材料力学课件(哈工大)第6章扭转

torsion

扭转变形

受力特点：承受的外力或

其合力均是绕

轴线转动的外

力偶

变形特点：杆件相邻两横

截面绕轴线要

发生相对转动发生扭转变形的杆件称为轴

6-1 扭转杆件的内力用截面法可求得该杆任一

横截面n—n上只有扭矩一个内力分量，其值为

由内力符号的规定，扭矩的正负号

正的扭矩矩矢背向截面；负的扭矩矩矢指向截面。

x

M

T

6-1 扭转杆件的内力

解：1）求作用在轴上的外力偶

n

P n P P

M k

k ⋅

⨯===π10330/π10004

ωm N 703m N 3001.22π103π10344⋅=⋅⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⨯⨯=⋅⨯=n P M A A m N 471m N 3008.14π103π10344⋅=⋅⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⋅⨯=⋅⨯=n P M B B m N 232m N 3003.7π103π10344⋅=⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⋅⨯=⋅⨯=n P M C C 例1 传动轴，转速n =300 rpm ，主动轮A 输入功率P A =22.1kW ，从动轮B 、C 输出功率分别为P B =14.8kW 、P C =7.3kW 。试求：1）作用在轴上的外力偶矩；2）横截面上的扭矩。

6-1 扭转杆件的内力

解：1）求作用在轴上的外力偶矩

2）计算横截面上的扭矩

OC 与段各截面扭矩均为零

CA 段任一截面（图中Ⅰ—Ⅰ截面）

AB 段任一截面（图中Ⅱ—Ⅱ截面）

3) 作扭矩图

1BO N.m

232 N.m 471 N.m 703===C B A M M M ，，N.m

232 0 011-=-==+=∑C C x M T M T M ，，N.m

471 0- 022===+=∑B B x M T M T M ，，例1 传动轴，转速n =300 rpm ，主动轮A 输入功率P A =22.1kW ，从动轮B 、C 输出功率分别为P B =14.8kW 、P C =7.3kW 。试求：1）作用在轴上的外力偶矩；2）横截面上的扭矩。

1

）平面假设

6-2 圆轴扭转横截面上的切应力

6-2 圆轴扭转横截面上的切应力

1）平面假设

2）横截面上的切应力公式

•几何方程

采用柱坐标系ρφx ，取d x 微段

6-2 圆轴扭转横截面上的切应力2）横截面上的切应力公式

•几何方程

•物理方程

纯切应力状态

)

a ( d d d d d tan x

x f f x s x x φ

ργγφφ='==≈φ

φγτx x G =(b)

d d x

G x φ

ρτφ=切应力沿径向线性分布

采用柱坐标系ρφx ，取d x 微段

6-2 圆轴扭转横截面上的切应力2）横截面上的切应力公式

•几何方程•物理方程

•静力平衡方程

式(b)代入上式（c ）：式(6-1)代入式(b)：截面的极惯性矩为抗扭刚度

(b) d d x

G x φ

ρτφ=(c)

0d 0=-=∑⎰⎰T A M x A

x φτρ，1)

-(6 d d p

GI T x =φ2)

-(6 d 2A I A

p ⎰⎰=ρp GI 3)-(6 ρτφ

p

x I T

=

6-2 圆轴扭转横截面上的切应力2）横截面上的切应力公式

最大切应力发生在截面外圆周的各个点上

令

称为抗扭截面系数

3)-(6 ρτφ

p

x I T

= R I T I T p

p x == m ax max

ρτφ

4)

-(6 R

I W p t =

5)-(6 max

t

x W T

=φ

τ

6-2 圆轴扭转横截面上的切应力

1）平面假设

2）横截面上的切应力公式

3）截面的极惯性矩与抗扭截面系数

•实心圆截面

•空心圆截面

32

πd π2d 4

2

/0

2

2

D

A I D A

p =

==⎰

⎰⎰ρρρρ16

π3

D

R I W p

t =

=)

(32

π4

4d D I p -=)

1(16π4

3

α-=D W t D

d =

α

例2传动轴，转速n =300 rpm ，主动轮A 输入功率P A =22.1kW ，从动轮B 、C 输出功率分别为P B =14.8kW ，P C =7.3kW 。要求：1）若该轴为 d =20mm 的实心轴，求整个轴的最大切应力；2）若该轴为外径 D =40mm ,内径 d =20mm 空心圆轴，求整个轴的最大切应力和最小切应力。

解：1）求外力偶，作扭矩图（见例1）

6-2 圆轴扭转横截面上的切应力

2）求实心圆轴的最大切应力m

N 471m ax ⋅=T MPa 300π02.047116π3

3m ax m ax m ax

=⨯===d T W T x φτ最大切应力在AB 段各截面外圆周各点上