π—可解群的一个充分必要条件
有限超可解群的一些充要条件I
有限超可解群的一些充要条件I
王坤仁
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(025)002
【摘要】主要证明了如下命题等价:(1) G是超可解群;(2) 对G的任一极大子群M,G有正规子群K使|K:MG|为素数;(3)对G的任一极大子群M,G有正规子群K使K/MG为非平凡的循环群;(4) G的每个极大子群M补于G的循环主因子;(5)G有正规子群H使1=H0＜H1＜…＜Hn=H为G的主列片段,其中G/CG(Hi+1/Hi)为幂指数整除pi-1的Abel群,pi∈π(Hi+1/Hi),1≤i≤n,且∩n-
1i=0CG(Hi+1/Hi)≤H;(6)对G/Φ(G)的每个极小正规子群N/Φ(G).G/CG(N/Φ(G))为幂指数整除p的Abel群,p∈π(N/Φ(G)).
【总页数】3页(P118-120)
【作者】王坤仁
【作者单位】四川师范大学,数学与软件科学学院,四川,成都,610066
【正文语种】中文
【中图分类】O152.1
【相关文献】
1.有限超可解群的若干充要条件 [J], 王晓静;张艳;温凤桐
2.有限群为超可解群的充要条件 [J], 郭秀云
3.有限群的一些充要条件 [J], 兰春霞
4.有限超可解群的一些充要条件Ⅱ [J], 王坤仁
5.有限群为超可解群的一个充要条件 [J], 王彩云;张玉珠
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π—可解群的一个充分必要条件
π—可解群的一个充分必要条件数学在我们现代生活中占据着重要地位，纳米科学、物理学和其它科学的发展更是受到数学的思想的深刻影响。
群论的研究是一个重要的研究领域，特别是可解群的理论研究中，π（pi）现象扮演着重要的角色。
π是一个重要的数学常数，由于它的数学性质，π在数学研究中被广泛使用，它出现在概率论、统计学、代数学等多个数学领域。
π对可解群引入另一个充分必要条件，这是一个重要的概念性发现，也是可解群理论中一个重要的发现。
可解群是一类有着重要应用的群，它们可以用来解决多维空间中问题的结构、几何及拓扑等方面的理论。
可解群理论也给我们许多新的计算机科学理论，如编程语言和密码学等等。
可解群的另一个充分必要条件就是π现象。
π现象指的是一种由可解群的分支集合构成的自然结构，它要求可解群中有且只有一个分支集合。
当可解群中存在多个分支集合时，可以把它们组合成一个新的分支集合，这一结构就称为π现象。
π现象的存在对可解群的理论有着重要的影响，它可以用于证明给定的可解群是可解的。
许多可解群的定理都是建立在π现象的基础之上的，所以π现象是可解群的一个充分必要条件。
π现象的发现也揭示了可解群的性质，它的发现为可解群研究领域发展做出了重要的贡献，使可解群理论得到了进一步的发展。
π现象也成为解决多维几何结构中问题的重要工具，为计算机科学和密码学的研究带来许多新的思路。
可解群理论的发展不仅增强了群论的研究深度，也为解决多维几何拓扑及其它科学问题提供了新的思路。
π现象的研究也为群论学科注入新的活力，证明可解群也就更加容易了，许多新的定理也可以从可解群的理论解释中得到更明确的阐述。
总之，π现象是可解群理论中一个重要的发现，它可以将可解群的概念和理论实现，也可以为多维几何结构中问题的解决提供重要的思路，是可解群理论发展的一个充分必要条件。
关于有限群p-超可解性与p-幂零性的新判定
关于有限群p-超可解性与p-幂零性的新判定陈德平;尤泽;李保军【摘要】称群G的一个子群H在G中弱s-置换,如果G中存在一个次正规子群T,使得HT=G且T∩H≤H sG.通过研究弱s-置换子群其对有限群结构的影响,得到了有限群为p-超可解和p-幂零的一些新判定.【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)003【总页数】4页(P358-361)【关键词】有限群;弱s-置换子群;p-超可解群;p-幂零群【作者】陈德平;尤泽;李保军【作者单位】成都信息工程大学应用数学学院,四川成都 610225;成都信息工程大学应用数学学院,四川成都 610225;成都信息工程大学应用数学学院,四川成都610225【正文语种】中文【中图分类】O152.1本文所研究的群皆为有限群，用G表示一个群，|G|表示群G阶，π(G)为|G|的所有素因子的集合，p为一个素数．文中所用符号和概念大多是标准的，未指明的符号和概念可参见文献［1－2］．群G的子群H与T称为可置换的，如果HT=TH．已知群G的2个子群的乘积仍为子群的充要条件是它们可置换(参见文献［1］的定理1．2)．因此，子群的可置换性为子群的一个重要性质．一个群的正规子群与其所有子群可置换，但反之不然．若群G的子群H与G的所有子群可置换，则称H为G的拟正规子群［3］或置换子群［4］．推广这一概念，群 G的子群H被称为为s－置换子群(或s－拟正规子群)［5－6］，如果 H 与 G 的所有 Sylow 子群可置换．s－置换子群与置换子群有着很多相近的性质，如s－置换子群也是次正规子群以及无核s－置换子群幂零等．近年来，在对置换子群和s－置换子群研究的基础上，一些新的子群广义置换性质被提出并得到了较为广泛的研究，譬如 Guo 等［7－8］对 X－置换子群和c－置换子群的研究;Wang 等［9－10］对 c－正规子群和c－可补子群的研究等．这些广义置换子群也有着很好的性质并深刻的影响着群结构，文献［11］得到群G的无核X－置换子群(其中X为G的某一正规幂零子群)为超可解子群;文献［9］证明所有极大子群皆为c－正规的群一定可解．利用子群各类广义置换性质研究群结构的最为广泛的研究工作是通过极小子群和Sylow子群的极大子群刻画群结构［12－16］．统一和发展这方面的研究．2007 年，Skiba［17］提出了弱s－置换子群的概念，并利用这一概念，给出了一些有意义的研究成果．本文主要研究工作为利用某些子群的弱s－置换性质研究群的p－超可解性和p－幂零性，将得到一些关于群结构的新刻画．1 预备知识首先列出一些文中将会用到的基本概念和引理．定义 1．1［5］群G的一个子群H在G中称为s－置换的，若对G阶的任意素因子p和G的任意Sylow p－子群 P，都有 HP=PH．由定义所有正规子群和置换子群都是s－置换的．根据文献［16］中的引理2．1(5)的证明，容易得到2个s－置换子群的交还是s－置换的．设H、K为G 的2个子群，由于G有限，〈H，K〉一定可分解为有限多个H与K的乘积．因此，如果H与K都是s－置换的，则〈H，K〉也是．定义 1．2［17］群G的一个子群H在G中称为弱s－置换的，如果G中存在一个次正规子群T，使得HT=G且T∩H≤HsG，其中HsG为含于H的G的最大s－置换子群．对弱s－置换子群，有以下基本性质:引理 1．3［17］设H≤K≤G，则有1)如果H在G中s－置换，则H在G中是弱s－置换的;2)假设H是群G的正规子群，则K/H在G/H中弱s－置换当且仅当K在G中也是弱s－置换的;3)如果H在G中弱s－置换，则H在K中也弱s－置换;4)假设H是群G的正规子群，若在G中弱s－置换的子群E满足(|H|，|E|)=1，则商群HE/H在G/H中也弱s－置换．引理 1．4 设H是群G的s－置换子群，P是G的一个 p－子群．若 p|H|，则P≤NG(H)，进而有Oπ (G)≤N(H)，其中π ={p∣ p|H|}．G证明设Gp为G的包含P的一个Sylow p－子群．因为H是群G的s－置换子群，所以HGp=Gp H为G的一个子群．由p|H|知H为HGp的一个Hall子群．另一方面，由于s－置换子群必为次正规子群，得到H次正规于HGp．但次正规的Hall子群必然正规，因此HHGp．于是P≤Gp≤NG(H)．由 P 的任意性，立即可以得到Oπ(G)=〈P∣P为准素子群且(|P|，|H|)=1〉≤NG(H)．引理1．5 设G有唯一极小正规子群N．若N为初等交换 p－群且N ≤/Φ(G)，则N=O p(G)=F(G)=C G(N)．证明因为N≤/Φ(G)，所以存在G的极大子群M使得N≤/M．因此G=NM．由N交换，N∩MNM=G．但N极小正规子群，因此N∩M=1．又由N为初等交换 p－群，显然有N∈Op(G)∈F(G)∈CG(N)．设C=CG(N)，则且C∩MM．于是C∩MNM=G．N的唯一性表明，若C∩M≠1，则N≤C∩M，矛盾于N∩M=1．因此C∩M=1．于是，C=C∩NM=N(C∩M)=N．因此N=Op(G)=F(G)=CG(N)，引理成立．2 主要结果定理2．1 设G为p－可解群．若对于G的任一非Frattini p－主因子 H/K，存在G的 Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换，则G是p －超可解的．证明假设定理不成立，并设G是一个极小阶反例．通过以下步骤完成证明．1)Op'(G)=1．若Op'(G)≠1，假设 N 是包含在Op'(G)中G的极小正规子群．下面考虑商群G/N．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K 为G的一个非Frattini p－主因子．由条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换．显然，P1 N/N为G/N的一个Sylow子群的极大子群．又由HP1 K有所以P1 N/N不覆盖 H/N/K/N．又因为 N为 p'－子群，由引理1．3的 4)，有P1 N/N 在 G/N 中弱 s－置换．因此条件对G/N成立．又由G的极小性有G/N 是p－超可解的，故G也是p－超可解的，矛盾．2)G有唯一的极小正规子群N，NΦ(G)且N=Op(G)=F(G)=CG(N)．设N是G的任意极小正规子群，由1)及G的p－可解性知N为一个初等交换p－子群．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．设P1为Sylow p－子群的一个不覆盖H/K的极大子群，即P1H≠P1 K．若 NP1，则 NP1为 G的一个Sylow p－子群．因此为 p'－数．另一方面|P1 H ∶P1 K|||H ∶K|为 p－数．因此|P1 H ∶P1 K|=1，即P1 H=P1 K，矛盾．所以N≤P1．由引理1．3的2)，P1 N/N在G/N中是弱s－置换的．显然P1 N/N不覆盖(H/N)/(K/N)，因此条件对G/N成立．于是G/N是p－超可解的．若G中包含不同于N的极小正规子群M，则N∩M=1，因此GG/M∩N为p－超可解，矛盾．所以N是G的唯一极小正规子群．又若N≤Φ(G)，则由p－超可解群的群类是一个饱和群系，可知G为p－超可解，因此NΦ(G)．由引理 1．5 有3)最后的矛盾．设N为G的极小正规子群，由2)，N是初等交换p－群且NΦ(G)．故能找到一个G的Sylow p－子群的极大子群P1，使得NP1且P1在G中弱s－置换，即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．由N是G的唯一极小正规子群，有N≤Op(G)≤L．若不然 Op(G)=1，即 G 是p－群，矛盾．于是P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N 在 G 中是 s－置换的．因此由引理1．4有设Gp为包含P1的G的Sylow p－子群，由P1是Gp的极大子群，有P1Gp．又 NGp，所以P1∩NGp，因此G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N)，即P1∩NG．但是 NP1且N为极小正规子群，因此P1∩N=1．于是|Gp|=|N||P1|，所以|N|=p．由 G/N 是 p－超可解，N是p阶的，说明了G也是p－超可解的．这一最后矛盾表明定理成立．注 2．1 定理2．1中G为p－可解群的条件不可去掉．事实上，设G为5次交错群A5，则G的Sylow 3－子群的极大子群都为1，从在A5内是弱s－置换的，但显然A5不是3－超可解的．定理2．2 设p是群 G阶的素因子且(p－1，|G|)=1．若对于G的任一非Frattini p－主因子H/K，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K且在G中弱s－置换，则G是p－幂零的．证明假设定理不成立，并设G是一个极小阶反例．通过以下步骤完成证明．1)Op'(G)=1．若Op'(G)≠1，假设 N 是包含在Op'(G)中G的极小正规子群．下面考虑商群G/N，设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．由条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1不覆盖H/K 且在 G 中弱 s－置换．由引理1．6，P1 N/N 为 G/N的一个Sylow子群的极大子群．由HP1 K有H/NP1 K/N=(P1 N/N)(K/N)，所以 P1N/N不覆盖(H/N)/(K/N)．又因为 N 为 p'－子群，由引理 2．3的4)，有P1N/N在G/N中弱 s－置换．因此条件对G/N成立．又由G的极小性有G/N是p －幂零的，故G也是p－幂零的，矛盾．2)G的极小正规子群N是p－群．设N是G的任意极小正规子群，由1)知，N 是一个 pd－群．若p2N，则N为p－幂零的，由N的极小性且Op'(G)=1，知N是p－群．又若N≤Φ(G)，则N显然为p－群．设p2 N且NΦ(G)，由定理条件，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1在G中弱s－置换，即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．若 N 不是 p－群，则N=Op(N)≤Op(G)≤L，所以P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N在G中是s－置换的，因此由引理1．4，可得P1∩N≤Op(G)．由 p2|N，P1∩N≠1，从而于是N≤Op(G)，此矛盾说明2)成立．3)G有唯一的极小正规子群N，NΦ(G)且设N是G的任意极小正规子群，由2)知，N为一个p－群．设(H/N)/(K/N)为G/N的任一非Frattini p－主因子，则H/K为G的一个非Frattini p－主因子．设P1不覆盖 H/K，即P1 H≠P1 K．若 NP1，则 NP1为G的一个Sylow p－子群．因此为 p'－数．另一方面|P1 H ∶P1 K|||H ∶K|为 p－数．则|P1 H ∶P1 K|=1，即 P1 H=P1 K，矛盾．所以N≤P1．又显然有P1 N/N不覆盖(H/N)/(K/N)并且根据引理1．3的2)，可得定理条件G/N仍成立．由G的极小性，G/N是p－幂零的．若G中包含不同于N的极小正规子群M，则N∩M=1，因此GG/M∩N为p －幂零，矛盾．所以N是G的唯一极小正规子群．又若N≤Φ(G)，则由p－幂零群的群类是一个饱和群系，可知G为 p－幂零群，因此NΦ(G)．由引理 1．5，N=Op(G)=F(G)=CG(N)成立．4)最后的矛盾．设N为G的极小正规子群，由3)，N是初等交换p－群且NΦ(G)．故能找到一个G的Sylow p－子群的极大子群P1，使得NP1且P1在G 中弱s－置换．即存在LG，使得P1 L=G且P1∩L≤P1sG．由N是G的唯一极小正规子群，有N≤Op(G)≤L．若不然 Op(G)=1，即 G 是p－群．于是P1∩N=P1∩L∩N=P1sG∩N在G中是s－置换的，因此由引理 1．4 有设Gp为包含P1的G的Sylow p－子群，由 P1是 Gp的极大子群，有P1Gp．又 NGp，所以P1∩NGp，因此G=OP(G)Gp≤NG(P1∩N)，即P1∩NG．但是NP1且N为极小正规子群，因此P1∩N=1，于是|Gp|=|N||P1|，所以|N|=p．由N/C 定理，G/CG(N)同构于Aut(N)一个子群．因此但由条件(|G|，p－1)=1，因此 G/CG(N)=1．再由G/N是p－幂零，有G是p－幂零的．推论2．3 设p是群G阶的任意一个素因子．若对于G的任一非Frattini p－主因子H/K，存在G的Sylow p－子群的极大子群P1在G中弱s－置换且H/KP1K/K，则G是超可解的．证明设p是群G阶的极小素因子，必然有(p－1，|G|)=1，由定理 2．2 以及 Feit －Thompson 奇阶群可解定理，知G是可解的．再由定理2．1，对于任意素数p，G是p－超可解的，因此G为超可解．参考文献【相关文献】［1］徐明曜．有限群导引(上)［M］．北京:科学出版社，1999．［2］GUO W B．The Theory of Classes of Groups［M］．Dordrecht:Kluwer Academic Publishers Group，2000．［3］ORE O．Contributions in the theory of groups of finite order［J］．Duke Math J，1939，5(2):431－460．［4］DOERK K，HAWKES T．Finite Soluble Groups［M］．New York:Walter de Gruyter，1992．［5］DESKINS W E．On qusinormal subgroups of finite groups［J］．Math Z，1963，82(2):125－132．［6］KEGEL O H．Sylow－Gruppen und subnormalteiler endlicher gruppen［J］．Math Z，1962，78(1):205－221．［7］GUO W B，SHUM K P，SKIBA A N．X－permutable maximal subgroups of Sylow subgroups of finite groups［J］．Ukrainian Math J，2006，58(10):1299－1309．［8］GUO W B，SHUM K P，SKIBA A N．Conditionally permutable subgroups and supersolubility of finite groups［J］．Southeast Asian Bull Math，2005，29(3):493－510．［9］WANG Y M．c－Normality of groups and its properties［J］．J Algebra，1996，180(3):954－965．［10］WANG Y M．Finite groups with some subgroups of Sylow subgroups c－supplemented［J］．J Algebra，2000，224(2):467－478．［11］LI B J，GUO W B．On some open problems related to X－permutability of subgroups［J］．Communications in Algebra，2011，39(3):757－771．［12］查明明，郭文彬，李保军．关于有限群的 p－超可解性［J］．数学杂志，2007，27(5):563－568．［13］LI B J，SKIBA A N．New characterizations of finite supersoluble groups ［J］．Science in China，2008，A51(5):827－841．［14］MIAO L，GUO W B．Finite groups with some primary subgroups F－s－supplemented［J］．Communications in Algebra，2005，33(8):2789－2800．［15］BALLESTER－BOLINCHES A，PEDRAZA－AGUILERA M C．On minimal subgroups of finite groups［J］．Acta Math Hungar，1996，73(4):335－342．［16］LI B J，ZHANG Z R．The influence of s－conditionally permutable subgroups on finite groups［J］．Science in China，2009，A52(2):301－310．［17］SKIBA A N．On weakly s－permutable subgroups of finite groups［J］．J Algebra，2007，315(1):192－209．。
备战2019高考数学苏教版1-1提素能高效演练讲义：第1章 常用逻辑用语1.1.2 Word版含答案
1.1.2 充分条件和必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判断应归结为判断命题的真假.知识点一 充分条件与必要条件的概念 给出下列命题：(1)若x >a 2＋b 2，则x >2ab ； (2)若ab ＝0，则a ＝0.思考1 你能判断这两个命题的真假吗？ 答案 (1)真命题，(2)假命题.思考2 命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？答案 命题(1)中只要满足条件x >a 2＋b 2，必有结论x >2ab ；命题(2)中满足条件ab ＝0，不一定有结论a ＝0，还可能b ＝0. 梳理命题真假 “若p 则q ”为真命题“若p 则q ”为假命题推出关系p ⇒qp ⇏q条件关系p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件知识点二 充要条件的概念思考1 命题“若整数a 是6的倍数，则整数a 是2和3的倍数”中的条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？答案 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立.思考2 若设p ：整数a 是6的倍数，q ：整数a 是2和3的倍数，则p 是q 的什么条件？q 是p 的什么条件？答案 因为p ⇒q 且q ⇒p ，所以p 是q 的充分条件也是必要条件；同理，q 是p 的充分条件，也是必要条件.梳理 一般地，如果p ⇒q ，且q ⇒p ，就记作p ⇔q .此时，我们说，p 是q 的充分必要条件，简称充要条件.知识点三常见的四种条件1.从命题的真假判断充分条件、必要条件和充要条件如果原命题为“若p则q”，逆命题为“若q则p”原命题逆命题条件p与结论q的关系结论真假p⇒q，但q⇏p p是q成立的充分不必要条件假真q⇒p，但p⇏q p是q成立的必要不充分条件真真p⇒q，q⇒p，即p⇔q p是q成立的充要条件假假p⇏q，q⇏p p是q成立的既不充分又不必要条件2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件前提：设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}.若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件若A＝B，则p，q互为充要条件若A B且B A，则p既不是q的充分条件，又不是q的必要条件1.若q是p的必要条件，则p是q的充分条件.(√)2.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.(√)3.若q不是p的必要条件，则“p⇏q”成立.(√)类型一充要条件的判断例1判断下列各题中，p是q的什么条件？(1)p ：α＝π3，q ：cos α＝12；(2)p ：(a －2)(a －3)＝0，q ：a ＝3； (3)在△ABC 中，p ：a >b ，q ：sin A >sin B ；(4)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是平行四边形. 考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断 解 (1)∵α＝π3，∴cos α＝12，但cos α＝12推不出α＝π3，∴p 是q 的充分不必要条件.(2)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3；由a ＝3可以推出(a －2)(a －3)＝0，因此p 是q 的必要不充分条件. (3)在△ABC 中，∵由正弦定理a sin A ＝bsin B，知a >b 可以推出sin A >sin B ，sin A >sin B 可以推出a >b ， ∴p 是q 的充要条件.(4)∵⎩⎪⎨⎪⎧四边形的对角线相等推不出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形推不出四边形的对角线相等，∴p 是q 的既不充分又不必要条件.反思与感悟 充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论.②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件. ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. (2)命题判断法：①如果命题：“若p 则q ”为真命题，那么p 是q 的充分条件，同时q 是p 的必要条件. ②如果命题：“若p 则q ”为假命题，那么p 不是q 的充分条件，同时q 也不是p 的必要条件. 跟踪训练1 设x ∈R ，则“3－x ≥0”是“|x －1|≤2”的________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断 答案 必要不充分解析 ∵3－x ≥0⇔x ≤3，|x －1|≤2⇔－1≤x ≤3， 故“3－x ≥0”是“|x －1|≤2”的必要不充分条件. 类型二 充分条件、必要条件的应用例2 已知p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0)，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0). 因为p 是q 的必要不充分条件， 所以q 是p 的充分不必要条件，即{x |1－m ≤x ≤1＋m }{x |－2≤x ≤10}，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≥－2，1＋m ＜10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞－2，1＋m ≤10，解得m ≤3.又m ＞0，所以实数m 的取值范围为{m |0＜m ≤3}. 引申探究1.若本例中“p 是q 的必要不充分条件”改为“p 是q 的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m 的取值范围.解 p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0). 因为p 是q 的充分不必要条件，设p 代表的集合为A ，q 代表的集合为B ， 所以A B .所以⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m ＞10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＜－2，1＋m ≥10.解不等式组得m ＞9或m ≥9， 所以m ≥9，即实数m 的取值范围是[9，＋∞).2.本例中p ，q 不变，是否存在实数m 使p 是q 的充要条件. 解 因为p ：－2≤x ≤10，q ：1－m ≤x ≤1＋m (m ＞0).若p 是q 的充要条件，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＝1－m ，10＝1＋m ，m 不存在.故不存在实数m ，使得p 是q 的充要条件.反思与感悟 (1)设集合A ＝{x |x 满足p }，B ＝{x |x 满足q }，则p ⇒q 可得A ⊆B ；q ⇒p 可得B ⊆A ；若p 是q 的充分不必要条件，则A B .(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值.跟踪训练2 已知M ＝{x |(x －a )2<1}，N ＝{x |x 2－5x －24<0}，若M 是N 的充分条件，求a 的取值范围.考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 由(x －a )2<1，得x 2－2ax ＋(a －1)(a ＋1)<0， ∴a －1<x <a ＋1.又由x 2－5x －24<0，得－3<x <8. ∵M 是N 的充分条件，∴M ⊆N ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥－3，a ＋1≤8，解得－2≤a ≤7. 即a 的取值范围是[－2,7]. 类型三 充要条件的证明例3 求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0. 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的证明 证明 充分性：∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0，∴方程一定有两个不等实根.设两实根为x1，x2，则x1x2＝ca<0，∴方程的两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根.必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设两实根为x1，x2，则由根与系数的关系，得x1x2＝ca<0，且Δ＝b2－4ac>0，即ac<0.综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.引申探究求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.证明必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0，∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0，∴必要性成立.充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中，可得ax2＋bx－a－b＝0，即(x－1)·(ax＋a＋b)＝0，故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1，∴充分性成立.因此，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.反思与感悟(1)证明充要条件，一般是从充分性和必要性两方面进行，此时应特别注意充分性和必要性所推证的内容是什么.(2)要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由条件⇒结论是证充分性，由结论⇒条件是证必要性.跟踪训练3 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1).求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1. 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的证明证明 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)， 当n ＝1时也成立.所以a n ＝p n －1(p －1)，n ∈N *.又p ≠0，且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，∴数列{a n }为等比数列.必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1). ∵p ≠0且p ≠1，{a n }为等比数列， ∴a 2a 1＝a n ＋1a n＝p ， ∴p (p －1)p ＋q＝p ，即p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件.1.设M ＝{1,2}，N ＝{a 2}，则“a ＝1”是“N ⊆M ”的________________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断 答案 充分不必要解析 当a ＝1时，N ＝{1}，此时N ⊆M ；当N ⊆M 时，a 2＝1或a 2＝2，解得a ＝1或－1或2或－ 2.故“a ＝1”是“N ⊆M ”的充分不必要条件.2.“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是_____________________________________.答案 a <－1解析 函数没有零点，即方程x 2－2x －a ＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a <0，解得a <－1.反之，若a <－1，则Δ<0，方程x 2－2x －a ＝0无实根，即函数没有零点.3.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的________条件. 考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断 答案 必要解析 “攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.4.若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则实数a 的最大值为________. 答案 －1解析 由x 2>1，得x <－1或x >1.又“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件， 则由“x <a ”可以推出“x 2>1”， 但由“x 2>1”推不出“x <a ”，所以a ≤－1，所以实数a 的最大值为－1.5.是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由.解 由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}.由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－p 4. 由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时由x <－p4≤－1可以推出x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件.1.充分条件、必要条件的判断方法： (1)定义法：直接利用定义进行判断.(2)等价法：“p ⇔q ”表示p 等价于q ，要证p ⇒q ，只需证它的逆否命题非q ⇒非p 即可；同理要证p ⇐q ，只需证非q ⇐非p 即可.所以p ⇔q ，只需非q ⇔非p . (3)利用集合间的包含关系进行判断.2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解.一、填空题1.“x >1”是“x 2>x ”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断 答案 充分不必要解析 由x >1可以推出x 2>x ，但x 2>x 推不出x >1.2.“a ＝b ”是“直线y ＝x ＋2与圆(x －a )2＋(y －b )2＝2相切”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断 答案 充分不必要解析 圆心为(a ，b )，半径r ＝ 2.若a ＝b ，则圆心(a ，b )到直线y ＝x ＋2的距离d ＝2＝r ，所以直线与圆相切.若直线与圆相切，有|a －b ＋2|2＝2，则a ＝b 或a －b ＝－4，所以“a ＝b ”是“直线与圆相切”的充分不必要条件.3.“函数f (x )＝x 2－2ax ＋3在区间[1，＋∞)上是增函数”是“a <2”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断 答案 充分不必要解析 ∵函数f (x )＝x 2－2ax ＋3的图象开口向上，对称轴为x ＝a ， ∴当f (x )在[1，＋∞)上为增函数时，a ≤1，而a ≤1可以推出a <2，但a <2推不出a ≤1， ∴填充分不必要.4.若“x 2＋ax ＋b ＝0”是“x ＝1”的充要条件，则a ＝________，b ＝________. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 －2 1解析 易得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＝0，a 2－4b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1.5.下列不等式：①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中，可以作为x 2<1的一个充分条件的是__________.(填序号) 考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断 答案 ②③④解析 由x 2<1，得－1<x <1， 故②③④都可作为x 2<1的充分条件.6.设计如图所示的三个电路图，条件p ：“开关S 闭合”；条件q ：“灯泡L 亮”，则p 是q 的充分不必要条件的电路图是________.考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断 答案 (1)7.给出下列三个命题：①“a >b ”是“3a >3b ”的充分不必要条件； ②“α>β”是“cos α<cos β”的必要不充分条件；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件.其中正确命题的序号为________.考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案 ③解析 ①∵函数y ＝3x 是R 上的增函数，∴“a >b ”是“3a >3b ”的充要条件，故①错误；②∵2π>3π2，则cos 2π>cos 3π2，∴α>β推不出cos α<cos β；∵cos π<cos 3π2，π<3π2，∴cos α<cos β推不出α>β，∴“α>β”是“cos α<cos β”的既不充分又不必要条件，故②错误；③“a ＝0”是“函数f (x )＝x 3＋ax 2(x ∈R )为奇函数”的充要条件，正确.8.给定两个条件p ，q .若非p 是q 的必要不充分条件，则p 是非q 的____________条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分又不必要”)考点 条件的概念及判断题点 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案 充分不必要解析 q ⇒非p ⇔p ⇒非q .9.不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围为________.考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围答案 (2，＋∞)解析 根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有(－2，－1) {x |(a ＋x )(1＋x )<0}，故有a >2.10.(2018·淮安中学月考)设f (x )＝x 3＋lg(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，“a ＋b ≥0”是“f (a )＋f (b )≥0”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 由充分条件、必要条件求参数的范围答案 充要解析 f (x )＋f (－x )＝x 3＋lg(x ＋x 2＋1)＋(－x )3＋lg (－x ＋x 2＋1)＝lg 1＝0，所以f (x )为奇函数，又f (x )为单调递增函数，所以a ＋b ≥0⇔a ≥－b ⇔f (a )≥f (－b )⇔f (a )≥－f (b )⇔f (a )＋f (b )≥0，即“a＋b≥0”是“f(a)＋f(b)≥0”的充要条件.11.“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的____________条件.考点条件的概念及判断题点充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要条件的判断答案充分不必要解析当φ＝π时，y＝sin(2x＋φ)＝－sin 2x过原点.当曲线过原点时，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分不必要条件.二、解答题12.求证：一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.考点充要条件的概念及判断题点充要条件的证明证明①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx.因为f(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数.②必要性：因为f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)对任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.综上，一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函数的充要条件是b＝0.13.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，q：实数x满足x2－6x＋5<0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.考点充分条件、必要条件的概念及判断题点由充分条件、必要条件求参数的范围解设A＝{x|x2－4ax＋3a2<0，a>0}＝{x|a<x<3a，a>0}，B＝{x|x2－6x＋5<0}＝{x|1<x<5}.∵p是q的充分不必要条件，∴A B，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1，3a ≤5，得1≤a ≤53. 经检验知，a ＝1和53满足已知条件， 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，53. 三、探究与拓展14.关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝________. 考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件答案 0解析 充分性：因为a －b ＋c ＝0，即a ·(－1)2＋b ·(－1)＋c ＝0，所以－1是ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根.必要性：因为ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1，所以a ·(－1)2＋b ·(－1)＋c ＝0，即a －b ＋c ＝0.综上可知，ax 2＋bx ＋c ＝0有一个根为－1的充要条件是a －b ＋c ＝0.15.求使关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－m －2＝0的两根都大于2的充要条件. 考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件解 设关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－m －2＝0的两根为x 1，x 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x 1>2，x 2>2，不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧ (2m )2－4(m 2－m －2)≥0，(x 1－2)＋(x 2－2)>0，(x 1－2)(x 2－2)>0，⎩⎪⎨⎪⎧ 4m ＋8≥0，2m >4，m 2－5m ＋2>0，解得⎩⎨⎧ m ≥－2，m >2，m <5－172或m >5＋172，∴m >5＋172. 即关于x 的方程x 2－2mx ＋m 2－m －2＝0的两根都大于2的充要条件为⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪ m >5＋172.。
2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1推出与充分条件必要条件学案新人教B版选修1
1.3.1 推出与充分条件、必要条件学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．知识点一充分条件与必要条件梳理(1)当命题“如果p，则q”经过推理证明判定为真命题时，我们就说，由p可推出q，记作p⇒q，并且说p是q的________条件，q是p的________条件．这几种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已．(2)若p⇒q，但q⊈p，称p是q的______________条件，若q⇒p，但p⊈q，称p是q的______________条件．知识点二充要条件思考在△ABC中，角A、B、C为它的三个内角，则“A、B、C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？梳理(1)一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，我们说，p是q的____________条件，简称充要条件．p是q的充要条件，又常说成q当且仅当p，或p与q 等价．(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p 是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．(3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件．其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．类型一 判断充分条件、必要条件、充要条件 命题角度1 在常见数学问题中的判断 例1 下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：a ＋b ＝0，q ：a 2＋b 2＝0；(2)p ：四边形的对角线相等，q ：四边形是矩形； (3)p ：x ＝1或x ＝2，q ：x －1＝x －1； (4)p ：m <－1，q ：x 2－x －m ＝0无实根；(5)p ：ab ≠0，q ：直线方程ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交．反思与感悟 判断充分条件和必要条件的方法：一、定义法；二、集合法，P 是Q 的充分不必要条件⇔集合P Q ，P 是Q 的必要不充分条件⇔集合P Q ，P 是Q 的充要条件⇔集合P ＝Q ，P 是Q 的既不充分也不必要条件⇔集合P ⊈Q ，且P ⊉Q ；三、传递法，对于较复杂的关系，常用⇒，⇐，⇏等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度． 跟踪训练1 指出下列各题中，p 是q 的什么条件？ (1)p ：ax 2＋ax ＋1>0的解集是R ，q ：0<a <4； (2)p ：|x －2|<3，q ：6x －5<－1； (3)p ：A ∪B ＝A ，q ：A ∩B ＝B ；(4)p ：⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，q ：⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4.命题角度2 在实际问题中的判断例2 如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B 亮”的什么条件？反思与感悟 “充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”．用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受．用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻．跟踪训练2 俗语云“好人有好报”，“好人”是“有好报”的( ) A ．充分条件B ．必要条件C ．既不充分也不必要条件D ．无法判断类型二 充要条件的探求与证明 命题角度1 充要条件的探求例3 求ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件⇒结论”和“结论⇒条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件．跟踪训练3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n ＋1)2＋t (t 为常数)，试问t ＝－1是否为数列{a n }是等差数列的充要条件？请说明理由．命题角度2 充要条件的证明例4 已知A ，B 是直线l 上的任意两点，O 是直线l 外一点，求证：点P 在直线l 上的充要条件是OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1.反思与感悟 证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明，首先分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，即充分性需要证明“条件”⇒“结论”，必要性需要证明“结论”⇒“条件”．跟踪训练4 已知ab ≠0，求证：a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件．类型三 利用充分条件、必要条件求参数的值(或范围)例 5 已知函数f (x )＝3－ x ＋2 2－x 的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B .(1)求A ；(2)记p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．反思与感悟 在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p 和q 转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围． 根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤： (1)记集合M ＝{x |p (x )}，N ＝{x |q (x )}；(2)若p 是q 的充分不必要条件，则M N ，若p 是q 的必要不充分条件，则N M ，若p 是q 的充要条件，则M ＝N ；(3)根据集合的关系列不等式(组)； (4)求出参数的范围．跟踪训练5 设A ＝{y |y ＝2x2x ＋1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝13x ＋m ，x ∈[－1,1]}，记命题p ：“y ∈A ”，命题q ：“y ∈B ”，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为______________．1．人们常说“无功不受禄”，这句话表明“受禄”是“有功”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设命题p ：x 2－3x ＋2<0，q ：x －1x －2≤0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“x 2－4x －5＝0”是“x ＝5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B .若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为________．5．“a ＝0”是“直线l 1：x －2ay －1＝0与l 2：2x －2ay －1＝0平行”的________条件．充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p 和结论q 之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：分清条件p和结论q，然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假，根据定义下结论．(2)等价法：将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题．(3)集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及集合B＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断．提醒：完成作业第一章 1.3.1答案精析问题导学 知识点一梳理 (1)充分 必要 (2)充分而不必要 必要而不充分 知识点二思考 因为A 、B 、C 成等差数列，故2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°，故B ＝60°，反之，亦成立，故“A 、B 、C 成等差数列”是“B ＝60°”的充要条件． 梳理 (1)充分必要 题型探究例1 解 (1)∵a ＋b ＝0⇏a 2＋b 2＝0；a 2＋b 2＝0⇒a ＋b ＝0，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)∵四边形的对角线相等⇏四边形是矩形； 四边形是矩形⇒四边形的对角线相等， ∴p 是q 的必要不充分条件． (3)∵x ＝1或x ＝2⇒x －1＝x －1；x －1＝x －1⇒x ＝1或x ＝2，∴p 是q 的充要条件．(4)若方程x 2－x －m ＝0无实根， 则Δ＝1＋4m <0，即m <－14.∵m <－1⇒m <－14；m <－14⇏m <－1，∴p 是q 的充分不必要条件．(5)由ab ≠0，即a ≠0且b ≠0，此时直线方程ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交；又当ax ＋by ＋c ＝0与两坐标轴都相交时，a ≠0且b ≠0，即ab ≠0，故p 是q 的充要条件．跟踪训练1 解 (1)当a ＝0时，1>0满足题意；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4a <0，a >0，可得0<a <4.故p 是q 的必要不充分条件． (2)易知p ：－1<x <5，q ：－1<x <5，所以p 是q 的充要条件．(3)因为A ∪B ＝A ⇔A ∩B ＝B ，所以p 是q 的充要条件．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，根据同向不等式相加、相乘的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4，即p ⇒q .但⎩⎪⎨⎪⎧α＋β>4，αβ>4⇏⎩⎪⎨⎪⎧α>2，β>2，比如，当α＝1，β＝5时，⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝6>4，αβ＝5>4，而α<2，所以q ⇏p ，所以p 是q 的充分不必要条件．例2 解 如图(1)，闭合开关A 或者闭合开关C 都可能使灯泡B 亮．反之，若要灯泡B 亮，不一定非要闭合开关A.因此“闭合开关A”是“灯泡B 亮”的充分不必要条件．如图(2)，闭合开关A 而不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，若要灯泡B 亮，则开关A 必须闭合，说明“闭合开关A”是“灯泡B 亮”的必要不充分条件．如图(3)，闭合开关A 可使灯泡B 亮，而灯泡B 亮，开关A 一定是闭合的，因此“闭合开关A”是“灯泡B 亮”的充要条件．如图(4)，闭合开关A 但不闭合开关C ，灯泡B 不亮．反之，灯泡B 亮也可不必闭合开关A ，只要闭合开关C 即可，说明“闭合开关A”是“灯泡B 亮”的既不充分也不必要条件． 跟踪训练2 A例3 解 (1)当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0，即x ＝－12，符合要求．(2)当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＝0为一元二次方程，它有实根的充要条件是Δ≥0，即4－4a ≥0，∴a ≤1.①方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1x 2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，1a<0，∴a <0.②方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个负实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2<0，x 1x 2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，－2a<0，1a >0，∴0<a ≤1.综上所述，ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤1.跟踪训练3 解 是充要条件．(充分性)当t ＝－1时，S n ＝(n ＋1)2－1＝n 2＋2n .a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1. 又a 1＝3适合上式， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N ＋)， 又∵a n ＋1－a n ＝2(常数)，∴数列{a n }是以3为首项，2为公差的等差数列． 故t ＝－1是{a n }为等差数列的充分条件． (必要性)∵{a n }为等差数列， 则2a 2＝a 1＋a 3，解得t ＝－1，故t ＝－1是{a n }为等差数列的必要条件． 综上，t ＝－1是数列{a n }为等差数列的充要条件．例4 证明 ①充分性：若点P 满足OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1，消去y ，得OP →＝xOA →＋(1－x )OB →＝x (OA →－OB →)＋OB →， ∴OP →－OB →＝x (OA →－OB →)， 即BP →＝xBA →.∴点P 在直线AB 上，即点P 在直线l 上．②必要性：设点P 在直线l 上，则由共线向量基本定理知，存在实数t ，使得AP →＝tAB →＝t (OB →－OA →)，∴OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋tOB →－tOA → ＝(1－t )OA →＋tOB →.令1－t ＝x ，t ＝y ，则OP →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，且x ＋y ＝1. 跟踪训练4 证明 ①充分性： ∵a ＋b ＝1，∴b ＝1－a ，∴a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝a 3＋(1－a )3＋a (1－a )－a 2－(1－a )2＝a 3＋1－3a ＋3a 2－a 3＋a －a 2－a 2－1＋2a －a 2＝0，即a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.②必要性：∵a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0， ∴(a ＋b )(a 2－ab ＋b 2)－(a 2－ab ＋b 2)＝0，∴(a 2－ab ＋b 2)(a ＋b －1)＝0. ∵ab ≠0，∴a ≠0且b ≠0， ∴a 2－ab ＋b 2≠0.∴a ＋b －1＝0，∴a ＋b ＝1.综上可知，当ab ≠0时，a ＋b ＝1是a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0的充要条件． 例5 解 (1)要使f (x )有意义， 则3－(x ＋2)(2－x )≥0， 化简整理得(x ＋1)(x －1)≥0， 解得x ≤－1或x ≥1， ∴A ＝{x |x ≤－1或x ≥1}．(2)要使g (x )有意义，则(x －a －1)(2a －x )>0， 即(x －a －1)(x －2a )<0， 又∵a <1，∴a ＋1>2a ， ∴B ＝{x |2a <x <a ＋1}． ∵p 是q 的必要不充分条件， ∴B A ，∴2a ≥1或a ＋1≤－1， 解得12≤a <1或a ≤－2.∴a 的取值范围为(－∞，－2]∪[12，1)．跟踪训练5 (13，23)当堂训练 1．A 2.A 3.B 4．(－∞，－3] 5.充要。
关于可解群的若干充分条件
G
, , BE 1995 5 f 23 ' 1995 11 f 7 ' G
6
2 Iape / C >7_
821
3 A h G t lK B ∈ SG(A), i A ∩ B h B t& lK. 4 . G Hall v "] A ∩ B B.
)A&
4 K A h G t l B ∈ SG(A). A O G . F 2-Sylow v S 2-Sylow v .V%v i) A ∩ B =od " B &od
Hq1 , · · · , Hqn , Bpi = Sylow
Ro h bj ∈ Bpi,
$ W= X g9 X Hqbjj = Hqj .
Hqj Bpi = Bpi Hqj ,
Hqbjj Bpi = Bpi Hqbjj .
H Bb− j 1
qj pi
=
Bb− j 1
pi
Hqj
,
!9 . T od Hqj Bpi = BpiHqj , j = 1, · · · , n.
1 "{%
1 G .v A az G . lKv N#hOFv B, $- AB = G, 7
` B . Skv a . B1 ] AB1 < G. B z A h G t S- A h G t. S- . 5Z
& = SG(A). lKv j] AFs
1 N A = G . lKv 7 i S x ∈ G, Ax = G . lKv
Abel
. g9 . G = G/T . (|T |, |H|) = 1, W H = G π-Hall v
= G1 π-Hall v
2021 2021版高中数学 第一章 常用逻辑用语 2 充分条件与必要条件
2021 2021版高中数学第一章常用逻辑用语 2 充分条件与必要条件2021-2021版高中数学第一章常用逻辑用语2充分条件与必要条件2充分条件与必要条件自学目标1.认知充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些直观问题设立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能利用命题之间的关系认定充要关系或展开充要条件的证明.知识点一充分条件与必要条件“若p，则q”形式的命题为真命题就是指：由条件p可以获得结论q，通常记作：p?q，读成“p面世q”.此时我们表示p就是q的________条件，同时，我们表示q就是p 的______条件.若p?q，但q?p，表示p就是q的__________条件，若q?p，但p?q，表示p 就是q的________条件.知识点二充要条件思索在△abc中，角a、b、c为它的三个内角，则“a、b、c成等差数列”就是“b＝60°”的什么条件？梳理(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的__________条件，简称充要条件.(2)充要条件的实质就是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p就是q的充要条件，那么q也就是p的充要条件，即为如果p?q，那么p与q互为充要条件.(3)从子集的角度推论充分条件、必要条件和充要条件.若a?b，则p是q的充分条件，若ab，则p是q的充分不必要条件若b?a，则p是q的必要条件，若ba，则p是q的必要不充分条件若a＝b，则p，q互为充要条件若a?b且b?a，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件其中p：a＝{x|p(x)设立}，q：b＝{x|q(x)设立}.类型一判断充分条件、必要条件、充要条件命题角度1在常见数学问题中的判断例1下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝0，q：a＋b＝0；(2)p：四边形的对角线成正比，q：四边形就是矩形；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；(4)p：m(5)p：ab≠0，q：直线ax＋by＋c＝0与两坐标轴都相交.222反思与感悟判断充分条件和必要条件的方法：(1)定义法；(2)等价命题法，原命题与其逆否命题是“同真同假”的等价命题，这一点在充要条件的判断中经常用到；(3)集合法，p是q的充份不必要条件?子集pq，p就是q的必要不充分条件?子集pq，p就是q的充要条件集合p＝q，p是q的既不充分也不必要条件?集合p?q，且p?q；(4)传递法，对于较复杂的关系，常用?，?，?等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.跟踪训练1指出下列各题中，p是q的什么条件？(1)p：ax＋ax＋1>0的解集是r，q：062(3)p：a∪b＝a，q：a∩b＝b；??α>2，(4)p：??β>2，???α＋β>4，q：??αβ>4.?命题角度2在实际问题中的推论例2如图所示的电路图中，“闭合开关a”是“灯泡b亮”的什么条件？2反思与感悟“充分”的含义是“有它即可”，“必要”的含义是“无它不可”.用日常生活中的现象来说明“条件”和“结论”之间的关系，更容易理解和接受.用“条件”和“结论”之间的关系来解释生活中的现象，更加明白、透彻.追踪训练2俗语云“好人存有好报”，“好人”就是“存有好报”的()a.充分条件c.既不充分又不必要条件类型二充要条件的探求与证明命题角度1充要条件的探求基准3谋ax＋2x＋1＝0至少存有一个正数实根的充要条件就是什么？反思与感悟探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件?结论”和“结论?条件”，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件.追踪训练3未知数列{an}的前n项和sn＝(n＋1)＋t(t为常数)，何况t＝－1与否为数列{an}就是等差数列的充要条件？恳请表明理由.命题角度2充要条件的证明322b.必要条件d.无法判断基准4未知a，b就是直线l上的任一两点，o就是直线l外一点，澄清：点p在直线l上的充要→→→条件是op＝xoa＋yob，其中x，y∈r，且x＋y＝1.思考与体悟证明充要条件时必须从充分性和必要性两个方面分别证明，首先看清哪个就是条件，哪个就是结论，然后确认面世方向，即为充分性须要证明“条件”?“结论”，必要性须要证明“结论”?“条件”.跟踪训练4已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a＋b＋ab－a－b＝0的充要条件.类型三利用充分条件、必要条件谋参数的值(或范围)基准5未知函数f(x)＝3－3322x＋－x的定义域为a，g(x)＝lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1)的定义域为b.(1)求a；(2)记p：x∈a，q：x∈b，若p就是q的必要不充分条件，谋实数a的值域范围.反思与感悟在有些含参数的充要条件问题中，要注意将条件p和q转化为集合，从而转化为两集合之间的子集关系，再转化为不等式(或方程)，从而求得参数的取值范围.根据充分条件或必要条件求参数范围的步骤：(1)记集合m＝{x|p(x)}，n＝{x|q(x)}；(2)若p就是q的充份不必要条件，则mn，若p就是q的必要不充分条件，则nm，若p就是q的充要条件，则m＝n；(3)根据集合的关系列不等式(组)；(4)求出参数的范围.21追踪训练5设a＝{y|y＝x，x∈r}，b＝{y|y＝x＋m，x∈[－1,1]}，记命题p：“y∈a”，2＋13命题q：“y∈b”，若p是q的必要不充分条件，则m的取值范围为______________.4x1.人们常说道“无功不受禄”，这句话说明“受禄”就是“军功”的()a.充分条件c.充要条件2.设命题p：x－3x＋2<0，q：a.充分不必要条件c.充要条件22b.必要条件d.既不充分又不必要条件x－1≤0，则p是q的()x－2b.必要不充分条件d.既不充份又不必要条件3.“x－4x－5＝0”是“x＝5”的()a.充分不必要条件c.充要条件2b.必要不充分条件d.既不充分又不必要条件4.记不等式x＋x－6<0的边值问题为子集a，函数y＝lg(x－a)的定义域为子集b.若“x∈a”就是“x∈b”的充分条件，则实数a的值域范围为________.5.“a＝0”是“直线l1：x－2ay－1＝0与l2：2x－2ay－1＝0平行”的________条件.充份不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充份又不必要条件充分反映了条件p和结论q之间的因果关系，在结合具体问题进行判断时，常采用如下方法：(1)定义法：看清条件p和结论q，然后推论“p?q”及“q?p”的真假，根据定义下结论.(2)等价法：将命题转变为另一个与之等价的又易于推论真假的命题.(3)集合法：写出集合a＝{x|p(x)}及集合b＝{x|q(x)}，利用集合之间的包含关系加以判断.提醒：完成作业第一章§25。
p-幂零群的两个充分条件
p-幂零群的两个充分条件林丽秋;钱方生【摘要】利用Sylow子群之极大子群在其所在的Sylow子群正规化子中的s-正规性和Sylow子群的导群的s-置换性得到有限群为p-幂零群的两个充分条件.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2013(029)003【总页数】3页(P10-12)【关键词】Sylow子群;s-正规;s-置换;正规化子;p-幂零【作者】林丽秋;钱方生【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文1 定义及引理定义1.1［1］群G的一个子群H称为在G中s-正规，如果存在G的一个次正规子群K，使得G=HK且H∩K≤HsG，其中HsG是包含在H中的G的最大次正规子群.定义1.2［2］群G的一个子群H称为在G中s-置换的，如果对G的所有Sylow 子群P，都有PH=HP成立.引理1.3［1］设G为有限群，下列结论成立:(1)如果H在G中s-正规，且H≤K≤G，则H在K中s-正规.(2)设N◁G，且N≤H，则H在G中s-正规当且仅当H/N在G/N中s-正规.(3)设H是G的π-子群，且N为G的正规π'-子群，如果H在G中s-正规，那么HN/N在G/N中s-正规.引理1.4［2］设G为有限群，下列结论成立:(1)如果H在G中s-置换，且H≤K≤G，则H在K中s-置换.(2)设N◁G，则HN/N在G/N中s-置换.特别地，如果N≤H，则H/N在G/N中s-正规当且仅当H在G中s-置换.(3)如果H在G中s-置换，则H◁◁G.引理1.5［3］设G为有限群，P是G的s-置换的 p-子群，p是一个素数，则Op(G)≤NG(P).引理1.6［4］如果A◁◁G，且A是G的p-子群，则A≤Op(G).引理1.7［4］设G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1，如果G有循环的Sylow p-子群，则G为p-幂零群.引理1.8［1］设G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1，如果存在P ∈ Sylp(G)，若NG(P)为p-幂零群且P的每个极大子群在G中s-正规，则G为p-幂零群.引理1.9［5］设 G是有限群，A、B、C是G的子群，则A∩BC=(A∩B)(A∩C)与A∩BC=(A∩B)(A∩C)等价.2 主要结果定理2.1 设 G是有限群，p∈ π(G)且(|G|，p-1)=1.如果存在P ∈ Sylp(G)，使得P的每个极大子群在p-幂零群NG(P)中s-正规，且P'在G中s-置换，则G为p-幂零群.证明假设定理不真，设G为极小阶反例.(1)对任意P≤H ＜G，H为p-幂零群.对任意P≤H ＜ G，显然有(|H|，p-1)=1，P 也是H的Sylow p-子群.因为P'在G中s-置换，又P'≤P≤H ＜G，所以由引理1.4知，在P'在H中s-置换.又NH(P)≤NG(P)且P的每个极大子群在NG(P)中s-正规，由引理1.3知，P的每个极大子群在NH(P)中s-正规.综上，H满足题设条件，故H为p-幂零群.(2)1≠ P'≤ Op(G).设q∈ π(NG(P))，Q∈Sylq(NG(P))，显然P◁PG.设H=PQ，如果P是循环群，由引理1.7知，G为p-幂零群.如果P是非循环群，由引理1.8知，G为p-幂零群，矛盾.故H ＜G.由(1)知，H为p-幂零群.因此Q◁H，H=P×Q.若P为交换群，则有NG(P)=CG(P)，故G为p-幂零群，矛盾;因此P'≠1.又P'在G中s-置换，故P'◁◁G，由引理1.6知，P'≤OP(G)，因此OP(G)≠1. (3)G可解且OP'(G)=1.设T◁G且T≤P，则P/T∈Sylp(G/T).设P1/T是P/T的极大子群，则|P:P1|=p，故P1是P的极大子群.因P1在NG(P)中s-正规，由引理1.3知P1/T在NG(P)/T=NG/T(P/T)中s-正规.又因(P/T)'=P'T/T，P'在G中s-置换，由引理1.4知P'T/T在G/T中s-置换.综上G/T满足题设条件，从而G/Op(G)为 p-幂零群.设 M/Op(G)为G/Op(G)的正规p-补.若p=2，M/Op(G)为奇阶群，故M可解;又G/M为2-群可解.若p≠2，由(|G|，p-1)=1知G为奇阶群可解.另外，基于题设条件是子群遗传的，则G为内幂零群，设 |G|=paqb(a，b是自然数)，则 G=PQ，其中P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G).设Oq(G)≠1，下证G/Oq(G)满足题设条件.记L=Oq(G)，则PL/L∈Sylp(G/L).任取PL/L的极大子群M/L，则|PL:M|=p，从而M=PL∩M=L(P∩M)，设P1=P∩M，M=LP1，P∩L=P∩M∩L=P1∩L，|P:P1|=|PL:(P ∩ M)L|=|PL:M|=p，故P1是P的极大子群.又P1在NG(P)中s-正规，即存在K◁◁NG(P)，使得NG(P)=P1K且P1∩K≤(P1)sNG(P)，则可得到(P1L/L)(KL/L)=NG(P)L/L=NG/L(PL/L)，KL/L◁◁NG(P)L/L.又L∩K⊆L∩NG(P);另外L∩NG(P)中的元素是 NG(P)中 q-元素，而 K◁◁NG(P)，则|NG(P):K|=pa(a∈N)，NG(P)中的q-元素都在K中，L∩NG(P)中的元素都在L∩K中，则L∩NG(P)=L∩K;因此，L∩P1K=Oq(G)∩NG(P)=(L∩P1)(L∩K)，由引理1.9知，P1L∩KL=(P1∩K)L;从而有(P1L/L)∩(KL/L)=(P1L∩KL)/L =(P1∩K)L/L≤(P1)sNG(P)L/L≤ (P1L/L)sGG/L(PL/L)，由引理 1.3知PL/L的每个极大子群在NG(P)L/L中s-正规，又NG(P)L/L=NG/L(PL/L)，则PL/L的每个极大子群在NG/L(PL/L)中s-正规.又P'在G中s-置换，由引理1.4可知(PL/L)'=P'L/L在G/L中s-置换.综上所述，G/L满足题设条件，则G/L为p-幂零群.即G/Oq(G)为p-幂零群.故G为p-幂零群，矛盾.即Oq(G)=Op'(G)=1.(4)CG(Op(G))≤ Op(G)，且 Op(G)是 G唯一极小正规子群，从而是初等交换p-群.由(3)知G为可解群.再由Op'(G)=1可得到Op(G)=F(G)，因此CG(Op(G))≤Op(G).设N是G的含于Op(G)的极小正规子群，则N是初等交换p-群.若N≤Φ(G)，G/N为p-幂零群，因此G/Φ(G)≌(G/N)(Φ(G)/N)为p-幂零群，故G为p-幂零群，矛盾.因此，N不含于Φ(G)并可假设Φ(G)=1.设D为G的异于N的极小正规子群，则D≤F(G)，D也是初等交换p-群，D≤P，故G/D满足题设条件，于是G≌G/D∩N为p-幂零群，矛盾.从而，N是G的唯一极小正规子群，于是N=F(G)=Op(G)是G的唯一极小正规子群，且为初等交换p-群.(5)导出矛盾.因为P'在G中s-置换，由引理1.5知，Op(G)≤NG(P')，则G=POp(G)=PNG(P').因为P正规化P'，所以 P'◁G.由Op(G)的唯一知，P'=Op(G)=N，又由(3)的证明知G/Op(G)为p-幂零群，故Op(G)Q◁G，且有QOp(G)∩P=Op(G)≤P'≤Φ(G);最后由J.Tate定理知，Op(G)Q为p-幂零群;因此，Op(G)Q=Op(G)×Q与CG(Op(G))≤Op(G)矛盾.综上所述，极小阶反例不存在，定理得证.定理2.2 设G为有限群，p∈π(G)且(|G|，p-1)=1，N◁G，使得 G/N 是p- 幂零群.如果存在P∈Sylp(N)，使得P的每个极大子群在p-幂零群NG(P)中s-正规，且P'在G中s-置换，则G为p-幂零群.证明(用归纳法)P∈Sylp(N)，P的每个极大子群在NG(P)中s-正规.由引理1.3知，P的每个极大子群在NN(P)=NG(P)∩N中s-正规.又P'在G中s-置换，由引理1.4知，P'在N中s-置换.再由定理2.1知，N是p-幂零群.设Np'是N的正规p-补，其中Np'为N的p'-Hall子群，则 Np'char N，又 N◁G，故 Np'◁G.若Np'≠1，下考虑商群 G/Np'，设 M/Np'是PNp'/Np'的任意的极大子群，则M=M∩PNp'=(M∩P)Np'，令P1=M ∩ P，则有P1∩ NP'=P∩M∩Np'=P∩ Np'，从而可以得到 p=|PNp'/Np':M/NP'|=|PNp':(M∩P)Np'|=|P:M∩P|=|P:P1|，即P1是P的极大子群.因为P的每个极大子群在NG(P)中s-正规，则P1在NG(P)中s-正规，即存在K◁◁NG(P)，使得NG(P)=P1K且P1∩K≤(P1)sNG(P)，显然有KNp'/Np'◁◁NG(P)Np'/Np'，且下式成立:(P1Np'/Np')(KNp'/Np') =NG(P)Np'/Np' =NG/Np'(PNp'/Np')，类似定理2.1中证明可得，Np'∩NG(P)=Np'∩ K，于是Np'∩P1K=(Np'∩P1)(Np'∩K).由引理1.9可以得到，P1Np'∩KNp'=(P1∩ K)Np'，从而有下式成立:(P1Np'/Np')∩(KNp'/Np')=(P1∩K)Np'/Np'≤(P1)sNG(P)Np'/Np'≤(P1Np'/Np')sNG/Np'(PNp'/Np').从而由引理1.3知PNp'/Np'的每个极大子群在NG(P)Np'/Np'=NG/Np'(PNp'/Np')中s-正规，又因(P/Np')'=P'Np'/Np'，P'在G中s- 置换，由引理1.4知 P'Np'/Np'在 G/Np'中 s-置换，即(P/Np')'在 G/Np'中 s-置换.又因为(G/Np')(N/Np')≌G/N为p-幂零群.综上所述，G/Np'满足题设条件，于是G/Np'为p-幂零群.从而G为p-幂零群.若Np'=1，则N=P为p-群.由G/P=G/N为p-幂零群知G/P有正规p-补.设T/P 为G/P的正规p-补，则|G:T|=pa(a是自然数).因为P'在G中s-置换，所以由引理1.4知，P'在T中s-置换.又NT(P)≤NG(P)且P的每个极大子群在NG(P)中s-正规，由引理1.3知，P的每个极大子群在NT(P)中s-正规.综上T满足题设条件，故T为p-幂零群.设Tp'是T的正规p-补，其中Tp'为T的p'-Hall子群，因此Tpchar T.又T◁G故有Tp'◁G.又因为|G:T|=pa(a是自然数)，所以Tp'=Gp'，即G有正规p-补Gp'，从而G为p-幂零群.综上，定理得证.参考文献［1］赵勇，王坤仁.子群s-正规性对群结构的影响［J］.四川师范大学学报，2007，30(3):280-283.［2］ Kegel O H.Sylow-gruppen und subgroups of finite groups［J］.J Algebra，2007，315(1):192-209.［3］ Li Yangming，Wang Yanming，Wei Huaquan.The influence of-quasinormality of some Subgroups of a finite group ［J］.Arch Math，2003，81(3):245-252.［4］陈云坤，游泰杰.Sylow p-子群的正规子群的弱s-置换性［J］.扬州大学学:自然科学版，2011，14(3):1-5.［5］ Doerk K，Hawkes T.Finite soluble groups［M］.Berlin，New York:Walter de Gruyter，1992.2-47.［6］徐明曜.有限群导引［M］.北京:科学出版社，1999.1-127.。
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π—可解群的一个充分必要条件
pi--一个充分必要条件可解群是一个重要的数学理论，它有助于揭示群的内部结构和特性，为群论的发展和研究奠定基础。
据认为，该条件是群解决问题的关键。
《pi--一个充分必要条件可解群》的特点是：它的定义精确而又简洁，其可解性涵盖了大多数群的情况；此外，它可以提供有效的计算方法，用于计算群的值；给出了详细而清晰的计算技术，并提供了一系列实用的工具，可以充分利用条件进行可靠的研究。
在实际应用中，《pi--一个充分必要条件可解群》的重要性表现在三个方面：首先，它可以用来计算群的属性，可以帮助我们快速推导出群的结构；其次，它可以帮助我们探索群论中未知的原理，在解决复杂的群组问题时有很大帮助；最后，它可以提供精确的结果，可以帮助我们设计一个理性的算法，以解决群论中的各种问题。
《pi--一个充分必要条件可解群》的重要性不仅体现在理论上，也体现在实际应用中。
群理论是数学与计算机科学的基础，其理论结构密切相关，非常重要，而且它的实际应用也很广泛，它应用于密码学，数据安全，组合数学，几何，抽象代数等。
因此，《pi--一个充分必要条件可解群》被用于许多科技领域，提高了科学技术的发展程度，有效地增强了研究人员的计算能力。
总之，《pi--一个充分必要条件可解群》在群论的定义和研究中起着重要作用，也在实际应用中发挥着重要作用，为群论的发展和应用有重要的意义。
因此，它的研究值得我们不断深入挖掘，探索它的
衍生理论，并将它应用到其它领域，以推动科学发展。