计量经济学—序列相关性

(4.60)
其协方差为
Cov( i , i 1 ) E ( i i 1 ) E[( i 1 i ) i 1 ] Var( i 1 ) 2
(4.61)
同理
Cov( i , i s ) sVar( i s ) s 2 (s 0 )
4.3.2 序列相关的检验
1、定性分析法 定性分析法就是依据残差ei 对时间i的序列图的性 质作出判断。由于残差et是对误差项的估计，所 以尽管误差项 i 观测不到，但可以通过ei的变化 判断 i 是否存在序列相关。
定性分析法的具体步骤是， (1) 用给定的样本估计回归模型，计算残差ei , (i = 1, 2, … n)，绘制残差图； (2) 分析残差图。若残差图与图4.8 a 类似，则说 明 i 不存在自相关；若与图4.8 c类似，则说明 i 存在正自相关；若与图4.8 e 类似，则说明 i 存在 负自相关。 经济变量由于存在惯性，不可能表现出如图4.8 e 那样的震荡式变化。其变化形式常与图4.8中c相 类似，所以经济变量的变化常表现为正自相关。
图4.8 a, c, e, 分别给出具有正序列相关，负序列相 关和非序列相关的三个序列。为便于理解时间序 列的正负序列相关特征，图4.8 b、d、f分别给出 图4.8 a、c、e中变量对其一阶滞后变量的散点图。 正负序列相关以及非序列相关性展现的更为明了。
3 2 1 0 -1 -2 -3 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
使用DW检验，应首先满足如下三个条件。 (1)误差项 i 的自相关为一阶自回归形式。 (2)因变量的滞后值Yi 1 不能在回归模型中作解释变 量。 (3)样本容量应充分大（n 15）
DW检验的基本思想如下。给出假设 H0: 0 （ i 不存在序列相关) H1: 0 ( i 存在一阶序列相关) 用残差值 ei计算统计量DW。
i 的方差为 那么，
Var ( i ) E ( i2 ) E ( i 1 i ) 2 E ( 2 i 12 i2 2 i 1 i ) 2Var ( i 1 ) E ( i 2 )
整理上式得 Var( i ) 2 2 /(1 2 )
(2) 高阶自回归形式 当误差项 i 的本期值不仅与其前一期值有关，而 且与其前若干期的值都有关系时，即
则称
i 具有高阶自回归式。
通常假定误差项的序列相关是线性的。因计量经 济模型中序列相关的最常见形式是一阶自回归形 式，所以下面重点讨论误差项的线性一阶自回归 形式，即 i i 1 i (4.52) 其中 是序列相关回归系数， i 是随机误差项。 i 满足通常假设 E( i ) 0, i 1,2, , n Var( i ) 2 , i 1,2,, n Cov( i , i 1 ) 0, i 1, 2,, n Cov( i , i 1 ) 0, i 1,2,, n
2、DW（Durbin-Watson）检验法
DW检验是J. Durbin, G. S. Watson于1950年发表 的一篇论文《Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression》中提出的。它是利用 残差ei 构成的统计量推断误差项 i 是否存在序列 相关。
图4.8 时间序列及其自相关散点图
a. 非序列相关的序列图
4
2
0
-2
U
-4 -4 -2 0 2
U(-1) 4
b. 非序列相关的散点图
6 4 2 0 -2 -4 -6 20 40 60 80 U 100 120 140 160 180 200
c. 正序列相关的序列图
6 4 2 0 -2 -4 -6 -6 -4 -2 0 2 U(-1) 4 6
1 . n 1

1 .
2
.
n 1 n2 ...
... . . 1
n2
n 3 ...
3、序列相关的来源与后果
误差项存在序列相关，主要有如下几个原因。 (1) 模型的数学形式不妥。 若所用的数学模型与变量间的真实关系不一致， 误差项常表现出自相关。比如平均成本与产量呈 抛物线关系，当用线性回归模型拟合时，误差项 必存在自相关。 (2) 经济变量的惯性。 大多数经济时间序列都存在自相关。其本期值往 往受滞后值影响。突出特征就是惯性与低灵敏度。 如国民生产总值，固定资产投资，国民消费，物 价指数等随时间缓慢地变化，从而建立模型时导 致误差项自相关。
(3) 有可能低估误差项 i 的方差。低估回归参数 估计量的方差，等于夸大了回归参数的抽样精度， 过高的估计统计量t的值，从而把不重要的解释变 量保留在模型里，使显著性检验失去意义。 ˆ ) j 1,2,, k Var ( β j （ (4) 由于 i 存在自相关时， ） 2 和 s 都变大，都不具有最小方差性。所以用依据 普通最小二乘法得到的回归方程去预测，预测是 无效的。
ˆ ) E[( XX) 1 XY] E (β E[( XX) 1 X( Xβ ε)] β ( XX) 1 XE (ε) β
(4.63)
ˆ 丧失有效性。 (2) β 如果回归模型中误差项 i 存在一阶自回归形式 (4.57)式，根据(4.62)式的结果，知
(3) 回归模型中略去了带有自相关的重要解释变量。 若丢掉了应该列入模型的带有自相关的重要解释 变量，那么它的影响必然归并到误差项 i 中，从 而使误差项呈现自相关。当然略去多个带有自相 关的解释变量，也许因互相抵消并不使误差项呈 现自相关。
当误差项 i 存在序列相关时，模型参数的最小二 乘估计量具有如下特性。 ˆ 仍 (1) 只要假定条件 Cov(Xε) 0成立，回归系数 β 具有无偏性。
i 有某种程度的负序列相关
实际中DW = 0, 2, 4 的情形是很少见的。当DW取 值在（0, 2），（2, 4）之间时，怎样判别误差项 是否存在序列相关呢？推导统计量DW的精确抽 样分布是困难的，因为DW是依据残差ei 计算的， 而ei的值又与的形式有关。DW检验与其它统计检 验不同，它没有唯一的临界值用来制定判别规则。 然而Durbin-Watson根据样本容量和被估参数个 数，在给定的显著性水平下，给出了检验用的上、 下两个临界值dU和dL 。
针对（4.52）式，利用OLS方法，得到 的估计 公式为，
ˆ =

i 2 n i
n
i 1 2

i 2
(4.53)
i 1
i 1 看作两个变量， 其中n是样本容量。若把 i ， 则它们的相关系数是
ˆ=

i2 i 2 i i2 n
n
i 1 n
(4.62)
则由(4.60)式、(4.61)式和(4.62)式得
E (εε) Ω 2
其中 2 2 /(1 2 ) 。 从而验证了当回归模型的误差项 i 存在一阶自 Cov( i , j ) 0 。同理也可证明当 i 回归形式时， 存在高阶自回归形式时，仍有 Cov( i , j ) 0 。 这里要说明的是，自相关多发生于时间序列数据 中。若出现于截面数据中，称其为空间自相关。
(4.67)
DW≈
2 ei 1 2 ei ei 1
2 i2 t 2 2
n
n
e e
i2 n
n
i i 1
ei 1
i 2
n
=2(1-
e
i2
ˆ ) (4.68) (1 )= 2 2
i 1
因为的取值范围是 [-1, 1]，所以DW统计量的取值 范围是 [0, 4]。 与DW值的对应关系见表4.1。
ˆ ) E[(β ˆ β)(β ˆ β)] Var(β E[( XX) 1 Xε εX( XX) 1 ] ( XX) 1 XE (ε ε) X( XX) 1 2 ( XX) 1 XΩX( XX) 1
(4.64)
与 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ( XX) 1不等。
第三节
序列相关性
序列相关性含义及引起的后果 序列相关的检验 序列相关的克服
4.3.1 序列相关性含义及引起的后果
一、序列相关的含义及性质 1、序列相关的含义 针对线性模型（2.1）式 Yi 1 2 X 2i 3 X 3i k X ki i
i 1,2,, n
2 ( e e ) i i 1 n
DW =
i2
ei
i 1
n
2
(4.65)
其中分子是残差的一阶差分平方和，分母是残差 平方和。
把上式展开，
DW =
e
i2
n
2 i
ei 1 2 ei ei 1
2 t 2 i 2
n
n
ei
i 1
n
(4.66)
2
因为有 n n n 2 2 2 e e ei 1≈ i i ≈ i 1 i 2 i2 代入(4.66)式，有
d. 正序列相关的散点图
U
6 4 2 0 -2 -4 -6 20 40 60 80 U 100 120 140 160 180 200
e. 负序列相关的序列图
6 4 2 0 -2 -4 -6 -6 -4 -2 0 2 U(-1) 4 6
U
f. 负序列相关的散点图
2、序列相关有关性质
针对一阶自回归(4.57)式 i i 1 i ，讨论误差 项 i 的期望、方差与协方差公式。由(4.57)式知 E ( i ) E ( i 1 i ) E ( i 1 ) E ( i ) (4.58) 因为对于平稳序列有 E ( i ) E ( i 1 ) ，整理（4.58） 式得 i 的期望为 E ( i ) E ( i ) /(1 ) (4.59)