初等模型(一)
数学建模实验报告
湖南城市学院数学与计算科学学院《数学建模》实验报告专业：学号：姓名：指导教师：成绩：年月日实验一 初等模型实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。
实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。
A 题 飞机的降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。
根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。
如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。
出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。
（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。
B 题 铅球的投掷问题众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m 的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o 的有效扇形区域内。
以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。
而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。
影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。
最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：实验报告：一、问题分析在研究飞机下落过程中，需要分析飞机下降的降落曲线，根据经验应该是一条五次多项式。
以降落点为原点O建立直角坐标系。
第一节初等模型
第一节初等模型解决实际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模，方法简单而初等，容易被更多的人理解接受和采用，就更有价值。
下面举的例子，虽然不是很复杂，但告诉我们，只要仔细地观察生活，你就会发现，在我们周围处处存在着可用数学解决的问题。
一、代数法建模[例8.1.1] 椅子问题在我们周围的日常生活中，到处都会遇到数学问题，就看我们是否留心观察和善于联想，比如有这样一个问题（你或许认为这个问题与数学毫不相干）：4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否一定同时着地？模型假设：（1）椅子的四条腿一样长，4脚的连线是正方形。
（2）地面是数学上的光滑曲面，即沿任意方向，切面能连续移动。
建模的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系。
假定椅子中心不动，4条腿着地点视为几何学上的点，用A、B、C、D表示，将AC、BD连线看作x轴、y轴，建立如图8.1.1所示的坐标系。
引入坐标系后，将几何问题代数化，即用代数方法去研究这个几何问题。
图8.1.1人们习惯于，当一次放不平稳椅子时，总是转动一下椅子（这里假定椅子中心不动），因而将转动椅子联想到坐标轴的旋转。
设为对角线AC转动后与初始位置x轴夹角，如果定义距离为椅脚到地面的竖直长度。
则“着地”就是椅脚与地面的距离等于零，由于椅子位于不同位置，椅脚与地面距离不同，因而这个距离为的函数，设──A、C两脚与地面距离之和；──B、D两脚与地面距离之和。
因地面光滑，显然，连续，而椅子在任何位置总有三只脚可同时“着地”，即对任意的，，总有一个为零，有。
不失一般性，设于是椅子问题抽象成如下数学问题：假设：，是的连续函数，且对任意，。
求证：存在，使得。
证明：令，则将椅子转动，对角线互换，由和，有，，从而。
而在上连续，由介值定理，必存在使得。
即。
又因对任意，从而。
即在方向上椅子四条腿能同时“着地”。
椅子问题的解决是学习运用类比法的一个很好实例，从中可受到一定启发，学习到一些建模技巧：转动椅子与坐标轴旋转联系起来；用一元变量表示转动位置；巧妙地将“距离”用的函数表示，而且只设两个函数，（注意椅子有4只脚！）；由三点定一平面得到；利用转动并采用了介值定理使得问题解决得非常巧妙而简单。
数学建模初等模型ppt课件
问题分析 通常 ~ 三只脚着地 放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
型 假
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续
设 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
理学院 4
模型构成
xx
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
评注和思考 建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
理学院 7
xx
2.1.2 分蛋糕问题
妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的 蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下 的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了：这个问题，
11
理学院
xx
数学模型为
10
y y1 y2 10 x 41.6 10 x 5 2.4 15 41.6
0 x4
4 x 15 15 x
0.8
t 2.5
计算起来很简单。
理学院 12
xx
2.1.4 蚂蚁逃跑问题
数学建模
（Mathematical Modeling)
1
xx
第二章 初等模型
理学院 2
黑
第二章 初等模型
龙
江
生活中的问题
科
技
极限、最值、积分问题的初等模型
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
第一章 初等模型共159页文档
直观上,
该点应该在区间
0
，
π 2
中点的附近,
而
π 0.78375. 4
因而该结果和猜测相差不大.
模型评价
我们用近似求解的方法代替精确求解的方法, 从而在计算 过程中还会带来一定的误差. 因此, 最终的结果我们是保留 了两位有效数字, 当然从从实用的角度看, 这也足够了.
问题三 光的折射定律 设在x 轴的上下两侧有两种不同
f 0
的问题.
解模
求导后得
f'()5 s1 in 02 cos12c so in s25. ⑵
该函数的零点并不容易求得. 我们用二分法求出该函数的
零点.
怎么办？？？
因
f'( 0 .1 ) 5 0 0 ,f'( 1 .0 ) 1 6 .8 9 ,
所以存在*0.1,1.0, 使得 f '(*) 0.
A B 上选定一点 D , 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里
货运的运费与公路每公里货运的运费之比为3 : 5 , 问D 点
应选在何处?
建模 设 ADxkm, 则
DB100x, A x D
B
20km
C
CD 400x2. 再设铁路上货运的运费为3k / km, 公路上货运的运费为
5k / km, 从B 到 C 的总运费为 y , 则
1 lx
,
v2 h22(lx)2
t(x)v11(h12h 12 x2)3 2v12[h22h (l2 2x)2]3 20,
x[0,l],
由此可知 t x 在区间 0 , l 有唯一的零点 x 0 , 且该点为函
数t x 的最小值点.
由t x 0, 得
浙江大学数学建模——初等模型(杨起帆)
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。
进一步深入考虑
多测几次，取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间值0+中包，含即了可 反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反
应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。
汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和
θ2 的值。
y(ta1)nxb（护卫舰的路线本方模程型）虽简单，但分析
y(ta2n )xb（航母的路线方极程清）晰且易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。 比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们 的 差异仅仅在引 流窗起。户的不，同不。存在户内外的空气对
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
令： ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 ：
x2(y-h)2r2
解得： Ta1 2 k1(lk1kl2)d/(T k12d)T2
k1T1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 21 dT2 k1d2T 1k 1lT2 k2d
f(h)
室 外
T2
室1 0.9内
类似有
k1
T1 T2 2d
一些经典初等数学模型
一些经典初等数学模型
1. 走迷宫：在一个有迷宫的场地内，从起点到终点，找到最短的路线。
2. 鸡兔同笼：已知笼子里面有若干只鸡和兔子，总共有头和只脚，求鸡和兔子的数量。
3. 填数字：在一个九宫格里填入数字1到9，每行、每列、每个宫内数字互不重复。
4. 数列求和：给定一个数列，求其中任意连续段的和，或者整个数列的和。
5. 球与盒子：有若干个不同颜色的球和盒子，球可以放入盒子中，求有多少种不同的放法。
6. 求根公式：已知二次方程的系数，求解出这个二次方程的根。
7. 绳子问题：两根不同长度的绳子分别燃烧完的时间不同，如何用这两根绳子在规定时间内测量出一个15分钟的时间。
8. 凸包问题：给定一些点的坐标，如何找到能够包住所有点的最小凸多边形。
9. 最小生成树：给定一个连通的无向图，找到一棵包含所有节点的生成树，使得边的权值之和最小。
10. 铺地砖：已知一个矩形地面，和两种不同形状的砖块，如何将这些砖块拼接在一起，使得地面完全被铺满。
2.1 初等数学方法建模实例(一)
模型构成：
CLV(恒定线速度)光盘
数据容量 C CLV LCLV ρ：线密度, LCLV ：信道总长度 R1：光盘环形区域内圆半径, R2 ：外圆半径, d ：信道 间距
LCLV
(xt, yt) Rt (xl, yl) Rl Rr (x , y ) r r
• 连接三根圆杆的中心获 得一个三角形，用a,b,c 表示对应的三条边 • a = Rl + Rt • b = Rr + Rt
xt = xl + acos(+) = xl + a(coscos - sinsin) yt = yl + asin(+) = yl + a(sincos + cossin) • cos = d/c • sin=e/c • c = (d 2 + e 2)1/2 • d = xr – xl
• 则可以调用如上三杆问题的算法先由1，2号杆 算出4号杆坐标，接着再用2，3号杆算出5号杆 坐标，最后用4，5号杆算出6号杆坐标
2.1.2. 光盘的数据容量
• 问题: CD的数据容量: 单层 650MB (兆字节)
DVD的数据容量: 单层 4.7GB (千兆字节) 从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是怎样确 定的？在一定条件下怎样使其最大化？
k1 k2
16,
Q Q
1 8h 1
,h
L d
若取最保守的估计,有
k1 k2
16,
Q Q
1 8h 1
,h
L d
• Q/Q’ 是仅与h有关的函数. 可以从图形来考察它的取值情况！
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即为两个线性函数l0 (x),l1(x)的线性组合.
称l0 (x),l1(x)为一次插值基函数.
A方 p1 n1 B方 p2 n2
衡量公平分配的数量指标 当p1/n1= p2/n2 时，分配公平 若 p1/n1> p2/n2 ，对 A 不公平
p1/n1– p2/n2 ~ 对A的绝对不公平度
p1=150, n1=10, p1/n1=15 p2=100, n2=10, p2/n2=10
p1/n1– p2/n2=5
,m
该席给Q值最大的一方 Q 值方法
三系用Q值方法重新分配 21个席位
按人数比例的整数部分已将19席分配完毕
甲系：p1=103, n1=10 乙系：p2= 63, n2= 6 丙系：p3= 34, n3= 3
用Q值方法分配 第20席和第21席
第20席
Q1
1032 1011
96.4,
Q2
632 67
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x最简单的一种: 给定y f (x)的插值条件,构造函数p1(x) 满足条件: 1.p1(x)是一个不超过一次的代数多项式 2.p1(x0 ) y0, p1(x1) y1
目的: 构造p1(x)来近似代替f (x).当求某一 点x的函数值f (x)时,可用p1(x)近似代替.
比 例
人数 （%） 比例 结果
比例
结果
对 丙
加 甲 103 51.5 10.3 10 10.815 11 系
惯 乙 63 31.5 6.3 6 6.615 7 公
例 丙 34 17.0 3.4
4
3.570
3
平 吗
总和 200 100.0 20.0 20 21.000 21
“公平”分配方 法 人数 席位
当 rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 该席给A rA, rB的定义
p22
p12
该席给A
n2 (n2 1) n1(n1 1) 否则, 该席给B
定义
Qi
pi2 ni (ni 1)
,
i 1,2, 该席给Q值较大的一方
推广到m方 分配席位
计算
Qi
pi2 , ni (ni 1)
i 1,2，
rA (n1, n2 )
~ 对A的相对不公平度 公平分配方案应
类似地定义 rB(n1,n2)
使 rA , rB 尽量小
将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即
设A, B已分别有n1, n2 席，若增加1席，问应分给A, 还是B
不妨设分配开始时 p1/n1> p2/n2 ，即对A不公平
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A 2）若 p1/(n1+1)< p2/n2 ， 应计算rB(n1+1, n2) 3）若 p1/n1> p2/(n2+1)， 应计算rA(n1, n2+1) 问： p1/n1<p2/(n2+1) 是否会出现？ 否! 若rB(n1+1, n2) < rA(n1, n2+1), 则这席应给 A 若rB(n1+1, n2) >rA(n1, n2+1), 则这席应给 B
令人遗憾！
二、插值及其在数学建模中的应用 question : 什么是插值？ 给定一个函数的函数表,如何求出任意 点的函数值?
x x0 x1 … xn y = y0 y1 … yn f(x)
求解插值问题的基本思路
构造一个(相对简单的)函数 y g(x), 通过全部节点,即
g ( x j ) y j ( j 0,1,L n) 再用 g(x) 计算插值，即 y* g(x*).
1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一
2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少
“比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但可举例说明不满足 1）。
由直线方程的两点式可得:
p1 ( x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
L L ()
p1 ( x)称为Lagrange型线性插值函数, ()称
为Lagrange型线性插值公式.
若令l0
(x)
@x x0
x1 x1
, l1 (
x)
@x x1
x0 x0
,则
p1(x) l0 (x) y0 l1(x) y1
p1=1050, n1=10, p1/n1=105 p2=1000, n2=10, p2/n2=100
p1/n1– p2/n2=5
虽二者的绝对 不公平度相同
但后者对A的不公平 程度已大大降低!
“公平”分配方 将绝对度量改为相对度量 法若 p1/n1> p2/n2 ，定义
p1 / n1 p2 / n2 p2 / n2
设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,… , nm (自然应有n1+n2+…+nm=N)，
ni 应是 N和 p1, … , pm 的函数，即ni = ni (N, p1, … , pm )
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整.
94.5,
Q3
342 3 4
96.3
Q1最大，第20席给甲系
第21席
Q1
1032 1112
80.4,
Q2 ,
Q3 同上
Q3最大，第 21席给丙系
Q值方法 分配结果
甲系11席，乙系6席，丙系4 席
公平吗？
进一步的讨论
Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？ 席位分配的理想化准则
已知: m方人数分别为 p1, p2,… , pm, 记总人数为 P= p1+p2+…+pm, 待分配的总席位为N。
第二章 初等模型 第一讲 Q值法、插值法、拟合
一、Q值法：公平的席位分配
问 三个系学生共200名（甲系100，乙系60，丙系40），代表 题 会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
现因学生转系，三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。
若增加为21席，又如何分配。
系别 学生 比例 20席的分配 21席的分配