15.1分式及分式的基本性质练习题
分式及分式的基本性质练习
题型1：分式概念的理解应用
1．下列各式πa，11x，15xy，22abab，23x，0•中，是分式的有___ __；是整式的有_____ ．
题型2：分式有无意义的条件的应用
2．下列分式，当x取何值时有意义．
（1）2132xx； （2）2323xx．
3．下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（ ）
A．121x B．21xx C．231xx D．2221xx
4．当x______时，分式2134xx无意义．
题型3：分式值为零的条件的应用
5．当x_______时，分式2212xxx的值为零．
6．当m________时，分式2(1)(3)32mmmm的值为零．
题型4：分式值为1的条件的应用
7．当x______时，分式435xx的值为1；当x_______时，分式435xx的值为1．
课后训练
基础能力题
8．分式24xx，当x_______时，分式有意义；当x_______时，分式的值为零．
9．有理式①2x，②5xy，③12a，④1x中，是分式的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④
10．分式31xax中，当xa时，下列结论正确的是（ ）
A．分式的值为零； B．分式无意义 C．若13a≠时，分式的值为零； D．若13a≠时，分式的值为零
11．当x_______时，分式15x的值为正；当x______时，分式241x的值为负．
12．下列各式中，可能取值为零的是（ ）
A．2211mm B．211mm C．211mm D．211mm
13．使分式||1xx无意义，x的取值是（ ） A．0 B．1 C．1 D．1
拓展创新题
14．已知123xyx，x取哪些值时：（1）y的值是正数；（2）y的值是负数；（3）y的值是零；（4）
分式无意义．
题型1：分式基本性质的理解应用
一、填空题：
1. 写出等式中未知的分子或分母：
①xy3= 23xy ② yxxy257=7 ③)(1baba
2. 不改变分式的值，使分式的分子与分母都不含负号：
①yx25 ； ②ba3 .
3. 等式1)1(12aaaaa成立的条件是________.
二、选择
4．不改变分式的值，使分式115101139xyxy的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（• ）
A．10 B．9 C．45 D．90
5．下列等式：①()ababcc;②xyxyxx;③ababcc;④mnmnmm中,成立的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
6. 把分式yxx322中的x和y都扩大为原来的5倍，那么这个分式的值 （ ）
A．扩大为原来的5倍 B．不变 C．缩小到原来的51 D．扩大为原来的25倍
7. 使等式27x=xxx272自左到右变形成立的条件是 （ ）
A．x<0 >0 C.x≠0 ≠0且x≠－2
8．不改变分式2323523xxxx的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（ • ）
A．2332523xxxx B．2332523xxxx C．2332523xxxx D．2332523xxxx
三、解答题:
9. 不改变分式的值,把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数:
① yxyx6125131 ②yxyx4.05.078.08.0 ③ baba436.04.02
10. 不改变分式的值,使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号:
①112xx ②2122xxx ③1312xxx
题型2：分式的约分
一、判断正误并改正:
① 326yyy（ ） ② baba2)(=－a－b（ ） ③ baba22=a－b（ ）
④ )3)(2()3)(2(xxxx=－1（ ） ⑤ ayax =yx （ ） ⑥ ))((2)()(yxyxyxyx=21（ ）
二、选择题
1．分式434yxa，2411xx，22xxyyxy，2222aababb中是最简分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.下列约分正确的是( )
A.32)(3)(2acbacb B.1)()(22abba C.bababa222 D.xyyxxyyx1222
3.下列变形不正确的是( )
A.2222aaaa B.11112xxx(x≠1) C.1212xxx=21 D.2126336yxyx
4.等式)1)(1()1(1babaaa成立的条件是( )
≠0且b≠0 ≠1且b≠1 C.a≠－1且b≠－1 、b 为任意数
5.如果把分式yxyx2中的x和y都扩大10倍，那么分式的值( )
A.扩大10倍 B.缩小10倍 C.是原来的23 D.不变
6.不改变分式的值，使33212xxx的分子、分母中最高次项的系数都是正数，则此分式可化为( )
A.33122xxx B.33122xxx C.33122xxx D.33122xxx
7.下面化简正确的是（ ）
A．1212aa=0 B. 22)()(abba=－1 C. 326xx=2 D.yxyx22=x+y
8.下列约分:①23xx=x31 ②mbma=ba ③a22=a11 ④22xyxy=1 ⑤112aa=a－1
⑥2)()(yxyx =－yx1 其中正确的有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
三、解答题： 约分：
① 232636yzzxy ② 2224mmm ③ 2411xx ④ 22699xxx
⑤ 44422aaa ⑥ 16282mm ⑦ 2232mmmm ⑧ 22221521033223yxyx
题型3：分式的通分
1．通分：
（1）26xab，29yabc； （2）21xx，2121xx； （3）2121aaa，261a．
2. 先化简,再求值:
① 1616822aaa,其中a=5; ② 2222babaaba,其中a=3b≠0.
3.已知511yx，求分式yxyxyxyx272的值． 4.已知432zyx，求222zyxzxyzxy的值．
5.已知12,4xyyx, 求1111yxxy的值.
6．已知13xx，求2421xxx的值．
精心搜集整理，只为你的需要
分式的概念和性质+答案
分式的概念和性质（提高）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念A 一般地，如果A、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A叫做分式. 其中AB叫做分子，B 叫做分母.要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的. 分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式. 分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母” ，但π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如a是整式而不能当作分式.（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式2不能先化简，如x y是分式，与xy 有区别，xy 是整式，即只看形式，x不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1. 分式有意义的条件：分母不等于零.2. 分式无意义的条件：分母等于零.3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变，这个性质叫做A A M A A M分式的基本性质，用式子表示是： A A M，A A M（其中M是不等于零的整式）.B B M B B M要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式. 其中B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠ 0 是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0 这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化. 例如：，在变形后，字母x 的取值范围变大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变2 4解：整式有：23，2y 2， 2y 2；其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数 要点诠释： 根据分式的基本性质有 b a b bb. 分式a与 a 互为相反数a a ab b重要的作用 .要点五、分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的 值，这样的分式变形叫做分式的约分 . 如果一个分式的分子与分母没有相同的因式 （1 除外）， 那么这个分式叫做最简分式 .要点诠释： （1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分 母再没有公因式 .（ 2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式. 分子、分母的公因式是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式 的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子 与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分 .要点六、分式的通分与分数的通分类似， 利用分式的基本性质， 使分式的分子和分母同乘适当的整式， 不改 变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 .要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母： 一般取各分母所有因式的最高 次幂的积作为公分母 .2）如果各分母都是单项式， 那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相 同字母的最高次幂的乘积； 如果各分母都是多项式， 就要先把它们分解 因式，然后再找最简公分母 .3）约分和通分恰好是相反的两种变形， 约分是对一个分式而言， 而通分则 是针对多个分式而言 .典型例题】 类型一、分式的概念高清课堂 403986 分式的概念和性质 例 1】. 根据有理数除法的符号法则有分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着1、指出下列各式中的整式与分式：1 ，1 ，a b ，x ， 3 ，， ， ， ，2 ，x x y 2 x 12y 2，2 x ，思路点拨】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母， 如果含有字母则是分式， 如果不含有字母则不是分式． 【答案与解析】∵ x 2 为非负数，不可能等于－ 1， ∴ 对于任意实数 x ，分式都有意义； 当 x 0 时，分式的值为零．（2）当 x 2 0即 x 0时，分式有意义； 当 x 0, 即 x 5 时，分式的值为零x 5 0,（3）当 x 5 0，即 x 5 时，分式有意义； 当 x 5 0, ①时，分式的值为零，2x 10 0 ②由①得 x 5时，由②得 x 5 ，互相矛盾．2x 10∴ 不论 x 取什么值，分式 2x 10 的值都不等于零．x5【总结升华】 分母不为零时，分式有意义；分子的值为零，而分母的值不为零时，分式的值 为零． 举一反三：【变式 1】若分式的值为 0，则的值为 _________________________ . 【答案】 － 2；|x| 2 0 |x| 2 0 提示：由题意 2， ，所以 x 2.x 2 5x 6 0 x 3 x 2 0分式有：1，1 ， 3 ， x2 x x y x 2 1 x总结升华】 判断分式的依据是看分母中是否含有字母．此题判断容易出错的地方有两处： 一个是把 π 也看作字母来判断， 没有弄清 π 是一个常数； 另一个就是将分式化简成整式后2再判断，如 x 和 x x，前一个是整式，后一个是分式，它们表示的意义和取值范围是不相同的．类型二、分式有意义， 分式值为 0 高清课堂 403986当 x 取什么数时，下列分式有意义？当2、 分式的概念和性质 例 2】x 取什么数时，下列分式的值为零？（ 1） 2x x 2 答案与解析】2）x52；x3) 2x 10 x5解：（ 1）当 x 20，即 x21时，分式有意义．x2变式 2】当 x 取何值时，分式 的值恒为负数？ 2x 6 答案】 x 2 0, 或 x 2 0, 2x 6 0, 2x 6 0. 解不等式组x 2 0,该不等式组无解．2x 6 0,解不等式组x 2 0,得 3 x 2． 2x 6 0.所以当 3x 2 时，分式x 2的值恒为负数． 2x 6类型三、分式的基本性质高清课堂 403986 分式的概念和性质 例 4】 3、不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数(1) ； (2) ； (3) . 答案与解析】解：(1) ；(3).【总结升华】 (1) 、根据分式的意义， 分数线代表除号， 又起括号的作用； (2) 、添括号法则： 当括号前添“＋”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号 举一反三：解： 由题意可知(2)a1 a 2 2a 1 ；2；a 22变式】 列分式变形正确的是(A ．2 x2ymn(m n)2 (m n)(m n)(m n)2答案】C ．x 21x 2x 11 x1ab 2 aD ；提示：条件．将分式变形时，注意将分子、分母同乘(或除以)同一个不为 其中A 项分子、分母乘的不是同一整式，B 项中 m n 0 的整式这一0这一条件不知是1x 否成立，故 A 、B 两项均是错的． C 项左边可化为： 1 x 2(1 x)21 1x11，故 C x1项亦错，只有 D 项的变形是正确的．类型四、分式的约分、通分如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、分母的公因式，也就是分子、分母系数的最大公约数与相同字母的最低次幂． 通分的关键是确定几个分式的最简公分 母，若分母是多项式， 则要因式分解， 要防止遗漏只在一个分母中出现的字母以及符号的变 化情况． 类型五、分式条件求值225、若 x 2，求 x 22 2xy 3y 22 的值．y x 2 6xy 7 y 2【思路点拨】 本题可利用分式的基本性质， 采用整体代入法， 或把分式的分子与分母化成只 含同一字母的因式，使问题得到解决． 【答案与解析】x 解法一：因为 2 ，可知 y 0 ，y222(x 22xy3y 2) g12x2x g3所以x 22xy3y 2yyy所以2x 26xy7y 2(x 26xy 7y 2)g12 y2x6 x g7yy4、约分：（1）2；(2) 2n 2 m 3 ；2mn 4n通分：3）3 2a 2ba b ；ab 2c4）x 24x42 x2答案与解析】解：（1） a 2 2a 1a 21(a1)2 ( a 1)(a 1)1；a12） 2 n 2 m2mn 4n 32n 2 m2n (m 2n 2)(m2n 2) 2n (m 2n 2 )1 2n ；3）最简公分母是 222a 2b 2c ． 3 g bc222a 2b 2a 2b g bc3bc22 2a b cb ab 2c(a b) g 2a ab 2c g 2a22a 22ab2a 2b 2c4）最简公分母是(x 2)(x 2) ，1 x2x2 (x 2)( x 2)x 2 ，4 xx 2 4 x 2 44x x 2 42(x 2)x 2 (x 2)( x 2)2x 4 x 2 4总结升华】( 2)2 2 ( 2) 3 5 ( 2)2 6 ( 2) 7 9解法二：因为 x 2 ， y所以 x 2y ，且 y 0 ，22x 2 2xy 3y 2 (x 3y)(x y) x 3y x 2 6xy 7y 2 (x 7y)(x y) x 7y【总结升华】 本题的整体代入思想是数学中一种十分重要的思想． 一般情况下， 在条件中含 有不定量时，不需求其具体值，只需将其作为一个“整体”代入进行运算，就可以达到化简 的目的． 举一反三： 【变式】已知x 3 y4z(xyz 0) ，求xy 26x 2yz 2 y zx 2的值．z 2【答案】x解： 设yz k(k 0) ，则 x 3k，y4k ， z 6k3 46∴xyyz zx3k g4k 4k g6k 6k g3k54k 2 54 ∴2x2 y2z22(3k)2 (4k)2(6k) 261k 2 61【巩固练习】 一. 选择题a 2 91．若分式 2a 9 的值为 0，则 a 的值为（ ）a 2 a 6A ．3B ．－3C ．±3D ． a ≠－ 2中的 x 、y 都扩大 m 倍（ m ≠ 0），则分式的值（）2.把分式 2x2y 3y 5 2y 7y 9xy14. 已知 13． A ．扩大 m 倍 5a b若分式 5a b 有意义，则 a 、 3a 2b B ．缩小 m 倍C ．不变 b 满足的关系是( 4． 5． 6．D ．不能确定A ． 3a 2b 1b 若分式 12 b 2b 2 A ． b < 0 面四个等式： ④xy 2 0个 A ． 化简B ． a 15bC ． b D．23b的值是负数，则 1 b 满足( B ．b ≥1 C ． b <1 D． b >1 ① x 2 y x 2y ;② xy 2 x 2y ;③ xy 2x y;2xy 2 b 22a a 2 2ab b 2 ab ab 二. 填空题 A ．7. 使分式 (x 2x 其中正确的有( B ． 1 个 的正确结果是( B ． a a b b 2 有意义的条件为 3)2 C ． 2个 D ． 3个C ．1 2abD ．2a 1b8. 分式 (x 2x 51)2有意义的条件为 2 分式 |x| 4 x4 m n ( mn 11．填入适当的代数式，使等式成立．9．当 时， 的值为零．10．填空： (1) ) n m m n ;(2) mn 2a 2b2a)2b1) a 2 ab 2b 2 a 2 b 2 ( ) ( 2) ab1a1a b ( ba 2 m 12. 分式 2m 2 1 约分的结果是 m 2 三. 解答题 2 x 13. 若 2 x 23x1的值为零，求 2 的值．2 (x 1)21 x 2，求 3x 7xy 3y 的值．2x 3xy 2y7. 8.15. （1）阅读下面解题过程：已知 2,求 524x的值．x 4 11. 解：∵ 2xx 21 ∴1∴1xx2 5,2,即 5,即 2x 4x1 21 x2 x1 (x 1x )2 2 x2）请借鉴（ 已知2 x 2 答案与解析】 . 选择题 答案】 B ； 解析】 由题意 2. 答案】 C ； 解析】 3. 答案】 解析】 4. 答案】 解析】 5. 6. 9. 1）x 3x 2mxmx my D；中的方法解答下面的题目： 2, 求 4 x 0且am 2x m(x y)由题意， 3a D；因为 2b 2 1 答案】 解析】①④正确 . 答案】 解析】. 填空题【答案】【答案】【解析】【答案】2b 0 ， C；B； 22ab 22 a 2ab b2x 2x2x xy所以的值．0,所以 1 b aba2abx 3.x 为任意实数；x 为任意实数，分母都大于零x 4 ；1 (52)2 2 170 ，解得 a 3.23b .0,即 b >1.ab ab2，| x| 4 0 解析】 ，所以 x 4 . x40x 2 x 0 ，即 x(x 1) 0 x 2 3x 2 0 (x 1)(x 2) 0x 0 或 x 1 0x 1 0且 x 2 0 x 0或 x 1, x 1且 x 2, x 0 ，14. 【解析】 解：方法一：∵ 1 1 y x 2 ，x y xy等式两边同乘以 xy ，得 2xy y x ．x y 2xy ．3x 7xy 3y 3(x y) 7 xy 2x 3xy 2y 2( x y) 3xy11 xy【解析】2a ab 2b 2a b a 2b ；1 b ba 2b 2abab1 a bab b12. 【答案】 11m；；m【解析】2m 2m 1 2m 1 1 m10. 【答案】（1）－；（2）＋；11. 【答案】（1） a 2b ；（2） b a ；a ab 21 m 1 m 1 m 1 m三. 解答题13. 【解析】ab ba解：由已知得： 将 x 0 代入得：1 ( x 1)2 1 (0 1)2 1 (0 1)21．3 2 xy 7xy xy 2 2 xy 3xy 7xy方法15. 【解析】解：∵ 2xx23x 1 ∴1x13x2x42x x 1121x 2 1x12 x1 21x3x7xy3y3 y72x3xy2y23y 3 x31x1 y73271 2x21 x1 y322372,2 ，∴ x1 4.72 45.12。
《分式》典型练习题
分式知识点和典型习题（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1、下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .2、下列分式中，最简分式有（ ）322222222222212,,,,312a x y m n m a ab b x x y m n m a ab b-++-++---- A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3、下列各式：2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m-中，是分式的共有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个题型二：考查分式有意义的条件 1、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件 1、当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x （2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 1、（1）当x 为何值时，分式x-84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负；（3）当x 为何值时，分式32+-x x 为非负数.（二）分式的基本性质及有关题型1．分式的基本性质：MB M A M B M A B A ÷÷=⨯⨯=2．分式的变号法则：bab a b a b a =--=+--=-- 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数1、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0（3）b a ba 10141534.0-+题型二：分数的系数变号2、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a ---（3）ba ---题型三：考查分式的性质 1、若分式xyx +中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ） A 、不变 B 、是原来的3倍 C 、是原来的31 D 、是原来的912、若分式xyy x 22+中x 、y 的值都增加到原来的3倍，则分式的值（ ）A 、不变B 、是原来的3倍C 、是原来的31D 、是原来的91题型三：化简求值题 1、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 2、已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的值.3、已知：21=-xx ，求221xx +的值. 4、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.5、已知与互为相反数，代数式的值。
八年级数学分式的基本性质(一)(北师版)(基础)(含答案)
分式的基本性质（一）（北师版）（基础）一、单选题(共11道，每道9分)1.根据分式的基本性质，分式可变形为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：依据分式的基本性质可知：故选C试题难度：三颗星知识点：略2.下列分式：①；②；③；④，从左到右的变形，错误的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D解题思路：根据分式的基本性质对各个选项进行判断：①，分子中的y没有乘2，变形错误；②，不符合分式的基本性质，变形错误；③，分母中的b没有乘-1，变形错误；④，分子分母不是乘的同一个整式，变形错误；所以四个都是错误的.故选D试题难度：三颗星知识点：略3.下列选项错误的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：，故选项A正确；，故选项B正确；，故选项C错误；分子分母同时扩大10倍，得，故选项D正确．故选C．试题难度：三颗星知识点：略4.若分式（，均为正数）中每个字母的值都扩大为原来的3倍，则分式的值( )A.扩大为原来3倍B.缩小为原来的C.不变D.缩小为原来的答案：B解题思路：，所以分式的值缩小为原来的．故选B．试题难度：三颗星知识点：略5.若的值均扩大到原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：A：，不符合题意；B：，不符合题意；C：，不符合题意；D：，符合题意．故选D．试题难度：三颗星知识点：略6.不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项系数都化为整数，那么所得的正确结果为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：不改变分式的值，如果把其分子和分母中的各项系数都化为整数，则分子分母需要同时扩大10倍，即．故选A．试题难度：三颗星知识点：略7.南京至上海的铁路长300km，原来某列车的行驶速度是60km/h，为了适应经济的发展，该列车的行驶速度每小时比原来增加了2akm，现在由南京到上海所用时间为( )小时.A. B.C. D.答案：A解题思路：∵该列车的行驶速度每小时比原来增加了2akm∴该列车的行驶速度为（60+2a）km/h∴现在本次列车由南京到上海所用的时间为小时故选A试题难度：三颗星知识点：略8.走一段长10千米的路，步行用4x小时，骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少0.2小时，则骑自行车的平均速度为( )千米/小时.A. B.C. D.答案：C解题思路：∵骑自行车所用时间比步行所用时间的一半少0.2小时∴骑自行车所用时间为（2x-0.2）小时∴骑自行车的平均速度为千米/小时故选C试题难度：三颗星知识点：略9.一辆汽车以60千米/时的速度行驶，从A城到B城需要t小时，如果该车的行驶速度增加3v（千米/时），那么从A城到B城需要( )小时.A. B.C. D.答案：B解题思路：由题意可得，A城到B城的距离为60t如果该车的行驶速度增加3v，那么增加后的速度为（60+3v）所以增速后从A城到B城需要小时故选B试题难度：三颗星知识点：略10.果园里一共栽了1000颗树，其中有10行桃树，每行4a颗，梨树比桃树每行多栽8颗，则梨树栽的行数是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意可得，果园里栽的桃树的数量为，∴果园里栽的梨树的数量为，∵梨树比桃树每行多栽8颗∴果园里栽的梨树的行数为；故选A试题难度：三颗星知识点：略11.小红要打一份20000字的文件，第一天她打字100min，打字速度为a字/min，第二天她打字速度是第一天打字速度的2倍还多10字，若两天打完全部文件，则第二天她打字用了( )min.A. B.C. D.答案：A解题思路：由题意可得，第一天她打了100a字，∴第二天她需要打20000-100a，∵第二天她打字速度是第一天打字速度的2倍还多10字，∴第二天她打字速度为2a+10，∴第二天她打字用了；故选A试题难度：三颗星知识点：略。
分式1 分式定义和分式的基本性质
分式定义和分式的基本性质一、基础知识：1. 分式定义:（1）、代数式：用运算符号（包括加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连结而成的式子叫做代数式；单独一个数或一个字母 代数式；（2）、单项式：只含 运算的代数式叫做单项式；单独一个数或一个字母 单项式； 单项式中的叫做单项式的系数，单项式中所有字母指数的叫做单项式的次数；（3）、多项式：几个 的和叫做多形式；多形式中的每个单项式叫做多形式的 ，多形式里含有几项，就把这个多形式叫做 ，其中次数最高的项的次数叫做这个多形式的 ，不含字母的项叫做 ； （4）、整式： 和 统称为整式；（5）、分式:一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有 ，那么代数式 叫做分式，其中A 是分式的分子，B 是分式的分母。
2.分式的基本性质：（1）、分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以） 一个不等于 的整式，分式的值 ； 即A B =A×CB×C , A B =A÷CB÷C （其中C 是不等于0的整式）； （2）、有关概念：①分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的 ，叫做分式的约分；约分的目的是把分式 ；②最简分式：分子和分母没有 的分式叫做最简分式；③分式的通分：根据分式的基本性质，把几个 分母的分式变形成 分母的分式，叫做分式的通分，变形后的分母叫做这几个分式的公分母；④最简公分母：几个分式中各分母系数（都是整数）的最小 与所有字母的最高次幂的 叫做这几个分式的最简公分母。
二、经典例题： 题型一：考查分式的定义例1、下列代数式中：yx yx y x y x b a b a y x x -++-+--1,,,21,22π，分式有： 个。
变式训练：下列各式中哪些是分式：9x+4, x 7 , 209y +, 54-m , 238y y -，91-x题型二：考查分式有意义的条件 例2、当x 有何值时，下列分式有意义（1）44+-x x （2）122-x （3）xx 11-变式训练：当x 有何值时，下列分式有意义 （1）232+x x（2）3||6--x x题型三：考查分式的值为0的条件 例3、当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x变式训练：当x 取何值时，下列分式的值为0. （1）x x 37+ （2）xx 3217- （3）x 2−1x 2−x题型四：考查分式的值为正、负的条件例4、（1）当x 时，分式x-84为正； （2）当x 时，分式2)1(35-+-x x 为负；变式训练：当x 时，分式32+-x x 为非负数. 题型五：化分数系数、小数系数为整数系数例5、不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. （1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0变式训练：不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. yx yx 5.008.02.003.0+-题型六：分数的系数变号例6、不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）yx yx --+- （2）ba a---（3）b a ---变式训练：不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号.(1) 233ab y x -- (2) 2317ba ---题型七：约分例7、将下列各式 化为最简分式：（1）c ab bc a 2321525- （2）96922++-x x x （3）yx y xy x 33612622-+-变式训练：将下列各式 化为最简分式：（1）ac bc 2 （2）22)(y x xyx ++ (3)b a b ab a +++36922题型八：通分例8、通分：（1）xab ,yac ; (2)yx (y +1) ,xy (y +1); (3)aab−b ,bab +a.变式训练：通分:（1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--；题型九：化简求值题例9、已知：511=+y x ，求yxy x yxy x +++-2232的值. 变式训练：已知：311=-b a ，求a ab b b ab a ---+232的 ;例10、已知：21=-x x ，求221xx +的值. 变式训练：已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.例11、若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值.变式训练：若0106222=+-++b b a a ，求ba ba 532+-的值.三、巩固练习：1．当x 取何值时，下列分式有意义：（1）3||61-x（2）1)1(32++-x x2．当x 为何值时，下列分式的值为零： （1）4|1|5+--x x（2）562522+--x x x3．解下列不等式 （1）012||≤+-x x （2）03252>+++x x x4．不改变分式的值，把分式b a ba 10141534.0-+的分子、分母的系数化为整数. 5．如果21<<x ，试化简x x --2|2|xx x x |||1|1+---.6.分式11−x ,11+x ,12x1+x 的最简公分母为四、课后作业：1．当x 取何值时，分式x111+有意义：2当x 为何值时，分式 的值为零x x x --213.约分： （1）2)(xy yy x + （2）222)(y x y x --（3）b a abc ab 22369+ (4)122362+-x x4.通分：（1）22,21,1222--+--x x x x xx x ； （2）aa -+21,25．已知：31=+x x ，求1242++x x x 的值.。
人教版八年级数学上册 第 15 章《分式》 单元测试题(配套练习附答案)
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
当x=1时，原式= ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练的掌握分式的化简求值.
19.开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价格少2元
11.当a=______时， 的值为零．
【答案】﹣1．
【解析】
【分析】
根据分式的值为零的条件列式计算即可．
【详解】由题意得：a2﹣1=0，a﹣1≠0，
解得：a=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0．这两个条件缺一不可．
（1）求每支钢笔和每本笔记本各是多少元；
（2）学校运动会后，班主任再次购买上述价格的钢笔和笔记本共50件作为奖品，奖励给校运动会中表现突出的同学，总费用不超过200元．请问至少要买多少支钢笔？
【答案】（1）每支钢笔3元，每本笔记本5元；（2）至少要买25支钢笔．
【解析】
【分析】
（1）根据小芳用30元钱购买钢笔的数量是小亮用25元钱购买笔记本数量的2倍，已知每支钢笔的价格比每本笔记本的价铬少2元，可以得到相应的方程，解方程即可求得每支钢笔和每本笔记本各是多少元；
2018-2019年人教版八年级数学上册 第 15 章《分式》经典题型单元测试题
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题（每小题3分，共10小题）
1.若把 变形为 ，则下列方法正确的是
A.分子与分母同时乘 B.分子与分母同时除以
15.1.2_分式的基本性质1
分式中，当A=0且B ≠ 0时，分式 值为零。
A 的 B
复习题：
1. 下列各式中，属于分式的是（ B ）
x 1 A、 2
2 B、 x 1
2
1 2 C、 x y 2
a D、 2
2x 2. x取何值时，分式 有意义； x 4 x 4 3. x取何值时，分式 x 2 的值为零；
2
a 1 4. 分式 的值为零的条件是 a 1且b 1 . b1
1
2
y x 1 （5）.三个分式 2 x , 3 y 2 , 4 xy 的最简公分母是（ C ）
2 3 y B. C. 12 xy D. 12 x 2 y 2 2-2 2x （6） .分式 2 1 , x 的最简公分母是_________. x x 2( x 1)
A. 4 xy
2
x 4y 其中 x 2,y 3 （7）.化简求值： 2 4 x 8 xy
解： （2）最简公分母是 ( x 5)( x 5)
2 x 10 x 2x 2 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)( x 5) x 25
3 x 15 x 3x 3 x( x 5) 2 x 5 ( x 5)( x 5) x 25
2 2
当堂检测（参考答案）
填空：
2y （ ） （ 1） xy 2xy ２ 3x -3xy （ ） 3x （ 2） 2 x y x y2 30 m 5mn （ 3） 24 n （ ） 4n2 2 ab b a b （ 4） 2 ab b （ ） ab+1
尝试题：（典例）
填空：
3
观察分子分母如何变化
x2
x ( ) (1) xy y
15.1.2分式的基本性质
运用新知
追问1 由上例你能归纳出在分式中，找分子和分 母的公因式的方法是什么吗？
追问2 如果分式的分子或分母是多项式，那么该 如何思考呢？
课堂练习
练习3 下列分式中，是最简分式的是: （2）（4） （填序号）.
x x y （） ； 1 （2） ； 3x 2x x y x y （4） 2 ；（5） 2 ． 2 2 x y x y
探索新知
追问1 如何用式子表示分式的基本性质？
A AC A AC , （C 0） 其中A，B，C . B BC B B C 是整式.
探索新知
追问2 应用分式的基本性质时需要注意什么？
（1）分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算； （2）所乘（或除以）的必须是同一个整式； （3）所乘（或除以）的整式应该不等于零.
a ac a ， 一般地，对于任意一个分数 ，有 b bc b a a c （c 0） 其中a, b, c 是数． , b b c
探索新知
问题4 类比分数的基本性质，你能想出分式有什 么性质吗？
分式的基本性质： 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的 整式，分式的值不变．
新人教版数学八年级上册第15章
分式
师大附中高新实验中学
八年级数学备课组
课前查
[思考]：下列两式成立吗？为什么？
3 3c （c 4 4c
[对比]：
0）
5c 5 （c“ ”与“ ”； 2a 2 n n2 分式“ ”与“ ”相等吗？ m mn （a，m，n均不为0）
课堂练习
练习1 下列变形是否正确？如果正确，说出是如 何变形的？如果不正确，说明理由. x 1 x x2 （1） ；（2） ； 2x 2 x 1 x 1 x2 y 2 x y ． （3） x y 解：（1）正确．分子分母除以x ； （2）不正确．分子乘x，而分母没乘； （3）正确．分子分母除以（x -y）．
2014年 八年级数学上册同步讲义+同步练习-分式的基本性质
第15章 分式第01课 分式的基本性质知识点 一、分式分式的概念：一般地，形如BA的式子叫做分式，其中A 和B 均为整式，B 中含有字母。
分式是否有意义的识别方法：分式无意义的条件： ； 分式值为1的条件： ； 分式有意义的条件： ； 分式值为-1的条件： ； 分式为零的条件： ； 二、分式的基本性质：分式的分子与分母都 ，分式的值不变。
（1）分式的分子与分母都乘以（或除以）的整式不能等于零．（2）要充分理解基本性质中的“都”和“同”这两个字的含义，避免犯只乘分子或分母一项的错误． （3）分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中 ，分式的值不变．（4）因为分数线在分式中具有括号的作用，当分子或分母为多项式，要把它看作一个整体变号时，将多项式的各项都改变符号． 三、约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
分式约分的步骤：先 ，再 。
（1）如果分式的分子、分母是单项式，约去分子、分母的系数的最大公约数和相同因式的最低次幂． （2）如果分式的分子与分母都是多项式时，可先把分子、分母分解因式，然后约去分子与分母的公 因式．（3）当分式的分子或分母的系数是负数时，应先把负号提到分式的前边． 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
（既约分式） 分子、分母都是乘积形式时，才能约分． 四、通分：（1）分式通分的意义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
（2）通分的关键是确定几个分式的公分母。
（3）取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母，叫做最简公分母。
确定公分母时应注意：系数取 ，字母因式取 。
（4）约分是对一个分式而言，是将分式化简；通分是对几个分式而言，是将分式化繁。
根据分式的基本性质，将分式的分子和分母都乘以同一个数，就可以使它们各项的系数化为整数；这 个数显然应取分子、分母中各项系数的最小公倍数．分子或分母的系数是负数时，•一般先把负号提到分式本身的前面，或先去掉负号． 分子和分母中含有可以分解因式的多项式，应先把它们分解因式，•然后再约去公因式．19.当x 取什么值时，下列分式有意义： (1)32-x x (2)141+-x x (3)422+x x (4)1212+-+x x x (5)4-x x (6)21102x x -+20.当x 为什么数时，下列分式的值为零:(1)5412+-x x (2)221--x x (3)13+x x (4)392--x x第01课日期： 月 日 满分：100分 时间：20分钟 姓名： 得分： 1.分式13-+x ax 中，当a x -=时，下列结论正确的是（ ） A ．分式的值为零 B.分式无意义 C. 若31-≠a 时,分式的值为零 D. 若31≠a 时,分式的值为零 2.下列等式：①()ab a b cc---=-;②x y x y xx-+-=-;③a b a b cc-++=-;④m n m n mm---=-中,成立的是（ ）A.①②B.③④C.①③D.②④ 3.下列各式中，可能取值为零的是（ ）A.2211m m +-B.211m m -+ C.211m m +- D.211m m ++4.已知2111=-b a ，则ba ab -的值是( ) A.21 B.-21C.2D.-2 5.已知0199752=--x x ，则代数式21)2()2(22-+---x x x 的值为（ ）A.1999B.2000C.2001D.-26.对于分式5312-+x x ， （1）当 时，分式有意义； （2）当 时，分式无意义； （3）当 时，分式的值为0； （4）当 时，分式的值为1； （5）当 时，分式的值为-1； （6）当 时，分式的值大于0； （7）当 时，分式的值小于0．7.当x=________时，分式)3)(1(62----x x x x 的值为零．8.若53232++x x 的值为61，则36412-+x x 的值为 9.若分式1222-+x x 的值为正整数，则整数x 的值为10.已知1a 3<<-，化简分式12312+-+⋅-a a a a 的结果为11.化简：)2()1()()(343222a aba b b a ⋅⋅-⋅--12.化简：（1）9323496222-⋅+-÷-+-a a b a b a a（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛---÷⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--x x x x x 23441822213.已知y=123x x--,x 取哪些值时： （1）y 的值是正数； （2）y 的值是负数； （3）y 的值是零； （4）分式无意义．14.如果x 2-3x+1=0，求221x x +的值。
15.1.2分式的基本性质(三)通分 (2)
像这样，根据分式的式的通分.
追问1
你认为分式通分的关键是什么？
分式通分的关键是找出分式各分母的公分母.
追问2 母是什么？
2a b 1 上面问题中的分式 与 的公分 2 3ab 2a c
为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的 所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母 .
通分： x y 2c 3ac x 1 4 x 1 （） 1 与 ； （2） 与 2 ； （3） ， ， 3 ． 2 ab bc bd 4b 2 x 3 x 4 x
解：（3）最简公分母是 12 x 3 .
x 1 2 x 2 4 3x x 1 4 x3
（x 1） 6x 6（ x x 1） , 2 3 2 x 6 x 12 x 4 （ 4 x 2） 16 x 2 , 2 3 3x （ 4 x ） 12 x （x 1） （ 3） （ 3 x 1） . 3 3 4 x （ 3） 12 x
x xc xc , ab ab c abc y ya ya . bc bc a bca
通分： x y 2c 3ac x 1 4 x 1 （） 1 与 ； （2） 与 2 ； （3） ， ， 3 ． 2 ab bc bd 4b 2 x 3 x 4 x
解：（2）最简公分母是 4b 2 d . 2c 2c 4b 8bc , 2 bd bd 4b 4b d 3ac 3ac d 3acd . 2 2 2 4b 4b d 4b d
1、约分 ：
16x y (1) 4 20xy
x (4) 2 x 2x
2 3
x 4 (2) 2 x 4x 4
2
x xy (3) 2 x
2