LINGO在数学建模中的应用

一、LINGO简介LINGO[1]是美国LINDO系统公司开发的求解数学规划系列软件中你的一个,它的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题,LINGO的不同版本对模型的变量总数、非线性变量数目、整型变量数目和约束条件的数量做出不同的限制.LINGO的主要功能特色为:(1)既能求解线性规划问题,也有较强的求解非线性规划问题的能力;(2)输入模型简练直观;(3)运行速度快、计算能力强.(4)内置建模语言,提供几十个内部函数,从而能以较少语句,较直观的方式描述较大规模的优化模型;(5)将集合的概念引入编程语言,很容易将实际问题转换为LINGO模型;(6)能方便地与EXCEL、数据库等其他软件交换数据.LINGO像其他软件一样,对他的语法有规定,LINGO的语法规定如下:（1）求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=…或MIN=…来表示;(2) 每个语句必须以字母开头,由字母、数字和下划线所组成,昌都不超过32个字符,不区分大小写;(3)每个语句必须以分号“;”结束,每行可以有多个语句,语句可以跨行;(4)如果对变量的取值范围没有特殊说明,则默认所有决策变量都非负;(5)LINGO模型以语句“MODEL”开头,以语句“END”结束,对于比较简单的模型,这这两个语句可以省略.LINGO提供了五十几个内部函数,使用这些函数可以大大减少编程工作量,这些函数都是以字符@开头,下面简单介绍其中的集合操作函数和变量定界函数及用法.集合是LINGO建模语言中最重要的概念,使用集合操作函数能够实现强大的功能,LINGO 提供的常用集合操作函数有@FOR(s:e)、@SUM(s:e)、@MAX(s:e)、@MIN(s:e)等.@FOR(s:e)常用在约束条件中,表示对集合s 中的每个成员都生成一个约束条件表达式,表达式的具体形式由参数e 描述;@SUM(s:e) 表示对集合s 中的每个成员,分别得到表达式e 的值,然后返回所有这些值的和;@MAX(s:e) 表示对集合s 中的每个成员,分别得到表达式e 的值,然后返回所有这些值中的最大值;@MIN(s:e) 表示对集合s 中的每个成员,分别得到表达式e 的值,然后返回所有这些值中的最小值.LINGO 默认变量的取值可以从零到正无穷大,变量定界函数可以改变默认状态,如对整数规划,限定变量取整数,对0-1规划,限定变量取0 1或.LINGO 提供的变量定界函数有:@BIN(X)、@BND(L,X,U)、@GIN(X)、@FREE(X).@BIN(X)限定X 为0或1,在0-1规划中特别有用;@GIN(X)限定X 为整数,在整数规划中特别有用;@BND(L,X,U)限定L ＜X ＜U,可用作约束条件;@FREE(X)取消对X 的限定,即X 可以取任意实数.二、LINGO 在线性规划中的应用具有下列三个特征的问题称为线性规划问题(Linear program )[2]简称LP 问题,其数学模型称为线性规划(LP)模型.线性规划问题数学模型的一般形式为:求一组变量(1,2,,)j x j n = 的值,使其满足1122max(min),n n z c x c x c x =+++2111122111211222221122***.0,1,2,,,,..n j n n n n nn nn n n x j n a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪≥=⎪⎩+++++++++式中“*”代表“≥”、“ ≥”或“=”.上述模型可简写为1max(min),njj j z cx ==∑1*0,1,2,,,1,2,,..nij j j ji a x x j n b i m s t =⎧⎪⎨⎪≥=⎩=∑其中,变量j x 称为决策变量,函数1njj j z cx ==∑称为目标函数,条件1*nj j i j c x b =∑称为约束条件,0j x ≥ 称为非负约束.在经济问题中,又称j c 为价值系数,i b 为资源限量. 线性规划在科学决策与经营管理中实效明显[3],但是对于规模较大的线性模型,其求解过程非常繁琐,不易得出结果.而 LINGO 中的内部集合函数有@FOR(s:e)、@SUM(s:e)、@MAX(s:e)、@MIN(s:e)等,可以用这些集合函数使程序编程简单可行,下面举例说明.例1 某工厂有两条生产线,分别用来生产M 和P 两种型号的产品,利润分别为200元每个和300元每个,生产线的最大生产能力分别为每日100和120,生产线没生产一个M 产品需要1个劳动日(1个工人工作8小时称为1个劳动日)进行调试、检测等工作,而每个P 产品需要2个劳动日,该工厂每天共计能提供160个劳动日,假如原材料等其他条件不受限制,问应如何安排生产计划,才能使获得的利润最大？解 设两种产品的生产量分别为1x 和2x ,则该问题的数学模型为:目标函数 12max 200300z x x =+约束条件212100,120,160,0,1,2.ix x x x x i ≤⎧⎪≤⎪⎨+≤⎪⎪≥=⎩ 编写LINGO 程序如下:MODEL:SETS:SHC/1,2 /:A,B,C,X; YF/1,2,3 /:J;ENDSETSDATA:A=1,2 ; B=100,120; C=200,300;ENDDATAMAX=@SUM(SHC:C*X);@FOR(SHC(I):X(I)<B(I)); @SUM(SHC(I):A(I)*X(I))<=160;END程序运行结果如下Global optimal solution found.Objective value: 29000.00 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced CostA( 1) 1.000000 0.000000A( 2) 2.000000 0.000000B( 1) 100.0000 0.000000B( 2) 120.0000 0.000000C( 1) 200.0000 0.000000C( 2) 300.0000 0.000000X( 1) 100.0000 0.000000X( 2) 30.00000 0.000000J( 1) 0.000000 0.000000J( 2) 0.000000 0.000000J( 3) 0.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 29000.00 1.000000 2 0.000000 50.00000 3 90.00000 0.000000 4 0.000000 150.0000最优解为12100,30,x x ==最优值为29000.00z =.即每天生产100个M 产品30个P 产品,可获得29000元利润.三、LINGO 在整数规划和0-1规划中的应用1 求解整数规划整数规划[4]分为整数规划和混合整数规划,要求全部变量都为非负整数的数学规划称为纯整数规划,只要求部分变量为非负整数的数学规划称为混合整数规划.下面只讨论约束条件和目标函数均为线性的整数规划问题,即整数线性规划问题(以下简称整数规划,记为ILP ),其数学模型的一般形式是()1m ax m in njj j z cx ==∑,()()11,2,,..01,2,,nij j i j j j a x b i n s t x j n x =⎧≤=⎪⎪⎪≥=⎨⎪⎪⎪⎩∑ 全为整数或部分为整数。

()1 且称线性规划问题()1m ax m in ,njj j z cx ==∑()()11,2,,,..01,2,,.nij j i j j a x b i m s t x j n =⎧≤=⎪⎨⎪≥=⎩∑ ()2为整数规划问题的松弛问题.显然,整数规划()1的可行域是其松弛问题()2的可行域的一个子集.如果线性规划()2的最优解为()0x ,相应的规划规划()1的最优解为*x ,则必然有()0*cx cx ≤.LINGO 的内部函数@GIN(X)是限定X 为整数,因此,LINGO 对整数规划的求解是可行的.下面举例说明:例 2 某疗养院营养师要为某类病人拟订本周蔬菜类菜单,当前可供选择的蔬菜品种、价格和营养成分含量,以及病人所需养分的最低数量见表1,病人1周需14份蔬菜,为了口味的原因,规定每周内的卷心菜不多于2份,胡萝卜不多于3份,其他蔬菜不多于4份且至少1份.在满足要求的前提下,制定费用最少的一周菜单方案. 表1 可供蔬菜养分含量和价格解 用i x 表示7种蔬菜的份数,i a 表示蔬菜单价,i b 表示每周最低营养需求,ij c 表示第i 种蔬菜的第j 种养分含量,建立如下整数规划模型71m in i ii z a x ==∑71422..3,1,1,3,5,6,7.1,1,3,5,6,7.ij i j i ii c x b x s t x x i x i =⎧>⎪⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥=⎪⎪≤=⎪⎩∑ LINGO 程序如下: MODEL : SETS :SHC/1 2 3 4 5 6 7/:AI,X; YF/1 2 3 4 5 6/:BJ; JIAGE(SHC,YF):C; ENDSETS DATA :AI=2 1 1.8 1.2 2.0 1.2 1.5; BJ=7 140 14800 400 7 4; C=0.45 20 415 22 0.3 0.2 0.45 28 4065 5 0.35 0.25 0.65 40 850 43 0.6 0.3 0.4 25 75 27 0.2 0.12 0.5 26 76 48 0.4 0.15 0.5 75 235 8 0.6 0.21 0.6 45 240 20 0.2 0.25; ENDDATAMIN =@SUM (SHC:AI*X); @FOR (SHC(I):@GIN (X(I))); @FOR (SHC(I):X(I)>=1);@SUM (SHC(I):X(I))=21; X(2)<=3; X(3)<=2;@FOR (SHC(I)|I #NE# 2 #AND# I #NE# 4:X(I)<=4); @FOR (YF(J):@SUM (SHC(I):X(I)*C(I,J))>=BJ(J)); ENDGlobal optimal solution found.Objective value: 28.00000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 6Variable Value Reduced CostX( 1) 1.000000 2.000000 X( 2) 3.000000 1.000000 X( 3) 2.000000 1.800000 X( 4) 8.000000 1.200000 X( 5) 1.000000 2.000000 X( 6) 4.000000 1.200000 X( 7) 2.000000 1.500000当12345671,3,2,8,1,4,2x x x x x x x =======时,目标函数最小,min 28z =.2求解0-1规划在整数规划中,当对变量的限定为变量的值只能取整数值时,我们把整数规划称为0-1规划[5],0-1规划化为以下标准形式:1m ax njj j z cx ==∑,()()()101,2,,,..1,2,,,011,2,,.j n ij j j j j c j n s t a x b i m x j n =⎧≤=⎪⎪≤=⎨⎪⎪==⎩∑ 或 任意0-1规划模型如何化为标准形式:(1)如果目标函数是求最小值,则对目标函数两边乘以-1,变为求最大值; (2)如果目标函数中某变量j x 的系数0j c >,则令1j j x y =-替换j x 为0-1变量, 于是变量j y 在目标函数中的系数j c 变成小于0;(3)如果约束条件是“≥”形式,则可两边乘以-1,变为“≤”形式;(4)如果约束条件中含有等式,则可将每个等式化为两个“≤”形式的不等式. LINGO 内部函数@BIN(X)的作用是限定X 为0或1,因此,LINGO 对整数规划的求解是可行的.下面举例说明:例3 分配六个人去完成6项任务,每人完成一项,每项任务只能由一人去完成,六个人分别完成各项任务的效益如下表所示,试做出任务分配使效益最大. 各人完成各项任务的效益解 用(1,2,,6,1,2,6)ij x i j == 表示第i 个人是否完成第j 项任务,当1ij x =表示第i 个人完成第j 项任务,0ijx =第i 个人不完成第j 项任务,用ij c 表示第i 个人完成第j 项任务的效率 模型建立如下:6611m in ijij i j z cx ===∑∑61611..1ij i ij j x s t x ==⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∑∑ 编写程序如下: MODEL : SETS :RENWU/1,2,3,4,5,6/; MEN/1,2,3,4,5,6/; WCHRW(MEN,RENWU):C,x; ENDSETS DATA :C=20,15,16,5,4,7 17,15,33,12,8,6 9,12,18,16,30,13 12,8,11,27,19,14 0,7,10,21,10,32 0,0,0,6,11,13; ENDDATAMAX =@SUM (WCHRW(I,J):C*X); @FOR (WCHRW(I,J):@BIN (X(I,J)));@FOR (MEN(I):@SUM (RENWU(J):X(I,J))=1); @FOR (RENWU(J):@SUM (MEN(I):X(I,J))=1); ENDGlobal optimal solution found.Objective value: 142.0000 Objective bound: 142.0000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0当111x =,231,x =351,x =441,x =561,x =621,x =时,m ax z =142.即第一个人完成第一项任务,第二个人完成第二项任务,第三个人完成第三项任务,第四个人完成第四项任务,第五个人完成第五项任务,第六个人完成第六项任务时,效率最高.四 LINGO 在多目标规划中的应用多目标规划的解法通常是根据问题的实际背景和特征,设法将多目标规划转化为单目标规划,从而获得满意解.常用的解法有[6]:(1)主要目标法.确定一个主要目标,把次要目标作为约束条件并设定适当 界限值.(2) 线性加权平均法.对每个目标按其重要程度赋予适当权重0i ω≥,且1iω=∑,然后把()i i f x ω∑作为新的目标函数(其中()1,2,,i f x i p =,是原来的p 个目标).(3)指数加权平均法.设()i f x 是原来的p 个目标,令[()]ipa i iZ f x =∏,其中i a 为指数加权,把Z 作为新的目标函数.(4)理想点法.先分别求出p 个单目标规划的最优解*t f ,令()h x =然后把它作为新的目标函数.(5)分层序列法[7].将所有p个目标按其重要程度排序,先找出第一个最重要的目标的最优解,然后在保证前一个目标最优解的前提下,依次求下一个目标的最优解,一直求到最后一个目标为止.这些方法各有其优点和适用的场合,但并非总是有效,有些方法存在一些不足之处,例如,线性加权求和法确定权重系数时有一定主观性,权重系数取值不同,结果也就不一样;线性加权求和法,指数加权乘积法和理想点法通常只能用在两个目标的单位(量纲)相同的情况,如投资时希望收益要大、风险要小,这是双目标规划,若收益和风险的物理单位(元或百分比)相同,可以考虑用线性加权求和法、指数加权乘积法或理想点法把它们组合起来,化双目标规划为点目标规划.如果两个目标是不同的物理量,它们的量纲不相同,数量级相差很大,将它们相加或比较是不合适的,如火箭弹射程的单位是米或千米,且数量级比较大,而射击精度通常用样本方差来表示,其量纲是平方米,且数量级小,将两者比较、相加或者求理想点是没有有意义的.下面介绍一个双目标规划的例子.例 4某工厂有工人300名,生产A,B,C,D四种产品,要求每人每周工作时间在20-48小时内,C的产量每周至少150件,而每周至多20吨煤,其他数据见下表:问应如何安排每周生产,才能使利润最高,而能耗最少？解用x表示四种产品的产量,i a表示每件i产品的利润,i b表示每100件i产i品的能耗,c表示生产每件i产品的时间,i d表示i种产品的最大产量.建立双目标i规划模型如下:41m ax i i i z a x ==∑41m in iii y b x==∑414141314400,12000,..2000,,1,2,3,4,150,,1,2,3,4.i i i i i i i ii i i i c x c x s t b x x N i x x d i ===⎧<=⎪⎪⎪>=⎪⎪⎪⎨<=⎪⎪∈=⎪⎪>=⎪<==⎪⎩∑∑∑ LINGO 程序如下: MODEL : SETS :YF/B1 B2 B3 B4 /:B,A,C,D,X; ENDSETS DATA :A=10 20 12 14; B=1.5 2 1.8 1.1; C=13 13.5 14 11.5; D=270 240 460 130; ENDDATAMAX =@SUM (YF(I):A*X); @FOR (YF(I):@GIN (X(I))); @SUM (YF(I):B(I)*X(I))<=2000;X(3)>=150;@FOR (YF(I):X(I)<=D(I)); @SUM (YF(I):C(I)*X(I))<=14400; @SUM (YF(I):C(I)*X(I))>=12000; END具体求解结果为:Objective value: 14620.00 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 3Variable Value Reduced CostX( B1) 248.0000 -10.00000 X( B2) 240.0000 -20.00000 X( B3) 460.0000 -12.00000 X( B4) 130.0000 -14.00000即A 、B 、C 、D 四种产品各生产248件、240件、460件、130件时,能使利润最高,最高利润为14620元.题目还要求能耗最少,因此用分层序列法,把利润最高的计算结果作为约束条件,即增加约束条件:4114620i i i a x ==∑,把41m in i ii y b x ==∑作为目标函数,建立单目标规划模型求解. LINGO 程序如下: MODEL : SETS :YF/B1 B2 B3 B4 /:B,A,C,D,X; ENDSETS DATA :A=10 20 12 14; B=1.5 2 1.8 1.1;C=13 13.5 14 11.5;D=270 240 460 130;ENDDATAMIN=@SUM(YF(I):B(I)*X(I)/100);@SUM(YF(I):A*X)<=14620;@FOR(YF(I):@GIN(X(I)));@SUM(YF(I):B(I)*X(I))<=2000;X(3)>=150;@FOR(YF(I):X(I)<=D(I));@SUM(YF(I):C(I)*X(I))<=14400;@SUM(YF(I):C(I)*X(I))>=12000;END具体求解结果为:Objective value: 14.58900Extended solver steps: 0Total solver iterations: 5Variable Value Reduced CostX( B1) 270.0000 0.1500000E-01 X( B2) 42.00000 0.2000000E-01X( B3) 460.0000 0.1800000E-01X( B4) 129.0000 0.1100000E-01即每周生产A、B、C、D四种产品各270件、42件、460件、129件,能使利润最高,能耗最少.五用LINGO求非线性曲线拟合的最小二乘解设观测数据为(,)i i x y ,),,2,1(n i =,希望用一条相对光滑的曲线)(x f y =来近似表示变量y 与x 的关系,不要求它通过每个数据点(节点),但要求曲线与数据点之间的距离尽可能小,称)(x f 为拟合函数或经验公式[8].设拟合函数的表达式中含有若干待定常数(1,2,,)i a j m = ,称为回归系数,用向量符号记为12(,,,)Tm A a a a = ,则曲线方程记为),(x A f y =,其具体形式可由散点图或通过建立数学模型来确定.设拟合函数形式已知为),(x A f y =,其中12(,,,)T m A a a a = 是待定常数(回归系数),求待定常数A 的方法通常用最小二乘法,其算法原理是求出使均方误差21()[(,)]NI Q A i i f A x y ==-∑取最小值的A,其结果称为最小二乘解,于是问题转化为多元函数的最小值:min A21()[(,)]nI Q A i if A x y ==-∑ .上式可以看成是目标函数为非线性函数,没有约束条件的规划问题,适合用LINGO 求解,举例如下:例5 2004年全国大学生数学建模竞赛C 题中给出体重约70kg 的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后,隔一定时间测量他的学业者酒精含量[)/(102⨯ml mg ],得到数据见下表,请建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型.血液中酒精含量数据解 把人体内酒精的吸收、代谢、排除过程分成两个室,胃为第一室,血液为第二室,酒精先进入胃,然后被吸收进入血液,由循环到达体液内,在通过代谢、分解剂排泄、出汗、呼气等方式排泄.假设胃里的酒精被吸收进入血液的速度与胃里的酒精)(t x 成正比,比例常数为1k ,血液中的酒精被排出的速度与血液内的酒量)(t y 成正比, 比例系数为2k . 短短时间内喝入胃里的酒精总量为0G . 则可以建立如下微分方程模型:'1'120,,(0),(0)0.x k x y k x k y x G y ⎧=-⎪=-⎨⎪==⎩这是线性常系数微分方程组,求解得到210112()(),k tk tG k y t k k e e--=--如果统一用123,,a a a 表示待定常数,则上式可以写成321()().a ta ty t a ee--=-由已知数据求出使()32121na ta tii a eey --=⎡⎤--⎣⎦∑最小的待定系数123,,a a a ,程序如下: MODEL : SETS :SJD/1..23/:T,Y; ENDSETS DATA :T=0.25,0.5,0.75,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16;Y=30,68,75,82,82,77,68,68,58,51,50,41,38,35,28,25,18,15,12,10,7,7,4;ENDDATAMIN =@SUM (SJD(I):(A1*(@EXP (-A2*T)-@EXP (-A3*T))-Y)^2); END运行结果如下:Local optimal solution found.Objective value: 225.3417 Extended solver steps: 5 Total solver iterations: 138 Variable Value Reduced CostA1 114.4325 0.000000A2 0.1855020 0.5787570E-08A3 2.007938 0.000000程序中定义SJD 是含有23个成员的集合,T 和Y 是SJD 的两个属性,分别表示时间t 和血液中酒精浓度y ,它们都是包含23个成员的以为数组(向量).点击运行按钮,很快得到计算结果:1a =114.4325,2a =0.1855020,3a =2.007938,目标函数值(即最优解)为225.3417.总结LINGO 软件作为一种解决许多规划问题的软件包[7],可以用LINGO 软件模型解决许多规划问题,方法简单易行,操作灵活,比较适用于规划理论的求解.通过用LINGO 对上面各个模型的求解,可以看出,由于LINGO 的内部函数限定变量取0 1或.LINGO 提供的变量定界函数有:@FOR(s:e)、@SUM(s:e)、@MAX(s:e)、@MIN(s:e)@BIN(X)、@BND(L,X,U)、@GIN(X)、@FREE(X).@BIN(X)等,使得在编写程序时,可以避免使用for,if 等循环语句,相对于用C 语言求解,LINGO 求解规划问题是十分方便的.参考文献:[1]袁新生,邵大宏,郁时炼.LINGO和Excel在数学建模中的应用[M].北京:科学出版社,2007.[2]贾贞等.运筹学原理与实验教程[M].武汉:华中师范大学出版社,2008.[3]田维.用Matlab与Lindo求解线性规划[J].德宏师范高等专科学校学报,2006,8(1):106-111.[4]刁在筠,郑汉鼎,刘家壮,刘桂真.运筹学[M].北京:高等教育出版社,2001.[5]徐玖平,胡知能.运筹学:数据·模型·决策[M].北京:科学出版社,2009.[6]邓成梁等.运筹学的原理和方法[M].武汉:华中理工大学出版社,1998,3.[7]许数柏.数学生态学模型与研究方法[J].安康师专报,2002,12(2):4-8.[8]李磊.露天矿生产的车辆安排的模型和评述[J].工程数学学报,2003,12(7):91-100.致谢本课题在选题及研究过程中得到数学科学学院吴庆丰老师的悉心指导,并为我提供相关资料,在此表示衷心的感谢!尤其是吴老师严谨的治学态度深深影响了我,使我获益良多.同时数学科学学院机房的硬件设施和学校图书馆电子资源,为本课题的研究工作提供了良好的条件.另外,本课题的部分工作还得益于同窗挚友的共同研讨,在此,对他们一并表示感谢!。