高三数学一轮复习函数的单调性、奇偶性及周期性练习及答案
2009届一轮复习函数的单调性、奇偶性及周期性练习及答案基础卷（30分钟）选择题1．若函数11)(-+=x a mx f 是奇函数，则m 的取值是（ ）A.0B.1C.2D.42．已知函数y=f （x ）在（-3，0）上是减函数，又y=f （x-3）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A.)5()27()23(-<-<-f f fB.)23()27()5(-<-<-f f f C.)27()23()5(-<-<-f f f D.)5()23()27(-<-<-f f f3．函数0)(x )()1221()(≠⋅-+=x f x F x是偶函数，且f （x ）不恒等于零，则f （x ）（ ）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数又非偶函数4．已知函数f （x ）的定义域为),0()0,(+∞⋃-∞且对定义域中任意x 均有：1)()(=-⋅x f x f ，1)(1)()(+-=x f x f x g ，则g （x ）（ ）A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.既非奇函数又非偶函数5．如果二次函数3)1(22--+-=x a x y 在区间]1,(-∞上是增函数，则（ ） A.a=5 B.a=3 C.a ≥5 D.a ≤-3 6．下列函数在（-∞，0）上是递增的是（ ）A.)(log 21x y --= B.21+-=x xyC.2)1(+-=x y D.21x y +=7．函数f （x ）是定义域上单调递减函数，且过点（-3，2）和（1，-2）。
则|f （x ）|<2的自变量x 的取值范围是（ ）A.（-3，+∞）B.（-3，1）C.[- ∞，1]D.（-∞，+∞）8．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x<0时，x x f )31()(=，那么)21(f 的值是（ ）A.33B.3C.3-D.99．如果函数11)(-+=x x x f ，且)()(1x fx g -=-，那么g （x ）是（ ）A.区间（-∞，+∞）上的递增函数B.区间（-∞，-1）上的递增函数C.区间（1，+∞）上的递减函数D.区间（-∞，-1）上的递减函数10．已知f （x ）为奇函数，且在（0，+∞）上是递增的，若f （-2）=0，则xf （x ）<0的解集是（ ）A.{x|-2<x<0或x>2}B.{x|x<-2或0<x<2}C.{x|x<-2或x>2}D.{x|-2<x<0或0<x<2}提高卷（60分钟）一、选择题1．已知函数y=f （2x+1）是偶函数，则函数y=f （2x ）的图象关于（ ）A.直线x=1对称B.直线21=x 对称C.直线21-=x D.直线x=-1对称2．已知函数)2(log )(2xa x f -=在（-∞，1）上单调递减，则a 的取值范围是（ ） A.1<a<2 B.0<a<1 C.0<a<1或1<a<2 D.a<1或a>2 3．函数y=lg|x|A.是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递增B.是偶函数，在区间（-∞，0）上单调递减C.是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递增D.是奇函数，在区间（0，+∞）上单调递减4．设1)(a |log |)(>=x x f a ，则)251(f ，)51(f ，f （4）的大小关系是（ ）A.)4()251()51(f f f >>B.)4()51()251(f f f >> C.)251()51()4(f f f >> D.)51()251()4(f f f >> 5．下列函数中，周期为2π的偶函数是（ ）A.x y 4sin =B.x x y 2sin 2cos 22-= C.y=tg2x D.x y 2cos =二、填空题6．一次函数y=kx+b 是奇函数的充要条件是__________，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 是偶函数的充要条件是________。
7．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数且)(1)2(x f x f -=+，若当2≤x ≤3时，f （x ）=x ，则f （5.5）=________。
8．函数f （x ）是定义在R 上的，以2为周期的函数，又函数f （x ）为偶函数，在[2，3]上满足4)3(2)(2+--=x x f ，则x ∈[1，2]时f （x ）=________。
9．函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，对一切x ∈R ，有)()(x f x f =+ϕ，若f （63）=-2，则f （5）与f （7）的大小关系是_________.10.函数1log 2)(log 221221+-=x x y 的单调递减区间是_______。
三、解答题11．用定义判断⎪⎩⎪⎨⎧∞∈-+∞∈+-=,0)(- x 1x )(0, x 1)(22x x f 的奇偶性。
12．设f （x ）是定义在R 上的偶函数，并在区间（-∞，0]上是递增函数，试解关于a的不等式)123()12(22+-<++a a f a a f 。
13．讨论函数x ax y +=（a>0）的单调性。
14．设0<a<1，f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，)1(log )(+=x x f a 。
（1）求 x<0时，f （x ）的表达式；（2）若x ≥0，求使f （x ）+1≥0时x 的最大值。
参考答案 基础卷1.C2.C3.A4.A5.C6.B7.B8.C9.B 10.D 提高卷一、1.B2.A3.B4.B5.B 二、6．b=0,b=07.2.58.4)1(22++-x 9．f （5）>f （7）10．]22,0(三、11．解：∵f （x ）的定义域为：x ∈R 且x ≠0，是关于原点对称的， 任取)0,(),0(-∞∈-⇒+∞∈x x ，则)()1(11)()(222x f x x x x f -=+--=-=--=-， 又f （x ）在)()1(11)()(),0()0,(222x f x x x x f x x -=--=+-=+--=-⇒+∞∈-⇒-∞∈。
综上所述知，R x ∈且0≠x 时恒有：f （-x ）=-f （x ），又定义域关于原点对称，∴⎪⎩⎪⎨⎧∞∈-+∞∈+-=,0)(- x 1x )(0, x 1)(22x x f 是奇函数。
12．解：∵087)41(21222>++=++a a a ，32)31(312322>+-=+-a a a ，∴0)12(2<++-a a ，0)123(2<++-a a 。
又∵f （x ）是定义在R 上的偶函数)]12([)12(22++-=++⇒a a f a a f ，)123([)123(22+--=+-a a f a a f 。
∴f （x ）在]0,(-∞上是递增函数，且)123([)]12([)123()12(2222++-<++-⇒+-<++a a f a a f a a f a a f ] 12312)123()12(2222+->++⇒+--<++-⇒a a a a a a a a 30032<<⇒<-⇒a a a 。
13．解：∵定义域为{x|x>0或x<0}，又)()()()(x f x ax x f x a x x f -=+-=-⇒+=，∴f （x ）是奇函数。
任取021>>x x ，则)1)(()()()(212121122121x x ax x x x x x a x x x f x f --=-+-=-①。
∵002121>-⇒>>x x x x ，故f （x ）的单调性取决于211x x a-的符号。
（1）如a x x x x a>⇔>-212101恒成立a x a x x x ≥⇔>>⋅⇔22221，∴),[+∞∈a x 时，①0)()(021>-⇒>x f x f ，又21x x >，∴f （x ）在),[+∞a 是递增的。
（2）如a x x x x a<⇔<-212101恒成立a x a x x x ≤⇔≤<⋅⇔12121，∴],0(a x ∈时，①0)()(021<-⇒<x f x f ，又21x x >，∴f （x ）在],0(a 是递减的。
又因奇函数在关于原点对称的区域，单调性一致，∴f （x ）在)0,[a -是递减的，在],(a --∞是递增的。
综上所述知：f （x ）的单调递减区间为：],0()0,[a a ⋃-，f （x ）的单调递增区间为：),[],(+∞⋃--∞a a 。
14．解：（1）设x<0，则-x>0有)1(log )(x x f a -=。
∵f （x ）是奇函数，∴f （-x ）= -f （x ）。
故x<0时，)1(log )(x x f a --=。
（2）由x ≥0知)1(log )(+=x x f a ，∵f （x ）+1≥0 ∴01)1(log ≥++x a ，即a x aa 1log )1(log ≥+。
∵0<a<1，∴a x 11≤+，∴11-≤a x 。
∵110-<a ，∴110-≤≤a x ，故所求x 的最大值为11-a 。
函数的奇偶性、周期性与对称性-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)(原卷版)
考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++ ④函数2()log (1)a f x x x =+或函数2()log (1)a f x x x =+． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-． （2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3）两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
2020年高考数学一轮复习(新课改)第1课时系统知识——函数的单调性与最值、奇偶性、周期性
第二节函数的性质第1课时系统知识一一函数的单调性与最值、奇偶性、周期性若函数y= f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y= f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y= f(x)的单调区间.［点拨］(1)函数单调性定义中的X i , X2具有以下三个特征：一是任意性，即任意两数X i, D ”，任意”两字决不能丢；二是有大小，即X i VX2(或X1>X2)；三是同属一个单调区间，三者缺一不可.⑵若函数在区间D上单调递增(或递减),则对D内任意的两个不等自变量X1, X2的值, 都有fXL二竺或fXk 4竺<。
.X1 —X2 X1—X2 /(3)函数f(X)在给定区间上的单调性，是函数在此区间上的整体性质，不一定代表在整个定义域上有此性质.［谨记常用结论］(1) 函数f(X)与f(x)+ c(c为常数)具有相同的单调性.(2) k>0时，函数f(x)与kf(x)单调性相同；k<0时，函数f(x)与kf(x)单调性相反.1⑶若f(x)恒为正值或恒为负值，贝y f(x)与具有相反的单调性.⑷若f(x), g(x)都是增(减)函数，则当两者都恒大于零时，f(x) •(x)是增(减)函数；当两者都恒小于零时，f(x) g(x)是减(增)函数.(5)在公共定义域内，增+增=增，减+减=减，增—减=增，减—增=减.［小题练通］1. ［人教A版教材P39B组T1］函数f(x)= x2—2x的单调递增区间是______ .答案：［1 ,+^ )2. ［教材改编题］如果二次函数f(x)= x2—(a—1)x + 5在区间2, 1上是增函数，则实数a的取值范围为_________ .解析：T函数f(x) = x2—(a —1)x+ 5的对称轴为x =旦^1且在区间2，1上是增函数，a —1答案：(—R, 2］3. ［教材改编题］函数f(x)= log1 (x2—4)的单调递增区间为________ .2解析：由x2—4>0得x<—2或x>2.又u = x2—4在(一a,—2)上为减函数，在(2, + a)上为增函数，y= log 1 u为减函数，2故f(x)的单调递增区间为(一a,—2).答案：(一a,—2)4. ［易错题］设定义在［—1,7］上的函数y= f(x)的图象如图所示，则函数y= f(x)的增区间为________ .答案：［—1,1］, ［5,7］2x + k5.若函数y= 与y= log3(x—2)在(3, +a )上具有相同的单调性，贝U实数k的取值x—2范围是_________ .解析：由于y= lOg3(x—2)的定义域为(2 , + a ), 且为增函数，故函数y=空土^ = 2x —2+ 4+ k= 2 + 也在(3, + a)上也是增函数，则有4+ k v 0, x —2 x —2 x —2得k v — 4.f(X)Vf —的实数x的取值范答案：(—a, —4)6•已知函数f(x)为定义在区间［—1,1］上的增函数，则满足围为________ .—1W x W1,解析：由题设得1x<2解得—1W x<1.答案：—1,—前提设函数f(x)的定义域为1，如果存在实数M满足条件对于任意x€ I，都有f(x)W M ;存在X o€ I，使得f(X o)= M对于任意x € I，都有f(x)》M ;存在x°€ I，使得f(x^)= M结论M为最大值M为最小值1.函数的最值2.函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值•当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到.(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.［点拨］(1)对于单调函数，最大(小)值出现在定义域的边界处；(2) 对于非单调函数求最值，通常借助图象求解更方便；(3) 一般地，恒成立问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法•注意以下关系：f(x)> a恒成立？f(x)min> a ；f(x) W a恒成立？f(x)max <乱解题时，要务必注意“=”的取舍.［小题练通］21. __________________________________________________________ ［人教A版教材P31例4］函数f(x)=二二在［2,6］上的最大值是___________________________ •答案：22. ［教材改编题］设函数f(x)= 2~在区间［3,4］上的最大值和最小值分别为M ,m,则晋=x—2 M 解析：易知f(x)= x—2 = 2+七，所以f(x)在区间［3,4］上单调递减,4所以M = f(3) = 2 + ---- =6,3 —2 所以m!_ 16_ 8M —6 —3.答案:3.［教材改编题喏函数f(x)=—；+ b(a>0)在；，2上的值域为••• f(X )min = f 2 = 2 , f(x)max = f(2) = 2.1—2a 十 b = 1, 即 -1+b = 2,答案：1 54.［易错题］函数y =~22 i解析：由 y = X ^ ，可得 x 2 = —-^.由 x 2>0,知—0，解得—1 w y<1,x 十 1 1 — y 1 — y故所求函数的值域为［—1,1). 答案：［—1,1) 5.函数f(x) = x ，x> 1，的最大值为x 2 + 2, x<11解析：当x > 1时，函数f(x)= -为减函数，所以f(x)在x = 1处取得最大值，为 f(1) = 1； 当x<1时，易知函数f(x) = — x 2+ 2在x = 0处取得最大值，为 f(0) = 2.故函数f(x)的最大值 为2.答案：26.已知函数 f(x)=— x 2 + 4x 十a , x € ［0,1］，若f(x)有最小值一2,贝V f(x)的最大值为解析：函数 f(x)=— x 2 + 4x 十 a =— (x — 2)2+ 4+ a , x € [0,1]，且函数 f(x)有最小值—2. 故当x = 0时，函数f(x)有最小值，当 x = 1时，函数f(x)有最大值•当 x = 0时，f(0) = a =—2,.・. f(x)=— x 2+ 4x — 2, •当 x = 1 时,f(x)max = f(1)=—十十 4X 1 — 2 = 1.答案：1［谨记常用结论］1. 函数奇偶性的几个重要结论-1解析：•/ f(x)=-三+ b(a>0)在 1，2 是增函数,a = 1, 解得 5b = 5.⑴如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0) = 0.⑵如果函数f(x)是偶函数，那么f(x) = f(|x|).(3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)= 0, x€ D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集.(4) 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.2. 有关对称性的结论(1) 若函数y= f(x + a)为偶函数，则函数y= f(x)关于x = a对称.若函数y= f(x+ a)为奇函数，则函数y= f(x)关于点(a,0)对称.(2) 若f(x)= f(2a—x),则函数f(x)关于x = a 对称；若f(x) + f(2a—x) = 2b,则函数f(x) 关于点(a, b)对称.［小题练通］1. ________________ ［人教A版教材P39A组T6］已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= x(1 + x),贝U f( —1) = .答案：—22. ［教材改编题］设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x) = x1 2 3+ 1,则f( —2)+ f(0)解析：由题意知f( —2) =—f(2) = —(22+ 1) =—5, f(0) = 0,••• f(—2) + f(0) = — 5.答案：—53. ［教材改编题］已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)= x + 1,则当x>0时，f(x)=解析：当x>0 时，一xv0,「. f(—x)=—x + 1,又f(x)为偶函数，• f(x)=—x+ 1.答案：—x+ 14. ［易错题］已知f(x) = ax2+ bx是定义在［a —1,2 a］上的偶函数，那么 a + b的值是2 1解析：T f(x)= ax2+ bx是定义在［a —1,2 a］上的偶函数，• a—1 + 2a = 0,二a=；. 31又f( —x)= f(x) ,• b= 0,二a+ b= 3.3答案:5.在函数y= xcosx, y= e x+ x2, y= lg . x2—2, y= xsin x 中，偶函数的个数是___________ 解析：y= xcos x是奇函数，y= lg x2—2和y= xsin x是偶函数，y= e x+ x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是 2.答案：26.已知函数 f(x)= asin x + bln*^ +1，若 f 1 + f — 2 =6，则实数 t=________________ ，解析：令g(x)= asin x + bln 齐，则易知g(x)为奇函数，所以gg g J — 2戶0,则由 f(x)= g(x)+1,得 f 1 + f —1 = g 1 + g —1 + 2t = 2t = 6,解得 t = 3.答案：31. 周期函数对于函数y = f(x)，如果存在一个非零常数T ,使得当x 取定义域内的任何值时，都有f(x + T) = f(x)，那么就称函数 y = f(x)为周期函数，称T 为这个函数的周期.2. 最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期.［谨记常用结论］定义式f(x + T)= f(x)对定义域内的x 是恒成立的.(1)若 f(x + a) = f(x + b),则函数 f(x)的周期为 T = |a — b|; 1 1f(x + a) = — f(x), f(x + a)=，f(x + a)=—匚何>0),则 f(x)为周期函数，且T = 2a 为它的一个周期.［小题练通］1.［教材改编题］设f(x)是定义在 R 上的周期为 2的函数，当 x € (— 1,1)时，f(x)= 「4x + 2,—1<x <0，则虑 L __________________ .x , 0< x<1, 2答案：12.［教材改编题］若f(x)是R 上周期为2的函数，且满足 f(1) = 1, f(2) = 2,贝U f(3) — f(4)解析：由 f(x)是 R 上周期为 2 的函数知，f(3) = f(1) = 1, f(4) = f(2) = 2,••• f(3) — f(4) =— 1.答案：—1=x ,贝y f(2 019) = __________(2)若在定义域内满足3.［教材改编题］已知f(x)是定义在R 上的函数，并且 1f(x + 2)= f x ,f(x)1 1解析：由已知，可得f(x + 4) = f[(x + 2) + 2]= —— =-—=f(x),故函数f(x)的周期为f (X + 2)4.A f(2 019) = f(4X 504+ 3) = f(3)= 3.答案：34. [易错题]函数f(x)的周期为4,且x€ (-2,2], f(x) = 2x- x2,则f(2 018) + f(2 019) + f(2 020)的值为________ .解析：由f(x)= 2x-x2, x€ (-2,2],知f(- 1)=- 3, f(0)= 0, f(2) = 0，又f(x)的周期为4,所以f(2 018) + f(2 019) + f(2 020) = f(2) + f( - 1)+ f(0) = 0 - 3+ 0=- 3.答案：—35. 已知f(x)是R上的奇函数，且对任意x€ R都有f(x+ 6)= f(x) + f(3)成立，则f(2 019)解析：•/ f(x)是R上的奇函数，••• f(0) = 0,又对任意x€ R都有f(x + 6) = f(x) + f(3),二当x=- 3 时，有f(3) = f( - 3) + f(3) = 0, • f( - 3) = 0 , f(3) = 0 , • f(x+ 6) = f(x)，周期为6. 故f(2 019) = f(3) = 0.答案：06.偶函数y= f(x)的图象关于直线x= 2对称，f(3) = 3,则f( - 1) = __________ .解析：因为f(x)的图象关于直线x= 2对称，所以f(x) = f(4- x) , f( - x) = f(4 + x),又f(- x) = f(x),所以f(x) = f(4 + x),则f( - 1) = f(4 - 1) = f(3) = 3.答案：3。
高考文科数学复习函数的奇偶性单调性及周期性练习一(可编辑修改word版)
x 2＋1 8 f (x ) = ax + b sin x + 4(a , b ∈ R ) f (lg(lg 2)) = 222 2014 年高考文科数学复习 ----- 函数的奇偶性、单调性及周期性练习一1. 下列函数为偶函数的是()A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3C ．y ＝e x D ．y ＝ln2．已知 f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么 a ＋b 的值是( )1 1 1 1A ．－ B. C. D ．－3 3 2 23．已知定义在 R 上的奇函数 f (x )，满足 f (x ＋4)＝f (x )，则 f (8)的值为()A ．－1 B ．0C ．1 D ．24．已知 f (x )为奇函数，当 x ∈(－∞，0)时，f (x )＝x ＋2，则 f (x )>0 的解集为()A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－2,0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(0,2)5.若函数 f (x )是定义在 R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且 f (3)＝0，则使得 f (x )<0 的 x 的取值范围是()A ．(－∞，3)∪(3，＋∞)B ．(－∞，3)C ．(3，＋∞)D ．(－3,3)f (x )＋f (－x )6、设偶函数 f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且 f (2)＝0，则不等式 x>0 的解集为()A ．(－2,0)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(0,2) 7.设 f(x)=ax 5+bx 3+cx －5(a,b,c 是常数)且 f (-7) = 7 ,则 f （7）=.3、（2013 重庆文）已知函数 , f (lg(log 2 10)) = 5 ,则（ ）A ． -5B ． -1C ． 3D ． 41 9、已知偶函数 f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足 f (2x －1)＜f ( )的 x 的取值范围是（）31 2 1 2 1 2 1 2 A ．( ， ) B ．[ ， )C ．( ， ) D ．[ ， )3 3 3 3 2 3 2 310.设函数 f (x )＝x 3cos x ＋1.若 f (a )＝11，则 f (－a )＝ . 11.已知 y ＝f (x )＋x 2 是奇函数，且 f (1)＝1.若 g (x )＝f (x )＋2，则 g (－1)＝ .12．已知函数 f (x )＝E rr o r !为奇函数，则 a ＋b ＝.13、已知定义在 R 上的奇函数满足 f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若 f (3－a 2)>f (2a )，则实数 a 的取值范围是．14. 设函数 f (x )是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x ∈[0,1]时，f (x )＝x ＋1，则 f(3)＝ .15. 已知定义在[-2，2]上的奇函数，f (x )在区间[0，2]上单调递减，若 f (m )+f (m-1)＞0,实数 m 的取值范．2014 年高考文科数学复习--函数的奇偶性、单调性及周期性练习二1. 下列函数中，既是奇函数又是减函数的是()A ．y ＝－x 3B ．y ＝sin xC ．y ＝xD ．y ＝(1)x2．设 f (x )是周期为 2 的奇函数，当 0≤x ≤1 时，f (x )＝2x (1－x )，则 f (－5)＝()1 1 1 1A ．－B ．－ C. D.2 4 4 23. 已知函数 f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是()A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)x 2＋1 2 14. 已知函数 f (x )＝|x ＋a |－|x －a |(a ≠0)，h (x )＝E rr o r !则 f (x )，h (x )的奇偶性依次为( )A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数C ．偶函数，偶函数D ．奇函数，奇函数5. 已知函数 f (x )为定义在R 上的奇函数，当 x ≥0 时，f (x )＝2x ＋2x ＋m (m 为常数)，则 f (－1)的值为()A ．－3B ．－1C ．1D ．3x1 2 36. 若函数 f (x )＝为奇函数，则 a ＝()A. B. C. D ．1 (2x ＋1)(x －a )2 3 47．定义在 R 上的函数 f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2，则 f (99)＝()13 2A ．13B ．2C. 2 D.138.设 f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又 f (－3)＝0，则 x ·f (x )<0 的解集是( ) A ．{x |－3<x <0，或 x >3}B ．{x |x <－3，或 0<x <3}C ．{x |x <－3，或 x >3}D ．{x |－3<x <0，或 0<x <3} 9、已知 f (x )是偶函数，当 x <0 时，f (x )＝x 2＋x ，则当 x >0 时，f (x )＝.10. 若函数是定义在 R 上的偶函数，在 上是减函数，且，则使得的 x 的取值范围是11. 已知函数 f (x )是定义在 R 上的奇函数，其最小正周期为 3，且 x ∈(－3，0)时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则 f (2 011)＝.12、已知奇函数 f (x ) 满足 f (x + 2) =f (x ) ，当 x ∈(0,1) 时， f ( x ) = 2x ，则 f (log 5) = 。
高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-3函数的奇偶性与周期性-教师版
专题3.3函数的奇偶性与周期性练基础1．（2021·海南海口市·高三其他模拟）已知函数()(0)f x kx b k =+≠，则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】化简“(0)0f =”和“函数()f x 为奇函数”，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】(0)0f =，所以0b =，函数()f x 为奇函数，所以()()0f x kx b f x kx b -=-+=-=--=，所以0b =.所以“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的充分必要条件.故选：C2．（2021·福建高三三模）若函数()y f x =的大致图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．()1xf x x =-B ．()1x f x x=-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x x =-【答案】C 【解析】利用排除法，取特殊值分析判断即可得答案解：由图可知，当(0,1)x ∈时，()0f x <，取12x =，则对于B ，112(101212f ==>-，所以排除B ，对于D ，1122()012314f ==>-，所以排除D ，当0x >时，对于A ，()1111x f x x x ==+--，此函数是由1y x =向右平移1个单位，再向上平移1个单位，所以1x >时，()1f x >恒成立，而图中，当1x >时，()f x 可以小于1，所以排除A,故选：C3．（2021·广东高三其他模拟）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,1上单调递增的是（）A．y =B ．1y x x=+C ．xx y ee =-﹣D ．2log y x=【答案】C 【解析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断.【详解】A.函数y =的定义域是[0,)+∞，所以函数是非奇非偶函数，故错误；B.1y x x=+在()0,1上单调递减，故错误；C.因为()()()xx x x f x ee e ef x --=---=-=﹣，所以函数是奇函数，且在()0,1上单调递增，正确；D.因为()()22log =log f x x x f x -=-=，所以函数是偶函数，故错误；故选：C ．4．（2021·湖南高三月考）定义函数1,()1,x D x x ⎧=⎨-⎩为有理数，为无理数，则下列命题中正确的是（）A ．()D x 不是周期函数B ．()D x 是奇函数C ．()yD x =的图象存在对称轴D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期【答案】C 【解析】当m 为有理数时恒有()()D x m D x +=，所以()D x 是周期函数，且无最小正周期，又因为无论x 是有理数还是无理数总有()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称．当m 为有理数时，()1,1,x D x m x ⎧+=⎨-⎩为有理数为无理数，()()D x m D x ∴+=，∴任何一个有理数m 都是()D x 的周期，()D x ∴是周期函数，且无最小正周期，∴选项A ，D 错误，若x 为有理数，则x -也为有理数，()()D x D x ∴=-，若x 为无理数，则x -也为无理数，()()D x D x ∴=-，综上，总有()()D x D x -=，∴函数()D x 为偶函数，图象关于y 轴对称，∴选项B 错误，选项C 正确，故选：C5．【多选题】（2021·淮北市树人高级中学高一期末）对于定义在R 上的函数()f x ，下列说法正确的是（）A ．若()f x 是奇函数，则()1f x -的图像关于点()1,0对称B ．若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，则()f x 的图像关于直线1x =对称C ．若函数()1f x +的图像关于直线1x =-对称，则()f x 为偶函数D ．若()()112f x f x ++-=，则()f x 的图像关于点()1,1对称【答案】ACD 【解析】四个选项都是对函数性质的应用，在给出的四个选项中灵活的把变量x 加以代换，再结合函数的对称性、周期性和奇偶性就可以得到正确答案.【详解】对A ，()f x 是奇函数，故图象关于原点对称，将()f x 的图象向右平移1个单位得()1f x -的图象，故()1f x -的图象关于点（1，0）对称，正确；对B ，若对x ∈R ，有()()11f x f x =+-，得()()2f x f x +=，所以()f x 是一个周期为2的周期函数，不能说明其图象关于直线1x =对称，错误.；对C ，若函数()1f x +的图象关于直线1x =-对称，则()f x 的图象关于y 轴对称，故为偶函数，正确；对D ，由()()112f x f x ++-=得()()()()112,202f f f f +=+=，()()()()312,422,f f f f +-=+-= ，()f x 的图象关于（1，1）对称，正确.故选：ACD.6．【多选题】（2020·江苏南通市·金沙中学高一期中）已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上是增函数,则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值是（）A ．0B ．12C ．712D ．1【答案】BC 【解析】根据偶函数和单调性求得不等式的解，然后判断各选项．．【详解】由题意1213x -<，解得1233x <<，只有BC 满足．故选：BC ．7．【多选题】（2021·广东高三二模）函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD 【解析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误.故选：BD.8．（2021·吉林高三二模（文））写出一个符合“对x R ∀∈，()()0f x f x +-=”的函数()f x =___________.【答案】3x （答案不唯一）【解析】分析可知函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，由此可得结果.【详解】由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，且该函数为奇函数，可取()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.9．（2021·全国高三二模（理））已知()y f x =为R 上的奇函数，且其图象关于点()2,0对称，若()11f =，则()2021f =__________．【答案】1【解析】根据函数的对称性及奇函数性质求得函数周期为4，从而()2021(1)1f f ==.【详解】函数关于点()2,0对称，则()(4)f x f x =--，又()y f x =为R 上的奇函数，则()(4)(4)f x f x f x =--=-，因此函数的周期为4，因此()2021(1)1f f ==.故答案为：1.10．（2021·上海高三二模）已知函数()f x 的定义域为R ，函数()g x 是奇函数，且()()2x g x f x =+，若(1)1f =-，则(1)f -=___________．【答案】32-【解析】通过计算(1)(1)g g +-可得．【详解】因为()g x 是奇函数，所以(1)(1)0g g +-=，即1(1)2(1)02f f ++-+=，所以53(1)122f -=-=-．故答案为：32-．练提升1．（2021·安徽高三三模（文））若把定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，则关于函数()f x 的性质叙述一定正确的是（）A ．()()0f x f x -+=B ．()()11f x f x -=-C ．()f x 是周期函数D ．()f x 存在单调递增区间【答案】C 【解析】通过举例说明选项ABD 错误；对于选项C 可以证明判断得解.【详解】定义域为R 的函数()f x 的图象沿x 轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于y 轴对称的图象，∴()f x 的图象既有对称中心又有对称轴，但()f x 不一定具有奇偶性，例如()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，由()()0f x f x -+=，则()f x 为奇函数，故选项A 错误；由()()11f x f x -=-，可得函数()f x 图象关于0x =对称，故选项B 错误；由()0f x =时，()f x 不存在单调递增区间，故选项D 错误；由已知设()f x 图象的一条对称抽为直线x a =，一个对称中心为(),0b ，且a b ¹，∴()()2f a x f x +=-，()()2f x f b x -=-+，∴()()22f a x f b x +=-+，∴()()()2222f a x b f b x b f x +-=-+-=-，∴()()()()442222f x a b f b x b f x a b f x +-=-+-=-+-=，∴()f x 的一个周期()4T a b =-，故选项C 正确.故选：C2．（2021·天津高三二模）已知函数()f x 在R 上是减函数，且满足()()f x f x -=-，若31log 10a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3log 9.1b f =，()0.82c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．c a b>>【答案】B 【解析】根据对数运算性质和对数函数单调性可得331log log 9.1210->>，根据指数函数单调性可知0.822<；利用()f x 为减函数可知()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭，结合()f x 为奇函数可得大小关系.【详解】33331log log 10log 9.1log 9210-=>>= ，0.822<即：0.8331log log 9.1210->>又()f x 是定义在R 上的减函数()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭又()f x 为奇函数3311log log 1010f f⎛⎫⎛⎫∴-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()0.8331log log 9.1210f f f ⎛⎫∴-<< ⎪⎝⎭，即：c b a >>.故选：B.3.（2021·陕西高三三模（理））已知函数f (x )为R 上的奇函数，且()(2)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，()22x xaf x =+，则f (101)+f (105)的值为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A 【解析】根据函数为奇函数可求得函数的解析式，再由()(2)f x f x -=+求得函数f (x )是周期为4的周期函数，由此可计算得选项．【详解】解：根据题意，函数f (x )为R 上的奇函数，则f (0)=0，又由x ∈[0，1]时，()22xx a f x =+，则有f (0)=1+a =0，解可得：a =﹣1，则有1()22xxf x =-，又由f (﹣x )=f (2+x )，即f (x +2)=﹣f (x )，则有f (x +4)=﹣f (x +2)=f (x )，即函数f (x )是周期为4的周期函数，则1313(101)(1)2,(105)(1)22222f f f f ==-===-=，故有f (101)+f (105)=3，故选：A ．4．（2021·上海高三二模）若()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，则下列结论：①|()|y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R 都有()|()|0f x f x -+=；③()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增；④反函数1()y fx -=存在且在(,0]-∞上单调递增．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】根据奇函数定义以及单调性性质，及反函数性质逐一进行判断选择.【详解】对于①，由()f x 是R 上的奇函数，得()()f x f x -=-，∴|()||()||()|-=-=f x f x f x ，所以|()|y f x =是偶函数，故①正确；对于②，由()f x 是R 上的奇函数，得()()0f x f x -+=，而()|()|f x f x =不一定成立，所以对任意的x ∈R ，不一定有()|()|0f x f x -+=，故②错误；对于③，因为()f x 是R 上的奇函数，且()f x 在[0,)+∞上单调递增，所以()f x 在(,0]-∞上单调递增，且()(0)0f x f £=，因此2()()[()]y f x f x f x =-=-，利用复合函数的单调性，知()()y f x f x =-在(,0]-∞上单调递增，故③正确.对于④，由已知得()f x 是R 上的单调递增函数，利用函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射，且函数与其反函数在相应区间内单调性一致，故反函数1()y f x -=存在且在(,0]-∞上单调递增，故④正确；故选：C5．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，并且当[]1,2x ∈，()1|2|f x x =--，则下列选项正确的是（）A ．()f x 在(3,2)--上为减函数B ．()f x 在(3,2)--上()0f x <C ．()f x 在(3,2)--上为增函数D ．()f x 在(3,2)--上()0f x >【答案】CD 【解析】根据题意，分析可得(4)()f x f x +=，结合函数的解析式可得当(3,2)x ∈--时函数的解析式，据此分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数(1)f x +为奇函数，则有(1)(1)f x f x +=--+，即(2)()f x f x +=--，又由()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，则有(2)()f x f x +=-，即有(4)()f x f x +=，当[1x ∈，2]时，()1|2|1f x x x =--=-，若(3,2)x ∈--，则4(1,2)x +∈，则(4)(4)13f x x x +=+-=+，则当(3,2)x ∈--时，有()3f x x =+，则()f x 为增函数且()(3)0f x f >-=；故()f x 在(3,2)--上为增函数，且()0f x >；故选：CD ．6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()0f x f x +-=成立，m R ∈，则下列的点一定在函数()y f x =图象上的是（）A ．(0,0)B ．(,())m f m --C ．(,())m f m --D ．(,())m f m -【答案】ABC 【解析】根据任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，得到()f x 是奇函数判断.【详解】因为任意x ∈R 满足()()0f x f x +-=，所以()f x 是奇函数，又x ∈R ，所以令0x =，则(0)(0)f f -=-，得(0)0f =，所以点(0,0)，且点(,())m f m --与(,())m f m --也一定在()y f x =的图象上，故选：ABC ．7．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，当0x >时，()(1)f x x x =-，则下列说法正确的是（）A ．函数()y f x =有2个零点B ．当0x <时，()(1)f x x x =-+C ．不等式()0f x <的解集是(0,1)D ．12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()1212f x f x -≤【答案】BCD 【解析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可．【详解】对A ，当0x >时，由()(1)0f x x x =-=得1x =，又因为()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，所以()()()00,110f f f =-=-=，故函数()y f x =有3个零点，则A 错；对B ，设0x <，则0x ->，则()()()()11f x f x x x x x =--=----=-+⎡⎤⎣⎦，则B 对；对C ，当01x <≤时，由()(1)0f x x x =-<，得01x <<；当10x -≤≤时，由()(1)0f x x x =-+<，得x 无解；则C 对；对D ，12,[1,1]x x ∀∈-，都有()()()()12max min 1111122442f x f x f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则D 对．故选：BCD ．8．【多选题】（2021·苏州市第五中学校高一月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，[]y x =也被称为“高斯函数”，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=.已知函数()[1]f x x x =+-，下列说法中正确的是（）A ．()f x 是周期函数B ．()f x 的值域是[0,1]C ．()f x 在(0,1)上是减函数D ．x ∀∈R ，[()]0f x =【答案】AC 【解析】根据[]x 定义将函数()f x 写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.【详解】由题意可知[]1,210,1011,012,12x x x x x --≤<-⎧⎪-≤<⎪⎪+=≤<⎨⎪≤<⎪⎪⎩，()[]1,21,1011,012,12x x x x f x x x x x x x ---≤<-⎧⎪--≤<⎪⎪∴=+-=-≤<⎨⎪-≤<⎪⎪⎩，可画出函数图像，如图：可得到函数()f x 是周期为1的函数，且值域为(]0,1，在()0,1上单调递减，故选项AC 正确，B 错误；对于D ，取1x =-()11f -=，则()11f -=⎡⎤⎣⎦，故D 错误.故选：AC ．9．【多选题】（2021·湖南高三月考）函数()f x 满足以下条件：①()f x 的定义域是R ，且其图象是一条连续不断的曲线；②()f x 是偶函数；③()f x 在()0,∞+上不是单调函数；④()f x 恰有2个零点.则函数()f x 的解析式可以是（）A ．2()2f x x x =-B ．()ln 1f x x =-C ．2()1f x x x =-++D ．()2xf x e =-【答案】CD 【解析】利用函数图象变换画出选项A ，B ，C ，D 对应的函数图象，逐一分析即可求解.【详解】解：显然题设选项的四个函数均为偶函数，但()ln 1f x x =-的定义域为{}0x x R ≠≠，所以选项B 错误；函数2()2f x x x =-的定义域是R ，在(),1-∞-，()0,1单调递减，在()1,0-，()1,+∞单调递增，但()()()2020f f f -===有3个零点，选项A 错误；函数2()1f x x x =-++的定义域是R ，当()0,x ∈+∞时，2()1f x x x =-++的图象对称轴为12x =，其图象是开口向下的抛物线，故()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，由图得()f x 恰有2个零点，选项C 正确；函数()2xf x e =-的定义域是R ，在(),ln 2-∞-，()0,ln 2单调递减，在()ln 2,0-，()ln 2,+∞单调递增，且()()ln 2ln 20f f -==有2个零点，选项D 正确.故选：CD.10．（2021·黑龙江大庆市·高三二模（理））定义在R 上的函数()f x 满足()2()f x f x +=，当[]1,1x ∈-时，2()f x x =，则函数()f x 的图象与()3x g x =的图象的交点个数为___________.【答案】7由题设可知()f x 的周期为2，结合已知区间的解析式及()3x g x =，可得两函数图象，即知图象交点个数.【详解】由题意知：()f x 的周期为2，当[1,1]x ∈-时，2()f x x =，∴()f x 、()g x 的图象如下：即()f x 与()g x 共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：()()f m x f x +=有()f x 的周期为||m .练真题1.（2020·天津高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（）A．B．C．D．【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误.故选：A.2.（2020·全国高考真题（理））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（）A．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B．是奇函数，且在11(,22-单调递减C．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D 【解析】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-，()f x ∴为定义域上的奇函数，可排除AC；当11,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x ∴在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B；当1,2x ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.3．（2020·海南省高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（）A．[)1,1][3,-+∞ B．3,1][,[01]-- C．[1,0][1,)-⋃+∞D．[1,0][1,3]-⋃【答案】D 【解析】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <，所以由(10)xf x -≥可得：021012x x x <⎧⎨-≤-≤-≥⎩或或001212x x x >⎧⎨≤-≤-≤-⎩或或0x =解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃，故选：D.4.（2018年理全国卷II）已知op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，满足o1−p =o1+p ．若o1)=2，则o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=()A.−50B.0C.2D.50【答案】C 【解析】因为op 是定义域为(−∞,+ ∞)的奇函数，且o1−p =o1+p ，所以o1+p =−o −1)∴o3+p =−o +1)=o −1)∴=4,因此o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=12[o1)+o2)+o3)+o4)]+o1)+o2)，因为o3)=−o1)，o4)=−o2)，所以o1)+o2)+o3)+o4)=0，∵o2)=o −2)=−o2)∴o2)=0，从而o1)+o2)+o3)+⋯+o50)=o1)=2，选C.5.（2019·全国高考真题（文））设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（）A．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C．6.（2019·全国高考真题（理））已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.【答案】-3【解析】因为()f x 是奇函数，且当0x >时0x ->，()()ax f x f x e -=--=．又因为ln 2(0,1)∈，(ln 2)8f =，所以ln 28a e-=，两边取以e 为底的对数得ln 23ln 2a -=，所以3a -=，即3a =-．。
(完整word版)高考文科数学复习函数的奇偶性单调性及周期性练习一.docx
2014 年高考文科数学复习 ---- 函数的奇偶性、单调性及周期性练习一1．下列函数为偶函数的是( )A ． y ＝ sin xB ． y ＝ x 3C ．y ＝ e x D ． y ＝ ln x 2＋ 12．已知 f(x)＝ ax 2＋ bx 是定义在 [a － 1,2a] 上的偶函数，那么 a ＋b 的值是 ()1 1 11A ．－ 3B.3C.2D ．－ 23．已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足 f(x ＋ 4)＝f(x)，则 f(8) 的值为 ( )A ．－ 1 B ．0C ．1D ． 24．已知 f(x)为奇函数，当x ∈ (－∞， 0)时， f(x)＝ x ＋2，则 f(x)>0 的解集为 ()A ．(－∞，－ 2)B ． (2，＋∞ )C ． (－ 2,0)∪ (2，＋∞ )D ．(－∞，－ 2)∪ (0,2)5.若函数 f(x) 是定义在 R 上的偶函数，在 (－∞， 0]上是减函数，且 f(3) ＝ 0，则使得 f( x)<0 的 x 的取值范围是 ()A ． (－∞， 3)∪ (3，＋∞ )B ． (－∞， 3)C ． (3，＋∞ )D ．(－3,3)f x ＋f － x)6、设偶函数 f(x)在 (0，＋∞ )上为减函数，且 f(2) ＝ 0，则不等式 x>0 的解集为 (A ． (－ 2,0)∪(2，＋∞ )B ． (－∞，－ 2)∪ (0,2)C ． (－∞，－ 2)∪ (2，＋∞ )D ．(－ 2,0)∪ (0,2)7.设 f(x)=ax 5+bx 3+cx － 5(a,b,c 是常数 )且 f ( 7)7 ,则 f （ 7） = ______.8、（ 2013 重庆文） 已知函数f ( x)ax3b sin x 4( a, bR), f (lg(log 2 10))5 ,则 f (lg(lg 2))（ ）A ． 5B ． 1C ．3D ．419、已知偶函数 f(x)在区间 [0，＋∞ )上单调递增，则满足f(2x － 1)＜ f(3)的 x 的取值范围是（）A ．(1， 2)B ．[1， 2)C ． ( 1，2)D ．[1，2)3 3 3 3 2 3 2 310.设函数 f(x)＝ x 3cos x ＋ 1.若 f(a)＝ 11，则 f(－ a)＝ ________.11.已知 y ＝ f(x) ＋ x 2 是奇函数，且 f(1)＝ 1.若 g(x)＝ f(x)＋2，则 g(－ 1)＝ ________.x 2＋ x ， x ≤ 0，12．已知函数 f ( x ) ＝ 2＋ ， >0 为奇函数，则 a ＋ b ＝ ________.ax bx x13、已知定义在 R 上的奇函数满足f(x)＝ x 2＋ 2x(x ≥ 0)，若 f(3－ a 2)>f(2a) ，则实数 a 的取值范围是 ________．314.设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，当 x ∈ [0,1] 时， f(x)＝ x ＋1，则 f 2 ＝ ________.15．已知定义在 [-2 ，2]上的奇函数， f (x)在区间 [0，2]上单调递减， 若 f (m)+f (m-1) ＞0,实数 m 的取值范 ___．2014 年高考文科数学复习 -- 函数的奇偶性、单调性及周期性练习二1．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是 ()A ．y ＝－ x 3B ． y ＝ sin xC ．y ＝ xD ．y ＝ 1 x22．设 f( x)是周期为 2 的奇函数，当 0≤ x ≤1 时， f(x)＝ 2x(1 －x)，则 f － 5＝ ()2 1 1 1 1A ．－ 2B ．－ 4C.4D.23．已知函数 f(x)＝ x|x|－ 2x ，则下列结论正确的是 ()A ．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞ )B ．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞， 1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－ 1,1)D ． f(x) 是奇函数，递增区间是(－∞， 0)－x2＋ x，x>0，4．已知函数 f(x)＝ |x＋ a|－ |x－ a|(a≠ 0)， h(x)＝则 f(x)， h(x)的奇偶性依次为 ()x2＋ x， x≤ 0，A ．偶函数，奇函数B ．奇函数，偶函数 C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数5．已知函数 f(x)为定义在R 上的奇函数，当 x≥ 0 时，f(x)＝ 2x＋ 2x＋m(m 为常数 )，则 f(－ 1)的值为 ()A ．－3B．－ 1C． 1 D ． 36．若函数x为奇函数，则 a＝ (1 2 3f(x)＝x－a)A. B. C. D．1 2x＋ 12 3 47．定义在 R 上的函数 f(x)满足： f( x) ·f(x＋2)＝ 13， f(1)＝ 2，则 f(99)＝ ()132A． 13 B ．2C. 2 D.138. 设 f(x)是奇函数，且在 (0，＋∞ )内是增函数，又f( －3) ＝ 0，则 x·f(x)<0 的解集是 ()A ． { x|－ 3<x<0，或 x>3}B ． { x|x<－ 3，或 0<x<3}C ． { x|x<－ 3，或 x>3}D ． { x|－ 3< x<0，或 0<x<3}9、已知 f(x)是偶函数，当 x<0 时， f(x)＝ x2＋ x，则当 x>0 时， f(x)＝ ________.10.若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的x 的取值范围是11.已知函数f( x)是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，且x∈ － 3， 02时， f(x)＝ log 2( －3x＋ 1)，则f(2 011)＝ ________.12、已知奇函数 f x 满足 f (x2) f (x) ，当x(0,1) 时，f x2x，则 f (log 15)______。
2023年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用) 考向08函数的奇偶性周期性与对称性(解析版)
考向08 函数的奇偶性、周期性与对称性【2022年新高考全国Ⅰ卷】（多选题）已知函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ） A ．(0)0f = B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC 【解析】 【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.【2022年新高考全国II 卷】已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A 【解析】 【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++=．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．1.奇偶性技巧(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征.函数()f x 是偶函数⇔函数()f x 的图象关于y 轴对称； 函数()f x 是奇函数⇔函数()f x 的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数()y f x =在0x =处有意义，则有(0)0f =； 偶函数()y f x =必满足()(||)f x f x =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+.(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()f x g x f x g x f x g x f x g x +-⨯÷.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇()⨯÷奇=偶；奇()⨯÷偶=奇；偶()⨯÷偶=偶.(7)复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型奇函数：①函数1()()01x x a f x m x a +=≠-()或函数1()()1x x a f x m a -=+．②函数()()x x f x a a -=±-． ③函数2()log log (1)aa x m m f x x m x m +==+--或函数2()log log (1)a a x m m f x x m x m-==-++④函数()log )a f x x =或函数()log )a f x x =． 注意：关于①式，可以写成函数2()(0)1x m f x m x a =+≠-或函数2()()1x mf x m m R a =-∈+．偶函数：①函数()()x x f x a a -=±+． ②函数()log (1)2mx a mxf x a =+-． ③函数(||)f x 类型的一切函数． ④常数函数 2.周期性技巧()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x af x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x af x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数3.函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数()y f x =有两条对称轴x a =，()x b a b =<，则函数()f x 是周期函数，且2()T b a =-； （2）若函数()y f x =的图象有两个对称中心(,),(,)()a c b c a b <，则函数()y f x =是周期函数，且2()T b a =-；（3）若函数()y f x =有一条对称轴x a =和一个对称中心(,0)()b a b <，则函数()y f x =是周期函数，且4()T b a =-.4.对称性技巧（1）若函数()y f x =关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-． （2）若函数()y f x =关于点()a b ，对称，则()()2f a x f a x b ++-=．（3）函数()y f a x =+与()y f a x =-关于y 轴对称，函数()y f a x =+与()y f a x =--关于原点对称．1.(1)如果一个奇函数()f x 在原点处有定义，即(0)f 有意义，那么一定有(0)0f =. (2)如果函数()f x 是偶函数，那么()(||)f x f x =.2.奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性3.函数周期性常用结论对()f x 定义域内任一自变量的值x : (1)若()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. (2)若1()()f x a f x +=，则2(0)T a a =>. (3)若1()()f x a f x +=-，则2(0)T a a =>. 4.对称性的三个常用结论(1)若函数()y f x a =+是偶函数，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称.(2)若对于R 上的任意x 都有(2)()f a x f x -=或()(2)f x f a x -=+，则()y f x =的图象关于直线x a =对称.(3)若函数()y f x b =+是奇函数，则函数()y f x =的图象关于点(,0)b 中心对称. 5.两个奇偶函数四则运算的性质 （1）两个奇函数的和仍为奇函数； （2）两个偶函数的和仍为偶函数； （3）两个奇函数的积是偶函数； （4）两个偶函数的积是偶函数；（5）一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数。
高考数学(理)总复习高考达标检测(五) 函数的单调性、奇偶性及周期性 Word版含答案
高考达标检测（五） 函数的单调性、奇偶性及周期性一、选择题1．(2017·沈阳教学质量监测)下列函数中，在其定义域内是增函数且是奇函数的是( )A ．y ＝2xB ．y ＝2|x |C ．y ＝2x－2－xD ．y ＝2x＋2－x解析：选C A 中函数是非奇非偶函数，B 、D 中函数是偶函数，对于选项C ，由奇函数的定义可知该函数是奇函数，由复合函数的单调性可知其在定义域内是增函数，故选C.2．(2017·辽宁阶段测试)设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数解析：选B 因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则 (m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2)，因为x ∈(0,1)时，y ＝1－x 2是减函数，故f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.3．(2016·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0解析：选C A 项，考查的是反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y<0，所以A 错误；B 项，考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C 项，考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D 项，考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y ＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误．4．(2016·山东高考)已知函数f (x )的定义域为R.当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D 由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x >12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.5．(2017·湖南联考)已知函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，若a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π7，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫tan 5π7，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：选B ∵π2<5π7<3π4，∴tan 5π7<－1<cos 5π7<0，又sin 2π7>0，∴tan 5π7<cos5π7<sin 2π7.∵函数f (x )是R 上的奇函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增，∴函数f (x )是R上的增函数，∴c <b <a ，故选B.6．(2017·邢台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数f (x )，其导函数为f ′(x )＝1＋ cos x ，如果f (1－a )＋f (1－a 2)<0，则实数a 的取值范围为( ) A ．(0,1) B ．(1，2)C ．(－2，－2)D ．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B 依题意得f ′(x )>0，则f (x )是定义在(－1,1)上的增函数．不等式f (1－a )＋f (1－a 2)<0等价于f (1－a 2)<－f (1－a )＝f (a －1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a 2<1，－1<a －1<1，1－a 2<a －1.解得1<a <2， 选B.7．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3在(－∞，m )上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选D ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，∴f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 2－x x ＋3＝(x －1)(x ＋3)－2×(－x )＝x 2＋4x －3＝(x ＋2)2－7，∴f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)， ∵函数f (x )在(－∞，m )上单调递减，∴(－∞，m )⊆(－∞，－2)，即m ≤－2.故选D.8．(2016·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45C ．－1D ．－45解析：选C 因为x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，因为f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4.所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.二、填空题9．(2016·天津高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．解析：∵f (x )是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2|a －1|)＞f (2)，∴2|a －1|＜2＝212，∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 10．(2016·四川高考)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________.解析：∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0. ∵f (x )＝4x，x ∈(0,1)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2. ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 答案：－211．(2017·江苏调研)已知函数f (x )是偶函数，且当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，则当x <0时，f (x )的解析式为________________．解析：设x <0，则－x >0，因为当x >0时，f (x )＝x 3＋x ＋1，所以f (－x )＝－x 3－x ＋1.又函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝－x 3－x ＋1.答案：f (x )＝－x 3－x ＋112．(2017·台州模拟)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g x ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．解析：设x >0，则－x <0. ∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )， ∴g (－x )＝－ln(1＋x )． 又∵g (x )是奇函数， ∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，＋x ，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )， ∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)． 答案：(－2,1) 三、解答题13．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．14．(2017·湖南长郡中学测试)已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在[－1,1]上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 解：(1)当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)． ∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x 4－x ＋1＝－2x4x ＋1.由f (0)＝f (－0)＝－f (0)，且f (1)＝－f (－1)＝－f (－1＋2)＝－f (1)， 得f (0)＝f (1)＝f (－1)＝0.∴在区间[－1,1]上，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈，，－2x 4x＋1，x ∈－1，，0，x ∈{－1，0，1}.(2)证明：当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1，设0<x 1<x 2<1，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝x 2－2x 1x 1＋x 2－x 1＋x 2＋，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数．。
函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)
函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为 偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于 （ ）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是 （ ）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有 （ ）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是 （ ） A ．10b -<< B ．2b >C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的 是 （ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（ ）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞B. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1( )24、已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意x 都有)()1()1(x f x x xf +=+， 那么)25(f =A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。
函数的性质练习（奇偶性、单调性、周期性、对称性）（附答案）（汇编）
函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(x f 在区间[6,6]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是() A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(x f ,那么)3120(f A.0B.2C.2D.24、已知112)(x xx f ，那么)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14B.15C.16D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(xf xf 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(x fD.)3(x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(xf x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为 4B. )(x f 的周期为 6C. )(x f 的图像关于直线1x 对称 D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f ,)1()1(x f x f ，当x[1, 1]时，3)(x x f ，则)2013(f A.1B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f ，并且)1(x f 为偶函数. 若3)1(f ，那么)101(f A.1 B.2C.3D.4 9、已知f(x)(x ∈R)为奇函数，f(2)＝1，f (x ＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(3)等于()A.12B ．1C.32D ．2 10、若奇函数f (x)(x ∈R)满足f(3)＝1，f(x ＋3)＝f(x)＋f (3)，则f 32等于()A ．0B ．1C.12D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A ．f(－25)<f(11)<f(80)B ．f(80)<f(11)<f(－25)C ．f(11)<f(80)<f(－25)D ．f(－25)<f(80)<f(11)12、设f x 为定义在R 上的奇函数，满足2f x f x ，当01x 时f xx ，则7.5f 等于（）A ．0.5B ．0.5C ．1.5D ．1.513、设f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则2f 与223f aa（a R ）的大小关系是（）A ．2f <223f a aB ．2f ≥223f aa C ．2f>223f aaD ．与a 的取值无关14、若函数f x 为奇函数，且当0x时，1f xx ，则当0x 时，有（）A ．f x 0B ．f x 0C ．f x f x ≤0D ．f x －f x15、已知函数2212f xxa x 在区间4,上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥316、已知函数0f x x a x a a ,111)(x x x x g ,)0()0()(22x x xx x x x h ，则,,f x g x h x 的奇偶性依次为（）A ．奇函数，偶函数，奇函数B ．奇函数，奇函数，偶函数C ．奇函数，奇函数，奇函数D ．奇函数，非奇非偶函数，奇函数17、已知函数221,f x xax b b a b R 对任意实数x 都有11f x f x成立，若当1,1x时，0f x恒成立,则b 的取值范围是（）A ．10b B ．2bC ．12b b 或D ．不能确定18、已知函数2223f xxx ，那么（）A ．y f x 在区间1,1上是增函数B ．y f x 在区间,1上是增函数C ．y f x 在区间1,1上是减函数D ．yf x 在区间,1上是减函数19、函数yf x 在0,2上是增函数，函数2y f x 是偶函数，则下列结论中正确的是（）A ．57122f f fB ．57122f f fC ．75122f f f D ．75122ff f20、设函数f x 是R 上的奇函数，且当0x 时，23xf x，则2f等于（）A ．1B ．114C ．1D ．11421、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在,0上是减函数,且12210x x x x ，,则A.)()(21x f x f B.)()(21x f x f C.)()(21x f x f D.不能确定22、函数y f x 与y g x 的定义域相同，且对定义域中任何x 有0f x f x，1g x g x ，若1g x的解集是0，则函数21f x F xf xg x是（）A ．奇函数B ．偶函数C ．既奇又偶函数D ．非奇非偶函数23、已知函数)(x f 0,10,sin xe x x x x，若)()2(2a f a f ，则实数a 取值范围是A. (1,)),2( B. (1,2) C. (2,1) D. (2,),1()24、已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意x 都有)()1()1(x f x x xf 那么)25(f =A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设y f x 是R 上的减函数，则3y f x 的单调递减区间为25、已知f x 为偶函数，g x 是奇函数，且f x 22g x x x ，则f x 、g x分别为;26、定义在1,1上的奇函数21x m f xxnx ，则常数m，n；27、一般地，家庭用电量y （千瓦）与气温x （℃）有函数关系)(x f y 。
2023年新高考数学一轮复习4-2 应用导数研究函数的单调性(真题测试)解析版
专题4.2 应用导数研究函数的单调性（真题测试）一、单选题1.（2022·上海松江·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ） A ．2yxB ．sin y x x =+C ．||2x y =D ．tan y x =【答案】B 【解析】 【分析】根据初等函数的奇偶性与单调性，再结合导数即可判断答案. 【详解】容易判断()3R y x x =∈是奇函数，且在R 上是增函数，而2||,2x y x y ==是偶函数，tan y x =在R 上不是增函数，所以排除A,C,D.对B ，函数()sin R y x x x =+∈是奇函数，且1cos 0y x '=+≥，则函数在R 上是增函数. 故选：B.2．（2015·陕西·高考真题（文））设()sin f x x x =-，则()f x =（ ） A ．既是奇函数又是减函数 B ．既是奇函数又是增函数 C ．是有零点的减函数 D ．是没有零点的奇函数【答案】B 【解析】 【详解】 试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，，因此函数是奇函数，不恒等于0，函数是增函数，故答案为B ．3．（2016·全国·高考真题（文））函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：函数2||()2x f x x e =-|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于y 轴对称， 因为22(2)8e ,08e 1f =-<-<， 所以排除,A B 选项；当[]0,2x ∈时，4x y x e '=-有一零点，设为0x ，当0(0,)x x ∈时，()f x 为减函数， 当0(,2)x x ∈时，()f x 为增函数． 故选：D.4.（2009·湖南·高考真题（文））若函数()y f x =的导函数在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：∵函数y=f （x ）的导函数在区间[a ，b]上是增函数，∴对任意的a ＜x 1＜x 2＜b ，有也即在a,x 1,x 2,b 处它们的斜率是依次增大的．∴A 满足上述条件，对于B 存在使，对于C 对任意的a ＜x 1＜x 2＜b ，都有，对于D 对任意的x ∈[a ，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A ．5．（2013·全国·高考真题（理））若函数21()f x x ax x =++在1(,)2+∞是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,0]- B ．[1,)-+∞ C ．[0,3] D ．[3,)+∞【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由条件知()2120f x x a x -'=+≥在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立． ∵函数212y x x =-在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上为减函数，∴max21123212y <-⨯=⎛⎫⎪⎝⎭, ∴．故选D ．6．（2015·福建·高考真题（理））若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-，其导函数()f x '满足()1f x k '>>，则下列结论中一定错误的是（ ） A ．11f k k⎛⎫< ⎪⎝⎭B ．111f k k ⎛⎫> ⎪-⎝⎭C ．1111f k k ⎛⎫< ⎪--⎝⎭ D ．111k f k k ⎛⎫> ⎪--⎝⎭ 【答案】C【解析】 【详解】试题分析：令()g()x f x kx =-，则()'()0g x f x k '=->，因此1111g()(0)(0)1111111k k g f f f k k k k k k ⎛⎫⎛⎫>⇒->⇒>-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭，所以选C. 7．（2011·辽宁·高考真题（文））函数()f x 的定义域为R ，()12f -=，对任意x ∈R ，()2f x '>，则()24f x x >+的解集为（ ） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．(),1-∞-D ．(),-∞+∞【答案】B 【解析】 【分析】构造函数()()24g x f x x =--，利用导数判断出函数()y g x =在R 上的单调性，将不等式()24f x x >+转化为()()1g x g >-，利用函数()y g x =的单调性即可求解. 【详解】依题意可设()()24g x f x x =--，所以()()20g x f x ''=->. 所以函数()y g x =在R 上单调递增，又因为()()11240g f -=-+-=. 所以要使()()240g x f x x =-->，即()()1g x g >-，只需要1x >-，故选B. 8．（2022·青海·模拟预测（理））若01a b <<<，则（ ） A ．e e ln ln b a b a -<- B ．e e ln ln b a b a -≥- C ．e e a b b a ≤ D ．e e a b b a >【答案】D 【解析】 【分析】对于A,B ，构造函数()e ln x f x x =-，利用导数判断其单调性，根据01a b <<<，比较()e ln ,()e ln abf a a f b b =-=-，可判断A,B ；对于C,D, 设e g()=x x x,利用导数判断其单调性，根据01a b <<<，比较(),()g a g b ，可判断C,D. 【详解】对于A,B,令()e ln x f x x =- ，则1()e xf x x '=-，当01x <<时，1()e xf x x'=-单调递增，且2132123()e 20,()e 0232f f ''=-<=-=>>故存在012(,)23x ∈ ，使得0()0f x '=，则当0(0,)x x ∈时，()e ln x f x x =-递减，当0(,1)x x ∈时，()e ln x f x x =-递增， 由于01a b <<<，此时()e ln ,()e ln a b f a a f b b =-=-大小关系不确定， 故A,B 均不正确；对于C,D,设e g()=x x x ，则e (1)g ()=x x x x -'，当01x <<时，()0g x '<，故eg()=xx x单调递减，所以当01a b <<<时，()()g a g b > ，即e ea b a b> ，即e e a b b a >，故C 错误，D 正确， 故选：D 二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x +'>，则下列式子成立的是（ ） A ．()()20212022f ef < B ．()()20212022f ef >C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t ∀>，则()()tf x e f x t <+【答案】AD 【解析】 【分析】构造函数()xy e f x =，由已知可得函数单调递增，即可判断选项ABD ，举特例可判断选项C.【详解】由()()0f x f x +'>，得()()0x x e f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()x y e f x =为R 上的增函数，故()()2021202220212022e f e f <，所以()()20212022f ef <，故A 正确，B 不正确；函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如()12x f x =，显然()x e f x 是增函数，但()f x 是减函数，所以C 不正确；因为函数()x e f x 为增函数，所以0t >时，有()()x x t e f x e f x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确.故选：AD.10．（2022·湖北·模拟预测）已知正实数a ，b ，c 满足1log b ac c b a <<<，则一定有（ ）A ．1a <B ．a b <C ．b c <D ．c a <【答案】AB 【解析】 【分析】根据1b c <，1a b <可得(),0,1c b ∈，进而判断出1a c <<，A 正确； 构造()ln xf x x=，0x >得到单调性，从而求出a b <，B 正确；CD 选项可以举出反例. 【详解】由正实数a ，b ，c ，以及1b c <，1a b <可得(),0,1c b ∈， 又log 1log c c a c >=，所以1a c <<． 所以b b a c <，又b a c b <，所以b a a b <， 即ln ln b a a b <，等价于ln ln a ba b<， 构造函数()ln xf x x=，0x > ()21ln xf x x -'=， 当()0,1x ∈时，()21ln 0xf x x -'=> 故()ln xf x x=在()0,1上递增，从而a b <． 又取b c =时，原式为1log b ab b b a <<<同样成立，故CD 不正确，故选：AB 11．（2022·辽宁沈阳·二模）已知奇函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且()()1120f x f x x --++=恒成立，若()f x 在[]0,1单调递增，则（ ）A ．()f x 在[]1,2上单调递减B ．()00f =C ．()20222022f =D ．()20231f '=【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可. 【详解】 方法一：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确， 对于C 和D ，设()()g x f x x =-，则()g x 为R 上可导的奇函数，()00g =，由题意()()1111f x x f x x -+-=+--，得()()11g x g x -=+，()g x 关于直线1x =对称， 易得奇函数()g x 的一个周期为4，()()()2022200g g g ===，故C 正确，由对称性可知，()g x 关于直线1x =-对称，进而可得()10g '-=，（其证明过程见备注） 且()g x '的一个周期为4，所以()()202310g g '='-=，故D 正确．备注：()()11g x g x -=+，即()()11g x g x --=-+，所以()()11g x g x -+=--， 等式两边对x 求导得，()()11g x g x '-+=-'--， 令0x =，得()()11g g '-=-'-，所以()10g '-=． 方法二：对于A ，若()f x x =，符合题意，故错误，对于B ，因已知奇函数()f x 在R 上可导，所以()00f =，故正确，对于C ，将()()1120f x f x x --++=中的x 代换为1x +，得()()2220f x f x x --+++=，所以()()222f x f x x ++=+，可得()()4226f x f x x +++=+，两式相减得，()()44f x f x +-=，则()()624f f -=，()()1064f f -=，…，()()202220184f f -=， 叠加得()()202222020f f -=，又由()()222f x f x x ++=+，得()()2022f f =-+=， 所以()()2022220202022f f =+=，故正确，对于D ，将()()1120f x f x x --++=的两边对x 求导，得()()1120f x f x ''---++=， 令0x =得，()11f '=，将()()f x f x --=的两边对x 求导，得()()f x f x '-='，所以()11f '-=， 将()()44f x f x +-=的两边对x 求导，得()()4f x f x ''+=， 所以()()()2023201911f f f '''==⋅⋅⋅=-=，故正确． 故选：BCD12．（2021·福建·福州三中高三阶段练习）已知函数()xf x xe ax =+.则下列说法正确的是（ ）A ．当0a =时，min ()0f x =B ．当1a =时，直线2y x =与函数()f x 的图像相切C ．若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则0a ≥D ．若在区间[]0,1上，()2f x x ≤恒成立，则1a e -≤【答案】BD 【解析】 【分析】对于A ：当0a =时，()e xf x x =，求导函数，分析导函数的符号，得出函数()f x 的单调性，从而求得函数()f x 的最小值；对于B ：当1a =时，()e +xf x x x '=，求导函数，设切点为()00,x y ，则过切点的切线方程为：()()()0000000e +e +e +1x x x y x x x x x -=-，由切线过原点，求得00x =，继而求得过原点的切线方程；对于C ：问题等价于()+e 0xf x x x a '=+≥在区间[)0,∞+上恒成立，分离参数得e x a x x ≥--在区间[)0,∞+上恒成立，令()e xg x x x =--，求导函数，分析导函数的符号，得函数()g x 的单调性和最值，由此可判断；对于D ：问题等价于2e x x x ax +≤在区间[]0,1上恒成立，0x =时，不等式恒成立；当01x <≤时，分离参数e x a x ≤-，令()e xh x x =-，求导函数，分析()h x '的符号，得函数()h x 的单调性和最值，由此可判断.【详解】对于A ，当0a =时，()()()e ,1e x xf x x f x x ==+'，易知函数()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增，()min 1()1ef x f ∴=-=-，故选项A 不正确；对于B ，当1a =时，()()()()e ,1e 1,02x xf x x x f x x f +''=+=+=，∴函数()f x 在()0,0处的切线方程为2y x =，故选项B 正确；对于C ，()()1e xf x x a =++'，若函数()f x 在区间[)0,∞+上单调递增，则()0f x '在[)0,∞+上恒成立，()1e x a x ∴-+，令()()1e ,0x g x x x =-+，则()()2e 0x g x x =-+<'， ∴函数()g x 在[)0,∞+上单调递减，()max ()01a g x g ∴==-，故选项C 错误；对于D ，当0x =时，a ∈R 恒成立；当(]0,1x ∈时，()2f x x 恒成立等价于2e x x ax x +恒成立，即e x a x +，即e x a x -恒成立，设()e ,01x h x x x =-<，则()10e xh x '=-<在(]0,1上恒成立，()h x ∴在(]0,1上单调递减，()min ()11e a h x h ∴==-，故选项D 正确.故选：BD. 三、填空题13．（2009·江苏·高考真题）函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为_____. 【答案】(1,11)- 【解析】 【详解】f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，令f ′(x )＜0，得－1＜x ＜11，所以单调减区间为(－1,11)．14．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数()f x 的导函数为'()f x ，定义域为(0,)+∞，且满足'()()0xf x f x -<，则不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-恒成立时m 的取值范围为__________. 【答案】()2022,2024【解析】 【分析】 设()()f x F x x=，根据题意得到()0F x '<，得出函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，结合不等式2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，得到020222m <-<，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，因为()()0xf x f x '-<，可得2()'()()'0f x xf x f x x x -⎡⎤=<⎢⎥⎣⎦， 设()()f x F x x=，可得()0F x '<，所以函数()F x 在(0,)+∞上单调递减，又由2(2022)(2022)(2)f m m f ->-，所以20220m ->，且(2022)(2)20222f m f m ->-，则020222m <-<，解得20222024m <<，即m 的取值范围为()2022,2024. 故答案为：()2022,2024.15．（2022·江苏盐城·三模）已知()f x '为()f x 的导函数，且满足()01f =，对任意的x 总有()()22f x f x '->，则不等式()223xf x e +≥的解集为__________． 【答案】[)0,+∞##{|0}x x ≥ 【解析】 【分析】 构造新函数()()22exf xg x +=，利用已知条件()()22f x f x '->，可以判断()g x 单调递增，利用()g x 的单调性即可求出不等式的解集 【详解】设函数()()22e x f x g x +=，则()()()()222221()22222e x x x x f x e e f x f x f x g x e '⋅-⋅⋅+⎡⎤⎣⎦'--'==⎛⎫ ⎪⎝⎭又()()22f x f x '-> ()0g x '∴>所以()g x 在R 上单调递增，又()()0023g f =+=故不等式2()23xf x e +≥ 可化为()(0)g x g ≥ 由()g x 的单调性可得该不等式的解集为[)0,+∞． 故答案为：[)0,+∞16．（2022·浙江·海亮高级中学模拟预测）已知函数()33x f x ax b =-+，则对任意的x ∈R ，存在a 、b （其中a 、b ∈R 且1a ≥），能使以下式子恒成立的是___________.①()()221f x f x ≤+；②()()2021f x f x +-=；③()()21f x f a -≤+；④()()221a f x f ->-.【答案】①②③ 【解析】 【分析】取1a =-，0b =，利用导数研究函数()f x 的单调性，可判断①；取20212=b 可判断②；取1a =-，利用导数研究函数()f x 的单调性，可判断③；分1a ≤-、1a ≥两种情况讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断④. 【详解】对于①，取1a =-，0b =，则()33x f x x =+，()210f x x '=+>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，因为()221210x x x +-=-≥，即221x x ≤+，故()()221f x f x ≤+恒成立，①对；对于②，取1a =-，20212=b ，则()3202132x f x x =++，所以，()()33202120213232x x f x x x --=-+=--+，则()()2021f x f x +-=，②对； 对于③，当1a =-时，()33x f x x b =++，则()210f x x '=+>，所以，函数()f x 在R 上为增函数，20x -≤，故()()21f x f a -≤+，③对；对于④，当1a ≥时，()2f x x a '=-.由()0f x '>可得x <x ()0f x '<可得x <此时，函数()f x 的增区间为(,-∞、)+∞，减区间为(，所以，函数()f x 的极大值为(f b b =+>，极小值为fb b =<，20x ≥，所以，()2f x fb ≥=，1210a a --≤-<-<，所以，(()()210af f f b f->->=>，则()()221af x f ->-不恒成立；当1a ≤-时，()20f x x a '=->，则()f x 在R 上为增函数，因为20x ≥，211--≥a ，所以，()2f x 、()21af --的大小关系无法确定，④错.故答案为：①②③. 四、解答题17．（2014·全国·高考真题（文））函数f(x)=ax 3+3x 2+3x(a≠0). （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）见解析；（2）5[,0)(0,)4-⋃+∞【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）首先求出函数的导数，然后求出使()0f x '>或()0f x '<的解集即可. （2）分类讨论在区间（1，2）上使()0f x '>成立的条件，并求出参数a 的取值范围即可 试题解析：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x ++'==的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x=-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：12x x ==， 若0<a<1,则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；若a<0，则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '<，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是减函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '>，故f （x ）在（x 2，x 1）上是增函数；（2）当a>0，x>0时,()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数. 若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<.综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-⋃+∞.18．（2008·四川·高考真题（文））设1x =和2x =是函数()531f x x ax bx =+++的两个极值点．（1）求a 和b 的值；（2）求()f x 的单调区间 【答案】（1）25,203a b =-= （2）单调增区间是()()(),2,1,1,2,-∞--+∞，单调减区间是()()2,1,1,2-- 【解析】 【分析】（1）根据极值点为导函数的零点，且在零点两边导函数符号相反，列出方程组，求出a 和b 的值，代入检验是否符合要求；（2）在第一问的基础上求出导函数，解不等式，求出单调区间. 【详解】（1）因为()4253f x x ax b =++'，由题设知：()1530f a b '=++=()42225230f a b =⨯⨯+'+=，解得：25,203a b =-=，此时()53252013f x x x x +-=+，()()()422252520514f x x x x x =+=-'--，令()0f x '>得：2x <-或11x -<<或2x >，令()0f x '<得：21x -<<-或12x <<，故1x =是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点，满足要求，综上：25,203a b =-=； （2）由（1）知()()()()()()()42245351451212f x x ax b x x x x x x =++=--=++--'当()()(),21,12,x ∈-∞-⋃-⋃+∞时，()0f x '>；当()()2,11,2x ∈--⋃时，()0f x '<. 因此()f x 的单调增区间是()()(),2,1,1,2,-∞--+∞，()f x 的单调减区间是()()2,1,1,2-- 19．（2017·全国·高考真题（文））已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.【答案】(1) f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.（2）3420e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，【解析】 【分析】(1)求f (x )的导函数为f ′(x )＝(2e x ＋a )(e x －a )，通过讨论a ，求函数的单调区间即可. (2)因为f (x )≥0，所以即求f (x )的最小值大于等于0，由第(1)的结果求的f (x )的最小值，解关于a 的不等式即可求出a 的范围. 【详解】(1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增.②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当x ∈,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )<0；当x ∈ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 时，f ′(x )>0.故f (x )在,ln 2⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递减，在区间ln ,2⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a 上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln 2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，f (x )取得最小值，最小值为f ln 2a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当且仅当a 23ln 42a ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥0，即0>a ≥342e -时，f (x )≥0. 综上a 的取值范围是[342e -，0]. 20．（2014·山东·高考真题（文））设函数若，求曲线处的切线方程；讨论函数的单调性.【答案】（1）210x y --=.（2）当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+，求切线的斜率，即1(1)2f '=，又(1)0f =，由直线方程的点斜式进一步整理，得到切线方程为210x y --=.（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++，根据a 的不同情况，讨论导函数值的正负，以确定函数的单调性.其中0a ≥时，情况较为单一，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++，由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+，再分12a =-，12a <-，102a -<<等情况加以讨论.试题解析：（1）由题意知0a =时，1(),(0,)1x f x x x -=∈+∞+， 此时22()(1)f x x ='+，可得1(1)2f '=，又(1)0f =， 所以曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为210x y --=. （2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 2222(22)()(1)(1)a ax a x af x x x x x +++'=+=++，当0a ≥时，()0f x '>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增， 当0a <时，令2()(22)g x ax a x a =+++， 由于22(22)44(21)a a a ∆=+-=+， 当12a =-时，0∆=，221(1)2()0(1)x f x x x --=≤+'，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当12a <-时，0,()0g x ∆<<，()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，当102a -<<时，0∆>，设1212,()x x x x <是函数()g x 的两个零点，则1x =2x =由1x =0=>，所以1(0,)x x ∈时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减， 12(,)x x x ∈时，()0,()0g x f x '>>，函数()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞时，()0,()0g x f x '<<，函数()f x 单调递减，综上可知，当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当12a ≤-时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减；当102a -<<时，()f x 在，)+∞上单调递减，在上单调递增.21．（2021·全国·高考真题（理））已知0a >且1a ≠，函数()(0)ax x f x x a =>．（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）若曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 【答案】（1）20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减；（2）()()1,,+∞e e .【解析】 【分析】（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）方法一：利用指数对数的运算法则，可以将曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点等价转化为方程ln ln x ax a =有两个不同的实数根，即曲线()y g x =与直线ln a y a=有两个交点，利用导函数研究()g x 的单调性，并结合()g x 的正负，零点和极限值分析()g x 的图象，进而得到ln 10a a e<<，发现这正好是()()0g a g e <<，然后根据()g x 的图象和单调性得到a 的取值范围.【详解】（1）当2a =时，()()()()22222ln 2222ln 2,242xx x x x x x x x x x f x f x ⋅-⋅-⋅===', 令()'0f x =得2ln 2x =,当20ln 2x <<时，()0f x '>,当2ln 2x >时，()0f x '<, ∴函数()f x 在20,ln2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增；2,ln2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减； （2）[方法一]【最优解】：分离参数()ln ln 1ln ln a x a x x x af x a x x a a x a x a==⇔=⇔=⇔=,设函数()ln x g x x =, 则()21ln xg x x -'=,令()0g x '=，得x e =, 在()0,e 内()0g x '>,()g x 单调递增；在(),e +∞上()0g x '<,()g x 单调递减；()()1max g x g e e∴==,又()10g =，当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于0，所以曲线()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点，即曲线()y g x =与直线ln ay a=有两个交点的充分必要条件是ln 10a a e<<,这即是()()0g a g e <<, 所以a 的取值范围是()()1,,+∞e e .[方法二]：构造差函数由()y f x =与直线1y =有且仅有两个交点知()1f x =，即a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解，取对数得方程ln ln a x x a =在区间(0,)+∞内有两个解．构造函数()ln ln ,(0,)g x a x x a x =-∈+∞，求导数得ln ()ln a a x a g x a x x'-=-=． 当01a <<时，ln 0,(0,),ln 0,()0,()a x a x a g x g x '<∈+∞->>在区间(0,)+∞内单调递增，所以，()g x 在(0,)+∞内最多只有一个零点，不符合题意； 当1a >时，ln 0a >，令()0g x '=得ln a x a =，当0,ln a x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,ln a x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<；所以，函数()g x 的递增区间为0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为,ln a a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭． 由于1110e1,e 1e ln 0ln aaa a g a a ---⎛⎫<<<=--< ⎪⎝⎭，当x →+∞时，有ln ln a x x a <，即()0g x <，由函数()ln ln g x a x x a =-在(0,)+∞内有两个零点知ln 10ln ln a a g a a a ⎛⎫⎛⎫=->⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以e ln aa >，即eln 0a a ->．构造函数()eln h a a a =-，则e e()1a h a a a'-=-=，所以()h a 的递减区间为(1,e)，递增区间为(e,)+∞，所以()(e)0h a h ≥=，当且仅当e a =时取等号，故()0>h a 的解为1a >且e a ≠．所以，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法三]分离法：一曲一直曲线()y f x =与1y =有且仅有两个交点等价为1ax xa=在区间(0,)+∞内有两个不相同的解．因为a x x a =，所以两边取对数得ln ln a x x a =，即ln ln x a x a=，问题等价为()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．①当01a <<时，ln 0,()ap x a<与()g x 只有一个交点，不符合题意． ②当1a >时，取()ln g x x =上一点()()000011,ln ,(),,()x x g x g x g x xx ''==在点()00,ln x x 的切线方程为()0001ln y x x x x -=-，即0011ln y x x x =-+． 当0011ln y x x x =-+与ln ()x a p x a =为同一直线时有00ln 1,ln 10,a ax x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩得0ln 1,e e.a a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 直线ln ()x a p x a =的斜率满足：ln 1e0a a <<时，()ln g x x =与ln ()x ap x a =有且仅有两个交点．记2ln 1ln (),()a a h a h a a a'-==，令()0h a '=，有e a =．(1,e),()0,()a h a h a '∈>在区间(1,e)内单调递增；(e,),()0,()a h a h a '∈+∞<在区间(,)e +∞内单调递减；e a =时，()h a 最大值为1(e)eg =，所当1a >且e a ≠时有ln 1e0a a <<． 综上所述，实数a 的取值范围为(1,e)(e,)⋃+∞． [方法四]：直接法()112ln (ln )()(0),()a a x x a a x xx x ax a a a x x a x a f x x f x a a a --'⋅-⋅-=>==． 因为0x >，由()0f x '=得ln a x a=． 当01a <<时，()f x 在区间(0,)+∞内单调递减，不满足题意；当1a >时，0ln aa >，由()0f x '>得0,()ln a x f x a<<在区间0,ln a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递增，由()0f x '<得,()ln ax f x a >在区间,ln a a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递减． 因为lim ()0x f x →+∞=，且0lim ()0x f x +→=，所以1ln a f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即ln ln ln 1(ln )aaa a a a aa a a a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭=>，即11ln ln (ln ),ln a a a a a a a a a -->>，两边取对数，得11ln ln(ln )ln a a a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即ln 1ln(ln )a a ->．令ln a t =，则1ln t t ->，令()ln 1h x x x =-+，则1()1h x x'=-，所以()h x 在区间(0,1)内单调递增，在区间(1,)+∞内单调递减，所以()(1)0h x h ≤=，所以1ln t t -≥，则1ln t t ->的解为1t ≠，所以ln 1a ≠，即e a ≠． 故实数a 的范围为(1,e)(e,)⋃+∞．] 【整体点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，根据曲线和直线的交点个数求参数的取值范围问题，属较难试题， 方法一：将问题进行等价转化，分离参数，构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值，图象，利用数形结合思想求解.方法二：将问题取对，构造差函数，利用导数研究函数的单调性和最值. 方法三：将问题取对，分成()ln g x x =与ln ()x ap x a=两个函数，研究对数函数过原点的切线问题，将切线斜率与一次函数的斜率比较得到结论．方法四：直接求导研究极值，单调性，最值，得到结论.22．（2022·江苏江苏·三模）设函数()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+.(1)当0a ≤时，讨论()f x 的单调性； (2)若()f x 在R 上单调递增，求a .【答案】(1)在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增 (2)12 【解析】 【分析】（1）求得()()e cos 21xf x a x ax a =+--+'，设()()g x f x '=，得到()()e 2sin x g x a x +'=-，得到()y g x =在R 上单调递增，得到()y f x '=在R 上单调递增，结合()00f '=，即可求解；（2）令()e 1xh x x =--，利用导数求得()()00h x h ≥=，得到e 10x x --≥和e 1x x -≥-，令()sin x x x ϕ=-，得出0x ≥时，sin x x ≥；0x ≤，得到sin x x ≤，分0a ≤，102a <<，12a >和12a =，四种情况讨论，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解. (1)解：因为()()2e sin 1xf x a x ax a x =+--+，可得()()e cos 21x f x a x ax a =+--+'，设()()g x f x '=，则()()e 2sin xg x a x +'=-所以当0a ≤时，()0g x '>，函数()y g x =在R 上单调递增， 即函数()y f x '=在R 上单调递增，又由()00f '=，所以当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>，所以当0a ≤时，()f x 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增. (2)解：令()e 1x h x x =--，可得()e 1xh x '=-，当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减，又由()00h =，所以()()00h x h ≥=，即e 10x x --≥， 所以e 1x x ≥+，所以e 1x x -≥-；令()sin x x x ϕ=-，可得()1cos 0x x ϕ'=-≥，所以函数()x ϕ单调递增， 因为()00ϕ=，当0x ≥，可得()()00x ϕϕ≥=，即sin 0x x -≥，即sin x x ≥； 当0x ≤，可得()()00x ϕϕ≤=，即sin 0x x -≤，即sin x x ≤， （2.1）当0a ≤时，由（1）知不合题意；（2.2）当102a <<时，若(),0x ∈-∞，()()e cos 21xf x a x ax a =+--+'()1cos 211a x ax a x≤+--+- 121212111ax x a a ax a x x⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≤+---=--； 当1102x a-<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，不合题意； （2.3）当12a >时，若()0,1x ∈，同理可得()12121ax x a f x x⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎝⎣'⎥⎭⎦≤-， 当1012x a<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减，不合题意； （2.4）当12a =时，()2113e sin 222x f x x x x =+--，可得()13e cos 22xf x x x =+--'， 设()()g x f x '=，则()1e sin 12xg x x '=--，①当0x >时，()111e sin 11sin 10222xg x x x x x x =-'-≥+--≥->，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，()f x '在()0,∞+上单调递增， ②当0x >时，若[)1,0x ∈-，()()()1111e sin 11021221x x x g x x x x x +=--≤--=≤--'， 若(],1x ∈-∞-，()111e sin 1102e 2x g x x -≤+'=--<， 所以()g x 在(),0∞-上单调递增，()f x '在(),0∞-上单调递增， 由①②可知，()()00f x f ''≥=，所以()f x 在R 上单调递增， 综上所述，12a =.。