《函数的零点与方程的解》教学设计

《函数的零点与方程的解》教学设计一、教学内容解析1．内容本节课是《普通高中教科书数学A版必修第一册》第四章第五节函数的应用（二）第一课时的内容．2.内容解析函数与方程是描述客观世界变化规律的基本数学模型，也是中学数学的重要数学思想之一，在高中数学教学中占有非常重要的地位．本节内容是学生在学习了函数的概念及性质、基本初等函数等知识的基础上，结合函数图象及性质，探究函数零点与方程的根之间的关系以及函数在某个区间上存在零点的条件是函数作为解决数学问题的工具在数学知识内部的应用，同时本节课的学习也是为下节“用二分法求方程的近似解”奠定基础，具有承前启后的作用．本节课要求学生通过二次函数的零点的定义抽象出一般函数的零点的概念，并通过对一元二次方程的根与相应的二次函数的零点以及二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系的判断，推断出一般的方程的根与相应的函数图像与x轴交点横坐标、函数零点的等价关系，通过分析具体二次函数零点附近的图像和函数值的特征，结合其他函数零点所在区间的函数值特征，总结归纳出函数零点存在的条件，得出函数零点存在定理，最后利用函数零点存在定理研究具体方程根的问题，并利用信息技术作出函数图像帮助学生直观形象地理解本节内容，体现函数的应用价值．函数作为解决数学问题的基本工具，把函数在解方程中加以应用，渗透了许多重要的数学思想，比如函数与方程思想，数形结合思想，转化与化归思想．对培养学生的数学抽象、直观想象、数学运算和数学建模等学科核心素养，以及树立学数学、用数学的观念与信心具有至关重要的作用．故本节课的教学重点是：函数零点的概念、函数零点与方程的解的关系，以及函数零点存在定理．二、学生学情分析本节课的教学对象是刚进入高中的高一学生，在初中，学生已经对一元二次方程的根的三种情况有了深刻的认识，对二次函数的图象也比较熟悉，通过前面章节的学习，学生已经了解了一些基本初等函数的模型，掌握了函数图象的一般画法及函数的一些性质（如奇偶性、单调性、最值等）．本节内容是将函数的零点与方程的解的关系进行进一步讨论，通过几个学生熟悉的具体函数，抽象出零点的概念，归纳函数在某区间有零点的条件，从而得出函数零点存在定理．进一步从代数与几何两个角度判断零点的个数．从代数到几何,从几何到代数全方位理解函数的零点与方程的解之间的关系，几何与代数之间的转化对学生认知水平的要求属“最近发展区”，但学生对知识之间的有机联系把握不到位，应用意识不强，其观察、归纳能力还有待进一步提高．故函数零点的存在定理的生成过程对学生来说是一个难点．这种从学生已有的知识出发理解探究新知识的过程既符合学生的认知规律，也是解决数学问题的一般方法．故本节课的难点是：函数零点存在定理的导出，以及理解函数零点存在定理中的两个条件是函数在某区间上存在零点的充分不必要条件，借助函数图像判断函数零点的个数．三、教学目标设置1.根据二次函数零点的定义抽象出一般函数)(x f y =零点的定义．在此过程中培养学生的数学抽象核心素养；2.通过对一元二次方程的根与相应的二次函数的零点以及二次函数的图像与x 轴的交点的横坐标之间的关系的认识，推断出一般的方程的根与相应的函数图像与x 轴交点横坐标、函数零点的等价关系．在此过程中培养学生的逻辑推理能力以及对数形结合思想的应用；3.通过分析具体二次函数零点附近的图像和函数值的特征，再结合更多函数图像，通过观察、对比、分析、总结归纳出函数零点存在的条件，得出函数零点存在定理。

在此过程中培养学生直观想象，数学运算，数学建模等核心素养．四、教学策略分析根据＂建构主义＂、＂最近发展区理论＂和本节课的特点，贯彻“教为主导，学为主体，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想，采用启发诱导，通过营造问题情景，激发学生的探索欲望，鼓励学生自主探究．充分利用学生熟知的一元二次方程的根与对应的二次函数的图象之间的关系，数形结合，由浅入深，从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性，精心设置一个个问题链．采用“设问—探究—归纳—定论”层层递进的方式来突破本课的重难点,由浅入深，循序渐进，培养学生的探究精神．着眼于知识的形成和发展过程，注重学生的学习过程体验，给不同层次的学生提供思考、创造、表现和成功的舞台．五、教学过程（一）整体感知，明确任务在“函数的应用（一）”中，通过一些实例，我们初步了解了建立函数模型解决实际问题的过程，学习了用函数描述客观事物变化规律的方法，体会了函数作为解决数学问题的基本工具的重要性．本节我们将继续探究和学习运用函数性质求方程近似解的基本方法。

首先我们来探究函数的零点与方程的解之间的关系．设计意图：小节统领明确研究的内容和目标．（二）以问题为导向探究新知1.问题引入问题1：判断下列方程是否有实数解？若有,是否有求根公式？0322=--x x （2）062ln =-+x x学生回答（预设）：第一个方程是一元二次方程，它有实根，可用求根公式求解；第二个方程不会解．回顾数学的发展史，古今中外的数学家们对方程的求解进行了一系列的探索，并取得了骄人的成绩：我国古代数学家已比较系统地解决了某些类型方程求解问题，约公元50~100年编成的《九章算术》记载了一次方程、二次方程、三次方程的求根方法；南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“正负开方术”，提供了一种用算筹布列解任意数字方程的有效算法，此法可以求出任意次代数方程的正跟．外国数学家对方程求解也有很多的研究：9世纪阿拉伯数学家花啦子米（Al-Khowarizmi,约780-850）给出了一次方程和二次方程的一般解法，1541年，意大利数学家塔尔塔利亚（N.Tartaglia,约1499-1557）给出了三次方程的一般解法；1545 年，意大利数学家卡尔达诺(G.Cardano ，1501-1576)的名著 《大术》一书中，把塔尔塔利亚的解法加以发展，并记载了费拉里(LFerrari ，1522-1565)的四次方程的一般解法．设计意图：教师提出问题引发学生思考，激发学生的求知欲，凸显研究的必要性，同时融入数学文化展示方程求解的发展史，引导学生用发展的眼光看问题．今天我们站在巨人的肩膀上利用函数的零点来探究方程的解的情况．问题1：如何从二次函数的角度认识一元二次方程的根？例如:一元二次方程0322=--x x 的根是什么?它们与相应的二次函数32)(2--=x x x f 有什么关系？学生回答（预设）：一元二次方程的根就是对应的二次函数的图像与x 轴交点的横坐标即就是二次函数的零点。

问题2：类比以上结论，对于一般的方程0)(=x f 我们是否也能从函数)(x f y =的角度来探究其解的情况？学生回答（预设）：能，方程0)(=x f 的解就是函数)(x f y =的图像与x 轴的交点的横坐标．与二次函数一样，这里我们也把方程0)(=x f 的解叫做函数)(x f y =的零点．设计意图：教师设问引导学生从简单的问题出发，从特殊到一般，通过类比发现解决新问题的思路，培养学生的探索精神．2.函数的零点定义探究一般函数的零点：对于一般的函数)(x f y =，我们把使0)(=x f 的实数x 叫做函数)(x f y =的零点．设计意图：教师引导学生直接将二次函数的零点的概念推广到一般的函数，从而让学生自己抽象出一般函数零点的定义，让他们体会从特殊到一般的解决问题的思路，同时培养学生数学抽象核心素养．追问（1）函数的零点是点吗?学生回答（预设）：函数的零点不是点，而是方程0)(=x f 的根，是一个实数。

追问（2）由此我们可以得出：方程0)(=x f 的根、函数)(x f y =的零点与函数)(x f y =的图像三者之间的关系是什么？学生回答（预设）：方程0)(=x f 的根（方程0)(=x f 有实数解）函数)(x f y =的零点 函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标 （函数)(x f y =有零点） （函数)(x f y =的图像与x 轴有交点） 因此关于方程0)(=x f 的解的情况的探究可以转化为探究函数)(x f y =的零点或者函数)(x f y =的图像与x 轴交点情况．设计意图：根据函数零点的定义提出相关问题，让学生分别从代数和几何的角度认识和理解函数的零点，以达到辨析定义的目的，同时紧扣最初我们提出的方程问题将方程解的问题转化为函数的零点问题，在此过程中培养学生严谨的学习态度以及对转化化归的数学思想的应用．3.函数零点存在定理探究问题3：请同学们观察二次函数32)(2--=x x x f 的图像，并计算其零点所在的区间]4,2[和]0,2[-上端点处的函数值你有什么发现？学生回答（预设）：在区间]4,2[上零点左侧的图象在x 轴下方，零点右侧的图象在x 轴上方．相应的函数()f x 的取值在零点左侧小于0，在零点右侧大于0．即函数在端点x =2和x =4的取值异号，即0)4()2(<f f ，在区间]0,2[-亦然．问题4：观察下列函数的图像，思考：对于一般的函数)(x f y =，在其零点所在的区间],[b a 上 )()(b f a f 是否也有上面的结论？若保持端点处的函数值不变，请同学们尝试改变函数图像的形状，观察零点的变化情况，回答问题5，6.问题5：当0)()(<b f a f 时，函数)(x f y =在区间),(b a 上的零点个数情况如何? 学生回答（预设）：当0)()(<b f a f 时，若函数的图像连续，则函数)(x f y =在区间),(b a 上可能有一个零点，也可能有多个零点；若函数的图像不连续，则函数)(x f y =在区间),(b a 上可能没有零点．问题6：当0)()(>b f a f 时，函数)(x f y =在区间),(b a 上的零点个数情况如何? 学生回答（预设）：当0)()(>b f a f 时，无论函数的图像连续与否，函数)(x f y =在区间),(b a 上都可能有零点也可能没有零点．问题7：根据以上结论，函数)(x f y =满足什么条件时它在区间),(b a 上就一定有零点？ 学生回答（预设）：函数)(x f y =满足以下两个条件时它在区间),(b a 上就一定有零点？(1)函数 )(x f y = 在区间],[b a 上的图象是一条连续不断的曲线；(2) 区间端点处的函数值异号，即 0)()(<b f a f ．我们把这个结论称为函数零点存在定理．函数零点存在定理：如果函数()y f x =在区间],[b a 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区),(b a 内一定有零点，即存在),(b a c ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的解．设计意图：以学生熟知的二次函数的零点所在区间为例，结合大量函数图像，让学生经历观察－对比-发现-归纳-总结-定论从而获得定理的过程，使他们充分感受零点存在定理的ab x y o x ya b o xy a b o x yab o xy a b o生成过程，教会他们思考问题、解决问题的一般思路，同时培养他们的直观想象，逻辑推理等核心素养．根据前面的探究以及定理的内容请同学们思考以下问题：追问1：根据零点存在定理：如果函数()y f x =在区间],[b a 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区),(b a 内一定有零点，那么函数有几个零点呢?学生回答（预设）：至少有一个零点．追问2：如果函数()y f x =在区间],[b a 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，那么函数()y f x =在区间),(b a 上至少有一个零点，再加上什么条件就能保证函数()y f x =在区间),(b a 上有且只有一个零点？（请同学们画图加以说明）学生回答（预设）：再加上条件：)(x f 在区间],[b a 上单调，则函数()y f x =在区间),(b a 上有且只有一个零点． 追问3：函数()y f x =在区间],[b a 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，是函数()y f x =在区间),(b a 上有零点的什么条件？学生回答（预设）：充分不必要条件．设计意图：围绕定理内容提出问题，引导学生数形结合深刻认识和理解函数()y f x =在区间],[b a 上的图象是一条连续不断的曲线，且有()()0f a f b <，是函数在区间),(b a 上有零点的充分不必要条件，为后续学生准确应用函数零点存在定理打下坚实的基础．4.初步应用，深化理解例1. 函数53)(3+--=x x x f 的零点所在的区间为（ ）A.)0,2(-B.)2,1(C.)1,0(D.)21,0(设计意图：对零点存在定理内容的巩固和简单应用．例2.求方程ln 260x x +-=的实数解的个数． xya b o解：根据方程的跟与函数零点的关系，我们将方程的解的问题转化为函数的零点问题： 学生回答（预设）：设函数()ln 26f x x x =+-解法一：因为04)1(<-=f ，03ln )3(>=f ，即0)3()1(<f f ，且函数)(x f y =图象在定义越(0，+∞)上连续．由函数零点存在定理可知，函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内至少有一个零点．另外，对于函数()ln 26f x x x =+-，x ∈(0，+∞)，可以先将其转化为两个基本函数()ln g x x =与()26h x x =-，由于它们在(0，+∞)内都单调递增，所以函数()()()f x g x h x =+在(0，+∞)内是增函数．两方面结合，可以判定它只有一个零点，即相应方程ln 260x x +-=只有一个实数解． 解法二：根据表1结合函数62ln )(-+=x x x f 的单调性，画出函数的图像如图2所示，由图可知函数62ln )(-+=x x x f 有且只有一个零点，即方程ln 260x x +-=只有一个实数解．表1xy 1-4 2-1．306 9 31．098 6 43．386 3 55．609 4 67．791 8 79．945 9 812．079 4 914．197 2 解法三：ln 260x x +-= 62ln +-=x x由函数x y ln =和函数62+-=x y 的图像可知，这两个函数的图像有且仅有一个交点，即方程062ln =-+x x 只有一个实数解．设计意图：首尾呼应解决本节课最初提出的问题，（1）引导学生将函数零点存在定理与函数的单调性相结合，确定方程实数解的个数，强化对函数零点存在定理的应用．（2）图2将方程的解的个数问题转化为函数图像的交点个数问题，数形结合解决问题．培养学生数学运算、逻辑推理等核心素养．（三）课堂小结方程0)(=x f 的根（方程0)(=x f 有实数解）函数)(x f y =的零点 函数)(x f y =的图像与x 轴交点的横坐标 （函数)(x f y =有零点） （函数)(x f y =的图像与x 轴有交点函数零点存在定理其中蕴含的思想和方法：从特殊到一般抽象定义、归纳结论；根据定义（定理）再思考提出问题辨析定义（定理）；数形结合、转化化归解决问题．（四）课后作业1.144P习题1,2 2.课后思考：我们已经知道函数()ln 26f x x x =+-在区间(2，3)内有且只有一个零点，那么如何把零点所在的区间长度缩短，又如何求其零点的近似值呢？（为下一节内容做准备）六、板书设计课题一、函数零点的定义： 例1.例2.二、函数零点存在定理 小结。