有限群的阶与群的结构
有限群的元素的阶及其子群探讨
【摘 要】 有 限群 的元 素及其 子群 的性质是 刻画有限群 的重要特征 。据 此，文章从这 两个 方面来探 讨有 限群 的相 关 问题 ，并得 出一些相关结论。 【关键词 】 有限群 ；群 的元素 ；子群
Ｓｔｕｄｙ ｏｎ Ｅｌｅｍ ｅｎｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ Ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｏｆ Ｆｉｎｉｔｅ Ｇｒｏｕｐ
限群 的幂零 性 和 极小 子 群 ；陈 云坤 ＿４］详 细 阐述 了 用 则称 元 素 ａ的阶是无 限 ，记为 ｌ ０ Ｉ： 。。。＿７
［收稿 日期 ］ ２０１３—０３—１４ ［基金项 目］ 河南省软科学研究计划项 目（１２２４００４５０４７１） ［作者 简介］ 杜海霞 （１９８０一），女 ，硕士 ，郑州师范学 院数学与统计学 院讲师 ，研究方向 ：代数学 。
定 义 １．４ 群 Ｇ的正 规子 群 Ⅳ 的全 体 陪集对 于
ｍ ｌ Ｐ。又 因为 Ｐ为 素数 ，故 ｍ ＝Ｐ。又有 推论２．１．２ 知 ，Ｇ ＝ （ａ）。
例 １ ４阶群 Ｇ若 不是循 环 群则 必与 Ｋｌｅｉｎ四元
陪集 的乘 法作 成 一个 群 ，称 为 Ｇ关 于 Ⅳ 的商 群 ，记 群 同构 。
Ｄ Ｕ Ｈａｉ—ｘｉａ．ＷＡＮＧ Ｈａｌ－ｘｉａ 【Ａｂｓｔｒａｃｔ】 Ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ａｎｄ ｔｈｅ ｓｕｂｇｒｏｕｐ ｉｓ ｔｈｅ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓ—
ｔｉｃｓ，ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｔｗｏ ａｓｐｅｃｔｓ ｏｆ ｆｉｎｉｔｅ ｇｒｏｕｐ ｔｏ ｅｘｐｌｏｒｅ ｔｈｅ ｒｅｌａｔｅｄ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ．
有限Abel群的结构定理(Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups)
有限Abel群的结构定理（Fundamental Theorem ofFinite Abelian Groups）有限Abel群的结构定理(Fundamental Theorem of Finite Abelian Groups) 有限Abel群是群论中已被研究清楚了的重要群类，也是应用比较广泛的群类，本节的主要结论是有限Abel群可以分解成阶为素数的方幂的循环群(循环p-群)的直积，而且表法是唯一的。
我们先看几个具体的例子。
4阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。
Z,Z，Z422 ，其中是非Abel群;是Abel群，且6阶群有两种不同的类型，代表分别是ZZ,SS6633。
Z,Z，Z6238阶Abel群有三种不同的类型，代表分别是。
Z,Z，Z,Z，Z，Z8242229阶群都是Abel群，它们有两种互不同构的类型，代表分别是。
Z,Z，Z933 这些有限Abel群都同构于循环群或者循环群的直积，并且每个循环群的阶都是一个素数的方幂，这些循环群的阶组成的有重集合正好是该群阶素数方幂乘积的所有可能组合。
例如8阶32Abel群，有三种情形:，分别对应于8写成素数方幂乘积所有可能的形式{2},{2,2},{2,2,2}32(三种):。
8,2,8,2，2,8,2，2，2下面我们讨论一般有限Abel群的结构。
引理1 设a是群G的一个元素，a的阶等于。
其中与是两个互素的正整数，m,mmmm1212那么a可以唯一的表示成，式中的阶是;;而且都am(i,1,2)a(i,1,2)a,aaaa,aaii12i1221是a的方幂。
证明因为与互素，所以存在整数使得。
于是mmu,uum，um,112121122umumum，umumumumum2211112211222211，令，则，而且a,a,a,aa,aa,aaa,a,aa,aa121221mm12都是的方幂。
因为，所以的阶是的因子。
由于a(i,1,2)adm(i,1,2)ma,e,a,eaiiii112与互素，从而互素，并且，故的阶等于。
阿贝尔群代数结构的运算规则
阿贝尔群代数结构的运算规则
1、群：
在群论中，初等阿贝尔群是有限阿贝尔群，这里的所有非平凡元素都有p阶而p是素数。
代数结构是二元映射。
阿贝尔群运算规则：交换律+群（结合律+单位元+逆元）。
2、同态和同构：
同态映射：乘积的象=象的乘积，两个代数系统存在满的同态映射叫做两个代数系统同态。
两个系统的同构映射是一个双射的同态映射。
两个代数系统存在同构映射说两个代数系统同构。
自同构映射，即前面讨论的两个代数系统都是同一个代数系统时的情况，称为该代数系统上的自同构。
有限Abel群的结构定理的一个新证明
引 理 １ 设 是一 个有 限 Ａ ｅ群 ， ｂ ｌ ｎ是 的一 个最 大 阶元 ， （ ） 则 ｎ 是 的一个 直 和项 ． 这是 有 限 Ａ ｅ 群 的一 个 基本 结论 ， ｂｌ 已有 多 种不 同形 式 的证 明 ． 面我 们用 归 纳 法来 重 新证 明 ， 种 下 这 处 理 方式 似 乎 比文献 ［］ 容 易被 人 接受 ． ４更 引理 １的证 明 因 ｎ是有 限 Ａ ｅ群 的一 个 最 大阶元 ， 对 的任 意元 素 ｂ ｂ的阶 ｌ 整 除 口的 ｂｌ 故 ， ｌ ｂ 阶 ｌ ． 面对 ／ ｎ １下 ｎ （ ）的 阶进行 归 纳 ． 设 Ａ ０＝ （ ）＜ Ａ ｎ １＜ Ａ ２＜ … ≤ Ａ ＝ Ａ
ｌ０ ｏ
湖北 大学学报 （ 自然科学 版）
第 ２ 卷 ， ４
＜） Ｂ ． ｎ ０ 由此 归 纳得 到 （ ）是 Ａ 的一个 直 和项 ． ａ 引 理 ２ 设 Ａ是 个 有 限 Ａ ｅ群 ， ≤ Ａ． Ａ、 ｂｌ Ｂ 设 Ｂ分别 有 如 下形 式 的循环 子 群 的直 和分解 ：
Ａ ： Ａ Ａ … ０ … ０ ，其 中 ｌ ＋ ｌ Ｂ Ｂ， ｌ ｌ ｌ ，
则 ≤ ｒ并且 Ｊ Ｊ， ， ， ＪＪ Ｊ对每个 １ Ｂ ≤Ｊ≤ ｓ． 引理 ２的证明 首先证明 ｓ ｒ选择素数 Ｐ ｌ ， ≤ ． ｌ ｌＢ 则从条件可知 ＰＩＢ ｌ ｌ， 对每个 １ ． ｓ． ≤Ｊ ≤ 定义
核心 部 分是 处理 有 限 的 Ａ ｅ 群 这种 特 殊情 况 ． ｂｌ 在本 文 里 ， 我们 从有 限 Ａ ｅ 群 的元 的阶 的性质 出发 ， ｂｌ 重新
群的阶与群中元素的阶的关系讲解
石家庄铁道学院毕业论文群的阶与其元素的阶的关系摘要近世代数虽是一门较新的，较抽象的学科，但如今它已渗透到科学的各个领域，解决了许多著名的数学难题:像尺规作图不能问题，用根式解代数方程问题，编码问题等等．而群是近世代数里面最重要的内容之一，也是学好近世代数的关键．本论文旨在从各个角度和方面来探讨群的阶与其元的阶之间的关系．具体地来说，本文先引入了群的概念，介绍了群及有关群的定义，然后着重讨论了有限群、无限群中关于元的阶的情况．并举了一些典型实例进行分析，之后又重点介绍了有限群中关于群的阶与其元的阶之间的关系的定理——拉格朗日定理，得出了一些比较好的结论．在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位．同时，它也是近年来研究最多、最活跃的一个数学分支．因此，在本文最后，我们介绍了著名的有限交换群的结构定理，并给出了实例分析．关键词：群论有限群元的阶石家庄铁道学院毕业论文AbstractThe Modern Algebra is a relatively new and abstract subject, but now it has penetrated into all fields of science and solved a number of well-known mathematical problems, such as, the impossibility for Ruler Mapping problem, the solutions for algebraic equations with radical expressions, coding problems and so on. The group is one of the most important portions in the Modern Algebra, and also the key of learning it well.This paper aims at discussing the relations between the order of a group and the orders of its elements from all the angles and aspects. Specifically, this thesis firstly introduces the concept of a group and some relatives with it; secondly focuses on the orders of the elements in the finite group and the infinite group respectively, some typical examples are listed for analyses; thirdly stresses on the theorem - Lagrange's theorem on the relations between the order of a group and the orders of its elements in the finite group, accordingly obtaining some relatively good conclusion.In the many branches of group theory, the finite group theory, whether from the theory itself or from the practical applications, occupies a more prominent position. At the same time, it is also one of the largest researches and the most active branches of mathematics in the recent years. Therefore, in this paper finally, we introduce the famous theorem of the structures on the finite exchanging groups, and give several examples for analyses.Key words：group theory finite groups the orders of elements石家庄铁道学院毕业论文目录１绪论 (1)1.1 群论的概括 (1)1.2 群论的来源 (1)1.3 群论的思想 (2)2 预备知识 (2)2.1 群和子群 (2)2.1.1 群的定义 (2)2.1.2 群的阶的定义 (3)2.1.3 元的阶的定义 (4)2.1.4 子群、子群的陪集 (5)2.1.5 同构的定义 (6)2.2 不变子群与商群 (6)2.2.1 不变子群与商群 (6)2.2.2 Cayley(凯莱)定理 (7)2.2.3 内直和和外直积的定义 (8)3 群中元的阶的各种情况及其实例分析 (8)3.1 有限群中关于元的阶 (9)3.1.1 有限群中元的阶的有限性 (9)3.1.2 有限群中关于元的阶及其个数的关系 (9)3.2 无限群中关于元的阶 (10)3.2.1 无限群G中，除去单位元外，每个元素的阶均无限 (10)3.2.2 无限群G中，每个元素的阶都有限 (10)3.2.3 G为无限群，G中除单位元外，既有无限阶的元，又有有限阶的元 (11)4 群的阶与其元的阶之间的关系 (11)4.1 拉格朗日(Lagrange)定理 (11)4.1.1 拉格朗日定理 (11)4.1.2 相关结论 (12)4.2 有限交换群的结构定理 (13)4.2.1 有限交换群的结构定理 (13)石家庄铁道学院毕业论文4.2.2 相关例子 (14)参考文献 (15)致谢 ······································································错误！未定义书签。
群中元素的阶的计算
群中元素的阶的计算群是代数学中一个重要的概念，它可以用来研究数学中的很多问题。
群中的元素是数学对象，而群的阶则是用来描述这些元素的数量。
在本文中，我们将介绍什么是群中元素的阶，以及如何计算群的阶。
首先，我们来回顾一下群的定义。
群是一个集合，其中有一个二元操作，满足结合律、单位元素存在且可逆。
在某些情况下，群的元素还满足一些附加条件，如交换律、幂等性等。
这些附加条件可以使群具有更特殊的性质，例如交换群、循环群等。
一个群中的元素的阶指的是这个元素在群中的循环次数。
也就是说，一个元素的阶是将其连续进行群的二元操作（通常表示为乘法）得到的重复数量。
比如，在以整数加法为二元操作的整数群中，元素3和-3的阶都是无限大，因为它们没有循环点；而元素4的阶是整数4的绝对值，因为它的循环点为4、8、12等。
通常，我们用ord(g)表示群中元素g的阶。
如果一个群中的元素的阶都是有限的，则称该群为有限群。
有限群的阶是群中元素阶数的总乘积，即：|G| = ord(g1) * ord(g2) * ... * ord(gn)其中，G是群，g1、g2、...、gn是G中不同阶的元素。
对于一些特殊的群，它们的元素阶具有一定的规律，可以用数学方法计算。
例如，循环群的元素的阶都是该群中元素的数量，而交换群中的元素的阶要么是2要么是无限大。
此外，一些群的元素阶数具有约束条件，比如Sylow定理描述的p-Sylow群的元素阶必定为p的幂次方。
综上所述，群中的元素阶数是一个十分重要的数学概念，它可以帮助我们更好地理解群的结构和性质。
对于一个给定的群，计算其元素阶数是很有挑战性的，但掌握一些计算技巧和规律，我们可以更好地理解和运用群论知识，解决实际问题。
pq阶群的结构
pq阶群的结构在代数学中，群是一种具有代数结构的数学对象，它由一组元素和一个二元运算组成。
而pq阶群是指群的阶为p^q的群，其中p和q都是素数。
本文将探讨pq阶群的结构以及相关的性质。
让我们回顾一下群的定义。
一个群G是一个非空集合，对于集合中的任意两个元素a和b，群G定义了一个二元运算"·"，满足以下四个条件：1. 封闭性：对于任意的a和b，a·b仍然属于G。
2. 结合律：对于任意的a、b和c，(a·b)·c = a·(b·c)。
3. 单位元：存在一个元素e，对于任意的a，a·e = a。
4. 逆元：对于任意的a，存在一个元素b，使得a·b = e。
现在，让我们来研究pq阶群的结构。
首先，根据拉格朗日定理，如果G是一个有限群，那么G的任意子群的阶都能整除G的阶。
因此，一个pq阶群的子群的阶只能是1、p、q或者pq。
根据pq阶群的结构定理，一个pq阶群可以分为两种情况：1. 当p不等于q时，存在一个阶为p的子群H和一个阶为q的子群K，使得H和K的交集只包含单位元。
此时，pq阶群G是H和K 的直积，即G = H × K。
2. 当p等于q时，存在一个阶为p的子群H，使得G是H的直积，即G = H × H。
这样的群被称为幂等阶群。
对于幂等阶群，可以进一步研究它的子群结构。
根据Sylow定理，一个pq阶群的阶为p的子群和阶为q的子群都是正规子群。
因此，幂等阶群G的子群结构可以表示为：{e}, H, K, G其中{e}表示只包含单位元的子群，H和K分别表示阶为p和q的子群，G表示全体元素构成的子群。
在研究pq阶群的结构时，一个重要的性质是它的元素的幂等性。
对于一个pq阶群G中的任意元素a，a的阶必定是p、q或者1。
这是因为根据群的性质，对于任意的元素a，a的阶必定是a的幂等性的最小正整数次幂。
17+代数学基础(1)群和子群的基本概念
记为 a ∈ G 。
i
注释： 注释：
（1）a ∈ G 只是将 a 与自身做 i − 1 次群运算的结果， 整数 i 和 a 之间
i
的“运算”并不是群运算。 （2）一些群习惯上写成加法群，例如（Zn， +(mod n)） 对于这些群，a 。 就是 i
i
⋅ a ，但简化写法中的“点”并不是群运算，整数 i 也不一定
群元素的阶
定义 5.9 群元素的阶 令 G 是一群， 任意 a ∈ G ， 称满足 a i = e 的 最小正整数 i ∈ N 为元素 a 的阶，记为 ord (a ) 。如果不存在这样的 整数 i ，则称 a 的阶是无限的。
当一个元素g的阶 的阶ord(g)有限时，如果有 n =e成立，则必有 有限时， 成立， 注：当一个元素 的阶 有限时 如果有g 成立 ord(g)|n，即n一定是 ， 一定是ord(g)的倍数 的倍数。 一定是 的倍数
.
2． ∀ a, b, c ∈ G ，有 ( a o b) o c = a o (b o c )
3．存在唯一的元素 e ∈ G ，使得对于任意 a ∈ G ，都有 a o e = e o a = a ，元 素 e 称为单位元 （单位元） （可逆性）
−1 −1 4． ∀ a ∈ G ，存在元素 a −1 ∈ G ，使得 a o a = a o a = e
群的例子(8)
置换群 S={1,2,…,n} Sn是S上所有置换构成的集合 | Sn |=n! α, β是Sn中置换, αβ表示α和β的复合, 即αβ(x)=α(β(x)) Sn构成群, 称为n阶对称群 对称群. 对称群
置换的表示
1 2 ... n α = i i ... i n 1 2
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有限群的阶与群的结构
夏晶
【摘要】给出了若有限群G的阶是p1p2…pn,其中P1,…,Pn是不同的素数,则G 是超可解群.同时还给出了若群G的阶| G|=60p1p2…pn,其中p1,…,pn均是大于5的不同的素数,且G是极小单群,则G(=)A5.
【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》
【年(卷),期】2012(028)006
【总页数】2页(P20-21)
【关键词】极小单群;可解群;超解群
【作者】夏晶
【作者单位】大庆师范学院
【正文语种】中文
0 引言
通过群的阶来给出群的一些性质已有许多结果.例如著名的Feit-Thompson定理:奇数阶群必可解和Burnside定理:设p、q是素数，a、b是正整数，则paqb阶群必可解等等.以及在文献［1］中还给出了象有限p-群(p是素数)是幂零群阶是2n，n是奇数的群是可解群，p2(p是素数)阶，群必为交换群等重要结果.该文给出了若群的阶|G|=p1p2…pn，则G是超可解群;以及群G的阶|G|=60p1…pn，若G 是极小单群，则G ≌ A5，这里p1，p2，…，pn是互不相同的大于5素数.
1 主要概念和引理
定义极小非可解群即每个真子群为可解的单群，称之为极小单群.
引理1［1］设p是群G的阶的最小素因子，P∈Sylp(G)，P循环，则G有正规p-补.
引理2［1］设G是非交换单群，p是G的阶的最小素因子，则p3||G|或12||G|. 引理3［1］ 60阶单群必同构于A5.
引理4［2］极小单群有下述五个类型:
Ⅱ.PSL(2，2q)，q 是素数，阶 2 q(22q-1)
Ⅲ.PSL(2，3q)，q是奇素数，阶·3q(32p-1).
Ⅳ.PSL(3，3)，33(33-1)(32-1)=24 ×33×13.
Ⅴ.Suzuki群 S2(2q)，q奇素数，阶(22q+1)22q(2q-1).
引理5［1］ 60阶单群必同构于A5.
2 主要定理
定理1 设G的阶为|G|=p1p2…pn，其中p1，p2，…，pn是不同的素数，则 G 是超可解群.
证明不妨设p1＜p2＜… ＜pn.当n=1时，G是p-群，是幂零群，当然是超可解群.于是可以假设n≥2，Sylow定理知G的Sylow p1-子群P1的阶是素数p1，从而是循环子群.于是G有正规 p1- 补 G1，且|G1|=p2…pn.同理 G1有正规 p2- 补G2.即 G2◁G1，且|G2|=p3…pn.易知G2是G的Hall子群，再由G2是G的次正规子群，从而G2是G的正规子群.如此下去，我们得到G的一个正规子群列.
使得 |Gi-1/Gi|=pi，i=1，2，…，n.从而 G 是超可解群.
定理2 A5是极小单群.
证明设N是A5的任意真子群，由|A5|=60，|M|||A| 知 |N|=1，2，3，5，4=2
× 2，6=2 × 3，10=2 × 5，12=22 × 3，15=3 × 5，20=22×5，30=2 ×3 ×5，即|N|=p，paq，pqr型群.其中p、q、r是不同的素数，由文献［1］及定理1，
知N是可解群.而A5是单群，从而A5是极小单群.
定理3 设群G的阶为|G|=22×3×5×p1×p2×… ×pn，其中p1，…，pn均是大于5的不同素数，若G是极小单群，则G≌A5.即G是阶为60的单群.
证明由引理4知G只有五个类型的可能.若 G是类型Ⅰ由5||G|，5，知p=5.即
由引理5知G≌PSL(2.5)≌A5.
若G是类型Ⅱ.由22|||G|，及q是素数知，q=2，即22(22×2-1)=60.从而有G ≌ A5≌PSL(2.4).
若G是类型Ⅲ，q是奇素数，则33||G|，与|G|恰好被3 整除，矛盾，故 G
≌/PSL(2，33).
由24||PSL(3，3)|，知G≌/PSL(3，3)，即G不可能是类型Ⅳ.
若G≌S2(2q).由q是奇素数知26||G|，与4|||G|矛盾.故G ≌/S2(2q).
综上所述，有G≌A5.
参考文献
［1］徐明曜.有限群导引(上)［M］.北京:科学出版社，1999.
［2］陈重穆.内外-∑群与极小非 -∑群［M］.重庆:西南师范大学出版社，1988.。