斐波那契数列的矩阵和行列式表示
斐波那契数列
为求得斐波那契数列的一般表达式，可以借助线性代数的方法。
高中的初等数学知识也能求出。
高中的初等数学知识解法已知∙a1 = 1∙a2 = 1∙a n = a n− 1 + a n− 21首先构建等比数列设a n+ αa n− 1= β(a n− 1+ αa n− 2)化简得a n= (β − α)a n− 1+ αβa n− 2比较系数可得:不妨设β > 0α > 0解得：所以有a n+ αa n− 1= β(a n− 1+ αa n− 2) 即{a n+ αa n− 1}为等比数列。
2求出数列{a n+ αa n− 1}有以上可得：令设解得而故有又有上式表达了两个月之间，兔子数目之间的关系。
而要求的是，A n+1的表达式。
2 求矩阵的特征值: λ行列式：-λ*(1-λ)-1*1=λ²-λ-1当行列式的值为0，解得λ1=或λ2=3特征向量将两个特征值代入求特征向量得==4 分解首向量第一个月的情况是兔子一对，新生0对。
将它分解为用特征向量表示。
（4）5用数学归纳法证明从=可得（5）6 化简矩阵方程将（4）代入（5）根据37 求A的表达式现在在6的基础上，可以很快求出A n+1的表达式，将两个特征值代入6 中(7)斐波那契数亦可以用连分数来表示：而黄金分割数亦可以用无限连分数表示：和自然的关系许多的生物构成都和斐波那契数列有正相关。
例如人体从肚脐至头顶之距离和从肚脐至脚底之距趋近于向日葵的种子螺旋排列99%是。
恒等式证明以下的恒等式有很多方法。
以下会用组合论述来证明。
F n可以表示成用多个1和多个2相加令其和等于<mat 不失一般性，我们假设n≥ 1。
F n + 1是计算了将1和2加到n的方法的数目。
若第一个被加数是1，有F n种方法来完成对n-1的计算；若第一个被加数是2，有F(n-1)来完成对n-2的计算。
因此，共有F n + F n - 1种方法来计算n的值。
∙F1 + F2 + F3 + ... + F n = F n + 2 - 1计算用多个1和多个2相加令其和等于n+1的方法的数目，同时最后一个加数是2的情况。
斐波那契数列
斐波那契数列Fibonacci sequence递归数列的一种。
意大利数学家L.斐波那契所著《算盘书》中，有一个古代数学趣题斐济维提雷弗岛的红树之一——兔子问题：假定一对大兔每月能生出一对小兔，而小兔经过一个月就长成大兔，问从一对小兔开始，一年后共繁殖成多少对大兔？这个问题导出一个数列：1，2，3，5 ，8，13，21，34，…，它的规律是，从第三项起，每一项都等于这项的前面两项的和，即an+2＝an+1＋an。
它的通项公式是斐波那契数公式有趣的是，公式中含有对无理数的运算，但对任一个正整数n，结果都是整数。
以斐波那契數為邊的正方形拼成的長方形斐波那契数（<noinclude>），台灣译為費伯納西數列。
在數學上，斐波那契數列是以遞歸的方法來定義：•<math>F_0=0</math>•<math>F_1=1</math>•<math>F_n = F_{n-1}+ F_{n-2}</math>用文字來說，就是斐波那契數列由0和1開始，之後的斐波那契數就由之前的兩數相加。
首幾個斐波那契數是（OEIS A000045）：0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946源起根據高德納的《計算机程序設計藝術》，1150年印度數學家Gopala和Hemachandra在研究箱子包裝物件長闊剛好為1和2的可行方法數目時，首先描述這個數列。
在西方，最先研究這個數列的人是比萨的列奥纳多（又名斐波那契），他描述兔子生長的數目時用上了這數列。
•第一個月有一對剛誕生的兔子•第兩個月之後牠們可以生育•每月每對可生育的兔子會誕生下一對新兔子•兔子永不死去假設在n月有新生及可生育的兔子總共a對，n+1月就總共有b對。
斐波那契数列与矩阵
令
X(k 1)
A
X( k )
2
建立矩阵形式的模型
第k+1月初矩阵形式关系式：
X(k 1) AX(k )
递推
A X(k 1) A X(k 2)
2
3
A X(1)
k
1 k 得 X(k 1) A X(1) 而 X(1) 0 k 要得到第k+1月初兔子的对数，只需求出 A
1 5 2
十九世纪初，法国数学家比内首先证
明这一表达式，现在称之为比内公式
Binet
(3) 推导斐波那契数列通项
1
建立兔子种群繁殖模型
设 第k月初两部分兔子的对数分别为： —不能生育的新生兔子 x1 (k ) —能生育的成熟兔子 x2 ( k )
2
建立矩阵形式的模型
x1 (k 1) x 2 (k ) x 2 (k 1) x1 (k ) x 2 (k )
x1 (k 1) 0 1 x1 ( k ) x (k 1) x ( k ) 2 1 1 2
则 第一个月 x1 (1) 1, x2 (1) 0
第k+1月初的兔子 对数是多少？
(3) 推导斐波那契数列通项
月份
1 2 3
兔子数(对)
1 1 2
4
5
3
5
6
7 … … … … … … … … … … … … …
8
13 …
Fn : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ……
以 1 2 为列向量构造矩阵P
斐波那契数列的性质
斐波那契数列的性质斐波那契递推式：斐波那契通项公式：求证过程如下：斐波那契和矩阵的关系：描述这个。
那还是描述矩阵和线性递推式的关系吧线性递推式。
即F(n)和F(n-1),F(n-2),F(n-3),F(n-4)...其阶均是⼀次的关系。
如F(n)=2F(n-1)+F(n-2).F(n)=F(n-1)+2F(n-3)+4F(n-4)...矩阵可以求解这样的递推式。
也就是说可以快速计算F(n).时间复杂度可以到达log(n)级别。
先介绍⼀下我们需要⽤到的关于矩阵的知识。
描述矩阵规模时：n⾏m列。
即⼤⼩为n*m.矩阵乘法：形状上：2*2 和 2*3 的矩阵乘积后,结果是2*3的矩阵。
即 a*b 矩阵和 c*d的矩阵乘积结果是a*d的矩阵。
其中b和c必须相等。
原因看下⾯。
运算法则：对于结果矩阵的第i⾏第j列的位置的结果是由前⼀个矩阵的对应的⾏。
和后⼀个矩阵对应的列。
对应位置 乘积和获得的。
⽐如第1⾏第1列的11.是由前矩阵的第⼀⾏(1,3)和后矩阵的第⼀列(2,3)对应位置乘 积和。
1*2+3*3 = 11 获得的。
如果上述b和c如果不相等。
那么会有地⽅"失配"没有数值可以进⾏ 计算。
不符合矩阵乘法定义。
矩阵乘法性质： 矩阵乘法不符合交换律。
符合结合律。
（具体不分析了。
稍加思考即得。
）矩阵的幂运算：即计算以下式⼦。
其中朴素想法可以通过⼀步⼀步矩阵乘法来获得结果矩阵。
但是从宏观⾓度上去想。
我们把矩阵的乘法理解成⼀种普通的数的乘法。
我们现在要计算数的幂。
可以类⽐快速幂。
那么矩阵也有矩阵的快速幂。
分治思想。
具体实现其实就是快速幂把乘法那部分改成矩阵乘法即可。
代码百度上有很多。
等下我会放⼀份。
（acdreamer矩阵的模板）矩阵计算递推式。
⽐如:对于F(n)=aF(n-1)+bF(n-2)我们可以构造矩阵和矩阵⼆者乘积为：会发现经过⼀次乘积。
我们可以获得矩阵。
那么我们再将这个矩阵乘⼀次就会得到F(3),F(2)的矩阵。
三阶递归序列的性质及其应用
单位代码 01学号 **********分类号 024密级毕业论文三阶递归序列的性质及其应用院(系)名称信息工程学院专业名称信息与计算科学学生姓名**指导教师***2015 年 5 月15 日三阶递归序列的性质及其应用摘要斐波那契序列是一种经典的递推关系序列，由于后来的研究发现使得斐波那契序列有越来越多的性质被人们所发现，越来越多的应用被人们所使用，因而引起了国际上好奇数学家们的极大关注．上个世纪有一本专门研究它的杂志——《Fibonacci Quarterly (斐波那契季刊)》于1963年开始发行，并且在美国还专门设立了斐波那契数委员会，研究和处理有关问题．如今所发现的许多生物和生活现象也都与斐波那契数密切相关，同时其推广和应用几乎渗透到数学的各个分支，并且在物理、生物等自然科学中起着重要作用．后来科学家和研究者们又将二阶的斐波那契序列进行推广，得到了广义的三阶递归序列和三阶斐波那契序列．其中三阶斐波那契序列形式多样，而把三阶斐波那契序列与矩阵法联系起来，一直受到人们的青睐．本文便利用三阶线性递归序列的系数矩阵的若当标准形推出了三阶斐波那契序列的通项表达式以及前n 项和计算公式的性质，并得到了一些与斐波那契数列相似的性质，本文同时也涉及了三阶斐波那契数列的运用问题．关键词：递归序列，三阶斐波那契序列，若当标准型，矩阵法Third-order Recursion Sequence’s Properties and its ApplicationsAuthor: Zou KeTutor: Tang FengjunAbstractThe Fibonacci sequence is a kind of classic sequence of recursive relations. Due to later studies had found that the Fibonacci sequence had more and more natures to be found, and that had more and more applies to be used by people, thus it had caused the mathematicians being curious in the world. In the last century the specializes of a magazine——《Fibonacci Quarterly》was launched in 1963.In the United States it also set up a special committee of Fibonacci number to study and deal with related issues. Now in many biological and life phenomenon are closely related to the Fibonacci Numbers. At the same time its popularization and application of pervades virtually were a branch of mathematics, and in the natural sciences such as physic, biology also played an important role.Later scientists and researchers had popularized the second order of the Fibonacci sequence, so that had obtained the generalized third-order recursion sequence and the third-order Fibonacci sequence. The three-order of the Fibonacci sequence had varied forms. As we all known, the third-order the Fibonacci sequence was linked with matrix method, also had been under the favor of people. In this paper, by using the third-order of the coefficient matrix of the linear recursion sequence when standard form being launched the third order item expressions of the Fibonacci sequence and the nature of the calculation formula of the first n items. People also got some properties which were similar to the Fibonacci sequence. This paper also involves the use of the three-order about the Fibonacci sequence problems. Keywords: Recursion sequence, the third order of the Fibonacci sequence, Jordan Standard, Matrix method目录1 绪论 (1)1.1 斐波那契序列简介 (1)1.2 矩阵方法的背景简介 (2)2 几种初级递推序列的介绍 (3)2.1 二阶斐波那契序列 (3)2.2 卢卡斯序列 (3)3 三阶线性递归序列 (5)3.1 三阶线性递归序列的定义 (5)3.2 三阶线性递归序列特征值与通项表达式 (5)3.2.1 若序列特征根两两不同 (5)3.2.2 若序列特征根两个相等 (6)3.2.3 若序列特征根全相等 (7)4 三阶线性递推序列通项及前n项和计算公式 (10)4.1 三阶线性递推序列通项及前n项和 (10)4.2 一类特殊的3 阶线性递推序列 (12)5 三阶斐波那契数列 (15)5.1 三阶斐波那契数列和矩阵的定义 (15)5.2 三阶斐波那契数列的通项表示的矩阵法及Cassini公式 (16)5.2.1 三阶斐波那契数列的通项表示的矩阵法 (16)5.2.2 三阶斐波那契数列的通项公式的Cassini公式 (16)5.3 三阶斐波那契数列通项表示的行列式形式 (17)5.4 r阶斐波那契数列及性质 (18)6 三阶线性递归序列的应用 (19)7 结论 (21)致谢 .......................................................................................................... 错误!未定义书签。
斐波那契数列与行列式
斐波那契数列与行列式
郝秀梅
【期刊名称】《山东科学》
【年(卷),期】2001(014)002
【摘要】本文主要给出了斐波那契(Fibonacci)数列的通项行列式证法,给出与斐波那契数列紧密相关的一个重要极限,并附带给出行列式的一些应用.
【总页数】5页(P6-9,37)
【作者】郝秀梅
【作者单位】山东财政学院数学系,山东,济南,250014
【正文语种】中文
【中图分类】O151.22
【相关文献】
1.斐波那契数列的矩阵和行列式表示 [J], 段淑娟;孙丽萍
2.一类行列式的计算--范德蒙行列式和行列式乘积的应用 [J], 赵强
3.用"有理"取代"无理"的斐波那契数列公式——揭示斐波那契数列与二项式的隐匿关系 [J], 刘红
4.零阶行列式和零值行列式：对n阶行列式的... [J], 沈莲理
5.斐波那契数列在三对角行列式计算中的应用 [J], 刘玲; 方春霞; 胡佳宁; 缪梦楠因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
斐波那契数列矩阵快速幂
斐波那契数列矩阵快速幂斐波那契数列是指这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列可以定义如下：F(0) = 0F(1) = 1F(n) = F(n-1) + F(n-2) （n≥2，n∈N*）现在我们来考虑如何使用矩阵快速幂来计算斐波那契数列。
对于斐波那契数列，我们可以使用如下的矩阵表示：| F(n) || 11 || F(n-1) ||| = || * |||F(n-1)|| 10 || F(n-2) |根据矩阵的乘法法则，两个矩阵可以相乘，当且仅当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
因此，我们可以将上面的矩阵表示转化为如下的形式：Fn-1, Fn-2 = Fn-2, Fn-3 * (1 1, 1 0)接下来，我们可以使用矩阵快速幂来加速计算斐波那契数列。
矩阵快速幂的步骤如下：1. 将要求的幂次写成二进制的形式。
2. 将矩阵不断地进行平方运算，直到幂次的某一位为1。
3. 将平方的结果乘到答案里。
例如，如果要求2^10，我们可以将10表示成二进制的形式，即1010，在平方运算的过程中，每次将矩阵平方并存储下来，如果当前位的值为1，则将存储下来的结果乘到最终答案中。
使用矩阵快速幂来计算斐波那契数列的代码如下：int fib(int n) {if (n <= 1) {return n;}int res[2][2] = {{1, 1}, {1, 0}};pow(res, n - 1);return res[0][0];}void pow(int res[2][2], int n) { int tmp[2][2] = {{1, 1}, {1, 0}};while (n) {if (n & 1) { multiply(res, tmp);}multiply(tmp, tmp);n >>= 1;}}void multiply(int res[2][2], int tmp[2][2]) {int a = res[0][0] * tmp[0][0] + res[0][1] * tmp[1][0];int b = res[0][0] * tmp[0][1] + res[0][1] * tmp[1][1];int c = res[1][0] * tmp[0][0] + res[1][1] * tmp[1][0];int d = res[1][0] * tmp[0][1] + res[1][1] * tmp[1][1];res[0][0] = a;res[0][1] = b;res[1][0] = c;res[1][1] = d;}在这段代码中，我们定义了三个函数：pow、multiply和fib。
矩阵乘法矩阵快速幂最基本的矩阵模型——斐波那契数列
矩阵乘法矩阵快速幂最基本的矩阵模型——斐波那契数列矩阵，⼀个神奇⼜令⼈崩溃的东西，常常⽤来优化序列递推在百度百科中，矩阵的定义：在数学中，矩阵（Matrix）是⼀个按照长⽅阵列排列的复数或实数集合，最早来⾃于⽅程组的系数及常数所构成的⽅阵。
这⼀概念由19世纪英国数学家凯利⾸先提出。
好，很⾼深对吧。
那我们就更加直接地理解⼀下矩阵的实质：⼆维数组好了这个SB都会，就不解释了同⼆维数组⼀样，矩阵是⼀个'纵横排列的⼆维数据表格'，它⼀般是⼀个n*m的⼆维数组，其中n*m表⽰它有n⾏m列每⼀位上的数可以⽤下标i,j来表⽰，形如这样⼀个矩阵：这⾥我们就可以⽤B[1][2]来表⽰8这个元素矩阵有加/减/乘法（有没有除法我不知道），其中加减法的限制⽐较⼤，当且仅当两个矩阵的⾏列数都相等时才能进⾏加减加减的操作也很简单，只需要按位加减即可这些都是次要的，最主要的其实是矩阵乘法我们定义矩阵乘法：设A为m*p的矩阵，B为p*n的矩阵，那么称m*n的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作C=AB，其中矩阵C中的第i⾏第j列元素可以表⽰为：这样我们就很轻松的得到了⼀个O(n^3)的矩阵乘法，虽然还有更快的，但⼀般来说已经⾜够矩阵乘法有以下⼏条重要性质：矩阵乘法满⾜集合律，即(AB)C=A(BC)矩阵乘法满⾜分配律，即(A+B)C=AC+BC矩阵乘法⼀般不满⾜交换律以上第三条就告诉我们，平时写两个数相乘的时候可以为所欲为，但是矩阵就完全不同了，AB!=BA很简单，结合矩阵乘法来理解下。
换句更简单的，甚⾄交换后这两个矩阵都⽆法相乘，因为他们的列数可能就不相等了然后我们⼜由于第⼀条可以得出矩阵快速幂的算法⾸先矩阵幂只有⽅阵（即⾏数等于列数的矩阵）才可以做，要不然到后⾯都乘不了了（还是因为列数不相等了）这个也很简单，我们只需要把⼀般的快速幂乘法部分改成矩阵乘法即可还是⼀句话：不要乘反了！对了，还要引出⼀个叫单位矩阵的东西，这个就好⽐⼀般乘法中的单位1⼀样。