数学人教版九年级上册切线长定理.2.3切线长定理
人教版九年级数学上册《切线长定理,三角形的内切圆》课件
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
初中数学人教版九年级上册切线长定理、三角形的内切圆、内心
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线 ∴OP垂直平分AB
思考： 若延长PO交⊙O于点C，连结CA、CB， 你又能得出什么新的结论?
CA=CB
。
B P A
C
O
例题变式一
如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于 点D、E、F，且AB=3,AC=4，BC=6， ⊙O的半径为2，求 △ABC的面积
O
A
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点 分别是圆外一点和切点。
若从⊙O外的一点引两条切线PA，PB，切点 分别是A、B，连结OA、OB、OP，你能发现什么结 论？并证明你所发现的结论。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
与三角形各边都相切的圆叫 做三角形的内切圆. 三角形的内切圆的圆心叫做 这个三角形的内心.
学科网
A
I
●
B
C
例题精析
例1 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分 别相切于点D、E、F，且AB=9, AC=13，BC=14，求 AF、BD、CE的长.
解：设AF=x , 则AE=x CD=CE=AC﹣AE=13﹣x BD=BF=AB﹣AF=9﹣x 由 BD+CD=BC可得 （13﹣x）+（9﹣x）=14 解得 x=4 因此 AF=4 BD=5 CE=9
——切线长定理及三角形的内切圆
濂江中学 刘志超
探究 : 1 、切线长的概念． 经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之 经过平面上的已知点作已知圆的切线，会有怎 间的线段的长叫做这点到圆的切线长. 样的情形呢？
切线长定理 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
P101 第5、6题 P102第11、 12题
三角形外接圆
C
．o A B
三角形内切圆
C
．o
A
B
外接圆圆心：三角形三 边垂直平分线的交点。
外接圆的半径：交点到 三个顶点的距离。
内切圆圆心：三角形三 个内角平分线的交点。
内切圆的半径：交点到 三边的距离。
N
D O
P
AL
C M B
例2：已知：在△ABC中，BC=9cm，AC=14cm， AB=13cm，它的内切圆分别和BC、AC、AB切于点 D、E、F，求AF、BD和CE的长。(学生黑板板书 过程）
数学语言：
A
∵ PA、PB分别切⊙O
于点A、B.
P
O
∴ PA = PB
B
∠OPA=∠OPB
例1.PA、PB是⊙O的两条切线，
A
A、B为切点，直线OP交于⊙O
于点D、E，交AB于C.
E O CD
P
（1）写出图中所有的垂直关系.
解：OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP .
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角. 解： ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC.
切线长定义
A
O·
P
B
从圆外一点能够作圆的两条切线，切线 上这一点和切点间的线段长叫做这点到 圆的切线长.
A
O
P
B
1、切线是一条与圆相切的直线，不能度量； 2、切线长是线段的长，这条线段的两个端点分 别是圆外一点和切点，可以度量。
A
1、PA、PB相等吗？为什么？
2、∠OPA、∠OPB相等吗？
P
为什么？
反思：在解决有关圆的
初中数学切线长定理(教师版)九年级数学上册同步精品讲义(人教版)
第26课切线长定理目标导航课程标准1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.知识精讲知识点01 切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.知识点02 切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.知识点02 三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即1Pr2S (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).考法01 切线长定理【典例1】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O 交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O 的切线.【答案与解析】如图，连结OD 、，则．∴． ∵ ，∴． ∴是的中点． ∵是的中点， ∴． ∵于F ． ∴．∴是⊙O 的切线． 【总结升华】连半径，证垂直.【即学即练1】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，AD=AB+DC ，AD 是⊙O 的直径．求证：BC 和⊙O 相切．ABC 6AC BC ==8AB =BC AB D AC G DF AC ⊥F CB E EFDFGCO B E ACD 90BDC ∠=︒CD AB ⊥AC BC =AD BD =D AB O BC DO AC ∥EF AC ⊥EF DO ⊥EF 能力拓展【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．【典例2】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD ，∴∠1=∠2．∵ AD ∥OC ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． 因此 ∠3=∠4．又∵ OB=OD ，OC=OC ，∴ △OBC ≌△ODC ． ∴∠OBC=∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°， ∴ DC 是⊙O 的切线．【总结升华】因为AB 是直径，BC 切⊙O 于B ，所以BC ⊥AB ．要证明DC 是⊙O 的切线，而DC 和⊙O 有公共点D ，所以可连接OD ，只要证明DC ⊥OD ．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC 和△OBC 的内角，所以只要证△ODC ≌△OBC ．这是不难证明的．【即学即练2】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，并连接OB ，则OB ⊥AB ；在△AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， 所以AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2.x xx（2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∵∠A=30°∴OA=∴x=AD=2考法02 三角形的内切圆【典例3】已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点． （Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．考法03 与相切有关的计算与证明【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练1．下列说法中，不正确的是( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等【答案】C【分析】根据三角形的内心的性质得出A、B、D正确；根据切线的判定定理得出C不正确；即可得出结果．【详解】由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故可知A正确；由三角形内心的概念，可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，故可知B正确；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故可知C不正确；由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，可知三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故可知D 正确．故选C．【点睛】本题考查了三角形的内心与性质、切线的判定定理；熟练掌握三角形的内心性质与切线的判定定理是解决问题的关键．2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（）A．12（a＋b＋c）r B．2（a＋b＋c）C．13（a＋b＋c）r D．（a＋b＋c）r【答案】A【分析】首先根据题意画出图，观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算．【详解】如图，可得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12ABr+12BCr+12ACr=12（AB+BC+AC）r =12（a+b+c）r ，故选A.【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心．解决本题的关键是将求△ABC转化为求S△AOB、S△BOC、S△AOC．3．如图，点P在△O外，PA、PB分别与△O相切于A、B两点，△P=50°，则△AOB等于（）A ．150°B ．130°C ．155°D ．135°【答案】B 【详解】试题分析：根据切线的性质可得：△OAP=△OBP=90°，根据四边形的内角和定理可得：△AOB+△P+△OAP+△OBP=360°，则△AOB=360°－90°－90°－50°=130°． 考点：切线的性质、四边形的内角和4．如图所示，△O 的外切梯形ABCD 中，如果AD△BC ，那么△DOC 的度数为( )A ．70°B ．90°C ．60°D ．45°【答案】B 【分析】由于AD 、DC 、CB 都是△O 的切线，根据切线长定理知：△ADO=△CDO ，△DCO=△BCO ；而AD△BC ，则2△ODC 和2△OCD 互补，由此可求得△DOC 的度数． 【详解】△DA 、CD 、CB 都与△O 相切， △△ADO=△ODC ，△OCD=△OCB ； △AD△BC ，△△ADC+△BCD=180°；△△ODC+△OCD=90°，即△DOC=90°； 故选B ． 【点睛】此题主要考查的是切线长定理及平行线的性质，准确的确定角的关系是解题关键．5．如图，PA 是O ⊙的切线，切点为A ，，则O ⊙的半径为A ．1B.3C.2D.4 【答案】C【解析】解：连接AO ，则△OAP=90°，又因为△APO=30°，所以AO=1/2PO ，设AO=x ，则PO=2X ，根据勾股定理，(2X)² -X² =(23）² 解得x=2，即半径为2，故选C 。
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
数学人教版九年级上册第三课时
24.2.2.3直线和圆的位置关系（三）<<----切线长及切线长定理>>教学设计冯村初中：雷娟【教学目标】1．通过动手操作、度量、猜想、验证，理解切线长的概念，掌握切线长定理；知道三角形的内切圆和三角形的内心的概念．2．通过对例题的学习，培养分析问题、总结问题的习惯，提高综合运用知识和解决问题的能力，培养数形结合的思想．【教学重点】切线长定理及其应用，三角形的内切圆和三角形内心的概念．【教学难点】与切线长定理有关的证明和计算问题；三角形内切圆的计算问题．一、情景导入生成问题旧知回顾：1．直线和圆有哪几种位置关系？怎样判断它们的位置关系？答：三种，d>r，相离；d＝r，相切；d<r，相交．2．你觉得这几种位置关系哪种最特殊？为什么？答：相切，略二、自学互研生成能力知识模块一切线长定理【自主探究】认真阅读课本P99思考上面内容，完成下列问题：阅读教材P99第一段话可以得到以下归纳：归纳：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．如图，过圆外一点P作两条直线PA、PB与圆相切，切点分别为A、B，连接OA、OB、OP.(1)判断△PBO与△PAO的形状，并说明理由．答：△PBO与△PAO均为直角三角形，根据切线的性质．(2)△PBO与△PAO的关系怎样？根据什么判断的？答：△PBO与△PAO全等，根据“HL”可判断．(3)PA与PB、∠APO与∠BPO有怎样的关系？根据是什么？答：PA＝PB，∠APO＝∠BPO，根据△PBO与△PAO全等的性质．归纳：切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两切线的夹角．范例：为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA＝5cm，求铁环的半径．解：设圆心为O，连接OA，OP.∵三角板有一个锐角为30°，∴∠PAO＝60°.又∵PA与⊙O相切，∴∠OPA＝90°.∴∠POA＝30°∵PA＝5cm，OP＝53cm.即铁环的半径为53cm.知识模块二三角形的内心【自主探究】认真阅读课本P99思考～P100，回答下列问题：作出一个与△ABC三条边都相切的圆．解：图略．归纳：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心，它到三角形三边的距离相等，它一定在三角形的内部．【合作探究】范例：如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝9cm ，BC ＝14cm ，CA ＝13cm ，求AF 、BD 、CE 的长．解：设AF ＝x(cm )，则AE ＝x(cm )，CD ＝CE ＝AC －AE ＝13－x ，BD ＝BF ＝AB －AF ＝9－x.由BD ＋CD ＝BC 可得：(13－x)＋(9－x)＝14解得：x ＝4.因此，AF ＝4cm ，BD ＝5cm ，CE ＝9cm .三、当堂检测 达成目标【当堂检测】1．如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC＝110°.连接AC ，则∠A 的度数是35°．(第1题图) (第2题图) (第3题图)2．如图，已知⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为33． 3．如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，⊙O 的切线EF 分别交PA ，PB 于点E ，F ，切点C 在AB ︵上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是4．提示：根据题意得：AE ＝CE ，BF ＝CF ，PA ＝PB ，所以△PEF 的周长＝PE ＋CE ＋CF ＋PF ＝PE ＋AE ＋BF ＋PF ＝PA ＋PB ＝4.。
九年级数学切线长定理课件人教版
OP垂直平分AB
O
。
M
P
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB
∵OA=OB
∴OP垂直平分AB
例题讲解： 已知：如图，PA，PB是⊙O 的两条切线，A、B为切点。直线OP交⊙O 于点D、E，交AB于点C。 （1）写出图中所有的垂直关系； B OA⊥PA，OB⊥PB， OP⊥AB
:
.A 1.切线长：在经过 圆外一点的圆的切 F o. . P D 线上，这点和切点 .B 小 之间的线段的长， 结 叫做这点到圆的切 ： 线长。 2.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切 线，它们的切线长相等，圆心和这一点的 连线平分两条切线的夹角。
达 标 检 测
已知：如图，P为⊙ O外一点，PA、 PB 为⊙ O 的切线，A和B是切点， BC是直径 求证：AC∥OP
（2）写出图中所有的全 E 等三角形；
O
。
C D A
P
△OAP≌△OBP;△OCA≌△OCB △ACP≌△BCP
（3）图中有哪些线段相等(除半径外)、弧相 等？ PB=PA;BC=AC 弧BD=弧AD; 弧EB=弧EA
A E P
O C B
D
（5）如果PA=4cm，
PD=2，①求半径OA的长。
②求弦AB的长。
切线长：在经过圆外一点的圆的切线上， 这点和切点之间的线段的长，叫做这 点到圆的切线长。
A P
思考： 切线长 和切线 的区别？
O
B
小结：切线是直线，不可以度量；切线长 是指切线上的一条线段的长，可以度量。
探索！
o.
.BA
B B A B
.P
OB是⊙O的一条半径吗？PB是 线段PA与PB， ∠ APO 与∠BPO ⊙O的切线吗？ 有什么关系？
人教版九年级数学上册切线长定理ppt课件
例1.PA、PB是⊙O的两条 切线，A、B为切点，直线
A
OP交于⊙O于点D、E，交 A（B1于）写C出。图中所有的垂直关系
E
O CD
P
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
B
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
（3）写出图中所有的全等三角形
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP
∴△PEF周长为24cm
P
A E
O Q
FB
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
三、三角形的内切圆
1.与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆.
这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
A
2.三角形的内心：
定义:内切圆的圆心叫做这个三角形的内心。
O
作图:三角形的内心在三角形的角平分线上。 B
∴ AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.
H
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.
∴AB+CD=AD+BC.
A
圆的外切四边形的两组对边的和相等．
D O· E
G C
F B
课堂小结
定义
圆外一点和切点之间的线段的长
切线长 定理
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等； 圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角。
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
人教版九年级数学上册切线长定理ppt 课件
2.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为⊙O上一点，过Q点 作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12cm，求△PEF的周长。
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计
人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册24.2.2.3《切线长定理》是九年级数学中的一个重要知识点。
切线长定理是指：圆的切线长等于半径的长度。
这个定理在几何学中有着广泛的应用，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象力有重要作用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对圆的相关概念和性质有所了解。
但是，对于切线长定理的证明和应用，学生可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解切线长定理的证明过程，并通过例题让学生掌握切线长定理的应用。
三. 教学目标1.让学生理解切线长定理的定义和证明过程。
2.培养学生运用切线长定理解决实际问题的能力。
3.提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。
四. 教学重难点1.切线长定理的证明过程。
2.切线长定理在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过探究问题来理解切线长定理。
2.使用多媒体课件，直观展示切线长定理的证明过程。
3.通过例题和练习题，让学生巩固切线长定理的应用。
六. 教学准备1.多媒体课件。
2.练习题和测试题。
3.黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些与圆和切线有关的图片，引发学生的兴趣。
然后提出问题：“圆的切线长和半径有什么关系？”让学生思考。
2.呈现（10分钟）讲解切线长定理的定义和证明过程。
首先，解释切线的概念，然后说明切线与半径的关系，最后证明切线长等于半径的长度。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组尝试证明一个圆的切线长等于半径的长度。
每组派代表进行讲解，老师点评并给予指导。
4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。
题目包括判断题、选择题和解答题，涵盖切线长定理的证明和应用。
5.拓展（10分钟）让学生思考：切线长定理在实际生活中有哪些应用？可以举例说明。
鼓励学生发表自己的观点和想法。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行简要回顾，强调切线长定理的定义和证明过程，以及其在实际问题中的应用。
人教版九年级数学课件-切线长定理
即 1AC•BC1AC•r1BC•r1AB•r ，所以 r 1 AC BC AB ，代入數據
2
222
2
得r=1cm.
方法小結：直角三角形的外接圓半徑等於斜邊長的一半，
內接圓半徑
r abc 2
.
（2）若移動點O的位置，使⊙O保持與
A
△ABC的邊AC、BC都相切，求⊙O的半徑r
的取值範圍.
D
24.2 直線和圓的位置關係
第3課時 切線長定理
學習目標
1.掌握切線長定理，初步學會運用切線長定理進行計算 與證明.（重點）
2.瞭解有關三角形的內切圓和三角形的內心的概念. 3.學會利用方程思想解決幾何問題，體驗數形結合思想. （難點）
問題1 上節課我們學習了過圓上一點作已知圓的切線（如
左圖所示），如果點C是圓外一點，又怎麼作該圓的切線
⑵ ∠DOE= 70°. P
DA
C
O
E B
例2 △ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切於點D、
E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE
的長. A
想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？
理由是什麼？
F
解:設AF=xcm，則AE=xcm.
E O
∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，
2
總結歸納
設Rt△ABC的直角邊為a、b，斜邊為c，則Rt△ABC
的內切圓的半徑 r＝ a＋b－c 2
ab
或r＝ a＋b＋c
當堂練習
1.如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，切點分別是A、B，如
果AP=4, ∠APB= 40 ° ,則∠APO=20 ° ,PB=4 .
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九年级上册24.2.3 切线长定理
一、教学目标
1、了解切线长的定义；
2、掌握切线长定理，并利用其进行有关计算；
3、在切线长定理的运用中，渗透方程的思想，熟悉用代数方法解几何题.
二、教学重点
切线长定理
教学难点
应用切线长定理解决问题
三、教学过程
1、新课导入
复习：上节课，我们学习了切线的性质和判定，什么是切线的判定和性质？
切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.
下面我们来研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系.
2、切线长定义
如图，过圆外一点P有两条直线PA、PB分别与⊙O相切.经过圆
外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切
线长.
如图，线段PA、PB为⊙O的切线长.
3、探究新知
问题：如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点分别为A、B.在半透明的纸上画出这个图形，沿着直线PO将图形对折，图中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？
证明：如图，连接OA和OB.
PA和PB是⊙O的两条切线.
OA⊥AP，OB⊥BP
又OA=OB，OP=OP
∴Rt∆AOP≌Rt∆BOP.
∴PA=PB，∠APO=∠BPO.
由此得到切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
追问：OP会不会平分AB所对的两条弧？线段AB与OP存在怎样的位置关系？
切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.平分切点所成的两弧；垂直平分切点所成的弦.
4、内切圆
问题：一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？
分析：圆要与三角形的三条边都相切，说明这个圆的圆心到三角形的三条边的距离都等于半径.把该圆心找出，就可以以圆心到边的距离为半径把该圆形铁皮截下.
三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边
的距离相等.如图，分别作∠B，∠C的平分线BM和CN，设它
们相交于点I，则点I到AB，BC，CA的距离都相等.以I为圆心，
点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与∆ABC的三条边都相
切，圆I就是所作的圆.
内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切
圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
5、例题典析
例.如图, △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的长.
解: 设AF=x (cm)，则AE=x，
CD=CE=AC–AE = 13 –x
BD=BF=AB–AF = 9 –x
由BD + CD = BC可得
(13 –x) + (9 –x) = 14
解得x = 4cm
因此AF = 4 (cm)
BD=5 (cm)
CE=9 (cm)
6、练习巩固
（1）如图，△ABC中，∠ABC=
50，∠ACB=
75，点O是△ABC的内心，求∠BOC的度数. （2）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC=
25.求∠P的度数.
（3）如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切与E，F，G三点，且AB//CD，BO=6cm。
CO=8cm.
求BC的长.
（4）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分∠DAB.
7、知识拓展
（1）△ABC的内切圆半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积.（提示：设△ABC的内心为O，连接OA，OB，OC.）
（rl
S
ABC2
1
=
∆
）
（2）如图，Rt△ABC中，∠C=
90，AB，BC，CA的长分别为c，a，b.求△ABC的内切圆半径r.
分析：依题意，可得四边形OFCE 是正方形，
在Rt △ABC 中，2AD+2BD+2CE=AB+BC+AC ，
2
)(2BD AD AC BC AB CE r +-++== =22c c b a -++=)21c b a -+（
四、小结
五、作业布置。