伽罗瓦群论
伽罗瓦群论
伽罗瓦群论
伽罗瓦群论又称为非可满群论、变群论、抽象代数群论或群论，是古典数学的一个分支，它研究了有联系的和类似的数学概念，其中包括群、代数、拓扑、向量空间以及分析。
伽罗瓦群及其研究是 20 世纪早期最重要的发明之一，它为许多新的数学理论奠定了基础，有助于突破传统数学局限，使得抽象应用加入到数学公理和定理构想之中。
伽罗瓦群理论最早是1800年由威廉·赫尔布兰在他的小说《拉斐尔的向导》中提出的，他把群论理论作为数学的一个重要分支。
1902年，蒙古犬拿延提出置换群概念，将群理论作为一个专门的学科，开拓了群的数学分支。
1932年，西班牙数学家索尔瓦尼亚菲埃提出了严格定义群的概念，将伽罗瓦群论建立起来。
伽罗瓦群论主要关注群和群范畴，它着重于群上可以表示的各种结构，以及那些可以
通过积分或延伸来发掘出其中的群表示的数学定理。
另外，它还研究群中的不可约化的特
征变换，许多其他的数学对象，以及研究如何将群理论和其他数学研究领域联系起来。
伽罗瓦群论概念有很多应用，最大的应用之一是数论，它有助于测量将具有代数特性
的几何形状整合到数学上。
伽罗瓦群论还被应用在结构完备性定理、几何学、分析学等数
学领域中，并且可以用于计算机科学和物理学等其他学科领域。
伽罗瓦群论是一门活跃的研究领域，素有数学家们不断发现各种新的的群及其普遍性
定义，开发出许多新的数学定理，以及更加深入地探讨群的基本性质，发展和完善伽罗瓦
群论理论。
的证明伽罗瓦对五次方程不可解白
伽罗瓦理论是现代数学中的一个重要分支，它探讨了数论中的一个经典问题：五次方程不可解。
该问题在数学史上曾经引起了巨大的争议和困惑，直到19世纪初，法国数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦建立了现代群论和伽罗瓦理论，才最终解决了这一难题。
在本文中，我们将深入探讨伽罗瓦如何证明了五次方程的不可解性，并对其理论进行全面的评估和解读。
1. 伽罗瓦理论的概念和基本原理伽罗瓦理论是群论的一个重要应用领域，它主要研究了有限域与多项式方程的根之间的关系。
在伽罗瓦的理论中，一个多项式方程的可解性与其对应的有限域的结构密切相关。
通过研究方程的对称性和置换群的结构，伽罗瓦理论建立了方程可解性的准则，从而证明了五次及以上的一般多项式方程的不可解性。
2. 伽罗瓦对五次方程不可解的证明伽罗瓦最重要的工作之一是对五次方程不可解性的证明。
他首先通过传统的代数方法证明了五次方程的一般解不存在，并进一步利用了群论的概念，分析了五次方程的置换群，证明了其不可约性和不可解性。
这一成果极大地推动了数学领域的发展，为代数基本定理的证明奠定了坚实的基础。
3. 伽罗瓦理论的深度和广度伽罗瓦理论不仅解决了五次方程不可解性的经典问题，更深刻地影响了数学领域的发展。
它在代数、几何、数论等领域都有着重要的应用，并且从根本上改变了数学家们对可解性和不可解性的认识。
伽罗瓦理论的深度和广度超出了人们的想象，成为了现代数学中不可或缺的一部分。
4. 个人观点和理解作为一个数学爱好者，我对伽罗瓦理论深深着迷。
它不仅解决了一个经典的数学难题，更重要的是，它改变了人们对数学可解性的认识，开拓了数学领域的新视野。
伽罗瓦理论的严谨性和美妙性让我深有感触，我相信它将继续在数学领域发挥重要作用，激发数学家们不断探索未知领域的激情。
总结回顾伽罗瓦理论的证明伽罗瓦对五次方程不可解的经典成果，标志着现代代数学的发展达到了一个新的高度。
通过对多项式方程的深入研究和对称性的探讨，伽罗瓦理论揭示了方程可解性的本质，为数学领域带来了革命性的变革。
伽罗瓦理论
伽罗瓦理论：人类至今无解的五次方程用汗水和生命浇灌出来的理论之花，困扰人类300多年的高阶谜团1832年，自知必死的伽罗瓦奋笔疾书，写出了一篇几乎半个世纪都没人看懂、只有32页纸的论文，并时不时在一旁写下“我没有时间”，第二天他毅然决然参与决斗并身亡，一个瘦弱而极富激情的天才就这样走了，最后闪现出的是绝世才华，他的生命只有21岁！群论、数学质变的前夕为什么数学家对五次方程如此迷恋，因为在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，将数学带入了精妙绝伦的现代群论。
群论的出现，直接奠定了20世纪的物理基础，从此，统治人类近200年的牛顿机械宇宙观开始迈入随机和不确定性的量子世界和广袤无垠的时空相对论。
一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般来临。
在这次暴风雨的前夜，历史上最伟大的数学家们悉数登场，他们为五次方程的求解而苦苦思索。
在五次方程获得求解之前，一元三、四次方程在数学大神塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里的努力下，顺利得到了解决，然而到了五次方程，再传统地以根用系数的代数式求解却始终行不通。
在各大高手尝试失败后，它很快成了数学家心中的顶尖难题，这是属于神的命题，与人类无关。
在这条解方程的漫漫长路上，最先为五次方程求解提供了新思路的是上帝之子欧拉，他通过一个巧妙的变换把任何一个全系数的五次方程转化为具有“x+ax+b=0”的形式。
出于对这一优美表达的倾心喜爱，欧拉自以为是地认为可以找出五次方程的通解表达式。
与此同时，数学天才拉格朗日也在为寻找五次方程的解而废寝忘食。
很快，他便欣喜地发现了一种特别的方法，若将四次方程降阶为三次方程，就能找到一种求解四次方程的简单方法。
但遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为六次方程。
此后，五次方程的进展一度陷入迷局。
当时五次方程的焦点主要集中在两大问题上，第一个问题是，对N次方程，至少都有一个解吗？第二个问题则更进一步：N次方程如果有解，那么它会有多少个解呢？人类历史上另一伟大数学家高斯挥动如椽巨笔，成功解决了这两大问题，证明了分圆多项式-1+xp（p为素数）可以用根式求解，但拨开迷雾之后，一个更加狰狞的难题仍然浮现在眼前，五次方程是否可以用根式求解的难题依旧困扰着人类，挥之不去.数学本无种，业余民科遭歧视为了求解五次方程，欧洲大陆的数学家正紧锣密鼓地开展深入研究。
伽罗瓦定理讲解
伽罗瓦定理讲解
伽罗瓦定理是现代代数学的基础之一，是法国数学家伽罗瓦在19世纪初提出的，主要研究了代数方程的解所具有的一些性质。
伽罗瓦定理
主要包含以下几个方面：
1. 伽罗瓦群：
伽罗瓦群是指一个多项式方程的所有置换所组成的群。
这个群可以与
方程的解的集合一一对应。
伽罗瓦群的作用就是使得每个方程的解都
可以通过变换得到，进而可以研究一个方程的解与另一个方程的解之
间的关系。
2. 不变量：
伽罗瓦定理中还研究了不变量，这些不变量是指在变换的过程中不会
改变的量。
对于一个多项式方程，如果经过一个置换后方程的解不变，那么这个置换就是一个不变量，因为它不会改变解的集合。
3. Galois 排序定理：
Galois 排序定理是指将伽罗瓦群中的置换按照不变子群的升序排列，
可以使得这些置换的作用可以通过不同的不变子群的组合得到。
这个
定理的重要性在于它为研究数学中的重要问题提供了有力的工具和方法。
4. 可解性：
伽罗瓦定理还研究了多项式方程的可解性问题。
如果一个方程的伽罗
瓦群是可解的，那么这个方程就是可解的，也就是说它有一个能够表
示为根式的解。
反之，如果一个方程的伽罗瓦群是非可解的，那么这
个方程就是不可解的，也就是说它无法表示为根式的解。
总的来说，伽罗瓦定理为研究代数方程的解提供了重要的工具和方法，也为人们研究多项式方程的可解性问题提供了明确的判据，是现代代
数学的基础之一。
【抽象代数】09-伽罗瓦理论
【抽象代数】09-伽罗⽡理论1. 正规扩域 在研究域F的代数扩张E时，⾸要的前提是扩域E是存在的，其次还要让所有扩域在同⼀个空间，即它们之间是可运算的。
满⾜这样条件的空间便是F的代数闭包，使⽤集合论的语⾔，代数闭包可以描述成所有多项式的分裂域之并。
这个定义合法性其实还是需要推敲的，你可以结合代数扩域的性质⾃⾏讨论，这⾥就先假定它的存在性。
其次，不同的闭包之间并不⼀定是互通的，下⾯的讨论将回避这种“平⾏世界”的讨论，将范围限制在某个选定的代数闭包\Omega中。
即使只在某个闭包中，满⾜特定条件的扩域总也有多种选择的⽅法，这种将域对应到闭包中的映射⼀般称为域的嵌⼊，不同的嵌⼊之间称为共轭域。
它不仅给域找到了统⼀的闭包，还是研究扩域结构的重要⽅法（共轭域当然都保持F完全不变）。
在前⾯构造单扩域时，你可能已经发现，构造出的扩域其实与根的选取⽆关，它们互为共轭域。
如果将单扩域嵌⼊到闭域中，每⼀种嵌⼊⽅法正好对应f(x)的⼀个根，这些共轭域之间可能有互异元素，也可能元素相同但嵌⼊的⽅法不同。
以上出现互异元素是因为，可能不是所有根都在同⼀个单扩域中，我们⾃然要问：那么不同的分裂域嵌⼊还会有互异元素吗？更⼀般地，考察多项式集合S\subseteq F[x]的分裂域E，假设E同构于另⼀个分裂域E'且同构映射为\sigma。
因为任何f(x)=(x-a_1)\cdots (x-a_n)\in S的系数在F中，所以总有\sigma(f(x))=f(x)，所以(\sigma(a_1),\cdots,\sigma(a_n))只是(a_1,\cdots,a_n)的⼀个置换。
由此若设S的所有根为R，则有以下推导过程，也就是说E'是E的⾃同构。
E'=\sigma(E)=\sigma(F(R))=F(\sigma(R))=F(R)=E\tag{1} 只有⾃同构共轭的域叫⾃共轭域，像分裂域这种保持F不变的域被称为F-⾃共轭域。
2024年考研数学群论与伽罗瓦理论题目解析与答案
2024年考研数学群论与伽罗瓦理论题目解析与答案伽罗瓦理论和群论是数学中重要的分支，也是考研数学中的一大难点。
本文将对2024年考研数学中涉及到的群论与伽罗瓦理论题目进行解析并提供详细答案，帮助考生更好地理解和应用该知识点。
一、群论题目解析与答案1. 题目：设G={a, b, c, d}是一个群，且对于任意的a, b属于G，有(ba)^2=b^{-1}a^{-1}ba。
求证：G是二阶群。
解析：要证明G是二阶群，需要证明G中的任意元素a均满足a^2 = e（e为单位元），即每个元素的平方都等于单位元。
首先，根据题目中给出的条件，令a=b，则有(aa)^2 = a^{-1}a^{-1}aa。
由群的封闭性可知，(aa)^2属于G，即一定存在于G中的某个元素。
假设(aa)^2 = d，则有d = a^{-1}a^{-1}aa。
将d代入等式中，得到d^2 = (a^{-1}a^{-1}aa)^2，经过展开化简后可得d^2 = e，即d为单位元。
另一方面，如果(aa)^2 = c，同样可以得出c为单位元。
综上所述，G中的所有元素的平方均等于单位元，即G是二阶群。
2. 题目：设G是一个群，且对于任意的a, b属于G，有bab^{-1}=a^2。
证明：G是可解群。
解析：要证明G是可解群，需要证明G的每个子群均为正规子群。
首先，根据题目中给出的条件，对于任意的a, b属于G，有bab^{-1}=a^2。
我们将上述等式两边同时左乘b^{-1}，得到 b^{-1}bab^{-1}=b^{-1}a^2。
再将等式两边同时右乘b，得到bab^{-1}b=b^{-1}a^2b。
由于G是一个群，故a^2和b^{-1}a^2b均属于G，根据群的封闭性，bab^{-1}也属于G，即必存在于G中的某个元素。
假设bab^{-1}=c，则有c=b^{-1}a^2b，将b^{-1}a^2b代入等式中，得到c^2 = (b^{-1}a^2b)^2。
伽罗瓦群论之美--高次方程不可根式求解证明赏析
伽罗瓦裙论的奇妙之美一、概述伽罗瓦裙论是数学中一枝崭新的裙论学派，它揭示了高次方程不可根式求解的根本原因，是数学史上的一大重大发现。
伽罗瓦裙论的诞生和发展，为人们揭开了数学领域中一个新的篇章，其无限魅力正逐渐被人们所认识和理解。
二、伽罗瓦裙论的产生1. 伽罗瓦的生平法国数学家伽罗瓦（Evariste Galois，1811-1832）诞辰在一个教育家庭，早年即展示了非凡的数学才能。
然而，他的短暂一生充满了坎坷和不幸，他在年仅20岁时因决斗而不幸身亡。
在临死前几天，伽罗瓦将他关于方程根式求解的研究成果寄给了某位数学家，从而留下了伽罗瓦理论的珍贵遗产。
2. 伽罗瓦理论的提出伽罗瓦在他短暂的生命中，提出了著名的“伽罗瓦理论”，指出了高次方程不可根式求解的根本原因。
他在其遗稿中详细阐述了伽罗瓦裙的概念和应用，从而为后人打开了一个崭新的数学领域。
三、伽罗瓦裙论的核心思想1. 伽罗瓦裙的基本概念伽罗瓦裙论的核心是“伽罗瓦裙”的概念。
伽罗瓦裙是一个裙论的概念，它是一个与域扩张相关的裙。
对于一个给定的域扩张，伽罗瓦裙描述了这个域扩张的自同构。
伽罗瓦裙的重要性在于其能够直接指出方程是否可根式求解。
2. 伽罗瓦理论的应用伽罗瓦理论在数学领域有着广泛的应用。
它不仅为高次方程的根式求解提供了一种统一的方法，而且在代数数论、几何学和拓扑学等领域也有着重要的应用价值。
伽罗瓦裙论的产生和发展为数学研究者深入研究数学问题提供了新的思路和方法。
四、伽罗瓦裙论的丰硕成果1. 伽罗瓦裙论的影响伽罗瓦理论的提出，为数学领域的发展带来了深远的影响。
它揭示了高次方程不可根式求解的根本原因，推动了数学领域对裙论和域论等理论的深入研究。
伽罗瓦裙论为后世的数学研究提供了重要的启示，并且为代数学的发展奠定了坚实的基础。
2. 伽罗瓦理论的发展20世纪以来，伽罗瓦理论在数学领域的发展十分迅速。
许多数学家在伽罗瓦理论的基础上，提出了一系列深刻的概念和结论，扩大了伽罗瓦裙论的研究范围，并且对现代数学的发展产生了深远的影响。
群论：伽罗瓦群与3次方程的求根
群论：伽罗瓦群与3次方程的求根伽罗瓦理论是数学中的一个重要分支，其研究的主要对象是域扩张的自同构群，即伽罗瓦群。
伽罗瓦理论的应用非常广泛，其中一个重要的应用是解代数方程。
特别是对于3次方程，伽罗瓦理论提供了一种非常优雅的方法来确定方程的根之间的关系。
伽罗瓦理论的基本思想是通过研究域扩张的自同构群来研究方程的根之间的关系。
对于一个有限域扩张$K/F$，伽罗瓦群$G(K/F)$是所有保持域$K$的元素不变的$F$上的自同构构成的群。
通过伽罗瓦群的研究，我们可以得到关于域扩张和方程的性质的重要信息。
对于一个3次方程$f(x)=0$，伽罗瓦理论可以提供对其根的分析。
首先，我们将方程$f(x)$的根的集合称为根域，记作$K$。
伽罗瓦理论告诉我们，$K$的每一个自同构都可以通过将根映射到其他根来得到。
因此，伽罗瓦群$G(K/F)$描述了根之间的映射关系。
对于一个3次方程，伽罗瓦理论中的一个重要结果是伽罗瓦群$G(K/F)$的结构与方程的可解性之间存在一一对应关系。
具体来说，一个3次方程$f(x)=0$在有理数域上可解的充分必要条件是伽罗瓦群$G(K/F)$是一个可解群。
这个结论称为伽罗瓦对应定理。
另一个重要的结果是，伽罗瓦群$G(K/F)$的阶数与方程$f(x)$的根的个数之间存在一一对应关系。
对于3次方程而言，伽罗瓦群$G(K/F)$的阶数等于3次方程$f(x)$的根的个数。
因此，伽罗瓦理论可以提供一个简洁而直观的方法来计算方程的根的个数。
除了以上的内容之外，伽罗瓦理论还具有其他一些重要的性质和应用。
例如，伽罗瓦群的子群与方程的子扩张之间存在一一对应关系，这个结果可以用来研究方程的根之间的关系。
此外，伽罗瓦理论还可以用来解决关于方程可解性的一些深刻问题，比如判断一个方程是否可用根式解表示等。
总之，伽罗瓦群与3次方程的求根是伽罗瓦理论的重要应用之一。
伽罗瓦理论通过研究域扩张的自同构群，提供了一种优雅的方法来确定方程的根之间的关系。
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伽罗瓦群论【写这篇文章不是给学习近世代数的人用的，而是给不熟悉数学的人看的。
哪怕不能完全看懂，也希望人们能了解数学研究所达到的高度，希望能够领略数学之美。
】伽罗瓦（Évariste Galois，1811～1832），一个21岁就去世了的年轻人，开创了现代代数学的先河。
他创建的群论、域论，优美奥妙，已经成为现代代数学的基本工具。
我花了两个月的时间研读伽罗瓦理论，随着理解的深入，我内心不断感受到震撼，心底油然而生对伽罗瓦的钦佩与崇拜。
这种感觉就像终于看懂了世界上最美妙的画作、听懂了世界上最优雅的旋律一样，不由自主的希望与别人共享。
遗憾的是，数学之美只能是那些真正研读并理解了它的人们才能感受得到。
伽罗瓦理论虽然优美，但是却足够深奥，除了数学专业人士和肯于钻研的数学爱好者之外，尚不能被普通大众所理解。
可是我不甘心，我期望着尽自己的努力，用最简明通俗的语言，尽量不涉及复杂的数学公式和逻辑推导，而把伽罗瓦理论的优美展现在大众面前。
伽罗瓦是一个200年前有故事的年轻人，伽罗瓦理论是一座险峻的高峰。
让我们一边阅读伽罗瓦的人生故事，一边尝试着攀登这座高峰吧。
埃瓦里斯特.伽罗瓦首先，我们来引用伽罗瓦的一段话“Jump above calculations, group the operations, classify them according to their plexities rather than their appearance; this, I believe, is the mission of future mathematicians; this is the road I'm embarking in this work.”（跳出计算，群化运算，按照它们的复杂度而不是表象来分类；我相信，这是未来数学的任务；这也正是我的工作所揭示出来的道路。
）当21岁的伽罗瓦在临死前一天晚上把他主要的研究成果以极其精简、跳跃的思维写在草稿纸上的时候，没有人知道当代最伟大的数学工具和数学研究方向已经在伽罗瓦的头脑中存在了1年多的时间了。
甚至是在伽罗瓦第二天参与一个愚蠢的决斗而死后的14年内，都没有人彻底弄明白伽罗瓦写的到底是什么，他头脑中那伟大而天才的数学结构是怎样的？看看这些霸气的名字吧，高斯、柯西、傅立叶、拉格朗日、雅可比、泊松、……，这些在那个时代、同时也是人类历史上的伟大的数学家、物理学家都没有理解伽罗瓦的理论，从这个意义上讲，伽罗瓦恐怕是人类历史上最具天才的数学家了。
让我们先来看一些对比：（1）1824年，挪威数学家阿贝尔发表了《一元五次方程没有一般代数解》的论文，用了50多页的篇幅和大量的计算，论证了对于一般的一元五次方程是不可能根式求解的。
当时阿贝尔的证明今天看来，充满着智慧和复杂的计算，但是仍不够严谨。
当我们今天使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候，论证过程为“一般一元五次方程的伽罗瓦群同构于全置换群S5，而S5不是可解群，因此一般一元五次方程不可根式求解。
”（2）1801年，年轻的24岁“数学王子”高斯通过复杂的计算推导，证明了x^p-1=0（p为素数）是可根式求解的，证明过程使用了大量计算技巧，充分展示了高斯的数学计算天赋。
今天我们使用伽罗瓦理论来论证这一点的时候，论证过程为“方程x^p-1=0（p为素数）在有理数域Q上的伽罗瓦群同构于素数阶模p同余类乘群Zp，而Zp是循环群，必为可解群，因此方程x^p-1=0可根式求解。
”甚至我们可以类似的论证p 不为素数时的方程x^n-1=0在Q上的伽罗瓦群同构于模n同余类乘群Z’n，为可换群（阿贝尔群），必为可解群，因此方程x^n-1=0可根式求解。
伽罗瓦理论还可以轻松的解决正n边形的尺规作图问题，证明三等分角、倍立方、化圆为方（这个有赖于π是超越数的证明）的尺规作图不可能问题。
今天，伽罗瓦的理论已经发展成叫做“近世代数”（又叫抽象代数）的一个专门数学分支，其应用拓展到了拓扑、微分几何、混沌等前沿数学研究领域以至于物理、化学等众多科学领域，成为了现代科学研究的重要基础工具。
1994年英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明著名的“费马大定理”的时候，就主要应用了伽罗瓦理论。
当看到一大批通过繁杂计算很难得到证明的问题，能够被使用精巧的数学结构来简洁而精准证明的时候，你也许开始感受到伽罗瓦理论的优美——但这仅仅是一个开始。
从这个“开始”，我们会逐渐感受到伽罗瓦所说的“Jump above calculations, group the operations.”的含义。
那么伽罗瓦到底发明了什么数学结构和工具，使得原来复杂的问题变得清晰起来了呢？一、更高层次的抽象——群、环、域【伽罗瓦的故事】有人说“数学也许只存在于数学家的头脑之中”，至少数学是发端于数学家头脑的。
1823年，12岁的埃瓦里斯特·伽罗瓦进入了他的第一所学校——路易·勒格兰皇家中学，一所声望很高但相当专制的学校，但是直到16岁，伽罗瓦才被准许读他的第一门数学课程。
虽然12～16岁期间的伽罗瓦没有机会研究数学，但是这时期法国社会上和学校中发生的一些事件点燃了他的共和主义倾向，奠定了他日后参与政治的悲剧人生的基础。
伽罗瓦曾就读的路易·勒格兰皇家中学（路易大帝中学）原本成绩优秀的伽罗瓦一旦开始学数学，就像变了一个人，变得对其它课程都不重视，而只醉心于数学这一门课程。
学校给他的评语是“该生只宜在数学的最高领域中工作，这个孩子完全陷入了对数学的狂热之中。
”没有人知道16～18岁中学时期的伽罗瓦头脑中在想些什么，人们只能从表面上看到他所掌握的数学知识足以通过中学的考试要求，但是他对问题的解答往往让考官理解不了。
更糟糕的是，他经常把大量的演算放在头脑中进行，使得平庸的考官们更为茫然和沮丧。
现有的材料表明，17岁的伽罗瓦已经开始研究一般的一元五次方程求解的问题了，他曾提交了2篇论文给法国科学院，当时的评审专家是著名数学家柯西。
柯西显然被伽罗瓦的论文所震惊，他建议伽罗瓦重新以专题的形式提交这两篇论文，并参加数学大奖的评审。
这期间正赶上伽罗瓦的父亲因政治原因而自杀，伽罗瓦在参加完父亲的葬礼后，把改好的专题论文提交给了法国科学院秘书、著名数学家傅立叶。
可惜的是，傅立叶在评审前几个星期就去世了，在这个过程中伽罗瓦的论文也丢失了，从而失去了参加评奖的机会。
天知道为什么这两篇很可能是那个时代最伟大的论文被丢失了？难道上帝都在嫉妒伽罗瓦么？【伽罗瓦理论】在我们已经全面了解并极大发展了伽罗瓦理论的今天，回想1828年伽罗瓦提交的那两篇论文，我们有理由猜测，伽罗瓦是站在更高的层次上来看待数和运算的。
在伽罗瓦看来，“数和运算”组合在一起可以构成一种数学结构，这是一种更加本质、更加抽象的数学结构，当继续把这种结构脱离“数字和常规意义上的运算”而抽象出来的时候，就形成了新的数学概念——群。
（1）群：给一个集合中的元素定义一种运算“乘法”（这个“乘法”不是数字运算的乘法，而只是借用了这个名字，因此加上了引号），如果这个集合中的元素和这个“乘法”满足：<1> 封闭性：集合中任两个元素相“乘”的结果在这个集合之内；<2> 结合律：这个“乘法”满足(a*b)*c=a*(b*c)；<3> 单位元：集合中存在某个元素e，对于任意集合中的其它元素a有e*a=a*e=a，e被称为单位元；<4> 逆元：对于集合中任意元素a，一定存在集合中的另外一个元素a^{-1} ，使得a\ast a^{-1} =a^{-1}\ast a=e，a与a^{-1} 互为逆元。
此时，这个集合与这个运算组合在一起被称为“群”。
我本不愿意罗列概念，但是如果要想感受到伽罗瓦理论之美，就必须弄清楚“群”的概念。
就像一个人想要欣赏美妙的音乐，你总要能区分音调高低、节奏快慢一样，如果高音“1”和低音“1”在你听来是一样的，那么很难想象你可以欣赏美妙的交响乐。
“群”很显然是把数字及其运算关系抽象之后形成的一种数学结构。
容易验证，整数集合在加法运算下成群（这里的加法就通常意义的数字加法，对应着群定义中的“乘法”），其单位元是数字0；但是整数集合在乘法运算下不成群，这是因为对于大部分整数，没有乘法的逆元。
其实群在日常生活中也会存在，常见的是魔方，它的全部操作构成一个集合，再定义任意两种操作的“乘法”为“先执行第一种操作、再执行第二种操作”，则容易验证魔方的全部操作在这种“乘法”下成群，叫做RUBIC群。
（2）环与域：在一个集合上定义两种运算“加法”和“乘法”，如果这个集合在这个“加法”下成群，而在这个“乘法”下只满足“封闭性”与“结合律”，则称这个集合与这两种运算构成一个“环”；如果这个集合去除“加法”群下的单位元后形成的新集合在“乘法”下成群，则称这个集合与这两种运算构成一个“域”。
显然，“域”是一种特殊的“环”（以上不是环与域的严格定义）。
对不起了，伽罗瓦理论是够抽象的，对于完全没有接触过群论、域论的人来说，这几个概念就挺费琢磨。
可是没有办法，伽罗瓦理论这座高峰就需要踩着这些概念的台阶来攀登，你想欣赏最美好的风光，就需要把这些“概念”踩在脚下，“无限风光在险峰”。
如果看懂了这三个概念，特别是看懂了“群”和“域”这两个概念，就会理解这些结构其实就是从基础的数字运算关系中抽象出来的。
比如：有理数在加法和乘法运算下构成一个域，0是加法单位元，1是乘法单位元，不包含0的有理数在乘法运算下成群；实数、复数在加法和乘法下都构成域；无理数在加法和乘法下不能构成域，这是因为无理数之和可能是有理数，不满足封闭性。
下面用群和域的概念做一个思维体操，证明有理数是最小的数域（由数字和加法、乘法构成的域）：step 1 : 数域必有加法单位元0和乘法单位元1；step 2 : 由加法封闭性得到n个1相加必然还在域内，于是任意自然数n在域内；step 3 : 再由加法存在逆元得到-n也在域内，这样全部整数必然在域内；step 4 : 再由乘法存在逆元得到，任意整数n（0除外）的倒数1/n必在域内；step 5 : 再由乘法成群（去除0后）得到，任意m/n（m和n是整数）也在域内。
这样，就证明了有理数必须在数域之内，而且构成了一个域。
因此，有理数是最小数域。
做完这个思维体操我们可以知道，不要小看群、环、域这样一些基本概念，这些概念定义的是一种数学结构，只从基本概念出发，就可以得到很多复杂的结果。
譬如直到上世纪80年代，数学家们才真正彻底解决了全部有限单群分类的问题，这是经过了近30年时间、由超过100位数学家在500多种期刊上写下的超过10000页的论文而最终解决的，其基础则是200年前伽罗瓦提出的概念——群。