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2019-2020学年江苏省泰州市高二下学期期末考试数学(理)试题(有答案)

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江苏省泰州中学第二学期期末考试
高二数学（理科）试题
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
4!
的值为 .

1. 椭圆的参数方程为
2cossinxy



（为参数），则该椭圆的普通方

程为 .
3.已知2,4,1,,1,0abm，若ab，则m .
4.在2,1上随机取一个数x，使得1x的概率为 .
5．某高级中学共有2000名学生，为了了解不同年级学生的眼睛的近视情况，现用分层抽样
的方法抽取一个容量为100的样本，高三年级抽取的学生人数为35人，则高三年级学生人数
为 .
6.右图是一个算法的流程图，则输出的k的值是 .

7.极坐标系中，点1,0到直线

3
R
的距离

是 .
8.一颗质地均匀的正方体骰子，其六个面上的点数分别为
1,2,3,4,5,6，将这颗骰子连续抛掷两次，观察向上的点数，则两点数之和不为5的概率
为 .
9.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较
为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 .
10.现将5张连号的电影票分给5个人（5人中含甲乙两人），每人一张，且甲、乙两人分得
的电影票连号，则共有不同的分法的种数为 .
11.若
33228x
xxCC

，则x的值为 .

12.若四位数M满足：①组成该四位数的四个数字中首位数字最小；②相邻的两位数字不等且
首尾两数字不等，则满足条件的四位数共有 个
二、解答题：本大题共8小题，共100分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
13. （本题满分10分）
以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且在两种坐标系中取

相同的长度单位，已知平面直角坐标系中，直线l的参数方程为122xtyt（t为参数）在极坐
......
......
标系中，圆C的圆心的极坐标为1,2C，半径为1.
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）判断直线l与圆C的位置关系.

14.（本题满分10分）82Txx
（1）求T的展开式中，含4x的项；
（2）求T的展开式中，二项式系数最大的项.

15.（本题满分10分）
为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为N的样本，数
据的分组及各组的频数，频率如下表：
（1）求N,a,b；
（2）根据以上数表绘制频率分布直方图，求落在

10.95,11.15
范围内的矩形的高；

（3）若从样本中随机取两个产品，求这两个产品对应的数
据落在11.35,11.55上的概率.

16.（本题满分10分）若
322
1326.nnnAAA


（1）求n的值；

（2）求101110n的近似值（精确到0.01）.

17.（本题满分14分）
如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，且

,2,3,3APBAPCBPCPAPBPCM
是PD的中
点.
（1）若BDmPAnPBpPC，求mnp的值；
......
......
（2）求线段BM的长.

18.（本题满分14分）
某学校田径运动会跳远比赛规定：比赛设立及格线，每个运动员均有3次跳远的机会.若在
比赛中连续两次跳不过及格线，则该运动员比赛结束.已知运动员甲每次跳远跳过及格线的概

率为23，且该运动员不放弃任何一次跳远的机会.
（1）求该运动员跳完两次就结束比赛的概率；
（2）设该运动员比赛过程中跳过及格线的总次数为，求的分布列和数学期望E.

19.（本题满分16分）
如图，长方体1111ABCDABCD中，12,3ABADAA点,EF分别在线段11,AADD上，且满
足112,2AEEADFDF，点P是线段AC上任意一点（不含端点）.
（1）求直线EF与直线AC所成角的余弦值；
（2）求平面FAB与平面FEC所成的锐二面角的大小；
（3）求直线EP与平面FAB所成角的最大值.

20.（本题满分16分）
已知

20111mnmnmnxxtaaxaxax





2011222.mnmnbbxaxax



（1）若1,2,8.mtn
①求290129222bbbb的值；
②求0129,,,,aaaa中的最大项；
（2）若,1.mnt
......
......
①求证：对任意,02kNkn，都有121121kknkaCn；

②求211niknkb及2111nikkb的值.

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2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试题一、单选题1．若复数z 满足()121-=i z （i 为虚数单位），则z 为（ ）A ．BC ．5D ．15【答案】B【解析】利用复数的除法可算出z 的值，再利用公式计算其模. 【详解】()()11+212+12121+255i z i i i i ===--，故||z ==.故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法以及复数的模，属于基础题.2．设随机变量()~,0.2X B n ，且() 1.6E X =，则n 为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由二项分布的均值公式()E X np =即可求得n 的值. 【详解】()~,0.2X B n()0.2 1.6E X np n ∴===8n ∴=故选：C 【点睛】本题考查二项分布的均值，属于简单题. 3．函数()()922f x x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．8D ．6【答案】C【解析】对()f x 进行配凑可得()99(2)222f x x x x x =+=-++--，再利用基本不等式求解即可.因为2x >，所以20x ->，所以()99(2)22822f x x x x x =+=-++≥=--, 当且仅当922x x -=-，即5x =时等号成立. 所以()f x 的最小值为8. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求和的最小值，关键是构造积为定值，属于基础题. 4．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A ．60 B ．24 C ．12 D ．36【答案】D【解析】采用分步计数原理，分两步，第一步先选取三个数，第二步对选出的三个数进行排列. 【详解】第一步先将三个数取出，有21326C C ⋅=种， 第二步对取出的三个数进行排列，共有336A =种，所以完成两步共有6636⨯=种. 故选：D. 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，是一道基础题.5．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则当8x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.15【解析】根据题中条件，求出,x y ，再由回归直线必过样本中心，求出a ，将8x =代入回归方程，即可求出结果. 【详解】由题中数据可得：3456 4.54x +++==， 2.534 4.53.54y +++==，因为回归直线必过样本中心(),x y ， 所以0.7 3.50.7 4.50.35a y x =-=-⨯=， 因此0.70.35y x =+，所以当8x =时，0.780.35 5.95y =⨯+=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查用回归直线求预测值，熟记回归直线的特征即可，属于基础题型. 6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D【解析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B ，其概率为14361()5C P AB C ==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2(|)1()5215P AB P B A P A ===. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N .且()881080.683P x ≤≤≈，()781180.954P x ≤≤≈，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（ ） A ．2800 B ．2180C ．1500D ．6230【答案】C【解析】首先根据题意得到正态曲线的对称轴，再计算()108≥P x ，即可得到答案. 【详解】由题知：学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N 所以98μ=，10σ=. 所以()()11081881080.15852⎡⎤≥=-≤≤≈⎣⎦P x P x ， 即数学成绩高于108分的学生占总人数的0.1585，所以王小雅同学的数学成绩在该区的排名大约是94600.15851500⨯≈. 故选：C 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点和曲线所表示的意义，属于简单题. 8．若函数ln y x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,1【答案】C【解析】函数ln y x ax =-有两个零点等价于方程ln 0x ax -=有两个根，等价于y a =与ln (0)xyx x 图象有两个交点，通过导数分析ln (0)xy x x的单调性，根据图象即可求出求出a 的范围. 【详解】函数ln y x ax =-有两个零点，∴方程ln 0x ax -=有两个根，0x ，分离参数得ln xa x=， y a ∴=与ln (0)xyx x图象有两个交点， 令ln ()(0)xg x x x=>， 21ln '()xg x x，令'()0g x =，解得x e = 当0x e <<时，'()0g x >，∴()g x 在()0,e 单调递增，当x e >时，)'(0g x <，∴()g x 在(),e +∞单调递减，且()0>g x()g x ∴在x e =处取得极大值及最大值1(e)g e=， 可以画出函数()g x 的大致图象如下：观察图象可以得出10a e<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.二、多选题9．已知复数()(()()2131z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数13z i =B ．若复数2z =，则3m =C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=【答案】BD【解析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误；对于D ，若0m =，则1z =-，()()221420412z z ++=+--++=，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题. 10．若()()()()102100121021111x a a x a x a x +=+++++++，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．()101021rr rr a C -=-，0,1,2,,10r =C ．12101a a a +++=D ．()()221002101393a a a a a a +++-+++=【答案】AD【解析】对于A ，令1x =-可求出0a 的值；对于B ，由于101010(21)[2(1)1][12(1)]x x x +=+-=-+，从而可求出其通项公式，从而可求出r a ；对于C ，先令0x =，求出01210a a a a ++++的值，再减去0a 可得1210a a a +++的值；对于D ，先令0x =，求出01210a a a a ++++的值，再令2x =-可求出01210a a a a -+-+的值，然后两式相乘可得()()220210139a a a a a a +++-+++的值.【详解】解：对于A ，令1x =-，则100(21)a -+=，得01a =，所以A 正确；对于B ，因为101010(21)[2(1)1][12(1)]x x x +=+-=-+，所以10(2)r r r a C =-，故B 错误；对于C ，令0x =，则012101a a a a ++++=，又因为01a =，所以12100a a a +++=，所以C 错误；对于D ，令2x =-，则012101010(41)3a a a a =-+-+=-+，即()()1002101393a a a a a a +++-+++=，因为()()02101391a a a a a a +++++++=，所以()()221002101393a a a a a a +++-+++=，所以D 正确，故选：AD 【点睛】此题主要考查二项式定理的应用，利用了赋值法求值，考查转化思想和计算能力，属于基础题.11．下列结论正确的是（ ）A ．463456A ⨯⨯⨯=B ．233667C C C +=C ．3885C C =D ．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72 【答案】ABCD【解析】分别计算各选项，即可判断正误. 【详解】 对于A ，121m n A n n n n m ，故A 正确；对于B ，2366152035C C ，3735C =，故B 正确； 对于C ，mn mnn C C ，故C 正确；对于D ，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有22342372C A A 种，故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查排列组合知识的应用，属于基础题.12．关于函数1()ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） A ．(1)f 是()f x 的极小值；B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．()f x 在(,1)-∞上单调递减；D ．设()()g x xf x =，则1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【答案】ABD【解析】由函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知选项C 错误，再利用导数求出极小值可判断选项A 正确；由1()ln y f x x x x x=-=+-求导，可判断该函数在(0,)+∞上单调递减且1x =时其函数值为0，可判断选项B 正确；对()()1ln g x xf x x x ==+求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D 正确. 【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知C 错误， 对A ，22111()x f x x x x-'=-+=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值(1)1f =，故A 正确； 对B ，1()ln y f x x x x x=-=+-，其定义域为(0,)+∞， 22222131112410x x x y x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭=-+-==<'， 所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上单调递减，又1x =时其函数值为0， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； 对D ，()()1ln g x xf x x x ==+，其定义域为(0,)+∞，()ln 1g x x =+，令()0g x =，得1=x e，当1(0,)∈x e 时，()0g x '<，函数()g x 在1(0,)e上单调递减； 当1(,)∈+∞x e时，()0g x '>，函数()g x 在1(,)e+∞上单调递增， 所以当1=x e时，函数()g x 取得极小值1()g e ，也是最小值，所以1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.三、填空题13．曲线()sin f x x =在点(0,(0))f 处的切线方程为________________． 【答案】y x =【解析】根据导数的几何意义，求得在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1k =，进而可求解切线的方程，得到答案． 【详解】由题意，函数()sin f x x =，则()cos f x x '=，则(0)cos01f '==， 即在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1k = 又由(0)sin 00f ==，即切点的坐标为(0,0)， 所以在点(0,0)处的切线的方程为y x =， 故答案为y x = 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中熟练应用导数的几何意义，求得切线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．已知随机变量X 的概率分布为：则()3P X ≥=__________________. 【答案】0.38【解析】由分布列的性质求出=3X 时的概率，即可求出()3P X ≥. 【详解】()0.160.220.2430.100.060.01=1P X +++=+++ ()30.21P X ∴==()()()()()3=3=4=5=6=0.210.100.060.01=0.38P X P X P X P X P X ∴≥=++++++故答案为：0.38 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质的应用以及求概率，属于基础题. 15．多项式()()3254321012345212x x a x a x a x a x a x a ++=+++++，则1a =_______________.【答案】44【解析】由于()()()223321221(44)x x x x x ++=+++，所以1a 等于3(21)x +展开式的2次项系数与4乘以3(21)x +展开式的3次项系数的和. 【详解】解：3(21)x +的通项公式为3332r r rr T C x --=，因为()()()223321221(44)x x x x x ++=+++，所以1203133242123244a C C =⋅+⨯⋅=+=,故答案为：44 【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查求二项式展开式中指定项的系数，属于基础题四、双空题16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p .若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p =________，在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为_______________. 【答案】23 2312【解析】(1)根据恰好答对3个问题的概率是14，可以列式子311424p ⨯⨯=，即可求出p ；(2)先将答对不同题目个数的概率计算出来，再根据数学期望的计算方法即可计算出来. 【详解】 （1）教师甲恰好答对3个问题的概率是14， 311424p ， 23p ∴=； （2）教师甲答对题目的个数X 可取值为0，1，2，3，1111042324P X , 311111112114234234234P X , 11231231111242342342324P X , 134P X , ∴X 的数学期望为111112312324424412. 故答案为：（1）23（2）2312. 【点睛】本题主要考查随机事件的概率的求法以及数学期望的求法，是一道基础题.五、解答题17．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J 医院参与救治工作. （1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率； （2）求至少选1名医生的概率.【答案】（1）14（2）1724. 【解析】（1）先计算出所有的选派方法310C ，再计算出志愿者、医生、护士各选1人的方法，即可求出概率；（2）先求出对立事件的概率，即不选医生的概率，即可求出至少选1名医生的概率. 【详解】（1）记“志愿者、医生、护土各选1人”为事件A ，()11123510314C C C P A C ==， 所以志愿者、医生，护士各选1人的概率为14； （2）记“至少选1名医生”为事件B ，则事件B 的对立事件为“不选医生”，记作事件B ，37310724C P BC , ()()17124P B P B ∴=-=, 所以至少选1名医生的概率为1724. 【点睛】本题主要考查排列、组合、及简单计数问题，解决此题的方法是计算对立事件的数目，含有“至多”“至少”等词语的事件一般是从对立事件入手.18．已知多项式12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5. （1）求n 的值；（2）求展开式中含x 项的系数. 【答案】（1）8；（2）7.【解析】（1）根据二项式系数的比值列式求解n ； （2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数．【详解】（1）因为多项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中第3项、第5项二项式系数分别为2n C ，4n C ，又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.所以，2425n n C C =，.即()()()()122112354321n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯， 化简得25240n n --=，解得8n =或3n =-（舍去）； 故n 的值为8.（2）又因为展开式通项83821881122rx rr r rr T C C xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当8312r-=时，解得2r ；.所以2238172T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以展开式中含x 项的系数为7. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有给定项的二项式系数，利用通项求特定项的系数，属于简单题目. 19．已知函数()33f x ax x =-在2x =处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2a =；（2）()3,1--. 【解析】（1）由已知得'02f ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，解得2a =，再对函数()f x 求导，验证函数()f x在x =处取得极值； （2）设切点为()3,23x x x -，则切线的斜率为3223631x x tx x --=--，则过点P 存在3条直线与曲线()y f x =相切，等价于方程324630x x t -++=有3个不同的实数解.设()32463p x x x t =-++，即需()0p x =有3解，()()'121p x x x =-，令()'p x =得0x =或1x =.需()()0010p p ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解之得可得实数t 的取值范围.【详解】（1）因为函数()33f x ax x =-在x =处取得极值.由()'233f x ax =-，知2'33022f a ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得2a =；.当2a =时，()323f x x x =-，()263f x x ='-，令()0f x '=，2x =±；∴,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭，()'0f x >，()f x 在,2⎛-∞- ⎝⎭上单调递增；22x ⎛∈- ⎝⎭，()'0f x <，()f x 在,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭单调递减x ⎛⎫∈ ⎝∞ +⎪⎪⎭，()'0f x >，()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；所以2a =时，函数()f x 在x =处取得极小值. （2）设切点为()3,23x x x -，则切线的斜率为3223631x x tx x --=--，整理得：324630x x t -++=，则过点P 存在3条直线与曲线()y f x =相切 等价于方程324630x x t -++=有3个不同的实数解.. 设()32463p x x x t =-++，()()'121p x x x =-，令()'0p x =得0x =或1x =.当(),0x ∈-∞时，()0p x '>，()p x 在(),0-∞上单调递增，当()0,1x ∈时，()0p x '<，()p x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0p x '>，()p x 在()1,+∞上单调递增，.()0p x =有3解，则()()0010p p ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解之得31t -<<-.所以实数t 的取值范围为()3,1--.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数的极值，切线的条数等相关问题，属于较难题. 20．冠状病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.（1）某科研团队为研究潜伏期与新冠肺炎患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新冠肺炎患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占15，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占35，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？附1：()()()()()22n ad bcXa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++（2）某地区的新冠肺炎治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程ˆˆˆy bx a=+，统计数据如下：已知5=11405i i y y ==∑，52=190i i x =∑，5=1885i i i x y =∑，请利用所给数据求t 和回归直线方程ˆˆˆybx a =+； 附2：()1221ˆni ii ni i x y nx ybx n x ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）填表见解析；被统计的60岁以上的人员人数至少为20人；（2）60t =；ˆ8.56yx =+. 【解析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值列出不等式，从而求得结果；（2）由题意求出回归系数，写出回归方程． 【详解】解：（1）因为被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占15， 60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占35，由被统计的60岁以上的人员人数为5x ， 填写22⨯列联表如下；计算()()()()()()22210?·24?355?5?4?63n ad bc x x x x x xX a b c d a c b d x x x x--===++++， 因为犯错误概率不超过0.010的前提，所以5 6.6353x，519.905x ， 所以被统计的60岁以上的人员人数至少为20人． （2）由统计数据如下表，且511405i i y y ===∑，52190ii x==∑，51885i i i x y ==∑，由40y =，得4052530404560t =⨯----=，所以()51522215?88554408.59054ˆ5i ii i i x y x ybx x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ˆˆ408.546ay bx =-=-⨯=； 所以y 关于x 的回归方程为ˆ8.56yx =+． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了线性回归方程的计算问题，是中档题．21．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生认为《少年的你》值得看的概率为34，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率； （2）设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望.【答案】（1）87400；（2）分布列见解析；期望为3110. 【解析】（1）对于事件“这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”分三种情况：认为值得看的人中有：1名男生，2名女生；无男生，1名女生；无男生，2名女生.分别求得相应的概率，再相加可得答案.（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，.分别求得随机变量取值的概率，构成分布列，再利用离散型随机变量的分布列的期望公式求得答案.【详解】（1）设X 表示2名男生中认为值得看的人数，Y 表示2名女生中认为值得看的人数. 设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A ，. 又因为男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生值得看的概率为34所以()()()()1, 20, 10, 2P A P X Y P X Y P X Y ===+==+==22221122341113318745554445400C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率为87400. （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，.()()2202211100,054400P P X Y C C ξ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()22100212224111311411,00,1554544400P P X Y P X Y C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+===⋅+⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()22,01,10,2P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==2222201102222222414113137354554454400C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()221221222241343116831,22,1554544400P P X Y P X Y C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+===⋅+⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2222224314442,254400P P X Y C C ξ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为：所以114731681441240310123440040040040040040010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==， 所以数学期望为3110. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，概率的加法公式，离散型随机变量的分布列以及其期望公式，属于中档题.22．设函数()xf x xe =，()()xg x a e e=-，（1）设()()()x xf x g x ϕ=-，讨论()ϕx 的单调性；（2）若不等式()()0f x g x +>对()1,∈+∞x 恒成立，求整数a 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）3.【解析】（1）由题可得()()2xxx x e a e eϕ=--，利用()ϕx 的导数来讨论单调性；（2）先将不等式中的参数a 分离，然后构造函数，将不等式的恒成立转化为求函数的最值，然后利用函数的导数讨论函数的单调性，从而求出函数的最值，最终求出a 的最大值. 【详解】（1）因为()xf x xe =，()()xg x a e e=-，()()()x xf x g x ϕ=-，∴()()2x x x x e a e e ϕ=--，()()22x x e x x a ϕ'∴=++，令22y x x a =++，则44a ∆=-，①当1a ≥时，()0x ϕ'≥，()ϕx 在(),-∞+∞上单调递增，②当1a <时，令()0x ϕ'=，1x =-±当(,1x ∈-∞-，()0ϕ'>x ，()ϕx 在(,1-∞-上单调递增，当(11x ∈--+，()0ϕ'<x ，()ϕx 在(11--+上单调速减，当()1x ∈-++∞，()0ϕ'>x ，()ϕx 在()1-++∞上单调递增， 综上：当1a ≥时，()ϕx 在(),-∞+∞上单调递增；当1a <时，()ϕx在(,1-∞--，()1-+∞上单调递增；在(11--+上单调递减； （2）当()1,∈+∞x 时，()0xxxe a e e->+恒成立，等价于当()1,∈+∞x 时，xx xe a e e >-恒成立，令()xx xe t x e e=-，()1,∈+∞x ，()()()2x x xe e ex e t x ee --'∴=-，令()xx x e e m e --=，()1,∈+∞x ，()0x m x e e '∴=->， ()x e x e x e m -∴-=在1,上单调递增，()2230m e e =-<，()3340m e e =->，()m x ∴'在()2,3上有唯一零点0x ，且00x e ex e =+，()02,3x ∈，()t x ∴在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ()()()()00000000min13,4x x x ex e x e t x t x x e e ex +∴====+∈-，()013,4a x ∴<+∈，∴a 的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，以及利用导数解决不等式的恒成立问题，合理的构造函数是解决问题的关键，是一道综合题.。

江苏省盐城市2019-2020学年高二下学期期终数学试题(解析版)

江苏省盐城市2019-2020学年高二下学期期终数学试题(解析版)

江苏省盐城市2019—2020学年高二下学期期终考试数学试题一､单项选择题1.设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p （ ）A. 0x ∃>，sin x x ≤B. 0x ∀>，sin x x ≤C. 0x ∃≤，sin x x ≤D. 0x ∀≤，sin x x ≤2.已知复数2311z i i i i =++++，则z =（ ）A-1B. 1D. 113.在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则n =（ ） A. 6B. 8C. 7或9D. 104.低密度脂蛋白是一种运载胆固醇进入外周组织细胞的脂蛋白颗粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，当低密度脂蛋白，尤其是氧化修饰的低密度脂蛋白过量时，它携带的胆固醇便积存在动脉壁上，久了容易引起动脉硬化，因此低密度脂蛋白被称为“坏的胆固醇”.为了调查某地中年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名中年人，得到2×2列联表如下：由此得出正确结论是（ ）A. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”B. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”C. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”D. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” 5.著名斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+.人们通过研究发现其有许多优美的性质，如：记黄金分割比10.6182k =≈，若1n n a k a +>，则12n n a k a ++<；反之亦然.现记1n n n a b a +=，若从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为（ ） A.47B.17C.57D. 276.若平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1AA ⊥底面ABCD ，11AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A.13B. C.15D. 15-7.A 、B 、C 、D 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生A 不参加甲社团，B 不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（ ） A. 14B. 18C. 12D. 48.下列实数m 的取值范围中，能使关于x 的不等式ln()x m mx +≤恒成立的是（ ） A. (1,1)-B. (0,2)C. 2⎛⎤ ⎥ ⎝⎦D.二､多项选择题9.设点F ､直线l 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的右焦点､右准线，点P 是椭圆C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，椭圆C 的离心率为e ，则2||d PF >的充分不必要条件有（ ）A. e ∈(0,12) B. e ∈(18,14) C. e ∈(14,12)D. e ∈(12,1) 10.为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A. 若所有样本点都直线21y x =-+上，则1r =B. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C. 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D. 若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强11.设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A. 当15n =时，n S 取最大值 B. 当30n =时，0n S = C. 当0d >时，10220a a +>D. 当0d <时，1022a a >12.设命题p ：若()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数，下列函数中能说明命题p 为假命题的有（ ） A. ()sin f x x = B. 2()f x x =C. 321()13f x x x x =-++ D. ()e 2ln(1)xf x x =-+三､填空题13.已知随机变量X 服从正态分布()210,N σ，0σ>，且()160.76P X ≤=，则()410P X <≤的值为____________.14.在二项式10的展开式中，有理项的个数为____________. 15.若正实数x ，y 满足1()y x y -=，则2x+y 的最小值为____________.16.设过双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点F (c ，0)的直线l 与其一条渐近线垂直相交于点A ，则点A 的横坐标可用a ，c 表示为____________；若l 与另一条渐近线交于点B ，且4FB FA =，则C 的离心率为____________.四､解答题17.设函数2()ln 2f x x mx x =-+-(m ∈R ).（1）当1m =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当32m =时，求函数()f x 的单调增区间. 18.①4516a a +=；②39S =；③2n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，____________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n an b =+，求数列{}n b 的前n 项的和.19.如图，在斜三棱柱111—ABC A B C 中，AB=1，AC=2，13AC =，AB ⊥AC ，1A C ⊥底面ABC .（1）求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值； （2）求平面11ACC A 与平面1AB C 所成锐二面角的余弦值.20.我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献，广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动，活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查，其中关于4项子活动的赞同情况统计如下： 班级代码ABCDE合计 4项子活动全部赞同的人数 3 4 8 3 2 20 4项子活动不全部赞同的人数 1 1 0 2 1 5 合计问卷调查人数 4585325现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研，每项子活动采访1名学生.（1）若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访，求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率；（2）若从A 班和E 班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象，记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X .21.如图，平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与抛物线C ：24y x =切于点P (0x ,0y )，00x ≠.（1）用0y 表示直线l 的斜率；（2）若过点P 与直线l 垂直的直线交抛物线C 于另一点Q ，且OP ⊥OQ ，求0x 的值. 22.设函数()()1221x f x eax a x -=+-+（其中a 为实数）.（1）若0a >，求()f x 零点的个数；（2）求证：若1x =不是()f x 的极值点，则()f x 无极值点.江苏省盐城市2019—2020学年高二下学期期终考试数学试题一､单项选择题1.设命题p ：0x ∀>，sin x x >，则⌝p 为（ ） A. 0x ∃>，sin x x ≤ B. 0x ∀>，sin x x ≤ C. 0x ∃≤，sin x x ≤ D. 0x ∀≤，sin x x ≤【答案】A 【解析】 【分析】根据全称命题的否定形式，即可得出结论. 【详解】命题p ：0x ∀>，sin x x >， 则⌝p ：0x ∃>，sin x x ≤. 故选：A.【点睛】本题考查命题的否定，要注意量词之间的转换，属于基础题. 2.已知复数2311z i i i i =++++，则z =（ ）A. -1B. 1D. 11【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的求和公式及i 的性质求解即可. 【详解】1112432311(1)()111111i i i i i i i z i i i i i i i i----=++++=====-----,1z ∴==,故选：B【点睛】本题主要考查了虚数单位i 的性质，等比数列的求和公式，复数的除法运算，属于容易题. 3.在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则n =（ ）A. 6B. 8C. 7或9D. 10【答案】B 【解析】 【分析】由二项式系数的对称性得知二项式()12nx +的展开式的项数，进而可求得n 的值.【详解】在二项式()12nx +的展开式中，有且只有第5项的二项式系数最大，则该二项式的展开式中共有9项，所以，19n +=，解得8n =. 故选：B.【点睛】本题考查二项式系数的对称性，确定二项展开式的项数是解题的关键，属于基础题.4.低密度脂蛋白是一种运载胆固醇进入外周组织细胞的脂蛋白颗粒，可被氧化成氧化低密度脂蛋白，当低密度脂蛋白，尤其是氧化修饰的低密度脂蛋白过量时，它携带的胆固醇便积存在动脉壁上，久了容易引起动脉硬化，因此低密度脂蛋白被称为“坏的胆固醇”.为了调查某地中年人的低密度脂蛋白浓度是否与肥胖有关，随机调查该地100名中年人，得到2×2列联表如下：由此得出的正确结论是（ ）A. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”B. 有10%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关”C. 有90%把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖有关”D. 有90%的把握认为“该地中年人的低密度脂蛋白浓度与肥胖无关” 【答案】C 【解析】根据列联表计算出2K ，然后借助于临界值表可得结论．【详解】由已知22100(1217863)8.4435 6.63575252080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，由临界值表知选项C 正确．故选：C ．【点睛】本题考查独立性检验，解题关键是计算出2K 的值，然后与临界值表对照即可得．5.著名的斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，21n n n a a a ++=+.人们通过研究发现其有许多优美的性质，如：0.618k =≈，若1n n a k a +>，则12n n a k a ++<；反之亦然.现记1n n n a b a +=，若从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为（ ） A.47B.17C.57D. 27【答案】D 【解析】 【分析】先确定数列{}n b 的前7项中大于k 的项数，再根据古典概型概率公式求结果. 【详解】因为112=1a b k a =>，所以根据题中提供的性质得 1234567,,,,,,,b k b k b k b k b k b k b k ><><><>即数列{}n b 的前7项中大于k 的项数有4个，因此从数列{}n b 的前7项中随机抽取2项，则这2项都大于k 的概率为242762217C C == 故选：D【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.6.若平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，1AA ⊥底面ABCD ，11AA =，则异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A.13B. C.15D. 15-【分析】设,AC BD 交于O ，1111,AC B D 交于1O ，连1OO ，可得1,,AB CD OO 两两互相垂直，以点O 为原点建立空间直角坐标系，确定11,,,A B C C 坐标，进而得到11,AC B C 的坐标，求出其夹角余弦，即可得出结论. 【详解】连,AC BD 交于O ，1111,AC B D 交于1O ，连1OO ，则11//OO AA ，1AA ⊥底面ABCD ，1OO ∴⊥底面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC BD ∴⊥， 60,2,23BAD BD AC ∠=︒∴==，以点O 为坐标原点，1,,OA OB OO 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，11(3,0,0),(0,1,1),(3,0,0),(3,0,1),A B C C -- 11(23,0,1),(3,1,1)AC B C =-=---，11111165cos ,13||||135AC B C AC B C AC B C ⋅<>===⨯，所以异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值为6513. 故选：A.【点睛】本题考查空间向量法求异面直线所成的角，考查计算求解能力，属于中档题.7.A 、B 、C 、D 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团，若学生A 不参加甲社团，B 不参加乙社团，且四名学生每人报一个社团，每个社团也只有一人报名，则不同的报名方法数有（ ） A. 14B. 18C. 12D. 4【分析】对学生A 是否参加乙社团进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】分以下两种情况讨论：①若学生A 参加乙社团，则其他三人的选择无限制，此时不同的报名方法种数为336A =；②若学生A 不参加乙社团，则学生A 有两种选择，则学生B 也有两种选择，其他两人的选择无限制，此时不同的报名方法数为22228A ⨯⨯=. 综上所述，不同的报名方法种数为6814+=. 故选：A.【点睛】本题考查排列组合综合问题，考查分类加法计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题. 8.下列实数m 的取值范围中，能使关于x 的不等式ln()x m mx +≤恒成立的是（ ） A. (1,1)- B. (0,2)C. 2⎛⎤⎥ ⎝⎦D.【答案】C 【解析】 【分析】构造新函数()ln()f x x m mx =+-，利用导数求出它的最大值，由这个最大值0≤得出题设不等式恒成立的m 的范围，然后确定选项中集合是这个范围的子集即可．【详解】由题意ln()0x m mx +-≤恒成立，设()ln()f x x m mx =+-，则1()f x m x m'=-+，易知 若0m ≤，则()0f x '>恒成立，()f x 递增，()1()0f e m m e m -=-->，不合题意．所以0m >，()f x '在0x m +>时是减函数，由1()0f x m x m '=-=+得1x m m =-，当1m x m m-<<-时，()0f x '>，()f x 递增，当1x m m>-时，()0f x '<，()f x 递减， 所以1x m m =-时，()f x 取得极大值也是最大值2211()ln 1ln 1f m m m m m m-=-+=--，令2()ln 1g m m m =--，则22(12122()2m m m g m m m mm-+-'=-==，因为0m >，所以当02m <<时，()0g m '<，()g m 递减，当2m >时，()0g m '>，()g m 递增，由于(1)0g =，所以02g <，所以存在0(0,2m ∈，使得()0g m =，当01m m ≤≤时，()0g m ≤，原不等式成立，对照各选项，只有C 满足， 故选：C ．【点睛】本题考查不等式恒成立问题，可把问题转化为研究函数的最值，由这个最值满足相应的条件得出参数取值范围，注意本题中要选的是这个范围的子集，而不一定是这个范围本身．二､多项选择题9.设点F ､直线l 分别是椭圆C ：22221x y a b+=(a>b>0)的右焦点､右准线，点P 是椭圆C 上一点，记点P 到直线l 的距离为d ，椭圆C 的离心率为e ，则2||d PF >的充分不必要条件有（ ）A. e ∈(0,12) B. e ∈(18,14) C. e ∈(14,12)D. e ∈(12,1) 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆第二定义可得2||d PF >充要条件是102e <<，根据充分不必要条件关系，逐项判断即可. 【详解】依题意，||12||,2PF d PF d ><，即102e <<， 选项A ，是充要条件，所以不满足； 选项B ，C 中e 的范围均是1(0,)2的真子集， 所以满足充分不必要条件；选项D ，既不是充分条件也不是必要条件. 故选：B ，C.【点睛】本题考查充分不必要条件的判定，掌握椭圆第二定义是解题的关键，属于基础题. 10.为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C. 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D. 若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误.【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误； 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD.【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.11.设d ，n S 分别为等差数列{}n a 的公差与前n 项和，若1020S S =，则下列论断中正确的有（ ） A. 当15n =时，n S 取最大值 B. 当30n =时，0n S =C. 当0d >时，10220a a +>D. 当0d <时，1022a a >【答案】BC 【解析】 【分析】首先根据1020S S =，得到1292a d =-，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】因为1020S S =，所以111092019102022a d a d ⨯⨯+=+，解得1292a d =-. 对选项A ，因为无法确定1a 和d 的正负性， 所以无法确定n S 是否有最大值，故A 错误. 对选项B ，13030292930301529022a d S d d ⨯⎛⎫=+=⨯-+⨯= ⎪⎝⎭， 故B 正确.对选项C ，()10221612921521502a a a a d d d d ⎛⎫+=2=+=-+=> ⎪⎝⎭，故C 正确.对选项D ，1012918119222a a d d d d =+=-+=-， 22129421321222a a d d d d =+=-+=，因为0d <，所以10112a d =-，22132a d =-，1022a a <，故D 错误.故选：BC【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了前n 项和n S 的计算，属于简单题.12.设命题p ：若()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数，下列函数中能说明命题p 为假命题的有（ ） A. ()sin f x x = B. 2()f x x =C. 321()13f x x x x =-++ D. ()e 2ln(1)xf x x =-+【答案】A 【解析】 【分析】可根据初等函数的单调性，或利用导数先找到满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立的函数，再分析函数在x ∈(0,2]上的单调性得到结论即可.【详解】因为()sin f x x =当x ∈(0,2]时，都有()(0)f x f >，但因为22π>，所以()sin f x x =在x ∈(0,2]上不单调，故A 可以；因为2()f x x =满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，2()f x x =在x ∈(0,2]上单调递增，故B 不可以；由321()13f x x x x =-++知22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥， 所以函数321()13f x x x x =-++在R 上单调递增，当x ∈(0,2]时()(0)f x f >成立，即()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，()f x 在[0,2]上是增函数，故C 不可以，因为()e 2ln(1)xf x x =-+，所以2()1xf x e x '=-+为增函数，因为(0)10,(1)10f f e ''=-<=->， 所以存在0(0,1)x ∈使0()0f x '=，故函数在0(0,)x 上递减，在0(,2)x 上单调递增，不满足()(0)f x f >对任意的x ∈(0,2]都成立，故D 不可以. 故选：A.【点睛】本题主要考查了命题真假的判定，考查了利用导数求函数的值域，单调性，正弦函数的单调性、值域，属于难题.三､填空题13.已知随机变量X 服从正态分布()210,N σ，0σ>，且()160.76P X ≤=，则()410P X <≤的值为____________. 【答案】0.26 【解析】 【分析】根据随机变量X 服从正态分布()210,N σ，可得对称轴为10x =，再利用对称性即可得到答案. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()210,N σ，所以对称轴为10x =.所以()()1016160.50.26P X P X <≤=≤-=. 所以()()41010160.26P X P X <≤=<≤=. 故答案为：0.26【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线表示的意义，属于简单题.14.在二项式10的展开式中，有理项的个数为____________. 【答案】3 【解析】 【分析】先根据二项展开式通项公式确定有理项取法，再确定有理项个数. 【详解】35104110104()()2,0,1,2,,10r r rr r rr T C x C x r x--+==⋅⋅=所以当35,0,4,84rZ r -∈=时，为有理项，因此有理项的个数为3， 故答案为：3【点睛】本题考查二项展开式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题.15.若正实数x ，y 满足1()y x y -=，则2x+y 的最小值为____________.【答案】【解析】 【分析】先消去x ，再利用基本不等式求最值. 【详解】11()y x y x y y-=∴=+223x y y y ∴+=+≥=,当且仅当y =时取等号 因此2x+y的最小值为故答案为：【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.16.设过双曲线C ：22221x y a b-=(a>0，b>0)的右焦点F (c ，0)的直线l 与其一条渐近线垂直相交于点A ，则点A 的横坐标可用a ，c 表示为____________；若l 与另一条渐近线交于点B ，且4FB FA =，则C 的离心率为____________.【答案】 (1). 2a c(2). 3【解析】 【分析】设双曲线的一条渐近线方程为： b y x a =，根据直线l 与之垂直，设直线方程为()ay x c b=-- ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得A 的坐标，联立()b y x aa y x cb ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得B 的坐标，然后根据4FB FA =求解. 【详解】设双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线方程为： b y x a =，因为过右焦点F (c ，0)的直线l 与之垂直，设直线为 ()ay x c b=-- ，联立()b y x a a y x c b ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得 2a x c ab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以2,a ab A c c ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立()b y x a a y x c b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得22222a c x a b abc y a b ⎧=⎪⎪-⎨⎪=-⎪-⎩，所以22222,⎛⎫- ⎪--⎝⎭a c abc B a b a b ， 因为4FB FA =，所以22224⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭a ca c c abc ，化简得：422431180-+=c a c a ， 所以4231180-+=e e ， 解得283=e 或21e =（舍去），解得=e 故答案为：①2a c；②3【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及向量共线的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.四､解答题17.设函数2()ln 2f x x mx x =-+-(m ∈R ).（1）当1m =时，求函数()f x 在1x =处的切线方程； （2）当32m =时，求函数()f x 的单调增区间. 【答案】（1）0x y +=.（2）(1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）由2()ln 2=-+-f x x x x ，求导， 求出(1)f ，(1)'f ，写出切线方程. （2）当32m =时，23()ln 22f x x x x =-+-，求导，然后由()0f x '>求解. 【详解】（1）当1m =时，2()ln 2=-+-f x x x x ，1()22'=-+-f x x x(1)=1∴-f ， (1)1'∴=-f()f x ∴在1x =处的切线方程为(1)(1),y x --=--即0x y +=. （2）当32m =时，23()ln 22f x x x x =-+-， 21321()32(0)x x f x x x x x'--∴=-+-=>令()0f x '>，得23210x x x-->0x ，23210∴-->x x ，解得13x <-(舍去)或1x >，()f x ∴的单调增区间是(1,)+∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18.①4516a a +=；②39S =；③2n S n r =+（r 为常数）这3个条件中选择1个条件，补全下列试题后完成解答，设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 的各项均为正整数，且满足公差1d >，____________.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21n an b =+，求数列{}n b 的前n 项的和.【答案】条件选择见解析；（1）21n a n =-；（2）212233n n ++-.【解析】【分析】（1）选①，根据条件4516a a +=得出12716a d +=，由2d ≥且d N *∈，1a *∈N ，可求得d 和1a 的值，进而可求得等差数列{}n a 的通项公式；选②，由39S =得出13a d +=，由2d ≥且d N *∈，1a *∈N ，可求得d 和1a 的值，进而可求得等差数列{}n a 的通项公式；选③，由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩可求得数列{}n a 的通项公式，求得数列{}n a 的公差，由该数列为等差数列求得r 的值，进而可得出数列{}n a 的通项公式； （2）求得2121n n b -=+，然后利用分组求和法可求得数列{}n b 的前n 项和.【详解】（1）由等差数列{}n a 各项均为正整数，且公差1d >，知2d d N *≥∈，，1a *∈N .选①，由4516a a +=得12716a d +=，由2d d N *≥∈，，1a *∈N ，得11a =，2d =，()1121n a a n d n ∴=+-=-；选②，由31339S a d =+=得13a d +=，由2d d N *≥∈，，1a *∈N ，得11a =，2d =，()1121n a a n d n ∴=+-=-；选③，由2n S n r =+得()()2112n S n r n -=-+≥，()()221121n n n a S S n r n r n -⎡⎤∴=-=+--+=-⎣⎦，则()()1211212n n a a n n +-=+---=⎡⎤⎣⎦，且23a =， 又111a S r ==+，且数列{}n a 是等差数列，则()213122a a r r -=-+=-=，得0r =，21n a n ∴=-；（2）由（1）知21n a n =-，212121n a n n b -∴=+=+， ()()()()32132112212121222n n n b b b n --∴+++=++++++=++++()21214221433n n n n +⨯-=+=+--，所以{}n b 的前n 项的和为212233n n ++-.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解以及分组求和法，涉及基本量法以及利用n S 求n a ，考查计算能力，属于中等题.19.如图，在斜三棱柱111—ABC A B C 中，AB=1，AC=2，13AC =，AB ⊥AC ，1A C ⊥底面ABC .（1）求直线1B C 与平面11ACC A 所成角的正弦值； （2）求平面11ACC A 与平面1AB C 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）1010.（2）310【解析】 【分析】（1）以A 为原点，AB AC ，分别为x 轴，y 轴的正方向建立空间直角坐标系A xyz -，求得向量1B C 的坐标，再根据1A C ⊥底面ABC ，得到1A C AB ⊥，又AB AC ⊥，由线面垂直的判定定理得到AB ⊥平面11ACC A ，从而(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，然后由111cos ,||||⋅<>=B C ABB C AB B C AB 求解.（2）由（1）知(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，再求得平面1AB C 的一个法向量(,,)n x y z =，然后由cos ,||||⋅<>=n ABn AB n AB 求解.【详解】（1）以A 为原点，AB AC ，分别为x 轴，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -， 则(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，1(0,2,3)A ，1(1,2,3)B ，则1(1,0,3)BC =--， ∵1A C ⊥底面ABC ，AB 底面ABC ，∴1A C AB ⊥，又∵AB AC ⊥，1AC C AC ⋂=， AC ⊂平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ， ∴AB ⊥平面11ACC A ，∴(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量，∴111cos ,||||10B C AB B C AB BC AB ⋅<>===故所求直线1B C 与平面11ACC A （2）(0,2,0)AC =，1(1,2,3)AB =， 设(,,)n x y z =为平面1AB C 的一个法向量，则120230n AC y n AB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 令1z =，得30x y =-=，，得平面1AB C 的一个法向量为(3,0,1)n =-，又由（1）得(1,0,0)AB =是平面11ACC A 的一个法向量， ∴cos ,10||||10n AB nAB n AB ⋅<>===-，故所求面11ACC A 与平面1AB C . 【点睛】本题主要考查线面角和二面角的向量求法，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题. 20.我国全力抗击“新冠疫情”对全球做出了巨大贡献，广大中小学生在这场“战疫”中也通过各种方式作出了贡献.某校团委准备组织一次“网上战疫”的宣传活动，活动包含4项子活动.现随机抽取了5个班级中的25名同学进行关于活动方案的问卷调查，其中关于4项子活动的赞同情况统计如下：现欲针对4项子活动的活动内容作进一步采访调研，每项子活动采访1名学生.（1）若每项子活动都从这25名同学中随机选取1人采访，求4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”的概率；（2）若从A 班和E 班的被问卷调查者中各随机选取2人作为采访调研的对象，记选取的4人中“4项子活动全部赞同”的人数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望()E X . 【答案】（1）256625.（2）分布列答案见解析，数学期望：176【解析】 【分析】（1）先求出事件“任选1人对4项子活动不全部赞同”的概率，问题就是求4次试验中这个事件恰好发生一次的概率，由此可计算概率；（2）A 班中4项子活动全部赞同的人数共有3人，不全部赞同的有1人，E 班中4项子活动全部赞同的人数共有2人，不全部赞同的有1人，因此X 的可能值为2，3，4，分别计算出概率可得分布列，再由期望公式计算出期望．【详解】（1）设4次采访中恰有1次采访的学生对“4项子活动不全部赞同”为事件A ， ∵25名同学中4项子活动全部赞同的人数为20人，不全部赞同的人数为5人， ∴从中任选1人对4项子活动不全部赞同的概率为51255=， ∴所求事件的概率为113411256()()(1)55625P A C =-= （2）2,3,4X =，1111312122431(2)3C C C C P X C C ==⨯=，2011112031312121222243431(3)2C C C C C C C C P X C C C C ==⨯+⨯=，2020312122431(4)6C C C C P X C C ==⨯=， 故X 的分布列为X 2 3 4P131216则X 的数学期望为11117()2343266E X =⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题考查独立重复试验恰好发生k 次概率，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题关键是确定随机变量的所有可能取值．21.如图，平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与抛物线C ：24y x =切于点P (0x ,0y )，00x ≠.（1）用0y 表示直线l 的斜率；（2）若过点P 与直线l 垂直的直线交抛物线C 于另一点Q ，且OP ⊥OQ ，求0x 的值.【答案】（1）02y .（2）2 【解析】 【分析】（1）首先设直线l 的方程为2004y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，联立24y x =，得到2200440ky y y ky -+-=，再利用0∆=即可得到答案.（2）首先设直线PQ 的方程为200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，联立24y x =解得008Q y y y =--. 再利用OP OQ ⊥解得022y =±24y x =即可得到0x 的值.【详解】（1）因直线l 与抛物线相切于点()00,P x y ，2004y x =，00x ≠，所以直线l 的斜率存在，设为k ，直线l 的方程为()2004y y y k x x k x ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，联立24y x =，得220044y y y y k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化简得2200440ky y y ky -+-=， 显然0k ≠，由()()22004440k y ky ∆=---=，整理得：()200440ky ky -+=，解得02k y =. （2）由（1）知02PQy k =-，所以直线PQ 的方程为200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，将24y x =代入得22000244y y y y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 整理得23000880y y y y y +--=，2008Q y y y ∴=--，008Q y y y =--， 由OP OQ ⊥，得0OP OQ ⋅=，则220000016QQ Q Q y y x x y y y y +=+=，显然00Q y y ≠，从而016Q y y =-， 即0008()16y y y --=-，解得0y =± 所以20024y x ==，所以当OP OQ ⊥时，0x 的值为2 .【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查学生的计算能力，属于中档题. 22.设函数()()1221x f x eax a x -=+-+（其中a 为实数）.（1）若0a >，求()f x 零点的个数；（2）求证：若1x =不是()f x 的极值点，则()f x 无极值点. 【答案】（1）有2个零点；（2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）求得函数()y f x =的导数，利用导数分析函数()y f x =的单调性，结合零点存在定理判断出函数()y f x =在区间(),1-∞和[)1,+∞上的零点个数，由此可得出结论；（2）分析出当0a ≥时，1x =是函数()y f x =的极值点，在0a <时，求得()f x ''，可知函数()y f x ''=在R 上单调递增，令()0f x ''=得()1ln 2x a =+-，对()1ln 2a +-与1的大小进行分类讨论，利用导数分析函数()y f x =的单调性，由此可证得结论. 【详解】（1）由题意得()()()()11221121x x f x eax a e a x --'=+-+=-+-，所以()10f '=，又()12x f x e a -''=+，且0a >，所以()0f x ''>恒成立，从而函数()y f x '=在R 上单调递增，所以当(),1x ∈-∞时，()0f x '<；当()1,x ∈+∞时，()0f x '>. 则函数()y f x =在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 因为()10f a =-<，()100f e=>，函数()y f x =在(,1]-∞上单调递减且图象连续不断， 所以函数()y f x =在(),1-∞上恰有1个零点，因为()10f a =-<，()220f e =->，函数()y f x =在[)1,+∞上单调递增且图象连续不断， 所以函数()y f x =在[)1,+∞上恰有1个零点， 综上所述，当0a >时，函数()y f x =有2个零点；（2）由（1）知，当0a >时，函数()y f x '=在R 上单调递增， 又()10f '=，当1x <时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>. 所以，1x =是函数()y f x =的极小值点.同理当0a =时，1x =也是函数()y f x =的极小值点. 当0a <时，由()120x f x ea -''=+=得()1ln 2x a =+-，且()y f x ''=在R 上单调递增.所以当()1ln 2x a <+-时，()0f x ''<；当()1ln 2x a >+-时，()0f x ''>，从而函数()y f x '=在()(),1ln 2a -∞+-上单调递减；在()()1ln 2,a +-+∞上单调递增. 若()1ln 21a +-<，即102a -<<，则当()()1ln 2,1x a ∈+-时，()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，则1x =是函数()y f x =的极值点； 同理若()1ln 21a +->，即12a <-，则1x =也是函数()y f x =的极值点；若()1ln 21a +-=，即12a =-，()0f x '≥，则函数()y f x =在R 上单调递增，此时1x =不是函数()y f x =的极值点.综上可知，若1x =不是函数()y f x =的极值点，则12a =-，函数()y f x =在R 上单调递增，从而函数()y f x =无极值点.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点，同时也考查了利用导数研究函数的极值点，考查分类讨论思想的应用，属于难题.。

江苏省泰州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理科)试题Word版含解析

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江苏省泰州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理科）试题一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题：“若，则”的逆否命题是______．2.已知复数（是虚数单位），则．3.已知椭圆，则椭圆的焦点坐标是______．4.“”是“”成立的______条件在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选一个填写．5.函数，的单调递减区间是______．6.若双曲线C：的离心率为，则的值为______．7.直线l过点，且与曲线相切于点，若，则实数a的值是______．8.在实数中：要证明实数a，b相等，可以利用且来证明：类比到集合中：要证明集合A，B相等，可以利用______来证明．9.函数的定义域为R，若对任意的，，且，则不等式的解集为______．10.古埃及发现如下有趣等式：，，，，，按此规律，______11.若定义在R上的函数有三个不同的单调递增区间，则实数m的取值范围是______．12.已知椭圆C：，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若A是线段PB的中点，则点A的坐标为______．13.已知椭圆C：的右焦点为，F关于直线的对称点Q在椭圆C上，则______．14.若函数在上的最大值为8，则实数a的值为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.已知p：复数所对应的点在复平面的第四象限内其中，q：，其中．如果“p或q”为真，求实数a的取值范围；如果“p且”为真，求实数a的取值范围．16.已知抛物线：上一点到其焦点的距离为6，双曲线：的左焦点为A，双曲线的一条渐近线与直线AM垂直．求抛物线的方程；求双曲线的方程．17.已知，，如，，且，求证：；用数学归纳法证明：当时，能被7整除．18.如图，以两条互相垂直的公路所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，公路附近有一居民区EFG 和一风景区，其中单位：百米，，风景区的部分边界为曲线C，曲线C的方程为，拟在居民和风景区间辟出一个三角形区域EMN用于工作人员办公，点M，N分别在x轴和EF 上，且MN与曲线C相切于P点．设P点的横坐标为t，写出面积的函数表达式；当t为何值时，面积最小？并求出最小面积．19.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右准线方程为，右顶点为．求椭圆C的方程；若M，N是椭圆C上不同于A的两点，点P是线段MN的中点．如图1，若为等腰直角三角形且直角顶点P在x轴上方，求直线MN的方程；如图2所示，点Q是线段NA的中点，若且的角平分线与x轴垂直，求直线AM的斜率．20.已知函数，，，其中e为自然对数的底数．求函数的单调区间；求证：；若恒成立，求实数k的取值范围．江苏省泰州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理科）试题参考答案一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.命题：“若，则”的逆否命题是______．【答案】若，则【解析】【分析】根据原命题和其逆否命题的形式，即可得到结果。

江苏省泰州中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析

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江苏省泰州中学2019—2020学年度第二学期期中考试高二数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.若将6本不同的书放到5个不同的盒子里，有多少种不同的放法（ ） A. 66A B. 66CC. 65D. 56【答案】C 【解析】 【分析】将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法，然后由乘法原理可得答案. 【详解】将6本不同的书放到5个不同的盒子里，每本书都有5种放法， 根据乘法原理可得不同放法为65种. 故选：C【点睛】本题考查的是分步乘法计数原理，较简单.2.561212C C +等于（ ）A. 513C B. 613C C. 1113C D. 712C【答案】B 【解析】 【分析】直接利用组合数公式的性质即可.【详解】由组合数公式的性质可得：566121213C C C +=.故选：B.【点睛】本题考查组合及组合数公式的性质，组合数公式：11m m mn n n C C C -++=，属于基础题.3.已知i 是虚数单位，复数512ii-的虚部为（ ） A. 1- B. 1C. i -D. i【答案】B 【解析】因为()()()()512512*********i i i i i i i i i ++===-+--+ ，所以复数512i i-的虚部为1 ，故选B. 4.已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，(2)0.3P X >=，(0)P X <等于（ ） A. 0.2 B. 0.3C. 0.7D. 0.8【答案】B 【解析】分析：画正态曲线图，由对称性得图象关于x a =对称，且()0.5P X a >=，结合题意得到a 的值. 详解：随机变量ξ服从正态分布(),4N a ，∴曲线关于x a =对称，且()0.5P X a >=，由()10.5P X >=，可知1a μ==，故选B.点睛：本题主要考查正态分布，正态曲线有两个特点，（1）正态曲线x μ=对称；（2）在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1.5.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）． A.1415B.115C.29D.【答案】A 【解析】 【分析】高考资源网（ ）您身边的高考专家设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，可以求()P A,运用公式()1()P A P A=-，求出()P A.【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，所以232101()=15CP AC=，因此114()1()=11515P A P A=--=,故本题选A.【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.6.甲乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7．若两人各投2次，则两人投中次数相等的概率为（）A. 0.2484 B. 0.25 C. 0.90 D. 0.3924 【答案】D 【解析】【分析】根据题意，两人投中次数相等：两人两次都未投中，两人各投中一次，和两人两次都投中，进而根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得到答案．【详解】由题意，甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，则甲、乙两人各投2次：两人两次都未投中的概率：()()22010.610.70.0144P=-⨯-=；两人各投中一次的概率：()()111220.610.60.710.70.2016P C C=⨯⨯-⨯⨯⨯-=；两人两次都投中的概率：2220.60.70.1764P=⨯=. 所以，两人投中次数相等的概率为：0120.3924P P P P=++=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题.7.若10521001210(1)(1)(1)x x a a x a x a x-=+-+-+⋅⋅⋅+-，则5a为（）A. 251 B. 250 C. 252 D. 249【答案】A【解析】【分析】根据题意，5a 是展开式中()51x -的系数，因此将等式左边变形为关于1x -的二项式，再求()51x -的系数.【详解】由题意，()()1051051111x x x x -=-+--+，又()()()()10109011010101011111x C x C x C x -+=⋅-+⋅-++⋅-，()()()()55401555511111x C x C x C x -+=⋅-+⋅-++⋅-，因为，()()()21010501210111x x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，即55101251a C =-=.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理中展开式的系数，关键是将已知等价变形，得到关于()1nx -的二项式，属于基础题. 8.已知10a <<，随机变量ξ的分布列如下： ξ2- 02Pa12a - 12当a 增大时，则（ ） A. ()E ξ增加，()D ξ增加 B. ()E ξ增加，()D ξ减小 C. ()E ξ减小，()D ξ增加 D. ()E ξ减小，()D ξ减小【答案】C 【解析】 【分析】由1020a a ⎧->⎪⎨⎪>⎩，得到a 的范围，再分别求得期望和方差，然后利用一次函数和二次函数的性质求解.【详解】由1020a a ⎧->⎪⎨⎪>⎩，解得102a <<，()21ξ=-+E a ，由一次函数的性质得：当a 增大时，则()E ξ减少，()()()222211()23211248122D a a a a a a a ξ⎛⎫=-⋅+-⋅-++⋅=-++ ⎪⎝⎭，由二次函数的性质得：当a 增大时，()D ξ增加， 故选：C【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每题所给的选项中，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的不得分） 9.已知i 为虚数单位，211z i i⋅=--，则关于复数z 的说法正确的是（ ） A. 1z = B. z 对应复平面内的点在第三象限 C. z 的虚部为i - D. 0z z +=【答案】AD 【解析】 【分析】根据211z i i⋅=--，利用复数的乘除运算得到z i =-，再逐项验证. 【详解】因为211z i i⋅=--， 所以()()112i i z i --==-，所以1z =， 0z z +=，z 的虚部为-1，z 所对应的点为（0,-1），在坐标轴上， 故选：AD【点睛】本题主要考查复数的运算及概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ） A. 存在*n N ∈，展开式中有常数项； B. 对任意*n N ∈，展开式中没有常数项； C. 对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项； D. 存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．【详解】设二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为1r T +， 则3411=()()rn rr r r nr n n T C x C x x--+=，不妨令4n =，则1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误； 令3n =，则1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确． 故答案选AD【点睛】本题考查二项式定理，关键在于合理利用通项公式进行综合分析，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．11.甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以1A ，2A ，3A 表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ） A. 2()5P B =B. 15()11P B A =C. 事件B 与事件1A 相互独立D. 1A 、2A 、3A 两两互斥【答案】BD 【解析】 【分析】根据每次取一球，易得1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，求得()()()123,,p A p A p A ，然后由条件概率求得1()P B A ，123()()()()P B P BA P BA P BA =++，再逐项判断. 【详解】因为每次取一球，所以1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确；因为()()()123523,,101010p A p A p A ===， 所以11155()51011()5()1110P BA P B A P A ⨯===，故B 正确； 同理3223232434()()4410111011(),()23()11()111010P BA P BA P B A P B A P A P A ⨯⨯======， 所以1235524349()()()()10111011101122P B P BA P BA P BA =++=⨯+⨯+⨯=，故AC 错误； 故选：BD【点睛】本题主要考查互斥事件，相互独立事件，条件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12.针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人 附表：()20P K k ≥0.050 0.010 k3.8416.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A. 25B. 45C. 60D. 75【答案】BC 【解析】【分析】设男生的人数为()5n n N*∈，列出22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合题中条件可得出关于n 的不等式，解出n 的取值范围，即可得出男生人数的可能值. 【详解】设男生的人数为()5n n N *∈，根据题意列出22⨯列联表如下表所示：男生女生合计喜欢抖音4n 3n 7n 不喜欢抖音 n2n3n合计 5n 5n 10n则()221042310557321n n n n n nK n n n n ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯， 由于有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则23.841 6.632K ≤<， 即103.841 6.63221n≤<，得8.066113.9272n ≤<， n N *∈，则n 的可能取值有9、10、11、12，因此，调查人数中男生人数的可能值为45或60. 故选：BC.【点睛】本题考查利用独立性检验求出人数的可能取值，解题时要列举出22⨯列联表，并结合临界值表列不等式求解，考查计算能力，属于中等题.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，第16题第一空2分，第二空3分） 13.设221iz i-=+，则z =_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数的四则运算得出z ，再求z 即可.【详解】2222(1)2(1)(1)1221(1)(1)i i z i i i i i i i --===-=-+=-++-220(2)2z =+-=故答案为：2【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及求复数的模，属于中档题. 14.83被5除所得的余数是_____________． 【答案】1 【解析】 【分析】变形883(52)=-，利用二项式定理展开即可求出被5除所得的余数. 【详解】因为883(52)=-0817262778088888855(2)5(2)5(2)5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++⋅⨯-+⋅⨯- 071625277808888885(55(2)5(2)(2))5(2)C C C C C =⋅+⋅⨯-+⋅⨯-++-+⋅⨯-，所以转化为求80885(2)256C ⋅⨯-=被5除所得的余数，因为2565151=⨯+， 所以83被5除所得的余数是1， 故答案为：1【点睛】本题主要考查了利用二项式定理研究整除问题，考查了推理运算能力，属于中档题. 15.利用组合数的性质进行计算（结果保留数字的形式）：（1）125555512C 4C 2C +++⋅⋅⋅+=___________；（2）222223410C C C C +++⋅⋅⋅+=____________． 【答案】 (1). 243 (2). 165 【解析】 【分析】（1）逆用二项展开式公式即可求解；（2）由组合数的性质1+1m m m n n n C C C -=+即可求解.【详解】（1）由二项展开式知，12555555512C 4C 2C (12)3243+++⋅⋅⋅+=+==， （2）由组合数的性质1+1m m m n n n C C C -=+可知，222232222341033410C C C C C C C C +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ 3224410C C C =++⋅⋅⋅+ 321010C C =+311165C ==.【点睛】本题主要考查了二项展开式公式的逆用，组合数的性质，考查了计算推理能力，属于中档题.16.已知(12)n x -的展开式中，二项式系数的和为64，则它的二项展开式中，系数最大的是第__________项． 【答案】5 【解析】 【分析】根据二项式系数和求出n 的值，确定二项展开式的系数最大项在奇数项，建立不等式求解即可.【详解】由题意知，264n =，解得6n =,由(12)nx -的展开式通项公式16(2)r r r T C +=-知二项展开式的系数最大项在奇数项，设二项展开式中第1r +项的系数最大，则22662266(2)(2)(2)(2)r r r r r r r r C C C C ++--⎧--⎨--⎩， 解得4r =，故其展开式中系数最大的项第5项. 故答案为: 5【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，涉及二项展开式中二项式系数和与系数和问题，容易出错.要正确区分这两个概念.四、解答题（本大题共6小题，共70分，其中第17题10分，其余12分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上．（1）求复数； （2）若()1m iz m R i-+∈+为纯虚数， 求实数的值．【答案】（1）3z i =-.（2）5m =-. 【解析】【详解】（1）设z a bi =+，,,0a b R a ∈>， 由题意：2210a b +=.①(12)z (12)()2(2)i i i a bi a b a b +=++=-++，得22a b a b -=+② ①②联立，解得3,1a b ==- 得3z i =-.（2）()(1)1133(1)1222m i m i i m m z i i i ----++=++=++-+ 所以1302m -+=且1102m +-≠， 解得5m =-.18.从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛．（1）如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种不同选法？ （2）如果4个人中既有男生又有女生，那么有多少种不同选法？ 【答案】（1）91种；（2）120种． 【解析】 【分析】（1）用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数，即可得答案；（2）用间接法分析，先计算在9人中任选4人的选法数，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数，即可得答案.【详解】（1）先在9人中任选4人，有49126C =种选法, 其中甲乙都没有入选，即从其他7人中任选4人的选法有4735C =种, 则甲与女姓中的乙至少要有1人在内的选法有1263591-=种.（2）先在9人中任选4人，有49126C =种选法，其中只有男生的选法有455C =种，只有女生的选法有441C =种，则4人中必须既有男生又有女生的选法有12651120--=种.【点睛】本题主要考查了组合的应用，间接法，逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.19.设723456701234567(31)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++，求：（1）0246a a a a +++； （2）1357a a a a +++；（3）01234567a a a a a a a a +++++++． 【答案】（1）8128-；（2）8256；（3）16384． 【解析】 【分析】（1）取1x =和1x =-，代入计算，两式相加得到答案. （2）根据（1）中结论直接得到答案.（3）利用二项式定理的通项，考虑系数的正负，计算得到答案.【详解】（1）取1x =得到7701234567(31)2a a a a a a a a +++++++=-=， 取1x =-得到7701234567(31)4a a a a a a a a -+-+-+-=--=-，两式相加得到77024********a a a a -+++==-.（2）根据（1）知：()713570246212881288256a a a a a a a a +++=-+++=+=.（3）7(31)x -展开式的通项为：()()71731rrrr T C x -+=-，故当r 为偶数时，对应系数为正；当r 为奇数时，对应系数为负，故()()0123456713570246a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++=+++-+++()8128825616384=-=-.【点睛】本题考查了赋值法求系数和，二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.20.从2016年到2019年的某城市方便面销量情况如图所示： 年份2016201720182019时间代号t1 2 3 4 年销量y （万包） 462 444404385（1）根据上表，求y 关于t 的线性回归方程y bt a =+．用所求回归方程预测2020年（5t =）方便面在该城市的年销量；（2）某媒体记者随机对身边的10位朋友做了一次调查，其中3位受访者认为方便面是健康食品．现从这10人中抽取3人进行深度访谈，记ξ表示随机抽取的3人认为方便面是健康食品的人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．参考公式：回归方程：y bt a =+，其中121()()()niii nii t t y y b tt ==--=-∑∑，a y bt =-．参考数据：41()()135.5ii i tt y y =--=-∑．【答案】（1）27.1491.5y t =-+，356万包；（2）分布列详见解析，9()10E ξ=． 【解析】 【分析】（1）直接利用回归方程公式计算得到答案.（2）ξ的可能值为0，1，2，3，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案. 【详解】（1） 2.5t =，462444404385423.754y +++==，()()()()4222221()1 2.52 2.53 2.54 2.55i i t t =-=-+-+-+-=∑，135.527.15b -==-，423.75(27.1) 2.5491.5a =--⨯=，所以27.1491.5y t =-+. 当5t =时，27.15491.5356y =-⨯+=.（2）依题意，10人中认为方便面是健康食品的有3人，ξ的可能值为0，1，2，3，所以37310C 7(0)C 24P ξ===；1237310C C 21(1)C 40P ξ===； 2137310C C 7(2)C 40P ξ===；33310C 1(3)C 120P ξ===，故分布列为：ξ123 P72421407401120721719()012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了回归方程，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 21.某社区100名居民参加2019年国庆活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[)30,40、[)40,50、[)50,60、[)60,70、[]70,80分组，得到的频率分布直方图如图所示.（1）求a 的值，并求该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄（每个分组取中间值作代表）；（2）现从年龄在[)50,60、[]70,80的人员中按分层抽样的方法抽取8人，再从这8人中随机抽取3人进行座谈，用X 表示参与座谈的居民的年龄在[]70,80的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）若用样本的频率代替概率，用随机抽样的方法从该地30岁至80岁之间的市民中抽取20名进行调查，其中有k 名市民的年龄在[)30,50的概率为()0,1,2,,20k P k =⋅⋅⋅，当k P 最大时，求k 的值.【答案】（1）0.02a =，平均年龄54.5；（2）分布列见解析，()34E X =；（3）8k . 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图中所有矩形面积之和为1，求出a 的值，再将所有矩形底边中点值乘以矩形面积，再将所得的数相加即可得出该社区2019年国庆活动的居民的平均年龄； （2）先根据分层抽样得知，所抽取的8人中，年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人，可得出随机变量X 的可能取值为0、1、2，并利用古典概型的概率公式计算出随机变量X 分别取0、1、2时的概率，列出随机变量X 的分布列，并利用数学期望公式计算出随机变量X 的数学期望；（3）设年龄在[)30,50的人数为Y ，可知()~20,0.4Y B ，利用独立重复试验的概率公式得出()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk k k P P Y k k -===⋅⋅-=，分析出数列{}()020,k P k k N ≤≤∈的单调性，可求出k P 的最大值及对应的k 的值.【详解】（1）由频率分布直方图知()0.0050.0100.0300.035101a ++++⨯=，解得0.02a =，所以该社区参加2019年国庆活动的居民的平均年龄为()0.005350.035450.030550.020650.0107510⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯54.5=；（2）年龄在[)50,60的人数为0.0301010030⨯⨯=，年龄在[]70,80的人数为0.010*******⨯⨯=.根据分层抽样，可知年龄在[)50,60的抽取6人、年龄在[]70,80的抽取2人.所以X 的可能取值为0，1，2，且()3062385014C C C P X ===，()21623811528C C C P X ===，()1262383228C C C P X ===，所以X 的分布列为X1 2P514 1528 328所以()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=； （3）由题可知年龄在[)30,50内的频率为()0.0050.035100.4+⨯=. 设年龄在[)30,50的人数为Y ，所以()~20,0.4Y B .()()()2020C 0.410.40,1,2,,20kk kk P P Y k k -===⋅⋅-=.设()()202021111200.410.40.410.4kkk k k k k k C C P t P -----⋅⋅-==⋅⋅-()()2211,2,,203k k k-==，由1t >得8.4k <，此时1k k P P -<；由1t <得8.4k >，此时1k k P P ->. 所以当8k时，k P 最大.【点睛】本题考查频率分布直方图中平均数的计算、同时也考查了超几何分布列与二项分布的应用，在解题时要弄清随机变量所服从的概率分布类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.22.袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n 次后，袋中白球的个数记为n X ． （1）求随机变量2X 的概率分布及数学期望2()E X ； （2）求随机变量n X 的数学期望()n E X 关于n 的表达式． 【答案】（1）概率分布详见解析，2267()64E X =；（2）1357()8()88n n E X -=-． 【解析】 【分析】（1）2X 的可能取值为3，4，5，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.（2）设(3)n k P X k p =+=，则0123451p p p p p p +++++=，计算概率得到数学期望，整理化简得到17()18()n n E X E X +=+，根据数列知识得到答案.【详解】（1）由题意可知2X =3，4，5．当23X =时，即二次摸球均摸到白球，其概率是1133211889(3)64C C P X C C ==⨯=；当24X =时，即二次摸球恰好摸到一白，一黑球，其概率是1111355421111888835(4)64C C C C P X C C C C ==+=； 当25X =时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是1154211885(5)16C C P X C C ===， 所以随机变量2X 的概率分布如下表：2X345P9643564516数学期望29355267()34564641664E X =⨯+⨯+⨯=. （2）设(3)n k P X k p =+=，k =0，1，2，3，4，5．则0123451p p p p p p +++++=，012345()345678n E X p p p p p p =+++++．103(3)8n P X p +==，10154(4)88n P X p p +==+，11245(5)88n P X p p +==+， 12336(6)88n P X p p +==+，13427(7)88n P X p p +==+，14518(8)88n P X p p +==+，∴1()n E X +001122335445364()5()6()88888388p p p p p p p +⨯++⨯++⨯+=⨯34277()88p p +⨯+45188()88p p +⨯+012345293643505764888888p p p p p p =+++++ 012345012345345678)7(8p p p p p p p p p p p p +++++++++++=7()18n E X =+， 由此可知，17()8(()8)8n n E X E X +-=-，又135()88E X -=-，故{}()8n E X -是首项为358-，公比为78的等比数列， ∴1357()8()88n n E X --=-，即1357()8()88n n E X -=-. 【点睛】本题考查了分布列，数学期望，根据递推公式求通项公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，确定17()18()n n E X E X +=+是解题的关键.。

2019-2020学年江苏省泰州中学高二下学期期初检测数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省泰州中学高二下学期期初检测数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省泰州中学高二下学期期初检测数学试题一、单选题1．设复数12z i =+，设231z z +=-（ ）A ．2iB ．2i -C ．2D ．-2【答案】C【解析】()22221233144342112122i z i i i z i i i++++++====-+- 故选C2．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80【答案】C【解析】分析：写出103152r r rr T C x -+=n n ，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭n n 令103r 4-=,则r 2=所以22552240r r C C n =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

3．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C 的标准方程是（ ）A ．22112x y -=B ．22193x y -=C ．2213yx -= D ．2212332x y -= 【答案】C【解析】由双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>过点，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得：22231a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴双曲线C 的标准方程是2213y x -=故选：C4．若平面α，β的法向量分别为()12, 3.5n =-r ，()23,1,4n =--r，则（ ）A ．//αβB ．αβ⊥C ．α，β相交但不垂直D ．以上均不正确【答案】C【解析】根据法向量12,n n u r u u r的关系，判断平面,αβ的关系.【详解】()()12=2, 3.5,3,1,4n n -=--u r u u rQ 分别是平面,αβ的法向量， 且()()()12233154290n n =⨯-+-⨯+⨯-=-≠u r u u rg， 1n ∴u r 与2n u u r不垂直，α\与β不垂直. 又1n u r Q 与2n u u r不共线，α\与β不平行.α\与β相交但不垂直.故选：C . 【点睛】本题考查两平面的位置关系，属于基础题.5．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51C ．61D ．68【答案】B【解析】由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，3156a a ∴+=.()()11731517171717651222a a a a S ++⨯∴====.故选：B . 【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.6．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ）A ．7B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．7．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有（ ） A ．60种 B ．64种 C ．65种 D ．66种【答案】D【解析】由题意，4个不同的数的和为偶数，有3种情况：4个偶数、2个偶数2个奇数、4个奇数，根据分类加法计数原理和组合的知识可求. 【详解】从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数， 有3种情况：4个偶数、2个偶数2个奇数、4个奇数.所以不同的取法共有4224445566C C C C ++=种.故选：D . 【点睛】本题考查分类加法计数原理和组合，属于基础题.8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,准线为l ,且l 过点()2,3,M -在抛物线C 上,若点()1,2N ,则MN MF +的最小值为A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】由题可得,:2l x =-. 由抛物线的定义可知,2M MF x =+,所以MN MF +=2123M MN x ++≥+=.故选B ．9．在数列{}n a 中，已知对任意123,...31nn n N a a a a *∈++++=-，则2222123...n a a a a ++++=（ ）A ．()231-nB ．()1912n- C ．91n - D ．()1314n-【答案】B【解析】试题分析：由于123...31nn a a a a ++++=-，所以11231...31n n a a a a --++++=-，两式相减得123n n a -=⋅，所以2149n n a -=⋅是以4为首项，公比为9的等比数列，其前n 项和为()()419191192n n-=--.【考点】等比数列.10．已知直线2y kx =-与曲线ln y x x =相切，则实数k 的值为（ ） A ．ln 2 B ．1C ．1ln2-D ．1ln2+【答案】D【解析】由ln y x x =得'ln 1y x =+，设切点为()00,x y ，则0ln 1k x =+，000002ln y kx y x x =-⎧⎨=⎩，0002ln kx x x ∴-=，002ln k x x ∴=+，对比0ln 1k x =+，02x ∴=，ln 21k ∴=+，故选D.二、多选题11．已知0a >，0b >，给出下列四个不等式，其中正确的不等式为（ ） A．a b ++≥ B ．()114a b a b ⎛⎫++≥⎪⎝⎭；C．124aa+≥-+；D22a b≥+【答案】ABCD【解析】选项A，利用基本不等式得a b+≥，再利用基本不等式得≥B，把()11a ba b⎛⎫++⎪⎝⎭展开，利用基本不等式即可证明；选项C，由0a>，不等式显然成立；选项D，作差法证明()()22220a b ab a b+-+≥即得.【详解】对A，0,0,a b a b>>∴+≥≥=Q，当且仅当1a b=⎧⎪⎨=⎪⎩，即a b==时，等号成立.故A正确；对B，()110,0,224b aa b a ba b a b⎛⎫>>∴++=++≥+=⎪⎝⎭Q，当且仅当b aa b=，即a b=时等号成立. 故B正确；对C，10,024a aa>∴+>≥-+Q，故C正确；对D，()()()()()()222223322 0,0,0 a b a b ab a b a b a b a b a ab b>>∴+-+=--=-++≥Q，()()()()2222222222a ba b ab a b a b a bab+∴+≥+∴≥+≥+，，.故D正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查基本不等式和作差法比较大小，属于中档题.12．有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；B．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；【答案】ABC【解析】选项A ，先从6本书中分给甲（也可以是乙或丙）2本；再从其余的4本书中分给乙2本；最后的2本书给丙.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案.选项B ，先分堆再分配. 先把6本书分成3堆:4本、1本、1本；再分给甲､乙､丙三人.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本；再把其余2本分给丙丁.根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 选项D ，先分堆再分配. 先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本；再分给甲乙丙丁四人. 根据分步乘法原理把每一步的方法相乘，即得答案. 【详解】对A ，先从6本书中分给甲2本，有26C 种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有24C 种方法；最后的2本书给丙，有22C 种方法.所以不同的分配方法有22264290C C C =种，故A 正确；对B ，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有46C 种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有436390C A =种，故B 正确；对C ，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有2264C C 种方法；其余2本分给丙丁，有22A 种方法.所以不同的分配方法有222642180C C A =种，故C 正确；对D ，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有221164212222C C C C A A ⋅种方法； 再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有221146421422221080C C C C A A A ⋅⋅=种，故D 错误. 故选：ABC . 【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.三、填空题 13．关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______． 【答案】【解析】根据不等式的解集，求得的值，由此求得不等式的解集.【详解】 由于不等式的解集是，所以且，故.所求不等式可化为，即，解得.【点睛】本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题，解题过程中要注意正负号的影响. 14．已知函数()4f x x x =+,()2xg x a =+,若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,[]22,3x ∃∈,使得()()12f x g x ≤,则实数a 的取值范围是______. 【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,[]22,3x ∃∈,使得()()12f x g x ≤,即需保证,()()max max g f x x ≥.根据函数单调性分别求取()max f x 和()max g x ,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】Q 函数()4f x x x=+,是对号函数, ∴ 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,()1752f x ≤≤Q 函数()2x g x a =+是单调增函数∴ 当[]2,3x ∈,()48a g x a +≤≤+若11,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,[]22,3x ∃∈,使得()()12f x g x ≤,则需保证,()()max max g f x x ≥,故8172a +≥ 解得:12a ≥故答案为: 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题与存在解问题,掌握函数的单调性的应用和函数的最值求法是解题关键,考查等价转化思想方法与分析能力,属于中档题.15．设A，B是椭圆C：223x ym+=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是______.【答案】（0，1]∪[9，+∞）【解析】分焦点在,x y轴上两种情况进行讨论,再根据临界条件点M在椭圆的短轴端点上,进而求解m的临界值,进而求得取值范围即可.【详解】假设椭圆的焦点在x轴上,则0＜m＜3时,假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB≥120°,∠AMO≥60°,tan∠AMO3m=≥tan60°3=,解得：0＜m≤1；当椭圆的焦点在y轴上时,m＞3,假设M位于短轴的端点时,∠AMB取最大值,要使椭圆C上存在点M满足∠AMB＝120°,∠AMB ≥120°,∠AMO ≥60°,tan ∠AMO =≥tan60°=解得：m ≥9, ∴m 的取值范围是（0,1]∪[9,+∞） 故答案为：(][)0,19,+∞U 【点睛】本题主要考查了椭圆中的范围问题,主要是临界条件的分析方法,属于中档题.四、双空题 16．已知)22nx的展开式的二项式系数和比()31nx -的展开式的二项式系数和大992，则在212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数最大的项为__________，系数的绝对值最大的项为__________.【答案】8064- 415360x -【解析】由题意可得222992n n -=，求出n ，即求在212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，二项式系数最大的项.设1r T +的系数的绝对值最大，求出r ，即得答案. 【详解】由题意可得222992n n -=，即()()232231992,232,5nnnn -+=∴=∴=.由二项式系数的性质可知，1012x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第6项的二项式系数最大，∴二项式系数最大的项为()55555610101228064T C x C x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.设1r T +的系数的绝对值最大，又()()2010102110101212rrr r r r rr T C x C xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. ()()101101101010110110102222r r rr r r r r C C C C -----+-+⎧≥⎪∴⎨≥⎪⎩，即()1122110r r r r -≥⎧⎨+≥-⎩，解得811,,333r r N r ≤≤∈∴=Q . 4T ∴的系数的绝对值最大， ()3103310644101215360T C x x --=-=-.所以系数的绝对值最大的项为415360x -. 故答案为：8064-；415360x -. 【点睛】本题考查二项式系数和二项式定理的通项公式，属于中档题.五、解答题17．已知复数，是实数，是虚数单位．（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】（1）z=﹣2i．（2）m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．【解析】【试题分析】（1）将代入，再借助是实数，其虚部为0建立方程求出的值；（2）将代入，借助其表示的点在第一象限建立不等式组，通过解不等式组求出的取值范围：解：（1）∵z=bi（b∈R），∴===．又∵是实数，∴，∴b=﹣2，即z=﹣2i．（2）∵z=﹣2i，m∈R，∴（m+z）2=（m﹣2i）2=m2﹣4mi+4i2=（m2﹣4）﹣4mi，又∵复数所表示的点在第一象限，∴，解得m＜﹣2，即m∈（﹣∞，﹣2）时，复数所表示的点在第一象限．18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(2)全体站成一排，女生必须站在一起；(3)全体站成一排，男生互不相邻．【答案】（1）3600（2）576（3）1440【解析】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2) 根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A种方法，故共有5×A＝3 600种方法．(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A种方法，再将4名女生进行全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种方法．(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A 种方法，故共有A ×A ＝1 440种方法．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.19．（1）求9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项；（2）已知92a x x ⎛ ⎝的展开式中3x 的系数为94，求常数a 的值； （3）求()5232x x ++的展开式中x 的系数.【答案】（1）2116；（2）4；（3）240. 【解析】（1）求出展开式的通项1r T +，令x 的次数为0，求出r ，即求常数项； （2）求出展开式的通项1r T +，令x 的次数为3，求出r ，根据其系数为94，即求a ； （3）由()()()55523212x x x x ++=++可知，展开式中含x 的项是：()51x +展开式中的一次项与()52x +展开式中的常数项之积；()51x +展开式中的常数项与()52x +展开式中的一次项之积，可求x 的系数. 【详解】（1）9212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()9218319911C C 22r rr r r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令1830r -=，得6r =，即第7项为常数项.6679121C 216T ⎛⎫∴=-=⎪⎝⎭，即常数项为2116.（2）92a x x ⎛- ⎝的展开式的通项为93992199T =C 22rrrr rr r r a x a C x x ---+⎛⎛⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎝， 令3932r -=，8r ∴=. ∴8899C 42a ⎛= ⎝，∴4a =.（3）∵()()()55523212x x x x ++=++，()5232x x ∴++的展开式中含x 的项是：()51x +展开式中的一次项与()52x +展开式中的常数项之积；()51x +展开式中的常数项与()52x +展开式中的一次项之积.∴x 的系数为4555445555C C 2C C 2240⋅⋅+⋅⋅=.【点睛】本题考查二项式定理的通项公式，属于中档题.20．如图，PA ⊥平面ADE ，,B C 分别是,AE DE 的中点，AE AD ⊥，2AD AE AP ===.（1）求二面角A PE D --的余弦值；（2）点Q 是线段BP 上的动点，当直线CQ 与DP 所成的角最小时，求线段BQ 的长.【答案】（1）33；（2）552． 【解析】试题分析：先利用所给的垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标（1）判定AD u u u r 是平面PAB 的一个法向量，求出平面PED 的一个法向量，利用平面的法向量求二面角的余弦值；（2）先利用三点共线设出点Q 的坐标，利用空间向量的夹角公式得到函数关系式，利用二次函数求其最值． 试题解析：以{,,}AB AD AP u u u r u u u r u u u r 为正交基底建立空间直角坐标系Axyz ，则各点的坐标为(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ．（Ⅰ）因为AD ⊥平面PAB ，所以AD u u u r是平面PAB 的一个法向量，(0,2,0)AD =u u u r ．因为(1,1,2)PC =-u u u r，(0,2,2)PD =-u u u r．设平面PED 的法向量为(,,)m x y z =u r，则0m PC ⋅=u r u u u r ，0m PD ⋅=u r u u u r，即20,220.x y z y z +-=⎧⎨-=⎩令1y =，解得1,1z x == 所以(1,1,1)m =u r是平面PCD 的一个法向量． 从而3cos ,AD m =u u u r u r 所以二面角A PE D --的余弦值为3（Ⅱ）因为(1,0,2)BP =-u u u r，设BQ BP λ=u u u r u u u r(,0,2)(01)λλλ=-≤≤，又(0,1,0)CB =-u u u r，则CQ CB BQ =+u u u r u u u r u u u r(,1,2)λλ=--，又(0,2,2)DP =-u u u r ，从而2cos ,102CQ DP CQ DP CQ DP λ⋅=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设12,[1,3]t t λ+=∈, 则 2222229cos ,15205109109()99t CQ DP t t t ==≤-+-+u u u r u u u r当且仅当95t =，即25λ=时，cos ,CQ DP u u u r u u u r 的最大值为310.因为cos y x =在(0,)2π上是减函数，此时直线CQ 与DP 所成角取得最小值．又因为5BP =2255BQ BP ==【考点】空间向量在立体几何中的应用【方法点睛】本题考查利用空间向量求异面直线所成的角、二面角，属于中档题；处理空间角或空间距离时，往往借助空间向量法，即先利用空间中的垂直关系建立适当的空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，再利用相关公式进行求解，但要注意的是空间角和向量角的区别.21．已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，其前n 项和为n S ， 且2315a a =n ，416S = (1)求数列{}n a 的通项公式．(2)设数列{}n b 满足11b a =，111n n n n b b a a ++-=n①求数列{}n b 的通项公式；②是否存在正整数()m n m n ≠，，使得2b ，m b ，n b 成等差数列？若存在，求出m n ，的值；若不存在，请说明理由． 【答案】⑴21n a n =-；(2)①()*3221n n b n N n -=∈-；②见解析【解析】（1）直接由2315a a =n ，416S =列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得结论；（2）①把数列{}n a 的通项公式代入111n n n n b b a a ++-=⋅ ,然后裂项，累加后即可求得数列{}n b 的通项公式；②假设存在正整数(),m n m n ≠,使得2,,m n b b b 成等差数列，则22m n m b b b b ++=，由此列关于m 的方程，求解得结论. 【详解】⑴由()()11121543162a d a d a d ⎧++=⎪⎨⨯+=⎪⎩得112a d =⎧⎨=⎩ 所以21n a n =- (2)①因为()()11111212122121n n b b n n n n +⎛⎫-==- ⎪-+-+⎝⎭则21111213b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，32111235b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭... ()1111222321n n b b n n n -⎛⎫-=-≥ ⎪--⎝⎭各式相加得1111221n b b n ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，所以()32221n n b n n -=≥- 又11b =符合上式， 所以()*3221n n b n N n -=∈-；②存在正整数()m n m n ≠，，使得2b ，m b ，n b 成等差数列， 则22n m b b b +=，即43232232121n m n m --⎛⎫+= ⎪--⎝⎭化解整理可得()111216221m n =+--，因为()1112,622163n ⎛⎤+∈ ⎥-⎦⎝ 所以1126213m <≤-，所以32162m ≤-<，得5742m ≤<， 所以2m =或3当2m =时，2n =，不合题意，舍去 故存在3m =，8n = 【点睛】本题主要考查等差数列的通项，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k=； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.22．平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221(0)x y b b αα+=>>12）在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆E ：2222144x y a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .（ⅰ）求OQ OP的值；（ⅱ）求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（ⅰ）2OQ OP =；（ⅱ） 【解析】【详解】（Ⅰ）由题意知22311,4a b +=又2a =，解得224,1a b ==， 所以椭圆C 的方程为22 1.4x y +=（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆E 的方程为221164x y +=.（ⅰ）设00(,),,OQ P x y OPλ=由题意知00(,)λλ--Q x y .因为2200 1.4x y +=又2200()()1164λλ--+=x y ，即22200() 1.44x y λ+=所以2λ=，即2.OQ OP=（ⅱ）设1122(,),(,),A x y B x y 将y kx m =+代入椭圆E 的方程，可得222(14)84160k x kmx m +++-=，由0,∆>可得22416m k <+①则有21212228416,.1414km m x x x x k k -+=-=++所以12214x x k-=+因为直线y kx m =+与y 轴交点的坐标为(0,)m ，所以OAB ∆的面积1212S m x x =-===设22.14m t k=+将直线y kx m =+代入椭圆C 的方程，可得222(14)8440k x kmx m +++-=，由0,∆≥可得2214m k ≤+②由①②可知01,t S <≤==故S ≤当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值由（Ⅰ）知，ABQ ∆的面积为3S ，所以ABQ ∆面积的最大值为【考点】1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.距离与三角形面积；4.转化与化归思想.。

2020届泰州市高二下期末联考数学试卷(文)有答案

2020届泰州市高二下期末联考数学试卷(文)有答案

泰州市第二学期期末考试 高二数学（文科）试题(考试时间：120分钟 总分：160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．（参考公式：样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．）一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．已知集合}{1,0,1A =-，{}0,1,2B =，则A B =U ▲． 2．函数2()1f x x =-的定义域为 ▲． 3．命题“x ∀∈R ，21x ≥”的否定是 ▲．4．已知幂函数()f x 的图象过点(2,4)，则(3)f 的值是 ▲．5．用系统抽样的方法从某校600名高二学生中抽取容量为20的样本，将600名学生随机编 号为1～600，按编号顺序平均分为20个组（1～30号，31～60号，……，571～600号）， 若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为2，则第4组抽取的号 码为 ▲．6．根据如图所示的伪代码，可知输出的S 的值是 ▲．7．已知某学生准备利用暑假时间到北京研学旅游，其乘火车、汽车、飞机去的概率分别为0.5，0.2，0.3，则这名学生不乘汽车的概率为 ▲． 8．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数，若(2)(0)(3)2f f f -++=，则(2)(3)f f -的值是 ▲． 9．为了了解某校高二年级300名男生的健康状况，随机抽测了其中50 名学生的身高（单位：cm ），所得数据均在区间[155,185]上，其频率分布直方图（部分图形）如图所示，则估计该校高二年级身高在180 cm 以上的男生人数为 ▲．10．已知某市2016年6月26日到6月30日的最高气温依次为28 C ︒，29 C ︒，25 C ︒，25 C ︒，28 C ︒，那么这5天最高气温的方差为 ▲．（单位：2(C)︒）11．已知定义在R 上的函数3()21f x x x =-+，若方程()10f x a x --=恰有4个互不相等的实数根，则所有满足条件的实数a 组成的集合为 ▲．12．已知0a >，函数322114, 1,323()1(1)ln , 1,2a x x ax x f x a x x ax x -⎧-++-≤⎪⎪=⎨⎪-+->⎪⎩若()f x 在区间(,2)a a -上单调递增，则实数a 的取值范围是 ▲．0S ←1i ←While 5i ≤2S S i ←+2i i ←+End While Print S（第6题）二、解答题（本大题共8小题，共100分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 13．（本小题满分12分）已知集合}{13A x x =≤≤，}{1B x =. （1）求A B I ；（2）若A B I 是集合{}x x a ≥的子集，求实数a 的取值范围．14．（本小题满分12分）一根直木棍长为6 m ，现将其锯为2段．（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2 m 的概率； （2）求锯成的两段木棍的长度均大于2 m 的概率．15．（本小题满分12分）已知:p 11x -≤≤， :q e x a b ≤≤，其中a ，b 为实数． （1）若p 是q 的充要条件，求ab 的值；（2）若1a =，2e b =，且p ，q 中恰有一个为真命题，求实数x 的范围．16．（本小题满分12分） （1）求lg4lg50lg2+-的值；（2）若实数a ，b 满足2361log 2log log ()a b a b +=+=+，求11a b+的值．17．（本小题满分12分）已知1是函数3()3f x ax x =-的一个极值点，其中a 为实数．（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在区间[2,2]-上的最大值．18．（本小题满分12分）某公司科技小组研发一个新项目，预计能获得不少于1万元且不多于5万元的投资收益，公司拟对研发小组实施奖励，奖励金额y （单位：万元）和投资收益x （单位：万元）近似满足函数()y f x =，奖励方案满足如下两个标准：①()f x 为单调递增函数，②0()f x kx ≤≤，其中0k >．（1）若12k =，试判断函数()f x 是否符合奖励方案，并说明理由； （2）若函数()ln f x x =符合奖励方案，求实数k 的最小值．19.（本题满分14分）已知函数2()f x x ax =-，x ∈R ，其中0a >． （1）若函数()f x 在R 上的最小值是1-，求实数a 的值；（2）若存在两个不同的点(,)m n ，(,)n m 同时在曲线()f x 上，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）已知函数()e ln x f x a x b =-+，0x >，其中0a >，b ∈R ． （1）若1a b ==，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明：存在唯一的正实数0x ，使函数()f x 在0x 处取得极小值；（3）若0a b +=，且函数()f x 有2个互不相同的零点，求实数a 的取值范围．高二数学（文科）答案一、填空题1．}{1,0,1,2- 2．[1,1]- 3．x ∃∈R ，21x < 4．9 5．92 6．35 7．0.8 8．2- 9．30 10．14511．51,4⎧⎫⎨⎬⎭⎩ 12．10(0,]9二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）13．解：（1）∵{ 1 }B x =≥，∴{ 2 }B x x =≥， …………3分 ∵{ 1 3 }A x x =≤≤，∴{ 2 3 }A B x x =≤≤I ． …………7分 （2）由（１）得：{ 2 3 }A B x x =≤≤I ， ∴集合{ 2 3 }x x ≤≤是集合{}x x a ≥的子集，∴2a ≤． …………12分 14．解：（1）∵两段木棍的长度均为正整数，∴两段木棍的长度分别为1 m 和5 m ，2 m 和4 m ，3 m 和3 m ，4 m 和2 m ，5 m 和1 m ，共计5种可能的情况， …………2分其中恰有一段长度为2 m 的情况共计2种， …………4分 记“若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m ”为事件A ， ∴2()5P A =， …………6分 答：若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2 m 的概率为25． …………7分 （2）记“锯成的两段木棍的长度均大于2 m ”为事件B ， ∴21()63P B ==， …………11分 答：锯成的两段木棍的长度均大于2 m 的概率为13． …………12分15．解：（1）∵:p 11x -≤≤，且p 是q 的充要条件，∴q 等价于11e e e x -≤≤， …………3分 ∴1e a -=，1e b =，∴1ab =． …………6分 （2）由题意得:q 21e e x ≤≤，即:q 02x ≤≤，∵p ，q 中恰有一个为真命题， …………7分 当p 真，q 假时，∴11, 02,x x x -≤≤⎧⎨<>⎩或 即10x -≤<， …………9分当p 假，q 真时，∴11, 02, x x x <->⎧⎨≤≤⎩或即12x <≤， …………11分综上所述：实数x 的范围为[1,0)(1,2]-U ． …………12分 16．解：（1）原式=2lg2lg51lg22++-=， …………6分 （2）设2361log 2log log ()a b a b k +=+=+=， ∴122,3,6k k k a b a b --==+=，∴121161823k k k a b a b ab --++===⋅． …………12分 17．解：（1）∵3()3f x ax x =-，∴2()33f x ax '=-， …………2分 ∵1是函数3()3f x ax x =-的一个极值点，∴(1)0f '=， …………3分 ∴330a -=，∴1a =， …………5分 当1a =时，2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，满足题意． …………6分 （2）由（1）得：2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+， 令()0f x '=，∴11x =-，21x =， …………8分10分∵(1)2f -=，(2)2f =，∴()f x 在区间[2,2]-上的最大值是2． …………12分18．解：（1）∵()f x =， ∴()0f x '>，∴函数()f x =是区间[1,5]上的单调递增函数，满足标准①， …………2分当[1,4)x ∈时，1()2f x x x =>，不满足标准②，综上所述：()f x = …………4分 （2）∵函数()ln f x x =符合奖励标准， ∴()f x kx ≤，即ln x kx ≤， ∴ln xk x≥， …………6分 ∴设ln ()xg x x=，[1,5]x ∈， ∴21ln ()xg x x -'=， 令()0g x '=，∴x e =，…………8分∴ln ()x g x x =的极大值是1(e)eg =，且为最大值， ∴1ek ≥， …………10分 又∵函数()ln f x x =，[1,5]x ∈， ∴1()0f x x'=>，∴函数()f x 在区间[1,5]上单调递增，满足标准①， ∵[1,5]x ∈，∴()ln 0f x x =≥，综上所述：实数k 的最小值是1e． …………12分19．解：（1）∵22()()24a a f x x ax x =-=--，x ∈R ，∴当2ax =时，2min ()14a f x =-=-， …………2分∵0a >，∴2a =． …………4分 （2）∵(,)m n ，(,)n m 同时在函数()f x 的图象上，∴22,,m am n n an m ⎧-=⎨-=⎩…………6分∴22()()m n a m n n m ---=-， …………7分 ∵m n ≠，∴1m n a +-=-，且12a m -≠，∴1n a m =--， …………9分 ∴21m am a m -=--，∴方程2(1)10m a m a +-+-=有解，12a m -≠， …………11分 ∴2(1)4(1)0a a ---≥，且211()(1)()1022a a a a --+-+-≠ ∴14a -≥或10a -≤，且3,1a ≠-， …………13分 ∵0a >，∴1a >． …………14分 （注：若没有考虑12a m -≠，得到1a ≥，扣2分） 20．解：∵()e ln x f x a x b =-+， ∴()e x a f x x'=-， （1）∵1a b ==，∴()e ln 1x f x x =-+，1()e x f x x'=-， …………2分 ∴切点为(1,(1))f ，即(1,e 1)+，切线的斜率为(1)f '，即切线的斜率为e 1-， ∴函数()f x 在1x =处的切线方程为(e 1)(e 1)(1)y x -+=--，即(e 1)2y x =-+． …………4分 （2）令()0f x '=，得e 0x x a -=， 设()e x h x x a =-，0x >，∴()(1)e 0x h x x '=+>，∴()h x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∵(0)0h a =-<，()(e 1)0a h a a =->，∴(0)()0h h a <，且()h x 在区间(0,)+∞上的图象不间断，∴存在唯一的0(0,)x a ∈，使0()0h x =， …………6分0(0,)x ∈+∞，使函数()f x 在0x x =处取得极小∴存在唯一的值． …………8分（3）∵0a b +=，∴()e ln xf x a x a =--，0x >， ∴e ()e x xa x af x x x-'=-=，由（2）可得：函数()f x 的极小值为0()f x ，且00e 0x x a -=， ∴0000000()e ln e (1ln )x x f x a x a x x x =--=--， 设()1ln r x x x x =--，0x >，∴()ln 2r x x '=--，∴当20e x -<<时，()0r x '>，当2e x ->时，()0r x '<， …………10分 由（2）可得：函数()e x h x x a =-在区间(0,)+∞上单调递增， （ⅰ）当0e a <≤时，∵00e x a x e =≤，∴0()(1)h x h ≤，∴001x <≤， ∴00000()e [(1)(ln )]0x f x x x x =-->，∴当0x >，()0f x >，无零点， …………12分 （ⅱ）当e a >时，∵00e e x a x =>，∴0()(1)h x h >，∴01x >， ∵()1ln r x x x x =--在区间(1,)+∞上单调递减， ∴0()(1)0r x r <=， ∴000()e ()0x f x r x =<，∵1111()e ln e (ln 1)0aa f a a a a a a =--=+->，其中010x a<<，∴01()()0f f x a<，且函数()f x 在区间上0(0,)x 单调递减，图象不间断，∴()f x 在区间上0(0,)x 上有唯一的零点， 又∵()e ln a f a a a a =--，e a >，设()e ln a t a a a a =--，e a >，∴()e ln 2a t a a '=--， ∵e 11(e ln 2)e e 0ea a a a '--=->->，∴()e ln 2at a a '=--在区间(e,)+∞上单调递增， ∴e ()(e)e 30t a t ''>=->，∴()e ln a t a a a a =--在区间(e,)+∞上单调递增， ∴e ()(e)e 20t a t e >=->，即()0f a >， 又∵000e x a x x =>，∵0()()0f x f a <，且函数()f x 在区间上0(,)x +∞单调递增，图象不间断， ∴()f x 在区间上0(,)x +∞上有唯一的零点，综上所述：函数()f x 有2个互不相同的零点时，实数a 的取值范围为(e,)+∞．……16分。

江苏省常州市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题 Word版含解析

江苏省常州教育学会学业水平测试2019—2020学年度第二学期（期末）高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从5名男生和4名女生中，选出男女各1名学生主持某次活动，不同的选法种数为 A ．9 B ．10 C ．20 D ．40 2．若326n n A C =，则n 的值为A ．4B ．5C ．6D ．73．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A ，“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B ，则P(B ∣A)＝ A ．12 B ．13 C ．14 D ．164．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法的种数有 A ．15 B ．45 C ．90 D ．5405．函数22()e xx xf x +=的大致图象是6．对某同学7次考试的数学成绩x 和物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．发现他的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为y ＝0.5x a +，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是A ．114.5B ．115C ．115.5D ．116 7．已知函数3()31f x ax x =++的极大值与极小值的差为4，则实数a 的值为 A ．﹣1 B ．14-C ．14D ．18．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉 三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1， 1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为 A ．363C B ．463CC ．364C D ．464C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列求导数运算不正确的是A ．(sin )cos x x '=-B ．2ln 2(log )x x'=C ．2ln 1ln ()x x x x+'= D ．2121(e )2e x x ++'= 10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N(105，100)，其中90分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，2σ)，则P(μσξμσ-<<+)＝0.6826， P(22μσξμσ-<<+)＝0.9544，P(33μσξμσ-<<+)＝0.9974． A ．该市学生数学成绩的期望为105 B ．该市学生数学成绩的标准差为100 C ．该市学生数学成绩及格率超过0.99D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 11．已知复数8i2iz +=-，其中i 是虚数单位，则以下说法正确的是 A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为2iC ．复数z 的模为13D ．复数z 的共轭复数32i z =-+12．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是 A ．41139488A A A A +⋅⋅ B ．41439498()A A A A +- C ．54143109498()A A A A A -+- D ．54143109598()A A A A A --- 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知2()nx x+的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 ．第8题14．有一个活动小组有6名男生和4名女生，从中任选3名学生，至多选中2名男生的概率为 ． 15．已知函数()e ln xf x a x =+，若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x b =+，则a ＋b ＝ ．16若a ＝2b ＝3c ，则E(X)为 ；若b ＝12，V(X)的最大值为 ． （本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分10分）已知22(815)(56)i z m m m m =-++-+,其中i 是虚数单位，m 为实数．（1）当z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z ·i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求m 的取值范围． 18．（本题满分12分）江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表．（（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由．附：对于2×2列联表有22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．19．已知函数21()(1)ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R ． （1）若m ＝﹣1，求函数()f x 在区间[1e，e]上的最小值； （2）若m ＞0，求函数()f x 的单调增区间． 20．（本题满分12分）已知2012(1)nn n x a a x a x a x +=++++，n N *∈．（1）当7n =时，求1357a a a a +++的值； （2）求01235(21)n a a a n a +++++．21．（本题满分12分）常州别称龙城，是一座有着3200多年历史的文化古城．常州既有春秋淹城、天宁寺等名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中23的人计划只游览中华恐龙园，另外13的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺．每位游客若只游览中华恐龙园，得1分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得2分．假设每位首次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率．（1）有2名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率；（2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的概率分布和数学期望． 22．（本题满分12分）已知函数()()e xf x x a b =++，a ，b ∈R ．（1）若a ＝1，求关于x 的不等式()(0)f x f >的解集；（2）若1e a b +=，讨论函数()f x 的零点个数．江苏省常州教育学会学业水平测试2019—2020学年度第二学期（期末）高二数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．从5名男生和4名女生中，选出男女各1名学生主持某次活动，不同的选法种数为 A ．9 B ．10 C ．20 D ．40 答案：C考点：分步计数原理解析：5×4＝20，故选C ． 2．若326n n A C =，则n 的值为A ．4B ．5C ．6D ．7 答案：B考点：排列公式与组合公式解析：由326n n A C =得(1)(1)(2)62n n n n n ---=⨯，解得n ＝5，故选B ． 3．同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上的点数为奇数”为事件A ，“两颗骰子的点数之积为奇数”为事件B ，则P(B ∣A)＝ A ．12 B ．13 C ．14 D ．16答案：A考点：条件概率解析：1()2P A =，91()364P B ==，1()14()1()22P B P B A P A ===，故选A ．4．某年级有6个班级，3位数学教师，每位教师任教2个班级，则不同分法的种数有 A ．15 B ．45 C ．90 D ．540 答案：C 考点：组合解析：222642156190C C C =⨯⨯=，故选C ．5．函数22()e xx xf x +=的大致图象是答案：A考点：利用导数研究函数的性质解析：∵22()e x x x f x +=，∴22()exx f x -'=，列表如下：故选A ．6．对某同学7次考试的数学成绩x 和物理成绩y 进行分析，下面是该生7次考试的成绩．发现他的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，利用最小二乘法得到线性回归方程为y ＝0.5x a +，若该生的数学成绩达到130分，估计他的物理成绩大约是A ．114.5B ．115C ．115.5D ．116 答案：B考点：线性回归方程解析：100x =，100y =，所以0.51000.510050a y x =-=-⨯=，0.513050115y =⨯+=，故选B ．7．已知函数3()31f x ax x =++的极大值与极小值的差为4，则实数a 的值为 A ．﹣1 B ．14- C ．14D ．1 答案：A考点：利用导数研究函数的极值解析：∵3()31f x ax x =++，∴2()33f x ax '=+，令()0f x '=，解得1x a=±-， ∴11()()f f a a ---- 111111()()3()()()3()4a a aa a a a a=⨯--+--⨯------= 解得a ＝﹣1，故选A ．8．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的 数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉 三角形”．若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1， 1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为 A ．363C B ．463CC ．364C D ．464C 答案：A考点：二项式定理解析：第2020项是第64行的第4个数字，即为363C ，故选A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列求导数运算不正确的是A ．(sin )cos x x '=-B ．2ln 2(log )x x'=C ．2ln 1ln ()x x x x+'= D ．2121(e )2e x x ++'= 答案：ABC考点：导数的运算解析：选项A ，(sin )cos x x '=，故A 错误；选项B ，21(log )ln 2x x '=，故B 错误； 选项C ，2ln 1ln ()x xx x -'=，故C 错误； 选项D 错误，故本题选ABC ．10．已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X 服从正态分布N(105，100)，其中90第8题分为及格线，120 分为优秀线，下列说法正确的是附：随机变量ξ服从正态分布N(μ，2σ)，则P(μσξμσ-<<+)＝0.6826，P(22μσξμσ-<<+)＝0.9544，P(33μσξμσ-<<+)＝0.9974．A ．该市学生数学成绩的期望为105B ．该市学生数学成绩的标准差为100C ．该市学生数学成绩及格率超过0.99D ．该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 答案：AD考点：正态分布解析：期望为105，选项A 正确；方差为100，标准差为10，选项B 错误；该市85分以上占97.72%，故C 错误；根据对称性可判断选项D 正确，故选AD ． 11．已知复数8i2iz +=-，其中i 是虚数单位，则以下说法正确的是 A ．复数z 的实部为3 B ．复数z 的虚部为2iC ．复数zD ．复数z 的共轭复数32i z =-+ 答案：AC 考点：复数解析：8i32i 2iz +==+-，故实部为3，虚部为2，z ==32i z =-，故AC 正确．12．由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数的个数是 A ．41139488A A A A +⋅⋅ B ．41439498()A A A A +- C ．54143109498()A A A A A -+- D ．54143109598()A A A A A --- 答案：ABD 考点：排列解析：如果个位是0，有49A 个，如果个位不是0，有113488A A A ⋅⋅个，故A 正确；由于13438898A A A A ⋅=-，故B 正确；由于5441099A A A -≠，故C 错误；由于541433411310959889488()41A A A A A A A A A A ---==+⋅⋅，故D 正确．故选ABD ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知2(nx+的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则展开式中常数项为 ．答案：45考点：二项式定理解析：4610nnC C n =⇒=，52021021()r r rr rr nn T C x C x --+==，520082r r -=⇒=，82101045C x C ==．14．有一个活动小组有6名男生和4名女生，从中任选3名学生，至多选中2名男生的概率为 ． 答案：56考点：概率解析：3064310516C C P C =-=． 15．已知函数()e ln xf x a x =+，若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y x b =+，则a ＋b ＝ ．答案：0考点：利用导数研究函数的切线解析：∵()e ln xf x a x =+，∴()e xaf x x'=+，(1)e 1f a '=+=， ∴e 1b =+，∴a ＋b ＝0．16若a ＝2b ＝3c ，则E(X)为 ；若b ＝12，V(X)的最大值为 ． （本小题第一空2分，第二空3分） 答案：411-，12考点：随机变量的均值与方差解析：由a ＝2b ＝3c ，1a b c ++=，解得611a =，311b =，211c =， ∴6324()10111111111E X =-⨯+⨯+⨯=-， b ＝12时，12a c +=，()101E X abc a c =-⨯+⨯+⨯=-+，2222()(1)01E X a b c a c =-⨯+⨯+⨯=+， 222()()()()V X E X E X a c a c =-=+--+，把12a c =-代入得， 211()(2)22V X c =--，14c =时，V(X)有最大值，为12． 四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知22(815)(56)i z m m m m =-++-+,其中i 是虚数单位，m 为实数． （1）当z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z ·i 在复平面内对应的点位于第二象限时，求m 的取值范围．解：（1）因为z 为纯虚数，所以2281503523560m m m m m m m m ⎧-+===⎧⎪⇒⎨⎨≠≠-+≠⎪⎩⎩或且综上可得，当z 为纯虚数时m ＝5；（2）因为22i (815)i (56)z m m m m ⋅=-+--+在复平面内对应的点位于第二象限，2281505332(56)0m m m m m m m m ⎧-+>><⎧⎪⇒⎨⎨><--+<⎪⎩⎩或或，即m ＜2或者m ＞5， 所以m 的取值范围为(-∞，2)(5，+∞)．18．（本题满分12分）江苏省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“3＋1＋2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目，某校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，随机抽取了100名学生进行问卷调查，如下表是根据调查结果得到的2×2列联表．（（2）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由．有22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．解：（1）随机抽取的100名学生中女生为40人，则男生有100﹣40＝60人，所以m ＝60，b ＝10，c ＝20； （2）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：则K 2的观测值：22100(50201020)12.770306040K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 因为12.7＞7.879，所以有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．19．（本题满分12分）已知函数21()(1)ln 2f x x m x m x =-++，m ∈R ． （1）若m ＝﹣1，求函数()f x 在区间[1e ，e]上的最小值； （2）若m ＞0，求函数()f x 的单调增区间．解：（1）m ＝﹣1时，21()ln 2f x x x =-，(1)(1)()x x f x x +-'=，x ∈[1e，e]， 令()0f x '=得1x =-（舍去）或者1x =，列表如下：所以，当x ＝1时，函数()f x 的最小值为1(1)2f =， （2）(1)()()x x m f x x--'=，x ＞0 ①当m ＝1时，对任意x ＞0，都有()0f x '≥恒成立(当且仅当x ＝1时，()0f x '=) 则函数()f x 在区间(0，+∞)上单调递增；②当m ＞1时，令()0f x '>，得x ＜1或x ＞m ；则函数()f x 在区间(0，1)，(m ，+∞)上单调递增；③当0＜m ＜1时，令()0f x '>，得x ＜m 或x ＞1；则函数()f x 在区间(0，m )，(1，+∞)上单调递增；综上可得，当m ＝1时，函数()f x 的单调增区间为(0，+∞)；当m ＞1时，函数()f x 的单调增区间为(0，1)，(m ，+∞)；当0＜m ＜1时，函数()f x 的单调增区间为(0，m )，(1，+∞)．20．（本题满分12分）已知2012(1)n n n x a a x a x a x +=++++，n N *∈．（1）当7n =时，求1357a a a a +++的值；（2）求01235(21)n a a a n a +++++． 解：（1）当n ＝7时，7270127(1)x a a x a x a x +=++++， 令x ＝1，有7012345672a a a a a a a a =+++++++，①令x ＝﹣1，有012345670a a a a a a a a =-+-+-+-，②①﹣②得7135722()a a a a =+++，所以61357264a a a a +++==，（2）由题意，i i n a C =，可得i n i a a -=，i ＝0，1，2，3，…，n ，记01235(21)(21)i n S a a a i a n a =++++++++，则210(21)[2()1]53n n i S n a n i a a a a -=+++-+++++012(21)(21)(23)[2()1]i n n a n a n a n i a a =++-+-++-+++ 所以0122(22)()n S n a a a a =+++++， 令x ＝1得，0122n n a a a a ++++=， 所以01235(21)(21)(1)2n i n a a a i a n a S n ++++++++==+． 21．（本题满分12分）常州别称龙城，是一座有着3200多年历史的文化古城．常州既有春秋淹城、天宁寺等名胜古迹，又有中华恐龙园、嬉戏谷等游乐景点，每年都有大量游客来常州参观旅游．为合理配置旅游资源，管理部门对首次来中华恐龙园游览的游客进行了问卷调查，据统计，其中23的人计划只游览中华恐龙园，另外13的人计划既游览中华恐龙园又参观天宁寺．每位游客若只游览中华恐龙园，得1分；若既游览中华恐龙园又参观天宁寺，得2分．假设每位首次来中华恐龙园游览的游客均按照计划进行，且是否参观天宁寺相互独立，视频率为概率．（1）有2名首次来中华恐龙园游览的游客是拼车到常州的，求“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率；（2）从首次来中华恐龙园游览的游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X ，求X 的概率分布和数学期望．解：（1）由题意，每位游客只游览中华恐龙园的概率为23，既游览中华恐龙园又参观天宁寺的概率为13记两位游客中一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件A ，则P(A)＝13， 另一位游客“既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件B ，则P(B)＝13， 所以“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”为事件AB ，因为游客是否参观天宁寺相互独立，所以P(AB)＝P(A)P(B)＝111=339⨯， 答：“这2名游客都是既游览中华恐龙园又参观天宁寺”的概率为19， （2）随机变量X 的可能取值为3，4，5，6，3303218(3)()()3327P X C ===，2213214(4)()()339P X C ===， 1123212(5)()()339P X C ===，0033211(6)()()3327P X C ===， ∴X 的概率分布为：所以E(X)＝84213456279927⨯+⨯+⨯+⨯＝4 答：X 的数学期望为4．22．（本题满分12分）已知函数()()e x f x x a b =++，a ，b ∈R ．（1）若a ＝1，求关于x 的不等式()(0)f x f >的解集；（2）若1e a b +=，讨论函数()f x 的零点个数．解：（1）a ＝1时，()(1)e x f x x b =++，()(2)e x f x x '=+，当x ＞﹣2时，()0f x '>，所以()f x 在区间(﹣2，+∞)上单调递增，由()(0)f x f >得x ＞0；当x ≤﹣2时，(1)e 0x x +<，此时()()e 1(0)x f x x a b b b f =++<<+=，综上可得，不等式()(0)f x f >的解集为(0，+∞)；（2）1e a b +=时，1()()e e x a f x x a +=++，()(1)e xf x x a '=++，令()0f x '=得x ＝﹣a ﹣1，列表如下：所以，当x ＝﹣a ﹣1时，函数()f x 的极小值为11(1)e e a a f a --+--=-+； ①当11(1)e e 0a a f a --+--=-+>即1a >-时，对任意x ∈R ，都有()(1)0f x f a ≥-->恒成立，从而函数()f x 无零点，②当11(1)e e 0a a f a --+--=-+=即1a =-时，对任意x ∈R ，都有()(1)0f x f a ≥--≥恒成立（当且仅当x ＝0时，()0f x =），从而函数()f x 的零点个数为1，③当11(1)e e 0a a f a --+--=-+<即1a <-时，在区间[﹣a ﹣1，﹣a ]上，函数()f x 图象是连续不断的一条曲线，其中(1)0f a --< 1()e 0a f a +-=>，函数()f x 在区间[﹣a ﹣1，+∞ )上单调递增，所以函数()f x 在区间(﹣a ﹣1，+∞)上的零点个数为1；在区间[4a ，﹣a ﹣1]上，函数()f x 图象是连续不断的一条曲线，其中(1)0f a --< 3(4)e (5e e)a a f a a =+，即3()t h t te =，1t <-，3()(31)0t h t e t '=+<，所以3()t h t te =在区间(-∞，﹣1]上单调递减，由a ＜﹣1得3()(1)e h a h ->-=-，即33e e a a ->-，所以33(4)e (5e e)e (5e e)0a a a f a a -=+>-+>，又因为函数()f x 在区间(-∞，﹣a ﹣1]上单调递减，所以函数()f x 在区间(-∞，﹣a ﹣1)上的零点个数为1；从而函数()f x 的零点个数为2．综上可得，当1a >-时，函数()f x 无零点，当1a =-时，函数()f x 的零点个数为1，当1a <-时，函数()f x 的零点个数为2．。

【精准解析】江苏省泰州中学2019-2020学年高二下学期期初检测数学试题


b
1 a
1 b
展开，利用基本不等式即可证明；选
项 C ，由 a 0 ，不等式显然成立；选项 D ，作差法证明 a2 b2 2 ab a b 2 0 即得.
【详解】对 A ， a 0,b 0, a b 1 2 ab 1 2 2 ab 1 2 2 ，当
ab
ab
ab
-5-
41 9n 1 9n 1 . 19 2
-4-
考点：等比数列.
10.已知直线 y kx 2 与曲线 y x ln x 相切，则实数 k 的值为（ ）
A. ln 2
B. 1
C. 1 ln 2
D. 1 ln 2
【答案】D
【解析】
由
y xlnx
得
y ' ln x 1
， 设 切 点 为 x0, y0
【解析】
【分析】
-3-
由题意，4 个不同的数的和为偶数，有 3 种情况：4 个偶数、2 个偶数 2 个奇数、4 个奇数， 根据分类加法计数原理和组合的知识可求. 【详解】从 1，2，3，…，9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数，其和为偶数， 有 3 种情况：4 个偶数、2 个偶数 2 个奇数、4 个奇数.
对 D ，先把
6
本不同的书分成
4
堆:2
本、2
本、1
本、1
本，有
C62C42 A22
C21C11 A22
种方法；
再分给甲乙丙丁四人，
所以不同的分配方法有
C62C42 A22
C21C11 A22
A44
1080 种，故 D 错误.
故选： ABC .
【点睛】本题考查分步乘法原理和排列组合，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.

2019-2020学年江苏省名校数学高二(下)期末综合测试试题含解析

2019-2020学年江苏省名校数学高二(下)期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了3套卷，即：全国I 卷，全国II 卷，全国III 卷.小明同学马上进入高三了，打算从这9套题中选出3套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ）A ．184B ．142C ．128D ．114【答案】D【解析】【分析】先计算出9套题中选出3套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案.【详解】通过题意，可知从这9套题中选出3套试卷共有39=84C 种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有336A =种可能，于是所求概率为61=8414.选D. 【点睛】本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.2．二项式12展开式中，3x 的系数是（ ） A ．495-B ．220-C ． 495D ．220 【答案】B【解析】通项公式：()126112121rr r rr r r T C C x --+⎛==- ⎝，令6r 3-=，解得3r =，3x ∴的系数为312220C -=-，故选B.【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式1C r n r r r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.3．在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是A ．(1,)2πB ．(1,)2π-C ．(1,0)D ．(1，π)【答案】B【解析】【分析】【详解】由题圆2sin ρθ=-，则可化为直角坐标系下的方程,22sin ρρθ=-，222x y y +=-，2220x y y =++，圆心坐标为（0，-1）， 则极坐标为1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选B. 考点：直角坐标与极坐标的互化.4．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，且()f x 的图象关于1x =对称，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()2018f 的值为( )A ．2-B ．1-C ．0D ．1 【答案】C【解析】【分析】先根据函数()f x 的图象关于1x =对称且()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由[]0,1x ∈时，()21x f x =-，即可求出结果. 【详解】根据题意，函数()f x 的图象关于1x =对称，则()()2f x f x -=+，又由函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，则()()f x f x -=-，则有()()2f x f x +=-，变形可得()()4f x f x +=，即函数是周期为4的周期函数，则()()()()20182450420f f f f =+⨯==-，又由函数()f x 是(),-∞+∞上的奇函数，则()00f =，故()20180f =.故选C【点睛】本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型. 5．已知变量,x y 之间的线性回归方程为0.47.6=-+y x ，且变量,x y 之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（ ）A ．变量,x y 之间呈现负相关关系B ．m 的值等于5C ．变量,x y 之间的相关系数0.4=-rD ．由表格数据知，该回归直线必过点()9,4【答案】C【解析】分析：根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．详解：对于A ：根据b 的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为0.47.6y x =-+，b=﹣0.7＜0，负相关．对于B ：根据表中数据：x =1．可得y =2．即()16+3244m ++=，解得：m=3． 对于C ：相关系数和斜率不是一回事，只有当样本点都落在直线上是才满足两者相等，这个题目显然不满足，故不正确.对于D ：由线性回归方程一定过（x ，y ），即（1，2）．故选：C ．点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题，对于回归方程，一定要注意隐含条件，样本中心满足回归方程，再者计算精准，正确理解题意，应用回归方程对总体进行估计.6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且423S S =，715a =，则{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】B【解析】【分析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件得111463(2),615a da d a d +=++=，由此可得d 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ， 由题意得427315S S a =⎧⎨=⎩，即111463(2)615a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩． 故选B ．【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，关键是掌握等差数列的前n 项和公式的形式特点，属于基础题． 7．设()f x 是可导函数,且满足()()011lim22x f f x x ∆→-+∆=∆,则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为( )A ．4B ．-1C ．1D ．-4 【答案】D【解析】【分析】由已知条件推导得到f′（1）=-4，由此能求出曲线y=f （x ）在（1，f （1））处切线的斜率．【详解】由()()011lim 22x f f x x∆→-+∆=∆， 得()()()()()()001111=lim lim 2421x x f f x f f x f x x ∆→∆→-+∆-+∆=⋅-∆∆'=--， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线斜率为-4，故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义及运算，求解问题的关键，在于对所给极限表达式进行变形，利用导数的几何意义求曲线上的点的切线斜率，属于基础题.8．若346m m A C =，则m 等于( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】C【解析】 分析：根据排列与组合的公式，化简得出关于m 的方程，解方程即可.详解：346m m A C =Q ，()()()()()1231264321m m m m m m m ---∴--=⨯⨯⨯⨯， 即314m -=，解得7m =，故选C. 点睛：本题主要考查排列公式与组合公式的应用问题，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，解题时应熟记排列与组合的公式，属于简单题.9．学校新入职的5名教师要参加由市教育局组织的暑期3期上岗培训，每人只参加其中1期培训，每期至多派2人，由于时间上的冲突，甲教师不能参加第一期培训，则学校不同的选派方法有( )A ．84种B ．60种C ．42种D ．36种【答案】B【解析】【分析】 由题意可知这是一个分类计数问题.一类是：第一期培训派1人；另一类是第一期培训派2人，分别求出每类的选派方法，最后根据分类计数原理，求出学校不同的选派方法的种数.【详解】解:第一期培训派1人时，有1244C C 种方法, 第一期培训派2人时，有222432C C A 种方法,故学校不同的选派方法有122224443260C C C C A +=，故选B. 【点睛】本题考查了分类计数原理，读懂题意是解题的关键，考查了分类讨论思想.10．从1、2、3、4、5、6中任取两个数，事件A ：取到两数之和为偶数，事件B ：取到两数均为偶数，则()|P B A =（）A ．15B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】【分析】根据条件概率公式可得解.【详解】事件A 分为两种情况：两个均为奇数和两个数均为偶数，所以()22332625C C P A C +==，23261()5C P AB C ==， 由条件概率可得：()()1|()2P AB P B A P A ==， 故选D.【点睛】本题考查条件概率，属于基础题.11．读下面的程序：上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为()A ．6B ．720C ．120D ．5040【答案】B【解析】【分析】执行程序，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解输出的结果，得到答案.【详解】由题意，执行程序，可得：第1次循环：满足判断条件，1,2S i ==；第2次循环：满足判断条件，2,3S i ==；第3次循环：满足判断条件，6,4S i ==；第4次循环：满足判断条件，24,5S i ==；第5次循环：满足判断条件，120,6S i ==；第6次循环：满足判断条件，720,7S i ==；不满足判断条件，终止循环，输出720S =，故选B.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算输出，其中解答中正确理解循环结构的程序框图的计算功能，逐次计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．已知线性回归方程ˆˆ0.6y bx=+相应于点()3,6.5的残差为0.1-，则ˆb 的值为（ ） A ．1B ．2C ．0.5-D ．3-【答案】B【解析】【分析】根据线性回归方程估计y ，再根据残差定义列方程，解得结果【详解】因为相对于点()3,6.5的残差为0.1-，所以ˆ6.50.1y-=-，所以6.50.130.6b +=+$，解得2b =$，故选B【点睛】本题考查利用线性回归方程估值以及残差概念，考查基本分析求解能力，属基础题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数2log ,02()14,262x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩,若存在实数a b c d ,,,，满足a b c d <<<，且()()()()f a f b f c f d ===，则(2)(2)c d ab--的取值范围是______________. 【答案】(0,4)【解析】【分析】 根据函数的性质得出a b c d ,,,之间的关系，从而可求得取值范围． 【详解】设()f a m =，则y m =与()f x 的图象的交点的横坐标依次为a b c d ,,,（如图），∵2log ,02()14,262x x f x x x ⎧<<⎪=⎨-≤≤⎪⎩，且()()()()f a f b f c f d ===，a b c d <<<，∴22log log ,8a b c d -=+=，24c <<，∴1ab =，8d c =-，∴2(2)(2)(2)(82)812c d c c c c ab--=---=-+-2(4)4c =--+， ∵24c <<，∴20(4)44c <--+<，故答案为(0,4)．【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布，解题关键是确定a b c d ,,,之间的关系及范围．如本题中可结合图象及函数解析式得出1,8ab c d =+=．14．已知平面向量a r ，b r 满足|a r |=1，|b r |=2，|a r ﹣b r |=3，则a r 在b r 方向上的投影是__________． 【答案】12 【解析】分析：根据向量的模求出a r •b r=1，再根据投影的定义即可求出． 详解：∵|a r |=1，|b r |=2，|a r ﹣b r |=3，∴|a r |2+|b r |2﹣2a r •b r =3，解得a r •b r=1， ∴a r 在b r 方向上的投影是a b b ⋅r r r =12， 故答案为12点睛：本题考查了平面向量的数量积运算和投影的定义，属于中档题．15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，90ACB ∠=o ，1CA CB CC ==，D 是1CC 的中点，则直线1AC 与BD 所成角的余弦值为__________．【答案】1010【解析】 分析：记AC 中点为E ，则1//DE AC ，则直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设 12CA CB CC ===，从而即可计算.详解：记AC 中点为E ，并连接BE ，Q D 是1CC 的中点，则1//DE AC ，∴直线1AC 与BD 所成角即为DE 与BD 所成角，设12CA CB CC ===，∴1,CD BD DE BE ====，cosθ∴==.. 点睛：(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．16．已知函数2()e x f x x =与()2e x g x x a =+的图象有且只有三个交点，则实数a 的取值范围为________．【答案】0(2a e <<+【解析】【分析】 令()22x xh x x e xe =-，求导数()'h x ，从而确定函数的单调性及极值，从而求出a 的范围． 【详解】由题意得，22x x x e xe a =+，22x x a x e xe ∴=-，令()22x xh x x e xe =-，则()2222x x x x h x xe x e e xe -'=+-()22x e x =-令()0h x '>，解得：x >x <令()0h x '<，解得：x <<()h x ∴在(,-∞上是增函数，在(上是减函数，在)+∞上是增函数， ((()21h x h e ∴==+极大值(()210h x h ==<极小值，且当x →-∞时，()0h x →，当x →+∞时，()h x →+∞ 所以函数()2x f x x e =与()2x g x xe a =+的图象有且只有三个交点，则只需y a =和()y h x =图象有且只有三个交点，故0(2a e <<+故答案为：0(2a e <<+【点睛】 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于难题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求1F AB V 的面积的最大值.【答案】 (1)22 132x y +=；(2). 【解析】【分析】（1）根据焦点坐标可得c ，根据离心率求得a ，结合222a b c =+，求得b ，则问题得解； （2）设出直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理，即可容易求得结果.【详解】（1）由题可知，1c =，又因为c a =a =由b =b =故椭圆方程为22132x y +=. （2）容易知直线l 的斜率不为零，故可设直线l 的方程为1x my =+，联立椭圆方程可得：()2223440m y my ++-=，设,A B 两点坐标为()()1122,,,x y x y ， 故可得12122244,2323m y y y y m m +=-=-++则12y y -==故1F AB n 的面积12221222323S c y y m m =⨯⨯-==++,1t t =≥，221m t =-，故211212t S t t t ==++， 又12y t t =+在区间[)1,+∞上单调递增，故112S t t=+在区间[)1,+∞上单调递减，故133max S ==，当且仅当1t =，即0m =时取得最大值. 故1F AB n. 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，涉及椭圆中三角形面积的最值问题，属综合中档题.18． (1)设集合{}2560A x x x =-+=}，{}10A x mx =+=，且B A ⊆，求实数m 的值.(2)设1z ，2z 是两个复数，已知11z i =+，2z =1z ·2z 是实数，求2z .【答案】 (1) 12m =-或13m =-或0m = (2) 222z i =-或222z i =-+ 【解析】【分析】（1）解方程2560x x -+=得到集合A ，再分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，即可得出结果； （2）先设2z a bi =+，根据题中条件，得到228a b +=，0a b +=，即可求出结果.【详解】解：(1)由2560x x -+=解得：2x =或3x =∴{}2,3A =，又∵B A ⊆∴当B =∅时，此时0m =符合题意.当B ≠∅时，则0m ≠.由10+=mx 得，1x m=- 所以12m -=或13m-= 解得：12m =-或13m =- 综上所述：12m =-或13m =-或0m = (2)设2z a bi =+，∵2z ==即228a b += ①又12(1)()()()z z i a bi a b a b i =++=-++，且1z ，2z 是实数，∴0a b += ②由①②得，2a =，2b =-或2a =-，2b =∴222z i =-或222z i =-+【点睛】本题主要考查由集合间的关系求参数的问题，以及复数的运算，熟记子集的概念，以及复数的运算法则即可，属于常考题型.19．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：（1）求回归直线方程ˆy=bx+a ，其中b=-20，a=ˆy -b x ； （2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）【答案】 (1)y=-20x+250； (2)8.25. 【解析】【分析】（1）计算平均数，利用b=-20，ˆa y bx =-，即可求得回归直线方程；（2）设工厂获得的利润为L 元，利用利润=销售收入-成本，建立函数，利用配方法可求工厂获得的利润最大.【详解】（1）x ＝16（8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9）＝8.5， y ＝16（90＋84＋83＋80＋75＋68）＝80， a ＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250⇒20250ˆyx =-+. （2）工厂获得利润z ＝（x －4）y ＝－20x 2＋330x －1000.当x ＝334=8.25时，z max ＝361.25（元） 【考点定位】本题主要考查回归分析，一元二次函数等基础知识，考查运算能力、应用意识、转化与化归思想、特殊与一般思想考点：回归分析的初步应用；线性回归方程20．已知函数()4f x x x =-+.（1）解关于x 的不等式()12f x <；（2）对任意的R x ∈，都有不等式()()+1(49R )f x t m t t ⎛⎫ +⎪⎝⎭≥--∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）()4,8-；（2）(],21-∞-.【解析】【分析】（1）由题意()24,44,0442,0x x f x x x x -≥⎧⎪=≤<⎨⎪-<⎩，分类讨论即可得解；（2）利用绝对值三角不等式求出()min f x ，利用基本不等式求出()max 149t t ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦--，利用恒成立问题的解决办法即可得解.【详解】（1）由题意()24,444,0442,0x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+=≤<⎨⎪-<⎩，则不等式()12f x <可转化为04212x x <⎧⎨-<⎩或04412x ≤<⎧⎨<⎩或42412x x ≥⎧⎨-<⎩， 整理可得48x -<<，故不等式()12f x <的解集为()4,8-.（2）由于()444x x x x -+≥--=，当04x ≤≤时，等号成立；而()1444919363793725t t t t t t ⎛⎫--=--+=-+≤-= ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭， 当且仅当49t t =，即249t =，23t =时，等号成立. 要使不等式()()1449R x x t m t t +⎛⎫ ⎪⎝⎭-+≥--+∈恒成立， 则254m +≤，解得21m ≤-，实数m 的取值范围为(],21-∞-.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式和基本不等式的应用，考查了恒成立问题的解决，属于中档题.21．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0，且c ＝1， F(x)＝()0(),0f x x f x x >⎧⎨-<⎩，求F(2)＋F(－2)的值； (2)若a ＝1，c ＝0，且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．【答案】（1）8（2）[－2,0].【解析】【分析】（1）根据函数f （x ）最小值是f （﹣1）=0，且c=1，求出a ，b ，c 的值，即可求F （2）+F （﹣2）的值；（2）由于函数f （x ）=ax 2+bx+c （a ＞0，b ∈R ，c ∈R ），且a=1，c=0，所以f （x ）=x 2+bx ，进而在满足|f （x ）|≤1在区间（0，1]恒成立时，求出即可．【详解】(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－＝－1，解得a ＝1，b ＝2，∴f(x)＝(x ＋1)2.∴F(x)＝ ∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由a ＝1，c ＝0，得f(x)＝x 2＋bx ，从而|f(x)|≤1在区间(0，1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0，1]上恒成立，即b ≤－x 且b ≥－－x 在(0，1]上恒成立. 又－x 的最小值为0，－－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0].【点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.22．已知命题:p x R ∃∈，使2(1)10x a x +-+<；命题:[2,4]q x ∀∈，使2log 0x a -≥.（1）若命题p 为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[]1,3-（2）[1,1](3,)-⋃+∞【解析】【分析】（1）若p 为假命题，2(1)40a ∆=--≤，可直接解得a 的取值范围；（2）由题干可知p,q 一真一假，分“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况讨论，即可得a 的范围。

江苏省泰州市2020年数学高二下学期文数期末考试试卷(I)卷

江苏省泰州市2020年数学高二下学期文数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）命题“，”的否定是（）A . ，0B . ，C . ，D . ，2. （2分）已知f(x)=ax3+3x2+2，若f'(-1)=4，则a的值等于（）A .B .C .D .3. （2分）参数方程为（t为参数）表示的曲线是（）A . 两条射线B . 两条直线C . 一条射线D . 一条直线4. （2分）点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若M为线段FP的中点,且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e的取值范围是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二下·河北期末) 已知命题对任意，总有；“ ”是“ ”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A .B .C .D .6. （2分）下列命题中，错误的是（）A . 一个平面与两个平行平面相交，交线平行B . 平行于同一个平面的两个平面平行C . 平行于同一条直线的两个平面平行D . 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交7. （2分）(2018·山东模拟) 曲线在点处的切线方程是（）A .B .C .D .8. （2分）下列运算正确的是（）A . =aB . =yC . a =D . x =﹣（x≠0）9. （2分） (2016高二下·黄冈期末) 定义在区间[0，a]上的函数f（x）的图象如图所示，记以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））为顶点的三角形的面积为S（x），则函数S（x）的导函数S′（x）的图象大致是（）A .B .C .D .10. （2分）在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ=4sinθ，过点（4，）作曲线C的切线，切线长为（）A . 4B . 7C . 2D . 3211. （2分） (2018高二下·长春期末) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .12. （2分）若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有极大值和极小值，则a的取值范围是（）A . ﹣1＜a＜2B . a＞2或a＜﹣1C . a≥2或a≤﹣1D . a＞1或a＜﹣2二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·湖南期末) 已知双曲线的两条渐近线分别与抛物线的准线交于A ， B两点．O为坐标原点．若△OAB的面积为2，则的值为________.14. （1分）将圆按变换后得到曲线的离心率等于________。

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