青岛科技大学2011年硕士研究生入学考试数学分析试题
青岛科技大学数学分析2008年考研真题
二OO八年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
注意事项：1．本试卷共9道大题（共计9个小题），满分150分；
2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；
3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡
一．（）
设 具有二阶导数且满足
试证 .
二．（20分）
设 ,判定数列{ }的敛散性,若该数列收敛,求其极限 .
三．(10分)
证明:一个数列{ }如果不是无穷大量,则它一定有收敛的子列.
四．（10分）
设 为一收敛的正项级数， 单调递减，证明
五．（20分）证明:
六．（20分）求证: .
七．(20分)
计算曲面积分
其中 是曲面 被曲面 所截取的有限部分
八． （15分）
证明: 在 一致收敛,其中
九．（15分）证明:
其中 是一单连通区域 的边界,而 是 上的一点到 外某一定点的距离.若 表示 上的一点到 内某一定点的距离,那末这积分之值等于 .
第2页（共2页）
2011考研数学(一二三)真题(含答案)
(B) 1,2 ．
(C) 1,2,3 ． (D) 2 ,3,4 ．
【解析】由 x 0 的基础解系只有一个知 r(A) 3 ，所以 r( A) 1，
f
(0),
B
2z xy
|(0,0)
f
(x)
f ( y) f (y)
|(0,0)
[
f (0)]2 f (0)
0,
C
2z y2
|(0,0)
f
(x)
f
( y) f
(y) [ f f 2(y)
( y)]2
|(0,0)
f (0) [ f (0)]2 f (0)
较强。
观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x 1 处，
故(A)，(B)错误；
因为
an
单调减少，lim n
an
0 ，所以 an
0 ，所以
n1
an
为正项级数，将
x
2 代入幂级数得
n1
an
，
n
而已知 Sn ak 无界，故原幂级数在 x 2 处发散，(D)不正确． k 1
2011 年全国硕士研究生入学 统一考试
数学（一、二、三） 试题及解析
山东考研辅导专家 苏老师
1
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要 求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
2
青岛科技大学高等代数考研真题试题2008——2012、2016、2017年
青岛科技大学2008年研究生入学考试试卷考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）一、(30分)1设是三阶方阵，具有三个不同的(非零)特征值：、、，依次对应的特征向量为A 1λ2λ3λ、、，令，试证：、、线性无关。
1α2α3α123βααα=++β()A β2()A β2 设是维线性空间，是上的线性变换，是的一个重特征值， 是对n V n σn V 0λσk 0V λ0λ应的特征子空间，试证：。
（这里表示子空间的维数）0dim V k λ≤0dim V λ二、(30分)1 设，求。
001101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭100A 2 设，一元多项式，求，102011010B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1187543()2283174f x x x x x x x =+-+++-()f B 并求。
1(())f B -三、(30分)试证：1 当、是两个阶方阵时，有 A B n n n E AB E BA λλ-=- 2 当是矩阵，是矩阵()时有： A m n ⨯B n m ⨯n m >n m n m E BA E AB λλλ--=-四、(30分)试证 矩阵方程有解当且仅当 AX B =()()r A r A B =五、(20分)设阶方阵，，，试求的特征值，的最小多项式。
n ()ij A a =1ij a =,1,2,,i j n = A A A 是否与对角阵相似？若相似求出与其相似的对角阵。
六、(10分)给定方程组(1)与向量， 123412342229242312x x x x x x x x -++=⎧⎨-++=⎩(4,2,5,1)α=-青 岛 科 技 大 学二OO 九年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数注意事项：1．本试卷共 5 道大题（共计 10 个小题），满分150 分；2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。
要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
2011年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】
0 1
1 1 1
0
E 1
0 1
1
1 1
1
0
.
6．设 A 为 4×3 矩阵，1,2 ,3 是非齐次线性方程组 Ax 的 3 个线性无关的解，
k1, k2 为任意常数，则 Ax 的通解为（ ）.
A． 1
2 2
k1 (2
1 )
B． 1
2 2
k1 (2
1 )
C． 2
3 2
k1 (3
I1
4
I2
.
4．设函数 z arctan exy ，则 dz ＝（ ）.
A．
exy 1 e2xy
( ydx
xdy)
e xy B． 1 e2xy
( ydx
xdy)
e xy C． 1 e2xy
( xdy
ydx)
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e xy D． 1 e2xy
( ydx
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2011 年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内.
1．当 x O 时，下列函数为无穷大量的是（ ）.
【答案】B
【解析】因为 0 P( A) 1， A B ，故 0 P( A) P(B) 1，又 A U B B ，
AB A ，所以
.
8．设总体 X 服从参数为 ( 0) 的泊松分布， X1，X，2，L X n (n 2) 为来自总体
的简单随机样本，则对于统计量T1
2011年考研数学一试卷真题及答案解析
2011年考研数一真题及答案解析一、选择题1、 曲线()()()()4324321----=x x x x y 的拐点是（ ）（A ）（1，0） （B ）（2，0） （C ）（3，0） （D ）（4，0）【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、 设数列{}n a 单调减少，0lim =∞→n n a ，()∑===n k k n n a S 12,1 无界，则幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛域为（ ） （A ） (-1，1] （B ） [-1，1) （C ） [0，2) （D ）(0，2]【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】()∑===n k k n n a S 12,1 无界，说明幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。
因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。
又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。
青岛科技大学考研历年真题之考研历年真题之高等代数2005--2012年考研真题
青岛科技大学考研历年真题之考研历年真题之高等代数2005--2012年考研真题青岛科技大学2005年研究生入学考试试卷考试科目：高等代数（试卷A ）一（25分）.设2V 是数域F 上的2维线性空间，A 是2V 上的线性变换，12,εε是2V 的一组基，()()121221,,10A εεεε??= ?-??，并设()12,ηη=()12,εε1112-?? ?-??，求：线性变换KA 在基()12,ηη下的表示矩阵。
二（25分）.设λ是非零实数，已知n 阶方阵A 满足20A A E λ--=，证明：A 及A E λ+都可逆，并求它们的逆。
三（25分）.设n ()1n >阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，证明：①当0A =时*0A = ②当0A ≠时1*n A A -=四（25分）.设1234,,,εεεε是线性空间4V 的一组基，线性变换A 在这组基下的表示矩阵为1021121312552212A ?? ?- ?= ? ? ?--??,求A 的值域与核。
五（30分）.设1234,,,A A A A 皆为n 阶方阵①若13,A A 皆可逆，求矩阵1230A A A A ??=的逆矩阵。
②若4A 可逆，且矩阵1324A A B A A ??= 可逆，试证()111342A A A A ---存在，并求B 的逆。
六（20分）.设12,,,n ααα是n 维线性空间n V 的一组基，A 是n s ?矩阵，并且()()1212,,,,,,s n A βββααα=，求证()12dim ,,,s Span rank A βββ=。
其中: ()12,,,s Span βββ表示向量组()12,,,s βββ生成的子空间，rank A 是A 的秩。
青岛科技大学2006年研究生入学考试试卷（A 卷）考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）。
2011年青岛科技大学数学分析考研真题研究生入学考试试卷
考试科目： 考试科目：数学分析
注意事项：1．本试卷共八道大题（共计 8 个小题） ，满分 150 分； 2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷 上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划； 3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。 ﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ 一（20 分）求极限 lim
若从 x 轴的正向观察,这圆周取逆时针方向.
第
2 页（共 2 页）
2
2
− 3 x + xz )dS ,其中 Σ 是平面 2 x + 2 y + z = 6 在第一卦
限的部分. 第
1
1 页（共 2 页）
七(20 分) 计算对坐标的曲面积分
∫∫ [ f ( x, y, z ) + x]dydz + [2 f ( x, y, z ) + y ]dzdx + [ f ( x, y, z ) + z ]dxdy ，
Σ
其中 f ( x, y , z ) 为连续函数， Σ 是平面 x − y + z = 1 在第四卦限部分的上侧. 八(10 分)利用斯托克斯(Stokes)公式计算曲线积分
∫ ydx + zdy + xdz ,
Γ
其中 Γ 为圆周
x2 + y 2 + z 2 = a2 , x+ y+z =0
四(20 分) 求
∫ f ( x − 1)dx , 其中
0
2
1 1 + x , x ≥ 0 f ( x) = . 1 x<0 1 + e x
2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。
【详解】法一:由题设知 13sin sin 33cos 3cos 31=lim=limkk x x x xx xcxkcx-→→--233sin 9sin 33cos 27cos 3=lim=lim(1)(1)(2)k k x x x x x x k k cxk k k cx--→→-+-+---324=lim(1)(2)k x k k k cx-→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。
从而应选（C ）。
法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!xx f x x o x x o x x o x =-+--+=+所以3,4k c ==。
，从而应选（C ）。
2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则233()2()limx x f x f x x→-=（A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。
通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。
【详解】23223333()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f xxx→→---=-()22333()(0)()(0)lim2lim'0x x x f x x f f x f f xx→→--=-=-故应选（B ）。
考研数学试题答案与解析(数学一)
A f1( x) f 2 ( x) B 2 f 2 (x) F1 (x) C f1 (x)F2 (x) D f1 (x)F2 (x) + f 2 (x)F1( x)
8、设随机变量 X ,Y 相互独立，且 EX , EY 都存在，记 U max X ,Y V min X ,Y ，则
EUV （ ） A EU EV B EX EY
f (0)ln f (0) 0 ， f (0)ln f (0) f (0) 0 所以有 f (0) 1， f (0) 0
4、设 I 4 ln sin xdx, J 4 ln cot xdx, K 4 ln cos xdx ，则 I , J , K 的大小关系是 ( )
0
0
0
（ A） I J K （ B） I K J （ C） J I K （ D） K J I
【答案 】 B
【考点分析 】本题考查定积分的性质， 直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数
的大小即可。
【解析 】 x (0, ) 时， 0 sin x 4
2 cos x cot x ，因此 ln sin x ln cos x ln cot x
2
4
4
4
lnsin xdx ln cos xdx ln cot xdx ，故选（ B）
知， 1, 2 , 3, 4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
1 0 A 1 0
1 0 1, 2, 3 , 4 1 0
1 3 0 ， 所 以 1, 3 线 性 相 关 ， 故 1， 2， 4 或
2， 3， 4 为极大无关组，故应选（ D）
7、设 F1 x , F2 x 为两个分布函数，其相应的概率密度 f1 x , f 2 x 是连续函数，则必为
2011年数学二真题解析
【解析】由通解公式得
y edx ( ex cos x edxdx C)
ex ( cos xdx C)
ex (sin x C) ．
由于 y(0) 0, 故 C =0．所以 y ex sin x ．
(11)【解析】选取 x 为参数，则弧微元 ds 1 y2 dx 1 tan2 xdx sec xdx
x0
xa
ax x0
a1
ax a x0
a1 x0
所以 3 a 0 即 a 3 ．
又因为 0 lim x
x ln(1 t2 )dt
0
xa
ln(1 x2 )
lim
x
axa1
2x
lim
x
1 x2 a(a 1)x
a2
2 a(a 1)
x3a
lim
x
1
x2
所以 3 a 2 ，即 a 1，综合得1 a 3 ．
(15) (本题满分 10 分)
【解析】如果 a 0 时， lim
x ln(1 t2 )dt
0
lim xa
x ln(1 t2 )dt ，
x
xa
x
0
显然与已知矛盾，故 a 0 ．
当 a 0 时，又因为 lim
x ln(1 t2 )dt
0
lim
ln(1
x2 )
lim
x2
lim 1 x3a 0 ．
g(x) f2xy, yg(x) yg(x) f12[xy, yg(x)] x f22[xy, yg(x)]g(x)．
因为 g(x) 在 x 1 可导，且为极值,所以 g(1) 0 ，则
d2z dxdy
|x1
y 1
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1 ,x 0 1 x f ( x) . 1 x0 1 e x
五(20分) 证明: 函数项级数 x 2e nx 在 [0, ) 上一致收敛.
n 1
Hale Waihona Puke 六(20分) 计算 I (2 xy 2 x 2 3x xz )dS ,其中
青岛科技大学 二O一 一 年硕士研究生入学考试试题 考试科目：数学分析 注意事项：1．本试卷共八道大题（共计8个小题），满分 150分； 2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上 ，写在该试题卷上或草纸上均无效。要注意试卷清洁，不 要在试卷上涂划； 3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。 ﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ ﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡﹡ n n ( n 1) . 一（20分）求极限 lim n
是平面 2 x 2 y z 6 在第一卦限的部分.
七(20分) 计算对坐标的曲面积分
[ f ( x, y, z ) x]dydz [2 f ( x, y, z ) y]dzdx [ f ( x, y, z ) z ]dxdy ，
其中 f ( x, y, z ) 为连续函数， 是平面 x y z 1 在第四卦限部分的上侧. 八(10分)利用斯托克斯(Stokes)公式计算曲线积分 ydx zdy xdz ,
ln n
二（20分）设 f ( x) 对一切 x 满足 f ( x) f ( x 2 ) 且 f ( x) 在 x 0和x 1 处连续， （常数） . 证明 f ( x) C 三（20分）设 f ( x) 在 (a, b) 上连续，证明：设 f ( x) 在 (a, b) 上一致连续的充 分必要条件是单侧极限 f (a 0)和f (b 0) 都存在. 四(20分) 求 f ( x 1)dx , 其中
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其中 为圆周
x2 y 2 z 2 a2 , x yz 0 若从 x 轴的正向观察,这圆周取逆时针方向.
华慧考博网-考博第一品牌（） 考博咨询QQ：4006224468 编辑推荐： 考博英语辅导班：/classroom?t=1113.0 考博英语专题/kaoboyingyu.html 考博英语怎么复习？/yingyu_fuxi.html 考博英语真题汇总专题/kaobo_zhenti. html 2016医学考博专题/yixue_kaobo.html