高一数学必修三知识点：立体几何
高一数学必修三知识点：立体几何
1、柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四
边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、
五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是
平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多
边形。
（2）棱锥
形，由这些面所围成的几何体
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、
五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相
似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的
部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、
五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交
于原棱锥的顶点
（4）圆柱：
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲
面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的
半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面
所围成的几何体
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开
图是一个扇形。
（6）圆台：
定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的
部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；
③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几
何体
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于
半径。
2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视
图（从左向右）、俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高
度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和
宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和
宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不
变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
高一数学必修2立体几何知识点详细总结
立体几何一、立体几何网络图：（1）线线平行的判断：⑴平行于同一直线的两直线平行。
⑶如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
⑹如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
⑿垂直于同一平面的两直线平行。
（2）线线垂直的判断：⑺在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
⑻在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直。
⑽若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
（3）线面平行的判断：⑵如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
⑸两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（4）线面垂直的判断：⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。
（5）面面平行的判断：⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
（6）面面垂直的判断：⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
二、其他定理：（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；（2）直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂直是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交；；平行；（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；（4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，射影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影也较长；垂线段比任何一条斜线段都短。
高中数学必修立体几何考题附答案
高中数学必修2立体几何考题13．如图所示;正方体ABCD－A1B1C1D1中;M、N分别是A1B1;B1C1的中点．问：1AM和CN是否是异面直线说明理由；2D1B和CC1是否是异面直线说明理由．解析：1由于M、N分别是A1B1和B1C1的中点;可证明MN∥AC;因此AM与CN不是异面直线．2由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大;判断的方法可用反证法．探究拓展：解决这类开放型问题常用的方法有直接法即由条件入手;经过推理、演算、变形等;如第1问;还有假设法;特例法;有时证明两直线异面用直线法较难说明问题;这时可用反证法;即假设两直线共面;由这个假设出发;来推证错误;从而否定假设;则两直线是异面的．解：1不是异面直线．理由如下：∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点;∴MN∥A1C1.又∵A1A∥D1D;而D1D綊C1C;∴A1A綊C1C;∴四边形A1ACC1为平行四边形．∴A1A∥AC;得到MN∥AC;∴A、M、N、C在同一个平面内;故AM和CN不是异面直线．2是异面直线．理由如下：假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内;则B∈平面CC1D1;C∈平面CC1D1.∴BC平面CC1D1;这与在正方体中BC⊥平面CC1D1相矛盾;∴假设不成立;故D1B与CC1是异面直线．14．如下图所示;在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中;M为AB的中点;N为BB1的中点;O为面BCC1B1的中心．1过O作一直线与AN交于P;与CM交于Q只写作法;不必证明；2求PQ的长不必证明．解析：1由ON∥AD知;AD与ON确定一个平面α.又O、C、M 三点确定一个平面β如下图所示．∵三个平面α;β和ABCD两两相交;有三条交线OP、CM、DA;其中交线DA与交线CM不平行且共面．∴DA与CM必相交;记交点为Q.∴OQ是α与β的交线．连结OQ与AN交于P;与CM交于Q;故OPQ即为所作的直线．2解三角形APQ可得PQ＝错误!.15．如图;在直三棱柱ABC－A1B1C1中;AB＝BC＝B1B＝a;∠ABC＝90°;D、E分别为BB1、AC1的中点．2证明：DE为异面直线BB1与AC1的公垂线；3求异面直线BB1与AC1的距离．解析：1由于直三棱柱ABC－A1B1C1中;AA1∥BB1;所以∠A1AC1就是异面直线BB1与AC1所成的角．又AB＝BC＝B1B＝a;∠ABC＝90°;所以A1C1＝错误!a;tan∠A1AC1＝错误!;即异面直线BB1与AC1所成的角的正切值为错误!.2证明：解法一：如图;在矩形ACC1A1中;过点E作AA1的平行线MM1分别交AC、A1C1于点M、M1;连结BM;B1M1;则BB1綊MM1.又D、E分别是BB1、MM1的中点;可得DE綊BM.在直三棱柱ABC－A1B1C1中;由条件AB＝BC得BM⊥AC;所以BM⊥平面ACC1A1;故DE⊥平面ACC1A1;所以DE⊥AC1;DE⊥BB1;即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．解法二：如图;延长C1D、CB交于点F;连结AF;由条件易证D是C1F的中点;B是CF的中点;又E是AC1的中点;所以DE∥AF.在△ACF中;由AB＝BC＝BF知AF⊥AC.在直三棱柱ABC－A1B1C1中;AA1⊥平面ABC;所以AF⊥AA1;故AF⊥平面ACC1A1;故DE⊥平面ACC1A1;所以DE⊥AC1;DE⊥BB1;即DE为异面直线BB1与AC1的公垂线．3由2知线段DE的长就是异面直线BB1与AC1的距离;由于AB ＝BC＝a;∠ABC＝90°;所以DE＝错误!a.反思归纳：两条异面直线的公垂线是指与两条异面直线既垂直又相交的直线;两条异面直线的公垂线是惟一的;两条异面直线的公垂线夹在两条异面直线之间的线段的长度就是两条异面直线的距离．证明一直线是某两条异面直线的公垂线;可以分别证明这条直线与两条异面直线垂直．本题的思路是证明这条直线与一个平面垂直;而这一平面与两条异面直线的位置关系是一条直线在平面内;另一条直线与这个平面平行．16．如图所示;在正方体ABCD－A1B1C1D1中;O;M分别是BD1;AA1的中点．1求证：MO是异面直线AA1和BD1的公垂线；3若正方体的棱长为a;求异面直线AA1与BD1的距离．解析：1证明：∵O是BD1的中点;∴O是正方体的中心;∴OA＝OA1;又M为AA1的中点;即OM是线段AA1的垂直平分线;故OM⊥AA1.连结MD1、BM;则可得MB＝MD1.同理由点O为BD1的中点知MO⊥BD1;即MO是异面直线AA1和BD1的公垂线．2由于AA1∥BB1;所以∠B1BD1就是异面直线AA1和BD1所成的角．在Rt△BB1D1中;设BB1＝1;则BD1＝错误!;所以cos∠B1BD1＝错误!;故异面直线AA1与BD1所成的角的余弦值等于错误!.3由1知;所求距离即为线段MO的长;由于OA＝错误!AC1＝错误!a;AM＝错误!;且OM⊥AM;所以OM ＝错误!a.13．如图所示;正方体ABCD－A1B1C1D1中;侧面对角线AB1;BC1上分别有两点E、F;且B1E＝C1F;求证：EF∥ABCD.证明：解法一：分别过E、F作EM⊥AB于M;FN⊥BC于N;连结MN.∵BB1⊥平面ABCD;∴BB1⊥AB;BB1⊥BC;∴EM∥BB1;FN∥BB1;∴EM∥FN.又B1E＝C1F;∴EM＝FN;故四边形MNFE是平行四边形;∴EF∥MN;又MN在平面ABCD中;所以EF∥平面ABCD.解法二：过E作EG∥AB交BB1于G;连结GF;则错误!＝错误!;∵B1E＝C1F;B1A＝C1B;∴错误!＝错误!;∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG＝G;AB∩BC＝B;∴平面EFG∥平面ABCD;而EF平面EFG;∴EF∥平面ABCD.14．如下图;在四棱锥P－ABCD中;底面ABCD是正方形;侧棱PD⊥底面ABCD;PD＝DC.过BD作与P A平行的平面;交侧棱PC于点E;又作DF⊥PB;交PB于点F.1求证：点E是PC的中点；2求证：PB⊥平面EFD.证明：1连结AC;交BD于O;则O为AC的中点;连结EO.∵P A∥平面BDE;平面P AC∩平面BDE＝OE;∴P A∥OE.∴点E是PC的中点；2∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD;∴PD⊥DC;△PDC是等腰直角三角形;而DE是斜边PC的中线;∴DE⊥PC;①又由PD⊥平面ABCD;得PD⊥BC.∵底面ABCD是正方形;CD⊥BC;∴BC⊥平面PDC.而DE平面PDC.∴BC⊥DE.②由①和②推得DE⊥平面PBC.而PB平面PBC;∴DE⊥PB;又DF⊥PB且DE∩DF＝D;所以PB⊥平面EFD.15．如图;l1、l2是互相垂直的异面直线;MN是它们的公垂线段．点A、B在l1上;C在l2上;AM＝MB＝MN.1求证AC⊥NB；2若∠ACB＝60°;求NB与平面ABC所成角的余弦值．证明：1如图由已知l2⊥MN;l2⊥l1;MN∩l1＝M;可得l2⊥平面ABN.由已知MN⊥l1;AM＝MB＝MN;可知AN＝NB且AN⊥NB.又AN为AC在平面ABN内的射影;∴AC⊥NB.2∵Rt△CNA≌Rt△CNB;∴AC＝BC;又已知∠ACB＝60°;因此△ABC为正三角形．∵Rt△ANB≌Rt△CNB;∴NC＝NA＝NB;因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC 的中心．连结BH;∠NBH为NB与平面ABC所成的角．在Rt△NHB中;cos∠NBH＝错误!＝错误!＝错误!.16．如图;在四面体ABCD中;CB＝CD;AD⊥BD;点E、F分别是AB、BD的中点．求证：1直线EF∥平面ACD；2平面EFC⊥平面BCD.命题意图：本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系;考查空间想象能力、推理论证能力．证明：1在△ABD中;∵E、F分别是AB、BD的中点;所以EF∥AD.又AD平面ACD;EF平面ACD;∴直线EF∥平面ACD.2在△ABD中;∵AD⊥BD;EF∥AD;∴EF⊥BD.在△BCD中;∵CD＝CB;F为BD的中点;∴CF⊥BD.∵EF平面EFC;CF平面EFC;EF与CF交于点F;∴BD⊥平面EFC.又∵BD平面BCD;∴平面EFC⊥平面BCD.13．如图;在四棱锥P－ABCD中;底面ABCD是边长为a的正方形;P A⊥平面ABCD;且P A＝2AB.1求证：平面P AC⊥平面PBD；2求二面角B－PC－D的余弦值．解析：1证明：∵P A⊥平面ABCD;∴P A⊥BD.∵ABCD为正方形;∴AC⊥BD.∴BD⊥平面P AC;又BD在平面BPD内;∴平面P AC⊥平面BPD.2在平面BCP内作BN⊥PC;垂足为N;连结DN;∵Rt△PBC≌Rt△PDC;由BN⊥PC得DN⊥PC；∴∠BND为二面角B－PC－D的平面角;在△BND中;BN＝DN＝错误!a;BD＝错误!a;∴cos∠BND＝错误!＝－错误!.14．如图;已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体;点E在AA1上;点F在CC1上;G在BB1上;且AE＝FC1＝B1G＝1;H是B1C1的中点．1求证：E、B、F、D1四点共面；2求证：平面A1GH∥平面BED1F.证明：1连结FG.∵AE＝B1G＝1;∴BG＝A1E＝2;∴BG綊A1E;∴A1G綊BE.∵C1F綊B1G;∴四边形C1FGB1是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1;∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F;∴D1F綊EB;故E、B、F、D1四点共面．2∵H是B1C1的中点;∴B1H＝错误!.又B1G＝1;∴错误!＝错误!.又错误!＝错误!;且∠FCB＝∠GB1H＝90°;∴△B1HG∽△CBF;∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG;∴HG∥FB.又由1知A1G∥BE;且HG∩A1G＝G;FB∩BE＝B;∴平面A1GH∥平面BED1F.15．在三棱锥P－ABC中;P A⊥面ABC;△ABC为正三角形;D、E分别为BC、AC的中点;设AB＝P A＝2.1求证：平面PBE⊥平面P AC；2如何在BC上找一点F;使AD∥平面PEF;请说明理由；3对于2中的点F;求三棱锥B－PEF的体积．解析：1证明：∵P A⊥面ABC;BE面ABC;∴P A⊥BE.∵△ABC是正三角形;E为AC的中点;∴BE⊥AC;又P A与AC相交;∴BE⊥平面P AC;∴平面PBE⊥平面P AC.2解：取DC的中点F;则点F即为所求．∵E;F分别是AC;DC的中点;∴EF∥AD;又AD平面PEF;EF平面PEF;∴AD∥平面PEF.3解：V B－PEF＝V P－BEF＝错误!S△BEF·P A＝错误!×错误!×错误!×错误!×2＝错误!.16．2009·天津;19如图所示;在五面体ABCDEF中;F A⊥平面ABCD;AD∥BC∥FE;AB⊥AD;M为CE的中点;AF＝AB＝BC＝FE＝错误!AD.1求异面直线BF与DE所成的角的大小；2求证：平面AMD⊥平面CDE；3求二面角A－CD－E的余弦值．解答：1解：由题设知;BF∥CE;所以∠CED或其补角为异面直线BF与DE所成的角．设P为AD的中点;连结EP;PC.因为FE綊AP;所以F A綊EP.同理;AB綊PC.又F A⊥平面ABCD;所以EP⊥平面ABCD.而PC;AD都在平面ABCD内;故EP⊥PC;EP⊥AD.由AB⊥AD;可得PC⊥AD.设F A＝a;则EP＝PC＝PD＝a;CD＝DE＝EC＝错误!a.故∠CED＝60°.所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.2证明：因为DC＝DE且M为CE的中点;所以DM⊥CE.连结MP;则MP⊥CE.又MP∩DM＝M;故CE⊥平面AMD.而CE平面CDE;所以平面AMD⊥平面CDE.3设Q为CD的中点;连结PQ;EQ.因为CE＝DE;所以EQ⊥CD.因为PC＝PD;所以PQ⊥CD;故∠EQP为二面角A－CD－E的平面角．由1可得;EP⊥PQ;EQ＝错误!a;PQ＝错误!a.于是在Rt△EPQ中;cos∠EQP＝错误!＝错误!.所以二面角A－CD－E的余弦值为错误!.13．2009·重庆如图所示;四棱锥P－ABCD 中;AB⊥AD;AD⊥DC;P A⊥底面ABCD;P A＝AD＝DC＝错误!AB＝1;M 为PC的中点;N点在AB上且AN＝错误!NB.1求证：MN∥平面P AD；2求直线MN与平面PCB所成的角．解析：1证明：过点M作ME∥CD交PD于E点;连结AE.∵AN＝错误!NB;∴AN＝错误!AB＝错误!DC＝EM.又EM∥DC∥AB;∴EM綊AN;∴AEMN为平行四边形;∴MN∥AE;∴MN∥平面P AD.2解：过N点作NQ∥AP交BP于点Q;NF⊥CB于点F.连结QF;过N点作NH⊥QF于H;连结MH;易知QN⊥面ABCD;∴QN⊥BC;而NF⊥BC;∴BC⊥面QNF;∵BC⊥NH;而NH⊥QF;∴NH⊥平面PBC;∴∠NMH为直线MN与平面PCB所成的角．通过计算可得MN＝AE＝错误!;QN＝错误!;NF＝错误!错误!;∴NH＝错误!＝错误!＝错误!;∴sin∠NMH＝错误!＝错误!;∴∠NMH＝60°;∴直线MN与平面PCB所成的角为60°.14．2009·广西柳州三模如图所示;已知直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中;AD⊥BD;AD＝BD＝a;E是CC1的中点;A1D⊥BE.1求证：A1D⊥平面BDE；2求二面角B－DE－C的大小．解析：1证明：在直平行六面体ABCD－A1B1C1D1中;∵AA1⊥平面ABCD;∴AA1⊥BD.又∵BD⊥AD;∴BD⊥平面ADD1A1;即BD⊥A1D.又∵A1D⊥BE且BE∩BD＝B;∴A1D⊥平面BDE.2解：如图;连B1C;则B1C⊥BE;易证Rt△BCE∽Rt△B1BC;∴错误!＝错误!;又∵E为CC1中点;∴BC2＝错误!BB错误!.BB1＝错误!BC＝错误!a.取CD中点M;连结BM;则BM⊥平面CC1D1C;作MN⊥DE于N;连NB;由三垂线定理知：BN⊥DE;则∠BNM是二面角B－DE－C的平面角．在Rt△BDC中;BM＝错误!＝错误!a;Rt△CED中;易求得MN＝错误!a;Rt△BMN中;tan∠BNM＝错误!＝错误!;则二面角B－DE－C的大小为arctan错误!.15．如图;已知正方体ABCD－A1B1C1D1中;E为AB的中点．1求直线B1C与DE所成的角的余弦值；2求证：平面EB1D⊥平面B1CD；3求二面角E－B1C－D的余弦值．解析：1连结A1D;则由A1D∥B1C知;B1C与DE所成的角即为A1D 与DE所成的角．连结A1E;由正方体ABCD－A1B1C1D1;可设其棱长为a;则A1D＝错误!a;A1E＝DE＝错误!a;∴cos∠A1DE＝错误!＝错误!.∴直线B1C与DE所成角的余弦值是错误!.2证明取B1C的中点F;B1D的中点G;连结BF;EG;GF.∵CD⊥平面BCC1B1;且BF平面BCC1B1;∴DC⊥BF.又∵BF⊥B1C;CD∩B1C＝C;∴BF⊥平面B1CD.又∵GF綊错误!CD;BE綊错误!CD;∴GF綊BE;∴四边形BFGE是平行四边形;∴BF∥GE;∴GE⊥平面B1CD.∵GE平面EB1D;∴平面EB1D⊥平面B1CD.3连结EF.∵CD⊥B1C;GF∥CD;∴GF⊥B1C.又∵GE⊥平面B1CD;∴EF⊥B1C;∴∠EFG是二面角E－B1C－D的平面角．设正方体的棱长为a;则在△EFG中;GF＝错误!a;EF＝错误!a;∴cos∠EFG＝错误!＝错误!;∴二面角E－B1C－D的余弦值为错误!.16．2009·全国Ⅱ;18如图所示;直三棱柱ABC－A1B1C1中;AB⊥AC;D、E分别为AA1、B1C的中点;DE⊥平面BCC1.1求证：AB＝AC；2设二面角A－BD－C为60°;求B1C与平面BCD所成的角的大小．解析：1证明：取BC中点F;连结EF;则EF綊错误!B1B;从而EF綊DA.连结AF;则ADEF为平行四边形;从而AF∥DE.又DE⊥平面BCC1;故AF⊥平面BCC1;从而AF⊥BC;即AF为BC 的垂直平分线;所以AB＝AC.2解：作AG⊥BD;垂足为G;连结CG.由三垂线定理知CG⊥BD;故∠AGC为二面角A－BD－C的平面角．由题设知;∠AGC＝60°.设AC＝2;则AG＝错误!.又AB＝2;BC＝2错误!;故AF＝错误!.由AB·AD ＝AG·BD得2AD＝错误!·错误!;解得AD＝错误!;故AD＝AF.又AD⊥AF;所以四边形ADEF为正方形．因为BC⊥AF;BC⊥AD;AF∩AD＝A;故BC⊥平面DEF;因此平面BCD⊥平面DEF.连结AE、DF;设AE∩DF＝H;则EH⊥DF;EH⊥平面BCD.连结CH;则∠ECH为B1C与平面BCD所成的角．因ADEF为正方形;AD＝错误!;故EH＝1;又EC＝错误!B1C＝2;所以∠ECH＝30°;即B1C与平面BCD所成的角为30°.13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中;底面边长为2错误!;侧棱长为4;E、F分别为棱AB、BC的中点．1求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1；2求点D1到平面B1EF的距离d.分析：1可先证EF⊥平面BDD1B1.2用几何法或等积法求距离时;可由B1D1∥BD;将点进行转移：D1点到平面B1EF的距离是B点到它的距离的4倍;先求B点到平面B1EF的距离即可．解答：1证明：错误!EF⊥平面BDD1B1平面B1EF⊥平面BDD1B1.2解：解法一：连结EF交BD于G点．∵B1D1＝4BG;且B1D1∥BG;∴D1点到平面B1EF的距离是B点到它的距离的4倍．利用等积法可求．由题意可知;EF＝错误!AC＝2;B1G＝错误!.S△B1EF＝错误!EF·B1G＝错误!×2×错误!＝错误!;S△BEF＝错误!BE·BF＝错误!×错误!×错误!＝1.∵VB－B1EF＝VB1－BEF;设B到面B1EF的距离为h1;则错误!×错误!×h1＝错误!×1×4;∴h1＝错误!.∴点D1到平面B1EF的距离为h＝4h1＝错误!.解法二：如图;在正方形BDD1B1的边BD上取一点G;使BG＝错误!BD;连结B1G;过点D1作D1H⊥B1G于H;则D1H即为所求距离．可求得D1H＝错误!直接法．14．如图直三棱柱ABC－A1B1C1中;侧棱CC1＝2;∠BAC＝90°;AB ＝AC＝错误!;M是棱BC的中点;N是CC1中点．求：1二面角B1－AN－M的大小；2C1到平面AMN的距离．解析：1∵∠BAC＝90°;AB＝AC＝错误!;M是棱BC的中点;∴AM⊥BC;BC＝2;AM＝1.∴AM⊥平面BCC1B1.∴平面AMN⊥平面BCC1B1.作B1H⊥MN于H;HR⊥AN于R;连结B1R;∴B1H⊥平面AMN.又由三垂线定理知;B1R⊥AN.∴∠B1RH是二面角B1－AN－M的平面角．由已知得AN＝错误!;MN＝错误!;B1M＝错误!＝B1N;则B1H＝错误!;又Rt△AMN∽Rt△HRN;错误!＝错误!;∴RH＝错误!.∴B 1R ＝错误!;∴cos ∠B 1RH ＝错误!＝错误!.∴二面角B 1－AN －M 的大小为arccos 错误!.2∵N 是CC 1中点;∴C 1到平面AMN 的距离等于C 到平面AMN 的距离．设C 到平面AMN 的距离为h ;由V C －AMN ＝V N －AMC得错误!×错误!·MN ·h ＝错误!×错误!AM ·MC .∴h ＝错误!.15．2009·北京海淀一模如图所示;四棱锥P －ABCD 中;P A ⊥平面ABCD ;底面ABCD 为直角梯形;且AB ∥CD ;∠BAD ＝90°;P A ＝AD ＝DC ＝2;AB ＝4.1求证：BC ⊥PC ；2求PB 与平面P AC 所成的角的正弦值；3求点A 到平面PBC 的距离．解析：1证明：如图;在直角梯形ABCD 中;∵AB ∥CD ;∠BAD ＝90°;AD ＝DC ＝2;∴∠ADC ＝90°;且AC ＝2错误!.取AB 的中点E ;连结CE ;由题意可知;四边形ABCD 为正方形;∴AE ＝CE ＝2.又∵BE ＝错误!AB ＝2.∴CE ＝错误!AB ;∴△ABC 为等腰直角三角形;∴AC ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABCD ;且AC 为PC 在平面ABCD 内的射影; BC 平面ABCD ;由三垂线定理得;BC ⊥PC .2由1可知;BC ⊥PC ;BC ⊥AC ;PC ∩AC ＝C ;∴BC ⊥平面P AC .PC 是PB 在平面P AC 内的射影;∴∠CPB 是PB 与平面P AC 所成的角．又CB ＝2错误!;PB 2＝P A 2＋AB 2＝20;PB ＝2错误!;∴sin ∠CPB ＝错误!＝错误!;即PB 与平面P AC 所成角的正弦值为错误!.3由2可知;BC ⊥平面P AC ;BC 平面PBC ;∴平面PBC ⊥平面P AC .过A 点在平面P AC 内作AF ⊥PC 于F ;∴AF ⊥平面PBC ;∴AF 的长即为点A 到平面PBC 的距离．在直角三角形P AC中; P A＝2;AC＝2错误!;PC＝2错误!;∴AF＝错误!.即点A到平面PBC的距离为错误!.16．2009·吉林长春一模如图所示;四棱锥P－ABCD的底面是正方形;P A⊥底面ABCD;P A＝2;∠PDA＝45°;点E、F分别为棱AB、PD 的中点．1求证：AF∥平面PCE；2求二面角E－PD－C的大小；3求点A到平面PCE的距离．解析：1证明：如图取PC的中点G;连结FG、EG;∴FG为△PCD的中位线;∴FG＝错误!CD且FG∥CD.又∵底面四边形ABCD是正方形;E为棱AB的中点;∴AE＝错误!CD且AE∥CD;∴AE＝FG且AE∥FG.∴四边形AEGF是平行四边形;∴AF∥EG.又EG平面PCE;AF平面PCE;∴AF∥平面PCE.2解：∵P A⊥底面ABCD;∴P A⊥AD;P A⊥CD.又AD⊥CD;P A∩AD＝A;∴CD⊥平面P AD.又∵AF平面P AD;∴CD⊥AF.又P A＝2;∠PDA＝45°;∴P A＝AD＝2.∵F是PD的中点;∴AF⊥PD.又∵CD∩PD＝D;∴AF⊥平面PCD.∵AF∥EG;∴EG⊥平面PCD.又GF⊥PD;连结EF;则∠GFE是二面角E－PD－C的平面角．在Rt△EGF中;EG＝AF＝错误!;GF＝1;∴tan∠GFE＝错误!＝错误!.∴二面角E－PD－C的大小为arctan错误!.3设A到平面PCE的距离为h;由V A－PCE ＝V P－ACE;即错误!×错误!PC·EG·h＝错误!P A·错误!AE·CB;得h＝错误!;∴点A到平面PCE的距离为错误!.13．2009·陕西;18如图所示;在直三棱柱ABC－A1B1C1中;AB＝1;AC＝AA1＝错误!;∠ABC＝60°.1求证：AB⊥A1C；2求二面角A－A1C－B的大小．解析：1证明：∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱;∴AB⊥AA1;在△ABC中;AB＝1;AC＝错误!;∠ABC＝60°;由正弦定理得∠ACB＝30°;∴∠BAC＝90°;即AB⊥AC.∴AB⊥平面ACC1A1;又A1C平面ACC1A1;∴AB⊥A1C.2解：如图;作AD⊥A1C交A1C于D点;连结BD;由三垂线定理知BD⊥A1C;∴∠ADB为二面角A－A1C－B的平面角．在Rt△AA1C中;AD＝错误!＝错误!＝错误!;在Rt△BAD中;tan∠ADB＝错误!＝错误!;∴∠ADB＝arctan错误!;即二面角A－A1C－B的大小为arctan 错误!.14．如图;三棱柱ABC－A1B1C1的底面是边长为a的正三角形;侧面ABB1A1是菱形且垂直于底面;∠A1AB＝60°;M是A1B1的中点．1求证：BM⊥AC；2求二面角B－B1C1－A1的正切值；3求三棱锥M－A1CB的体积．解析：1证明：∵ABB1A1是菱形;∠A1AB＝60°△A1B1B是正三角形;BM⊥平面A1B1C1.错误!BM⊥AC.错误!BE⊥B1C1;∴∠BEM为所求二面角的平面角;△A1B1C1中;ME＝MB1·sin60°＝错误!a;Rt△BMB1中;MB＝MB1·tan60°＝错误!a;∴tan∠BEM＝错误!＝2;∴所求二面角的正切值是2.3VM－A1CB＝错误!VB1－A1CB＝错误!VA－A1CB＝错误!VA1－ABC＝错误!×错误!×错误!a2·错误!a＝错误!a3.15．2009·广东汕头一模如图所示;已知△BCD中;∠BCD＝90°;BC ＝CD＝1;AB⊥平面BCD;∠ADB＝60°;E、F分别是AC、AD上的动点;且错误!＝错误!＝λ0<λ<1．1求证：不论λ为何值;总有EF⊥平面ABC；2若λ＝错误!;求三棱锥A－BEF的体积．解析：1证明：∵AB⊥平面BCD;∴AB⊥CD.又∵在△BCD中;∠BCD＝90°;∴BC⊥CD.∵又AB∩BC＝B;∴CD⊥平面ABC.又∵在△ACD中;E、F分别是AC、AD上的动点;且错误!＝错误!＝λ0<λ<1;∴不论λ为何值;都有EF∥CD;∴EF⊥平面ABC.2在△BCD中;∠BCD＝90°;BC＝CD＝1;∴BD＝错误!.又∵AB⊥平面BCD;∴AB⊥BC;AB⊥BD.又∵在Rt△ABD中;∠ADB＝60°;∴AB＝BD·tan60°＝错误!;由1知EF⊥平面ABC;∴V A－BEF ＝V F－ABE＝错误!S△ABE·EF＝错误!×错误!S△ABC·EF＝错误!×错误!×1×错误!×错误!＝错误!.故三棱锥A－BEF的体积是错误!.16．在四棱锥P－ABCD中;侧面PDC是边长为2的正三角形;且与底面垂直;底面ABCD是面积为2错误!的菱形;∠ADC为菱形的锐角．1求证：P A⊥CD；2求二面角P－AB－D的大小；3求棱锥P－ABCD的侧面积；解析：1证明：如图所示;取CD的中点E;由PE⊥CD;得PE⊥平面ABCD;连结AC、AE.∵AD·CD·sin∠ADC＝2错误!;AD＝CD＝2;∴sin∠ADC＝错误!;即∠ADC＝60°;∴△ADC为正三角形;∴CD⊥AE.∴CD⊥P A三垂线定理．2解：∵AB∥CD;∴AB⊥P A;AB⊥AE;∴∠P AE为二面角P－AB－D的平面角．在Rt△PEA中;PE＝AE;∴∠P AE＝45°.即二面角P－AB－D的大小为45°.3分别计算各侧面的面积：∵PD＝DA＝2;P A＝错误!;∴cos∠PDA＝错误!;sin∠PDA＝错误!.S△PCD＝错误!;S△P AB＝错误!AB·P A＝错误!·2·错误!·错误!＝错误!;S△P AD＝S△PBC＝错误!PD·DA·sin∠PDA＝错误!.∴S P＝错误!＋错误!＋错误!.－ABCD侧13．把地球当作半径为R的球;地球上A、B两地都在北纬45°;A、B两点的球面距离是错误!R;A点在东经20°;求B点的位置．解析：如图;求B点的位置即求B点的经度;设B点在东经α;∵A、B两点的球面距离是错误!R.∴∠AOB＝错误!;因此三角形AOB是等边三角形;∴AB＝R;又∵∠AO1B＝α－20°经度差问题转化为在△AO1B中借助AO1＝BO1＝AO cos45°＝错误!R;求出∠AO1B＝90°;则α＝110°;同理：B点也可在西经70°;即B点在北纬45°东经110°或西经70°.14．在球心同侧有相距9cm的两个平行截面;它们的面积分别为49πcm2和400πcm2;求球的表面积和体积．解析：如图;两平行截面被球大圆所在平面截得的交线分别为AO1、BO2;则AO1∥BO2.若O1、O2分别为两截面圆的圆心;则由等腰三角形性质易知OO1⊥AO1;OO2⊥BO2;设球半径为R;∵πO2B2＝49π;∴O2B＝7cm;同理O1A＝20cm.设OO1＝x cm;则OO2＝x＋9cm.在Rt△OO1A中;R2＝x2＋202;在Rt△OO2B中;R2＝x＋92＋72;∴x2＋202＝72＋x＋92;解得x＝15cm.∴R＝25cm;∴S球＝2500πcm2;V球＝错误!πR3＝错误!πcm3.15．设A、B、C是半径为1的球面上的三点;B、C两点间的球面距离为错误!;点A与B、C两点间的球面距离均为错误!;O为球心;求：1∠AOB、∠BOC的大小；2球心O到截面ABC的距离．解析：1如图;因为球O的半径为1;B、C两点间的球面距离为错误!;点A与B、C两点间的球面距离均为错误!;所以∠BOC＝错误!;∠AOB＝∠AOC＝错误!;2因为BC＝1;AC＝AB＝错误!;所以由余弦定理得cos∠BAC＝错误!;sin∠BAC＝错误!;设截面圆的圆心为O1;连结AO1;则截面圆的半径r＝AO1;由正弦定理得r＝错误!＝错误!;所以OO1＝错误!＝错误!.16．如图四棱锥A－BCDE中;AD⊥底面BCDE;AC⊥BC;AE⊥BE.1求证：A、B、C、D、E五点共球；2若∠CBE＝90°;CE＝错误!;AD＝1;求B、D两点的球面距离．解析：1证明：取AB的中点P;连结PE;PC;PD;由题设条件知△AEB、△ADB、△ABC都是直角三角形．故PE＝PD＝PC＝错误!AB＝P A＝PB.所以A、B、C、D、E五点在同一球面上．2解：由题意知四边形BCDE为矩形;所以BD＝CE＝错误!;在Rt△ADB中;AB＝2;AD＝1;∴∠DPB＝120°;D、B的球面距离为错误!π.17．本小题满分10分如图;四棱锥S—ABCD的底面是正方形;SA⊥底面ABCD;E是SC上一点．1求证：平面EBD⊥平面SAC；2假设SA＝4;AB＝2;求点A到平面SBD的距离；解析：1∵正方形ABCD;∴BD⊥AC;又∵SA⊥平面ABCD;∴SA⊥BD;则BD⊥平面SAC;又BD平面BED;∴平面BED⊥平面SAC.2设AC∩BD＝O;由三垂线定理得BD⊥SO.AO＝错误!AC＝错误!错误!AB＝错误!·错误!·2＝错误!;SA＝4;则SO＝错误!＝错误!＝3错误!;S△BSD＝错误!BD·SO＝错误!·2错误!·3错误!＝6.设A到面BSD的距离为h;则V S－ABD＝V A－BSD;即错误!S△ABD·SA＝错误!S△BSD·h;解得h＝错误!;即点A到平面SBD的距离为错误!.18．本小题满分12分如图;正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中;AA1＝2AB＝4;点E在C1C上且C1E＝3EC.1证明A1C⊥平面BED；2求二面角A1－DE－B的大小．解析：依题设知AB＝2;CE＝1;1证明：连结AC交BD于点F;则BD⊥AC.由三垂线定理知;BD⊥A1C.在平面A1CA内;连结EF交A1C于点G;由于错误!＝错误!＝2错误!;故Rt△A1AC∽Rt△FCE;∠AA1C＝∠CFE;∠CFE与∠FCA1互余．于是A1C⊥EF.A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直．所以A1C⊥平面BED.2作GH⊥DE;垂足为H;连结A1H.由三垂线定理知A1H⊥DE;故∠A1HG是二面角A1－DE－B的平面角．EF＝错误!＝错误!;CG＝错误!＝错误!.EG＝错误!＝错误!.错误!＝错误!;GH＝错误!×错误!＝错误!.又A1C＝错误!＝2错误!;A1G＝A1C－CG＝错误!;tan∠A1HG＝错误!＝5错误!.所以二面角A1－DE－B的大小为arctan5错误!.19．本小题满分12分如图;四棱锥S－ABCD的底面是直角梯形;∠ABC＝∠BCD＝90°;AB＝BC＝SB＝SC＝2CD＝2;侧面SBC⊥底面ABCD.1由SA的中点E作底面的垂线EH;试确定垂足H的位置；2求二面角E－BC－A的大小．解析：1作SO⊥BC于O;则SO平面SBC;又面SBC⊥底面ABCD;面SBC∩面ABCD＝BC;∴SO⊥底面ABCD①又SO平面SAO;∴面SAO⊥底面ABCD;作EH⊥AO;∴EH⊥底面ABCD②即H为垂足;由①②知;EH∥SO;又E为SA的中点;∴H是AO的中点．2过H作HF⊥BC于F;连结EF;由1知EH⊥平面ABCD;∴EH⊥BC;又EH∩HF＝H;∴BC⊥平面EFH;∴BC⊥EF;∴∠HFE为面EBC和底面ABCD所成二面角的平面角．在等边三角形SBC中;∵SO⊥BC;∴O为BC中点;又BC＝2.∴SO＝错误!＝错误!;EH＝错误!SO＝错误!;又HF＝错误!AB＝1;∴在Rt△EHF中;tan∠HFE＝错误!＝错误!＝错误!;∴∠HFE＝arctan错误!.即二面角E－BC－A的大小为arctan错误!.20．本小题满分12分2010·唐山市高三摸底考试如图;在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中;AB＝1;AA1＝2;N是A1D的中点;M∈BB1;异面直线MN与A1A所成的角为90°.1求证：点M是BB1的中点；2求直线MN与平面ADD1A1所成角的大小；3求二面角A－MN－A1的大小．解析：1取AA1的中点P;连结PM;PN.∵N是A1D的中点;∴AA1⊥PN;又∵AA1⊥MN;MN∩PN＝N;∴AA1⊥面PMN.∵PM面PMN;∴AA1⊥PM;∴PM∥AB;∴点M是BB1的中点．2由1知∠PNM即为MN与平面ADD1A1所成的角．在Rt△PMN中;易知PM＝1;PN＝错误!;∴tan∠PNM＝错误!＝2;∠PNM＝arctan2.故MN与平面ADD1A1所成的角为arctan2.3∵N是A1D的中点;M是BB1的中点;∴A1N＝AN;A1M＝AM;又MN为公共边;∴△A1MN≌△AMN.在△AMN中;作AG⊥MN交MN于G;连结A1G;则∠A1GA即为二面角A－MN－A1的平面角．在△A1GA中;AA1＝2;A1G＝GA＝错误!;∴cos∠A1GA＝错误!＝－错误!;∴∠A1GA＝arccos－错误!;故二面角A－MN－A1的大小为arccos－错误!．21．2009·安徽;18本小题满分12分如图所示;四棱锥F－ABCD 的底面ABCD是菱形;其对角线AC＝2;BD＝错误!.AE、CF都与平面ABCD垂直;AE＝1;CF＝2.1求二面角B－AF－D的大小；2求四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD公共部分的体积．命题意图：本题考查空间位置关系;二面角平面角的作法以及空间几何体的体积计算等知识．考查利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力．解答：1解：连接AC、BD交于菱形的中心O;过O作OG⊥AF;G为垂足;连接BG、DG.由BD⊥AC;BD⊥CF得BD⊥平面ACF;故BD⊥AF.于是AF⊥平面BGD;所以BG⊥AF;DG⊥AF;∠BGD为二面角B －AF－D的平面角．由FC⊥AC;FC＝AC＝2;得∠F AC＝错误!;OG＝错误!.由OB⊥OG;OB＝OD＝错误!;得∠BGD＝2∠BGO＝错误!.2解：连接EB、EC、ED;设直线AF与直线CE相交于点H;则四棱锥E－ABCD与四棱锥F－ABCD的公共部分为四棱锥H－ABCD.过H作HP⊥平面ABCD;P为垂足．因为EA⊥平面ABCD;FC⊥平面ABCD;所以平面ACEF⊥平面ABCD;从而P∈AC;HP⊥AC.由错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝1;得HP＝错误!.又因为S菱形ABCD＝错误!AC·BD＝错误!;故四棱锥H－ABCD的体积V＝错误!S菱形ABCD·HP＝错误!.22．2009·深圳调考一本小题满分12分如图所示;AB为圆O的直径;点E、F在圆O上;AB∥EF;矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2;EF＝1.1求证：平面DAF⊥平面CBF；2求直线AB与平面CBF所成角的大小；3当AD的长为何值时;二面角D－FE－B的大小为60°解析：1证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF;CB⊥AB;平面ABCD∩平面ABEF＝AB;∴CB⊥平面ABEF.∵AF平面ABEF;∴AF⊥CB;又∵AB为圆O的直径;∴AF⊥BF;∴AF⊥平面CBF.∵AF平面DAF;∴平面DAF⊥平面CBF.2解：根据1的证明;有AF⊥平面CBF;∴FB为AB在平面CBF上的射影;因此;∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．∵AB∥EF;∴四边形ABEF为等腰梯形;过点F作FH⊥AB;交AB于H.AB＝2;EF＝1;则AH＝错误!＝错误!.在Rt△AFB中;根据射影定理AF2＝AH·AB;得AF＝1;sin∠ABF＝错误!＝错误!;∴∠ABF＝30°;∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°.3解：过点A作AM⊥EF;交EF的延长线于点M;连结DM.根据1的证明;DA⊥平面ABEF;则DM⊥EF;∴∠DMA为二面角D－FE－B的平面角;∠DMA＝60°.在Rt△AFH中;∵AH＝错误!;AF＝1;∴FH＝错误!.又∵四边形AMFH为矩形;∴MA＝FH＝错误!.∵AD＝MA·tan∠DMA＝错误!·错误!＝错误!.因此;当AD的长为错误!时;二面角D－FE－B的大小为60°.。
基本立体图形-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
方体，从构成立体图形的基本元素点、直线、平面入手，研究它们
的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂
直的关系展开研究，从而进一步认识空间几何体的性质.
章前导入
立体图形是由现实物体抽象而成的. 直观感知、操作确认、
推理论证、度量计算，是认识立体图形的基本方法. 由整体到局
难点
重点
一
通过对实物模型的观察，归纳与掌握柱、
锥、台、球的概念与结构特征
二
易错点
掌握简单组合体的结构特征
三
能运用结构特征描述生活中简单物体的结
构和有关计算
新知探究
探究一：多面体与旋转体
新知讲解
请大家欣赏这些优美的图片！
新知讲解
新知讲解
新知讲解
新知讲解
问题1 如图，这些图片中的物体具有怎样的形状？如何描述它们的形状？在
柱体、椎体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是
由简单几何体组合而成的，这些几何体称作简单组合体.
新知讲解
请你说说下图中各几何体是由哪些简单几何体组合
而成的?
简单组合体构成的两种基本形式：
(1)由简单几何体拼接而成;
(2)由简单几何体截去或挖去一部分而成.
新知讲解
问题10 请你说说下图中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的?
棱台的特点：
上下底面是互相平行且相似的多边形；
侧面都是梯形；
各侧棱的延长线交于一点．
新知讲解
问题8 你能类比棱柱的分类，给出棱台的分类吗？
三棱台：由三棱锥截得
的棱台
四棱台：由四棱锥截
得的棱台
五棱台：由五棱锥截
高一数学必修2知识点梳理
高一数学必修2知识点梳理一、立体几何初步（一）空间几何体1. 棱柱- 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体。
- 分类：按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
- 性质：侧棱都平行且相等；侧面都是平行四边形。
2. 棱锥- 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体。
- 分类：按底面多边形的边数分为三棱锥（四面体）、四棱锥等。
- 性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么截面和底面相似，并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比。
3. 棱台- 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分。
- 分类：三棱台、四棱台等。
- 性质：棱台的各侧棱延长后交于一点。
4. 圆柱- 定义：以矩形的一边所在直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
- 性质：圆柱的轴截面是矩形；圆柱的侧面展开图是矩形。
5. 圆锥- 定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体。
- 性质：圆锥的轴截面是等腰三角形；圆锥的侧面展开图是扇形。
6. 圆台- 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分。
- 性质：圆台的轴截面是等腰梯形；圆台的侧面展开图是扇环。
7. 球- 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体。
- 性质：球的截面是圆；球心和截面圆心的连线垂直于截面。
（二）点、线、面之间的位置关系1. 平面的基本性质- 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
- 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
- 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
- 推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
- 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
- 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
高中数学必修2——立体几何平行和垂直(教案)
立体几何平行和垂直知识讲解知识点1 点、线、面一、平面的基本性质二、空间直线的位置关系1．位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.2．平行公理平行于同一条直线的两条直线互相平行．3．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(或夹角)(1)定义：设ba,是两条异面直线，经过空间中任一点O作直线bbaa//',//'，把'a与'b所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角．I,,Pl P l且且三、直线与平面的位置关系llAα//l知识点2 线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。
三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
推理模式：,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈⎫⎪=⇒⊥⎬⎪⊂⊥⎭注意：⑴三垂线指AO PO PA ,,都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理⑵要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用。
知识点3 线面垂直定义：如果一条直线l 和一个平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 和平面α互相垂直其中直线l 叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l 的垂面,直线与平面的交点叫做垂足。
直线l 与平面α垂直记作：α⊥l 。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。
知识点4 面面垂直两个平面垂直的定义：相交成直二面角的两个平面叫做互相垂直的平面。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.3 三视图画法素材 北师大版必修2
三视图画法在画组合体三视图之前，首先运用形体分析法把组合体分解为若干投影面展开个形体，确定它们的组合形式，判断形体间邻接表面是否处于共面、相切和相交的特殊位置；然后逐个画出形体的三视图；最后对组合体中的垂直面、一般位置面、邻接表面处于共面、相切或相交位置的面、线进行投影分析。
当组合体中出现不完整形体、组合柱或复合形体相贯时，可用恢复原形法进行分析。
1.进行形体分析把组合体分解为若干形体，并确定它们的组合形式，以及相邻表面间的相互位置，2.确定主视图三视图中，主视图是最主要的视图。
（1）确定放置位置要确定主视投影方向，首先解决放置问题。
选择组合体的放置位置以自然平稳为原则。
并使组合体的表面相对于投影面尽可能多地处于平行或垂直的位置。
（2）确定主视投影方向选最能反映组合体的形体特征及各个基本体之间的相互位置，并能减少俯、左视图上虚线的那个方向，作为主视图投影方向。
图9-10(a)中箭头所指的方向，即为选定的主视图投影方向。
3.选比例，定图幅画图时，尽量选用1:1的比例。
这样既便于直接估量组合体的大小，也便于画图。
按选定的比例，根据组合体长、宽、高预测出三个视图所占的面积，并在视图之间留出标注尺寸的位置和适当的间距，据此选用合适的标准图幅。
4.布图、画基准线先固定图纸，然后，画出各视图的基准线。
每个视图在图纸上的具体位置就确定了。
基准线是指画图时测量尺寸的基准，每个视图需要确定两个方向的基准线。
一般常用对称中心线，轴线和较大的平面作为基准线，三视图逐个画出各形体的三视图5.画法根据各形体的投影规律，逐个画出形体的三视图。
画形体的顺序：一般先实（实形体）后空（挖去的形体）；先大（大形体）后小（小形体）；先画轮廓，后画细节。
画每个形体时，要三个视图联系起来画，并从反映形体特征的视图画起，再按投影规律画出其他两个视图。
对称图形、半圆和大于半圆的圆弧要画出对称中心线，回转体一定要画出轴线。
对称中心线和轴线用细点划线画出。
高中数学章节占比以及命题趋势解析教材上这些知识，价值130分！
高中数学章节占比以及命题趋势解析教材上这些知识，价值130分！一、各章节内容在高考中占比1．集合（必修1）与简易逻辑，复数（选修）。
分值在10分左右（一两道选择题，有时达到三道），考查的重点是计算能力，集合多考察交并补运算，简易逻辑多为考查“充分与必要条件”及命题真伪的判别，复数一般考察模及分式运算。
2．函数（必修1指数函数、对数函数）与导数（选修），一般在高考中，至少三个小题一个大压轴题，分值在３０分左右。
以指数函数、对数函数、及扩展函数函数为载体结合图象的变换（平移、伸缩、对称变换）、四性问题（单调性、奇偶性、周期性、对称性）以选择题、填空题考查的主要内容，其中函数的单调性和奇偶性有向抽象函数发展的趋势。
压轴题，文科以三次函数为主，理科以含有ex ，lnx的复杂函数为主，以切线问题、极值最值问题、单调性问题、恒成立零点为设置条件，求解范围或证明结论为主。
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3．立体几何（必修2）：分值在22分左右（两小一大），两小题以基本位置关系的判定与体积，内外截球，三视图计算为主，一大题以证明空间线面的位置关系和夹角计算为主，试题的命制载体可能趋向于不规则几何体，但仍以“方便建系”为原则。
4．解析几何（必修2+选修）：必修2直线与圆的方程、选修圆锥曲线统称为解析几何，高考对解析几何的考查一般是三个小题一个大题，所占分值约３０分。
其规律是线性规划、直线与圆各一个小题，涉及圆锥曲线的图形、定义或简单几何性质的问题一个小题，直线与圆锥曲线的综合问题一个大题。
圆锥曲线核心：运算，超越课本结论。
5.算法程序框图（必修3）：一道选择题，主要以循环结构为主。
6．概率统计（必修3），排列、组合、二项式定理、（选修）：分值在22分左右（两小一大），排列组合与二项式定理一般一个小题，大题理科以概率统计、文科以求概率的应用题为主理科考查重点为随机变量的分布列及数学期望，概率计算；文科以等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率求法为主。
第8章 立体几何初步(复习课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)
81 C. 4 π
D．16π
(1)如图，设 PE 为正四棱锥 P-ABCD 的高，则正四棱锥 P-ABCD 的 外接球的球心 O 必在其高 PE 所在的直线上，延长 PE 交球面于一点 F，连接 AE，AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4, 所以AE＝2 2 ， PE＝6, 所以侧棱长PA＝
3
在Rt△CDE中,
故二面角B-AP-C的正切值为2.
tanCED CD 2 3 2， DE 3
归纳总结
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的 夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法； ③垂面法.
的表面积为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为
A. 3
3 B.2
√C.1
3 D. 2
解析 如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC， 则O1为等边三角形ABC的外心. 设△ABC的边长为a， 则 43a2＝943，解得 a＝3， ∴O1A＝23× 23×3＝ 3. 设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2. 在 Rt△OO1A 中，OO1＝ OA2－O1A2＝1，
五、直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行
(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行).
(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任 一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线 线平行”).
2．平面与平面平行
则直线 PB 与 AD1 所成的角为( )
A．
2
微专题4：+立体几何中的探索问题+2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
解：AD 上存在一点 P，AP=λPD，使得 CP
∥平面 ABEF，此时λ＝3. 2
理由如下： 当λ＝32时，AP=32PD，可知AADP＝35，如图，过点 P 作 MP∥FD 交 AF 于点 M，连接 EM，PC，则有MFDP＝AADP＝35， 又 BE＝1，可得 FD＝5，故 MP＝3， 又 EC＝3，MP∥FD∥EC，故有 MP 綊 EC， 故四边形 MPCE 为平行四边形，所以 CP∥ME，
变式：如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中，D，E分别是棱BC ， AB的中点，点F在棱 CC1 上，已知AB=AC，AA1 3 ， BC=CF=2.
（1）求证： C1E//平面ADF； （2）在棱 BB1 上是否存在点M，使平面 CAM 平面ADF ，若存在，试求出BM的值； 若不存在，请说明理由.
又BM=1，BC=2，CD=1，FC=2， Rt△CBM≌Rt△FCD
故 CM DF
DF . AD＝D DF，AD
易证CM ，又
，
平面ADF，
故CM 平面ADF .
CAM
又 平面 CAM ，故平面
平面ADF.
翻折中的位置关系探索问题
例 3：如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6， BC＝4，E，F 分别在 BC，AD 上，EF∥AB.现将四边形 ABCD 沿 EF 折起，使平面 ABEF⊥平面 EFDC.
证明如下：因为AB=AC， AD 平面ABC，故 AD BC.
在直三棱柱 ABC
中， A1B1C1
BB1
平面
ABC
人教版高二数学必修三知识点：立体几何
1.平面的基本性質：掌握三個公理及推論，會說明共點、共線、共面問題。
能夠用斜二測法作圖。
2.空間兩條直線的位置關係：平行、相交、異面的概念；
會求異面直線所成的角和異面直線間的距離；證明兩條直線是異面直線一般用反證法。
3.直線與平面
①位置關係：平行、直線在平面內、直線與平面相交。
②直線與平面平行的判斷方法及性質,判定定理是證明平行問題的依據。
③直線與平面垂直的證明方法有哪些？
④直線與平面所成的角：關鍵是找它在平面內的射影，範圍是
⑤三垂線定理及其逆定理：每年高考試題都要考查這個定理.三垂線定理及其逆定理主要用於證明垂直關係與空間圖形的度量.如：證明異面直線垂直，確定二面角的平面角，確定點到直線的垂線.
4.平面與平面
(1)位置關係：平行、相交，（垂直是相交的一種特殊情況）
(2)掌握平面與平面平行的證明方法和性質。
(3)掌握平面與平面垂直的證明方法和性質定理。
尤其是已知兩平面垂直，一般
是依據性質定理，可以證明線面垂直。
(4)兩平面間的距離問題→點到面的距離問題→
(5)二面角。
二面角的平面交的作法及求法：
①定義法，一般要利用圖形的對稱性；一般在計算時要解斜三角形；
②垂線、斜線、射影法，一般要求平面的垂線好找，一般在計算時要解一個直角三角形。
③射影面積法，一般是二面交的兩個面只有一個公共點，兩個面的交線不容易找到時用此法。