控制系统的频域分析与设计65奈氏图分析
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控制系统的频域
一、奈氏图MATLAB 软件在控制系统工具箱中提供了nyquist ( )函数，nyquist ( )函数可以用来直接求解nyquist 阵列，或者绘制nyquist 曲线图。
函数命令的调用格式为：[rx ，ry ，w ] = nyquist ( G )nyquist ( )带有输出引用函数时，可得到系统的奈氏曲线数据，不带有输出引用函数时，会在当前窗口直接绘制出奈氏曲线。
某单位反馈系统的开环传递函数为：绘制奈氏曲线，并判别闭环系统的稳定性，最后求闭环系统的单位脉冲响应。
程序:k=50;z=[ ];p=[-5,2];G=zpk(z,p,k);Gb=feedback(G ,1);figure(1); nyquist(G);figure(2); step(Gb)系统的开环传递函数为：试绘制系统的奈氏曲线，并判别闭环系统的稳定性。
程序:k=1000;z=[ ];p=[-1,-2,-5];G=zpk(z,p,k); nyquist(G )二、伯德图MATLAB 软件控制系统工具箱中提供了bode ( )函数，bode ( )函数可以用来计算系统的幅频特性和相频特性，或者绘制系统的bode 图。
控制系统工具箱还提供了margin ( )函数 来计算系统的相角裕度、幅值裕度。
命令的调用格式为：[mag ，pha ，w ] = bode (G )bode (G )[h ，r ，wg ，wc ] = margin (G )系统的开环传递函数为：绘制系统的伯德图，并判别闭环系统的稳定性。
程序：k=100;z=[-4];p=[0,-0.5,-50,-50];G=zpk(z,p,k); bode(G)系统的开环传递函数为：)2)(5(50)(-+=s s s G )5)(2)(1(1000)(+++=s s s s G 2)50)(5.0()4(100)(+++=s s s s s G 2325.3)(23+++s s s s G试绘制奈氏曲线并求系统的幅值裕度和相角裕度。
控制工程技术基础 第4章控制系统的频域分析
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4.3典型环节的频率特性
4.3.3惯性环节的频率特性
惯性环节的传递函数为 惯性环节的频率特性为 其幅频特性为 其相频特性为
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4.3典型环节的频率特性
4.3.4振荡环节的频率特性
振荡环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为 相频特性为 对数幅频特性为
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4.3典型环节的频率特性
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4.3典型环节的频率特性
4.3.1比例环节的频率特性
图4-8（a）所示为比例环节的奈魁斯特图，图4-8（b）为其对应 的伯德图。从伯德图可知，比例环节的对数幅频特性为一条幅值等于 20lgK（dB）的水平线。当K＞1时，其分贝数为正；0＜K＜1时，其 分贝数为负。改变传递函数中的比例系数，将导致伯德图的幅值曲线 升高或降低20lgK（dB）；比例环节的相频特性始终为0°，与频率 无关，因而对伯德图的相角曲线没有影响。
这就是说，只要求出系统的幅频特性和相频特性，根据频率响 应的特性，就可以直接求得系统在正弦输入下的稳态响应。
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4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和 伯德图
4.2.1奈魁斯特图
奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在数学上，频率特性可 以用直角坐标式表示，如式（4-16）；也可以用幅相式（指数式）表 示，即
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4.2频率特性的图示法——奈魁斯特图和 伯德图
4.2.2伯德图
伯德（Bode）图，亦称对数坐标图。对数坐标图由对数幅频特性 和对数相频特性两幅图组成。对数幅频特性是幅频特性A(ω)的对数值 L (ω)=20lgA(ω)和频率ω的关系曲线。为了作图方便，通常将它画在 半对数坐标纸上。图4-6所示为半对数坐标纸的坐标系。 在对数幅频特性图中，纵坐标标记为L(ω)，称为增益，单位为 dB（分贝），采用线性刻度。幅频特性A(ω)每增大10倍，对数幅频 特性L(ω)就增加20 dB；横坐标为角频率ω，单位为rad/s，采用对数 刻度。也就是说，横坐标频率ω轴上标明的是ω值，但坐标轴上的实 际距离却是按对数lgω的大小刻度的。
控制系统频域分析共13页
③纵坐标的对数幅值表达式为20lg│G(jω)│,用L(ω)表示。 采用线性分度。
④纵坐标的相角值∠G(jω)用度来表示，采用线性分度。
MATLAB中用来绘制连续系统Bode图的指令为bode( )， 它的调用格式为：
bode (sys) ——绘制系统sys的Bode图，sys为由tf、zpk建立 起来的控制系统数学模型。 bode (sys,{wmin,wmax})——绘制频率范围在wmin和wmax 之间的bode曲线。 bode (sys,w) ——w为频率点构成的向量，可由logspace( ) 函数生成。 [mag,phase]=bode(sys,w)——计算频率点w处的幅值mag和 相角phase值。
系统的频域性能指标为：
Gm =2.2000；Pm =13.5709；Wg =3.1623；Wc = 2.1020 即：系统的剪切频率ωc=2.1020rad/s；相位裕度 =13.5709°，
相位穿越频率ωg=3.1623rad/s； 幅值裕量kg=20*log10(2.2)=6.8485dB。
第七章 控制系统频域分析
频域分析法在经典控制理论中占有重要的地位，它是 基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图 解方法。在MATLAB中针对频域分析法也有一系列的指令 和仿真方法。
G (j) G (j) ( G (j) ) X () j( Y )
其G 中 (j) ： X2()Y2()
nyquist (sys)——sys为由tf、zpk建立起来的控制系统数 学模型。此时绘制出来的极坐标图的默认角频率w是从 -∞~ +∞。这点与自动控制原理略有不同。
nyquist (sys,{wmin,wmax})——绘制m]=nyquist (sys,w)——计算频率点w处的实部re和虚 部im值。
④纵坐标的相角值∠G(jω)用度来表示，采用线性分度。
MATLAB中用来绘制连续系统Bode图的指令为bode( )， 它的调用格式为：
bode (sys) ——绘制系统sys的Bode图，sys为由tf、zpk建立 起来的控制系统数学模型。 bode (sys,{wmin,wmax})——绘制频率范围在wmin和wmax 之间的bode曲线。 bode (sys,w) ——w为频率点构成的向量，可由logspace( ) 函数生成。 [mag,phase]=bode(sys,w)——计算频率点w处的幅值mag和 相角phase值。
系统的频域性能指标为：
Gm =2.2000；Pm =13.5709；Wg =3.1623；Wc = 2.1020 即：系统的剪切频率ωc=2.1020rad/s；相位裕度 =13.5709°，
相位穿越频率ωg=3.1623rad/s； 幅值裕量kg=20*log10(2.2)=6.8485dB。
第七章 控制系统频域分析
频域分析法在经典控制理论中占有重要的地位，它是 基于频率特性或频率响应对系统进行分析和设计的一种图 解方法。在MATLAB中针对频域分析法也有一系列的指令 和仿真方法。
G (j) G (j) ( G (j) ) X () j( Y )
其G 中 (j) ： X2()Y2()
nyquist (sys)——sys为由tf、zpk建立起来的控制系统数 学模型。此时绘制出来的极坐标图的默认角频率w是从 -∞~ +∞。这点与自动控制原理略有不同。
nyquist (sys,{wmin,wmax})——绘制m]=nyquist (sys,w)——计算频率点w处的实部re和虚 部im值。
第6章 控制系统的频域分析与设计65 奈氏图分析PPT课件
P i I ， I i P 1 ， ， n Z i I ， I i Z 1 ， ， m
对于任一点s有F平面映射
Z
m
K (sZiI ) (sZiII)
F(s)
i1 P
iZ1 n
(sPiI ) (sPiII)
i1
iP1
Z
m
F(s) (sZiI) (sZiII)
i1
iZ1
：上半虚轴映射为 ：下半虚轴映射为
右半圈映射为,，因为当 nm
F (s) 1 G (s)H (s) 1 s
回忆幅角原理 N=PZ，F的零点即闭环极点。
若要稳定，闭环极点应不在s右半平面。若以奈氏轨 迹为封闭曲线C，则它所包围的s右半平面零点数Z=0， 才有系统稳定，据幅角原理有Z=PN=0 （N为奈氏曲线 包围坐标原点的次数， P为奈氏轨迹包围的开环极点数）
P
n
(sPiI) (sPiII)
当变点s沿Ci1顺时针移动一i圈P1，则有
Z
m
F (s)
(
s
Z
I i
)
(s
Z
II i
)
i 1
iZ 1
P
n
(s PiI ) (s PiII )
i 1
i P1
Z (360 ) 0 P(360 ) 0
(360 )(Z P) 这表明F(s)端点沿C‘逆时针
若考虑G(j)H(j)平面，则相当于F( j)曲线左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面 原点对应于GH平面, j0点
G (j )H (j ) F (j ) 1
若要系统稳定，则Z=PN=0，N为GH 映射曲线绕 ,j0点次数
二. 奈氏稳定性判据一
控制系统频域课件-奈氏判据
第4章
控制系统频域分析法
1
第4章 频域分析法
基本要求
4－1 频率特性 4－2 典型环节的频率特性 4－3 系统的开环频率特性 4－4 频率稳定判据 4－5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 4－6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
2
系统的开环频率特性-Nyquist图
一、开环幅相特性曲线 设系统开环传递函数由若干典型环节串联
对数图上 ( ) 180 时的 L ( g )
K g ( dB ) 0 系统稳定（对最小相位系统）
180 G ( j c ) H ( j c )
25
相稳定裕度和模稳定裕度
26
一般要求
pm 4 0
h 2
2 0 lo g h 6 d B
6
（3）当
G s K s Ts 1
时，
开环传递函数有 积分环节时，频 率趋于零时，幅 值趋于无穷大。
含有积分环节时的开环 幅相特性曲线
7
2.系统开环幅相的特点
①
当频率 ω → 0 时，其开环幅相特性完 全由比例环节和积分环节决定。 当频率ω→∞ 时，若n>m，G(j ω)|=0 相角为(m-n)π/2。 若G(s) 中分子含有s因子环节，其G(jω) 曲线随 ω变化时发生弯曲。 G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关 键点。 8
幅相曲线（a)及对应的对数频率特性曲线(b)
17
系统闭环稳定的条件是：
在开环对数幅频 2 0 lg G ( j ) 0 的频段内，对应的开 环对数相频特性曲线对 线的正、负穿越次数之 差为 P / 2 。即
N N P / 2
控制系统频域分析法
1
第4章 频域分析法
基本要求
4－1 频率特性 4－2 典型环节的频率特性 4－3 系统的开环频率特性 4－4 频率稳定判据 4－5 系统闭环频率特性与阶跃响应的关系 4－6 开环频率特性与系统阶跃响应的关系
2
系统的开环频率特性-Nyquist图
一、开环幅相特性曲线 设系统开环传递函数由若干典型环节串联
对数图上 ( ) 180 时的 L ( g )
K g ( dB ) 0 系统稳定（对最小相位系统）
180 G ( j c ) H ( j c )
25
相稳定裕度和模稳定裕度
26
一般要求
pm 4 0
h 2
2 0 lo g h 6 d B
6
（3）当
G s K s Ts 1
时，
开环传递函数有 积分环节时，频 率趋于零时，幅 值趋于无穷大。
含有积分环节时的开环 幅相特性曲线
7
2.系统开环幅相的特点
①
当频率 ω → 0 时，其开环幅相特性完 全由比例环节和积分环节决定。 当频率ω→∞ 时，若n>m，G(j ω)|=0 相角为(m-n)π/2。 若G(s) 中分子含有s因子环节，其G(jω) 曲线随 ω变化时发生弯曲。 G(jω) 曲线与负实轴的交点，是一个关 键点。 8
幅相曲线（a)及对应的对数频率特性曲线(b)
17
系统闭环稳定的条件是：
在开环对数幅频 2 0 lg G ( j ) 0 的频段内，对应的开 环对数相频特性曲线对 线的正、负穿越次数之 差为 P / 2 。即
N N P / 2
第5章-控制系统的频域分析
1 jT 1 T 22
P()
jQ ( )
jQ( )
幅频特性
1
2 0
A()
1
1 T 2 2
1
0
P() 相频特性
惯性环节的幅相频率特性
() arctanT
21
第5章 控制系统的频域分析
p2 () Q2 () ( 1 )2 ( T )2 A2 () 1
1 2T 2
1 2T 2
O
ωt
结论：
对于稳定的线性定常系统，由谐波输入产生的 稳态输出分量仍然是与输入同频率的谐波函数有 关，而幅值与相角的变化是频率 的函数，且与 数学模型有关。
5
第5章 控制系统的频域分析
频率特性（频率响应）的定义式：
稳态输出量的复数形式 频率特性＝ 正弦输入量的复数形式
F( j) C( j) F( j) e jF( j) A()e j R( j)
2. 对数频率特性曲线（Bode图） ——对数频率特性曲线是将频率特性表示
在半对数坐标中。 特点： ➢对数频率特性由对数幅频和对数相频两条曲线组成。 ➢对数频率特性曲线：横坐标是频率 () ，并按对数 分度，单位为弧度/秒 [rad / s] 。
13
第5章 控制系统的频域分析
➢对数幅频曲线：纵坐标按 L() 20lg | G( j) | 20lg A() 线性分度，单位为分贝（db）。
频率特性 F( j) ：在正弦信号作用下，系统的输出稳态分 量与输入量复数之比。表征输入输出幅 值、相位上的差异。
6
第5章 控制系统的频域分析
幅频特性 A()：谐波输入下，输出响应中与输入同频率的谐 波分量与输入谐波分量的幅值之比。
A() F( j)
控制系统的频域分析方法-Nyquist
交界频率ωg： 即φ(ωg)=-180 时的角频率， 亦即 Nyquist 曲线穿越负实轴时的频率。 相角裕量γ： γ= 180°+ φ（ωc）
o
γ 的含义：如果系统对频率 ωC 的信号的相角滞后再增大γ度，则系统处于临 界稳定状态。 结论：开环稳定系统，若γ>0，系统稳定，表示 G(jω)H(jω)曲线不包围（-1，j0） 点；γ<0，系统不稳定。
例：一单位反馈系统，其开环传函 G(s)=
2 ， s −1
解：S 右半平面的开环极点数 P=1，而奈氏曲线如图， 反时针包围(-1,j0)点一圈， R=1， 所以系统稳定. 即 Z=P- R=0
（二）第二种情况 当 G(s)H(s)在 s 平面的虚轴或原点处有极点时，需修正 Nyquist 轨线 无限小半圆上的动点 s 可表示为：
系统稳定 系统不稳定
工程上要求:
γ= 30°- 60°, Kg>6db 。也可只对γ提要求。
as + 1 例 1：单位反馈控制系统开环传递函数 G ( s ) = 2 ，试确定使相位 s
裕度γ = 45°的 a 值。 解
L(ω ) = 20 lg (aω c ) 2 + 1
ωc2ຫໍສະໝຸດ =0ωc4 = a2 ωc 2 + 1
γ = 180 ° + arctan( aω c ) − 180 ° = 45 °
aωc = 1 联立求解得
ωc = 4 2
a = 1 / 4 2 = 0.84
二、系统的 Nyquist 图和 Bode 图的对应关系
Nyquist 图 单位圆 实轴负方向 系统稳定的条件 对于最小相角系统： 当γ>0 时，Kg >1 或 20lgKg >0 定程度越好。 当γ<0 时， Kg <1 或 20lgKg <0 ，系统不稳定。 当 γ=0，Kg =1 或 20lgKg =0 时，系统临界稳定。 系统稳定，γ和 Kg 越大，系统稳 Bode 图 0db 线 -180°线
控制系统的频域分析法
(5-
53)
(554)
图5－9不稳定惯性环节的频率特性
图5-4 惯性环节的频率响应
不稳定环节的频率特性如图5-9。比较图5-4可知，它与惯性 环节的频率特性相比，是以平面的虚轴为对称的。
26
（八）滞后环节的传递函数
滞后环节的传递函数为: 其对应的频率特性是:
幅频特性和相频特性分别为:
如图5-10所示，滞后环节的 频率特性在平面上是一个顺 时针旋转的单位圆。
频率ω无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。
当有n个放大环节串联时，即:
(5-62)
幅值的总分贝数为:
(5-63)
放大环节的相频特性是:
(5-64)
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无 关且与ω轴重合的直线。
34
（二）积分环节 积分环节的频率特性是: 其幅频特性为:
对数幅频特性是:
(5-65) (5-66)
(547) (548)
(549) (550)
24
二阶微分环节频率特性曲线如图5-8所示， 它是一个相位超前环节，最大超前相角为 。
图5-8 二阶微分环节频率特性
（七）不稳定图环节
不稳定环节的传递函数为:
不稳定环节有一个正实极点 ， 对应的频率特性是:
(551)
(5-
52)
25
幅频特性和相频特性分别为:
(5-67)
35
设
，则有:
可见，其对数幅频特性是一条
在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝 线（ω轴），且以每增加十倍频率
降低20分贝的速度（-20dB/dec） 变化的直线。
积分环节的相频特性是:
(5-69)
是一条与ω无关，值为-900 且平行于ω轴的直线。积分环
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的次数N等于位于右半平面上开环极点数P。则闭 环系统稳定，否则闭环系统不稳定。 约束条件：在原点和虚轴上无零极点。奈氏轨迹不 能穿过零极点。 讨论：当奈氏曲线通过,j0点，则表示闭环系统 临界稳定，也归为不稳定。
第9页/共79页
应用奈氏稳定性判据一的步骤：
绘G( j)H ( j) 的奈氏图，可先绘 :一段，
=0
-1
=-
=+
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三. 奈氏稳定性判据二
若增补奈氏曲线 G( j)H ( j)当:逆时针
包围, j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点 数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。
所谓增补就是使奈氏轨迹绕开位于原点和虚轴上 的开环零极点。
增补奈氏轨迹：
第12页/共79页
增补奈氏轨迹映射出的奈氏轨迹分析：
解：作奈氏曲线考虑增补
当:顺时针 包围,j0点2次， N=2 P=0 Z=2 不稳定
=- =
• (-1,j0)
=
第16页/共79页
GH平面
例：G(s)H (s) (s 0.2)(s 0.3) s2 (s 0.1)(s 1)(s 2)
试判定闭环系统稳定性
解：作增补奈氏曲线
N=0，不包围, j0点
PiII，i P 1， ，n ZiII，i Z 1， ，m
对于任一点s有F平面映射
Z
m
K
(s
Z
I i
)
(sΒιβλιοθήκη ZII i)
F(s)
i 1 P
iZ 1 n
(s PiI ) (s PiII )
i 1
i P 1
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Z
m
F(s)
(s
Z
I i
)
(s ZiII )
若考虑G( j)H ( j) 平面，则相当于F ( j) 曲线左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面 原点对应于GH平面, j0点
G( j)H ( j) F( j) 1
若要系统稳定，则Z=PN=0，N为GH 映射曲线绕 ,j0点次数
第8页/共79页
二. 奈氏稳定性判据一 若奈氏曲线 G( j)H ( j)逆时针包围, j0点
i 1
iZ 1
P
n
(s PiI ) (s PiII )
当变点s沿Ci1顺时针移动一i圈P1，则有
Z
m
F(s)
(s
Z
I i
)
(s
Z
II i
)
i 1
iZ 1
P
n
(s PiI ) (s PiII )
i 1
i P 1
Z (360) 0 P(360) 0
(360)(Z P) 这表明F(s)端点沿C‘逆时针
再以实轴对称的方法添上:的一段； 计算奈氏曲线包围,j0点的次数N 由给定的Gss确定右半平面上开环极点数 P 计算 PN ，若 PN =0 则闭环稳定
第10页/共79页
例：G(s)H (s)
K (Tas 1)
(T1s 1)(T2s 1)(T3s 1)
解：作奈氏轨迹如下图示:
N=1， P=1 有Z=NP=0 故系统稳定
i
1 2
N
i
1
N
i
1
-1
统计： N Ni Ni
第18页/共79页
第6页/共79页
奈氏轨迹在平面的映射也为一个封闭曲线， 称为 奈氏曲线, 例如
：上半虚轴映射为 ：下半虚轴映射为
右半圈映射为,，因为当 n m
F(s) 1 G(s)H(s) 1 s
回忆幅角原理 N=PZ，F的零点即闭环极点。
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若要稳定，闭环极点应不在s右半平面。若以奈氏轨 迹为封闭曲线C，则它所包围的s右半平面零点数Z=0， 才有系统稳定，据幅角原理有Z=PN=0 （N为奈氏曲线 包围坐标原点的次数， P为奈氏轨迹包围的开环极点数）
360(P Z ) 包围原点的次数为P-Z=N。
第5页/共79页
3. 奈氏轨迹及其映射
若选取适当的封闭曲线将s平面右半平面包围起来，
则变点s顺时针方向沿虚轴和半径为的右半圈绕一周
形成的封闭曲线称为Nyquist轨迹 ，简称奈氏轨迹。
j
jI()
=±
•
=0 R()
S平面的奈氏轨迹
F(j)平面的奈氏曲线
-M：90090
M=2时， -M：180 0 180
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一型系统的奈氏曲线
二型系统的奈氏曲线
（-M：900 -90） （-M：1800 -180）
=-
=
= =
=-
=
GH平面
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GH平面
例：设开环传函 G(s)H (s)
10
s(s 1)(s 2)
试用奈氏判据判定系统稳定性
=
P=0，Z=N-P=0
闭环稳定
=-
= • (-1,j0)
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GH平面
补充：实用奈氏判据
若开环系统有q个 极点位于s右半平面，则当
:0时，穿越[段的次数N q，则闭环稳 定，否则不稳定。（化数包围圈数为穿越2 次数）
穿越次数的计算按下定义：
半穿越
正穿越 负穿越
记法：
N
i
1 2
N
第2页/共79页
j
C
s
(s+ZiII)
-ZiII -PiII
(s+ZiI)
-PiI -ZiI
jIm C’
F(s)
Re
s平面
第3页/共79页
F平面
证：设封闭曲线C不通过s平面上任一零极点，且包围 Z个零点P个极点，记为
PiI，i 1，2， ，P ZiI，i 1，2， ，Z
未被包围的零极点记为
m
K ( i s 1)
G(s)H (s)
i 1 nM
sM (Ti s 1)
i 1
当s e j ( : 90 0 90)
m
K (0 1)
G(s)H (s)
i 1
nM
M e jM
(0 1)
K
M e jM
e jM
i 1
第13页/共79页
可见增补奈氏轨迹映射为半径的圆曲线变 点相角变化从M90 M90 如 M=1，
环传函极点，若要闭环稳定，则Fs的全部零
点必须位于s左半平面。
第1页/共79页
2. 幅角原理 奈氏判据的理论基础是复变函数的幅角原理。应
用幅角原理可导出奈氏判据的重要公式：
N PZ
式中 Z——s平面上被封闭曲线C包围的Fs的零点数 P——s平面上被封闭曲线C包围的Fs的极点数 N ——F平面中封闭曲线C’包围原点的次数
1. 特征函数的零点和极点
特征函数—— F(s) 1 G(s)H (s)
对应的闭环系统 C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
F (s) 0 即为闭环系统的特征方程。 n
若GH B(s) A(s)
则F (s)
1
B(s) A(s)
K (s zi )
i 1 n
(s pi )
推论： Fs的极点是开环传函极点；iF1 s的零点是闭
第9页/共79页
应用奈氏稳定性判据一的步骤：
绘G( j)H ( j) 的奈氏图，可先绘 :一段，
=0
-1
=-
=+
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三. 奈氏稳定性判据二
若增补奈氏曲线 G( j)H ( j)当:逆时针
包围, j0点的次数N等于位于右半平面上开环极点 数P。则闭环系统稳定，否则闭环系统不稳定。
所谓增补就是使奈氏轨迹绕开位于原点和虚轴上 的开环零极点。
增补奈氏轨迹：
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增补奈氏轨迹映射出的奈氏轨迹分析：
解：作奈氏曲线考虑增补
当:顺时针 包围,j0点2次， N=2 P=0 Z=2 不稳定
=- =
• (-1,j0)
=
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GH平面
例：G(s)H (s) (s 0.2)(s 0.3) s2 (s 0.1)(s 1)(s 2)
试判定闭环系统稳定性
解：作增补奈氏曲线
N=0，不包围, j0点
PiII，i P 1， ，n ZiII，i Z 1， ，m
对于任一点s有F平面映射
Z
m
K
(s
Z
I i
)
(sΒιβλιοθήκη ZII i)
F(s)
i 1 P
iZ 1 n
(s PiI ) (s PiII )
i 1
i P 1
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Z
m
F(s)
(s
Z
I i
)
(s ZiII )
若考虑G( j)H ( j) 平面，则相当于F ( j) 曲线左
移一个单位的奈氏图，即开环幅相频率特性，原F平面 原点对应于GH平面, j0点
G( j)H ( j) F( j) 1
若要系统稳定，则Z=PN=0，N为GH 映射曲线绕 ,j0点次数
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二. 奈氏稳定性判据一 若奈氏曲线 G( j)H ( j)逆时针包围, j0点
i 1
iZ 1
P
n
(s PiI ) (s PiII )
当变点s沿Ci1顺时针移动一i圈P1，则有
Z
m
F(s)
(s
Z
I i
)
(s
Z
II i
)
i 1
iZ 1
P
n
(s PiI ) (s PiII )
i 1
i P 1
Z (360) 0 P(360) 0
(360)(Z P) 这表明F(s)端点沿C‘逆时针
再以实轴对称的方法添上:的一段； 计算奈氏曲线包围,j0点的次数N 由给定的Gss确定右半平面上开环极点数 P 计算 PN ，若 PN =0 则闭环稳定
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例：G(s)H (s)
K (Tas 1)
(T1s 1)(T2s 1)(T3s 1)
解：作奈氏轨迹如下图示:
N=1， P=1 有Z=NP=0 故系统稳定
i
1 2
N
i
1
N
i
1
-1
统计： N Ni Ni
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奈氏轨迹在平面的映射也为一个封闭曲线， 称为 奈氏曲线, 例如
：上半虚轴映射为 ：下半虚轴映射为
右半圈映射为,，因为当 n m
F(s) 1 G(s)H(s) 1 s
回忆幅角原理 N=PZ，F的零点即闭环极点。
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若要稳定，闭环极点应不在s右半平面。若以奈氏轨 迹为封闭曲线C，则它所包围的s右半平面零点数Z=0， 才有系统稳定，据幅角原理有Z=PN=0 （N为奈氏曲线 包围坐标原点的次数， P为奈氏轨迹包围的开环极点数）
360(P Z ) 包围原点的次数为P-Z=N。
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3. 奈氏轨迹及其映射
若选取适当的封闭曲线将s平面右半平面包围起来，
则变点s顺时针方向沿虚轴和半径为的右半圈绕一周
形成的封闭曲线称为Nyquist轨迹 ，简称奈氏轨迹。
j
jI()
=±
•
=0 R()
S平面的奈氏轨迹
F(j)平面的奈氏曲线
-M：90090
M=2时， -M：180 0 180
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一型系统的奈氏曲线
二型系统的奈氏曲线
（-M：900 -90） （-M：1800 -180）
=-
=
= =
=-
=
GH平面
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GH平面
例：设开环传函 G(s)H (s)
10
s(s 1)(s 2)
试用奈氏判据判定系统稳定性
=
P=0，Z=N-P=0
闭环稳定
=-
= • (-1,j0)
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GH平面
补充：实用奈氏判据
若开环系统有q个 极点位于s右半平面，则当
:0时，穿越[段的次数N q，则闭环稳 定，否则不稳定。（化数包围圈数为穿越2 次数）
穿越次数的计算按下定义：
半穿越
正穿越 负穿越
记法：
N
i
1 2
N
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j
C
s
(s+ZiII)
-ZiII -PiII
(s+ZiI)
-PiI -ZiI
jIm C’
F(s)
Re
s平面
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F平面
证：设封闭曲线C不通过s平面上任一零极点，且包围 Z个零点P个极点，记为
PiI，i 1，2， ，P ZiI，i 1，2， ，Z
未被包围的零极点记为
m
K ( i s 1)
G(s)H (s)
i 1 nM
sM (Ti s 1)
i 1
当s e j ( : 90 0 90)
m
K (0 1)
G(s)H (s)
i 1
nM
M e jM
(0 1)
K
M e jM
e jM
i 1
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可见增补奈氏轨迹映射为半径的圆曲线变 点相角变化从M90 M90 如 M=1，
环传函极点，若要闭环稳定，则Fs的全部零
点必须位于s左半平面。
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2. 幅角原理 奈氏判据的理论基础是复变函数的幅角原理。应
用幅角原理可导出奈氏判据的重要公式：
N PZ
式中 Z——s平面上被封闭曲线C包围的Fs的零点数 P——s平面上被封闭曲线C包围的Fs的极点数 N ——F平面中封闭曲线C’包围原点的次数
1. 特征函数的零点和极点
特征函数—— F(s) 1 G(s)H (s)
对应的闭环系统 C(s) G(s) R(s) 1 G(s)H (s)
F (s) 0 即为闭环系统的特征方程。 n
若GH B(s) A(s)
则F (s)
1
B(s) A(s)
K (s zi )
i 1 n
(s pi )
推论： Fs的极点是开环传函极点；iF1 s的零点是闭