,2]． 19．(15分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面是梯形，BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，PB ＝132，P A ＝PC ＝ 3.(1)证明：AC ⊥BP ；(2)求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值． (1)证明 取AC 的中点F ，连接PF ，BF ， 由P A ＝PC 得PF ⊥AC ，由AB ＝BC ，得BF ⊥AC ， 又PF ∩BF ＝F ，∴AC ⊥平面PBF ， 又BP ⊂平面PBF ，∴AC ⊥BP .(2)解 延长BF 交AD 于点E ，过点P 作PO 垂直于平面ABCD 于点O ，由(1)易知点O 在BE 上，在△PBF 中，PB ＝132，BF ＝12，PF ＝32， 由余弦定理得cos ∠PFB ＝PF 2＋BF 2－PB 22PF ·BF ＝－12，即∠PFB ＝120°，则∠PFO ＝60°， ∴PO ＝PF ·sin 60°＝334， 由V P －ACD ＝V D －APC 得13·PO ·S △ACD ＝13·h ·S △APC ，其中h 为点D 到平面APC 的距离，解得h ＝32，设直线AD 与平面APC 所成角为θ， 则sin θ＝h AD ＝34.20．(15分)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：当n ≥2时，1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n <32.(1)解 由a n ＝S n ＋S n －1，得S n －S n －1＝S n ＋S n －1，即S n －S n －1＝1(n ≥2)， 所以数列{S n }是以S 1＝a 1＝1为首项，以1为公差的等差数列， 所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，也满足上式，所以a n ＝2n －1. (2)证明 当n ≥2时，1na n ＝1n (2n －1)<1n (2n －2)＝12·1n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ， 所以1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n<1＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝32－12n <32.故当n ≥2时，1a 1＋12a 2＋13a 3＋…＋1na n <32.21.(15分)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)恰有一个公共点P ，l 与圆x 2＋y 2＝a 2相交于A ，B 两点．(1)求k 与m 的关系式；(2)点Q 与点P 关于坐标原点O 对称．若当k ＝－12时，△QAB 的面积取到最大值a 2，求椭圆的离心率．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(a 2k 2＋b 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2(m 2－b 2)＝0，则Δ＝(2a 2km )2－4(a 2k 2＋b 2)a 2(m 2－b 2)＝0， 化简整理，得m 2＝a 2k 2＋b 2.(2)因为点Q 与点P 关于坐标原点O 对称，故△QAB 的面积是△OAB 的面积的两倍． 所以当k ＝－12时，△OAB 的面积取到最大值a 22，此时OA ⊥OB ，从而原点O 到直线l 的距离d ＝a2， 又d ＝|m |k 2＋1，故m 2k 2＋1＝a 22.再由(1)，得a 2k 2＋b 2k 2＋1＝a 22，则k 2＝1－2b 2a 2.又k ＝－12，故k 2＝1－2b 2a 2＝14，即b 2a 2＝38，从而e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝58，即e ＝104.22．(15分)已知f (x )＝2ln(x ＋2)－(x ＋1)2，g (x )＝k (x ＋1)，k ∈R . (1)求f (x )的单调区间；(2)当k ＝2时，求证：对于任意x >－1，f (x )<g (x )恒成立；(3)若存在x 0>－1，使得当x ∈(－1，x 0)时，恒有f (x )>g (x )成立，试求k 的取值范围． (1)解 函数f (x )的定义域为(－2，＋∞)． f ′(x )＝2x ＋2－2(x ＋1)＝－2()x 2＋3x ＋1x ＋2(x >－2)，当f ′(x )>0时，x 2＋3x ＋1<0. 解得－2<x <－3＋52；当f ′(x )<0时，解得x >－3＋52.所以f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－3＋52，单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－3＋52，＋∞.(2)证明 设h (x )＝f (x )－g (x )＝2ln(x ＋2)－(x ＋1)2－k (x ＋1)(x >－1)， 当k ＝2时，h ′(x )＝－2(x 2＋3x ＋1)x ＋2－2＝－2(x ＋3)(x ＋1)x ＋2，∴当x >－1时，h ′(x )<0恒成立，h (x )单调递减． 又h (－1)＝0，∴当x ∈(－1，＋∞)时，h (x )<h (－1)＝0恒成立， 即f (x )－g (x )<0.∴对于任意x >－1，f (x )<g (x )恒成立．(3)解 因为h ′(x )＝－2(x 2＋3x ＋1)x ＋2－k＝－2x 2＋(k ＋6)x ＋2k ＋2x ＋2.方法一 由(2)知，当k ＝2时，f (x )<g (x )恒成立， 即对于任意x >－1,2ln(x ＋2)－(x ＋1)2<2(x ＋1)， 不存在满足条件的x 0；当k >2时，对于任意x >－1，x ＋1>0， 此时2(x ＋1)<k (x ＋1)．∴2ln(x ＋2)－(x ＋1)2<2(x ＋1)<k (x ＋1)， 即f (x )<g (x )恒成立，不存在满足条件的x 0； 当k <2时，令t (x )＝－2x 2－(k ＋6)x －(2k ＋2)， 可知t (x )与h ′(x )符号相同，当x ∈(x 0，＋∞)时，t (x )<0，h ′(x )<0， h (x )单调递减．∴当x ∈(－1，x 0)时，h (x )>h (－1)＝0， 即f (x )－g (x )>0恒成立．综上，k 的取值范围为(－∞，2)．方法二 存在x 0>－1，使得当x ∈(－1，x 0)时，恒有f (x )>g (x )成立，即h (x )>0恒成立，即h (x )>h (－1)恒成立，即当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )>0恒成立． 令t (x )＝－2x 2－(k ＋6)x －(2k ＋2)． 则t (－1)>0，即可解得k <2，∴k 的取值范围是(－∞，2)．浙江高考仿真卷(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |－1<x <3}，则A ∩B 等于( ) A ．{1,2} B ．{1,3} C ．{2,3} D ．{1,2,3} 答案 A解 ∵集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |－1<x <3}， ∴集合A 与集合B 公共元素组成的集合A ∩B ＝{1,2}．2．已知双曲线x 2m －y 23＝1()m >0的右顶点和抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则m 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析 双曲线x 2m －y 23＝1(m >0)的右顶点为(m ，0)，抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以m ＝4.3．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，则函数z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．12 B.325 C ．3 D ．15答案 A解析 作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示(含边界)．由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移直线y ＝－2x ＋z ，由图象可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时， 直线y ＝－2x ＋z 在y 轴上的截距最大， 此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)， 代入目标函数z ＝2x ＋y ，得z ＝2×5＋2＝12. 即目标函数z ＝2x ＋y 的最大值为12.4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为( )A ．1 B.22 C.52 D.62答案 C解析 几何体为一个四棱锥P －ABCD ，其中P A ＝3，PB ＝6，PC ＝5，PD ＝2，AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1， 所以S △P AB ＝S △P AD ＝22，S △PDC ＝12，S △PBC ＝52，因此面积最大的侧面面积为52.5．“x <2”是“2x <1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由2x <1得x <0，因为“x <2”是“x <0”的必要不充分条件，所以“x <2”是“2x <1”的必要不充分条件． 6．函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＋2sin x 的图象大致为( )答案 C解析 由1－x1＋x >0，得f (x )的定义域为(－1,1)，f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＋2sin(－x )＝－ln 1－x1＋x －2sin x ＝－f (x )，∴f (x )为定义在(－1,1)上的奇函数，可排除A 和B ，又f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＋2sin x ，x ∈(－1,1)， 当x →1时，f (x )→－∞，可排除D.7．已知0<a <12，随机变量ξ的分布列如下：当a 增大时( ) A ．E (ξ)增大，D (ξ)增大 B ．E (ξ)减小，D (ξ)增大 C ．E (ξ)增大，D (ξ)减小 D ．E (ξ)减小 ，D (ξ)减小答案 B解析 由题意得，E (ξ)＝－a ＋12，D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫－a ＋12＋12×a ＋⎝⎛⎭⎫－a ＋122×⎝⎛⎭⎫12－a ＋⎝⎛⎭⎫－a ＋12－12×12＝－a 2＋2a ＋14，又∵0<a <12， ∴故当a 增大时，E (ξ)减小，D (ξ)增大．8.如图，已知三棱锥D －ABC ，记二面角C －AB －D 的平面角是θ，直线DA 与平面ABC 所成的角是θ1，直线DA 与BC 所成的角是θ2，则( )A ．θ≥θ1B ．θ≤θ1C ．θ≥θ2D ．θ≤θ2答案 A解析 若θ>π2，则θ>θ1，θ>θ2；若θ≤π2，如图所示，设D 在平面ABC 的投影为M ，过M 作MN ⊥AB ，垂足为N ，连接DN ，AM ，∴sin θ＝DM DN ，sin θ1＝DMDA ，∵DA ≥DN ，∴sin θ1≤sin θ，∴θ1≤θ，而θ与θ2的大小关系是不确定的，故选A.9．已知|AB →|＝1，|BC →|＋|CA →|＝2，则CA →与CB →夹角的余弦值的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤－1，12 B.⎣⎡⎦⎤－12，12 C.⎣⎡⎦⎤12，1 D.⎣⎡⎦⎤－12，1 答案 C解析 易知BC →＋CA →＝BA →，所以BC →2＋CA →2＋2BC →·CA →＝1.设向量CA →与CB →的夹角为θ，|BC →|＝x ，则|CA →|＝2－x ，所以cos θ＝－2x 2－4x ＋32x 2－4x ＝－1－32(x －1)2－2，因为|BA →|＝|BC →＋CA →|≥||BC →|－|CA →||，所以|2x －2|≤1，所以12≤x ≤32，所以12≤cos θ≤1.故选C.10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ，x >0，ax ，x ≤0，若方程f (－x )＝－f (x )有五个不同的实数根，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，1e C ．(－∞，0) D ．(0,1)答案 B解析 设g (x )＝－f (－x )，则y ＝g (x )的图象与y ＝f (x )的图象关于原点对称，方程f (－x )＝－f (x )有五个不同的实数根等价于函数y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有5个交点， 由图象可知(图略)，只需y ＝ax 与曲线y ＝ln x 在第一象限有两个交点即可， 设过原点的直线与y ＝ln x 切于点P (x 0，y 0)， 由f ′(x )＝1x，则y ＝ln x 的切线为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，又此直线过点(0,0)， 所以ln x 0＝1， 所以x 0＝e ， 即f ′(e)＝1e，即过原点的与y ＝ln x 相切的直线方程为y ＝1e x ，即所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，1e .二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．复数z 满足z ·(1－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则|z |＝________，复数z 的共轭复数z ＝________. 答案522 72＋12i 解析 由z ·(1－i)＝3－4i ，得z ＝3－4i 1－i ＝(3－4i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝72－12i ，故|z |＝494＋14＝522，z ＝72＋12i. 12．已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直，则m 的值为________．动直线l: mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________． 答案 0或2 27解析 由两直线垂直的充要条件得m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0，∴m ＝0或m ＝2；圆的半径为3，当圆心(1,0)到直线的距离最长即d ＝(1－0)2＋[0－(－1)]2＝2时弦长最短，此时弦长为232－(2)2＝27.13．(1－2x )5展开式中x 3的系数为________；所有项的系数和为________． 答案 －80 －1解析 因为T k ＋1＝C k 5(－2)k x k ，令k ＝3，T 4＝－80x 3，所以x 3的系数为－80，设(1－2x )5 ＝a 0＋a 1x ＋…＋a 5x 5， 令x ＝1，则a 0＋a 1＋…＋a 5＝－1 ， 所以所有项的系数和为－1.14．在△ABC 中，若b ＝2，A ＝120°，三角形的面积S ＝3，则c ＝________；三角形外接圆的半径为________． 答案 2 2解析 S ＝3＝12×2c sin 120°，解得c ＝2.∴a 2＝22＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 解得a ＝23， ∴2R ＝a sin A ＝2332＝4，解得R ＝2.15．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右两焦点为F 1，F 2，△ABC 为椭圆的内接三角形，已知A ⎝⎛⎭⎫23，263，且满足F 2A →＋F 2B →＋F 2C →＝0，则直线BC 的方程为_______________． 答案 146x －32y －276＝0解析 由F 2A →＋F 2B →＋F 2C →＝0知点F 2为△ABC 的重心， 设D (x 0，y 0)为BC 的中点， 则AF 2→＝2F 2D →，所以⎩⎨⎧1－23＝2(x 0－1)，0－263＝2y 0，解得⎩⎨⎧x 0＝76，y 0＝－63，即D ⎝⎛⎭⎫76，－63.设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1， ①x 224＋y223＝1， ②①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)4＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)3＝0，即y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－34，因为y 1＋y 2＝2y 0＝－263，x 1＋x 2＝2x 0＝73，所以直线BC 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝7616，所以直线BC 的方程为y ＋63＝7616⎝⎛⎭⎫x －76， 即146x －32y －276＝0.16．已知函数f (x )＝x ＋bx ＋c 有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1，x 2∈(0,2)，则b 2＋2bc ＋4b 的取值范围是__________________． 答案 (0,1)解析 函数f (x )＝x ＋bx ＋c 有两个不同的零点x 1，x 2∈(0,2)，等价于函数g (x )＝x 2＋cx ＋b (x ≠0)有两个不同的零点x 1，x 2∈(0,2)，则g (x )＝(x －x 1)(x －x 2)，所以x 1x 2＝b ，x 1＋x 2＝－c ，则b 2＋2bc ＋4b ＝b (b ＋2c ＋4)＝x 1x 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝x 1x 2(2－x 1)(2－x 2)＝x 1(2－x 1)·x 2(2－x 2)≤⎝⎛⎭⎫x 1＋2－x 122·⎝⎛⎭⎫x 2＋2－x 222＝1，“＝”成立的条件是x 1＝x 2＝1.因为x 1≠x 2，所以“＝”取不到．又因为x 1，x 2∈(0,2)，所以2－x 1∈(0,2)，2－x 2∈(0,2)，所以x 1x 2(2－x 1)(2－x 2)>0，所以b 2＋2bc ＋4b 的取值范围是(0,1)．17．在平面四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，AD ＝CD ＝2，∠DAB ＝∠DCB ＝90°，点P 为AD 的中点，M ，N 分别在线段BD ，BC 上，则PM ＋22MN 的最小值为________． 答案 1解析 由题意得BD ＝AD 2＋AB 2＝3，cos ∠ADB ＝63. 设DM ＝t (0<t ≤3)，则在△PDM 中，由余弦定理得 PM ＝PD 2＋DM 2－2PD ·DM cos ∠ADB ＝⎝⎛⎭⎫t －332＋16. 当MN ⊥BC 时，MN 取得最小值为BM ·CD BD ＝32－6t3，则PM ＋22MN ＝⎝⎛⎭⎫t －332＋16－33t ＋1， 设y ＝⎝⎛⎭⎫t －332＋16－33t ＋1， 则23t 2－233yt ＋12－(y －1)2＝0， 将其看作是关于t 的一元二次方程，则Δ＝43y 2－83⎣⎡⎦⎤12－(y －1)2≥0， 解得y ≥1或y ≤13.过点P 作PM ′⊥BD ，故易得 PM ≥PM ′＝PD ·AB BD ＝66>13，所以y >13，则y ≤13舍去，即y ≥1，当y ＝1时，t ＝32， 所以PM ＋22MN 的最小值为1. 三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x ＋2cos 2x －1 . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥m 恒成立，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2sin(π－x )cos x ＋2cos 2x －1 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以最小正周期T ＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4 ，所以2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2 ， 2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，34π， 所以当2x ＋π4＝－π4 ，即x ＝－π4时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 有最小值－22 ，所以f (x )有最小值－1， 因为当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，f (x )≥m 恒成立，所以m ≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]．19.(15分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．(1)求证：A 1C ∥平面ADB 1；(2)若AB ＝AA 1＝2，求直线A 1D 与平面ADB 1所成角的正弦值． 解 (1)连接A 1B (图略)，记AB 1∩A 1B ＝E ，连接DE ， 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，易知侧面ABB 1A 1为矩形，所以E 是A 1B 的中点，又D 为BC 的中点，所以A 1C ∥DE ， 又A 1C ⊄平面ADB 1，DE ⊂平面ADB 1， 所以A 1C ∥平面ADB 1.(2)方法一 因为AB ＝AC ＝AA 1＝2，△ABC 为等腰直角三角形， 所以BC ＝AB 2＋AC 2＝2，所BD ＝BC2＝1.在Rt △B 1BD 中，tan ∠BDB 1＝BB 1BD＝2，连接BC 1，在Rt △B 1BC 1中，tan ∠B 1BC 1＝B 1C 1BB 1＝2，所以∠BDB 1＝∠B 1BC 1.又∠BB 1D ＋∠BDB 1＝π2，所以∠BB 1D ＋∠B 1BC 1＝π2，所以BC 1⊥B 1D .因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以B 1B ⊥AD . 又B 1B ∩BC ＝B ，所以AD ⊥平面B 1BCC 1，又BC 1⊂平面B 1BCC 1，所以AD ⊥BC 1. 因为AD ∩B 1D ＝D ，所以BC 1⊥平面AB 1D .取CC 1的中点F ，连接DF ，A 1F ，则DF ∥BC 1，DF ⊥平面ADB 1，则∠A 1DF 为直线A 1D 与平面ADB 1所成角的余角，设直线A 1D 与平面ADB 1所成的角为θ，则θ＝π2－∠A 1DF .在△A 1DF 中，易知A 1D ＝AA 21＋AD 2＝3，A 1F ＝A 1C 21＋C 1F 2＝102， DF ＝DC 2＋CF 2＝62， 所以cos ∠A 1DF ＝A 1D 2＋DF 2－A 1F 22A 1D ×DF ＝23，故sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－∠A 1DF ＝cos ∠A 1DF ＝23， 所以直线A 1D 与平面ADB 1所成角的正弦值为23. 方法二 因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC ，又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1B ⊥平面ABC ，所以可以DA ，DC 所在直线，过点D 且平行于B 1B 的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB ＝AC ＝AA 1＝2，△ABC 为等腰直角三角形，所以A (1,0,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0，2)，B 1(0，－1，2)，故A 1D →＝(－1,0，－2)，AD →＝(－1,0,0)，B 1D →＝(0,1，－2)，设平面ADB 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AD →＝0，n ·B 1D →＝0，即⎩⎨⎧－x ＝0，y －2z ＝0， 令z ＝1，得y ＝2，则n ＝(0，2，1)为平面ADB 1的一个法向量，设直线A 1D 与平面ADB 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，A 1D →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·A 1D →|n |·|A 1D →|＝23， 故直线A 1D 与平面ADB 1所成角的正弦值为23. 20．(15分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝－a n ＋n (n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列； (2)求数列{a n －1}的前n 项和T n .(1)证明 2S n ＝－a n ＋n ，当n ≥2时，2S n －1＝－a n －1＋n －1，两式相减，得2a n ＝－a n ＋a n －1＋1，即a n ＝13a n －1＋13. ∴a n －12＝13⎝⎛⎭⎫a n －1－12， 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12为等比数列． (2)解 由2S 1＝－a 1＋1，得a 1＝13.由(1)知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以－16为首项，13为公比的等比数列． 所以a n －12＝－16⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12⎝⎛⎭⎫13n ， ∴a n ＝－12⎝⎛⎭⎫13n ＋12(n ∈N *)， ∴a n －1＝－12⎝⎛⎭⎫13n －12，∴T n ＝－16⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－n 2＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1－n 2(n ∈N *)． 21．(15分)已知抛物线E ：y 2＝8x ，直线l ：y ＝kx －4.(1)若直线l 与抛物线E 相切，求直线l 的方程；(2)设Q (4,0)，直线l 与抛物线E 交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若存在点C ，满足AC ⊥QC ，且线段OC 与AB 互相平分(O 为原点)，求x 2的取值范围．解 (1)方法一 当k ＝0时，直线与抛物线不相切，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝8x 得k 2x 2－8(k ＋1)x ＋16＝0， 由k 2≠0及Δ＝64(k ＋1)2－64k 2＝0，得k ＝－12， 所以，所求的直线l 的方程为x ＋2y ＋8＝0.方法二 直线l 恒过点(0，－4)，由y 2＝8x ，得y ＝±8x ，设切点为(x 0，y 0)，由题意得，直线与抛物线在x 轴下方的图象相切，则y ＝－8x ，所以y ′|0x x ＝＝－2x 0 ， 所以切线方程为y ＋8x 0＝－2x 0(x －x 0)， 将坐标(0，－4)代入得x 0＝8，即切点为(8，－8)，再将该点代入y ＝kx －4得，k ＝－12， 所以所求的直线l 的方程为x ＋2y ＋8＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，y 2＝8x 得k 2x 2－8(k ＋1)x ＋16＝0，且k ≠0， 因为Δ＝64(k ＋1)2－64k 2>0，且k ≠0， 所以k >－12，且k ≠0， 所以x 1＋x 2＝8(k ＋1)k 2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－8＝8k， 因为线段OC 与AB 互相平分，所以四边形OACB 为平行四边形．所以OC →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2，8k ，即C ⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2，8k .因为AC ⊥QC,方法一 所以k AC ·k QC ＝－1，又k QC ＝8k 8(k ＋1)k 2－4＝2k 2(k ＋1)－k 2， 又k AC ＝k OB ＝y 2x 2＝k －4x 2， 所以2k 2(k ＋1)－k 2·⎝⎛⎭⎫k －4x 2＝－1， 所以8x 2＝k ＋2k＋2， 所以若k >0，则8x 2≥22＋2＝2(2＋1)， 当且仅当k ＝2时取等号，此时0<x 2≤4(2－1)，若－12<k <0，由于k ＝－12时，k ＋2k ＋2＝－52， 所以8x 2<－52，即x 2<－165(舍去)， 综上所述，x 2的取值范围是(0,4(2－1)]．方法二 所以QC →·AC →＝0，又QC →＝⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2－4，8k ， AC →＝OB →＝(x 2，y 2)＝(x 2，kx 2－4)，所以QC →·AC →＝⎝⎛⎭⎫8(k ＋1)k 2－4x 2＋8k (kx 2－4)＝0， 即8x 2＝k ＋2k＋2， 所以若k >0，则8x 2≥22＋2＝2(2＋1)， 当且仅当k ＝2时取等号，此时0<x 2≤4(2－1)，若－12<k <0，由于k ＝－12时，k ＋2k ＋2＝－52， 所以8x 2<－52，即x 2<－165(舍去)． 综上所述，x 2的取值范围是(0,4(2－1)]．22．(15分)已知函数f (x )＝a e 2x －a e x －x e x (a ≥0，e ＝2.718…，e 为自然对数的底数)，若f (x )≥0对于x ∈R 恒成立．(1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )存在唯一极大值点x 0，且ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14. (1)解 由f (x )＝e x (a e x －a －x )≥0对于x ∈R 恒成立，设函数g (x )＝a e x －a －x ，可得g (x )＝a e x －a －x ≥0对于x ∈R 恒成立，∵g (0)＝0，∴g (x )≥g (0)，从而x ＝0是g (x )的一个极小值点，∵g ′(x )＝a e x －1，∴g ′(0)＝a －1＝0，即a ＝1.当a ＝1时，g (x )＝e x －1－x ，g ′(x )＝e x －1，∵x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0，g (x )在(－∞，0)上单调递减，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴g (x )≥g (0)＝0，即f (x )≥0，∴a ＝1.(2)证明 当a ＝1时，f (x )＝e 2x －e x －x e x ，f ′(x )＝e x (2e x －x －2)．令h (x )＝2e x －x －2，则h ′(x )＝2e x －1，∴当x ∈(－∞，－ln 2)时，h ′(x )<0，h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数；当x ∈(－ln 2，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )在(－ln 2，＋∞)上为增函数，且h (0)＝0，∵h (－1)<0，h (－2)>0，∴在(－2，－1)上存在x ＝x 0满足h (x 0)＝0，∵h (x )在(－∞，－ln 2)上为减函数，∴当x ∈(－∞，x 0)时，h (x )>0，即f ′(x )>0，f (x )在(－∞，x 0)上为增函数，当x ∈(x 0，－ln 2)时，h (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )在(x 0，－ln 2)上为减函数，当x ∈(－ln 2,0)时，h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<0，f (x )在(－ln 2,0)上为减函数，当x ∈(0，＋∞)时，h (x )>h (0)＝0，即f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴f (x )在(－ln 2，＋∞)上只有一个极小值点0，综上可知，f (x )存在唯一的极大值点x 0， 且x 0∈(－2，－1)．∵h (x 0)＝0，∴20e x －x 0－2＝0， ∴f (x 0)＝002ee x x －－x 00e x ＝⎝⎛⎭⎫x 0＋222－⎝⎛⎭⎫x 0＋22(x 0＋1)＝－x 20＋2x 04，x 0∈(－2，－1)， ∵当x ∈(－2，－1)时，－x 2＋2x 4<14， ∴f (x 0)<14； ∵ln 12e∈(－2，－1)， ∴f (x 0)≥f ⎝⎛⎭⎫ln 12e ＝ln 22e ＋14e 2；综上知ln 22e ＋14e 2≤f (x 0)<14.。
2020年浙江省高考数学试卷(含答案解析)
2020年浙江省高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合P ={|14}<<x x ，{|23}Q x x =<<，则P Q =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|23}x x << C ．{|34}x x ≤<D ．{|14}<<x x2．已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A ．1B ．–1C ．2D ．–23．若实数x ，y 满足约束条件31030x y x y -+≤⎧⎨+-≥⎩，则z =x +2y 的取值范围是（ ）A ．(,4]-∞B ．[4,)+∞C ．[5,)+∞D ．(,)-∞+∞4．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．5．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．73B ．143C ．3D ．66．已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，11a d≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．．成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6B ．2b 4=b 2+b 6C ．2428a a a =D ．2428b b b =8．已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y =|OP |=（ ）A ．2B C D9．已知a ，b ∈R 且ab ≠0，对于任意x ≥0 均有(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0，则（ ） A ．a <0B ．a >0C ．b <0D ．b >010．设集合S ，T ，S ⊆N *，T ⊆N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x <y ，则yx∈S ； 下列命题正确的是（ ）A ．若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素B ．若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素C ．若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素D ．若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素二、填空题11．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭就是二阶等差数列，数列(1)2n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭(N )n *∈ 的前3项和是________．12．已知圆锥的侧面积（单位：2cm ） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．13．设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．三、双空题14．设52345123456(12)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则5a =________；123a a a ++=________．15．已知tan 2θ=，则cos 2θ=________；πtan()4θ-=______． 16．设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．17．盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个，不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ，则(0)ξ==P _______；()E ξ=______．四、解答题18．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且2sin 0b A =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．19．如图，三棱台ABC —DEF 中，平面ACFD ⊥平面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．20．已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+．*()n N ∈ 21．如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．（Ⅰ）若116=p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．22．已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：（ⅰ0x ≤≤ （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．参考答案1．B 【分析】根据集合交集定义求解. 【详解】(1,4)(2,3)(2,3)P Q ==故选：B 【点睛】本题考查交集概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．C 【分析】根据复数为实数列式求解即可. 【详解】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，， 故选：C 【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．B 【分析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定目标函数在何处能够取得最大值和最小值从而确定目标函数的取值范围即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：1122y x z =-+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：31030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，可得点A 的坐标为：()2,1A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+⨯= 且目标函数没有最大值.故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B. 【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 4．A 【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-，即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 5．A 【分析】根据三视图还原原图，然后根据柱体和锥体体积计算公式，计算出几何体的体积. 【详解】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1， 棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2， 所以几何体的体积为：11117211212232233⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题. 6．B 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的结果判断充分必要条件. 【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面.综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理1和公理2的运用，属于中档题. 7．D 【分析】根据题意可得，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，而1212b S a a ==+，即可表示出题中2468,,,b b b b ，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．【详解】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+， ∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；对于C ，()()()()2224281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，当1a d =时，2428a a a =，C 正确； 对于D ，()()22222478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即24280b b b ->；当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以24280b b b ->，D 不正确． 故选：D. 【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题． 8．D 【分析】根据题意可知，点P 既在双曲线的一支上，又在函数y =的图象上，即可求出点P 的坐标，得到OP 的值． 【详解】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413b c a =-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P还在函数y =的图象上，所以，由()22103y x x y ⎧⎪⎨->==⎪⎩，解得2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即OP ==故选：D. 【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题． 9．C 【分析】对a 分0a >与0a <两种情况讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案. 【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()f x 的零点 为123,,2x a x b x a b ===+当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 10．A 【分析】分别给出具体的集合S 和集合T ，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】 首先利用排除法：若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8ST =，包含4个元素，排除选项 C ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S T =，包含5个元素，排除选项D ；若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排除选项B ； 下面来说明选项A 的正确性：设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*1234,,,p p p p N ∈，则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则41p S p ∈， 同理42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21p S p ∈， 若11p =，则22p ≥，则332p p p <，故322p p p =即232p p =， 又444231p p p p p >>>，故442232p p p p p ==，所以342p p =， 故{}232221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故42p S ∈，矛盾，舍.若12p ≥，则32311p p p p p <<，故322111,p p p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >>>>，故441331p p p p p ==，所以441p p =， 故{}2341111,,,S p p p p =，此时{}3456711111,,,,p p p p p T ⊆.若q T ∈， 则31q S p ∈，故131,1,2,3,4i q p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{}3456711111,,,,q p p p p p ∈，故{}3456711111,,,,p p p p p T =， 此时{}234456711111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ⋃=即ST 中有7个元素.故A 正确. 故选：A . 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.11．10 【分析】根据通项公式可求出数列{}n a 的前三项，即可求出． 【详解】 因为()12n n n a +=，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=． 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查利用数列的通项公式写出数列中的项并求和，属于容易题． 12．1 【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径. 【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==. 故答案为：1 【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题. 13．2829【分析】利用复数模的平方等于复数的平方化简条件得1234e e ⋅≥，再根据向量夹角公式求2cos θ函数关系式，根据函数单调性求最值. 【详解】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-⋅+≤，1234e e ∴⋅≥， 222121222121212(44)4(1)()cos (22)(106)53e e e e a b e e e e e e a bθ+⋅+⋅⋅∴===+⋅+⋅+⋅⋅12424228(1)(1)3332953534e e =-≥-=+⋅+⨯. 故答案为：2829. 【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 14．80 51 【分析】利用二项式展开式的通项公式计算即可. 【详解】5(12)x +的通项为155(2)2rr r r r r T C x C x +==， 令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；11221235512251a a a C C ++=++=.故答案为：80；51. 【点晴】本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 15．35 13【分析】利用二倍角余弦公式以及弦化切得cos 2θ，根据两角差正切公式得tan()4πθ-【详解】2222222222cos sin 1tan 123cos 2cos sin cos sin 1tan 125θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211tan()41tan 123πθθθ---===++，故答案为：31,53-【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.16．3 3- 【分析】由直线与两圆相切建立关于k ，b 的方程组，解方程组即可. 【详解】设221:1C x y +=，222:(4)1C x y -+=，由题意，12,C C 到直线的距离等于半径，即1=1=，所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-，解得k b ==.【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 17．131 【分析】先确定0ξ=对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果. 【详解】因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，所以1111(0)4433P ξ==+⨯=， 随机变量0,1,2ξ=，212111211(1)434324323P ξ==⨯+⨯⨯+⨯⨯=，111(2)1333P ξ==--=，所以111()0121333E ξ=⨯+⨯+⨯=.故答案为：1;13.【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.18．（I ）3B π=；（II ）32⎤⎥⎝⎦【分析】（I ）首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定∠B 的大小； （II ）结合(1)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有∠A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定∠A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围.【详解】（I ）由2sin b A =结合正弦定理可得：2sin sin ,sin 2B A A B =∴= △ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）结合(1)的结论有：12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭11cos cos 22A A A =-+11cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则sin 3A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，13sin 232A π⎤⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是13,22⎛⎤⎥ ⎝⎦.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值. 19．（I ）证明见解析；（II） 【分析】（I ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ，由题意可知DH ⊥平面ABC ，即有DH BC ⊥，根据勾股定理可证得BC BH ⊥，又//EF BC ，可得DH EF ⊥，BH EF ⊥，即得EF ⊥平面BHD ，即证得EF DB ⊥；（II ）由//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为CH 与平面DBC 所成角，作HG BD ⊥于G ，连接CG ，即可知HCG ∠即为所求角，再解三角形即可求出DF 与平面DBC 所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ． ∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC平面ABC AC =，DH ⊂平面ADFC ，∴DH ⊥平面ABC ，而BC ⊂平面ABC ，即有DH BC ⊥． ∵45ACB ACD ∠=∠=︒，∴2CD BC CH ==⇒=．在CBH 中，22222cos 45BH CH BC CH BC BC =+-⋅︒=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥．由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BHDH H =，∴EF ⊥平面BHD ，而BD ⊂平面BHD ，∴EF DB ⊥．（Ⅱ）因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角． 作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ， 因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD平面BHD BD =，HG ⊂平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角．在Rt HGC △中，设BC a =，则CH =，BH DH HG BD ⋅===，∴sinHG HCG CH ∠===．故DF 与平面DBC 所成角的正弦值为3．【点睛】本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成的角的求法，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于基础题．20．（I ）1142,.23n n q a -+==；（II ）证明见解析. 【分析】（I ）根据1236b b b +=，求得q ，进而求得数列{}n c 的通项公式，利用累加法求得数列{}n a 的通项公式.（II ）利用累乘法求得数列{}n c 的表达式，结合裂项求和法证得不等式成立. 【详解】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即216q q +=，由于0q >，所以解得12q =，所以112n n b -=. 所以2112n n b ++=，故11112412n n n n n c c c -++=⋅=⋅，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=.所以114n n n n a a c -+==-（*2,n n N ≥∈）.所以121421443n n n a a --+=+++⋅⋅⋅+=，又1n =，11a =符合， 故1423-+=n n a . （II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12n n n n c bc b ++=， 所以111n n n n c b c b --+=()*2,n n N ≥∈， 故13211221n n n n n c c c c c c c c c c ---=⋅⋅⋅⋅⋅1232111143n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=⋅⋅⋅⋅⋅ ()1211111111112n n n n n n b b d n b b d b b d b b +++⎛⎫⎛⎫+⎛⎫==-=+-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 又11c =，而()1212111111=111d dd d d b b db b d d ⎛⎫++⎛⎫+-⨯=⨯= ⎪ ⎪⨯+⎝⎭⎝⎭， 故()111111n n nc nd b b +⎛⎫⎛⎫=+-≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以121223*********n nn c c c d b b b b b b +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111n d b +⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111111n d b d +⎛⎫⎛⎫+-<+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 即1211n c c c d++⋯+<+， *n N ∈.【点睛】本小题主要考查累加法、累乘法求数列的通项公式，考查裂项求和法，属于中档题. 21．（Ⅰ）1(,0)32；（Ⅱ【详解】 （Ⅰ）当116=p 时，2C 的方程为218y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,:A x y B x y M x y I x y m λ=+，由()22222222220x y y my m x y mλλλ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩， 1200022222,,222m m my y y x y m λλλλλλ--∴+===+=+++， 由M 在抛物线上，所以()222222244222m pm mp λλλλλ=⇒=+++， 又22222()220y pxy p y m y p y pm x y m λλλ⎧=⇒=+⇒--=⎨=+⎩， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，2122222mx p m λλ∴=+-+.由2222142,?22x y x px y px ⎧+=⎪⇒+=⎨⎪=⎩即2420x px +-=12x p ⇒==-222221822228162p p p m p p p λλλλλ+⇒-=+⋅=++≥+，18p ≥，21160p ≤，p ≤ 所以，p，此时A .法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得：()2222220m y mty t +++-=，所以点M 的纵坐标为22M mty m =-+.将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2220y pmy pt --=， 所以02M y y pt =-，解得()2022p m y m+=，因此()220222p m xm+=，由220012x y +=解得22212242160m m p m m ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当5m t ==时，p 取到最大值为40. 【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数学运算能力，是一道有一定难度的题.22．（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析. 【分析】（I ）先利用导数研究函数单调性，再结合零点存在定理证明结论；（II ）（i ）先根据零点化简不等式，转化求两个不等式恒成立，构造差函数，利用导数求其单调性，根据单调性确定最值，即可证得不等式；（ii ）先根据零点条件转化：0000()()xx f e x f x a =+，再根据12a <≤放缩，转化为证明不等式224(2)(1)(1)a e e a -≥--，最后构造差函数，利用导数进行证明. 【详解】 （I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点； （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)x xx e x x e x ≤≤--≤≤--， 令22()1(02),()1(02),2x x x g x e x x x h x e x x =---<<=---<< 一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->， ()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->， 另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x 成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=，当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>，所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x x e x x e x x ∴--≤≤--≤（ii ）0000000()()()[(1)(2)]x a a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤≤0()1(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)a e e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(12)(1)(1)a a e e a --≥--，即只需证明224(2)(1)(1)a e e a -≥--，令22()4(2)(1)(1),(12)a s a e e a a =----<≤，则22()8(2)(1)8(2)(1)0a a s a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e(e 1)(1)x f a a ≥--. 【点睛】本题考查利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式，考查综合分析论证与求解能力描述难题.。
2020年浙江省高考数学试卷(解析版)
1 3
1 2
2
1
1
1 2
2
1
2
1 3
2
7 3
.
故选：A
【点睛】本小题主要考查根据三视图计算几何体的体积，属于基础题.
6. 已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是“m，n，l 两两相交”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
台体的体积公式V
1 3 (S1
S1S2 S2 )h
其中 S1, S2 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体的高
柱体的体积公式V Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高 锥体的体积公式V 1 Sh
3 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高 球的表面积公式
S 4 R2
【合等差数列的性质即可判断各等式是否成立． 【详解】对于 A，因为数列 an 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由 4 4 2 6 可得， 2a4 a2 a6 ，A 正确； 对于 B，由题意可知， bn1 S2n2 S2n a2n1 a2n2 ， b1 S2 a1 a2 ， ∴ b2 a3 a4 ， b4 a7 a8 ， b6 a11 a12 ， b8 a15 a16 ． ∴ 2b4 2 a7 a8 ， b2 b6 a3 a4 a11 a12 ． 根据等差数列的下标和性质，由 3 11 7 7, 4 12 8 8 可得 b2 b6 a3 a4 a11 a12 =2a7 a8 =2b4 ，B 正确； 对于 C， a42 a2a8 a1 3d 2 a1 d a1 7d 2d 2 2a1d 2d d a1 ，
2020年浙江卷数学模拟试卷高考数学
1
3 x－
11. 若
x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为 64，则 n
＝____________；该展开式中的常数项是____________．
12. 函 数 f(x)= 2 3 sinxcos x- 2cos2x(x ∈ R) 的 最 小 正 周 期 是
________，最小值是________.
Z 数学高考模拟卷
4
15.
已知实数
a≥1，b≥1，且
a2－a＝b－b2，则
b2 a2 M＝ ＋ 的最大值
22
ab
是________．
16.设点 P 是△ABC 所在平面内一动点，满足C→P＝λC→A＋μC→B，3λ＋
4μ＝2(λ，μ∈R)，|P→A|＝|P→B|＝|P→C|.若|A→B |＝3，则△ABC 面积
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）
数学
姓名：____________
准考证号：________________
本试题卷分选择题和非选择题两部分，满分 150 分，考试时间 120 分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分
别填写在试题卷和答题纸规定位置上。
，且
，数列
的前 项和为 .
.
21. 已知平面上一动点 P 到定点 C(1,0)的距离与它到直线 l：x＝4 的距离之比 1
为. 2
(1)求点 P 的轨迹方程； (2)点 O 是坐标原点，A，B 两点在点 P 的轨迹上，F 是点 C 关于原点的对称点， 若F→A＝λB→F，求λ的取值范围．
22.已知函数 f(x)＝kex(x－1)－1x2，k∈R. 2
浙江省2020年高考数学模拟题分项汇编 7 不等式( 原卷版)
第七章.不等式高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式、基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查，五年五考；二是涉及简单线性规划问题，五年五次独立考查.对简单线性规划的考查角度有两种：一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围等．题型为选择题或填空题，近两年主要考查截距型目标函数的最值问题，且目标函数中自变量的系数均为正数，属于教科书中同类问题的最低要求．一.选择题1.(2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考)已知实数,x y 满足1,20,1,x y x y y +≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则y x 的最小值为( ) A ．3-B ．3C ．13-D ．132.(2020届浙江省五校高三上学期联考)定义{}max ,a a ba b b a b≥⎧=⎨<⎩，则关于实数,x y 的不等式组{}22max ,0x y x y x y ⎧≤⎪≤⎨⎪+-≥⎩所表示的平面区域的面积是( ) A ．4B ．6C ．8D ．123.(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联考)若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则x y -的最大值等于( )A ．2B ．1C ．-2D ．-44．(2020届浙江学军中学高三上期中中) 若x,y 满足约束条件x 0x+y-30z 2x-2y 0x y ≥⎧⎪≥=+⎨⎪≤⎩，则的取值范围是( ) A ．[0,6]B ．[0,4]C ．[6, +∞）D ．[4, +∞）5．(2020届浙江学军中学高三上期中)若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是( ) A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞6．(2020届浙江湖州、衢州、丽水三地市高三上期中)已知实数,x y 满足236020,0x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩则22x y +的最小值是( ) AB ．2C ．4D ．87．(2020届浙江省温州市11月适应测试)设实数x ，y 满足不等式组0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为( ) A ．0B ．2C ．4D ．68.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值和最小值之和为( ) A ．2B ．92C ．132D ．99.(2020届浙江省五校高三上学期联考)已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是( )A．⎛-∞ ⎝⎭B ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C．⎫∞⎪⎪⎝⎭D ．4,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭10.(2019年9月浙江省嘉兴市高三测试)已知,x y 满足条件020x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．2B ．3C ．4D ．511.(2019·河北辛集中学高三期中(文))已知点(,)x y 满足1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的范围为( )A ．(1,2)-B ．(4,2)-C ．(2,1)-D ．(2,4)- 12．(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)设函数，若不等式对任意实数恒成立，则的取值集合是( )A ．B ．C ．D ．13．(2020届浙江省高三上学期百校联考)若x ，y 满足约束条件1020220x y x y +⎧⎪-⎨⎪--⎩…„„，则x y +的最大值是( )A ．-5B ．1C ．2D ．414.(2019年10月浙江省金丽衢十二校零模)若实数x ，y 满足约束条件22022x y x y y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩，则x y -的最大值等于( ) A ．2B ．1C ．-2D ．-415.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知正实数,a b 满足1a b +=，则11b a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值是( ) A ．112B ．5C ．222+D ．3216.(2019年9月浙江省超级全能生高三第一次联考)若实数x y ，满足约束条件2032402340x y x y x y ++≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，，，则2z x y =+的最大值为()A ．-2B ．12C ．-4D ．817.(浙江省宁波市宁波十校2020届高三11月联考)已知实数,x y 满足不等式组25032701x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，若,()z kx y k R =-∈的最大值为8，则z 的最小值为( )A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．118.(2020届浙江省名校新高考研究联盟(Z20联盟)高三上学期第一次联考)已知实数,x y 满足312(1)x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，则2z x y =+的最大值为( ) A ．11B ．10C ．6D ．419．(2019·9月浙江省丽水四校高三联考)若整数x ，y 满足不等式组021003530x y x y x y ⎧-≥⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x ＋y 的最大值是( ) A ．11B ．23C ．26D ．3020.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是( ) A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，21．(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知1a >，且函数()2224f x x x a x x a =-++-+．若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[]4,25 B ．(]1,25C ．(]1,16D ．[]4,16二.填空题22.(2020届浙江省台州五校高三上学期联考)已知，，则的最大值是_______.23.(2020届浙江省五校高三上学期联考)不等式1231122xx --⎛⎫< ⎪⎝⎭的解集是______；不等式()212log 31log 4x -<的解集是______.24.(2020届浙江学军中学高三上期中中)已知,x y R ∈且221x y xy ++=，则x y xy ++的最小值为__________．25．(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的取值范围是___________．26.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)设a ，b 是关于x 的一元二次方程2260x mx m -++=的两个实根，则()()2211a b -+-的最小值是___________．27.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)若实数x y ，满足101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则32x y -的最小值是________，y 的最大值是________.28.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)若实数(),x y 满足约束条件20201x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2x y -的最小值为_____ ；______．29.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期中)已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________，4a 的最大值为__________．30.(2020届上海曹杨二中高三期中)已知实数,a b 满足：2224b a -=，则2a b -的最小值为______. 三、解答题31.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期中)已知函数()|22||1|3f x x x =++-+. (1)解不等式()6f x <；(2)若对R x ∈，不等式()f x λ≥恒成立，求实数λ的最大值； (3)若对R ，不等式2()1f x kx ≤+恒成立，求实数k 的取值范围.32.(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学考)已知命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<，命题:q实数x 满足|3|1x -<．(1)若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；(2)若0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．33.(2020届浙江省杭州地区(含周边)重点中学高三上期中)设:|1|2p x x -≤，2:(31)30q x m x m ---<.(Ⅰ)解不等式：|1|2x x -≤；(Ⅱ)若p 是q 成立的必要不充分条件，求m 的取值范围.。
浙江专用2020版高考数学模拟试卷(含两套,解析版)
浙江高考仿真卷(一)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．若集合A ＝{}x | x 2<1，B ＝{}x | 0<x <2，则A ∪B 等于( )A.{}x | 0<x <1B.{}x | －1<x <0C.{}x | 1<x <2D.{}x | －1<x <2答案 D解析 ∵集合A ＝{}x | x 2<1＝{}x | －1<x <1，B ＝{}x | 0<x <2，∴A ∪B ＝{}x | －1<x <2.2．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于( )A.255B.45C.25D.455答案 A解析 双曲线x 24－y 2＝1的顶点为()±2，0.渐近线方程为y ＝±12x . 双曲线x 24－y 2＝1的顶点到渐近线的距离等于11＋14＝255.3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，3x ＋y ≤3，y ≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值是( )A ．0B ．1C ．5D ．6 答案 D解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示：由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋12z ，平移直线y ＝－12x ＋12z ，由图象可知，当直线y ＝－12x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－12x ＋12z 在y 轴上的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，3x ＋y ＝3，得A (0,3)， 此时z 的最大值为z ＝0＋2×3＝6.4．已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是一个边长为2的正方形，则该几何体的表面积为( )A.223 B ．20 C ．20＋ 6 D ．20＋10答案 C解析 该几何体是棱长为2的正方体削去一个角后得到的几何体(如图)，其表面积为S ＝3×2×2＋2×(1＋2)×22＋12×2×2＋12×22×3＝20＋ 6.5．设x ∈R ，则x 3<1是x 2<1的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由x 3<1，可得x <1， 由x 2<1，解得－1<x <1， 所以(－1,1)(－∞，1)，所以x 3<1是x 2<1的必要不充分条件．6．函数y＝x3＋ln(x2＋1－x)的图象大致为()答案 C解析因为f(x)的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋ln()x2＋1＋x(－x)2＋1＋x＝－x3＋ln()＝－x3－ln()x2＋1－x＝－f()x，所以f()x为奇函数，图象关于原点x2＋1＋x－1＝－x3－ln()2－1>0，所以排除A.对称，排除B，D，因为f(1)＝1＋ln()7．设随机变量X的分布列如下：则方差D(X)等于()A．0 B．1 C．2 D．3答案 B解析a＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，E(X)＝1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，故D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.3＋(3－2)2×0.4＝1.8．已知在矩形ABCD中，AD＝2AB，沿直线BD将△ABD折成△A′BD，使点A′在平面BCD上的射影在△BCD内(不含边界)．设二面角A′－BD－C的大小为θ，直线A′D, A′C 与平面BCD所成的角分别为α，β则()A．α<θ<βB．β<θ<αC．β<α<θD．α<β<θ答案 D解析如图，作A′E⊥BD于E, O是A′在平面BCD内的射影，连接OE，OD，OC，易知∠A′EO＝θ，∠A′DO＝α，∠A′CO＝β，在矩形ABCD中，作AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，由O点必落在EF上，由AD＝2AB知OE<AE<CF<CO<OD，从而tan θ>tan β>tan α，即θ>β>α.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0<x ≤2，f (4－x )，2<x <4，设方程f (x )－1e x ＝t (t ∈R )的四个不等实数根从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则下列判断中一定成立的是( ) A.x 1＋x 22＝1B ．1<x 1x 2<4C ．4<x 3x 4<9D ．0<()x 3－4()x 4－4<4答案 C解析 由题意，作出函数的图象如图所示，由图可知，0<x 1<1<x 2<2<x 3<3<x 4<4， 所以4<x 3x 4<16，又||log 2()4－x 3>||log 2()4－x 4， 得log 2()4－x 3>－log 2()4－x 4，所以log 2()4－x 3()4－x 4>0，得()4－x 3()4－x 4>1，即x 3x 4－4()x 3＋x 4＋15>0， 又x 3＋x 4>2x 3x 4，所以2x 3x 4<x 3x 4＋154， 所以()x 3x 4－3()x 3x 4－5>0，所以x 3x 4<9， 综上，4<x 3x 4<9.10．已知a ，b ，c ∈R 且a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，则ba 2＋c 2的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－55，55 B.⎝⎛⎭⎫－15，15 C ．(－2，2) D.⎝⎛⎭⎫－2，55 答案 A解析 由a ＋b ＋c ＝0，a >b >c ，得a >0，c <0，b ＝－a －c .因为a >b >c ，即a >－a －c >c ，解得－2<c a <－12.设t ＝b a 2＋c 2，则t 2＝b 2a 2＋c 2＝(－a －c )2a 2＋c 2＝1＋2ac a 2＋c 2＝1＋2c a ＋a c .令y ＝c a ＋a c ，x ＝c a ，x ∈⎝⎛⎭⎫－2，－12，则y ＝x ＋1x，由对勾函数的性质知函数在(－2，－1]上单调递增，在⎣⎡⎭⎫－1，－12上单调递减，所以y max ＝－2，y >－52，即c a ＋ac ∈⎝⎛⎦⎤－52，－2， 所以2c a ＋ac∈⎣⎡⎭⎫－1，－45， 所以t 2∈⎣⎡⎭⎫0，15. 所以t ∈⎝⎛⎭⎫－55，55. 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分) 11．二项式(1＋2x )5中，所有的二项式系数之和为_________________； 系数最大的项为________． 答案 32 80x 3,80x 4解析 所有的二项式系数之和为C 05＋C 15＋…＋C 55＝25＝32，展开式为1＋10x ＋40x 2＋80x 3＋80x 4＋32x 5，系数最大的项为80x 3和80x 4.12．圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心C 的坐标是__________，设直线l ：y ＝k (x ＋2)与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则k ＝__________. 答案 (1,2) 0或125解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－2x －4y ＝0可得(x －1)2＋(y －2)2＝5，故圆心为C (1,2)．又圆心到直线l 的距离d ＝|3k －2|1＋k 2，由弦心距、半径及半弦长之间的关系可得⎝ ⎛⎭⎪⎫|3k －2|1＋k 22＋1＝5，解得k ＝0或k ＝125.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝3，b ＝2，A ＝π3，则B＝________；S △ABC ＝_____________. 答案 π4 3＋34解析 由已知及正弦定理可得sin B ＝b sin A a ＝2×sin π33＝22， 由于0<B <π，可解得B ＝π4或B ＝3π4，因为b <a ，利用三角形中大边对大角可知B <A ， 所以B ＝π4，C ＝π－π3－π4＝5π12，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×2×sin 5π12＝3＋34.综上，B ＝π4，S △ABC ＝3＋34.14．在政治、历史、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则甲的不同的选法种数为____．乙、丙两名同学都选物理的概率是________． 答案 15949解析 由题意知同学甲只要在除物理之外的六门学科中选两门即可，故甲的不同的选法种数为C 26＝6×52＝15(种)；由题意知同学乙、丙两人除选物理之外，还要在剩下的六门学科中选两门，故乙、丙的所有不同的选法种数为m ＝C 26C 26＝6×52×6×52＝225(种)，而同学乙、丙两人从7门学科中选3门的所有选法种数为n ＝C 37C 37＝7×6×53×2×1×7×6×53×2×1＝35×35＝1 225(种)，故所求事件的概率是P ＝2251 225＝949.15．已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x (y ＋1)的最大值为________． 答案 3解析 已知正实数x ，y 满足x ＋2y ＝4，根据基本不等式得到2x ()y ＋1＝x ()2y ＋2≤x ＋2y ＋22＝3.当且仅当x ＝2y ＋2，即x ＝3，y ＝12时，等号成立． 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，则c b ＋bc 的最大值为________．答案5解析 由对任意λ∈R ，不等式|λBC →－BA →|≥|BC →|恒成立，得BC 边上的高h ≥a . 在△ABC 中，有12ah ＝12bc sin A ，即bc ＝ahsin A ，在△ABC 中，由余弦定理得 b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝a 2＋2ah cos Asin A， 则c b ＋b c ＝b 2＋c2bc ＝a 2＋2ah cos A sin A ahsin A ＝a 2sin A ＋2ah cos A ah ＝a sin A ＋2h cos A h≤h sin A ＋2h cos Ah＝sin A ＋2cos A＝5sin(A ＋φ)，其中tan φ＝2，则当A ＋φ＝π2且h ＝a 时，c b ＋bc取得最大值 5.17．等差数列{a n }满足a 21＋a 22n ＋1＝1，则a 2n ＋1＋a 23n ＋1的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52解析 设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝sin α，a 2n ＋1＝cos α⇒a 2n ＋1＝a 1＋2nd ＝cos α⇒2nd ＝cos α－sin α⇒a 2n ＋1＋a 23n ＋1＝(a 2n ＋1－nd )2 ＋(a 2n ＋1＋nd )2＝2[a 22n ＋1＋(nd )2]＝2⎣⎡⎦⎤cos 2α＋⎝⎛⎭⎫cos α－sin α22＝2cos 2α＋1－2sin αcos α2＝3＋2cos 2α－sin 2α2＝3＋5cos ()2α＋φ2⎝⎛⎭⎫其中sin φ＝15，cos φ＝25，所以所求的范围为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－52，3＋52.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝cos x ()sin x －3cos x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，2π3上的单调性． 解 (1)由题意得f (x )＝cos x sin x －3cos 2x ＝12sin 2x －32()1＋cos 2x ＝12sin 2x －32cos 2x －32 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，其最大值为1－32.(2)令z ＝2x －π3，则函数y ＝sin z 的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z . 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z .设A ＝⎣⎡⎦⎤π3，2π3，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 易知A ∩B ＝⎣⎡⎦⎤π3，5π12.所以当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，2π3时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π3，5π12上单调递增；在区间⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减． 19．(15分)在四棱锥E －ABCD 中，BC ∥AD ，AD ⊥DC ，AD ＝DC ＝2BC ，AB ＝AE ＝ED ＝BE ，F 是AE 的中点．(1)证明：BF ∥平面EDC ；(2)求BF 与平面EBC 所成角的正弦值． (1)证明 取ED 的中点G ，连接FG ，GC ， 则FG ∥AD ，且FG ＝12AD ，又因为BC ∥AD ，且BC ＝12AD ，所以FG ∥BC ，且FG ＝BC ， 所以四边形BFGC 是平行四边形， 所以BF ∥CG ，因为BF ⊄平面EDC ，CG ⊂平面EDC ， 所以BF ∥平面EDC .(2)解 分别取AD ，BC 的中点H ，N ，连接EH 交FG 于点M ，则M 是FG 的中点，连接MN ，则BF ∥MN ，所以BF 与平面EBC 所成角即为MN 与平面EBC 所成角， 由EA ＝ED ，H 是AD 的中点，得EH ⊥AD ，由于BC ∥AD ，所以BC ⊥EH ，易知四边形BHDC 是平行四边形，所以CD ∥BH ， 由BC ⊥CD ，得BC ⊥BH ，又EH ∩BH ＝H ，所以BC ⊥平面EBH ，因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面EBH ， 过点M 作MI ⊥BE ，垂足为I ，则MI ⊥平面EBC ， 连接IN ，∠MNI 即为所求的角．设BC ＝1，则AD ＝CD ＝2，所以AB ＝5， 由AB ＝BE ＝AE ＝5，得BF ＝152， 所以MN ＝BF ＝152， 在Rt △AHE 中，由AE ＝5，AH ＝1，得EH ＝2， 在△EBH 中，由BH ＝EH ＝2，BE ＝5， MI ⊥BE ，M 为HE 的中点，可得MI ＝114， 因此sin ∠MNI ＝MI MN ＝16530.20．(15分)正项数列{}a n 满足a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1，a 1＝1.(1)求a 2的值；(2)证明：对任意的n ∈N *，a n <2a n ＋1；(3)记数列{a n }的前n 项和为S n ，证明：对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.(1)解 当n ＝1时，由a 21＋a 1＝3a 22＋2a 2＝2及a 2>0，得a 2＝7－13. (2)证明 由a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1<4a 2n ＋1＋2a n ＋1＝(2a n ＋1)2＋2a n ＋1，又因为y ＝x 2＋x 在x ∈(0，＋∞)上单调递增，故a n <2a n ＋1. (3)证明 由(2)知当n ≥2时，a n a n －1>12，a n －1a n －2>12，…，a 2a 1>12，相乘得a n >12n －1a 1＝12n －1，即a n >12n －1， 故当n ≥2时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n >1＋12＋…＋12n －1＝2－12n －1，当n ＝1时，S 1＝1＝2－12n －1.所以当n ∈N *时，S n ≥2－12n －1.另一方面，a 2n ＋a n ＝3a 2n ＋1＋2a n ＋1>2a 2n ＋1＋2a n ＋1＝2(a 2n ＋1＋a n ＋1)，令a 2n ＋a n ＝b n ，则b n >2b n ＋1，于是当n ≥2时，b n b n －1<12，b n －1b n －2<12，…，b 2b 1<12，相乘得b n <12n －1b 1＝12n －2， 即a 2n ＋a n ＝b n <12n －2，故a n <12n －2， 故当n ≥2时，S n ＝a 1＋(a 2＋…＋a n )<1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋12n －2＝3－12n －2<3.当n ＝1时，S 1＝1<3， 综上，对任意的n ∈N *,2－12n －1≤S n <3.21．(15分)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py ()p >0的焦点分别为F 1，F 2，点P ()－1，－1且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)． (1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值． 解 (1)F 1(1,0)，F 2⎝⎛⎭⎫0，p2， ∴F 1F 2→＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2， F 1F 2→·OP →＝⎝⎛⎭⎫－1，p 2·()－1，－1＝1－p 2＝0， ∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y .(2)由题意知，过点O 的直线的斜率一定存在且不为0，设直线方程为y ＝kx ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，y ＝kx ，得(kx )2＝4x ，求得M ⎝⎛⎭⎫4k 2，4k ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ，得N (4k,4k 2)(k ＜0)，从而|MN |＝1＋k 2⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ， 点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k 2，S △PMN ＝12·|k －1|1＋k 2·1＋k 2⎝⎛⎭⎫4k 2－4k ＝2(1－k )(1－k 3)k 2＝2(1－k )2()1＋k ＋k 2k 2＝2⎝⎛⎭⎫k ＋1k －2⎝⎛⎭⎫k ＋1k ＋1， 令t ＝k ＋1k ()t ≤－2，有S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)，当t ＝－2，k ＝－1时，S △PMN 取得最小值． 即当过原点的直线为y ＝－x 时， △PMN 的面积取得最小值为8. 22．(15分)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1. (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)设函数g (x )＝(x －2)e x ＋f (x )－1－b ，当a ≥1时，g (x )≤0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，求满足条件的b 最小的整数值．解 (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ，当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，x ＝1a，由f ′(x )>0，得x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，由f ′(x )<0，得x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞， 所以f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. 综上，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞. (2)由g (x )＝()x －2e x ＋ln x －ax －b ， 因为g (x )≤0对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立，b ≥()x －2e x ＋ln x －ax 在a ≥1时对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立， 因为a ≥1，x >0，所以()x －2e x ＋ln x －ax ≤()x －2e x ＋ln x －x ，只需b ≥()x －2e x ＋ln x －x 对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫12，1恒成立即可． 构造函数h (x )＝()x －2e x ＋ln x －x ， h ′(x )＝(x －1)e x ＋1x －1＝(x －1)⎝⎛⎭⎫e x －1x ， 因为x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，所以x －1<0，且t (x )＝e x －1x单调递增，因为t ⎝⎛⎭⎫12＝12e －2<0，t ()1＝e －1>0，所以一定存在唯一的x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得t (x 0)＝0， 即e x 0＝1x 0，x 0＝－ln x 0.所以h (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫12，x 0，单调递减区间为()x 0，1. 所以h (x )max ＝h ()x 0＝()x 0－2e x 0＋ln x 0－x 0 ＝1－2⎝⎛⎭⎫x 0＋1x 0∈()－4，－3， 所以b 的最小的整数值为－3.浙江高考仿真卷(二)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．已知集合M ＝{x |1≤x ≤3}，N ＝{x |x >2}，则集合M ∩(∁R N )等于( ) A ．{x |1≤x ≤2} B ．{x |x ≥1} C ．{x |1≤x <2} D ．{x |2<x ≤3}答案 A解析 ∵N ＝{x |x >2}， ∴∁R N ＝{x |x ≤2}，∴集合M ∩(∁R N )＝{x |1≤x ≤2}．2．设双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为( )A.35B.45C.54D.53 答案 C解析 因为双曲线x 2a 2－y 29＝1(a >0)的两焦点之间的距离为10，所以2c ＝10，c ＝5，所以a 2＝c 2－9＝16，所以a ＝4.所以离心率e ＝54.3．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，若a >b >1，则一定有( ) A ．log a x >log b y B ．sin a x >sin b y C ．ay >bx D ．a x >b y答案 D解析 当x >y >0，a >b >1时，由指数函数和幂的性质易得a x >a y >b y .4．将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 答案 B解析 设y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π3个单位长度得到的函数为g (x )，则g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －2π3＋φ，因为g (x )为奇函数，且在原点有定义，所以－2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋7π6(k ∈Z )，故当k ＝－1时，|φ|min ＝π6.5．函数f (x )＝e |x －1|－2cos(x －1)的部分图象可能是( )答案 A解析 因为f (1)＝－1，所以排除B ；因为f (0)＝e －2cos 1>0，所以排除D ；因为当x >2时，f (x )＝e x －1－2cos (x －1)，∴f ′(x )＝e x －1＋2sin(x －1)>e －2>0，即x >2时，f (x )具有单调性，排除C.6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则D (ξ)的最大值为( ) A.23 B.59 C.29 D.34 答案 A解析 由分布列得a ＋b ＋c ＝1，又因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c ，则a ＋c ＝23，所以E (ξ)＝c －a ，D (ξ)＝a (c －a ＋1)2＋b (c －a )2＋c (c －a －1)2＝a (c －a )2＋b (c －a )2＋c (c －a )2＋2a (c －a )＋a －2c (c －a )＋c ＝－(c －a )2＋23，则当a ＝c 时，D (ξ)取得最大值23.7．已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32 B.⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C.⎝⎛⎦⎤0，2＋12 D.⎝⎛⎦⎤0，2＋32 答案 B解析 因为向量e 1，e 2为单位向量， 且e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|·cos 〈e 1，e 2〉＝－12，所以|e 1＋e 2|＝1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫－12＝1. 因为(a －e 1)·(a －e 2)＝54，所以a 2－a ·(e 1＋e 2)＋e 1·e 2＝54，所以|a |2－a ·(e 1＋e 2)＝74，所以|a |2－|a |·cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝74，所以cos 〈a ，e 1＋e 2〉＝|a |2－74|a |，又因为－1≤cos 〈a ，e 1＋e 2〉≤1， 所以|a |的取值范围为⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12. 8.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ＝AD ＝CD ＝1，BC ＝2，将△ABD 沿直线BD 翻折成△A ′BD ，如图，则直线BA ′与CD 所成角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π3，π2 B.⎣⎡⎦⎤π6，π3 C.⎣⎡⎦⎤π6，π2 D.⎣⎡⎦⎤0，π3 答案 A解析 在等腰梯形ABCD 中，易知∠ABC ＝π3，∠ABD ＝∠CBD ＝π6，则∠A ′BD ＝π6，为定值，所以BA ′的轨迹可看作是以BD 为轴，B 为顶点，母线与轴的夹角为π6的圆锥的侧面，故点A ′的轨迹如图中AF 所示，其中F 为BC 的中点．过点B 作CD 的平行线，过点C 作BD 的平行线，两平行线交于点E ，则直线BA ′与BE 所成的角即直线BA ′与CD 所成的角．又易知CD ⊥BD ，所以直线A ′B 与CD 所成角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π3，π2，故选A.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －x 2，0≤x <2，2f (x －2)，x ≥2， g (x )＝kx ＋2，若函数F (x )＝f (x )－g (x )在[0，＋∞)上只有两个零点，则实数k 的值不可能为( ) A ．－23 B ．－12 C ．－34 D ．－1答案 A解析 函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )图象的交点，在同一直角坐标系下作出函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象，如图所示，当函数y ＝g (x )的图象经过点(2,0)时满足条件，此时k ＝2－00－2＝－1 ，当函数y ＝g (x )的图象经过点(4,0)时满足条件，此时k ＝2－00－4＝－12 ，当函数y ＝g (x )的图象与(x －1)2＋y 2＝1(x >0，y >0)相切时也满足题意，此时|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34， 故选A.10．已知数列满足，a 1＝1，a 2＝12，且[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，记T 2n为数列{a n }的前2n 项和，数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 答案 C解析 因为[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *，∴当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，n ∈N *，即a n ＋2a n ＝12，∴a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，以12为公比的等比数列；当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，n ∈N *，即a n ＋2－a n ＝2，∴a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，以2为公差的等差数列，T 2n ＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )＝n 2＋1－12n ，∵数列{b n }是首项和公比都是2的等比数列，b n ＝2×2n －1＝2n ，则⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1等价为⎝⎛⎭⎫n 2＋1－12n ＋12n ·12n <1，即(n 2＋1)·12n <1，即n 2＋1<2n ，分析函数y ＝n 2＋1与y ＝2n ，则当n ＝1时，2＝2，当n ＝2时，5<4不成立，当n ＝3时，10<8不成立，当n ＝4时，17<16不成立，当n ＝5时，26<32成立，当n ≥5时，n 2＋1<2n 恒成立，故使不等式⎝⎛⎭⎫T 2n ＋1b n ·1b n <1成立的最小整数n 为5.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．若⎝⎛⎭⎫3x －1x n 的展开式中所有项的系数的绝对值之和为64，则n ＝________；该展开式中的常数项是____________． 答案 3 －27解析 所求系数的绝对值之和相当于⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 中所有项的系数之和，则在⎝⎛⎭⎫3x ＋1x n 中令x ＝1，得(3＋1)n ＝64，所以n ＝3；⎝⎛⎭⎫3x －1x 3的通项为T k ＋1＝C k 3(3x )3－k ⎝⎛⎭⎫－1x k ＝C k 3·33－k · (－1)k 332kx-，令3－3k 2＝0，则k ＝1，常数项为C 13×32×(－1)1＝－27. 12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m ，若此不等式组所表示的平面区域形状为三角形，则m 的取值范围为_______，如果目标函数z ＝2x －y 的最小值为－1，则实数m ＝________. 答案 (2，＋∞) 4解析 要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋1≤0，x ＋y ≤m 所表示的平面区域形状为三角形，直线x ＝1与直线x－2y ＋1＝0的交点(1,1)必在直线的左下方，所以m >2，画出该区域如图阴影部分所示(含边界)，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，由图可知，当直线y ＝2x －z 过点A (1，m －1)时在y 轴上的截距最大，z 最小，所以，－1＝2×1－(m －1)，解得m ＝4.13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是23，则a ＝________，该几何体的表面积为________．答案 1 3＋ 5解析 如图所示，此几何体是四棱锥，底面是边长为a 的正方形，平面SAB ⊥平面ABCD ，并且∠SAB ＝90°，SA ＝2，所以体积是V ＝13×a 2×2＝23，解得a ＝1，四个侧面都是直角三角形，所以计算出表面积是S ＝12＋12×1×2＋12×1×5＋12×1×2＋12×1×5＝3＋ 5.14．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c 若a ＝7，c ＝3，A ＝60°，则b ＝________，△ABC 的面积S ＝________. 答案 1或2334或332解析 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即7＝b 2＋9－2b ×3cos 60°，即b 2－3b ＋2＝0，解得b ＝1或2, 当b ＝1时， S ＝12bc sin A ＝12×1×3×sin 60°＝334，同理当b ＝2时， S ＝332.15.如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有____个．答案 312解析 根据题意，分3种情况讨论：①取出的3个点都在圆内，C 34＝4，即有4种取法；②在圆内取2点，圆外12点中有10个点可供选择，从中取1点，C 24C 110＝60，即有60种取法；③在圆内取1点，圆外12点中取2点，C 14()C 212－4＝248，即有248种取法．则至少有一个顶点在圆内的三角形有 4＋60＋248＝312(个)．16．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 在椭圆C 上移动时，△PF 1F 2的内心I 的轨迹方程为____________________________． 答案 x 2＋3y 2＝1(y ≠0)解析 由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设点P (x ，y )，I (m ，n )，－2<x <2，y ≠0，则|PF 1|＝(x ＋1)2＋y 2＝(x ＋1)2＋3－3x 24＝⎪⎪⎪⎪x 2＋2＝2＋x 2，则|PF 2|＝2a －|PF 1|＝4－⎝⎛⎭⎫2＋x 2＝2－x 2，|F 1F 2|＝2c ＝2，|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6，则由点I 为△PF 1F 2的内心结合图形(图略)得⎩⎨⎧2＋x 2＝m ＋1＋2－x2－(1－m )，12×|n |×6＝12×2×|y |，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝3n ，代入椭圆C 的方程得三角形的内心I 的轨迹方程为m 2＋3n 2＝1(n ≠0)，即x 2＋3y 2＝1(y ≠0)．17．设点P 是△ABC 所在平面内一动点，满足CP →＝λCA →＋μCB →，3λ＋4μ＝2(λ，μ∈R )，|P A →|＝|PB →|＝|PC →|.若|A B →|＝3，则△ABC 面积的最大值是________． 答案 9解析 由3λ＋4μ＝2，得32λ＋2μ＝1，所以CP →＝λCA →＋μCB →＝32λ·23CA →＋2μ·12CB →.设23CA →＝CM →，12CB →＝CN →， 则由平面向量基本定理知点P ，M ，N 在同一直线上， 又|P A →|＝|PB →|＝|PC →|，所以P 为△ABC 的外心，且∠ACB 为锐角，PN ⊥BC ，由此可作图，如图所示，设∠ACB ＝θ，CN ＝x ，则BC ＝2x ， CM ＝x cos θ，CA ＝3x2cos θ，所以S △ABC ＝12AC ·BC sin θ＝12·3x 2cos θ·2x ·sin θ＝3tan θ2x 2， 在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos θ， 即4x 2＋9x 24cos 2θ－2·2x ·3x 2cos θ·cos θ＝9， 所以x 2＝36cos 2θ9－8cos 2θ，所以S △ABC ＝3tan θ2·36cos 2θ9－8cos 2θ＝54sin θcos θ9sin 2θ＋cos 2θ＝54tan θ9tan 2θ＋1＝549tan θ＋1tan θ≤9. 当且仅当9tan θ＝1tan θ，即tan θ＝13时等号成立，所以△ABC 面积的最大值是9.三、解答题(本大题共5小题，共74分．)18．(14分)已知函数f (x )＝4cos ⎝⎛⎭⎫π2－x cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3. (1)求f (x )的单调递增区间； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π3上的值域．解 (1)f (x )＝4sin x ·⎝⎛⎭⎫cos x cos π3＋sin x sin π3－ 3 ＝4sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x － 3 ＝2sin x cos x ＋23sin 2x － 3＝sin 2x ＋3·()1－cos 2x － 3 ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12()k ∈Z . (2)由π4≤x ≤π3，得π6≤2x －π3≤π3，故而2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[1，3]， 即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π4，π3上的值域为[1，3]．19．(15分)如图，已知四边形ABCD 是正方形，AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，PD ＝AD ＝2EA ＝2，G ，F ，H 分别为BE ，BP ，PC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面GHF ；(2)求直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值．解 (1)因为AE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以AE ⊥BC ， 因为四边形ABCD 是正方形，所以AB ⊥BC ，又BA ∩AE ＝A ，BA ，AE ⊂平面ABE ，所以BC ⊥平面AEB ， 因为F ，H 分别为BP ，PC 的中点，所以FH 为△PBC 的中位线， 所以FH ∥BC ， 所以FH ⊥平面ABE ，又FH ⊂平面GHF ，所以平面ABE ⊥平面GHF .(2)解 方法一 因为AE ⊥平面ABCD ，PD ∥AE ，所以PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以PD ⊥BC ，因为四边形ABCD 是正方形，所以CD ⊥BC ， 又PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PCD ， 所以BC ⊥平面PCD ，又BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PCD . 连接DH ，则DH ⊥PC ，因为平面PBC ∩平面PCD ＝PC ，所以DH ⊥平面PBC ，所以∠DHG 为直线GH 与平面PBC 所成角的余角，即θ＝π2－∠DHG .在等腰直角三角形PDC 中，因为PD ＝DC ＝2，所以PC ＝22， 所以DH ＝PD ·DCPC ＝ 2.连接DG ，易知DG ＝22＋12＋⎝⎛⎭⎫122＝212，GH ＝22＋⎝⎛⎭⎫122＝172， 所以在△DHG 中，cos ∠DHG ＝DH 2＋HG 2－DG 22DH ·GH ＝3434，所以sin θ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－∠DHG ＝cos ∠DHG ＝3434， 即直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值为3434. 方法二 易知DA ，DC ，DP 两两垂直，所以以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DP 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由PD ＝AD ＝2EA ＝2，易得B (2,2,0)，C (0,2,0)，P (0,0,2)，H (0,1,1)，G ⎝⎛⎭⎫2，1，12，则CP →＝(0，－2,2)，CB →＝(2,0,0)，HG →＝⎝⎛⎭⎫2，0，－12.设平面PBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝(x ，y ，z )·(2，0，0)＝0，n ·CP →＝(x ，y ，z )·(0，－2，2)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝0，－2y ＋2z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝z .令y ＝1，则z ＝1，所以n ＝(0,1,1)为平面PBC 的一个法向量， 所以sin θ＝|cos 〈n ，HG →〉|＝|n ·HG →|02＋12＋12×22＋02＋⎝⎛⎭⎫－122＝122×172＝3434， 故直线GH 与平面PBC 所成的角θ的正弦值为3434. 20．(15分)已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝1e n a －(n ∈N *)．(其中e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…)(1)证明：a n ＋1>a n (n ∈N *)；(2)设b n ＝1－a n ，是否存在实数M >0，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立？若存在，求出M 的一个值；若不存在，请说明理由． (1)证明 设f (x )＝e x －x －1，令f ′(x )＝e x －1＝0， 得到x ＝0.当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．故f (x )≥f (0)＝0，即e x ≥x ＋1(当且仅当x ＝0时取等号)． 故a n ＋1＝1en a －≥a n ，且取不到等号，所以a n ＋1>a n .(2)解 先用数学归纳法证明a n ≤1－1n ＋1.①当n ＝1时，a 1≤1－12成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式a k ≤1－1k ＋1成立，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝1ek a －≤11ek -+＝111ek +≤11＋1k ＋1＝k ＋1k ＋2 ＝1－1k ＋2，即a k ＋1≤1－1k ＋2也成立．故对n ∈N *都有a n ≤1－1n ＋1. 所以b n ＝1－a n ≥1n ＋1.取n ＝2t －1(t ∈N *)，b 1＋b 2＋…＋b n ≥12＋13＋…＋1n ＋1 ＝12＋⎝⎛⎭⎫13＋14＋… ＋⎝⎛⎭⎫12t －1＋1＋12t －1＋2＋…＋12t . 即b 1＋b 2＋…＋b n ≥12＋12＋…＋12＝t2.其中t ＝log 2n ＋1，t ∈N *，当n →＋∞时，t →＋∞，t2→＋∞，所以不存在满足条件的实数M ，使得b 1＋b 2＋…＋b n ≤M 对任意n ∈N *成立． 21．(15分)抛物线C ：y ＝x 2，直线l 的斜率为2. (1)若l 与抛物线C 相切，求直线l 的方程；(2)若l 与抛物线C 相交于A ，B ，线段AB 的中垂线交C 于P ，Q ，求|PQ ||AB |的取值范围．解 (1)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2，得x 2－2x －b ＝0，Δ＝4＋4b ＝0，所以b ＝－1， 因此，直线l 的方程为y ＝2x －1.(2)设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，设点A ()x 1，y 1， B ()x 2，y 2，P ()x 3，y 3，Q ()x 4，y 4，联立直线l 与抛物线C 的方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，y ＝x 2， 得x 2－2x －b ＝0，Δ＝4＋4b >0，所以b >－1. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－b . 所以|AB |＝5|x 1－x 2|＝25(b ＋1)， 且y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)＋2b ＝4＋2b ， 所以线段AB 的中点为(1,2＋b )，所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋52＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋52＋b ，y ＝x 2，得2x 2＋x －5－2b ＝0， 由根与系数的关系得x 3＋x 4＝－12，x 3x 4＝－52－b ，所以|PQ |＝52|x 3－x 4|＝5441＋16b ， 所以|PQ ||AB |＝1841＋16b 1＋b＝1816＋25b ＋1>12，所以|PQ ||AB |的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 22．(15分)已知函数f (x )＝e x －e x sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2(e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的值域；(2)若不等式f (x )≥k (x －1)(1－sin x )对任意x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2恒成立，求实数k 的取值范围； (3)证明：e x －1＞－12(x －32)2＋1.(1)解 因为f (x )＝e x －e x sin x ，所以f ′(x )＝e x －e x (sin x ＋cos x )＝e x (1－sin x －cos x )＝e x ⎣⎡⎦⎤1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥22，所以f ′(x )≤0， 故函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，函数f (x )的最大值为f (0)＝1－0＝1； f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝2πe －2πe sin π2＝0， 所以函数f (x )的值域为[0,1]．(2)解 原不等式可化为e x (1－sin x )≥k (x －1)(1－sin x )，(*) 因为1－sin x ≥0恒成立，故(*)式可化为e x ≥k (x －1)． 令g (x )＝e x －kx ＋k ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则g ′(x )＝e x －k ， 当k ≤0时，g ′(x )＝e x －k >0，所以函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增，故g (x )≥g (0)＝1＋k ≥0，所以－1≤k ≤0；当k >0时，令g ′(x )＝e x －k ＝0，得x ＝ln k ，所以当x ∈(0，ln k )时，g ′(x )＝e x －k <0； 当x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )＝e x －k >0.所以当ln k ＜π2，即0<k <2πe 时，函数g (x )min ＝g (ln k )＝2k －k ln k >0成立；当ln k ≥π2，即k ≥2πe 时，函数g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫π2＝2πe －k ·π2＋k ≥0，解得2πe ≤k ≤2πeπ12-， 综上，－1≤k ≤2πeπ12-. (3)证明 令h (x )＝e x －1＋12⎝⎛⎭⎫x －322－1， 则h ′(x )＝e x －1＋x －32.令t (x )＝h ′(x )＝e x －1＋x －32，则t ′(x )＝e x －1＋1>0，所以h ′(x )在R 上单调递增，由h ′⎝⎛⎭⎫12＝12e -－1＜0，h ′⎝⎛⎭⎫34＝14e -－34＞0， 故存在x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，使得h ′()x 0＝0， 即01ex －＝32－x 0. 所以当x ∈(－∞，x 0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0.故当x ＝x 0时，函数h (x )有极小值，且是唯一的极小值， 故函数h (x )min ＝h (x 0)＝01ex －＋12⎝⎛⎭⎫x 0－322－1 ＝－⎝⎛⎭⎫x 0－32＋12⎝⎛⎭⎫x 0－322－1 ＝12×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 0－32－12－32＝12⎝⎛⎭⎫x 0－522－32， 因为x 0∈⎝⎛⎭⎫12，34，所以12⎝⎛⎭⎫x 0－522－32> 12×⎝⎛⎭⎫34－522－32＝132>0，故h (x )＝e x －1＋12⎝⎛⎭⎫x －322－1>0， 即e x －1>－12⎝⎛⎭⎫x －322＋1.。
2020年高考数学试题分项版解析专题08 立体几何(学生版) 理
2020年高考试题分项版解析数学（理科）专题08 立体几何（学生版）一、选择题:1.(2020年高考广东卷理科6)某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（）A．12π B.45π C.57π D.81π2. (2020年高考北京卷理科7)某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）3.(2020年高考福建卷理科4)一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（）A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱4．(2020年高考浙江卷理科10)已知矩形ABCD，AB＝1，BC2将 ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻着，在翻着过程中，（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直7. (2020年高考湖南卷理科3)某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（）8.(2020年高考新课标全国卷理科7)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 189.(2020年高考新课标全国卷理科11)已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ ）()A 26 ()B 36 ()C 23 ()D 2210．(2020年高考江西卷理科10)如右图，已知正四棱锥S ABCD -所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记(01),SE x x =<<截面下面部分的体积为(),V x 则函数()y V x =的图像大致为（ ）11.(2020年高考安徽卷理科6)设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ）()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件()C 充要条件 ()D 即不充分不必要条件13. (2020年高考四川卷理科6)下列命题正确的是（ ）A 、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B 、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C 、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D 、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行15．(2020年高考全国卷理科4)已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,22,AB CC E ==为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．116.(2020年高考重庆卷理科9)设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是（ ）（A ）(0,2) （B ）(0,3) （C ）(1,2) （D ）(1,3)二、填空题:2.(2020年高考辽宁卷理科16)已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的求面上，若PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为_______.3．（2020年高考江苏卷7）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，12cm AA =，则四棱锥D D BB A 11-的体积为 cm 3.4.(2020年高考天津卷理科10)―个几何体的三视图如图所示(单位：m )，则该几何体的体积为 3m .8．(2020年高考上海卷理科8)若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 .9．(2020年高考上海卷理科14)如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2=BC ，若c AD 2=，且a CD AC BD AB 2=+=+，其中a 、c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是.11.(2020年高考全国卷理科16)三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=60°则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________.三、解答题:2. (2020年高考广东卷理科18)（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。
2020届浙江省高三新高考考前冲刺模拟卷(八)数学试卷及解析
2020届浙江省高三新高考考前冲刺模拟卷（八）数学试卷★祝考试顺利★(解析版)本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分,考试时间120分钟．参考公式：若事件A ,B 互斥,则()()()P A B P A P B +=+,若事件A ,B 相互独立,则()()()P AB P A P B =,若事件A 在一次试验中发生的概率是p ,则n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n k n n P k C p p k n -=-=,台体的体积公式()1213V S S h =+, 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高, 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径 选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-,{}1,2,3B =,则A B =（ ）A. [)1,3-B. {}1,2,3C. {}1,1,2-D. {}1,2【答案】D【解析】根据交集的定义求出A B 即可. 【详解】因为{}12A x x =-,{}1,2,3B =,所以{}1,2A B =,故选D ．2.若复数243a i z i +=-的实部和虚部相等,则实数a 的值为（ ） A. 2B. -2C. 14D. -14 【答案】C【解析】 利用复数代数形式的乘除运算化简复数243a i z i+=-,由该复数的实部与虚部相等,列方程求解即可. 【详解】2(2)(43)463843(43)(43)2525a i a i i a a z i i i i +++-+===+--+, 因为复数243a i z i+=-的实部和虚部相等, 所以46382525a a -+=, 解得14a =,故选：C ．3.已知平面α,直线m ,n ,l ,则下列说法正确的是（ ）A. 若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB. 若l m ⊥,l n ⊥,,m n α⊂,则l α⊥C. 若l α⊥,n ⊂α,则l n ⊥D. 若l ∥α,n ⊂α,则l ∥n【答案】C【解析】结合直线与直线的位置关系以及直线与平面的位置关系,对选项逐一判断即可.【详解】对于选项A,m ,n 可能平行、相交或异面；对于选项B,当m ,n 相交时结论成立,否则不成立；对于选项C,由线面垂直的性质可知该选项正确；。