(完整版)二阶微分方程解法
二阶微分方程解法总结
二阶微分方程解法总结二阶微分方程是数学中的重要内容，特别是在物理学、工程学等领域中经常涉及到，因此掌握其解法十分重要。
本文将围绕二阶微分方程解法进行总结，详细介绍其解法步骤和要点。
一、分类讨论首先，对于二阶微分方程，需要根据其系数是否恒为零来进行分类讨论。
具体而言，二阶微分方程可分为齐次方程和非齐次方程两类。
对于齐次方程，其系数为常数，且自由项恒为零，此时可通过代入试探解法或特征方程解法求解；对于非齐次方程，其系数同样为常数，但自由项非零，因此需要运用常数变易法求解。
二、代入试探解法代入试探解法是求解齐次方程的常用方法。
具体而言，我们先根据已知条件猜测一个特殊的解，然后再通过验证来确定是否正确。
以一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0为例，设其特殊解为y=ce^(λx)，其中c和λ为待定系数。
将这个解代入方程中，得到λ^2+ pλ+ q=0，解出λ1和λ2，即可得到通解y=c1e^(λ1x)+c2e^(λ2x)。
三、特征方程解法特征方程解法也是求解齐次方程的一种方法。
对于一般的齐次二阶微分方程y''+py'+qy=0，可以通过设y=e^(mx)得到其特征方程m^2+pm+q=0。
解出m1和m2，则通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。
需要注意的是，在特征方程的求解过程中，方程的两个解m1和m2可能相等，此时通解应为y=(c1+c2x)e^(mx)。
因此，在解题时需要特别注意此类情况的处理。
四、常数变易法常数变易法是求解非齐次方程的基本方法。
具体而言，首先求出其对应的齐次方程的通解，然后特殊解通过试探法求得。
以一般的非齐次二阶微分方程y''+py'+qy=f(x)为例，首先求出其对应的齐次方程的通解y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)。
然后，我们猜测特殊解为y*=Ax+B，其中A和B为待定系数。
将y*代入方程中，可得到A=f'/m2，B=[f/(m2^2)]-[(p/m2)A]，从而得到非齐次方程的通解为y=c1e^(m1x)+c2e^(m2x)+y*。
二阶微分方程
当 t 0 时，s |t0 v0 得 C1 v0 ds
dt gdt gt v0 .
，即
再对上式作不定积分，得
s
（gt v0）dt
1 2
gt 2
v0t C2
当 t 0 时，s |t0 s0 得 C2 s0 ，因此
5.3 二阶微分方程（92）
解 如图建立坐标系,其中O
y
为地球中心.
设地球半径为R, 物体的
l
质量为m, 物体开始下落时
R
与地球中心的距离为l( R),
O
5.3 二阶微分方程（92）
12
设物体的位置函数 y y(t) ，速度 v(t) dy dt
根据万有引力定律，得微分方程：
d2 y kmM m dt 2 y2 ,
例 2 求单摆运动微分方程
的通解.
d2
dt 2
g l
sin
0
解 f ( ) g sin 代入上面的公式，得
l
5.3 二阶微分方程（92）
6
d
C1
2
g l
t C2,
sin d
积分得
d
C1
2
g l
cos
t C2
为所求通解.
5.3 二阶微分方程（92）
C1ex C2 x2 3.
5.3 二阶微分方程（92）
19
课堂练习题
一、求下列各微分方程的通解:
1、 y xe2x ；
2、 y 1 y xex ； x
3、 y ( y)3 y；
4、 y 2 y2 0. 1 y
第三节 二阶微分方程
雁北师院高数教研室
第四章
第三节
二阶微分方程
y y e x 的通解. 例1 求方程
解
令 y p(x ),
dp 则 y dx
dp p ex 原方程化为 dx
解此一阶非齐次线
故原方程的通解为
y e x ( x C1 )dx xe x e x C1e x C2
雁北师院高数教研室
第四章
第三节
二阶微分方程
1.二阶线性微分方程解的结构 定理1 如果函数y1(x)与y2(x) 是二阶线性齐次方 程 y P ( x ) y Q( x ) y 0 的两个解, 那末 y = C1y1(x) + C2y2(x) 也是它的解. (其中C1,C2是任意常数). 问题: y C1 y1 C 2 y2一定是通解吗？
y P ( x ) y Q( x ) y 0 可观察出一个特解
(1) 若P ( x ) xQ( x ) 0, 特解 y x;
(2) 若1 P ( x ) Q( x ) 0, 特解 y e x ;
(3) 若1 P ( x ) Q( x ) 0, 特解 y e x .
2 c1 ( x ) y1 c ( x ) y f ( x ) 2
(5)
(4), (5)联立方程组
c1 ( x ) y1 c ( x ) y2 0 2 2 c1 ( x ) y1 c ( x ) y f ( x ) 2 y1 y2 系数行列式 w( x ) 0, 2 y1 y
x 1 y y y 0. 1 x 1 x
不难验证 y1 e x , 是齐次方程的一个特解 由刘维尔公式
二阶微分方程解法推导
二阶微分方程解法推导二阶微分方程解法推导是微积分学习中的重要内容，其解法可以通过特殊函数或变换得到。
在推导过程中，需要掌握基本的微分方程知识和线性代数知识，下面将分步骤进行阐述。
第一步，确定二阶微分方程的标准形式。
一般情况下，二阶微分方程的标准形式为 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中p(x) 和 q(x) 是已知函数，f(x) 是右端函数。
第二步，找到对应的齐次线性微分方程的通解。
这是求解非齐次线性微分方程的关键步骤。
齐次线性微分方程是指右端项为零的微分方程。
通过把 y=f(x) 看作是 y 的一个特解，即 y_p(x)，可以将非齐次线性微分方程转化为齐次线性微分方程加上一个特解 y_p(x)。
这时，只需要求解齐次线性微分方程的通解 y_c(x) 即可。
y_c(x) 的解法一般是利用特征方程求解，得到 y_c(x) = C1y1(x) + C2y2(x)，其中 C1 和 C2 是常数，y1(x) 和 y2(x) 是齐次线性微分方程的两个线性无关解。
第三步，求解对应的特解 y_p(x)。
特解 y_p(x) 的求解需要通过适当的变换或采用特殊函数来解决。
一些特殊函数如幂级数、傅里叶级数、拉普拉斯变换等可以帮助我们求解特解。
通过将特殊函数带入到微分方程中，可以求得对应的特解 y_p(x)。
第四步，将特解 y_p(x) 和通解 y_c(x) 相加得到非齐次线性微分方程的最终解 y(x) = y_c(x) + y_p(x)。
这时，需要通过初始条件来解出常数 C1 和 C2，得到完整的非齐次线性微分方程的解。
二阶微分方程解法推导是微积分学中的重要内容，其中涉及到的知识点较多。
掌握了这些知识点之后，就可以较好地应对复杂的微分方程求解问题。
希望大家能够在学习过程中认真思考，不断提高自己的求解能力。
二阶常系数微分方程解法
二阶常系数微分方程解法微分方程是数学中一个非常重要的部分，它描述了很多现实生活和科学问题。
其中，二阶常系数微分方程是应用广泛的一种类型的微分方程，其解法也相对较为简单，下面将详细介绍解这类微分方程的方法。
一、二阶常系数微分方程的定义和形式二阶常系数微分方程指的是形如 y''+ay'+by=f(x) 的微分方程，其中 y、f(x)均为函数，a和b均为常数。
这类微分方程中，y”表示 y 对自变量 x 的二次导数，y'表示 y 对 x 的一次导数。
二、特征方程法解二阶常系数微分方程最常用的方法是特征方程法。
根据 y=Ae^{mx} 这种形式，我们可以将 y" 和 y' 带入 y 中，得到以下等式：(Ae^{mx})''+a(Ae^{mx})'+bAe^{mx}=0化简后可得：m^2+am+b=0以上所得到的方程式称为特征方程，解特征方程的根 m_{1}, m_{2} 就可以得到二阶常系数微分方程的通解。
1、特征方程有两个不相等的实根如果特征方程有两个不相等的实根 m_{1} 和 m_{2}，那么通解为：y=C_{1}e^{m_{1}x}+C_{2}e^{m_{2}x}其中，C_1、C_2 为任意常数，分别由初始值条件所决定。
2、特征方程有两个相等的实根如果特征方程有两个相等的实根 m，那么通解为：y=(C_1+C_2x)e^{mx}其中，C_1、C_2 为任意常数。
3、特征方程有两个共轭复根如果特征方程有两个共轭复根α+iβ 和α-iβ，那么通解为：y=e^{αx}(C_1\cos βx+C_2\sin βx)其中，C_1、C_2为任意常数。
三、拉普拉斯变换法除了特征方程法外，拉普拉斯变换法也可以用来求解二阶常系数微分方程。
我们将 y、y' 和 y" 进行拉普拉斯变换，得到：L\{y''\}=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)L\{y'\}=sY(s)-y(0)L\{y\}=Y(s)将以上三个式子带入二阶常系数微分方程中，消去 Y(s)，就可以得到：s^2Y(s)-sy(0)-y'(0)+a(sY(s)-y(0))+bY(s)=F(s)其中 F(s) 为右侧函数的拉普拉斯变换。
二阶微分方程解法推导
二阶微分方程解法推导二阶微分方程是数学中的一个重要的分支，它在物理、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍二阶微分方程的解法推导，从而让读者更深入地理解二阶微分方程的求解方法。
首先，我们需要了解什么是二阶微分方程。
二阶微分方程是一个关于未知函数 y(x) 及其导数 y'(x) 和 y''(x) 的方程。
一般形式如下：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)其中 p(x)、q(x)、f(x) 都是已知函数。
对于这个方程，我们可以通过以下步骤来求解：第一步，找到其特征方程。
特征方程是 y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = 0 的解。
我们可以假设其解为 y(x) = e^(mx)，将其代入特征方程中得到：m^2 + p(x)m + q(x) = 0解这个二次方程，可以得到两个根 m1、m2，它们可以是实数或复数。
第二步，根据根的情况分类讨论。
如果 m1 和 m2 都是实数且不相等，那么 y(x) 的通解为：y(x) = c1e^(m1x) + c2e^(m2x)其中 c1、c2 是任意常数。
如果 m1 和 m2 都是实数且相等，那么 y(x) 的通解为：y(x) = (c1 + c2x)e^(mx)其中 c1、c2 是任意常数。
如果 m1 和 m2 是复数共轭，即 m1 = a + bi，m2 = a - bi，那么 y(x) 的通解为：y(x) = e^(ax)[c1cos(bx) + c2sin(bx)]其中 c1、c2 是任意常数。
第三步，根据边界条件确定具体解。
通解中的常数需要根据边界条件来确定，从而得到具体的解。
通过以上三个步骤，我们可以求解二阶微分方程的解。
需要注意的是，当特征方程产生相同的根时，其求解方法会有所不同。
此外，对于特殊类型的二阶微分方程，也可以采用其他方法来求解。
二阶微分方程解法
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypy qy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看能否适当选取r 使ye rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将y e rx 代入方程y py qy 0得(r2pr q )e rx 0由此可见 只要r 满足代数方程r 2pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解特征方程 方程r2pr q 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式2422,1qp p r -±+-= 求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数xr ey 11=、xr ey 22=是方程的解 又xr r xr x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 xr x r e C e C y 2121+=(2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为 x r e y 11=是方程的解 又x r x r xr x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r所以xr xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y xr xr ==1112不是常数 因此方程的通解为 xr x r xe C e C y 1121+=(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e (i )x、y e(i )x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数y e xcos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解 函数y 1e(i )x和y 2e(i )x都是方程的解 而由欧拉公式 得y 1e (i )xe x (cos x i sin x ) y 2e(i )xe x (cos x i sin x )y 1y 22e x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x )(21sin 21y y ix e x -=βα故e x cos x 、y 2e xsin x 也是方程解可以验证 y 1e xcos x 、y 2e xsin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为 y e x(C 1cosx C 2sin x )求二阶常系数齐次线性微分方程y pyqy 0的通解的步骤为第一步 写出微分方程的特征方程 r2pr q 0第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例1 求微分方程y2y3y 0的通解解 所给微分方程的特征方程为 r 22r 30 即(r 1)(r 3)0 其根r 11r 23是两个不相等的实根 因此所求通解为y C 1e xC 2e 3x例2 求方程y2yy 0满足初始条件y |x4、y | x2的特解解所给方程的特征方程为r22r10即(r1)20其根r1r21是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为y(C1C2x)e x将条件y|x04代入通解得C14从而y(4C2x)e x将上式对x求导得y(C24C2x)e x再把条件y|x02代入上式得C22于是所求特解为x(42x)e x例 3 求微分方程y2y5y 0的通解解所给方程的特征方程为r22r50特征方程的根为r112i r212i是一对共轭复根因此所求通解为y e x(C1cos2x C2sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程y(n) p1y(n1)p2 y(n2) p n1y p n y0称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1p2 p n1p n都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=D n p1D n1p2 D n 2 p n1D p n则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(D n p1D n1p2 D n 2 p n1D p n)y0或L(D)y0注 D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y D n y y(n)分析令y e rx则L(D)y L(D)e rx(r n p1r n1p2 r n 2 p n1r p n)e rx L(r)e rx因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r)r n p1r n1p2 r n 2 p n1r p n0称为微分方程L(D)y0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Ce rx一对单复根r 1 2i 对应于两项 e x (C 1cos x C 2sin x )k 重实根r 对应于k 项 e rx (C 1C 2x C k x k 1) 一对k 重复根r 1 2i 对应于2k 项e x[(C 1C 2x C k x k 1)cos x ( D 1D 2x D k x k 1)sin x ]例4 求方程y(4)2y 5y0 的通解解 这里的特征方程为 r42r35r20 即r 2(r22r 5)0它的根是r 1r 20和r 3 412i因此所给微分方程的通解为y C 1C 2x e x(C 3cos2x C 4sin2x )例5 求方程y(4)4y0的通解 其中解 这里的特征方程为 r44它的根为)1(22,1i r ±=β)1(24,3i r ±-=β因此所给微分方程的通解为 )2sin2cos(212x C x C ey xβββ+=)2sin2cos(432x C x C exβββ++-二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程 方程y py qy f (x )称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p 、q 是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y y *(x )之和y Y (x ) y *(x )当f (x )为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、 f (x )P m (x )e x型当f (x )P m (x )e x时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为y *Q (x )ex将其代入方程 得等式Q (x )(2p )Q (x )(2p q )Q (x )P m (x )(1)如果不是特征方程r 2pr q 0 的根 则2p q 0 要使上式成立 Q (x )应设为m 次多项式Q m (x )b 0x m b 1x m1b m 1xb m通过比较等式两边同次项系数 可确定b 0b 1b m 并得所求特解y*Q m(x)e x(2)如果是特征方程r2pr q0 的单根则2p q0但2p0要使等式Q(x)(2p)Q(x)(2p q)Q(x)P m(x)成立Q(x)应设为m 1 次多项式Q(x)xQ m(x)Q m(x)b0x m b1x m1b m1x b m通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1b m并得所求特解y*xQ m(x)e x(3)如果是特征方程r2pr q0的二重根则2p q02p0要使等式Q(x)(2p)Q(x)(2p q)Q(x)P m(x)成立Q(x)应设为m2次多项式Q(x)x2Q m(x)Q m(x)b0x m b1x m1b m1x b m通过比较等式两边同次项系数可确定b0b1b m并得所求特解y*x2Q m(x)e x综上所述我们有如下结论如果f(x)P m(x)e x则二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy f(x)有形如y*x k Q m(x)e x的特解其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式而k按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解解这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数f(x)是P m(x)e x型(其中P m(x)3x1 0)与所给方程对应的齐次方程为y2y3y0它的特征方程为r22r30由于这里0不是特征方程的根所以应设特解为y*b0x b1把它代入所给方程得3b0x2b03b13x1比较两端x同次幂的系数得⎩⎨⎧=--=-13233100b b b 3b 03 2b 03b 11由此求得b 01311=b 于是求得所给方程的一个特解为31*+-=x y例2 求微分方程y5y6y xe 2x的通解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f (x )是P m (x )ex型(其中P m (x )x2)与所给方程对应的齐次方程为y5y 6y 0它的特征方程为r 25r 60特征方程有两个实根r 12 r 23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y C 1e 2x C 2e 3x由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为y *x (b 0x b 1)e 2x把它代入所给方程 得 2b 0x 2b 0b 1x比较两端x 同次幂的系数 得 ⎩⎨⎧=-=-0212100b b b 2b 01 2b 0b 10由此求得210-=b b 11 于是求得所给方程的一个特解为 x e x x y 2)121(*--=从而所给方程的通解为x x x e x x e C e C y 223221)2(21+-+=提示y *x (b 0x b 1)e 2x (b 0x 2b 1x )e 2x[(b 0x 2b 1x )e 2x ][(2b 0x b 1)(b 0x2b 1x )2]e 2x[(b 0x 2b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0x b 1)2(b 0x 2b 1x )22]e 2xy *5y *6y *[(b 0x2b 1x )e 2x ]5[(b 0x2b 1x )e 2x ]6[(b 0x2b 1x )e 2x ][2b 02(2b 0x b 1)2(b 0x2b 1x )22]e 2x 5[(2b 0x b 1)(b 0x 2b 1x )2]e 2x 6(b 0x 2b 1x )e2x[2b 04(2b 0x b 1)5(2b 0xb 1)]e 2x [2b 0x 2b 0b 1]e 2x方程ypy qy e x [P l (x )cos x P n (x )sin x ]的特解形式应用欧拉公式可得e x [P l (x )cos x P n (x )sin x ]]2)(2)([ ie e x P e ex P e x i x i n x i xi lx ωωωωλ---++= x i nlx i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-=x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=其中)(21)(i P P x P n l -= )(21)(i P P x P n l += 而m max{l n }设方程ypy qy P (x )e (i )x的特解为y 1*x kQ m (x )e(i )x则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解 其中k 按i 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1于是方程ypyqy e x [P l (x )cos x P n (x )sin x ]的特解为x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= x ke x[R(1)m(x )cos x R (2)m (x )sin x ]综上所述 我们有如下结论 如果f (x )ex[P l (x )cos x P n (x )sin x ] 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypy qy f (x )的特解可设为y *x k e x [R (1)m (x )cos x R (2)m (x )sin x ]其中R(1)m(x )、R(2)m(x )是m 次多项式 m max{l n } 而k 按i (或i )不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 例3 求微分方程yy x cos2x 的一个特解解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f (x )属于e x[P l (x )cos xP n (x )sin x ]型(其中0 2 P l (x )x P n (x )0）与所给方程对应的齐次方程为yy 0它的特征方程为r 210由于这里i 2i 不是特征方程的根 所以应设特解为y *(ax b )cos2x (cx d )sin2x把它代入所给方程 得(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 3d 4a )sin2xx cos2x比较两端同类项的系数 得 31-=a b0 c 0 94=d于是求得一个特解为 x x x y 2sin 942cos 31*+-=提示y *(ax b )cos2x (cx d )sin2x y *a cos2x 2(axb )sin2xc sin2x 2(cxd )cos2x(2cx a 2d )cos2x (2ax 2b c )sin2xy *2c cos2x2(2cx a 2d )sin2x 2a sin2x 2(2ax 2b c )cos2x (4ax4b4c )cos2x(4cx 4a 4d )sin2xy *y *(3ax 3b 4c )cos2x (3cx 4a 3d )sin2x由⎪⎩⎪⎨⎧=--=-=+-=-0340304313d a c c b a 得31-=a b 0 c 0 94=d。
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法概述二阶微分方程是微积分课程中的重要内容，它描述了一类与二阶导数有关的数学关系。
解决二阶微分方程是求解许多自然科学和工程学科中的问题的关键步骤。
本文将介绍二阶微分方程的基本概念，常见的解法以及解法的应用领域。
二阶微分方程的基本概念二阶微分方程是指含有二阶导数的微分方程，通常形式为：d2y dx2=F(x,y,dydx)其中，y是未知函数，x是自变量，F是给定函数。
二阶微分方程可以分为线性和非线性两类，线性二阶微分方程的一般形式为：d2y dx2+P(x)dydx+Q(x)y=R(x)其中，P(x)、Q(x)、R(x)是已知函数。
常见的解法解决二阶微分方程的方法有多种，下面介绍几种常见的解法。
1. 特解和通解对于非齐次二阶线性微分方程，我们可以通过特解和通解的组合求解。
首先求解相应齐次方程（将非齐次方程中的R(x)置为0）的通解，记为y c。
然后求解非齐次方程的一个特解，记为y p。
最后，原方程的通解可以表示为y= y c+y p。
2. 常数变易法常数变易法适用于形如y″+P(x)y′+Q(x)y=R(x)的方程。
我们首先假设通解为y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)都是未知函数。
然后将通解带入原方程得到一个关于u和v的方程。
通过选择合适的u和v，使得方程成立，即可求得原方程的通解。
3. 欧拉方程对于形如x2y″+P(x)xy′+Q(x)y=0的方程，我们可以通过欧拉方程进行求解。
将未知函数y表示为y=x r，其中r是常数。
然后将这个表达式代入原方程，并确定r的值，从而求得方程的通解。
4. 分离变量法对于一些特殊的二阶微分方程，我们可以使用分离变量法求解。
例如，对于形如y″=f(x)g(y)的方程，我们可以将方程两边同时乘以dy/dx，从而将方程分离为关于x和y的方程。
然后可以分别积分得到x和y的关系式，最终求得方程的解。
二阶微分方程的应用领域二阶微分方程在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
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第六节 二阶常系数齐次线性微分方程
教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐
次线性微分方程的解法
教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法
教学过程：
一、二阶常系数齐次线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程: 方程
y ''+py '+qy =0
称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p 、q 均为常数.
如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y =C 1y 1+C 2y 2就是它的通解.
我们看看, 能否适当选取r , 使y =e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y =e rx 代入方程
y ''+py '+qy =0
得
(r 2+pr +q )e rx =0.
由此可见, 只要r 满足代数方程r 2+pr +q =0, 函数y =e rx 就是微分方程的解.
特征方程: 方程r 2+pr +q =0叫做微分方程y ''+py '+qy =0的特征方程. 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式
2
422,1q p p r -±+-= 求出.
特征方程的根与通解的关系:
(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解.
这是因为,
函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x
r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为
x r x r e C e C y 2121+=.
(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分
方程的两个线性无关的解.
这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又
x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+''
0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,
所以x
r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为
x r x r xe C e C y 1121+=.
(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=α±i β时, 函数y =e (α+i β)x 、y =e (α-i β)x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e αx cos βx 、y =e αx sin βx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (α+i β)x 和y 2=e (α-i β)x 都是方程的解 而由欧拉公式 得
y 1=e (α+i β)x =e
x (cos x +i sin x ) y 2=e (α-i β)x =e
x (cos x -i sin x ) y 1+y 2=2e
x cos x )(21cos 21y y x e x +=βα y 1-y 2=2ie x
sin x )(21sin 21y y i x e x -=βα 故e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 也是方程解.
可以验证, y 1=e αx cos βx 、y 2=e αx sin βx 是方程的线性无关解.
因此方程的通解为
y =e αx (C 1cos βx +C 2sin βx ).
求二阶常系数齐次线性微分方程y ''+py '+qy =0的通解的步骤为:
第一步 写出微分方程的特征方程
r 2+pr +q =0
第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.
第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解.
例1 求微分方程y ''-2y '-3y =0的通解.
解 所给微分方程的特征方程为
r 2-2r -3=0, 即(r +1)(r -3)=0
其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为
y =C 1e -x +C 2e 3x .
例2 求方程y ''+2y '+y =0满足初始条件y |x =0=4、y '| x =0=-2的特解.。