《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》教案
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(教案)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积(教案)一、教学目标1、了解棱柱、棱锥、棱台的表面积公式；2、了解棱柱、棱锥、棱台的体积公式；3、运用棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决问题.二、教学重点、难点重点：了解记忆棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式难点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式解决简单的实际问题.三、学法与教学用具1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.2、教学用具：多媒体设备等四、教学过程（一）创设情景，揭示课题【回顾】正方体及其展开图长方体及其展开图正方体棱长为a长方体三条棱长分别为,,a b c表面积表面积26 S a=正方体表面积222 S ab bc ca=++长方体表面积体积体积3 V a=正方体V abc=长方体【情景】许多建筑在装修时，需要知道它们的表面积或体积，以便计算用料和工时.【问题】如何求多面体的表面积与体积？（二）阅读精要，研讨新知【发现1】棱柱、棱锥、棱台都是多面体，多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.三棱柱及平面展开图三棱锥及平面展开图三棱台及平面展开图【例题研讨】阅读领悟课本114P 例1、例2（用时约为1分钟，教师作出准确的评析.）例1如图8.3-1，四面体P ABC -的各棱长均为a ，求它的表面积.解：由已知，四面体P ABC -的四个面都是边长为a 的正三角形，且234S a =正三角形 所以四面体P ABC -的表面积22343P ABC S a -==【发现2】棱柱、棱锥、棱台的体积棱柱棱锥棱台底面积为S ，高为h底面积为S ，高为h上底面积为S '，下底面积为S ，高为hV Sh =棱柱13V Sh =棱锥1()3V h S S S S ''=++棱台例2 如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m ，公共面ABCD 是边长为1m 的正方形，那么这个漏斗的容积是多 少立方米(精确到0.01 m 3)? (计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)解：由已知，这个漏斗的容积为ABCD A B C D P ABCD V V V ''''--=+1112110.5110.50.673263V =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=≈( m 3)【小组互动】完成课本116P 练习1、2、3、4，同桌交换检查，老师答疑.（三）探索与发现、思考与感悟1. 已知正三棱锥S ABC -（侧棱相等，底面是正三角形）的底面边长为a ，高为66a ，则此三棱锥的表面积为( )A. 234a B.233+ C. 2334a D. 234 解：如图,在三棱锥S ABC -中, 6,AB a SO ==,013sin 603OD AB =⋅⋅= 所以2263()()662aSD a a =+= 所以正三棱锥S ABC -的表面积为22133332244a S a a a =⨯⨯⨯+=表面积，故选B2.已知正方体的8个顶点中，有4个为正四面体（各个棱长相等）的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )A. 1:2B. 1:322D. 6解：如图，三棱锥B ACD ''-为正四面体，且四个面为全等的等边三角形, 设正方体的棱长为1，则2AB '=所以2342)234B ACD S ''-=⨯=表面积6S =正方体表面积 所以:2363B ACD S S ''-==正方体表面积表面积，故选B.3. 如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .解：如图，平面ABCD 2为底面边长,高为1的正四棱锥, 所以其体积为2142(2)133V =⨯⨯=. 答案:434. 正四棱台1111ABCD A B C D -，两底面边长分别为20 cm 和10 cm ，侧面面积为780 cm 2，求正四棱台的体积.解：如图，1110A B =，20AB =，取11A B 的中点1E ，AB 的中点E ，则1E E 为斜高. 设1,O O 分别是上、下底面的中心，则四边形11EOO E 为直角梯形. 因为114(1020)7802S EE =⨯+⨯=侧。
课件3：1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积 (1)S圆柱侧＝___2_π_r_l __(r为底面半径，l为母线长)． (2)S圆锥侧＝___π_r_l___(r为底面圆半径，l为母线长)． (3)S圆台侧＝___π_(_R_＋__r_)l___(R、r分别为上、下底面半径，l为母线长)． (4)圆柱、圆锥、圆台的表面积等于它的_底__面__积___与_侧__面__积___的和，
命题方向1 直棱柱的表面积 例1 一个直棱柱的底面是菱形，直棱柱的对角线长是9cm和15cm， 高是5cm，求直棱柱的全面积． [解] 如图，BD1＝9cm，A1C＝15cm，AA1＝BB1＝5cm. 在 Rt△BD1D 中，BD2＝92－52＝56，
∴BD＝2 14cm. 在 Rt△AA1C 中，AC2＝152－52＝200， ∴AC＝10 2cm. 又底面是菱形， 所以 AB＝ (5 2)2＋( 14)2＝8(cm)． 棱柱的侧面积 S1＝4×8×5＝160(cm2)， 上、下底面积的和 S2＝2 14×10 2＝40 7(cm2)， 故棱柱的全面积 S＝S1＋S2＝160＋40 7(cm2)．
2．用长为 4，宽为 2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱的轴截面
面积为( )
A．8
8 B.π
4
2
C.π
D.π
[解析] 设围成圆柱的底面半径为 r，则 2πr＝4，∴2r＝4π，
∴圆柱的轴截面面积为 S＝4π×2＝8π.或 2πr＝2，∴2r＝2π，
∴圆柱的轴截面面积为 S＝2π×4＝8π. [答案] B
(3)设正n棱台下底面边长为a、周长为c，上底面边长为a′、周长为c′， 斜高为h′，则正n棱台的侧面积公式：
高中数学必修二教案-1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积6-人教B版
级示范课《柱体、锥体、台体的表面积与体积》（第一课时）教学设计一、教材内容分析：内容：本节内容是《普通高中课程标准试验教科书（人教A 版）》必修2第一章《空间几何体》的第三节第一课时，主要内容是：根据柱、锥、台三种几何体的平面展开图，推导它们的表面积计算公式（不要求记忆公式）。
解析：把由平面围成的几何体沿着若干条棱剪开后，几何体的各面就可展开在一个平面内，得到一个平面图形，这个平面图形就是这个几何体的平面展开图，由于剪开的棱不同，同一个几何体的展开图有多种。
但是，不论怎样剪法，同一个多面体的展开图的面积是一样的，所以，我们可以通过研究它们的平面展开图，利用平面图开求面积的方法，求立体图形的表面积。
二、学生学情分析认知基础：学生在义务教育阶段已经学过相应的面积公式，对一些简单几何体的表面积有一定的感性认识；学生刚学过空间几何体的结构特征，初步具备几何直观和空间想像能力。
认知困难：受到确定性思维的影响，学生不能立体图形与平面图形的关联去想象几何体的平面展开图，有的学生想象出来的平面展开图也是不正确的，缺乏空间想象能力，这是学生认知上的难点。
教学中教师要根据学生的学习情况了解学生认知上的水平，及时调整自己的教学。
三、教学目标分析（一）课程目标：了解空间几何体的表面积的计算方法，并能计算简单组合体的表面积。
（二）课时目标：1、通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台体的表面积的求法.2、能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积，并且熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系.（三）教学重点和难点：重点：了解柱体、锥体、台体的表面积的计算公式。
难点：圆台的表面积与体积的推导。
四、教学策略分析根据本节课的内容安排和学生的实际情况，本节课主要采用“问题引领、互助互学、外化共享”的教学模式，促进学生“数据分析”数学核心素养的提升。
1、问题引领：以问题作为教学的出发点和落脚点，引导学生在具体的情境中用数学的眼光去观察现象，发现问题，在此基础上引导学生采用恰当的数学语言抽象出空间几何体的表面积的计算方法。
高中数学-棱柱棱锥棱台和球的表面积教案
1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积示范教案整体设计教学分析教材通过分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略．这是本节课的灵魂，在教学中，应加以重视．本节教材直接给出了球的表面积．值得注意的是教学的重点放在球与其他几何体的组合体的有关计算上，这是高考的重点．三维目标1．了解简单几何体的侧面展开图，并获得表面积公式，提高学生分析问题、解决问题的能力．2．会求简单几何体的侧面积和表面积，提高学生的运算能力．3．掌握球的表面积，并能应用其解决有关问题，提高学生解决问题的能力，渗透转化与化归的数学思想．重点难点教学重点：①面积公式的推导及其应用；②球的表面积公式的应用．教学难点：①求简单几何体的侧面积；②关于球的几何体的计算．课时安排1课时教学过程导入新课在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积？(引导学生回忆，互相交流，教师归类)几何体的表面积等于它的展开图的面积，那么，柱体、锥体、台体的侧面展开图是怎样的呢？你能否计算？推进新课新知探究提出问题(1)如图1所示分别是直六棱柱和正四棱锥的展开图，试归纳直棱柱的侧面展开图形状及侧面积公式．归纳正棱锥的侧面展开图形状及侧面积公式．图1(2)如图2是正四棱台的展开图，由此归纳正棱台的侧面积公式．图2(3)想一想，能否从圆柱和圆锥的展开图，得到它们的侧面积公式？ (4)阅读教材，写出球的表面积公式． 讨论结果：(1)直棱柱的侧面展图是矩形，而正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形． 设直棱柱高为h ，底面多边形的周长为c ，则得到直棱柱侧面面积计算公式 S 直棱柱侧＝ch.即直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积． 正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形．底面是正多边形，如果设它的底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为h′，容易得到正n 棱锥的侧面积的计算公式S 正棱锥侧＝12nah′＝12ch′.即正棱锥的侧面积等于它的底面的周长和斜高乘积的一半．棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和．(2)正棱台的侧面展开图是一些全等的等腰梯形．设棱台下底面边长为a 、周长为c ，上底面边长为a′、周长为c′，斜高为h′，可以得出正n 棱台的侧面积公式S 正棱台侧＝n·12(a ＋a′)h′＝12(na ＋na′)h′＝12(c ＋c′)h′，即S正棱台侧＝12＋＝12＋这一结果也可以用求两个正棱锥侧面积之差的方法得出． 棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和． (3)S 圆柱侧＝2πRh ，S 圆锥侧＝πRl.(4)S 球表＝4πR 2即球面面积等于它的大圆面积的四倍． 应用示例思路1例1已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm ，高与斜高的夹角为35°(下图)，求正四棱锥的侧面积及全面积(单位：cm 2，精确到0.01)．解：正棱锥的高PO 、斜高PE 和底面边心距OE 组成直角△POE.因为OE ＝2 cm ，∠OPE＝35°， 所以斜高PE ＝OE sin35°＝20.574≈3.49(cm)．因此S 棱锥侧＝12ch′＝12×4×4×3.49＝27.92(cm 2)，S 棱锥全＝27.92＋16＝43.92(cm 2)．变式训练1．（2008 山东高考，6）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π解析：据三视图可知该几何体由球和圆柱体组成，如下图所示，故该几何体的表面积为S ＝S 圆柱＋S 球＝2π＋6π＋4π＝12π. 答案：D2.圆台的上、下底半径分别是10 cm 和20 cm ，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？(结果中保留π)解：如下图，设上底周长为c.因为扇环的圆心角是180°， 所以c ＝π·SA.又因为c ＝2π×10＝20π， 所以SA ＝20. 同理SB ＝40.所以AB ＝SB －SA ＝20，S 圆台侧＝π(r 1＋r 2)AB ＝π(10＋20)×20＝600π(cm 2)．2如下图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的．球的半径为R.正四棱台的两底面边长分别为3R 和2.5R ，斜高为0.6R ：(1)求这个容器盖子的表面积(用R 表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；(2)若R ＝2 cm ，为盖子涂色时所用的涂料每0.4 kg 可以涂1 m 2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克(精确到0.1 kg)．解：(1)因为S 正四棱台＝4×12×(2.5R＋3R)×0.6R＋(2.5R)2＋(3R)2＝12(4×2.5＋4×3)×0.6R 2＋6.25R 2＋9R 2＝21.85R 2， S 球＝4πR 2.因此，这个盖子的全面积为S 全＝(21.85＋4π)R 2.(2)取R ＝2，π＝3.14，得S 全＝137.67 cm 2. 又(137.67×100)÷10 000×0.4≈0.6(kg)． 因此，涂100个这样的盖子共需涂料约0.6 kg. 变式训练1．一个圆柱形的锅炉，底面直径d ＝1 m ，高h ＝2.3 m ，求锅炉的表面积(保留2个有效数字)．解：S ＝S 侧面积＋S 底面积＝πdh ＋2π(d 2)2＝π×1×2.3＋π×122≈8.8 (m 2)．2．有位油漆工用一把长度为50 cm ，横截面半径为10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为10 m 2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到0.01 s)解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为S 侧＝2πrl ＝2π·0.1·0.5＝0.1π m 2， 又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m 2，因此油漆工完成任务所需的时间t ＝10 m 20.5π m 2＝20π≈6.37(s)． 点评：本题虽然是实际问题，但是通过仔细分析后，还是归为圆柱的侧面积问题．解决此题的关键是注意到圆柱形刷子滚动一周所经过的面积就相当于把圆柱的侧面展开的面积，即滚动一周所经过的面积等于圆柱的侧面积．从而使问题迎刃而解．思路2例3如下图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆．已知每平方米用100 mL 油漆，涂100个这样的花盆需要多少 mL 油漆？(π取3.14，结果精确到1 mL ，可用计算器)分析：只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量．而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积．解：如上图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S ＝π[(152)2＋152×15＋202×15]－π(1.52)2≈1 000(cm 2)＝0.1(m 2)．涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100＝1 000(mL)． 答：涂100个这样的花盆需要1 000 mL 油漆．点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用． 变式训练如下图所示，圆锥的底面半径为1，高为3，则圆锥的表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π分析：设圆锥的母线长为l ，则l ＝3＋1＝2，所以圆锥的表面积为S ＝π×1×(1＋2)＝3π.答案：C例4下图所示的几何体是一棱长为4 cm 的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm 、深为1 cm 的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少？(π取3.14)活动：因为正方体的棱长为4 cm ，而孔深只有1 cm ，所以正方体没有被打透．这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm ，底面圆的半径为1 cm .解：正方体的表面积为16×6＝96( cm 2)，一个圆柱的侧面积为2π×1×1＝6.28( cm 2)，则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6＝133.68( cm 2)．答：几何体的表面积为133.68 cm 2.点评：本题主要考查正方体、圆柱的表面积．求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积．本题中将几何体的表面积表达为正方体的表面积与六个圆柱侧面积的和是非常有创意的想法，如果忽略正方体没有被打透这一点，思考就会变得复杂，当然结果也会是错误的．变式训练（2008 深圳市高三年级第一次调研，理3）如下图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )A.32π B ．2π C ．3π D ．4π解析：该几何体是底面直径为1，母线长为1的圆柱，则其全面积是2π×12×1＋2π×(12)2＝32π.答案：A 知能训练1．已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S ，则圆锥的底面面积是__________．解析：如上图，设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧π2l 2＝S ，πl ＝2πr ，解得r ＝S2π. 所以圆锥的底面积为πr 2＝π×S 2π＝S 2.答案：S22．已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC(下图)，求它的表面积．分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍．解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD⊥BC，交BC 于点D.因为BC ＝a ，SD ＝SB 2－BD 2＝a 2－a 22＝32a ， 所以S △SBC ＝12BC·SD＝12a×32a ＝34a 2.因此，四面体S —ABC 的表面积S ＝4×34a 2＝3a 2. 3．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等．若圆柱的底面半径为r ，圆柱侧面积为S ，求圆锥的侧面积．解：设圆锥的母线长为l ，因为圆柱的侧面积为S ，圆柱的底面半径为r ，即S 圆柱侧＝S ，根据圆柱的侧面积公式，可得圆柱的母线(高)长为S 2πr .由题意得圆锥的高为S2πr .又圆锥的底面半径为r ，根据勾股定理，圆锥的母线长l ＝r 2＋S 2πr2，根据圆锥的侧面积公式，得S 圆锥侧＝πrl ＝π·r·r 2＋S2πr2＝4π2r 4＋S 22.4．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3 cm 和6 cm ，高是32 cm ，求三棱台的侧面积．解：如下图，O 1、O 分别是上、下底面中心，则O 1O ＝32，连结A 1O 1并延长交B 1C 1于D 1，连结AO 并延长交BC 于D ，过D 1作D 1E⊥AD 于E.在Rt△D 1ED 中，D 1E ＝O 1O ＝32，DE ＝DO －OE ＝DO －D 1O 1＝13×32×(6－3)＝32，DD 1＝D 1E 2＋DE 2＝3，S 正三棱台侧＝12(c ＋c′)DD 1＝2732(cm 2)．即三棱台的侧面积为2732cm 2.拓展提升问题：有两个相同的直三棱柱，高为2a ，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a>0)．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，则a 的取值范围是__________．探究：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：四棱柱有一种，就是边长为5a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋28；三棱柱有两种，边长为4a 的边重合在一起，表面积为24a 2＋32；边长为3a 的边重合在一起，表面积为24a2＋36；两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a 2＋48.最小的是一个四棱柱，这说明24a 2＋28<12a 2＋48 ⇒12a 2<20 ⇒0<a<153. 答案：0<a<153课堂小结本节课学习了：1．简单几何体的面积公式； 2．应用面积公式解决有关问题． 作业本节练习A 2,3,4题．设计感想新课标对本节内容的要求很低，属于了解层次，并且面积公式不要求记忆，教学设计中就体现了这一点，没有过多地在公式的推导上“纠缠不休”，把重点放在了对公式的简单应用上．备课资料 备选习题（2008 江苏省南京市一模）已知一个空间几何体的三视图如下图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)可得这个几何体的表面积是________．解析：由三视图可知，该几何体是底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为3的直三棱柱，其侧面积是3(2＋2＋2)＝18，两底面积是2(34×22)＝23，所以这个几何体的表面积是18＋2 3.答案：18＋2 3。
1.1.6棱柱棱锥、棱台和球的表面积
变式训练 2 已知正三棱台的底面边长分别是 30 cm 和 20 cm，其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．
解 如图所示，正三棱台 ABC—A1B1C1 中，O1、O 是上、下底面中心，D1、D 是 B1C1、BC 的中点，则 DD1 是斜高． 设 A1B1＝20，AB＝30， 10 则 OD＝5 3，O1D1＝ 3， 3 1 3 2 ∵S 侧＝S 底，∴2(60＋90)· DD1＝ 4 (20 ＋302)． 13 ∴DD1＝ 3. 3 在直角梯形 O1ODD1 中， O1O＝ D1D2－(OD－O1D1)2 13 2 10 2 ＝ 3 －5 3－ 3 ＝4 3 (cm)， 3 3 即棱台的高是 4 3 cm.
（2）若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂 料每0.4kg可以涂1m2，计算100个这样的盖 子涂色需涂料多少千克(精确到0.1kg)。
解：（1）因为
1 S正四棱台=4× ×(2.5R+3R)×0.6R 2
+(2.5R)2+(3R)2
=21.85R2.
S球=4πR2. 因此，这个盖子的全面 积为S全=(21.85+4π)R2.
课时作业
一、选择题 1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线为 2，体对 角线为 6，则这个棱柱的侧面积是 A． 2 B． 4 C． 6 D． 8 (
D )
2．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a，则 该三棱锥的表面积是 3＋ 3 2 3 2 A. 4 a B.4a ( A ) 6 2 C. 2 a 3 2 D. 3 a
c’=0
上底缩小
S柱侧 ch '
S台侧
1 c ' c h ' 2
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 2023-2024学年人教版数学高一 教学案
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积一、导入新课，板书课题本节进一步认识简单几何体的表面积和体积；表面积表示几何体表面的大小；体积表示几何体所占空间的大小；出示板书：【棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积】二、出示目标，明确任务1.了解多面体的表面积2.了解棱柱、棱锥、棱台的表面积3.了解棱柱、棱锥、棱台的体积三、学生自学，独立思考（3min）（打开课本阅读114页-115页内容，思考以下问题）1.找出你阅读内容中的知识点2.找出你阅读内容中的重点3.找出你阅读内容中的困惑点、疑难问题四、自学指导，紧扣教材自学指导一(5min)阅读至课本114页例1，思考并完成以下问题1.多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和。
2.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和。
3.例1中，四面体P-ABC的各棱长均为a（1）四面体P-ABC的四个面式是全等的等边三角形（2）PBC的面积为多少？（3）四面体P-ABC的表面积为多少？自学指导二（5min）阅读至课本115页例2，思考并完成以下问题1.完成以下表格2.思考：观察棱柱、棱锥、棱台的体积公式，它们之间有什么关系？（从结构特征来解释）3.阅读例2，完成以下问题（1）漏斗由_______和_______两部分组成；（2）V长方体ABCD-A’B’C’D’的体积为多少？（3）V棱锥P-ABCD的体积为多少？（4）漏斗的容积为多少？五、自学展示，精讲点拨1.学生口头回答自学指导问题，教师点拨并板书（答案见PPT）2.书面检测：课本116页练习1题精讲点拨自学指导13.先判断出是正三角形.，求得一个正三角形的面积，再求出四个正三角形的面积。
即求出了四面体的表面积。
自学指导22.观察所给出的体积公式，并结合图形，得出圆柱、圆锥、圆台，它们之间的关系。
3.漏斗可以看成长方体和棱锥俩部分组成，分别求出两部分的体积并相加，即求出了漏斗的容积导入新课，板书课题上节课我们学习了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的求法，那么这节课我们学习圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的求法。
棱柱、棱锥、棱台和球的表面积导学案
《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》导学案学科：数学 课型：新授 使用人：高一设计者： 审核者： 使用时间：2017年11月30日【学习目标】1、通过对棱柱、棱锥、棱台展开图的研究，了解棱柱、棱锥、棱台的表面积的求法，了解球的表面积公式．2、能运用公式求解棱柱、棱锥和棱台的表面积，熟悉棱台与棱柱和棱锥之间的转换关系．3、培养学生空间想象能力和思维能力．【创设情景】1、回忆直棱柱、正棱锥、正棱台的概念：2、正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？3、画出下面直三棱柱、正四棱锥、正四棱台的侧面展开图：abchahOSh`【概念形成】一、基本公式：_______________1、直棱柱的侧面积：S=直棱柱侧_______________2、正棱锥的侧面积：S=正棱锥侧_______________3、正棱台的侧面积：S=正棱台侧____________4、圆柱的侧面积：S=圆柱侧____________5、圆锥的侧面积：S=圆锥侧______________6、球的侧面积：S=球二、基本计算：1、正六棱柱的高为h，底面边长为a，则它的侧面积是__________,表面积是___________2、已知一个正三棱锥的侧面都是等边三角形，侧棱长为4，则它的侧面积是______________3、已知正四棱台上底面边长和高都是4cm,下底面边长是10cm,则它的全面积是_____________4、已知球的大圆周长是16πcm,则这个球的表面积是______________知识点一：棱柱、棱锥的表面积例1已知如图正四棱锥底面正方形的边长为4cm,高与斜高的夹角是30︒，求正四棱锥的侧面积及全面积.知识点二正棱台的表面积例2已知如图四棱台的上、下底面分别是边长为4 cm和8 cm的正方形，侧面是腰长为8 cm的等腰梯形，求它的侧面积．点评求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间的桥梁．另外，“还台为锥”的思想在计算中也经常用到.变式训练2 已知如图正三棱台的底面边长分别是30 cm和20 cm，其侧面积等于两底面积的和，求棱台的高．【达标自测】一、选择题1．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线为2，体对角线为6，则这个棱柱的侧面积是( )A．2 B．4 C．6 D．82．侧面都是直角三角形的正三棱锥，底面边长为a，则该三棱锥的表面积是( )A.3＋34a2 B.34a2 C.62a2 D.33a23．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，这两个球的半径之差为( )A．4 B．3 C．2 D．14．已知正三棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为153，则正三棱台的侧面积S1与底面面积之和S2的大小关系为( )A．S1>S2B．S1<S2C．S1＝S2D．以上都不是5．正四棱锥的侧面积为60，高为4，则正四棱锥的底面边长为( )A．24 B．20 C．12 D．6二、填空题6．正六棱柱的高为5 cm，最长的对角线为13 cm，则它的侧面积为________．7．若一个直立圆柱的侧视图是面积为S的正方形，则该圆柱的表面积为________．8．长方体的体对角线长度是52，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是__________．三、解答题9、如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O`且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO`和较小的棱锥PO`:(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积的比；(2)若大棱锥PO的侧棱长为12cm,小棱锥底面边长为4cm,求解得的棱台的侧面积和全面积.。
人教B版高中数学必修二棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教案(1)
课题： 球的体积和表面积教学目标：1.熟记球的体积公式和表面积公式；2.会用球的体积公式343V R π=和表面积公式24S R π=解决有关问题 教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用 教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用 教学过程：一、创设情景，引入新课：提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
二、探究新知：1．探究球的体积公式回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。
构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页) 2. 探究球的表面积公式：设球O 的半径为R ，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用12,,,,i S S S ∆∆∆L L 表示，则球的表面积:S =12i S S S ∆+∆+++∆L L以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积i S ∆可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径R 近似地等于小棱锥的高i h ，因此，第i 个小棱锥的体积13i i i V h S =⋅∆，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积:11221(3)i i V h S h S h S ≈⋅∆+⋅∆++⋅∆+L L ，又∵i h R ≈，且S =12i S S S ∆+∆+++∆L L∴可得13V R S ≈⋅， 球的体积公式：343V R π=''又∵343V R π=，∴13R S ⋅343R π=，∴24S Rπ=即为球的表面积公式 三、例题示范,巩固新知：例1已知过球面上,,A B C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且2AB BC CA ===，求球的表面积解：设截面圆心为O '，连结O A '，设球半径为R，则223O A '==， 在Rt O OA '∆中，222OA O A O O ''=+，∴22214R R =+，∴43R =， ∴26449S R ππ==． 例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，，求球的表面积和体积 解：作轴截面如图所示，CC '=，AC ==设球半径为R ，则222ROC CC '=+229=+=∴3R =，∴2436S R ππ==球，34363V R ππ==球．例3．表面积为324π的球，其内接正四棱柱的高是14，求这个正四棱柱的表面积解：设球半径为R ，正四棱柱底面边长为a ， 则作轴截面如图，14AA '=，AC =，又∵24324R ππ=，∴9R =， ∴AC ==8a =，∴6423214576S =⨯+⨯=表．例4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的23； (2) 球的表面积等于圆柱的侧面积。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》教案
教学目标
1、通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。
2
、了解棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和
解决有关实际问题。
3、培养学生空间想象能力和思维能力。
教学重难点
教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题互
相转化的思想方法的应用。
教学难点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的应用。
教学过程
一、导入
中国古代数学思想十分先进，庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是现代数学中
极限思想的根源；刘徽的《割圆术》“割之又割，以至不可割”，最终方变成了圆，这种思想
也体现了中国古人对极限的认识。利用刘徽的割圆术，我们可以把球的表面积求出来。
二、研习要点
（1）直棱柱的表面积
1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c*h。
如图，是直六棱柱的侧面展开图，直六棱柱的侧面展开图是一些全等的矩形，只要把这
些矩形的面积加起来就可以得到直棱柱的侧面积
.
设棱柱的高为h，底面周长为c，则得到的直棱柱的侧面积计算公式为S直棱柱侧=ch。
2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下底面面积的和。
【联想·发散】斜棱柱表面积的求法：
1.
由于直棱柱的侧面展开图是矩形，由矩形的面积公式可以得出直棱柱的侧面积的计
算公式。
2.
斜棱柱的侧面积可以先求出每个侧面的面积，然后求和，也可以用直截面与侧棱长
的乘积来求. 其中直截面就是和棱垂直的截面。
如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的面积为S’，则其侧面积的计
算公式就是S侧=S’·l。
（2）正棱锥的表面积
1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S
正
棱锥侧=21na·h’。 其中a为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为h’，如图，以正四
棱锥为例简单推导计算公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是
正多边形，若设它的底面边长为a，底面周长为4a，斜高为h’，容易得到正四棱锥的侧面积
计算公式为S正四棱锥侧=21·4a·h’=21ch’，
对于正n棱锥，其侧面积计算公式为S正棱锥侧=21c·h’。
2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积与底面积之和。
【联想·发散】一般棱锥表面积的求法：
1
．正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，这些等腰三角形的面积和即为它的
侧面积。
2
．一般棱锥的每个侧面都是三角形，因此设法求出它们各自的面积，然后相加即可得
到它的侧面积，再与底面积求和，即可得到它的全面积。
（3）正棱台的表面积
1．正棱台的侧面积是S=21(c+c’)·h’，其中上底面的周长为c’
，下底面的周
长为c，斜高为h’。
2
．正棱台可以看作是用平行正棱锥底面的平面截得的，因此正棱台的侧面
展开图是一些等腰梯形，腰重合所得的一个平面图形（如图），
设正棱台上、下底面周长为c’，c，斜高为h’，可得正棱台的侧面积
S正棱台侧=21(c+c’)·h’。
3．正棱台的表面积等于它的侧面积与底面积之和。
【联想·发散】一般棱台表面积的求法：
1
．正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形，底面是正多边形，则正棱台的表面积就是
这几个等腰梯形的面积与底面积之和。
2
．同样地，对于一般棱台的侧面积可分别求出每个侧面的面积后相加，再求出其底面
积，然后求和，就会得到它的表面积（有时也称全面积）。
（4）球的表面积
球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即S球
=4πR2，其中R为球的半径。
【联想·发散】圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：
1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积:
①将圆柱沿一条母线剪开后，展开图是一个矩形，这个矩形的一边
为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱底面半径为r，母线长为
l，则侧面积S圆柱侧=2πrl。
②将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面上，其展开图是一个扇
形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面圆的圆周，因此该扇形的
圆心角θ=2rl，r为圆锥底面半径，l为圆锥的母线长，根据扇形面积公式可得：
S圆锥侧=21·2πr·l=πrl，其中l为圆锥母线长，r为底面圆半径。
③圆台可以看成是用一个平行底面的平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图是一个扇
环，设圆台上、下底半径为r、R，母线长为l，则。S圆台=π(r+R)l=21(c1+c2)l，其中r，R分
别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线。
2．圆柱、圆锥、圆台的表面积就是侧面积与底面积的和。
三、知识点梳理
1、直棱柱和正棱锥的表面积
直棱柱的侧面积公式S=____________，其中c为底面多边形的周长，h为棱柱的高
用语言可叙述为________________ ；
正棱锥的侧面积公式S=_______ =__________ ，其中底面边长为a，c为底面多边
形的周长，h、为棱锥的斜高。
用语言可叙述为____________________________________；
结论：棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。
2、正棱台的表面积
设棱台下底面边长为a、周长为c，上地面边长为a、、周长为c、，斜高为h、，可以得
出正棱台的侧面积公式：
________________ =___________________;
结论：棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。
3、圆柱、圆锥的表积
圆柱的侧面积公式
S= _____________________
圆锥的侧面积公式
S=______________________
结论：圆柱、圆锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。
4、球的表面积：
设球的半径为R，那么它的表面积为S球 ___________ ，是以R为自变量的函数。
四、例题解析
题型一 求几何体的表面积
例1、 已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为45。（如图），求正四
棱锥的侧面积及全面积。
例2、如图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球
焊接而成的，球的半径为R.正四棱台的两底面边长分别为3R和2.5R，斜高为0.6R：
求这个容器盖子的表面积（用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；
若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m２，计算为100个这样的盖子涂色
约需涂料多少千克（精确到0.1kg）
练习：课本28页AB组
题型二 球面积的计算问题
例4、一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49cm２和400cm２，试问球
的表面积。
变式训练：已知球的内接正方体体积为V，求球的表面积。
五、课后作业
1、一个正三棱台的上、 下底面的边长分别为3cm和6cm,高为32cm,
求三棱台的侧面
积。（ 932）
2、如图所示，圆柱OO'的底面半径为2cm，高为4cm，点Ｐ为Ｂ'Ｂ的中点，
∠ＡＯＢ＝１２０°，试问一蚂蚁从Ａ点沿圆柱表面爬到Ｐ点的最小路程。
（22943）
．
ｐ
Ａ Ｂ Ａ＇ Ｏ＇ Ｂ＇ Ｏ