平行四边形性质练习题
平行四边形的性质练习
1. 在平行四边形ABCD中，已知∠A＝40°，则∠B＝ ，∠C＝ ，∠D＝ .
2. 在中，∠A：∠B＝2：3，则∠B＝ ，∠C＝ ，∠D＝ ．
3. 若一个平行四边形相邻的两内角之比为2：3，则此平行四边形四个内角的度数分别
为__ ___．
4. 在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，周长等于24，则BC＝ ，CD＝ ，
AD＝ ．
5. 已知的周长为28cm，AB：BC＝3：4，则AB＝ ，BC＝ ，CD
＝ ，AD＝ ．
6. 在中，∠A＝30°，AB＝7 cm，AD＝6 cm，则＝____________．
7. 一个平行四边形的一边长是8，一条对角线长是6，则它的另一条对角线x的取值范
围为____________．
8. 中，周长为20cm，对角线AC交BD于点O，△OAB比△OBC的周长多4，
则边AB＝____________，BC＝____________．
9.
平行四边形的边长等于5和7，这个平行四边形锐角的平分线把长边分成两条线段长
各是____________．
10. 平行四边形两邻边分别是4和6，其中一边上的高是3，则平行四边形的面积是
____________．
11. 如图，中，对角线AC长为10 cm，∠CAB＝30°，
AB长为6 cm，则的面积是____________．
12. 平行四边形邻边长是4 cm和8cm，一边上的高是5 cm，则另一边上的高是
____________．
13. 已知O是的对角线交点，AC=10cm，BD=18cm，AD=•12cm，•则△BOC•的周长是
_______．
14. 已知的对角线AC，BD交于点O，△AOB的面积为2，那么平行四边形ABCD的面积
为_____．
15. 已知平行四边形的两邻边之比为2：3，周长为20cm，•则这个平行四边形的两条邻边长分别为
___________．
16．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________．
17．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ）
A．外角和等于360° B．对角线互相平分C．内角和等于360° D．有两条对角线
18如图，中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，
则四边形BCEF的周长为
19.如图，在平行四边形ABCD中，AB70，求平行四边形各角的度数。
A D
B C
20.如图12-1-5，在中，∠B＝120°，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥BC，垂足为F．求
∠ADE，∠EDF，∠FDC的度数．
21.如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，ΔAOB的周长为15，AB＝6，
那么对角线AC和BD的和是多少？
22.已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且EADBAF。
（1）说明CEF是等腰三角形。
（2）CEF的哪两边之和等于平行四边形ABCD的周长，为什么？
E
A
D
FBC
23.如图，已知的周长为60 cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△
BOC的周长长8cm，求这个四边形各边长．
24.如图，如果△AOB与△AOD的周长之差为8，而AB∶AD＝3∶2，那么的周
长为多少？
25.已知，如图12-1-9，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC交AB于E，EF
∥AC交BC于F，则BE＝FC，为什么？
26.如图：AD是△ABC的角平分线,DE∥AB，如果
BF=AE.
试说明：EF=BD
F
E
D
C
B
A
平行四边形练习题及答案
平行四边形练习题及答案1. 判断题：平行四边形的对角线是否一定相等？- 答案：错误。
只有矩形和正方形的对角线相等。
2. 选择题：下列哪个选项不是平行四边形的性质？- A. 对边相等- B. 对角相等- C. 对角线互相平分- D. 邻角互补- 答案：B。
平行四边形的对角不一定相等，这是矩形和正方形的特殊性质。
3. 计算题：如果一个平行四边形的一边长为10厘米，且相邻的两边夹角为60度，求对边的长度。
- 答案：由于平行四边形的邻角互补，所以另一个角也是60度。
这意味着平行四边形是一个菱形。
在菱形中，所有边长相等，所以对边的长度也是10厘米。
4. 证明题：证明平行四边形的对角线互相平分。
- 答案：设平行四边形为ABCD，对角线AC和BD相交于点E。
由于AB平行于CD，根据平行线的性质，∠BAC=∠DCA，同理∠ABC=∠BCD。
因此，△ABC和△CDA是相似三角形。
根据相似三角形的性质，我们可以得出AE/EC = BE/ED。
同理，我们可以证明AE/EC = BD/DC。
因此，AE = EC且BE = ED，证明了对角线互相平分。
5. 应用题：一个平行四边形的面积是64平方厘米，已知一边长为8厘米，求另一边的长度。
- 答案：平行四边形的面积公式是底乘以高。
设另一边的长度为x厘米，高为h厘米。
根据面积公式，8h = 64，解得h = 8厘米。
由于平行四边形的对边相等，另一边的长度也是8厘米。
练习题答案解析通过这些练习题，学生可以检验自己对平行四边形性质的理解，并通过计算和证明题来加深对平行四边形几何特性的认识。
这些题目覆盖了平行四边形的基本性质、面积计算以及证明题，有助于培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
希望这些练习题和答案能够帮助学生更好地掌握平行四边形的相关知识。
在解决实际问题时，学生应该灵活运用所学知识，结合图形的特点进行分析和计算。
2022-2023学年人教版八年下学期数学18.1..1平行四边形的性质 同步练习
18.1.1平行四边形的性质同步练习一、选择题1.在平行四边形ABCD中，如果∠A=35°，那么∠C的度数是（）A.145°B.65°C.55°D.35°2.如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AC=6，BD=10，则AB的长是（）A.3B.4C.5D.63.如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是（0，2），（-1，-1），（2，-1），则顶点D的坐标是（）A.(-3,2)B.(3,-2)C.(3,2)D.(2,2)4.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心，AB的长为半BF的长为半径径画弧，交AD于点F；分别以点B，F为圆心，大于12画弧，两弧相交于点G；连接AG并延长，交BC于点E，若AE=2√10，BF=2√6,则AB的长为（）A.3B.4C.5D.85.如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E. 若∠B=46°，则∠AEC的大小为（）A.110°B.113°C.125°D.134°6.如图，平行四边形ABCD的周长为36cm，△ABC的周长为28cm，则对角线AC的长为（）A.8cmB.9cmC.10cmD.12cm7.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线AC的中点，AC⊥AB，点E为AD中点，并且OF⊥BC，∠D=53°，则∠FOE的度数是（）A.137° B.153° C.127° D.143°8.如图，四边形ABCD为平行四边形，作∠BAD的平分线AE，交DC 边于点E，若∠DEA=30°，则∠C的度数为（）A.45°B.60°C.80°D.120°9.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BC=8，DB=12，AC=20，则四边形ABCD的面积是（）A.48B.40C.24D.9610.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD=60°，AD=2AB，连接OE，下列结论：=AB∙BD; ②DB平分∠ADE；③AB=DE；④S∆CDE=①S平行国边形ABCDS∆BOC，其中正确的有（）A.1 个B.2个C.3个D.4 个二、填空题1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DCCD，连接OE交BC于点F，若BC=12，的延长线上取点E，使CE=12则CF=________。
平行四边形性质和判定综合练习题(含答案)
平行四边形性质和判定综合练习题（含答案）平行四边形性质和判定综合习题精选一•解答题（共26小题）1. （2011?资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形, AE丄BD于E, CF丄BD于F.（1）求证：BE=DF ;（2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN , 试判断四边形MENF的形状.2. （2011?昭通）如图所示，平行四边形AECF的对角线相交于点O, DB经过点O,分别与AE ,CF 交于B, D.求证：四边形ABCD是平行四边形.卫 B £3. (2011?徐州)如图，在四边形ABCD中,AB=CD ,BF=DE , AE丄BD , CF丄BD ,垂足分别为E , F.(1)求证：△ ABE CDF ;4. （2011?铜仁地区）已知：如图，在△ ABC中，/ BAC=90 ° , DE、DF是厶ABC的中位线，连接EF、AD .求证：EF=AD .5. （2011?泸州）如图，已知D是厶ABC的边AB上一点，CE II AB ,DE交AC于点0,且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明.B C6. （2010?恩施州）如图，已知，平行四边形ABCD中，AE=CF , M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形. -三 -78平行四边形ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边厶ADE和等边△ BCF，连接BE、DF.求证：四边形BEDF是平行四边形.9. （2006?黄冈）如图所示，DB II AC，且DB= AC , E是AC的中点，求证：BC=DE .10. （2002?三明）已知D、E、F分别是△ ABC各边的中点, 求证：AE与DF互相平分.11•已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线AC 交 BD 于点0,四边形AODE 是平行四边形•求证:AB0E 、四边形DC0E 都是平行四边形.12•如图，已知四边形ABCD 中，点E , F , G , H 分别是13.如图：平行四边形 ABCD 中，MN II AC ,试说明 MQ=NP .四边形AB 、CD 、AC 、BD 的中点，并.一条直线上.求证：EF 和GH 互相平分.，F 、G 、H 有在同SD14•已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC, BD相交于点0, EF经过点0并且分别和AB , CD相交于点E，F，点G，H分别为0A，0C的中点•求证：四边形EHFG是平行四边形.15•如图，已知在平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG •(1)求证：四边形GEHF是平行四边形；(2)若点G、H分别在线段BA和DC 上,其余条件不变，则(1)中的结论是否成立？(不用说明理由)16•如图，在△ ABC中，D是AC的中点，延长线一点，过点A作BE的平行线与线段交于点F，连接AE、CF •(1)求证：AF=CE ;(2)如果AC=EF，且/ ACB=135 °是什么样的四边形，并证明你的结论.B仃•如图平行四边形ABCD中，/ ABC=60。
专题4.2 平行四边形的性质【八大题型】(举一反三)(浙教版)(解析版)
专题4.2 平行四边形的性质【八大题型】【浙教版】【题型1 利用平行四边形的性质求长度】 (1)【题型2 利用平行四边形的性质求角度】 (6)【题型3 利用平行四边形的性质求面积】 (10)【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】 (14)【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】 (19)【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】 (23)【题型7 利用平行四边形的性质求最值】 (29)【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】 (34)【题型1 利用平行四边形的性质求长度】【例1】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，∠BCD=60°，DC=6，点E、F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE，A′E恰好垂直于AD，若AE=5，则B′F的值为2（）A ．3B ．C ．−12D 【答案】C【分析】延长F B ′交AD 于点H ，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到A ′G =2A ′E =5，EG Rt△GH B ′中，得到H B ′=12G B ′=12，HG =△HEF 是等腰直角三角形，据此即可求解．【详解】解：延长F B ′交AD 于点H ，∵A ′E 恰好垂直于AD ，且四边形ABCD 是平行四边形，∴FH 也垂直于AD ，由折叠的性质得AE =A E ′=52，∠A ′EG =∠B ′HG =90°，∠A ′=∠A =60°，A ′B ′=AB =6，∴∠A ′GE =30°，∴A ′G =2A ′E =5，EG =在Rt △GH B ′中，∠B ′GH =30°，B ′G =A ′B ′−A ′G =1，∴H B ′=12G B ′=12，HG =∴EH =EG +GH =由折叠的性质得∠AEF =∠A ′EF ，∴180°−∠HEF =90°+∠HEF ，∴∠HEF =45°，∴△HEF 是等腰直角三角形，∴FH =EH =∴B ′F =−12，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明△HEF 是等腰直角三角形是解题的关键．【变式1-1】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于O ，EF 过点O 与AD ，BC 分别相交于E ，F ，若BC =8，OE =2，AB =4，那么四边形EFCD 的周长为（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】A 【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD =AB =4，AD =BC =8，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≅ △COF ，根据全等三角形的性质，得：OF =OE =2，CF =AE ，故四边形EFCD 的周长为CD +EF +AD =16．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD =AB =4，AD =BC =8，OA =OC ，AD ∥BC ，∴∠EAO =∠FCO ，∠AEO =∠CFO ，在△AOE 和△COF 中，∠EAO =∠FCO ∠AEO =∠CFO OA =OC，∴△AOE≅ △COF ，∴OF =OE =2，CF =AE ，∴四边形EFCD 的周长为CD +EF +ED +FC =CD +EF +AE +ED =CD +AD +EF =4+8+2×2=16，【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．【变式1-2】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）如图，▱ABCD 中，AB =6，AD =10，按以下步骤作图：①以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 于点E ，交BC 于点F ；②分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内相交于点P ；③画射线BP ，交AD 于点Q ，交对角线AC 于点O ．若BA ⊥CA ，则AO 的长度为（ ）A ．3BC ．32D ．【答案】A 【分析】先根据平行四边形的性质得到BC ＝AD ＝10，再利用勾股定理计算出AC ＝8，利用基本作图得到BQ 平分∠ABC ，则根据角平分线的性质得到点O 到BA 的距离等于点O 到BC 的距离，接着利用三角形的面积公式得到S △ABO ：S △BCO ＝AB ：BC ＝OA ：OC ，所以OA =38AC ．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴BC ＝AD ＝10，∵BA ⊥CA ，∴∠BAC ＝90°，在Rt △ABC 中，AC ==8，由作法得BQ 平分∠ABC ，∴点O 到BA 的距离等于点O 到BC 的距离，∴S △ABO ：S △BCO ＝AB ：BC ＝6：10＝3：5，∵S △ABO ：S △BCO ＝OA ：OC ，∴OA ：OC ＝3：5，∴OA ：AC ＝3：8，∴OA =38AC =38×8＝3．【点睛】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的性质是解题的关键．【变式1-3】（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市公益中学校考期中）如图，在▱ABCD中，AD=BD，∠ADC=105°，点E在AD上，∠EBA=60°，则ED的值是（）AEB C DA．2【答案】D【分析】由平行四边形的性质可求∠ADB=30°，由直角三角形的性质可求DE=，AE=BH，即可求解．【详解】解：如图，过点B作BH⊥AD于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠DAB=180°，∵∠ADC=105°，∴∠DAB=75°，∵AD=BD，∴∠DAB=∠DBA=75°，∴∠BDA=30°，∴BD=2BH=AD，DH，∴AH=，∵∠EBA=60°，∴∠BEA =180°−∠DAB−∠ABE =45°，∴∠EBH =45°=∠BEH ，∴BH =EH ，∴DE =，AE =，∴ED AE ==故选：D ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．【题型2 利用平行四边形的性质求角度】【例2】（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）在▱ABCD 中，AC 、BD 交于点O ．过点O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ，连接DE ．若∠CDE ＝∠CBD ＝15°．求∠ABC 的度数．【答案】45°【分析】由线段垂直平分线的性质得出BE ＝ED ，得出∠CBD =∠BDE =15° ，求出∠ABD =30°，则可得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB =OD ，∵OE ⊥BD ，∴BE =ED ，∴∠CBD =∠BDE =15°，∵∠CDE =15°，∴∠BDC =30°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠ABD =∠BDC =30°，∴∠ABC =∠ABD +∠CBD =30°+15°=45°．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及平行四边形的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．【变式2-1】（2022秋·四川成都·九年级成都七中校考期中）若平行四边形ABCD的两个内角∠A:∠B=1:2，则∠A的度数是（）A．45°B．60°C．90°D．120°【答案】B【分析】根据平行四边形的性质可得到∠A与∠B是邻角并且互补，再结合∠A:∠B=1:2列方程，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A+∠B=180°，∵∠A:∠B=1:2，∴∠A+2∠A=180°，解得∠A=60°，故选B．【点睛】本题考查平行四边形性质，熟知平行四边形邻角互补是解答的关键．【变式2-2】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形ABCD的边CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使AD=DE=CE，∠DEC=90°，且点E在平行四边形内部，连接AE、BE，则∠AEB的度数是（）．A．130°B．135°C．150°D．125°【答案】B【分析】先证明AD=DE=CE=BC，得出∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，求出∠ADC=225°−2x，∠BCD=225°−2y，由平行四边形的对角相等得出方程，求出x+y=135°，即可得出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠BAD=∠BCD，∠BAD+∠ADC=180°，∵AD=DE=CE，∴AD=DE=CE=BC，∴∠DAE=∠AED，∠CBE=∠CEB，∵∠DEC=90°，∴∠EDC=∠ECD=45°，设∠DAE=∠AED=x，∠CBE=∠CEB=y，∴∠ADE=180°−2x，∠BCE=180°−2y，∴∠ADC=180°−2x+45°=225°−2x，∠BCD=225°−2y，∴∠BAD=180°−(225°−2x)=2x−45°，∴2x−45°=225°−2y，∴x+y=135°，∴∠AEB=360°−135°−90°=135°；故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质(对边平行且相等，对角相等)，等腰三角形的性质(两底角相等) ，解题的关键是找到∠AED和∠CEB之间的关系．【变式2-3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC 于点E，G为线段AE上一点且满足EG=BC，AG=CE，连CG并延长交AB于点F，则∠BFC的度数为_____．【答案】45°【分析】连接DG，根据平行四边形的性质证明△ADG≌△ECG(SAS)，可得DG=CG，∠ADG=∠ECG，然后证明△DGC是等腰直角三角形，进而可以解决问题．【详解】解：如图，连接DG，在平行四边形ABCD 中，AB∥CD ，AD∥BC ，AD =BC ，∵AE ⊥BC ，∴AE ⊥AD ，∴∠DAG =∠GEC =90°，∵EG =BC ，∴EG =AD ，在△ADG 和△ECG 中，AD =EG ∠DAG =∠GEC =90°AG =EC，∴△ADG≌△ECG (SAS)，∴DG =CG ，∠ADG =∠ECG ，∵∠ADG +∠AGD =90°，∴∠EGC +∠AGD =90°，∴∠DGC =90°，∴△DGC 是等腰直角三角形，∴∠DCG =45°，∵AB∥CD ，∴∠BFC =∠DCG =45°．故答案为：45°．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ADG≌△ECG．【题型3 利用平行四边形的性质求面积】【例3】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十五中学校考阶段练习）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC 于E，AF⊥CD于F，AE=3，AF=7，平行四边形ABCD的周长为60，则平行四边形ABCD的面积是（）A．36B．48C．63D．75【答案】C【分析】由平行四边形的对边相等可得一组对边的和为30，设BC为未知数，利用两种方法得到的平行四边形的面积相等，可得BC长，乘以3即为平行四边形的面积．【详解】解：∵平行四边形ABCD的周长为60，∴BC+CD=30，设BC为x，=BC⋅AE=CD⋅AF，∵S▱ABCD∴3x=(30−x)×7，解得：x=21，∴▱ABCD的面积为21×3=63，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边相等，面积等于底×高．【变式3-1】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，m∥n，点C、D、E在直线m上，四边形ABED为平行四边形，若△ABC的面积为5，则平行四边形ABED的面积是______．【答案】10【分析】根据平行线间的距离相等以及平行四边形的对边相等即可得出答案．【详解】解：连接BD，∵m∥n，∴S△ABC=S△ABD，∵四边形ABED为平行四边形，∴AB=DE，∴S△ABC=S△ABD=S△BDE，∴平行四边形ABED的面积等于S△ABD+S△BDE=5+5=10，故答案为：10．【点睛】本题考查了平行线的性质以及平行四边形的性质，根据同底等高的两个三角形面积相等以及等底等高的两个三角形面积相等是解本题的关键．【变式3-2】（2022春·辽宁葫芦岛·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(m,0)，B(n,0)，且m，n满足(m+1)2+|n−3|=0，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD．(1)补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标；(2)平行四边形ABCD的面积是多少？(3)在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)图见解析，A(−1,0)，B(3,0)，C(4,3)，D(0,3)(2)12(3)存在，(11,0)或(−5,0)【分析】（1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得m,n 的值，再根据平移的性质、线段的画法补全图形，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点C,D 的坐标；（2）先求出AB =4，OD =3，再利用平行四边形的面积公式即可得；（3）设点M 的坐标为M (a,0)，则BM =|a−3|，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程可得a 的值，由此即可得．（1）解：∵(m +1)2+|n−3|=0，∴m +1=0，n−3=0，解得m =−1，n =3，∴A (−1,0)，B (3,0)，补全图形如下：由平移的性质得：C (3+1,0+3)，D (−1+1,0+3)，即C (4,3)，D (0,3)．（2）解：∵A (−1,0)，B (3,0)，D (0,3)，∴AB =3−(−1)=4，OD =3，则平行四边形ABCD 的面积是AB ⋅OD =4×3=12．（3）解：如图，设点M 的坐标为M (a,0)，则BM =|a−3|，∵△MBD 的面积等于平行四边形ABCD 的面积，∴12OD ⋅BM =12，即12×3|a−3|=12，解得a=11或a=−5，所以存在这样的点M，此时点M的坐标为(11,0)或(−5,0)．【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，熟练掌握平移作图是解题关键．【变式3-3】（2022春·吉林长春·八年级长春市第四十五中学校考期中）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长为1，小正方形的顶点称为格点，点A在格点上．用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点在格点上．(1)在图①中以点A为顶点，画一个面积为6的平行四边形．(2)在图②中以点A为对角线交点，画一个面积为6的平行四边形．【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）根据要求，画出平行四边形即可；（2）根据要求，画出平行四边形即可．【详解】（1）解：如图，平行四边形ABCD即为所求；由图可知：平行四边形ABCD的面积=3×2=6；（2）解：如图，平行四边形EFGH即为所求；由图可知：平行四边形EFGH的面积=3×2=6．【点睛】本题考查网格作图，平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的的关键．【题型4 平行四边形的性质在折叠中的运用】【例4】（2022春·吉林长春·八年级校考期中）如图，将平行四边形ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点B′处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（）．A．124°B．114°C．104°D．56°【答案】A【分析】根据折叠、平行四边形的性质，三角形的内角和定理，即可求出答案．【详解】解：由折叠得，∠4=∠5，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠5=∠3，∴∠3=∠4，又∵∠1=∠3+∠4=48°，×48°=24°，∴∠5=∠4=∠3=12在△ABC中，∠B=180°−∠5−∠2=180°−24°−32°=124°，故选：A．【点睛】本题考查折叠的性质、平行四边形的性质，三角形的内角和定理等知识，由图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键．【变式4-1】（2022春·河南南阳·八年级校联考期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC上的点，EF=6，∠DEF=60°，将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EF C′D′，E D′交BC于点G，则△GEF的周长为（）A．6B．12C．18D．24【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EFG=∠DEF=60°，根据折叠的性质得到∠GEF=∠DEF=60°，推出△EGF是等边三角形，于是得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠EFG=∠DEF=60°，∵将四边形EFCD沿EF翻折，得到四边形EF C′D′，∴∠GEF=∠DEF=60°，∴∠EGF=60°，即∠EFG=∠GEF=∠EGF=60°，∴△EGF是等边三角形，∵EF=6，∴△GEF的周长=18，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握翻折变换的性质是解决问题的关键．【变式4-2】（2022秋·浙江宁波·八年级期末）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，点A恰好落在BC边上的点G处．若∠A=45°，AB5BE=AE．则AF长度为_____．【答案】152【分析】过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，可得△BEN和△ABM是等腰直角三角形，然后利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BM⊥AD于点M，过点F作FH⊥BC于点H，过点E作EN⊥CB延长线于点N，得矩形BHFM，∴∠MBC=90°，MB=FH，FM=BH，∵AB5BE=AE，∴AE BE由折叠的性质可知：GE=AE GF=AF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABN=∠A=45°，∴△BEN 和△ABM 是等腰直角三角形，∴EN =BN =2BE =1，AM =BM =2AB =6，∴FH =BM =6，在Rt △GEN 中，根据勾股定理，得E N 2+G N 2=G E 2，∴12+G N 2=2，解得GN =±7（负值舍去），∴GN =7，设MF =BH =x ,则GH =GN -BN -BH =7-1-x =6-x ，GF =AF =AM +FM =6+x ，在Rt △GFH 中，根据勾股定理，得G H 2+F H 2=G F 2，∴(6−x)2+62=(6+x)2，解得x =32，∴AF =AM +FM =6+32=152．∴AF 长度为152．故答案为：152．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握翻折的性质．【变式4-3】（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）四边形ABCD 为平行四边形，己知AB BC ＝6，AC ＝5，点E 是BC 边上的动点，现将△ABE 沿AE 折叠，点B ′是点B 的对应点，设CE 长为x ，若点B ′落在△ADE 内（包括边界），则x 的取值范围为____________．【答案】x 2【分析】如图1，当B′在AD上，易证由四边形CD B′E为平行四边形，得到CE=D B′=6−2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当B′在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝CE的另一个临界值，问题得解．【详解】解：如图1，当B′在AD上，此时，AB=A B′，∠B=∠A B′E=∠D，∴B′E∥CD，∵AD∥BC，∴四边形CD B′E为平行四边形，∴CE=D B′=6−如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当B′在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，∴DA＝DE在Rt△ABG和Rt△ACG中，AG2=AB2−BG2=AC2−CG2∴2−B G2=52−(6−BG)2∴BG＝2，∴AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝∴CE＝2；综上：x的取值范围为：x2．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．【题型5 平行四边形的性质在坐标系中的运用】【例5】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为(1,−1)，(−2,3)，(a,0)，(0,b)．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则a+b的值不可能是（）A．-7B．-1C．1D．7【答案】B【分析】分三种情况：①BC为对角线时，②AB为对角线时，③AC为对角线时；由平行四边形的性质容易得出a,b的值．【详解】解：分三种情况：①BC为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴−2a2=102，302=b−12解得;a=3,b=4∴a+b=7②AB为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴−212=a02，3(−1)2=b02解得;a=-1,b=2∴a+b=1③AC为对角线时，∵A(1,−1)，B(−2,3)，C(a,0)，D(0,b)∴1a2=−202，−102=b32解得;a=-3,b=-4∴a+b=−7故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键．【变式5-1】（2022春·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A（-3，0）、B （0，-4），点P是y轴上一动点，连接AP并延长至点D，使PD=AP，以AB、AD为邻边作□ABCD，连接OC，当OC长最小时，则点P的坐标是________．【答案】(0,2)【分析】设点P（0，y），先求出点C，点D坐标，由点C的坐标知点C在垂直于x轴的直线上，由垂线段最短，可得当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即可求解．【详解】解：设点P（0，y），∵PD=AP，点A（-3，0），∴点D（3，2y），∵点A（-3，0）、B（0，-4），四边形ABCD是平行四边形，∴C（6，2y-4），∴点C在x=6这条直线上运动，∴当点C在x轴上时，OC长度的最小值为6，即2y-4=0，∴y=2，∴点P（0，2）．故答案为（0，2）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂线段最短，掌握平行四边形的性质是解题的关键．【变式5-2】（2022春·重庆·八年级重庆南开中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，D是平行四边形ABOC内一点，CD与x轴平行，AD与y轴平行，已知AD=2，CD=8，∠ADB=135°，S△ABD=6，则D 点的坐标为_______．【答案】（-2，8）【分析】过点B 作BE ⊥y 轴于E 点，交AD 的延长线于点F ，先通过AAS 证出△BOE ≌△CAD ，根据全等三角形的性质得到OE =AD ，BE =CD ，根据三角形的面积即可得到结论．【详解】过点B 作BE ⊥y 轴于E 点，交AD 的延长线于点F ，∵四边形ABOC 是平行四边形，∴AC =OB ，AC ∥OB ，∴∠OGC =∠BOE ，∵AD ∥y 轴，∴∠DAC =∠OGC ，∴∠BOE =∠DAC ，在△BOE 和△CAD 中，∠BEO ＝∠CDA ∠BOE ＝∠CAD BO ＝AC，∴△BOE ≌△CAD （AAS ），∴OE =AD =2，BE =CD =8，∵S △ABD =6，∴12AD •BF =6，×2×BF=6，∴12∴BF=6，∴EF=BE-BF=2，∵∠ADB=135°，∴∠BDF=45°，∴BF=DF=6，∵DF+OE=6+2=8∴D（-2，8），故答案为：（-2，8）．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形的性质等知识，证得△BOE≌△CAD是解题的关键．【变式5-3】（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在直角坐标系中，平行四边形ABCD的BC边在x轴上，点A(0，3)，B(−1，0)，若直线y=−2x+4恰好平分平行四边形ABCD的面积，则点D的坐标是_____________．3【分析】连接BD，设D(m，3)，BD的中点为T，求出点T的坐标，利用的待定系数法，可得结论．【详解】解：连接BD，设D(m，3)，BD的中点为T，∵B(−1，0)，∴∵直线y=−2x+4平分平行四边形ABCD的面积，∴直线y=−2x+4经过点T，∴32=−2×m−12+4，∴m=72，∴3，3．【点睛】本题考查了平行四边形的性质和求点的坐标，解决本题的关键是连接BD，找到BD的中点坐标．【题型6 利用平行四边形的性质进行证明】【例6】（2023秋·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，AE平分∠BAD分别交BC、BD于点E、F．(1)尺规作图：作∠BCD的角平分线，交AD于点H，交BD的于点G．（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）问的条件下，求证：BF=DG．证明：四边形ABCD是平行四边形∴AB=CD，①∴∠ABD =∠CDB ，∵AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∴ ② ，∠DCH =12∠BCD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴ ③∴∠BAE =∠DCH ，在△ABF 和△CDG 中，∠ABD =∠CDB ④∠BAE =∠DCH，∴△ABF≌△CDG (ASA)．∴BF =DG【答案】(1)作图见详解(2)AB ∥CD ，∠BAF =12∠BAD ，∠BAD =∠DCB ，AB =CD 【分析】（1）以点C 为圆心，以任意长为半径画弧，分别交BC ，DC 于点M ，N ，连接MN ，分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 为半径画弧，交于点P ，连接CP ，交AD 于点H ，交BD 的于点G ，由此即可求解；（2）平行四边形ABCD 中，可知AB =CD ，AB ∥CD ，AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∠BAF =12∠BAD ，∠DCH =12∠BCD ，从而证明△ABF≌△CDG (ASA)，由此即可求解．【详解】（1）解：如图所示，∴CH 为∠BCD 的角平分线．（2）证明：四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB ∥CD ，∴∠ABD =∠CDB，∵AE 平分∠BAD ，CH 平分∠BCD ，∴∠BAF =12∠BAD ，∠DCH =12∠BCD ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴∠BAD =∠DCB ，∴∠BAE =∠DCH ，在△ABF 和△CDG △CDG 中，∠ABD =∠CDB AB =CD ∠BAE =∠DCH，∴△ABF≌△CDG (ASA)．∴BF =DG ．故答案为：①AB ∥CD ；②∠BAF =12∠BAD ；③∠BAD =∠DCB ；④AB =CD ．【点睛】本题主要考查尺规作角平分线，三角形全等的判定和性质，掌握角平分线的画法，三角形全等的判定和性质是解题的关键．【变式6-1】（2022春·广东江门·八年级江门市怡福中学校考阶段练习）如图，在▱ABCD 中，点E 是CD 边的中点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，连接BE ，BE ⊥AF ．(1)求证：△ADE≌△FCE ；(2)求证：AE 平分∠DAB ；(3)若∠DAB =60°，AB =4，求▱ABCD 的面积．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得∠D =∠ECF ，根据对顶角相等，∠DEA =∠CEF ，再根据点E 是CD 边的中点，即可求证；（2）通过证明△ABF为等腰三角形，即可求证；（3）由题意可得，▱ABCD的面积等于△ABF的面积，利用含30°角直角三角形的性质，即可求解．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∵点E是CD边的中点，∴DE=CE，又∵∠DEA=∠CEF，∴△ADE≌△FCE(ASA)；（2）证明：由（1）可得△ADE≌△FCE，∴AE=EF，即BE为△ABF的中线，∠F=∠DAE，又∵BE⊥AF，∴△ABF为等腰三角形，∴AB=BF，∠F=∠BAE∴∠DAE=∠BAE，即AE平分∠DAB；（3）解：由（2）可得AE平分∠DAB；又∵∠DAB=60°∴∠EAB=30°，∵BE⊥AF，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，∠EAB=30°，AB=4，∴BE=12AB=2，∴AE=∴AF=2AE=由（1）可得△ADE≌△FCE，则S△ADE =S△CEF，∴S▱ABCD=S△ABF=12AF×BE=【点睛】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含30°角直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．【变式6-2】（2022秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上两个点，且BE=DF(1)求证：AE =CF ；(2)若AD =AE ，∠DFC =140°，求∠DAE 的度数=______【答案】(1)见解析(2)100°【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥DC 、AB =CD 即∠ABE =∠CDF ，然后证得△ABE≅△CDF 即可证得结论；（2）由△ABE≅△CDF 可得∠AEB =∠CFD =140°，进而求得∠AED ，再根据AD =AE 可得∠ADE ，最后根据三角形内角和定理即可解答．【详解】（1）证明：∵平行四边形ABCD∴AB∥DC ，AB =CD ，∴∠ABE =∠CDF在△ABE 和△CDF 中AB =CD ∠ABE =∠CDF BE =DF∴△ABE≅△CDF (SAS)∴AE =CF ．（2）解：∵△ABE≅△CDF ，∠DFC =140°∴∠AEB =∠CFD =140°∴∠AED =180°−∠AEB =40°∵AD =AE∴∠AED =∠ADE =40°∴∠DAE =180°−∠AED−∠ADE =100°．故答案为：100°．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．【变式6-3】（2022秋·吉林长春·八年级长春外国语学校校考阶段练习）如图，▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F.(1)求证：OE=OF；(2)若BC=4，AB=3，OF=2，求四边形CDFE的周长.【答案】(1)见解析(2)四边形CDFE的周长为11【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA=OC，AD∥BC，继而可证得△AOE≌△COF(ASA)，则可证得结论；（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE，∵在△OAF和△OCE中∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE，∴△AOE≌△COF(ASA)，∴OF=OE．（2）解：∵△AOF≌△COE，∴AF=CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=CD，∵BC=4，AB=3，OE=OF=2，∴C四边形CDFE =EF+DF+CE+CD=2OE +DF +AF +CD=2OE +AD +CD=4+4+3=11．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．【题型7 利用平行四边形的性质求最值】【例7】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠BCD =90°，AB =AD ，若AC =5cm ，求四边形ABCD 的面积．解：延长线段CB 到E ，使得BE =CD ，连接AE ，我们可以证明△BAE≌△DAC ，根据全等三角形的性质得AE =AC =5，∠EAB =∠CAD ，则∠EAC =∠EAB +∠BAC =∠DAC +∠BAC =∠BAD =90°，得S 四边形ABCD =S △ABC +S △ADC =S △ABC +S △ABE =S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．(2)如图2，在△ABC 中，∠ACB =90°，且AC +BC =4，求线段AB 的最小值．(3)如图3，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，且∠BOC =60°；AC +BD =10，则AD 是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出AD 的最小值及此时平行四边形ABCD 的面积．【答案】(1)12.5(2)(3)不是，52，4【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC 的面积，从而可以得到四边形ABCD 的面积；（2）由勾股定理可得AB（3）由平行四边形的性质可得BO+CO=5，AD=BC，由勾股定理可求BC=可求BC的最小值，即可求解．【详解】（1）解：由题意可得，AE=AC=5，∠EAC=90°，则△EAC的面积=12×AE⋅AC=12×5×5=12.5(cm2)，即四边形ABCD的面积为12.5cm2，故答案为：12.5；（2）解：∵AC+BC=4，∴BC=4−AC，∵∠ACB=90°，∴AB∴当AC=2时，AB取最小值，最小值为（3）解：如图，过点B作BH⊥AC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，AD=BC，∵AC+BD=10，∴BO+CO=5，∴CO=5−BO，∵∠BOC=60°，BH⊥AC，∴∠OBH=30°，∴HO=12BO，BH==，∴CH=CO−HO=5−32BO，∵BC =∴当BO =52时，BC 有最小值52，即AD 的最小值为52，此时：BO =BC =52，∠BOC =60°，∴ △BOC 是等边三角形，∴S ▱ABCD =4S △BOC =4综上可知，AD 不是定值，AD 的最小值为52，此时平行四边形ABCD 的面积为4．【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键．【变式7-1】（2022秋·陕西宝鸡·九年级统考期中）如图，在△ABC 中，AB =BC =10，AC =12，D 是BC 边上任意一点，连接AD ，以AD ，CD 为邻边作平行四边形ADCE ，连接DE ，则DE 长的最小值为___________．【答案】9.6【分析】设AC,ED 交于点O ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，勾股定理求得OB ，等面积法求得OF ，根据垂线段最短，当点D 与点F ，重合时，OD 最小，进而求得DE 的最小值，即可求解．【详解】设AC,ED 交于点O ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，如图所示，在四边形ADCE 中，AO =CO ，EO =DO ，∵AB =BC =10，∴BO ⊥AC ，∵AC =12，∴AO =CO =6,在Rt △BOC 中，BO ==8，∵S △OBC =12CO ⋅BO =12BC ⋅OF ，∴OF =4.8，当点D 与点F ，重合时，OD 最小，∴ED 的最小值为2OD =9.6．故答案为：9.6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握以上知识是解题的关键．【变式7-2】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD 中，BC =6，∠ABC =60°，BE 平分∠ABC ，点F 为BC 上一点，点G 为BE 上一点，连接CG ，FG ，则CG +FG 的最小值为_________．【答案】【分析】在AB 上取一点H ，使BH =BF ，则GF =GH ，所以CG +FG =CG +HG ，因此当C 、G 、H 在同一直线上，且CH ⊥AB 时，CG +FG =CG +HG 最小，最小值为CH ．【详解】在AB 上取一点H ，使BH =BF ，∵BE 平分∠ABC ，∴GF =GH ，∴CG+FG=CG+HG，∴当C、G、H在同一直线上，且CH⊥AB时，CG+FG=CG+HG最小，最小值为CH．∵BC=6，∠ABC=60°，∴∠BCH=30°，∴BC=2BH，BC=3，∴BH=12∴CH=故答案为：【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，熟练运用轴对称的性质是解题的关键．，∠ACB=30°，AC⊥AB，【变式7-3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在▱ABCD中，AO=32点E在AC上，CE=1，点P是BC边上的一动点，连接PE、PA，则PE+PA的最小值是________．【分析】过点A作直线BC的对称点F，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，过点E作直线CF的垂线，利用含30度的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解．【详解】解：过点A作直线BC的对称点F，连接AF、FC，连接EF交BC于点P，此时PE+PA有最小值，最小值为EF的长，∵点A与点F关于直线BC对称，∴CA =CF ，∠ACB =∠FCB =30°，则∠ACF =60°，∴△ACF 是等边三角形，∵在▱ABCD 中，AO =32，∴CF =AC =2AO =3，过点E 作直线CF 的垂线，垂足为点G ，∵∠ACF =60°，∴∠CEG =30°，∴CG =12CE =12，EG =2，∴FG =FC−CG =52，∴EF ==∴PE +PA【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．【题型8 平行四边形的性质与动点的综合】【例8】（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =9cm ，BC =24cm ，E 是BC 的中点． 动点P 从点A 出发沿AD 向终点D 运动，动点P 平均每秒运动1 cm ；同时动点Q 从点C 出发沿CB 向终点B 运动，动点Q 平均每秒运动2 cm ，当动点P 停止运动时，动点Q 也随之停止运动．(1)当动点P 运动t (0<t <9)秒时，则PD =________；(用含t 的代数式直接表示)(2)当动点Q 运动t 秒时，① 若0<t <6，则EQ =________；(用含t 的代数式直接表示)② 若6<t <9，则EQ =________；(用含t 的代数式直接表示)(3)当运动时间t 为多少秒时，以点P ，Q ，D ，E 为顶点的四边形是平行四边形？【答案】(1)9−t ；(2)①12−2t ；② 2t−12；(3)t 为3秒或7秒时．【分析】（1）根据题意得：AP =t ，AD =9，即可得出答案；（2）①若0<t <6，CQ =2t ，CE =12，即可得出EQ =12−2t ；② 若6<t <9，CQ =2t ，CE =12，即可得出EQ =2t−12；（3）分别从当Q 运动到E 和C 之间和当Q 运动到E 和B 之间，去分析求解即可求出答案．【详解】（1）解：根据题意得：AP =t ，AD =9，∴PD =AD−AP =9−t ，故答案为：9−t ；（2）解：①若0<t <6，CQ =2t ，CE =12BC =12×24=12，∴EQ =12−2t ，故答案为：12−2t ；② 若6<t <9，CQ =2t ，CE =12BC =12×24=12，∴EQ =2t−12，故答案为：2t−12；（3）解：如图所示：∵E 是BC 的中点，∴BE =12BC =12×24=12，① 当Q 运动到E 和C 之间时，设运动时间为t ，则：12−2t =9−t ，解得：t =3，② 当Q 运动到E 和B 之间时，设运动时间为t ，则：2t−12=9−t ，。
平行四边形的性质--练习题
18.1.1 平行四边形的性质 一.选择题 1.如图,在平行四边形ABCD中,∠A+∠C=130°,则∠B的度数为( )
A.130° B.115° C.105° D.95° 2.如图,在∠ABCD中,AD=7,AB=5,DE平分∠ADC交BC于点E,则BE的长是( )
A.2 B.3 C.4 D.5 3. 已知O为平行四边形ABCD对角线的交点,∠AOB的面积为1,则平行四边形的面积为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4. 如图,在▱ABCD中, ∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,则∠E+∠F的值为( )
A.110° B.30° C.50° D.70° 5. 如图，在□ABCD中，下列结论一定正确的是( )
A．AC∠BD B．∠A＋∠B＝180° C．AB＝AD D．∠A≠∠C 6. 如图，在□ABCD中，已知AD＝12 cm，AB＝8 cm，AE平分∠BAD交BC于点E，则CE的长等于( ) A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm 7. 如图,在平行四边形ABCD中,AC,BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则图中阴影部分的面积为( )
A.3 B.6 C.12 D.24 8. 根据如图所示的(1),(2),(3)三个图所表示的规律,依次下去第n个图中平行四边形的个数是( )
A.3n B.3n(n＋1) C.6n D.6n(n＋1) 二、填空题 9. ▱ABCD的周长为60cm,其对角线交于O点,若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm,则AB＝______,BC＝______. 10. 已知:平行四边形一边AB=12cm,它的长是周长的61,则BC=___cm,CD=___cm. 11．如图，将ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，DE交BC于点F．若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E的度数为 。
（11题图） （12题图） 12．如图，P为平行四边形ABCD内的任意一点，SABCD=20cm2，则S阴影= cm2．
考点06 平行四边形、菱形的判定与性质专项练习(解析版)
人教版2020——2021年八年级下册新题平行四边形、菱形的判定与性质专项练习1．（2020春•揭西县期末）如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC边上的点，且AE＝CF，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是平行四边形．【分析】由平行四边形的性质得到AD＝BC，AD∥BC，由已知得到ED＝BF，根据平行四边形的判定即可得到结论．【解答】证明：∵ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴ED∥BF，又∵AE＝CF，且ED＝AD﹣AE，BF＝BC﹣CF，∴ED＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．2．（2020春•汉川市期末）如图，将▱AECF的对角线EF向两端延长，分别至点B和点D，且使EB＝FD．求证：四边形ABCD为平行四边形．【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，OE＝OF，证出OB＝OD．即可得出结论．【解答】证明：连接AC与BD交于点O．如图所示：∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EB＝FD，∴OB＝OD．∴四边形ABCD是平行四边形．3．（2020秋•朝阳区校级期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，M，N分别是AB、AD的中点．（1）求证：四边形AMON是平行四边形；（2）若AC＝6，BD＝4，∠AOB＝90°，求四边形AMON的周长．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝BO，BO＝CO，AB∥CD，AD∥BC，根据三角形中位线的性质得到∴MO∥BC，NO∥CD，根据平行四边形的判定可证得结论；（2）由勾股定理求得AB＝，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到OM＝AM＝，进而可求得结论．【解答】（1）根据平行四边形的性质得到AO＝OC，BO＝OD，AB∥CD，AD∥BC，由三角形的中位线的性质得到MO∥BC，NO∥CD，∴MO∥AN，NO∥AM，∴四边形AMON是平行四边形；（2）解：∵AC＝6，BD＝4，∴AO＝3，BO＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∴OM＝AM＝MB＝，∴NO＝AN＝，四边形AMON的周长＝AM+OM+AN+NO＝2．4．（2020秋•九龙坡区校级期末）如图，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB向外作等边△ACE，等边△ABD，取AB的中点F，连接DF、EF，已知∠BAC＝30°．（1）求证：四边形ADFE是平行四边形；（2）若BD＝4，求四边形BCEF的面积．【分析】（1）先证Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），得DF＝AC，再证DF＝AE，然后证DF∥AE，即可得出结论；（2）由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，则四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积，即可求解．【解答】（1）证明：∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴AB＝2BC，又∵△ABD是等边三角形，F是AB的中点，∴AD＝AB＝BD，AB＝2AF，DF⊥AB，∴AF＝BC，在Rt△AFD和Rt△BCA中，，∴Rt△AFD≌Rt△BCA（HL），∴DF＝AC，∵△ACE是等边三角形，∴∠EAC＝60°，AC＝AE，∴∠EAB＝∠EAC+∠BAC＝90°，∴DF＝AE，又∵DF⊥AB，∴DF∥AE，∴四边形ADFE是平行四边形；（2）解：由（1）得：△AEF的面积＝△ADF的面积＝△ABC的面积，AB＝BD＝4，BC＝AB＝2，AC ＝BC＝2，∴四边形BCEF的面积＝△ACE的面积+△ABC的面积﹣△AEF的面积＝△ACE的面积＝×（2）2＝3．5．（2020秋•溧阳市期末）如图，四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝DA．求证：（1）△ABD≌△CDB；（2）AB∥CD，AD∥CB．【分析】（1）根据SSS证明△ABD≌△CDB解答即可；（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．【解答】证明：（1）在△ABD和△CDB中，，∴△ABD≌△CDB（SSS）；（2）∵△ABD≌△CDB，∴∠ABD＝∠CDB，∠ADB＝∠CBD，∴AB∥CD，AD∥BC．6．（2020秋•龙凤区校级期末）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC 的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．（1）求证：BD、EF互相平分；（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．【分析】（1）欲证明BD、EF互相平分，只要证明四边形DEBF是平行四边形即可；（2）根据等边三角形的判定和性质以及解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，∴AE＝AD，CF＝CB，∴AE＝CF，∴AB﹣AE＝CD﹣CF即BE＝DF，∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．∴BD、EF互相平分；（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形，∵AD＝4，∴DE＝AE＝4，∵AE＝2EB，∴BE＝GE＝2，∴BG＝4，过D点作DG⊥AB于点G，在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，∴AG＝AD＝2，∴DG＝＝2，∴BD＝＝＝2．7．（2020春•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，BE⊥AC交AD于点G，DF⊥AC于点F，已知AF ＝CE，AB＝CD．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）如果∠GBC＝∠BCD，AG＝6，GE＝2，求AB的长．【分析】（1）证Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），得∠BAE＝∠DCF，证出AB∥CD，由AB＝CD，即可证出四边形ABCD是平行四边形；（2）证四边形BCDG是等腰梯形，得BG＝CD＝AB，由勾股定理得AE＝4，设AB＝BG＝x，则BE＝x﹣2，在Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，∵AF＝CE，∴AF﹣EF＝CE﹣EF，即AE＝CF，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），∴∠BAE＝∠DCF，∴AB∥CD，又∵AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）解：由（1）得：四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴DG∥BC，∵∠GBC＝∠BCD，∴四边形BCDG是等腰梯形，∴BG＝CD＝AB，∵AE＝＝＝4，设AB＝BG＝x，则BE＝x﹣2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：（4）2+（x﹣2）2＝x2，解得：x＝9，∴AB＝9．8．（2020春•江汉区期末）如图，E，F是▱ABCD对角线BD上两点，且BE＝DF．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）连接AC，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，求AC的长．【分析】（1）连接AC，交BD于点O，由平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，证得OE＝OF，则即可得出结论；（2）由勾股定理求出BF＝5，证出四边形AECF是菱形，得AC⊥EF，由勾股定理的OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，解得OF＝1.8，则OA＝2.4，得AC＝2OA＝4.8．【解答】（1）证明：连接AC，交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BE＝DF，∴OB﹣BE＝OD﹣DF，即OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．（2）解：∵∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝3，∴BF＝＝＝5，∵四边形AECF是平行四边形，AE＝AF，OE＝OF，OA＝OC，∴四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∴OA2＝AB2﹣OB2＝AE2﹣OE2，∴42﹣（5﹣OF）2＝32﹣OF2，解得：OF＝1.8，∴OA＝＝2.4，∴AC＝2OA＝4.8．9．（2020春•九龙坡区校级期末）如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD交于点O，∠ADO＝∠CBO，且AO＝CO，E为线段OC上一点，连接DE并延长交BC于点F．（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；（2）若∠ADE＝45°，AD⊥AC，AE＝3，CE＝2，求三角形AOD的面积．【分析】（1）依据△AOD≌△COB（AAS），即可得出AD＝BC，再根据∠ADO＝∠CBO，即可得到AD ∥BC，进而判定四边形ABCD是平行四边形；（2）依据三角形ADE是等腰直角三角形，即可得到AD的长，再根据三角形面积计算公式，即可得出三角形AOD的面积．【解答】解：（1）∵AC，BD交于点O，∴∠AOD＝∠COB，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（AAS），∴AD＝BC，∵∠ADO＝∠CBO，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）∵∠ADE＝45°，AD⊥AC，∴∠AED＝45°，∴AD＝AE＝3，又∵CE＝2，∴AC＝3+2＝5，∴平行四边形ABCD中，AO＝AC＝，∴Rt△AOD的面积＝×AD×AO＝×3×＝．10．（2020春•郫都区期末）如图，点E为▱ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF＝BE，连接EC并延长，使CG＝CE，连接FG．H为FG的中点，连接DH，AF．（1）若∠BAE＝70°，∠DCE＝20°，求∠DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；（3）连接EH，交BC于点O，若OC＝OH，求证：EF⊥EG．【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出AD＝BC，AD∥BC；证明BC是△EFG的中位线，得出BC∥FG，BC＝FG，证出AD∥FH，AD∥FH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠BCD＝70°，AD∥BC，∵∠DCE＝20°，AB∥CD，∴∠CDE＝180°﹣∠BAE＝110°，∴∠DEC＝180°﹣∠DCE﹣∠CDE＝50°；（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠BAE＝∠BCD，∵BF＝BE，CG＝CE，∴BC是△EFG的中位线，∴BC∥FG，BC＝FG，∵H为FG的中点，∴FH＝FG，∴BC∥FH，BC＝FH，∴AD∥FH，AD＝FH，∴四边形AFHD是平行四边形；（3）证明：连接EH，CH，∵CE＝CG，FH＝HG，∴CH＝EF，CH∥EF，∵EB＝BF＝EF，∴BE＝CH，∴四边形EBHC是平行四边形，∴OB＝OC，OE＝OH，∵OC＝OH，∴OE＝OB＝OC＝BC，∴△BCE是直角三角形，∴∠FEG＝90°，∴EF⊥EG．11．（2020秋•碑林区校级期末）如图所示，平行四边形ABCD，对角线BD平分∠ABC；（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）已知AE⊥BC于E，若CE＝2BE＝4，求BD．【分析】（1）证明∠ADB＝∠ABD，得出AB＝AD，即可得出结论；（2）由菱形的性质得出AB＝BC＝6，再由勾股定理求出AE、AC的长，润滑油菱形面积公式求解即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴平行四边形ABCD是菱形；（2）解：连接AC，如图所示：∵CE＝2BE＝4，∴BE＝2，∴BC＝BE+CE＝6，由（1）得：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝6，∵AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝4，∴AC＝＝＝4，∵菱形ABCD的面积＝AC×BD＝BC×AE，∴BD＝＝＝4．12．（2020秋•南海区期末）如图，BD是△ABC的角平分线，过点作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC 于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，CD＝6，求菱形BEDF的边长．【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；（2）过点D作DH⊥BC于H，由直角三角形的性质可求解．【解答】证明：（1）∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC，∴∠ABD＝∠EDB，∴DE＝BE，又∵四边形BEDF为平行四边形，∴四边形BEDF是菱形；（2）如图，过点D作DH⊥BC于H，∵DF∥AB，∴∠ABC＝∠DFC＝60°，∵DH⊥BC，∴∠FDH＝30°，∴FH＝DF，DH＝FH＝DF，∵∠C＝45°，DH⊥BC，∴∠C＝∠HDC＝45°，∴DC＝DH＝DF＝6，∴DF＝2，∴菱形BEDF的边长为2．13．（2020秋•宝安区期末）如图，四边形ABCD是平行四边形对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE ∥BD，OE∥AB．（1）求证：四边形ABOE是菱形；（2）若AO＝2，S四边形ABOE＝4，求BD的长．【分析】（1）由平行四边形的性质与已知得出AB＝OB，易证四边形ABOE是平行四边形，即可得出结论；（2）连接BE，交OA于F，由菱形的性质得OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，由菱形的面积求出BE＝4，则BF＝2，由勾股定理得出OB＝＝，即可得出结果．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD，∵BD＝2AB，∴AB＝OB，∵AE∥BD，OE∥AB，∴四边形ABOE是平行四边形，∵AB＝OB，∴四边形ABOE是菱形；（2）解：连接BE，交OA于F，如图所示：∵四边形ABOE是菱形，∴OA⊥BE，AF＝OF＝OA＝1，BF＝EF＝BE，∵S四边形ABOE＝4，S四边形ABOE＝OA•BE＝×2×BE＝BE，∴BE＝4，∴BF＝2，∴OB＝＝＝，∴BD＝2OB＝2．14．（2020秋•成都期末）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）如果∠A＝80°，∠C＝30°，求∠BDE的度数．【分析】（1）由题意可证BE＝DE，四边形BEDF是平行四边形，即可证四边形BEDF为菱形；（2）由三角形内角和定理求出∠ABC＝70°，由菱形的性质即可得出答案．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB∴四边形DEBF是平行四边形∵DE∥BC∴∠EDB＝∠DBF∵BD平分∠ABC∴∠ABD＝∠DBF＝∠ABC∴∠ABD＝∠EDB∴DE＝BE且四边形BEDF为平行四边形∴四边形BEDF为菱形；（2）解：∵∠A＝80°，∠C＝30°，∴∠ABC＝180°﹣80°﹣30°＝70°，∵四边形BEDF为菱形，∴∠EDF＝∠ABC＝70°，∴∠BDE＝∠EDF＝35°．15．（2020秋•萍乡期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AE∥BC，CE∥AD．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）过点D作DF⊥CE于点F，∠B＝60°，AB＝6，求EF的长．【分析】（1）首先利用平行四边形的判定得出四边形ADCE是平行四边形，进而利用菱形的判定得出平行四边形ADCE是菱形；（2）根据已知条件得到△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，解直角三角形得到CE＝CD＝3，根据菱形的性质得到结论．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，EC∥AD，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴AD＝BD＝CD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：∵∠B＝60°，AD＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝6，∵AD∥CE，∴∠DCE＝60°，∵CD＝AD＝6，∴CF＝CD＝3，∵四边形ADCE是菱形，∴CE＝CD＝6，∴EF＝3．16．（2020春•安丘市期末）如图，△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，且∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4．连接BC′，B'C．（1）判定四边形B'CBC′的形状，并说明理由；（2）求出四边形B'CBC'的面积．【分析】（1）根据△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称可得BB′与CC′互相垂直平分，进而可以判断四边形B′CBC′是菱形；（2）根据菱形面积等于对角线乘积的一半即可求出四边形B'CBC'的面积．【解答】解：（1）四边形B′CBC′是菱形，理由如下：∵△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称，∴AB′＝AB，AC′＝AC，∵∠BAC＝90°，∴BB′与CC′互相垂直平分，∴四边形B′CBC′是菱形；（2）∵AB＝2，AC＝4，∴BB′＝4，CC′＝8，∴菱形B'CBC'的面积为：4×8＝16．17．（2020春•昭通期末）如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且与AE交于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AC＝6，BD＝8，AM⊥BC于M，求AM的长．【分析】（1）根据平行线的性质得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根据角平分线定义得出∠DAC ＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根据等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形，即可得出答案；（2）根据菱形的性质求出BC＝AB＝5，由菱形的面积等于对角线积的一半和底乘高即可求得结论．【解答】（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∴AB＝＝＝5，∴BC＝AB＝5，∴BC•AM＝AC•BD，即5AM＝×6×8，∴AM＝．18．（2020春•十堰期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）若∠B＝30°，AC＝4，求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，试判断四边形CEGF的形状，并说明理由．【分析】（1）根据∠ACB＝90°，CD⊥AB，∠B＝30°，AC＝6，即可求CE的长；（2）过点F作AB的垂线，垂足为G，连接EG，根据菱形的判定即可判断四边形CEGF的形状．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠BAF＝30°，∴CE＝AE，过点E作EH⊥AC于点H，∴CH＝AH∵AC＝4，∴CH＝2，∴CE＝；（2）∵FG⊥AB，FC⊥AC，AF平分∠CAB，∴∠ACF＝∠AGF＝90°，CF＝GF，在Rt△ACF与Rt△AGF中，，∴Rt△ACF≌Rt△AGF（HL），∴∠AFC＝∠AFG，∵CD⊥AB，FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠CEF＝∠EFG，∴CE＝CF，∴CE＝FG，∴四边形CEGF是菱形19．（2020春•永州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB边上的中点，AE∥DC，CE∥DA．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）连接DE，若AC＝，BC＝1．求证：△ADE是等边三角形．【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再证出一组邻边相等，即可得出结论；（2）证出∠CAB＝30°，根据菱形的性质得到∠EAD＝2∠CAB＝60°，AE＝AD，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝BD＝AD，∴平行四边形ADCE是菱形；（2）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝，BC＝1，∴AB＝＝＝2，∴BC＝AB，∴∠CAB＝30°，∵四边形ADCE是菱形，∴∠EAD＝2∠CAB＝60°，AE＝AD，∴△ADE是等边三角形．20．（2020春•翼城县期末）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB，点E、F分别是BC、AD的中点，AE、BF交于点O，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AB＝6，∠ABC＝60°，求BF的长．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）由菱形的性质得BF＝2OB，AE＝2OA，AE⊥BF，证出△ABE是等边三角形，得AE＝AB＝6，则OA＝3，由勾股定理求出OB＝3，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD．∵E，F分别是BC，AD的中点，∴BE＝BC，AF＝AD，∴BE＝AF．∴四边形ABEF是平行四边形．∵BC＝2AB，∴AB＝BE，∴平行四边形ABEF是菱形．（2）解：由（1）得：四边形ABEF是菱形，∴BF＝2OB，AE＝2OA，AE⊥BF，∴∠AOB＝90°，∵AB＝BE，∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝6，∴OA＝3，∴OB＝＝＝3，∴BF＝2OB＝6．。
平行四边形的性质与判定综合练习题课件
练习一
• 1、下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
• A、∠A=∠C，∠B=∠D
D
• B. ∠A=∠B=∠C=90 º
• C.∠A+∠B=180º ，∠B+∠C=180 º
• D.∠A+∠B=180 º ，∠C+∠D=180 º
A
D
B
C
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2,几种容易产生误判的命题: 1.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是 平行四边形吗？ 2.有两组边相等的四边形是平行四边形吗? 3.对角线相等的四边形是平行四边形吗? 4.有两组邻角互补的四边形是平行四边形吗? 5.有一组对角相等的四边形是平行四边形吗? 6.有两组角相等的四边形是平行四边形吗?
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比一比
如下图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O,这个四边形必须具备哪些条件 才能成为一般的平行四边形?(看谁写的多)
A 0
B
D 例如:(1)AB∥CD,AD∥BC (2) (3) (4)
C (5) (6)
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如图所示,在 ABCD中，E、F分别是AB 、 CD的中点.下图中有几个平行四边形? 请说明 理由.
求证：EF＝BD A 12
F
3
B
D
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E C
6、已知 平行四边形 ABCD中，直线MN // AC， 分别交DA延长线于M，DC延长线于N，AB于P， BC于Q。
求证：PM=QN。
M
A
P
B
Q
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D
C N
陈杰是湖州近代史上很有名的数学家，他以精确地测 得黄道、赤道的交角度数是23°27'而闻名于世.
(完整版)平行四边形的性质练习题及答案-1
平行四边形的性质一、课中强化(10分钟训练)1.如图3,在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是( )A.∠1+∠2=180°B.∠2+∠3=180°C.∠3+∠4=180°D.∠2+∠4=180°图3 图4 图52.如图4,ABCD的周长为16 cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为( )A.4 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cm3.如图5，ABCD中,EF过对角线的交点O,如果AB=4 cm,AD=3 cm,OF=1 cm,则四边形BCFE的周长为__________________.4.如图6,已知在平行四边形ABCD中，AB=4 cm，AD=7 cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=_____________ cm.图6 图75.如图7,在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，求证:AE=CF.6.如图8,在ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥CD于F,BE=2 cm,DF=3 cm,∠EAF=60°,试求CF的长.图8二、课后巩固(30分钟训练)1.ABCD中,∠A比∠B大20°,则∠C的度数为( )A.60°B.80°C.100°D.120°2.以A、B、C三点为平行四边形的三个顶点,作形状不同的平行四边形,一共可以作( )A.0个或3个B.2个C.3个D.4个3.如图9所示,在ABCD中,对角线AC、BD交于点O,下列式子中一定成立的是( )A.AC⊥BDB.OA=OCC.AC=BDD.AO=OD图9 图10 图11 4.如图10,平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△AOD平移至△BEC的位置，则图中与OA相等的其他线段有( )A.1条B.2条C.3条D.4条5.如图11,在平行四边形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则该图中的平行四边形的个数共有( )A.7个B.8个C.9个D.11个6.如图12,平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证:∠BAE=∠DCF.图127、如图13所示,已知平行四边形ABCD中,E、F分别是BC和AD上的点,且BE=DF.求证:△ABE≌△CDF.图138.如图14,已知四边形ABCD是平行四边形，∠BCD的平分线CF交边AB于F，∠ADC的平分线DG交边AB于G.(1)求证:AF=GB；(2)请你在已知条件的基础上再添加一个条件，使得△EFG是等腰直角三角形,并说明理由.图1419.1.2 平行四边形的判定一、课中强化(10分钟训练)1.如图3,在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )A.AE=CFB.DE=BFC.∠ADE=∠CBFD.∠AED=∠CFB2.如图4,AB DC，DC=EF=10，DE=CF=8，则图中的平行四边形有_________________，理由分别是_________________、____________________.图4 图5 图6 3.如图5,E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，请你添加一个适当的条件:__________，使四边形AECF是平行四边形.4.如图6,AD=BC,要使四边形ABCD是平行四边形,还需补充的一个条件是:______ ________.5.如图,在ABCD中,已知M和N分别是边AB、DC的中点,试说明四边形BMDN 也是平行四边形.二、课后巩固(30分钟训练)1.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形最多能作( )A.4个B.3个C.2个D.1个2.下面给出了四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A.1∶2∶3∶4B.2∶2∶3∶3C.2∶3∶3∶2D.2∶3∶2∶33.九根火柴棒排成如右图形状,图中_____个平行四边形,你判断的根据是________________.4.已知四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列5个条件:①AB∥CD；②OA=OC；③AB=CD；④∠BAD=∠DCB；⑤AD∥BC. (1)从以上5个条件中任意选取2个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的有(用序号表示):_____________________________;(2)对由以上5个条件中任意选取2个条件，不能推出四边形ABCD是平行四边形的，请选取一种情形举出反例说明.5.若三条线段的长分别为20 cm,14 cm,16 cm,以其中两条为对角线,另一条为一边,是否可以画平行四边形?6.如图,E 、F 是四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AF=CE ，DF=BE ，DF ∥BE. 求证:(1)△AFD ≌△CEB;(2)四边形ABCD 是平行四边形.7.如图,已知DC ∥AB ，且DC=21AB ，E 为AB 的中点.(1)求证:△AED ≌△EBC ；(2)观察图形，在不添加辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形(直接写出结果，不要求证明):______________________________.8.如图,已知ABCD中DE⊥AC,BF⊥AC,证明四边形DEBF为平行四边形.9.如图,已知ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点.求证:(1)△AFD≌△CEB;(2)四边形AECF是平行四边形.二、课中强化(10分钟训练)1答案:D2.解析：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC.又OE ⊥AC ，所以EA=EC.则△DCE 的周长=CD+DE+CE=CD+DE+EA=CD+AD.在平行四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，且AB+BC+CD+AD=16 cm ，所以CD+AD=8 cm.答案:C3.解析：OE=OF=1,其周长=BE+BC+CF+EF=CD+BC+EF=AD+AB+2DF=8(cm). 答案:8 cm4.解析：由平行四边形的性质AB ∥DC,知∠ABE=∠F ，结合角平分线的性质∠ABE=∠EBC ，得 ∠EBC=∠F ，再根据等角对等边得到BC=CF=7， 再由AB=CD=4，AD=BC=7得到DF=DE=AD-AE=3. 答案:35.答案：证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ，AB=CD. ∴∠ABE=∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.,,DF BE CDF ABE CD AB∴△ABE ≌△CDF. ∴AE=CF.6.解：∵∠EAF=60°,AE ⊥BC,AF ⊥CD,∴∠C=120°.∴∠B=60°.∴∠BAE=30°. ∴AB=2BE=4(cm).∴CD=4(cm).∴CF=1(cm). 三、课后巩固(30分钟训练) 1答案:C2.解析：分两种情况,A 、B 、C 三点共线时,可作0个,当点A 、B 、C 不在同一直线上时,可作3个.答案:A3.解析：平行四边形对角线互相平分,所以OA=OC.答案:B4.解析：由平行四边形的对角线互相平分知OA=OC ；再由平移的性质:经过平移，对应线段平行且相等可得OA=BE.答案:B 5.解析：本题借助于平行四边形的定义，按照从左到右，从小到大的顺序，可找到下列的平行四边形:DEOH ，HOFC ，DEFC ，EAGO ，OGBF ，EABF ，DAGH ，HGBC ，ABCD.答案:C 6.答案:证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD，AB=CD.∴∠ABE=∠CDF ∵AE ⊥BD，CF ⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°.∴△ABE ≌△CDF.∴∠BAE=∠DCF. 7、答案:证明：∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB=CD,∠B=∠D. 在△ABE 和△CDF 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=.,,DF BE D B CD AB ∴△ABE ≌△CDF. 8.答案：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD.∴∠AGD=∠CDG . ∵∠ADG=∠CDG ，∴∠ADG=∠AGD.∴AD=AG .同理,BC=BF.又∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC,AG=BF.∴AG-GF=BF-GF ， 即AF=GB.(2)解:添加条件EF=EG .理由如下: 由(1)证明易知∠AGD=∠ADG=21∠ADC ，∠BFC=∠BCF=21∠BCD. ∵AD ∥BC ，∴∠ADC+∠BCD=180°.∴∠AGD+∠BFC=90°.∴∠GEF=90°. 又∵EF=EG ，∴△EFG 为等腰直角三角形.二、课中强化(10分钟训练)1.解析：当E 、F 满足AE=CF 时，由平行四边形的对角线相等知OB=OD,OA=OC ，故OE=OF.可知四边形DEBF 是平行四边形.当E 、F 满足∠ADE=∠CBF 时，因为AD ∥BC ，所以∠DAE=∠BCF. 又AD=BC ，可证出△ADE ≌△CBF ，所以DE=BF ，∠DEA=∠BFC. 故∠DEF=∠BFE.因此DE ∥BF ，可知四边形DEBF 是平行四边形.类似地可说明D 也可以. 答案:B2.解析：因为AB DC ，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD 是平行四边形；DC=EF ，DE=CF,根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形CDEF 是平行四边形.答案:四边形ABCD ，四边形CDEF 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形3.解析：根据平行四边形的定义和判定方法可填BE=DF ；∠BAE=∠CDF 等. 答案:BE=DF 或∠BAE=∠CDF 等任何一个均可4.解析：根据平行四边形的判定定理,知可填①AD ∥BC,②AB=CD,③∠A+∠B=180°,④∠C+∠D=180°等.答案:不唯一,以上几个均可.5.答案：证明：∵ABCD,∴AB CD.∵M 、N 是中点,∴BM=21AB,DN=21CD.∴BM DN. ∴四边形BMDN 也是平行四边形.三、课后巩固(30分钟训练)1.解析：要求最多能作几个，只要连结起三个顶点后构成三角形，分别以其中一边作为对角线，另两边作为平行四边形的邻边作图，即可得出三种.答案:B2.解析：由两组对角分别相等的四边形是平行四边形易知，要使四边形ABCD 是平行四边形需满足∠A=∠C ，∠B=∠D ，因此∠A 与∠C ，∠B 与∠D 所占的份数分别相等.答案:D3.答案：有3 两组对边分别相等的四边形是平行四边形4.解析：本题是条件开放性试题，要使四边形ABCD 是平行四边形，从边、角、对角线上考虑共有5种判定方法，因此只需将任意两个条件组合加以 评砼卸? 答案:(1)①与②；①与③；①与④；①与⑤；②与⑤；④与⑤(2)③与⑤两个条件不能推出四边形ABCD 是平行四边形.如图，AB=CD 且AD ∥BC ，而四边形ABCD 不是平行四边形.5.解析：由平行四边形对角线互相平分,能否画平行四边形,应以任两条的一半和第三边为三边,看是否能构成三角形即可.20,16或20,14为对角线,另一条为一边可画平行四边形.6.答案:证明：(1)∵DF ∥BE ，∴∠AFD=∠CEB.又∵AF=CE ，DF=BE ，∴△AFD ≌△CEB.(2)由(1)△AFD ≌△CEB 知AD=BC ，∠DAF=∠BCE ，∴AD ∥BC.∴四边形ABCD 是平行四边形.7.答案:证明：(1)∵E 为AB 的中点，∴AE=EB=21AB.∵DC=21AB ，DC ∥AB ， ∴AE DC ，EB DC.∴四边形AECD 和四边形EBCD 都是平行四边形. ∴AD=EC ，ED=BC.又∵AE=BE ，∴△AED ≌△EBC.(2)△ACD ，△ACE ，△CDE(写出其中两个三角形即可)8.答案:证明：在ABCD 中,AD=BC,AD ∥BC,∴∠DAC=∠BCA.又∵∠DEA=∠BFC=90°,∴Rt △ADE ≌Rt △CBF.∴DE=BF.同理,可证DF=BE.∴四边形DEBF 为平行四边形.9.答案:证明：(1)在ABCD 中,AD=CB,AB=CD,∠D=∠B.∵E 、F 分别是AB 、CD 的中点,∴DF=21CD,BE=21AB.∴DF=BE.∴△AFD ≌△CEB. (2)在ABCD 中,AB=CD,AB ∥CD.由(1)得BE=DF,∴AE=CF.∴四边形AECF 是平行四边形.。
平行四边形的性质分类题组(精排版_有答案)
平行四边形的性质分类题组类1 平行四边形-性质-辨析1．平行四边形对角线一定具有的性质是( )A ．相等；B ．互相平分；C ．互相垂直；D ．互相垂直且相等；类2 平行四边形-性质-边长与周长2．用20边与短边的比为3︰2，则它的边长为_______长为________．类3 平行四边形-性质-对角线的中垂线3．如图，□ABCD 的周长为16cm ，AC 、BD 点O ，OE ⊥AC 交AD 于E ，则△DCE 的周长为( A ．4 cm ； B ．6cm ； C ．8cm ； D ．10cm ；AEBDOC类4 平行四边形-性质-等腰模型4．在△MNB 中，BM ＝6，点A 、C 、 D 分别在BN ，NM 上，四边形ABCD 为平行四边形，∠＝∠MDA ，平行四边形ABCD 的周长是( ) A ．24； B ．18； C ．16； D ．12；ABMNC D5．在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E ，F 分别是AC BC ，BA 延长线上的点，四边形ADEF 形．求证：AD ＝BF ．AB CDEF类5 平行四边形-性质-三角形周长ABCD 的周长为60cm ，对角线交于O ，△OAB 的周长比△OBC 的周长大8cm ，则＝____________cm ．6 平行四边形-性质-高与面积已知平行四边形面积是144，相邻两边上的高分8和9，则它周长是__________．7 平行四边形-性质-三边关系平行四边形的两条对角线的长分别是6和8，则x 可能的取值范围是（ ）A ．2＜x ＜6；B ．2＜x ＜14；C ．1＜x ＜7；D ．不能确定； 平行四边形的两条对角线长和一边长可依次为（ ）A ．6，6，6B ．6，4，3C ．6，4，6D ．3，4，58 平行四边形-性质-对角线与边垂直．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，⊥AC ，∠DAC ＝45°，AC ＝2，求BD 的长．9 平行四边形-性质-角分线+平行线．如图，在平行四边形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则线段BE ，EC ( ) A BC DEA ．2和3；B ．3和2；C ．4和1；D ．1和4； ．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 平分ABC ，CF 平分∠BCD ，BE 、CF 交于点G ．若使＝3，AD ＝5，EF ＝____________． A C DE F G．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，∠BCDCF 交边AB 于F ，∠ADC 的平分线DG AB 于G ．(1)求证：AF ＝GB ．(2)得△EFG 为等腰直角三角形，并说明理由．A BCD EFG类10 平行四边形-性质-对角邻角计算14．已知平行四边形ABCD 中，∠B ＝4∠A ，＝( )A ．18°；B ．36°；C ．72°；D ．144°； 15．如图，□ABCD 与□DCFE 的周长相等，且∠＝60°，∠F ＝110°，则∠DAE 的度数为 A BCDEF类11 平行四边形-性质-对角线互相平分16．如图，□ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠EAC ＝30AE ＝3，则AC 的长等于____________． A DBCE类12 平行四边形-性质-面积17．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，∠B 30°，则此平行四边形的面积是( ) ABCDA ．6；B ．12；C ．18；D ．24；类13 平行四边形-性质-面积与周长18( ) A ．1种；B ．2种；C ．4种；D ．无数种； ．在平行四边形ABCD 中，EF 过对角线交点O ， AB ＝6cm ，AD ＝5cm ，OF ＝2cm ，那么四边BCEF 的周长为_____________．．已知：点P 是▱ABCD 的对角线AC 的中点，经P 的直线EF 交AB 于点E ，交DC 于点F ．求AE ＝CF ． A BCDEF P14 平行四边形-性质-对角线上两个点．如图，四边形ABCD 是平行四边形，BE 、DF ABC ，∠ADC 的平分线，且与对角线AC E 、F ．求证：AE ＝CF ．ABCDE F．如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上BE ∥DF ．求证：BE ＝DF ．AFE D15 平行四边形-性质-对角平行线．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B ，∠D 的E 、F ，交四边形对角线AC于点G 、H ．求证：AH =CG ．ABCDE FHG类16 平行四边形-性质-一边中点※24．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝4，∠的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G 若DG ＝1，则AE 的边长为( )A ．B ．C ．4；D ．8；A B CDFEG※25．如图 ，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2M 为AD 的中点，CE ⊥AB 于E ，试说明∠DME 3∠AEM ．A BCDEM类17 平行四边形-性质-折叠26．如图，将□ABCD 沿对角线AC 折叠，使点落在B ′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为( )114°；D ．124°； C最值1的⊙A 上一点，AC 为对角线作ABCD 面积的最大值( ) C ．对角互补；AB ＝4，则BC ＝( ) D ．28；中，AB ＝3cm ，BC O ，则OA 的取B ．2cm ＜OA ＜8cm ；D ．3cm ＜OA ＜8cm ； (端点除外)作两腰 B ．一腰的长； D ．两腰的和； 2AB ，CE 平分∠BCD AB 的长为( )A ．4；B ．3；C ．52； D ．2；BC DAE33．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，＝4，点D 在BC 上，以AC 为对角线的所有□中，DE 最小的值是( )A ．2；B ．3；C ．4；D ．5； CA B DEO34．如图，平行四边形ABCD 的对角线相交于点且AB ≠AD ，过O 作OE ⊥BD 交BC 于点E ．若△的周长为10，则平行四边形ABCD 的周长为____________． ABDC E O35．在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ＝4，AC ＝6，则BD ＝__________．36．如图，□ABCD 中，点E 、F 分别在AD ，上，且AE ＝CF ．求证：BE ＝DF ．BCDAFE37．如图，在□ABCD 中，E 、F 为对角线BD 两点，且∠BAE ＝∠DCF ．ABCD 的对角线线段BE 与线C∴∠A＋∠B＝180°，∵∠B＝4∠A，∴∠A＝36°，∴∠C＝∠A＝36°．15．&【答案】25°．【解答过程】∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，∴AD＝DE, ∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．∴∠DAE＝11(180)5025 22ADE︒-∠=⨯︒=︒．类11 平行四边形-性质-对角线互相平分16．解：∵在直角△AOE中，cos∠EAC＝，∴OA＝＝＝2，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA＝4．故答案是：4．类12 平行四边形-性质-面积17．B．；解：过点A作AE⊥BC于E，∵直角△ABE中，∠B＝30°，∴AE＝AB＝×4＝2∴平行四边形ABCD面积＝BC•AE＝6×2＝12，类13 平行四边形-性质-过中心直线平分面积与周长18．D．；19．15；20．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠P AE＝∠PCF，∵点P是▱ABCD的对角线AC的中点，∴P A＝PC，在△P AE和△PCE中，，∴△P AE≌△PCE(ASA)，∴AE＝CF．类14 平行四边形-性质-对角线上两个点21．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠ABC＝∠CDA，AB∥CD∴∠BAC＝∠DCA∵BE、DF分别是∠AB C．∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F∴∠ABE＝21∠ABC，∠CDF＝21∠ADC∴∠ABE＝∠CDF∴ABE∆≌CDE∆(AAS)∴AE＝CF；22．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC＝AD BC∥AD …2分∴∠ACB＝DAC………………3分∵BE∥DF∴∠BEC＝∠AFD………………4分∴△CBE≌△ADF………………5分∴BE＝DF………………6分类15 平行四边形-性质-对角平行线23．证明：∵∠ABC=∠CDA(平行四边形对角相等) BE平分∠ABC，DF平分∠CDA(已知)∴∠ADH＝∠CBG在△ADH和△CBG中AD=CB∠ADH=∠CBG(已证)∠DAH=∠BCG(两直线平行，内错角相等)∴△ADH≌△CBG(SAS)∴AH=CG(全等三角形的对应边相等)；类16 平行四边形-性质-一边中点24．B．；解：∵AE为∠ADB的平分线，∴∠DAE＝∠BAE，∵DC ∥AB ， ∴∠BAE ＝∠DF A ， ∴∠DAE ＝∠DF A ， ∴AD ＝FD ， 又F 为DC 的中点， ∴DF ＝CF ，∴AD ＝DF ＝12DC ＝12AB ＝2，在Rt △ADG 中，根据勾股定理得：AG ＝3， 则AF ＝2AG ＝23， 在△ADF 和△ECF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠DAF ＝∠E ∠ADF ＝∠ECF DF ＝CF， ∴△ADF ≌△ECF (AAS )， ∴AF ＝EF ，则AE ＝2AF ＝43．25．解：连接CM 并延长交BA 于F ，A BCD EM F x2xxx x αα αα α 2α设CD ＝x ，∴BC ＝2AB ＝2x ， ∵M 为AD 的中点， ∴AM ＝MD ＝x ， ∴DM ＝DC ＝x ，∴设∠DCM ＝∠DMC ＝α＝∠AMF ， 在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ， ∠DCM ＝∠F ＝α， ∴△CDM ≌△FAM ∴MF ＝MC 又∵CE ⊥AB在Rt △CEF 中，M 为CF 的中点，∴EM ＝12 CF ＝MF∴∠F ＝∠FEM ＝α， ∵∠EMC 为△EFM ∴∠EMC ＝∠F ＋∠＝2α，∴∠EMD ＝∠EMC ＋∠CMD ＝3α＝3∠∠EMC ； 即，∠DME ＝3∠AEM ．类17 平行四边形-性质-折叠26．C ．；【考点】平行四边形的性质． 解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠ACD ＝∠BAC ，由折叠的性质得：∠BAC ＝∠B ′AC ， ∴∠BAC ＝∠ACD ＝∠B ′AC ＝∠1＝22°， ∴∠B ＝180°－∠2－∠BAC ＝180°－44°－22°＝114°；类18 平行四边形-性质-最值27．解：由已知条件可知，当AB ⊥AC 时□ABCD 的面积最大，以点A 为圆心，3AB ＝3，所以点B 为圆上动点，要使□ABCD 面积最大，即是要△ABC 的面积最大，我们以AC 为底，高即是B 点到直线AC 的垂线段BH 的长，如下图，点B 与点E 重合时，垂线段BH 最长，即AB ⊥AC时□ABCD 的面积最大，APBD EH∵AB ＝3，AC ＝2 ∴S △ABC ＝132AB AC ⋅= ∴S □ABCD ＝2S △ABC ＝3∴□ABCD面积的最大值为故答案为作业28．C ．；29．B ． 30．C ．； 31．D ．；32．B33．B．；解：∵在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝BC ＝4， ∴AC 5=．∵四边形ADCE 是平行四边形， ∴OD ＝OE ，OA ＝OC ＝2.5．∴当OD 取最小值时，DE 线段最短(点O 到BC 垂线段最短)，此时OD ⊥BC ，∴OD ＝12AB ＝1.5，∴ED ＝2OD ＝3．34．20．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC ， ∵OE ⊥BD ， ∴BE ＝DE ，∵△CDE 的周长为10，即CD ＋DE ＋EC ＝10， ∴平行四边形ABCD 的周长为：AB ＋BC ＋CD ＋＝2(BC ＋CD )＝2(BE ＋EC ＋CD )＝2(DE ＋EC ＋CD )＝2×10＝20． 35．10； ABCDO 4 3 35 536．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∵AE ＝CF ，∴DE ＝BF ，DE ∥BF ， ∴四边形DEBF 是平行四边形， ∴BE ＝DF ．37．证明：∵□ABCD 中，AB ＝CD ，AB ∥CD ， …………2分∴∠ABE ＝∠CDF ……4分BAE ＝∠DCF ，∴△ABE ≌△CDF ，…6分 BE ＝DF …8分 ．猜想：BEDF ．∵四边形ABCD 是平行四边形 ，…2分 CB AD =，CB ∥AD ． BCE DAF ∠= ． BCE △和DAF △，CB ADBCE DAF CE AF =∠=∠= BCE △≌DAF △． ………………5分 BE DF =，BEC DFA ∠=∠， BE ∥DF ． BE DF ．……………7分。
初中数学平行四边形性质练习题及答案
初中数学平行四边形性质练习题及答案练习题一：1. 证明平行四边形的对角线互相平分。
2. 若平行四边形的一条对角线被平分，那么这个平行四边形是什么形状？3. 怎样判定一个四边形是平行四边形？答案一：1. 证明：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O。
要证明对角线AC和BD互相平分，只需证明AO=CO和BO=DO。
首先，由平行四边形的性质可知，AB∥CD，AD∥BC。
根据平行线性质，AO=CO（对应角相等）同理，BO=DO所以，平行四边形的对角线互相平分。
2. 若平行四边形的一条对角线被平分，那么这个平行四边形是矩形。
证明：设平行四边形ABCD的对角线AC被平分于点O。
要证明ABCD是矩形，只需证明∠A=∠B=∠C=∠D=90°。
由平行四边形的性质可知，AB∥CD，AD∥BC。
由对角线互相平分的性质可知，AO=CO，BO=DO。
因此，∠AOC=∠COA，∠BOC=∠COD。
又∠AOC+∠BOC=180°（补角定理）所以，∠AOC=90°（相等补角）。
同理，∠COA=90°，∠BOC=90°，∠COD=90°。
所以，ABCD是矩形。
3. 判定平行四边形的方法：方法一：判定对边平行若四边形ABCD满足AB∥CD及AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形。
方法二：判定对角线互相平分若四边形的对角线互相平分，则四边形是平行四边形。
方法三：判定边长及对角线长度关系若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相等，则四边形ABCD是平行四边形。
练习题二：1. 证明平行四边形的相邻角互补。
2. 若平行四边形的一组相邻角是补角，那么这个平行四边形是什么形状？3. 如何判断一个四边形是菱形？答案二：1. 证明：设平行四边形ABCD的两组相邻角为∠A和∠B，∠B和∠C，∠C和∠D，∠D和∠A。
要证明平行四边形的相邻角互补，只需证明∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，∠C+∠D=180°，∠D+∠A=180°。