带有界扰动的一类非线性系统的鲁棒控制
一类非线性系统的模糊自适应鲁棒控制研究
这里只用到输入的隶属度函数， 所以只须确定出输
） 出隶属度 函数 的 中心 。 ）（ ） 融 ＝卣 ，…， 为模 糊基 函数 ，ｌ１ ＝ ，…， ）， ） ） 利 用第一类 模糊 自适
线性系 统 ，并构造 出控制器 ，在线调节参 数 ，使模 糊逻辑 系统达 到最优 。 在此基础 上加入对 最小近似
误差Ｗ的补偿控 制 。并且利用 设计 Ｌ ａ ｕ ｏ 函数 ｙｐ ｎｖ
证 明 了系统 的全 局渐 近 稳定 性 ，最后 给 出仿真 结
果。
１ 问题 的描 述
考 虑如下 阶非线 性系统 ：
， ， … ，
糊 自适应控 制系统 ， 为模 糊 自适应 控制 的进 一步研
究奠定 了基 础 。文献 ［—］都 对文 献 ［］作 了进 ２７ １
一
）
， ，… ，
（） １
步改进 ，取得 了多方面进 展 。 是这些 方法都分 但
式 中，／ 和 ） ∽ 是未 知连续 函数 ，且 对于某 一可 控 区域 ∈ 内胁 有 ） ０ ≠ 成立 。ｕ Ｒ，ｙ Ｒ分 ｅ ＵＥ 别 为 系 统 的 输 入 与 输 出 。．
中图分类号：Ｔ ２ ３ Ｐ ７
文献标识码：Ａ
０ 引言
模 糊 自适应 理 论是 多年 来 学术 界 研 究 的热 点 之…。 传统模糊 与 自适应 理论 的结合显现 出很大 的 优越 性 ， 既解 决了传统智 能控制难 以进行 稳定性分 析 的难题 ，又可 以利 用专家 的经验信 息 ，在线调节 参数 。文 献 ［］利用 万 能逼近 定理 证 明 了模 糊逻 １ 辑 系统 可 以 以任 意精 度逼 近任 何 定义 在 区 问上 的 非线性 函数 ，并用 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙ ｐ ｎ ｖ稳定 性定理 设计 了模
控制系统中的鲁棒控制与模糊控制比较
控制系统中的鲁棒控制与模糊控制比较在控制系统中，鲁棒控制和模糊控制是两种常见的控制方法。
它们都在处理系统的不确定性和非线性方面起着重要作用。
然而，鲁棒控制和模糊控制在原理和实际应用方面存在一些差异。
本文将比较鲁棒控制和模糊控制的特点、优点和缺点，并分析它们在控制系统中的适用性。
1. 鲁棒控制鲁棒控制是一种处理系统模型不确定性的控制方法。
它通过设计鲁棒稳定控制器来确保系统在存在参数变化或外部干扰时的稳定性和性能。
鲁棒控制方法通常基于系统的数学模型，并利用最优控制理论和鲁棒性分析方法来设计控制器。
鲁棒控制的特点：1.1 基于数学模型：鲁棒控制方法要求系统有准确的数学模型，并且能够对模型中存在的不确定性进行分析和处理。
1.2 强鲁棒性：鲁棒控制的目标是设计一个控制器，使系统在参数变化、扰动和建模误差的情况下保持稳定。
鲁棒控制方法具有较强的鲁棒性能。
1.3 易于分析和设计：鲁棒控制是一种基于数学模型的控制方法，可以通过分析系统的稳定性和性能指标来设计控制器。
鲁棒控制的优点：2.1 稳定性：鲁棒控制方法能够保证系统在存在不确定性和外部扰动的情况下保持稳定。
2.2 鲁棒性能：鲁棒控制方法能够在参数变化和建模误差的情况下保持较好的控制性能。
2.3 数学分析：鲁棒控制方法可以通过数学分析对系统的稳定性和性能进行准确的评估和设计。
鲁棒控制的缺点：3.1 复杂性：鲁棒控制方法通常依赖于系统的数学模型，且设计过程较为复杂。
3.2 非线性限制：鲁棒控制方法对系统的非线性特性有一定的限制，不适用于高度非线性系统。
3.3 效果依赖于模型准确性：鲁棒控制方法的性能依赖于系统模型的准确性，当模型存在误差时，控制效果可能会下降。
2. 模糊控制模糊控制是一种处理非线性和模糊信息的控制方法。
它通过设计模糊控制器来实现对系统的控制。
模糊控制方法通常基于经验规则和专家知识，并利用模糊逻辑和模糊推理来设计控制器。
模糊控制的特点：4.1 非精确建模：模糊控制方法不要求系统有准确的数学模型，能够处理不确定性和模糊性信息。
动力学控制系统中的鲁棒性研究
动力学控制系统中的鲁棒性研究1. 引言动力学控制系统广泛应用于机器人、飞机、汽车等自动化系统中。
这类系统具有参数变化和扰动等不确定性，对系统的控制产生了挑战。
因此，在动力学控制系统中鲁棒性研究是一个重要的研究领域。
本文将介绍动力学控制系统中的鲁棒性研究。
2. 动力学控制系统动力学控制系统是由动力学方程描述的系统，其基本形式为：$$\dot{x} = f(x,u)$$其中，$x$表示系统状态变量，$u$表示控制输入，$f(x,u)$表示状态变化率。
动力学控制系统具有高度的非线性性和复杂性，例如：机器人、汽车、飞行器等。
3. 鲁棒性概述鲁棒性是指系统对于未知扰动和参数变化具有稳定性和可控性。
鲁棒性的研究是一个重要的和实用的工程问题。
在动力学控制系统中，鲁棒性是在模型不确定性下对系统进行控制的能力。
4. 鲁棒控制方法4.1 鲁棒控制定义鲁棒控制是一种保持系统稳定和满足性能要求的控制方法，即使在不确定和随机环境下也能确保系统的可控性和可观性。
4.2 鲁棒控制常见方法(1) $H_\infty$ 控制：是一种常用的鲁棒控制方法，可处理具有有限频率和无限频率不确定性的系统。
(2) $μ$ 合成控制：该方法将控制器设计与系统不确定性和性能要求明确联系起来，使得控制器能够提供所需要的鲁棒性和性能。
(3) 自适应鲁棒控制：是一种能够应对不确定性的变化来保持系统稳定的控制方法。
5. 鲁棒控制在动力学控制系统中的应用动力学控制系统是复杂的、非线性的，具有较大的不确定性和非线性因素。
在该系统中，鲁棒控制方法是一种重要的研究方向。
5.1 $H_\infty$ 鲁棒控制在动力学控制系统中的应用$H_\infty$ 鲁棒控制方法广泛应用于动力学控制系统中，其目的在于设计一个控制器，使得系统的输出稳定，且被控制器产生的鲁棒性最大化。
5.2 自适应鲁棒控制在动力学控制系统中的应用自适应鲁棒控制是另一种在动力学控制系统中广泛应用的方法。
机械系统的鲁棒控制与鲁棒优化设计
机械系统的鲁棒控制与鲁棒优化设计鲁棒控制与鲁棒优化设计是机械系统中关键的技术手段，能够在不确定性和变动性环境下实现稳定可靠的控制。
本文将探讨机械系统鲁棒控制与鲁棒优化设计的原理、方法和应用。
一、机械系统的鲁棒控制机械系统的鲁棒控制是指在存在参数不确定性、外部扰动和模型误差的情况下，仍能确保系统稳定性和性能的控制方法。
鲁棒控制能够应对系统的不确定性和变动性，提高系统的稳定性和鲁棒性。
鲁棒控制的关键是设计具有鲁棒性的控制器。
鲁棒控制常用的方法包括H∞控制、μ合成控制和自适应控制等。
其中，H∞控制是一种基于最优控制理论的方法，能够优化系统的鲁棒性能。
μ合成控制通过寻找闭环系统的最小鲁棒性能函数，设计出鲁棒控制器。
自适应控制则通过根据系统的环境变化和参数变动调整控制器的参数，以提高系统的鲁棒性。
二、机械系统的鲁棒优化设计除了鲁棒控制外，鲁棒优化设计也是提高机械系统性能的重要手段。
鲁棒优化设计是指在系统参数不确定和模型偏差的情况下，优化系统的性能指标。
通过鲁棒优化设计，可以使系统具备更好的控制性能，减小外部扰动的影响。
常用的鲁棒优化设计方法包括基于最优化理论的方法和基于神经网络的方法。
基于最优化理论的方法可以采用数学优化模型，将优化问题转化为求解最值的问题。
基于神经网络的方法则通过训练神经网络，得到系统的非线性映射关系，从而实现优化设计。
在鲁棒优化设计中，还需要考虑不确定性和变动性因素的影响。
例如，对于机械系统中存在的参数不确定性，可以采用模糊控制方法进行建模和设计。
模糊控制能够处理参数模糊和模糊逻辑关系，提高系统的鲁棒性。
三、机械系统鲁棒控制与鲁棒优化设计的应用机械系统鲁棒控制与鲁棒优化设计在工程实践中得到了广泛应用。
例如，在工业自动化领域，机械系统的鲁棒控制和鲁棒优化设计可以提高生产过程的稳定性和效率。
在航空航天领域，鲁棒控制技术可以提高航空器的操纵性和安全性。
此外，机械系统鲁棒控制与鲁棒优化设计还在智能机器人、医疗设备和交通系统等领域中有重要应用。
基于小波网络MIMO非线性系统自适应鲁棒控制
［， ｔ， ， （） 设信号 Ｙ 和它的导数是 已知 Ｙ （）… Ｙ ｔｒ， 。 ，
的，记 ， ＝ ［ … ， ｒ …， …， Ｙ ） ¨， Ｙ ， ） ， ， Ｒ＝ Ｙ … ， ， ， ， ） ］ 。 ［ ） … Ｙ …， ， ，
本文 研究 的 目的 是基 于小 波 网络 设 计 自适 应 鲁棒 输 出反馈 控 制 器 使 得 系 统 （ ）的输 出 跟 踪有 １
滑函数 ； ＝１ …，； ＝ ［ 一 ， ∈尺 为输 ｉ ｊ ， Ｐ） ， Ｙ ， ， 口 出； ｔ （）＝［ （） …，。ｔ ∈Ｒ 为有界扰动。 。ｔ ， （）
设 ｌ （）Ｉｓ ， １ ｔ １ 系统 仅输入 １ １ ． 和输 出 Ｙ 可直 接测
１９ ） 从而为非线性系统控制开辟 了一条新 的途 ９７ ，
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第３ ０卷
第 １期
东
华
理
工 学
院
学
报
Ｖｏ ３ Ｎｏ １ １ ０ ． ．
Ｍａ．２ ０ ｒ ０７
２０ ０ ７年 ３月
ＥＣ Ｏ Ｊ ＯＵＲＮ ＯＦ Ｅ Ｔ Ｃ ＮＡ Ｉ Ｔ Ｔ Ｅ ＯＦ Ｔ ＨＮＯＬ ＧＹ ＡＬ ＡＳ ＨＩ ＮＳ Ｉ ＵＴ
］，
界期望信号。 定义 ｅ ｌ＝Ｙ — ｒ …， ｌ Ｙ， ｅ ｌ Ｐ＝Ｙ — ｅ ＝［ ｐ Ｙ ，ｉ ｅ，
－ ．
踪控制问题 ， 出了 自适应鲁棒控制律 ， 提 理论分析 证 明 了所设 计 的控 制 器可 保 证 系统 的输 出渐 近 跟 踪期望的轨迹到一个小邻域 ， 仿真结果也充分表明
１ 问题的描述
考 虑 如下 ＭＩ ＭＯ非线 性不确定 系统 ：
Ｐ
Ｙ ： ＋∑ｇ（） ＋ ｉ） ｉ ， Ｐ ｌ （ ） － Ｗ（ ， ＝１ ｘｊ ￡ …，
鲁棒控制讲义-第1-2章
第一章概述§1.1 不确定系统和鲁棒控制(Uncertain System and Robust Control)1.1.1 名义系统和实际系统（nominal system）控制系统设计过程中，常常要先获得被控制对象的数学模型。
在建立数学模型的过程中，往往要忽略许多因素：比如对同步轨道卫星的姿态进行控制时不考虑轨道运动的影响，对一个振动系统的控制过程中，不考虑高阶模态的影响，等等。
这样处理后得到的数学模型仍嫌太复杂，于是要经过降阶处理，有时还要把非线性环节进行线性化处理，时变参数进行定常化处理，最后得到一个适合控制系统设计使用的数学模型。
经过以上处理后得到的数学模型已经不能完全描述原来的物理系统，而仅仅是原系统的一种近似，因此称这样的数学模型为“名义系统”，而称真实的物理系统为“实际系统”，而名义系统与实际系统的差别称为模型误差。
1.1.2不确定性和摄动（Uncertainty and Perturbation）如立足于名义系统，可认为名义系统经摄动后，变成实际系统，这时模型误差可视为对名义系统的摄动。
如果立足于实际系统，那么可视实际系统由两部分组成：即已知的模型和未知的模型（模型误差），如果模型的未知部分并非完全不知道，而是不确切地知道，比如只知道某种形式的界限（如：范数或模界限等），则称这部分模型为实际模型的不确定部分，也说实际系统中存在着不确定性，称含有不确定部分的系统为不确定系统。
模型不确定性包括：参数、结构及干扰不确定性等。
1.1.3 不确定系统的控制经典的控制系统设计方法要求有一个确定的数学模型（可能是常规的，也可能是统计的）。
以往，由于对一般的控制系统要求不太高，所以系统中普遍存在的不确定性问题往往被忽略。
事实上，对许多要求不高的系统，在名义系统的基础上进行分析与设计已经能够满足工程要求，而对一些精度和可靠性要求较高的系统，也只是在名义系统基础上进行分析和设计，然后考虑模型的误差，用仿真的方法来检验实际系统的性能（如稳定性、暂态性能等）。
鲁棒控制-
鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的 控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综 合问题。 主要的鲁棒控制理论有： Kharitonov区间理论； H控制理论； 结构奇异值理论(理论)； 等。
鲁棒调节器设计
Davison提供的鲁棒调节器由两部分组成，一是伺服 补偿器，二是镇定补偿器。伺服补偿器是按设定与 扰动作用的变化形式(如阶跃变化、斜坡函数变化等) 来确定的，以达到无稳态偏差的要求。镇定补偿器 的作用是使系统在参数变化条件下仍保持稳定，并 有一定裕度。
S ( s) 1 1 P0 ( s) K ( s)
体现了开环特性的相对偏差 GK GK 到闭环频率特性 GB GB 的增益，因此，如果我们在设计控制器K时， 能够使S的增益足够小，即
S ( j ) , 为充分小正数
那么闭环特性的偏差将会抑制在工程允许的范围内。 传递函数S(s)称为系统的灵敏度函数。实际上S(s)还等 于干扰w到输出的闭环传递函数，因此减小S(s)的增益 就等价于减小干扰对控制误差的影响。引入定义
Kharitonov定理： (1)中的每一个多项式均稳定当且仅当 下面的四个多项式稳定
P1 ( s) a0 a1 s a2 s 2 a3 s 3 a4 s 4 a5 s 5 P2 ( s) a0 a1 s a2 s 2 a3 s 3 a4 s 4 a5 s 5 P3 ( s) a0 a1 s a2 s 2 a3 s 3 a4 s 4 a5 s 5 2 3 4 5 P4 ( s) a0 a1 s a2 s a3 s a4 s a5 s
系统的不确定性
：
1 , a [a , a ] s 2 as 1
鲁棒控制
参数变化； 未建模动态特性； 平衡点的变化； 传感器噪声； 不可预测的干扰输入；
等等，所以我们所建立的对象模型只能是实际物理系 统的不精确的表示。鲁棒系统设计的目标就是要在模 型不精确和存在其他变化因素的条件下，使系统仍能 保持预期的性能。如果模型的变化和模型的不精确不 影响系统的稳定性和其它动态性能，这样的系统我们 称它为鲁棒控制系统。
系统的不确定性
参数不确定性，指可以用被控对象模型的参数摄动来 表示不确定性。如二阶系统：
1 G ( s) 2 , a [a , a ] s as 1
可以代表带阻尼的弹簧装置，RLC电路等。这种不确 定性通常不会改变系统的结构和阶次。 动态不确定性 也称未建模动态 (s)，我们通常并不知道它的结构、
阶次，但可以通过频响实验测出其幅值界限：
( j) W ( j) , R,W ( j)为确定函数
不确定系统模型的类型
如前叙述，对于线性系统，可以用标称系统的传 递函数G 0( s )及未知的传递函数误差 G ( s)的界函数 W ( s ) 来描述具有不确定性的系统集。 几种常用的具有不确定性的系统集合的表达形式：
其中K(s)为控制器，P(s)为摄动函数，w为干扰信号， r为参考输入，u为控制输入，e为控制误差信号，y为 输出信号。系统的开环和闭环频率特性为
P( j ) K ( j ) GK ( j ) P( j ) K ( j ), GB ( j ) 1 P( j ) K ( j ) 如果P(s)具有误差 P(s) P0 (s) P( s) ，那么相应地开环 和闭环频率特性也具有误差 GK ( j ) GK ( j ) GK 0 ( j ) GB ( j ) GB ( j ) GB 0 ( j )
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第３３卷第１１期 ２００７年ｌ１月 自动化学报
ＡＣＴＡ ＡＵＴｏＭＡＴＩＣＡ ＳＩＮＩＣＡ Ｖｏ１．３３，Ｎｏ．１１
Ｎｏｖｅｍｂｅｒ，２００７
带有界扰动的一类非线性系统 的鲁棒控制 傅勤ｌ１ 曲文波 。杨成梧 摘 要 对带有界扰动的一类非线性系统进行了状态反馈控制设计．当 状态反馈控制律作用于该系统时，系统的状态能够收敛到原点的一个小 邻域内．
关键词 非线性系统，状态反馈，鲁棒控制 中图分类号ＴＰ１３
Ｒｏｂｕｓｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ ａ Ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｂｏｕｎｄｅｄ Ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅ
ＦＵ Ｑｉｎ ・ ＱＵ Ｗｅｎ－Ｂｏ ・。 ＹＡＮＧ Ｃｈｅｎｇ－Ｗｕ Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌ ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｂｏｕｎｄｅｄ ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅ ｉｓ ｇｉｖｅｎ． Ｗｈｅｎ ｔｈｅ ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌ ｌａｗｓ ａｒｅ ａｐｐｌｉｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍｓ， ｔｈｅ ｓｔａｔｅｓ ｏｆ ｃｌｏｓｅｄ－ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍｓ ｃａｎ ｃｏｎｖｅｒｇｅ ｔｏ ａ ｓｍａｌｌ ｒｅｇｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｉｇｉｎ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ，ｓｔａｔｅ ｆｅｅｄｂａｃｋ，ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ
１ 引言 存实际工程中，对非线性系统建立精确的模型常常较为 困难，甚至是不可能的．凶此，研究不确定条件下对非线性系 统的控制问题具有重要的实际意义【 ． 本文研究一类非线性系统的鲁棒控制问题．当不确定条 件为有界扰动时，我们找到状态反馈控制律，使得从原点的 某邻域出发的闭环系统的解始终保持在该邻域内，且收敛到 原点的一个小邻域内．我们得到的状态反馈控制律与扰动的 界无关， 此，扰动的界可以是未知的．
２问题描述 考虑如下形式的非线性系统
：Ａｘ＋ （ｕ）＋ｄ（ｔ， ） （１） 这坐 ∈ ，ｕ∈Ｒ分别是系统的状态和输入，Ａ∈ ， ｂ∈ ，ｃｐ：Ｒ—Ｒ是足够光滑函数［２】】ｃｐ（０）＝０，ｄ（ｔ， ）∈ 是扰动．当ｃｐ（ｕ）＝ｕ时，即为带扰动的线性系统．定
义范数ｌｌ・ｌｌ为通常的２一范数，即忙ｌｌ： ＡＩＩ＝ ｖ￣ＡＴＡ）。．记，为ｎ阶单位阵．对系统（１）作如下假设 收稿日期２００６－５—９ 收修改稿日期２００７－４—２９ Ｒｅｃｅｉｖｅｄ Ｍａｙ ９，２００６；ｉｎ ｒｅｖｉｓｅｄ ｆｏｒｍ Ａｐｒｉｌ ２９，２００７ 江苏省高校自然科学研究项日（０４ＫＪＤ１１０１６８，０６ＫＪＢ１１０１０７），苏州科技学
院重点学科基金资助 Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｍｉｎｉｓｔｒｙ ｏｆ Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｊｉａｎｇｓｕ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ（０４ＫＪＤ１１０１６８，０６ＫＪＢ１１０１０７），Ｋｅｙ Ａｃａｄｅｍｉｃ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｓｕｚｈｏｕ ｌ＿南京理工大学动力工程学院南京２１００９４ ２．苏州科技学院应用数学系苏
州２１５００９ ３．上海商学院数学系上海２００２３５ １．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｏｗｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ
Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９４ ２．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔ－ ｉｃｓ，Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｓｕｚｈｏｕ，Ｓｕｚｈｏｕ ２１５００９ ３．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｓｃｈｏｏｌ，Ｓｈａｎｇｈａｉ ２００２３５ ＤｏＩ：１０．１３６０／ａａｓ－００７－１２０９
假设１．（ＡＩ６）是能稳的． 假设２．ＩＩｄ（ｔ， ）ｌｌ Ｐ，Ｐ是常数（可能未知）． 假设３．ｃｐ （０）：０，ｃｐ （０）＝０，・一，ｃｐ【 一 （０）：０，向 （ （０）≠０，ｍ为某个正奇数． 注１．考虑系统是小的扰动的情况，即扰动的界Ｐ小于 某个正数，这个正数后面给出． 由假设１得 引理１［３】．存在ｎ阶对称正定阵Ｐ和ｎ维行向量 ，使
得
律 使得
Ｐ（Ａ—ｂＫ）＋（ —ｂＫ） Ｐ＝一， （２） 系统（１）的鲁棒状态反馈控制问题：设计一个反馈控制
ｕ：Ｑ ），Ｑ（０）：０ １）当ｄ（ｔ， ）＝０时，原点 ：０是闭环系统 ＝Ａｘ＋６ｃｐ（Ｑ（ ）） 的渐近稳定平衡点． ２）当ｄ（ｔ， ）≠０，且ＩＩｄ（ｔ，ｘ）ｌｆ Ｐ时，从原点的某邻域 内出发的闭环系统
峦＝Ａｘ＋６ （Ｑ（ ））＋ｄ（ｔ， ） 的解ｘ（ｔ）始终保持在该邻域内，且收敛到原点的某个小邻域 内．
３主要结论 定理１．假设１—３成立，则系统（１）的状态反馈控制律 为
札 （ ）击 （３） 证明．任意取定 ＝０的邻域Ｄ：（ｘｌｌｌｘｌＩ＜Ｌ＞，Ｌ是 正常数．由式（３）得，ｕ在Ｄ上有界，所以ｃｐ（ ＋ ）（ｕ）在Ｄ
上也有界，设
ｃｐ（ｍ＋１）（ｕ）Ｉ≤Ｓ Ｓ是正常数． 由假设３，用泰勒展开公式得
： ｕ ＋ ｕｍ＋１ 其中（介于０与钆之间． 构造Ｌｙａｐｕｎｏｖ函数
Ｖ（ｘ１： Ｐ
（５）
１）当ｄ（ｔ， ）：０时，将式（３），（５）代入式（１），利用式 （２）得
ｆ２－Ｉ－２ｘＴ （ ）
维普资讯 http://www.cqvip.com １２１０ 自 动 化 学 报 ３３卷 由式（４）得 由式（７） ＜＿ｌ ＋２ （ｍ ！ＩＩＫＴ ＩＩ－ ＋击 ２＜击（ （ （０））ｅｘｐ（一 １ ８ ）
所以，当ＩＩ ｌｌ＜Ｍ时 ＜０
仅当 ＝０时等号成立． 其中
Ｍ＝ｃ ）ｍ＋
记Ｎ＝ｍｉｎ｛Ｌ，Ｍ），Ｗ＝扛ｌＩｌ ｌｌ＜Ⅳ），则从 出发的闭 环系统的解ｘ（ｔ）均有
ｌ ｉｍ。。ｚ（ｔ）＝０
所以 ＝０是闭环系统 圣＝ ＋ （Ｑ（ ） 的渐近稳定平衡点． ２）当ｄ（ｔ， ）≠０，ｌＩｄ（ｔ，ｘ）ｌＩ Ｐ时，将式（３），（５）代入式 （１），利用式（２）得
Ｐ＝－ ＋纽 ｃ ， ＋ ２ｘ Ｐｄ（ｔ， ） 由假设２及基奉不等式得
＜＿ｌＩ ＩＩ２＋２ （ ） ＋ ｌｌ ＋４１１ＰＩＩ ｐ ｌＩ＜ 时 ＩＩ ＋４１１ＰＩＩ ｐ （６） ｉ￣Ｅ＝ｍｉｎ｛Ⅳ， Ｍ），Ｆ＝｛ … ｌｌ＜Ｅ），由式（６），
ｐ＜日＝ Ｅ
时，有 Ｖ＜０ Ｆ）
所以，从Ｆ内出发的闭环系统的解始终保持在Ｆ内． 因为Ｐ对称正定，记Ｐ的最小特征值为 １，最大特征值 为 ２，则有 １ Ｉ ＸＴＰｚ ２ Ｉ （７）
且ＩＩＰｌＩ＝ ，从式（６），（７）得 １ ＋４
由［４］中引理１，得 （ （ｔ）） （ （０））ｅｘｐ（～ １ ｔ）＋８
所以解ｘ（ｔ）收敛到与Ｐ有关的原点的一个小邻域内，且Ｐ越 小，该邻域越小． 注意到Ｆ ，取Ｆ为原点的某邻域． 口
注２．Ｈ即为注１中的某个正数，仅与标称系统和任意 取定的 有关．如何选取 ，使得日尽可能大，这由 （ ）的 具体表达式而定．
４结论 本文考虑了一类带有界扰动的非线性系统的鲁棒控制问 题．当扰动的界不大时，我们得到了状态反馈控制律．满足假 设３条件的函数很多，包含了足够光滑的所有奇函数．所以， 研究此类系统的控制问题，具有很大的意义．
Ｒ启ｆｅｒｅｎｃｅｓ １ Ｍｅｉ Ｓｈｅｎｇ－Ｗｅｉ，Ｓｈｅｎ Ｔｉ￣Ｌｏｎｇ，Ｌｉｕ Ｚｈｉ—Ｋａｎｇ．Ｍｏｄｅｒｎ Ｒｏ－ ｂｕｓｔ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｂｅｉｊｉｎｇ：Ｔｓｉｎｇｈｕａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ Ｐｒｅｓｓ，２００３ （梅生伟，申铁龙，刘志康．现代鲁棒控制理论与应用．北京：清华大 学出版社，２００３）
２ Ｋｈａｌｉｌ Ｈ Ｋ［Ｗｒｉｔｅｒ］，Ｚｈｕ Ｙｉ—Ｓｈｅｎｇ，Ｄｏｎｇ Ｈｕｉ，Ｌｉ Ｚｕｏ－Ｚｈｏｕ ［Ｔｒａｎｓｌａｔｏｒ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ（Ｔｈｉｒｄ Ｅｄｉｔｉｏｎ）．Ｂｅｉｊｉｎｇ： Ｐｕｂｌｉｓｈｉｎｇ Ｈｏｕｓｅ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ Ｉｎｄｕｓｔｒｙ，２００５ （哈里尔［著】，朱义胜，董辉，李作洲【译】．非线性系统（第ｉ版）．北 京：电子工业出版社，２００５）
３ Ｗａｎｇ Ｄｅ－Ｊｉｎ．Ｈ２ｆＨ ＯｐｔｉｍＭ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｔｈｅｏｒｙ．Ｈａｒｂｉｎ： Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｐｒｅｓｓ，２００１ （王德进．Ｈｚ／Ｈｏ。优化控制理论．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社 ２００１）
４ Ｚｈｏｕ Ｓｈａｏ－Ｓｈｅｎｇ，Ｆｅｉ Ｓｈｕ－Ｍｉｎ，Ｆｅｎｇ Ｃｈｕｎ－Ｂｏ．Ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｍｕｌｌ－－ｉｎｐｕｔ ｃａｓｃａｄｅ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｂｏｕｎｄｅｄ ｄｉｓｔｕｒ－－ ｂａｎｃｅ．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆＳｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，１９９９，２９（６）：１～４ （周绍生，费树岷，冯纯泊．带有界扰动的多输入非线性串级系统的控 制．东南大学学报，１９９９，’２９（６）：１—４）
傅勤 南京理工人学动力工程学院博士研究生，苏州科技学院应用数学 系讲师．主要研究方向为分散控制与非线性系统鲁棒控制．本文通信作 者．Ｅ－ｍａｉｌ：ｆｕｑｉｎ９２５＠ｓｉｎａ、ｃｏｒｎ （ＦＵ Ｑｉｎ Ｐｈ．Ｄ．ｃａｎｄｉｄａｔｅ ｉｎ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｏｗｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｔ Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｌｅｃｔｕｒｅｒ ｉｎ Ｄｅ－ ｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｏｆ Ｓｕｚｈｏｕ．Ｈｉｓ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｃｏｖｅｒｓ ｄｅｃｅｎｔｒａｌｉｚｅｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ａｎｄ ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ．Ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｕｔｈｏｒ ｏｆ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ．１
曲文波 南京理工大学动力工程学院博士后，上海商学院数学系教授． 主要研究方向为广义系统与鲁棒控制． Ｅ－ｍａｉｌ：ｑｕｗｅｎｂｏ￣ｍａｉｌ、ｕｓｔｓ．ｅｄｕ．ｃｎ （ＱＵ Ｗｅｎ－Ｂ０ Ｐｏｓｔｄｏｃｔｏｒ ｉｎ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｐｏｗｅｒ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ａｔ Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，ｐｒｏｆｅｓｓｏｒ ｉｎ Ｄｅ－ ｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｔ Ｓｈａｎｇｈａｉ Ｂｕｓｉｎｅｓｓ Ｓｃｈｏｏｌ、Ｈｉｓ ｒｅ－ ｓｅａｒｃｈ ｉｎｔｅｒｅｓｔ ｃｏｖｅｒｓ ｄｅｓｃｒｉｐｔｏｒ ｓｙｓｔｅｒｎｓ ａｎｄ ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏ１．）