数学建模初等模型
合集下载
数学建模之初等模型
情形3
p1 p2 ， 说明当对A 不公平时，给B 单 n1 n2 1 位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
r A (n 1 ,n 2 1 ) p 1n p 1 2 ( p n 2 2 (n 1 2 ) 1 ) p 1 (p n 2 2 n 11 ) 1
若 r B (n 1 1 ,n 2 ) r A (n 1 ,n 2 1 ),
取 r 4 参 m /s ,I 3 数 6 2 c/0 s , m p 1 0 .3 1 9 60
C 6 .9 5 1 4 0 (0 .8 sin 6c o 1 s.5 v)
v
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。
问题转化为给定 ，如何选择 v使得 C最小。
情形1 90
C6.95 1 04(0.81.5) v
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 1.3 1 1 4 0 m 31.1升 3
情形2 60
C 6 .9 1 5 4 [ 0 1 .5 (0 .43 3 )/v ]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
你在雨中行度 走 v的 6米 /每 最秒 大， 速则计算 你在雨中 16行 秒 7 走 ， 2分 了 即 47 秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。
C t (I/36 ) 0 .0 S 1 0 (米 3 ) 1(D 0 /v ) I/36 S （ 00升
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
几种初等数学模型方法
黄冈职业技术学院
简单的几何模型
数学模型中有一种几何模型，这类模型 的建立往往通过初等方法来实现。
数学建模中几种简单的数学方法 实验观测、抽象分析、鸽笼原理、 估算方法、奇偶校验法、转化处理
黄冈职业技术学院
1 观测实验和抽象分析
欧拉多面体问题: 一般凸多面体的面数 F、顶点数V和边数E之间有何关系？
黄冈职业技术学院
五面体图形
F=5,V=5,E=8
F= 5,V= 6,E=9
黄冈职业技术学院
六面体图形
F=6,V=8,E=12
F=6,V=6,E=10
黄冈职业技术学院
七面体图形
F=7,V=7,E=12
F=7,V=10,E=15
黄冈职业技术学院
观察法、抽象分析的说明
（1）用观察、归纳法发现数学定理（建立模 型）是一种重要而常用方法。数学需要观察， 还需要实验（欧拉）。 （2）观察法得到的结果需要严格证明，否 则猜想会铸成错误。例如17世纪费马（16012n 1655）对公式 f 2 1
分别简化为
( x1 x3 ) , ( x2 x4 ) , ( x3 x1 ) , ( x4 x2 ) .
第三次操作后得到的 4 枚棋子可表示为
( x1 x3 ) ( x2 x4 ) , ( x2 x4 ) ( x3 x1 ) , ( x3 x1 ) ( x4 x2 ) , ( x4 x2 ) ( x1 x3 )
黄冈职业技术学院
奇偶检验法的思考题
思考题1 设一所监狱有64间囚室，其排列 类似8×8棋盘，看守长告诉关押在一个 角落里的囚犯，只要他能够不重复地通 过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻 囚室间都有门相通），他将被释放 。问 囚犯能获得自由吗？如果囚室为8×9的 排列共72间，将会出现什么情况？
简单的几何模型
数学模型中有一种几何模型，这类模型 的建立往往通过初等方法来实现。
数学建模中几种简单的数学方法 实验观测、抽象分析、鸽笼原理、 估算方法、奇偶校验法、转化处理
黄冈职业技术学院
1 观测实验和抽象分析
欧拉多面体问题: 一般凸多面体的面数 F、顶点数V和边数E之间有何关系？
黄冈职业技术学院
五面体图形
F=5,V=5,E=8
F= 5,V= 6,E=9
黄冈职业技术学院
六面体图形
F=6,V=8,E=12
F=6,V=6,E=10
黄冈职业技术学院
七面体图形
F=7,V=7,E=12
F=7,V=10,E=15
黄冈职业技术学院
观察法、抽象分析的说明
（1）用观察、归纳法发现数学定理（建立模 型）是一种重要而常用方法。数学需要观察， 还需要实验（欧拉）。 （2）观察法得到的结果需要严格证明，否 则猜想会铸成错误。例如17世纪费马（16012n 1655）对公式 f 2 1
分别简化为
( x1 x3 ) , ( x2 x4 ) , ( x3 x1 ) , ( x4 x2 ) .
第三次操作后得到的 4 枚棋子可表示为
( x1 x3 ) ( x2 x4 ) , ( x2 x4 ) ( x3 x1 ) , ( x3 x1 ) ( x4 x2 ) , ( x4 x2 ) ( x1 x3 )
黄冈职业技术学院
奇偶检验法的思考题
思考题1 设一所监狱有64间囚室，其排列 类似8×8棋盘，看守长告诉关押在一个 角落里的囚犯，只要他能够不重复地通 过每间囚室到达对角的囚室（所有相邻 囚室间都有门相通），他将被释放 。问 囚犯能获得自由吗？如果囚室为8×9的 排列共72间，将会出现什么情况？
数学建模之初等模型
且
tn (n 1)T
S
0 n
(n
1)( L
D)
另外，汽车不会永远加速前进。我们设汽车在加速到某个给定速度 v*
后匀速前进，则加速的时间是
t* v * / a tn
综合上面的分析得到
Sn (0)
Sn
(t
)
Sn
(0)
Sn
(0)
a 2
(t
a 2
(tn
L1 v
L2 v
t2
(ni
1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
(ni 1)d v
~ti
Li v
Li1 v
ti1
向左疏散的总时间 Tl (x) 就是最后一个人离开的时间。 如果共l个房间，则
Tl (x) ~tl (xd l1 Li ) / v i 1
其中x是第i个 房间向左疏散的人数。 类似可以求出向右疏散的总时间Tr (nl 1 x) 。 求x使得
Tl (x) Tr (nl 1 x)
即得到疏散方案。
思考题： （1）对多层的楼房的疏散问题应如何分析？ （2）疏散时人与人之间的间距多大较好？
先考虑向左疏散的人用了多少时间。
设疏散队列中人与人间隔是d，行进速度v，房宽为 L1, L2,, Lm 。第i个 房间第一个人到门口的时间tis为 ，则第k个房间的人向左疏散的时间为
1
v
k i1
Li
nkd
tk
s
k l
问题：多个教室的学生可能出现重叠！
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
浙江大学数学建模——初等模型(杨起帆)
若设k=0.05并仍设 t=4秒，则可求 得h≈73.6米。
进一步深入考虑
多测几次，取平均
听到回将声e-再kt用按泰跑勒表公，式计展算开得并到令的k时→间值0+中包，含即了可 反应时间
不妨设得平出均前反面应不时考间虑为空0气.1阻秒力，时假的如结仍果设。t=4秒，扣除反
应时间后应 为3.9秒，代入 式①，求得h≈69.9米。
汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和
θ2 的值。
y(ta1)nxb（护卫舰的路线本方模程型）虽简单，但分析
y(ta2n )xb（航母的路线方极程清）晰且易于实际应用
§2.2 双层玻璃的功效
在寒冷的北方， 许多住房的 玻璃窗都是双层 玻璃的，现在我们来建立一个简单 的数学模 型，研究一不下妨双可层以玻提璃出到以底下有假多设：大的功效。 比较两座其1他、条设件室完内热全量相的同流的失房是屋热，传导它们 的 差异仅仅在引 流窗起。户的不，同不。存在户内外的空气对
A(0,b)
θ1
x2 (y b )2 a 2[x2 (y-b )2]
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
令： ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 ：
x2(y-h)2r2
解得： Ta1 2 k1(lk1kl2)d/(T k12d)T2
k1T1(12 k1 ldk k1 2 ldk )T 21 dT2 k1d2T 1k 1lT2 k2d
f(h)
室 外
T2
室1 0.9内
类似有
k1
T1 T2 2d
数学建模第二章初等模型
市场稳定问题
在市场经济下，当商品“供不应求”时，价格逐渐长升高，经营者会 觉得有利可图而加大生产量。然而，一旦生产量达到使市场“供过于求”， 价格立即会下跌，生产者会立即减产以避免损失，这样又极有可能造成又 一轮新的供不应求。我们关心的问题是：如此循环，市场上的商品的数量 与价格是否会趋于稳定？ 所谓“需求”，指在一定条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购 买的商品量。设p表示商品价格，q表示商品量，假设商品量q主要取决于 商品价格p，则称函数 q=f(p) 为需求函数。 需求函数q=f(p)一般是单调减少函数。因q=f(p)为单调减少函数，所 以存在反函数p=f-1(q)，我们也称它为需求函数，见下图。
a, b 模型求解：我们来求步长
(1) 由图
为何值，使式 (4) 最小。
所表示，重心离开 B 点上升到最高点所需时间为
t
b 2v
(5)
1 2 gb2 h gt 2 2 8v
由
(1),(2),(3)
及
(5)
式,
(4)
式化成
2 (a b）bmg 1 W m, v2 2 2 8v
又完成一个大步所需时间为
跑步时如何节省能量
• 问题的提出：我们每个人都有跑步的经历， 有人会因此而疲惫不堪，但是有谁会想：怎 样跑步能使我们消耗的能量最少？ • 模型假设：为解决上述问题，我们做下述假 设：
(1 )跑步所花费的时间分成两部分：第一部分为两 条腿同时离地的时间；在第二部分时间内一条腿 或两条腿同时落地。这样，人体重心的运动轨迹 如图(1)。
a b v
，因此单位时间内消耗的能量为
2 W bmg m, v3 P a b 8v 2(a b) v
(6)
数学建模-初等优化模型简介
优化模型二 货机装运问题
某架货机有三个货舱：前 舱、中舱、后舱。三个货舱 所能装载的最大重量和体积 都有限制。为了保持飞机的 平衡，三个货舱中实际装载 货物的重量与其最大容许重 量成比例。现有四类货物供 该货机本次飞行装运，其有 关信息如右表。应如何安排 装运，使该货机本次飞行获 利最大？ 前舱 中舱 后舱
优化模型四 选课问题
某学校规定，运筹学专业的学生毕业时至少要学 习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机。这 些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课程 由下表给出，那么毕业时学生最少可以学习这些课 程中的哪些课程。 如果某个学生既希望选修的课程数量少，又希望 所获的学分多，他可以选修哪些课程。
求量300千吨，此时水库供水量不能全部卖出，因 而不能将获利最多问题转化成引水管理费用为最少 的问题。 为此，我们首先计算A、B、C三个水库向各居 民区供应每千吨水的净利润，即从收入900元中减 去其它管理费用450元，再减去引水管理费用，得
净利润元/千吨 A B C 甲 290 310 260 乙 320 320 250 丙 230 260 220 丁 280 300 ---
利用数学建模方法来处理一个优化问题 第一步：需要确定优化的目标； 第二步：确定需要做出的决策； 第三步：写出决策需要受哪些条件的限制。 在建模的过程中，需要对实际问题作若干合理的 简化假设。 然后用相应的数学方法去求解。 最后对结果作一些定性、定量的分析和必要的检 验
优化模型一
生产安排问题
某工厂有三种原料 B1，B2，B3，其储量 分别170kg,100kg和 原料 150kg；现用来生产A1， 产品 A2两种产品；每单位 A1 产品的原料消耗量及各 产品的单位利润由右表 A2 给出，问工厂在现有资 资源限额 源的条件下，应如何安 排生产，可使工厂获利 最多？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
模
A,C 两脚与地面距离之和 ~ f()
正方形ABCD
B,D 两脚与地面距离之和 ~ g()
绕O点旋转
理学院
模型构成
黑 龙
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
江
科
地面为连续曲面
f() , g()是连续函数
技
学 院
椅子在任意位置
至少三只脚着地
对任意, f(), g()
至少一个为0
如果当地牌子的每听卖x美分，外地牌子卖y美分，则每天可 卖出70-5x+4y听当地牌子的果汁，80+6x-7y听外地牌子的果 汁。问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大
收益？
数
学 建
解：每天的总收益为想二一元想函高数等：数学中二
模
f x, y x 30元函70数求5x最值4y的方法y 4080 6x 7y
技
续依赖于角 的变化，记为
学
院 令： f S1 S2
S1 , S2
数 而f 在 0,0 上连续，且
学 建
f 0 S1 0 S2 0 0
只证明了直线的存在性
模 f 0 S1 0 S2 0 0 你能找到它么？
学
12.5 ≤x<13时，按13km计价；
建
例如，等候时间t(min)满足
模
2.5≤t<5时，按2.5min计价收费0.8元； 当5≤t<25 ，按5min计价
理学院
请回答下列问题
黑 龙
• 假设行程都是整数公里，停车时间都是2.5min的整数倍， 请建立车费与行程的数学模型。
江 • 若行驶12km，停车等候5min,应付多少车费？
学 令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0.
院 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性
质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) .
数 学
因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
建 评注和思考
理学院
2.1 生活中的问题
黑
龙 2.1.1 椅子能在不平的地面上放稳吗
江
科 技
问题分析
通常 ~ 三只脚着地
放稳 ~ 四只脚着地
学
院
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚
模 连线呈正方形;
数型
学假
建 模
设
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续 曲面;
• 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三
只脚同时着地。
学 院
S(t)=2t3-21t2+60t+40(km/h)
左右，试计算下午1：00至6：00内的平均车辆行驶速度？
一般地，连续函数在区间上
数
此题是求函的数平s(均t)值在，区等间于函数在此区
学 解 ：平均车辆行【驶1，速6】度间内为上的的平定均积值分除以区间长度。
建
模
1 6 stdt 1 6 2t3 21t2 60t 40 dt 78.5km/ h
模
R't Q''最t大值6t 18 0
比较R(0)=12,R(3)=39,R(4)=36,知t=3时，即上午11：00，
工人的工作效率最高。
理学院
最大利润问题
黑
龙
江
一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌
科 子进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分。店主估计，
技 学 院
p f 1Q0 pq
理学院
（5） 收益函数： 黑
R Rq qpq
龙
江 科
（6） 利润函数：
Lq RqCq
技
学 院
（7） 边际成本函数：
Cm C'q
数
（8） 边际收益函数：
学
Rm R'q
建
模 （9） 边际利润函数： Lm R'q C'q Rm Cm
模
建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子
理学院
2.1.2 分蛋糕问题
黑 妹妹过生日，妈妈做了一块边界形状任意的
龙 江
蛋糕，哥哥也想吃，妹妹指着蛋糕上的一点
科 对哥哥说，你能过这一点切一刀，使得切下
技 学
的两块蛋糕面积相等，就把其中的一块送给
院 你。哥哥利问题用归高结等为数如学下知一识道证解明决题了：这个问题，
科 等水平的工人早上8：00开始工作，在t小时之后，生产出 技
学
Q(t)=-t3+9t2+12t
院 个晶体管收音机。
数
问：在早上几点钟这个工工作人效的率工最作高效，率即最生高产？率最大， 此题中，工人在t时刻的生产率为
学
建
解：工人的生产率为产Q’量R(t)Qt，关则于Q问时' 题t间转t的化3变为t 2化求率Q18’：(tt)的12
A0ekt
学
建 设细菌的总数为y,则所求的数学模型为：
模
y A0ekt
理学院
海报设计问题
黑 龙 现在要求设计一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为 江 128平方分米，上下空白个2分米，两边空白个1分米，如何
科 确定海报尺寸可使四周空白面积为最小？
技 学 院
s 这2个x 问4题y可用4求一2 元 函2x数最4值的12方8法解8决 x
你知已道知他平用面的上是一什条没么有办交法叉吗点？的
数
封闭曲线，P是曲线所围图形上
学
任一点，求证：一定存在一条过
建 模
P的直线，将这图形的面积二等 分。
理学院
若S1≠ S2 不妨设S1＞S2
黑 龙 江
S1 P P
l
(此时l与x轴正向的夹角记为 0 ) 以点P为旋转中心，将l按逆时
科
S2 ?
针方向旋转，面积S1，S2就连
院
Q(t)=10000-2000t
将区间0≤t≤5分为n个等距的小区间，任取第j个小区间
数 【tj,tj+1】，区间长度为tj+1-tj=△t，在这个小区间中，
学
每公斤贮存费用=0.01 △t
建
第j个小区间的贮存费=0.01 Q(tj)△t
模
由定积分定义：
n
总的贮存费= 0.01Q t j t j 1
院
2.3最值问题中的初等模型
数
2.4积分问题中的初等模型
学
建
模
理学院
细菌繁殖问题
黑
龙 江
某种细菌繁殖的速度在培养基充足等条件满足时，与当时
科 已有的数量成正比，即，V=KA0(K>0为比例常数)。
技 学
1.建立细菌繁殖的数学模型。
院 2近.假似设数一据种。细天菌数的个数按指数细方菌式个增数长，下表是收集到的
科 • 若行驶23.7km,停车等候7min，应付多少车费？
技
学 院
解（1）设车费为y元，其中行程车费为y1元，停车费为y2
元，行程为x km，x∈z+,停车时间为t min，t ∈z+,则
数 学
10
y1 10 x 41.6
0x4 4 x 15
建 模
10 x 5 2.4 15 41.6
数
5
936
学 求：开始时细菌个数可能是多少？若继续以现在的速度增长
建 下去，假定细1菌0 无死亡，60天2后19细0 菌的个数大概是多少？
模
由于细菌的繁殖时连续变化的，
在很短的时间内数量变化得很小，
繁殖速度可近似看做不变。
理学院
解:建立数学模型
黑 将时间间隔t分成n等分，在第一段时间
内，细菌繁殖的数
院
解：板上任一点（x,y）处的温度为
数
Tx, y
k
学
x2 y2
建 模
我学过高等数学，我可以g做ra得dT更 好 ，kx
呵呵
x2 y2
3 i
2
ky x2 y2
3 2
j
gradT 3，2
3k
3
i
2k
3
j
13 2 13理2学院
黑
龙
江
科
技 学
2.2极限问题中的初等模型
理学院
模型构成
黑 用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
龙
江 • 椅子位置 利用正方形(椅脚连线)的对称性
科 技 学
用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置
B
´
B
A´
院 • 四只脚着地 椅脚与地面距离为零
Байду номын сангаас
数 四个距离 学 (四只脚)
建
距离是的函数 C
正方形 对称性
两个距离
C´
A
O
x
D´ D
总贮存费=
5
0
0.01Qt dt
1 0.01 10000
0
2000t dt
250元
理学院
车辆平均行驶速度问题
黑
龙 江 科
某公路管理处在城市高速公路出口处，记录了几个星期内平 均车连行驶速度，数据统计表明：一个普通工作日的下午1：
技 00至6：00之间，次口在t时刻的平均车辆行驶速度为：
由零点定理得证。
理学院
2.1.3出租车收费问题
黑
龙 江 科
某城市出租汽车收费情况如下：起价10元（4km以内），行 程不足15km，大于等于4km部分，每公里车费1.6元；行程