舒尔定理 群论
群论
群的定义设G是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件：Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有(a*b)*c=a*(b*c)；Ⅱ.G中有元素e，它对G中每个元素a都有e*a=a，叫做G的左单位元；G中有元素e，它对G中每个元素a都有a*e=a，叫做G的右单位元；如果e既是左单位元又是右单位元，则e叫做G的单位元。
Ⅲ.对G中每个元素a在G中都有元素a^(-1)，叫做a的左逆元，使a^(-1)*a=e；则称G对代数运算*做成一个群。
一般说来，群指的是对于某一种运算*，满足以下四个条件的集合G：（1）封闭性若a,b∈G,则存在唯一确定的c∈G,使得a*b=c;（2）结合律成立任意a,b,c∈G,有(a*b)*c=a*(b*c);（3）单位元存在存在e∈G,对任意a∈G，满足a*e=e*a=a，称e为单位元，也称幺元;（4）逆元存在任意a∈G,存在唯一确定的b∈G, a*b=b*a=e（单位元），则称a与b互为逆元素，简称逆元，记作a^(-1)=b.通常称G上的二元运算*为“乘法”，称a*b为a与b的积，并简写为ab.若群G中元素个数是有限的，则G称为有限群。
否则称为无限群。
有限群的元素个数称为有限群的阶。
定义运算对于g∈G，对于G的子集H，g*H={gh|h∈H}，简写为gH；H*g={hg|h∈H}，简写为Hg.对于G的子集A，B，A*B={ab|a∈A,b∈B}，简写为AB.群的替换定理G对*是群，则对于任一g∈G，gG=Gg=G.定义记法G对*是群，集合H包含于G，记H^(-1)={h^(-1)|h∈H}子群的定义如果G对于运算*为一个群，H包含于G并且H对*构成一个群，那么称H为G的子群。
这条定理可以判定G的子集是否为一个子群：HH=H且H^(-1)=H <=> H是G的子群。
第一部分第二章 群表示论(3)
由此可得群元空间中任意二矢量的内积为 ( U, V ) = ( ∑S S US , ∑R R VR ) = ∑R ∑S ( S, R ) US* VR ) * ( U, V ) = ∑R UR* VR
二, 表示矢量 由公式(8)的表示矩阵元的正交性定理知 ∑R Dαr i * ( R ) D βδ j ( R ) = δij δαβ δrδ f
取对角元
( B+ B )ββ = ∑αBβα+Bαβ = ∑α Bαβ* Bαβ = ∑α∣Bαβ∣2
6
因为 故 即 情况(2): 则
( B+ B )ββ = 0 Bαβ = 0 ( 对一切 α, β 成立 ) Bαβ = ( ϕα i , ϕβ j ) = 0 ni < nj ( B B+ )αα = 0 Brα = 0 需要证明? 为什么? ]
11
------------- (8)
定义群元空间中的一组正交归一化矢量 { ( V ( i, α, γ ) } V ( i, α, γ ) = ∑R R V ( i,α, γ ) = ∑R R ( ni/h )1/2 Dαri ( R ) ----- (9) 此为表示矢量, 即将第 i 个不可约表示中每个群元矩阵的第α 行第 γ 列的矩阵元的 ( ni / h ) –1/2 倍作为该群元基矢上的分量 而构成的矢量. 于是, 公式(8)所示表示矩阵元的正交性定理便成为如下表示 矢量的正交归一化关系 { V ( i, α, γ ), V ( j, β, δ ) } = ∑R VR ( i, α, γ )* VR ( j, β, δ ) = δij δαβ δrδ = δ i, α, r ;
4
[ C I 为单位矩阵I 的常数倍, 即常数矩阵 ] 用B+左乘(1)式两边得 用B 右乘(2)式两边得 ∵ 该二式右边相等, 故得 即 并有
群论复习思考题
群论复习思考题2006.121． 写出C 4v 对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：（1） C 4v 的不变子群H 的不变子群K 不一定是C 4v 的不变子群。
（2） C 4v 的不变子群的交集仍是C 4v 的不变子群。
2． 试由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0110和⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00i i 生成一矩阵群。
证明此群为8阶群，分五类，但与C 4v 不同构。
（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C 4v 中只有2个）3． 若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel 群。
4． （1）设a 2=b 3=(ab)2=e,由a ，b 生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。
（2）若a ，b 乘积可对易，且a 2=b 3=e,证明a ，b 生成的群定是循环群。
5． 叙述同态核定理，并加以证明。
6． 若G 群是2n 阶的，H 为G 的n 阶子群，则H 必为G 的不变子群。
其商群必为二阶循环群。
7． 若群G=H ⊗K ，试证明（1）商群G/H 与K 同构;（2）群G 的类数等于两因子群类数之积。
8． （1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。
（2）证明置换群S n 中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。
9．（1）设a,b,c 为群元，试证 abc,bca,cab 同阶。
（2）证明下列循环积恒等式：()()()()y b X a y Xb a ab =10．证明在适当的基函数下，群G 可约表示的形式是()()()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A D A X O A D A D 21其中()()A D 1和()()2D A 分别是m 阶和n 阶方阵； ()A X 是n 行m 列的矩阵，而O 是m 行n 列的零矩阵。
（提示：采用行矢量基矢，()00,1,0,0 i i =ϕ ）11．（1）在R 3空间中,平移用a T 表示。
定义为a r r r T a-=='，求平移算符a J 的形式。
数学专业的群论
数学专业的群论群论是数学中一个重要的分支领域，它主要研究群的定义、性质和应用。
群论在数学中起到了举足轻重的作用，被广泛应用于代数、几何、物理和密码学等领域。
本文将对群论的概念、性质和应用进行介绍。
一、群的定义与性质在群论中，群是一种代数结构，由一个集合和一个二元运算组成。
群的定义需要满足四个条件：封闭性、结合性、单位元存在性和逆元存在性。
具体地说，设G是一个集合，*表示G上的二元运算。
若集合G满足以下条件，则称G为一个群：1. 封闭性：对于任意的a、b∈G，a*b仍然属于G；2. 结合性：对于任意的a、b、c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)；3. 单位元存在性：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a；4. 逆元存在性：对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。
群的性质主要有唯一性、消去律和子群的定义等。
群的唯一性指的是一个集合上可能存在多个群结构，但这些群结构之间具有一一对应的关系。
消去律是指若群G中的元素a*b=a*c，则可以推出b=c。
二、群的应用1. 代数学应用群论在代数学中扮演着核心的角色。
它被广泛应用于线性代数、数论和域论等领域。
群的概念和性质为这些领域提供了基础，通过群论的方法可以研究和解决各种代数结构的问题。
2. 几何学应用几何学是另一个重要的应用领域。
群论在点群、对称群和Lie群等几何结构的研究中发挥着重要作用。
通过群论的方法可以研究几何对象的对称性和变换性质，从而深化对几何学的理解。
3. 物理学应用群论在物理学中也有广泛的应用。
在量子力学、粒子物理学和宇宙学等领域，群论被用来研究物理系统的对称性和变换规律。
通过群论的方法可以建立描述物理系统的数学模型，推导出物理定律。
4. 密码学应用群论在密码学中的应用得到了广泛的认可。
通过利用群的性质，可以设计和分析各种密码算法，保障信息的安全性。
群论可以用来研究离散对数问题，并构造一些具有强安全性的密码体制。
离散数学中的群论和有限群分类定理
群论是离散数学中的重要分支，研究集合上的一种二元运算，需要满足封闭性、结合律、单位元和逆元等性质。
有限群分类定理是群论中的重要定理之一，它描述了有限群的分类和结构。
在群论中，群是指一个集合G以及G上的一个二元运算组成的结构。
群需要满足四个性质：封闭性、结合律、单位元和逆元。
封闭性指的是对于任意的a、b∈G，a b也属于G；结合律指的是对于任意的a、b、c∈G，(a b)c=a(b c)；单位元指的是存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，a e=e a=a；逆元指的是对于任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a b=b a=e。
有限群分类定理是群论中的重要定理之一，它描述了有限群的分类和结构。
有限群是指元素个数有限的群。
有限群分类定理说明了任意一个有限群都可以被分解成若干个单群的直积。
一个单群是指除了单位元外，没有其他真子群的群。
有限群分类定理指出，任意一个有限群都可以被表示为若干个单群的直积，其中每个单群可以有不同的重复次数。
这样的分解方法是唯一的。
有限群分类定理的证明十分复杂，涉及到许多高级群论的概念和工具，如正规子群、陪集、同态映射、共轭等。
证明过程中使用了许多数学技巧和方法，如数学归纳法、反证法、构造法等。
有限群分类定理的应用非常广泛。
在代数几何、组合数学、密码学等领域都有运用。
例如在密码学中，公钥密码体制中的群是密码算法的基础，有限群分类定理提供了使用一些特殊类别的群的可行性。
综上所述，群论和有限群分类定理是离散数学中的重要内容。
群论研究集合上的一种二元运算，有限群分类定理描述了有限群的分类和结构。
它的应用广泛且重要，对于理解和应用群论有着重要的意义。
对于研究者来说，深入理解群论和掌握有限群分类定理是探索数学更深层次的必经之路。
数学名人的生平事迹及其贡献
数学名人的生平事迹及其贡献数学，是一门古老而又极为重要的学科。
它作为一门工具学科，在各个领域具有不可替代的重要性。
而在历史长河中，也有许多数学名人的生平事迹值得我们去品读。
一、欧几里得欧几里得是古希腊数学家，他所创立的欧几里得几何，被誉为几何学的基础。
欧几里得的生平事迹颇为传奇，他是亚历山大帝国的一名数学家，不仅有编写《几何原本》等众多作品，还对四大定理的研究作出了突出的贡献。
在欧几里得看来，数学不仅是一种工具，更是一种思维方式。
他的研究思路被后人称之为欧几里得方法，即是寻找形式主义与逻辑分析的平衡点，建立起一套独特的证明方法体系。
二、牛顿众所周知，牛顿是物理学的创始人之一，但他在数学领域的成就也是非常突出的。
他最重要的贡献就是发明了微积分学，这是数学史上非常重要而且普遍使用的一个概念，他的研究成果在很多学科领域中都被广泛应用。
牛顿的个人生活也是一个传奇，他十分珍惜自己的时间，超常的工作效率让他不断地创造出新的成果。
经过多年的研究与实践，他获得了“自然科学三定律”和“通用引力定律”，成为物理学与数学研究的两个重要领域。
三、伽罗瓦伽罗瓦是19世纪法国著名数学家，他的研究成果对现代数学的发展产生了深远的影响。
他的生平事迹颇显传奇色彩，他只活了21年，但留下了世界上最重要的数学遗产之一——伽罗瓦理论。
伽罗瓦理论被认为是现代数学的一项重大成就，它不仅引刊了数学的一种新范式，而且在后来的数学研究中被广泛应用。
此外，伽罗瓦还对代数学的发展做出了突出的贡献，他所写的论文和作品，迄今仍受到广泛关注。
四、舒尔舒尔是19世纪德国著名数学家，他对数学的研究产生了深远的影响。
他最著名的成就就是舒尔引理，它被认为是现代代数结构分析的开端。
舒尔引理是现代数学研究的一个基本定理，它是组合数学研究中的一个重要组成部分。
此外，舒尔还发明了一个误差纠正技术——矩阵补码，这项技术被广泛应用在信息通信领域中。
五、高斯高斯是19世纪古典数学的伟大代表之一，他被誉为数学天才。
群论课件
可约性的判定
2 2 2 2
16
第四节 群表示的特征标
1.定义：设群G={E,A,B,C,…},它的一个表示 D={D(E),D(A),D(B),D(C),…},则群元R的特征标 为D(R)的对角元之和（迹） X(R)=TrD(R)= Daa ( R)
a 1 n
式中，R表示G的任一元 Daa是对角元，n是表示空间的维数。 特征标系：群G中所有的g个群元在D中的特征标 注：对可约表示和不可约表示同样适用， 第a个不可约表示Da(R)的特征标写成Xa(R)
8
第二节 舒尔（Schur）引理
1.舒尔引理一 D是群G的一个表示，若存在一个矩阵A，与D中所 有矩阵都对易，即 D(R)A=AD(R) R∈G 则有： (1)若D是不可约的，A必为常数矩阵 A=λ E 式中,λ为标量，E为单位矩阵 (2)若A不是常数矩阵，则D必为可约表示。若A为厄 米矩阵，则约化矩阵就是使A对角化的矩阵。 注：厄米矩阵—矩阵与其共轭矩阵相等 R+=R
21
3.不等价不可约表示的符号
(1)Mulliken符号
符号 A、A1、A2 B（B1，B2，…）
E，T
表示含义 适用情况 +1（对称）、恒等表示、 一维 其他表示 -1（反对称）、其他表 示
二维、三维
脚标加 g，u
有中心反演
(2)Bethe符号
1，2，3， ...
22
4.可约表示的约化（特征标的应用）
19
证明：
(i ( X (i )* ( R) X ( j ) ( R) Duu)* ( R) Daaj ) ( R) R R u a (i ( Duu)* ( R)Daaj ) ( R) ua R
2.1-2.2群表示理论
上式表明S与V-1D(R)V对易．
定义一个矩阵S1/2，其对角元为(S1/2)ii = (Sii)1/2 ，这样
S1/2 S1/2 = S
(2.1-23)
且
S1/2V-1D(R)V = V-1D(R)VS1/2
(2.1-24)
以S-1/2左乘及右乘上式，得
V-1D(R)VS-1/2 = S-1/2V-1D(R)V
(2.1-2 ) (2.1-3 )
一个群的矩阵表示必然自动地就是其子群的一个矩阵表示，简称为 “表示” .
2
例 在第一章中 3×3 的矩阵群d3群与正三角形 的对称群D3群同构，因此， d3 群的各元就是 D3 群的一个三维的确实表示．即
1 0 0
D(E)0 1 0,
0 0 1
0 0 1
D(C)10
可把a的全部对角元分成两组令对角元的分在另一组记作2211这时进行一个相似变换改变行和列的编号把第一组的对角元调在前面第二组的在后面这时所有的矩阵1drs就同时成为分块对角形式即为对角化的矩阵
第二章 群表示理论
2.1 群的矩阵表示 2.2 舒尔引理 2.3 表示矩阵元的正交性定理 2.4 表示的构造 2.5 基函数的性质 2.6 表示的特征标 2.7 群元空间 2.8 正规表示 2.9 完全性关系 2.10 表示的直积 2.11 直积群的表示
D(A) 10
0 1,
D(B) 12 3
3
2
,
1
2 2
D(C)
1 2
3
2 ,
1
D(D) 2
3
2 ,
1
3
D(F) 2 2 .
3 2
1 2
3 2
12
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舒尔定理群论
舒尔定理，也称为舒尔引理，是群论中的一个重要定理，由德国数学家舒尔于 1872 年提出。
该定理表明，如果一个群 G 中
存在一个不平凡的正规子群 H，满足 H 和 G/H 的阶数互质，
那么 G 就是可解的。
该定理在可解群的结构和性质研究中有
着广泛的应用。
为了更加深入地理解舒尔定理的含义，我们首先需要了解几个群论的基本概念。
1. 群的定义
群是一种代数结构，它由一个集合G 和一个二元运算* 组成，满足以下四条公理：
（1）封闭性：对于任意的 a，b∈G，a*b∈G。
（2）结合律：对于任意的 a，b，c∈G，(a*b)*c=a*(b*c)。
（3）存在单位元素：存在一个元素 e∈G，使得对于任意的
a∈G，a*e=e*a=a。
（4）存在逆元素：对于任意的 a∈G，存在一个元素 b∈G，
使得 a*b=b*a=e。
2. 子群的定义
设 G 是一个群。
如果 H 是 G 的一个非空子集，并且 H 对于 G 的群运算 * 构成一个群，那么 H 就是 G 的一个子群，记作
H≤G。
3. 正规子群的定义
设 G 是一个群，如果 H 是 G 的一个子群，并且对于任意的
g∈G，都有 gH=Hg，那么 H 就是 G 的一个正规子群，记作
H◁G。
有了这些基本概念的铺垫，我们现在来正式介绍舒尔定理。
舒尔定理
如果一个群 G 中存在一个不平凡的正规子群 H，满足 H 和
G/H 的阶数互质，那么 G 就是可解的。
在这里，我们来详细解释一下这个定理的意义和证明。
1. 可解群的定义
可解群是指存在一个可解的群链，即一个子群的正规子群为前一个子群，最后得到的 G 就是可解群；或者说，存在一个群替换列，满足每个替换子群都是前一个子群的正规子群，并且最后的替换群是可交换群。
实际上，如果一个群可以通过一系列的正规子群一直降到一个可交换群，那么这个群就是可解的。
这是因为，可交换群的性
质相对简单，所以可以通过群上的一些基本操作来构造出一个完整的可解群。
2. 舒尔定理的含义
在舒尔定理中，我们可以看到一个非常重要的条件：H 和 G/H 的阶数互质。
这一条件保证了 H 和 G/H 是非常“独立”的群，
它们之间没有任何共同点。
如果没有这个条件，那么 H 和
G/H 就可能带有一些相同的元素，导致难以进行有意义的操作。
由于 H 是 G 的一个正规子群，因此它的阶数必然是 G 的阶数
的约数。
而 G/H 的阶数是 G 的阶数除以 H 的阶数，所以 H 和
G/H 的阶数互质的充要条件是 H 和 G 的阶数互质。
这告诉我们，对于可解群的研究，阶数的互质性是一个非常重要的因素，它反映出了群内部的结构。
3. 舒尔定理的证明
舒尔定理的证明可以通过归纳法来完成。
不过这里由于篇幅的限制，我们不再详述。
注重群理论的读者可以从相关书籍中了解到此定理的证明过程。
结语
舒尔定理是群论中的一个重要定理，它告诉我们，一个群的可解性可以从它的正规子群的阶数和子群因子上推导出来。
这个定理在可解群的研究中有着重要的应用，它为我们深入了解群的结构和性质提供了一种新的思路。
当然，群论的研究远远不
止于此，有很多经典的定理和定律，希望大家能够继续深入学习和理解。