初等模型补充
第7章初等模型
第七章初等模型如果研究的问题或对象的机理比较简单，通常用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，基本上就可以用初等数学的方法构造和求解模型。
本章通过椅子放稳、学生会代表名额分配、汽车的安全刹车距离、生猪体重的估计、核军备竞赛、使用新材料与新方法的房屋节能效果等问题，介绍用初等数学构造和求解模型的方法与技巧。
需要说明的是，一个数学模型的好差在于其应用效果，不在于其使用了多么高深的数学方法与技巧。
也就是说，一个问题可用初等数学构造和求解模型，也可用高等数学构造和求解模型，如果应用效果差不多，那么前者是好的。
§7.1 椅子能在不平的地面上放稳吗一、问题的提出这个问题来自日常生活中一件普通的事实：把椅子往不平的地面一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只要稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。
请用数学模型证明为什么能放稳。
二、问题分析此问题与数学有关吗？由常识我们知道，椅子是不能在台阶上放稳的。
同样地，如果地面某处凹凸太厉害，以至于凹凸的幅度超过椅腿的长度，椅子也不能放稳。
所以椅子能在地面上放稳是指在相对平坦的连续地面上放稳。
通常椅子有四条一样长的腿，四脚共圆；椅脚一般加工成较小的“面”，椅子在地面上放稳是四脚同时着地，而椅脚着地只要椅脚面上有一点与地面上一点接触就可以了。
移动椅子有三种方法：旋转；平移；平移加旋转。
其中旋转要设1个变量；平移要2个；平移加旋转要3个。
为了简单起见采用旋转法。
如何旋转？由于四脚共圆，绕这个圆心旋转。
三、假设1、四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚共圆；2、地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面；3、地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
四、建立模型以椅子移动前四脚所在的平面建立平面直角坐标系（见图7.1.1），使得四脚A 、B 、C 、D 共圆的圆心与坐标原点重合。
用θ表示旋转，则四脚与地面的距离随θ的变化而变化，即四脚与地面的距离都是关于θ的一元函数，分别用)(θA h 、)(θB h 、)(θC h 、)(θD h 表示旋转θ后脚A 、脚B 、脚C 、脚D 与地面的距离。
数学建模第五部分-初等模型及简单优化模型
记qi=Npi /P, i=1,2, … , m, 若qi 均为整数，显然应 ni=qi
5.1 公平席位分配
qi=Npi /P不全为整数时，ni 应满足的准则： 记 [qi]– =floor(qi) ~ 向 qi方向取整； [qi]+ =ceil(qi) ~ 向 qi方向取整. 1) [qi]– ni [qi]+ (i=1,2, … , m), 即ni 必取[qi]– , [qi]+ 之一 2) ni (N, p1, … , pm ) ni (N+1, p1, … , pm) (i=1,2, … , m) 即当总席位增加时， ni不应减少 ―比例加惯例”方法满足 1），但不满足 2） Q值方法满足 2）, 但不满足 1）。令人遗憾！
• 空右轮盘半径记作 r ；
• 时间 t=0 时读数 n=0 .
建模目的
建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）
5.2 录像机计数器的用途
模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法
1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录像带在时间t内移动的长度vt, 所以
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
5.3 双层玻璃窗的功效
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2 T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
双层与单层窗传导的热量之比
室 内 T1
2d
室 外 T2
Q2
5.1 公平席位分配
应讨论以下几种情况 初始 p1/n1> p2/n2 1）若 p1/(n1+1)> p2/n2 ， 则这席应给 A
第一节初等模型
第一节初等模型解决实际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模，方法简单而初等，容易被更多的人理解接受和采用，就更有价值。
下面举的例子，虽然不是很复杂，但告诉我们，只要仔细地观察生活，你就会发现，在我们周围处处存在着可用数学解决的问题。
一、代数法建模[例8.1.1] 椅子问题在我们周围的日常生活中，到处都会遇到数学问题，就看我们是否留心观察和善于联想，比如有这样一个问题（你或许认为这个问题与数学毫不相干）：4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否一定同时着地？模型假设：（1）椅子的四条腿一样长，4脚的连线是正方形。
（2）地面是数学上的光滑曲面，即沿任意方向，切面能连续移动。
建模的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系。
假定椅子中心不动，4条腿着地点视为几何学上的点，用A、B、C、D表示，将AC、BD连线看作x轴、y轴，建立如图8.1.1所示的坐标系。
引入坐标系后，将几何问题代数化，即用代数方法去研究这个几何问题。
图8.1.1人们习惯于，当一次放不平稳椅子时，总是转动一下椅子（这里假定椅子中心不动），因而将转动椅子联想到坐标轴的旋转。
设为对角线AC转动后与初始位置x轴夹角，如果定义距离为椅脚到地面的竖直长度。
则“着地”就是椅脚与地面的距离等于零，由于椅子位于不同位置，椅脚与地面距离不同，因而这个距离为的函数，设──A、C两脚与地面距离之和；──B、D两脚与地面距离之和。
因地面光滑，显然，连续，而椅子在任何位置总有三只脚可同时“着地”，即对任意的，，总有一个为零，有。
不失一般性，设于是椅子问题抽象成如下数学问题：假设：，是的连续函数，且对任意，。
求证：存在，使得。
证明：令，则将椅子转动，对角线互换，由和，有，，从而。
而在上连续，由介值定理，必存在使得。
即。
又因对任意，从而。
即在方向上椅子四条腿能同时“着地”。
椅子问题的解决是学习运用类比法的一个很好实例，从中可受到一定启发，学习到一些建模技巧：转动椅子与坐标轴旋转联系起来；用一元变量表示转动位置；巧妙地将“距离”用的函数表示，而且只设两个函数，（注意椅子有4只脚！）；由三点定一平面得到；利用转动并采用了介值定理使得问题解决得非常巧妙而简单。
数学建模培训初等模型
最后英军战胜了法军，而且双方伤亡情况与历史事实也很 相近。当年，英军在战役A和战役B中战胜法军，但法军没有增 援C，而是选择了撤退，大约有13艘战舰退回法国海港。
点评：数学建模以解决某现实问题为目的，从问题中抽象 并归结出来的数学问题。从现象到模型，数学建模必须反映现 实，既然是一种模型，它就不是现实问题的全部复制，常常会 忽略一些次要因素，作一些必要的简化，但本质上必须反映现 实问题的数量规律。
Bn Fn
0.1Fn 0.1Bn
B1 27, F1 33
但是，尼尔森将军成功的运用了逐个击破的策略，扭转劣 势转败为胜，还差一点全歼法军。经此一战，英国大大巩固了 它在海上的霸权。
当时法军舰队分在三处，分别为A处（3艘）、B处（17艘）、 C处（13艘），彼此相距很远。尼尔森将军收集了丰富的情报 以后，当机立断，制定以下作战方案：先派13艘战舰进攻法军 A队，胜利后尽快与留守港口的14艘战舰汇合，一起进攻法军B 队，最后，乘胜追击，集中所有剩余兵力，围攻法军C队。
Fra 18.0 16.7 15.4 14.2 … 4.7 3.8 2.8 1.9
战役C情况（法军剩余兵力全部参加战斗）
n
1
2
3
4 … 14 15 16 17
Bri 19.0 18.3 17.6 17.0 … 13.2 13.0 12.8 12.7
Fra 14.0 13.1 12.1 11.3 … 3.8 3.1 2.4 1.8
乙地 7000 4900 4270 4081 4024.3 4007.29 4002.187 4000.656
经过模拟（表2－表5），可以知道无论车辆如何分配，经 过有限天数后，最终都将达到平衡状态。｛Jn｝的极限是3000， ｛Yn｝的极限是4000。其中，（J，Y）=（3000，4000）为该 动态系统的平衡点，而且是稳定的平衡点（不动电）！
第三章 初等模型
求实
黄
创新
团结
奉献
x (t 0 )
I
L
问题解答： 问题解答：
求实
创新
团结
奉献
黄灯状态应持续的时间包括驾驶员的反应时间，车通过交叉路口的时间以及通 过刹车距离所需要的时间
假设法定速度为 v0 ，交叉路口的宽度为 I ，典型的车身长度为 L 。考虑到车通过路口实际是指车 的尾部必须通过路口，因此，通过路口的时间为 I + L 。
于是
A=
求实
创新
团结
奉献
假设 T = 1 s, L = 4.5 m, I = 9 m. 另外 我 们选 取代 表性的 µ = 0.2. 当 v0 = 45km / h, 65km / h, 80km / h 时，黄灯时间如下表所示，同时表中也给出了经验法的值。
v0 (km / h)
45 65 80
求实
创新
团结
奉献
车速 (英里/小时) 20 30 40 50
刹车时间 （秒） 1.6 2.5 3.3 4.1 4.9 5.7 6.5
200
150
100
60
50
70 80
30 40 50 60 70 80 90 100 11பைடு நூலகம் 120
0 20
“2秒准则”应修正为 “t 秒准 秒准则” 秒准则 则” 0~10 10~30 40~60 车速（英里/小时）
那么,黄灯状态应多长时间才最为合适呢？
求实
创新
团结
奉献
分析： 分析 对于驶进交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号 灯后要做出决定：是停车还是通过路口。如果他以法 定速度（或低于法定速度）行驶，当决定停车时，他 必须有足够的停车距离。当决定通过路口时，必须有 足够的时间使他能完全通过路口。这包括做出停车决 定的反应时间以及通过停车所需要的最短距离的驾驶 时间。能够很快看到黄灯的驾驶员可以利用刹车距离 将车停下。
数学建模第二章 初等模型
第二章 初等模型如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模的目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面的几个实例我们能够看到，用很简单的数学方法就可以解决一些有趣的实际问题。
需要强调的是，衡量一个模型的优劣完全在于它的应用效果，而不是它看它采用了多么高深的数学方法。
进一步说，对于某个实际问题我们如果能够用初等方法和所谓的高等方法建立了两个模型，而它们的应用效果相差无几的话，那么受人们欢迎并采用的，一定是前者而非后者。
§2.1公平的席位分配设有A 、B 两个单位，各有人数1p 、2p 个，现在要求按人数选出q 个代表召开一次代表会议。
那么怎样分配这q 个席位呢？一般的方法是令：q p p p q 211*1+= q p p p q 212*2+= （2.1）若*1q ，*2q 恰好是两个整数，就以*1q ，*2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数，即可以获得一个完全合理的分配方案。
当*1q ，*2q 不是两个整数时，那么怎样分配才合理呢？下面我们就来讨论这个问题。
首先给出一种自然的想法，也就是通常所执行的方法。
即由（2.1）式计算出的*1q ，*2q ，用][*i i q q =表示*i q 的整数部分。
当*1q －1q ＞*2q －2q 时，则用1q ＋1与2q 分别作为A ，B 两个单位的席位数；当*2q －2q ＞*1q －1q 时，则用1q 与2q ＋1分别作为A ，B 两个单位的席位数；而当*2q －2q ＝*1q －1q 时，就只能由A ，B 两个单位协商来确定那多余的一个席位了。
这个方法的优点是简单、方便，并被很多人所接受，同时也容易推广到m （m ＞2）个单位的席位分配问题。
但是这个分配方案是存在弊病的，它有明显的不合理性。
例1 某学校有3个系共200名学生，其中甲系100名，乙系60名，丙系40名。
若学生代表会议设20个席位，公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三系分别应占有10、6、4个席位。
第二章初等模型.ppt
1032
632
Q1
2
5304.5,Q2
1984.5, 2
Q3
342 2
578,
由此，第4个席位应该给甲系，此时n1 2, 再计算Q1
值:
2019-10-10
感谢你的欣赏
21
1032 Q1 2 3 1768.17,
而Q2 , Q3 值没有变化，因此得到第5个席位给乙系. 由
3.玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
2019-10-10
感谢你的欣赏
28
建模
由假设，热传导过程遵从下面的物理定律:
厚度为d的均匀介质，两侧温度差为T ，则单位时间
由温度高的一侧流过单位面积的热量 Q与T 成正比，与
d 成反比，即
Q k T .
⑴
d
其中k 为热传导系数。
2019-10-10
都达到最小.
2019-10-10
感谢你的欣赏
14
解模
设 A单位已有席位nA ，B单位有席位 nB，并假定 A吃
亏，即kA kB，因而rA nA, nB 有意义.
现考虑下一个席位的分配:
⑴席位分配给 A仍然是 A 吃亏，即 pA pB , nA 1 nB
毫无疑问，该席位应该分配给 A.
感谢你的欣赏
29
记双层窗内层玻璃的外侧温度是 Ta，外层玻璃的内侧
温度是Tb，玻璃的热传导系数为 k1，空气的热传导系数
为
k
，则由⑴式，单位时间单位面积的热量传导（热
2
量流失）为
Q1
k1
T1
d
Ta
k2 Ta
Tb l
k1 Tb
初等数学模型
‘第一章初等数学模型很多问题只要用到初等数学知识就能完成建模过程，而没有必要用高等数学的方法。
其实，只要能达到建模的目的和要求，所用的数学理论越简单越好，因为要用于解决实际问题，是要给大家看的，当然越简单越好。
只有迫不得以非用高深数学知识不可，才选择高深的数学知识。
下面举几个只要用初等数学就能解决的问题，我们把它称为初等数学模型。
第一节利息的计算与银行的按揭模型一. 资金的时间价值如果你拥有一笔资金，你绝对不会把它长期的放在抽屉里，而是存入银行或进行其他投资，例如买股票、债券或其他的投资。
这是因为资金具有时间价值。
资金的时间价值是指资金随时间推移而发生的增价。
在投资决策中，考察资金的时间价值，正是考察使用该资金进行投资所须放弃的利益，即机会成本。
机会成本是所放弃的诸方案中盈利最大方案的利润值。
例如某资金若投资于某工程，就放弃了将其存入银行或贷给他人的机今。
假设有资金100万元，银行的年利率为10％，贷给他人的年利率为12％，则从机会成本的角度计算，这笔资金的时间价值应为12％（或者说12万元）。
一笔资金如果不用于投资则不会有资金增值，如果资金不存入银行，不购买股票，也不进行其他投资，而是把资金锁在自已的抽屉里，随着时间的推移，不仅不会增值，或许还会贬值。
资金拥有者应当把资金投入到创造增值的活动中去，并有权获得资金时间价值带来的回报。
资金的价值随时间的变化而变化，其原因有如下几种：（1）通货膨胀：在通货膨胀情况下，用商品和劳务购买力所表示的货币价值不断下降。
（2）风险：现在手头的100元是确定的，而明天是否仍是100元是不确定的，这种不确定性就是风险。
风险对于投资者而言，是非常重要的。
（3）个人消费偏好：不同的人有不同的消费习惯（或不同的消费偏好），许多人偏好眼前的消费，而不是将来的消费。
（4）投资的机会：货币（或资金）正如其他商品一样，也具有价值，如现在得到的一万元现金与一年后得到的一万元相比，人们都会选择前者，因为现在的一万元存在投资的机会，如存入银行，假若年利率为6％，则一年后将得到10600元。
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模型一掷骰子游戏
你必须为学校的游园会组织一个碰运气的游戏，参赛者付10便士参加费，可摇动3个骰子。
记录下点书，对高点数有现金奖赏。
问题是要决定这些奖金是否足以刺激人们参与此游戏，而对学校来说，游戏收入起码要与付出的奖金相抵，学校不要赚很多钱。
游戏设计：只付10便士便可掷3次骰子！
总点数18 赢1磅
总点数16，17 赢50便士
总点数13，14，15 赢20便士
这里用的模型是直截了当的，你可以联想到每摇动一下骰子得到任一点数为1，2，3，……，6的概率都是1/6，
对一个参赛者来说，数学问题是确定预期赢或输。
为找到预期的赢，你必须首先求出得到总点数18，17，……，13的概率，因为只有这些点数才能赢的奖赏。
得到各点数的概率
3456789101112131415161718
1/2163610152125272725211510631用这些概率，现在能确定对一个参赛者能期望的赢或输了。
赢一镑的概率为1/216
赢50便士的概率为9/216
赢20便士的概率为46/216
这样参赛者有一个期望的奖赏（按便士记）为
便士
因为平均而言每个参赛者将输3便士，如果游园会上有100个人参加了这种游戏，学校期望得到收益大约是：
100×3便士=3镑
没有多少盈利!
模型二轮盘赌
轮盘边缘分成57等份，分别标上1，2，5，10，20，J，K七种数字或字母，轮盘转动后，慢慢停下，最后被挡钉卡住的一格就是结果。
盘面上数字或字母个数如下：（在盘面无规则分布）
1251020J K 271574311
游戏规则：押在1上的赌客，如果结果为1，那么他1：1获赔，如果结果不是1，他就输了赌资。
押在2上的赌客，如果结果是2，那么他2：1
获赔，如果结果不是2，他就输了赌资，……，以此类推。
J，K分别作45处理。
请问：
1．押2好呢还是押1好呢？
2．同时押1个1，1个2，比押2好吗？
3．是否存在一种组合，使你在期望的意义下获利？
讨论：澳大利亚墨尔本赌场的轮盘赌的数字（字母）有些不同，个数如下：
1351123J K 241284211
试回答上面的问题1~3，你觉得现在这个方案有什么特点？
模型三卷筒形式的邮件的最大体积
问题：邮局规定，卷筒形式的邮件，它的筒长加上两倍筒的直径最多不能超过1.040m，最大长度和最大直径不超过900mm，那么能邮寄的最大长方体的体积是多少？
假设有一直径x m，长l m的圆柱体，所能邮寄的卷筒形式邮件的约束为
x，l取多大时，才能使取最大
结论：
模型四包装问题
用透明塑料薄膜（包装后加热封装）包装杂志问题，尺寸要求如下：
20cm×20cm×4mm
30cm×40cm×4cm
所需的最少塑料薄膜是多少？
对于这个问题，忽略杂志的厚度（4mm）看来是合理的，从而只考虑包装的“面积”，然后我们在每个方向加上2cm以考虑厚度及封装所需的搭接。
方法1 –成方形
为包住一个面积为acm×bcm的面积，有两种可能的包法如下面两图所示
左图面积=
右图面积=
为了能搭接，各加上2cm ，得出
左图面积=
右图面积=（
方法2---“45o”
如右图
加上2cm的余量，面积=
方法3-----“最小角度”
当欲包装的物品非正方形时，转动包装材料可以减少包住的面积，如下图
当转动角度θ等于包装物顶边及其对角线之间的夹角时，先前未被包注的面积就正好包住了
此时面积=
=
为了封装，加长2cm，则可得到
面积=
模型五----长方体形状物品的包装问题
市场上一包火柴内装10盒火柴，一条香烟内装10包香烟……，它们打包作外包装的形式一样吗？那一种包装形式更能节省外包装材料呢？为了讨论方便，我们先来定义一种“规则打包法”，这就是指打包时要求包内相邻两物必须以全等的两个侧面来对接，打包后的结果仍是一个长方体。
我们可以更数学化的提问：火柴、香烟或其他长方体的物体，按“规则打包”的形式将10包打成一个打包，怎样打包可使表面积最小？
可以用香烟盒的外形尺寸a=88mm，b=58mm，c=22mm来验证你的结论，但需得到一般的结论，另外也可以考虑将6包或8包打包成一个大包的情况。
模型八----椅子问题
将4条腿长相同的椅子放在不平的地面上，，问四条腿能否同时着地？
模型九----狼、羊、白菜过河问题
要把一只狼、一只羊和一颗白菜运过河，而船工每次只能运一种东
西，问船工如何运它们，才能使羊吃不掉白菜，而狼不吃掉羊。
模型十-----夫妻过河问题
有3对夫妻过河，船至多载两人，条件是任一女子不能在其丈夫不在的情况下与其他男子在一起。
模型十一----n人分饼问题
假设n个人分一张饼，要求设计一种公平的切饼与取饼的程序。
所
谓“公平”是指：n个人均认为是与切饼、取饼次序无关的方法。
这里需假定n个人选取的标准是相同的，而且每个人的取法相互独立，不受他人影响。
模型十二-----是非问题
例1 审判员要从4个嫌疑犯中找出一个真正的罪犯。
他已经知道真正的罪犯只有一个，而且这些嫌疑犯在回答问题时要么完全讲真话，要么完全讲假话。
现在4个嫌疑犯的回答是：
甲：乙不是罪犯，丁才是罪犯；
乙：我不是罪犯，丙才是罪犯；
丙：我不是罪犯，乙才是罪犯；
丁：乙不是罪犯，甲才是罪犯。
审判员能否从中找出真正的罪犯？
例2 今有A、B、C3名运动员参加比赛，争夺第一、二、三名。
现有4个观众在赛前进行预测：
甲：第一名是A，第二名是B；
乙：第一名是C，第二名是B；
丙：第二名是C，第三名是A；
丁：第一名是A，第三名是C。
比赛后，发现他们都是猜对一半。
试问比赛的结果如何？。