渗流数学模型
岩土介质渗流数学模型与数值方法
岩土介质系统渗流数学模型
假定有一地下水系统，其渗流域为Ω，已知水头 边界为Γ1，已知流量边界为Γ2 ，隔水边界为零 流量边界，潜水面边界为Γ3 ，其岩土介质三维 渗流数学模型为：
岩Байду номын сангаас介质系统渗流数学模型
• 2.等效连续介质渗流数学模型。该模型中的 岩土介质系统中存在裂隙和孔隙，但裂隙比较 密集，在宏观尺度上把这种岩土介质可近似看 成连续介质，渗流数学模型中的参数为等效参 数。
几个基本概念
• 模拟： • 模拟是采用某种方法反映或再现客观存在 的现实，以便研究它所具有的客观规律性。模 型就是这种反映的形式和手段。从科学意义上 讲，模拟可定义为“各种不同过程和现象在专 门模型上的再现”。 • 一般来说，模拟可分为物理模拟和数学模 拟。
几个基本概念
• 从上述模拟和模型的概念上可以看出，模 拟是一切科学研究（定量化）的重要手段，模 拟是运行模型的过程，也是逼近现实物理背景 的本质手段，而模型是实现模拟的工具。在本 章节的研究中，着重运用数学模拟的方法，建 立各种条件下的岩土介质渗流数学模型，定量 化研究复杂的岩土介质体系的渗流问题，为工 程设计提供有用的工具。
• 1.多孔连续介质渗流数学模型。该模型是在 宏观尺度上，把岩土介质看作连续的多孔介质 体系，考虑岩体内裂隙导水、岩块储水而建立 的岩体双重介质渗流数学模型。 • 对于一个具体地下水系统而言，要建立岩土 介质地下水的渗流数学模型，需要针对实际， 构建特定问题的渗流方程、初始条件和边界条 件，由渗流方程和定解条件构成数学模型。
岩土水力学
岩土介质渗流数学模型与数值方法
几个基本概念
• 模型： • 模型就是把现实的复杂系统的本质部分 信息减缩成有用的可定量化的描述形式。它 是用来描述复杂系统的运动规律，是复杂系 统的一种客观写照或缩影，是分析实际系统 和预报、控制系统行为或状态的有力工具。 • 模型按照其表现形式可分为物理模型和 数学模型。
第6章 单相液体的渗流
∂(ρ n) + div ( ρ V ) = 0 ∂t p V2 p H =z+ + ≈z+ （∆H = H 2 − H1） γ 2g γ
γ ⋅ k） µ
ρ = ρ 0e β p
(1 − n ) = (1 − n 0 ) e − α p
定解条件——初始条件、边界条件（Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类） 初始条件、边界条件（ 定解条件 初始条件
ΦM =
平面： M = Φ
1 ∑ (qi ⋅ Lnri ) + C 2π i =1
i =1 n
∑ Φ Mi
n
， Φe − ΦM =
i =1
∑（ Φ e
n
− Φ Mi ）
1 n 1 球形： M = Φ ∑ (−Qi ⋅ r ) + C 4π i =1 i 1 n Φ 平面： e − Φ M = ∑ (qi ⋅ Ln 2π i =1 Rei ) ri
1 n 1 1 球形： e − Φ M = Φ (Qi（ − ⋅ ） ) ∑ 4π i =1 ri Rei
第六章的重点内容
1、单相均质液体渗流的数学模型 （1）一般结构：封闭方程组+定解条件 2 （2）数学模型： ∇ p = 0 2、渗流的基本类型及其特征 （1）基本假定：渗流遵循达西定律、渗透率与粘度等为常数 （2）基本类型：直线渗流、平面径向渗流、球形径向渗流 3、单相液体的渗流计算
n=0 直线渗流（平面和剖面均为平行流） 平面和剖面均为平行流） n=1 平面径向渗流（平面对称径向流、剖面平行流） 平面对称径向流、剖面平行流） n=2 球形径向渗流（平面与剖面均对称径向流） 平面与剖面均对称径向流）
一、直线渗流
1、数学模型 、
d p
第二章油气渗流的数学模型
第二章 油气渗流的数学模型
主要内容
§2.1 概述 §2.2 渗流基本微分方程的建立 §2.3 典型数学模型 §2.4 定解条件
§2.1 概
一、建立数学模型的基础
述
油气渗流数学模型的研究方法是把一定地质条件下油气渗 流的力学问题转换为数学问题，然后求解， 流的力学问题转换为数学问题，然后求解，再联系油气田开发 的实际条件应用到生产当中去。 的实际条件应用到生产当中去。 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异， 渗流形态和类型不同，所遵循的力学规律有差异，伴随渗 流过程出现的物理化学现象也不同， 流过程出现的物理化学现象也不同，故有很多类型的渗流数学 模型。 模型。
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
3、确定未知数（因变量）和其他物理量之间的关系 确定未知数（因变量） 确定选用的运动方程 确定所需的状态方程 确定连续性方程 确定伴随渗流过程发生的其他物理化学作用的函 数关系
§2.1 概
三、建立数学模型的步骤
述
4、推导数学模型所需的综合微分方程 用连续性方程作为综合方程，把其他方程代入连续 性方程中，得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分 方程或微分方程组。
§2.1 概
述
二、油气渗流数学模型的一般结构
油气渗流基本微分方程体现了在渗流过程中需要研究的流 体力学、物理学和化学问题的总和， 体力学、物理学和化学问题的总和，并且还要描述这些现象的 内在联系。因此，建立基本渗流微分方程要考虑包括以下几方 内在联系。因此， 面的因素： 面的因素： 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程是流体运动的过程，必然受运动方程支配； 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程， 渗流过程又是流体和岩石的状态不断改变的过程，所以 需要建立流体和岩石的状态方程； 需要建立流体和岩石的状态方程；
渗流数学模型的边界条件
渗流数学模型的边界条件
1. 接口边界条件：定义模型中不同材料之间的边界，例如固体-液体、液体-气体等界面的性质。
这些边界条件可以通过定义反射、吸收、折射等参数来描述。
2. 几何边界条件：确定模型的几何形状和边界形状，包括模型的尺寸、形态和边界曲线等。
这些边界条件可以是直线、圆弧、椭圆等简单形状，也可以是复杂的非线性边界。
3. 边界条件类型：指定在边界上施加的条件类型，如固定边界、自由边界、边界源项等。
在固体边界上施加压力或位移条件，在流体边界上施加速度或压力条件。
4. 边界条件参数：给定边界条件的具体数值或函数关系。
通常涉及流体流动的初始条件、边界上的约束条件、边界通量等。
这些参数可以是恒定值，也可以是随时间或空间变化的函数。
5. 边界扩展条件：用于处理模型中的边界处的不完整性或缺失，包括超限条件、周期性边界条件、无流条件等。
这些条件可以帮助将模型在边界区域之外扩展，以适应更广泛的应用情况。
请注意，在涉及确认真实名字和引用的情况下，建议使用具体案例或相关研究来说明边界条件的应用，但需要注意不透露任何个人信息或侵犯他人的权益。
油气渗流的数学模型
第二章油气渗流的数学模型内容概要：油气渗流力学是以实验为基础、以数学为手段解决油气在地下流动问题的学科，因此，应用渗流力学理论解决实际问题首先应在实验的基础上建立数学模型，然后求解，最后对解赋予一定的物理意义，从而得到实际问题的解。
本章将介绍渗流问题数学模型的建立过程，包括数学模型的基础、组成、建立的步骤；以达西定律、质量守恒原理为基础，推导油气渗流的运动方程、状态方程、连续性方程，给出几种典型渗流问题的综合微分方程，并介绍油气渗流的初边值条件。
第三节质量守恒方程内容概要：渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理），即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。
本节应重点掌握质量守恒原理和单相渗流连续性方程的推导，了解两相渗流的连续性方程。
课程讲解：讲解ppt教材自学：质量守恒方程本节导学渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理），即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。
用质量守恒原理建立起来的方程叫连续性方程，在稳定渗流时,单元体内质量应为常数。
本节将介绍单相、两相渗流的连续性方程。
本节重点1、质量守恒定律★★★★★2、单相渗流连续性方程的推导★★★★★3、两相渗流的连续性方程★★★一、单相渗流的连续性方程在地层中取微小六面体单元，单元体中M 点质量速度在各坐标上分量为v x ρ、v y ρ、v zρ单元立方体图1.流入流出质量差d t 时间经a'b'面流入的质量应为：d t 时间经a"b"面流出的质量为：六面体在d t 时间x 方向流入流出的质量差为：同理，可求得沿y 方向、z 方向流入流出的质量差分别为：dt 时间内六面体内流入与流出的总的质量差为：2.单元体内质量变化经过六面体流入与流出的质量之所以会不一样，是因为在六面体内岩石和液体弹性能量的作用下，释放或储存一部分质量的结果(岩石的弹性表现为孔隙度的变化，液体的弹性表现为液体密度的变化)六面体内的孔隙体积： ()2x x v dx v x ρρ∂-∂()2y y v dyv y ρρ∂-∂()2z z v dzv z ρρ∂-∂()2x x v dx v dydzdt x ρρ∂⎡⎤-⎢⎥∂⎣⎦()2x x v dx v dydzdt x ρρ∂⎡⎤+⎢⎥∂⎣⎦()x v dxdydzdt xρ∂-∂dxdydzdt y v y ∂∂-)(ρdxdydzdt z v z ∂∂-)(ρ()()()y x z v v v dxdydzdt xy z ρρρ∂⎡⎤∂∂-++⎢⎥∂∂∂⎣⎦dxdydz φ流体质量： 单位时间内流体质量变化率：d t 时间流体质量总的变化为：显然d t 时间内六面体总的质量变化应等于六面体在d t 时间内流入与流出的质量差，即： 或 上式可写成上式即为单相均质可压缩流体在弹性孔隙介质中的质量守恒方程（连续性方程）。
渗流模型知识点总结图
渗流模型知识点总结图渗流模型是描述地下水流动和传输的数学模型，它可以帮助我们理解和预测水在地下的流动情况。
渗流模型可以应用于地下水资源管理、地下水污染治理、水文地质等领域，具有重要的实用价值。
下面是关于渗流模型的一些重要知识点总结。
1. 渗流方程渗流模型的数学描述基于渗流方程，它描述了地下水在多孔介质中的流动规律。
渗流方程通常采用达西定律和杜安-卡丁方程进行描述，它们可以用来描述地下水的渗流速度、渗透率、孔隙度等参数之间的关系。
2. 边界条件在渗流模型中，边界条件是描述模型边界上的地下水流动情况的重要参数。
常见的边界条件包括：Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和混合边界条件。
这些边界条件可以帮助我们对地下水流动的边界条件进行准确描述，是渗流模型计算的基础。
3. 初始条件渗流模型中的初始条件是指模型开始计算时的地下水流动情况。
初始条件通常是指地下水位和地下水流动速度的初始数值，它们是模型计算的起点。
在模型计算中，初始条件的准确性对计算结果具有重要影响。
4. 离散化方法为了解决渗流方程，通常需要将其离散化。
常见的离散化方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法可以将连续的渗流方程转化为离散的问题，通过计算机进行数值计算，得到地下水流动的数值解。
5. 模型验证渗流模型的验证是指利用现场观测数据来验证模型的准确性和可靠性。
验证通常包括比对模型计算结果和现场观测数据，评估模型的拟合程度，以及对模型参数的敏感性分析等。
模型验证可以帮助我们了解模型的适用范围和局限性，提高模型的预测准确性。
6. 模型应用渗流模型在地下水资源管理、地下水污染治理、水文地质和地下水开采等领域有着广泛的应用。
通过渗流模型，我们可以模拟地下水流动过程，预测地下水位和地下水流向，并为地下水资源的合理开发和保护提供科学依据。
此外，渗流模型也可以帮助我们理解地下水污染的传播规律，优化地下水治理方案。
总的来说，渗流模型是描述地下水流动和传输的重要工具，它可以帮助我们理解地下水资源的分布和变化规律，为地下水资源管理和保护提供科学依据。
渗流力学知识点总结
渗流力学知识点总结一、渗流基本理论1.渗流的基本概念渗流是指流体在多孔介质中的流动现象。
多孔介质是由孔隙和固体颗粒组成的介质，流体可以通过孔隙和固体颗粒之间的空隙进行流动。
渗流现象在自然界和工程领域都有着广泛的应用，如地下水的运移、石油的开采、地下储层的注水等。
2.渗透性与渗透率渗透性是指单位压力下单位面积介质对流体的渗透能力，通常用渗透率来描述。
渗透率是介质内渗流速度与流体粘滞力之比。
一般来说，渗透性越大，渗透率越高，介质对流体的渗透能力越强。
3.渗透压力与渗透率渗透压力是指多孔介质内部由于孔隙中流体分布不均匀而产生的压力。
渗透压力的大小与介质的孔隙结构、流体的性质、地下水位等因素有关，它是影响渗流速度和方向的重要因素。
4.达西定律达西定律是描述渗透性与渗流速度之间关系的定律，它指出在流体粘滞力不考虑的条件下，渗透速度与渗透压力成正比，与渗透率成反比。
达西定律为渗流理论研究提供了重要的基础。
二、多孔介质渗流规律1.多孔介质的渗流特性多孔介质是由孔隙和固体颗粒组成的介质，它具有复杂的微观结构和介质性质。
渗流在多孔介质中受到许多因素的影响，如介质的孔隙度、渗透率、渗透性等，这些因素决定了渗流规律的复杂性和多样性。
2.渗流方程渗流方程是描述多孔介质中流体运移规律的方程，它通常由渗流方程和质量守恒方程两部分组成。
渗流方程描述了流体在多孔介质中的流动规律，它是渗流力学研究的核心内容。
3.多孔介质的稳定性多孔介质中的渗流现象可能受到介质本身的稳定性限制。
孔隙结构、流体的性质以及渗透压力等因素都会影响介质的稳定性，这对渗流速度和方向产生重要影响。
4.非均质多孔介质中的渗流非均质多孔介质中的渗流现象通常较为复杂，其渗透率、孔隙度、渗透性等参数都可能在空间上呈现非均匀性。
对非均质多孔介质中渗流规律的研究对于实际工程应用具有重要意义。
三、非线性渗流1.非线性渗流模型非线性渗流模型是描述介质非线性渗流现象的数学模型。
地下水渗流基本方程及数学模型总结
常可忽略。
（二）含水层的状态方程
含水层弹性存储的概念： 弹性储存：当地下水水头（水压）降低（或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质。 含水层弹性存储的物理意义：
（承压含水层）弹性储存与（潜水）重力储存不同；
第一步：化简方程左端项： 当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有：
H v x K xx x
H v y K yy y
H v z K zz z
( v x ) H H H ( K xx ) [ K xx (K xx )] x x x x x x x
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流的基本微 分方程的推导 二、地下水运动微分方程的各种形式 三、地下水运动数学模型的建立及求解
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导 为反映含水层地下水运动的普遍规律，研究选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。 水均衡的基本思想，对某一研究对象：
描述地下水运动的数学模型及解算方法二地下水运动微分方程的各种形式zzyyxxzzyyxx使潜水面边界处理的简单化直接近似地在微分方程中处理dsdh此时1潜水面比较平缓等水头面呈铅直水流基本水平可忽略渗流速度的垂直分量v2隔水底板水平铅垂剖面上各点的水头都相等各点的水力坡度和渗流速度都相等sin可以近似地用tg代替此即著名的dupuit假设
m d( )
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=
φ 积分 0
0Cf (PP0)
不同岩石的压缩系数是不同的，一般在1.5×10-4~3×10-41/MPa之间。 在弹性变形外，会产生塑性变形，此时应考虑塑性变形状态方程
第四节 质量守恒方程
渗流过程必须遵循质量守恒定律(又称连续性原理）。 即：在地层中任取一微小单元体,在单元体内若没有源和汇 存在,那么包含在单元体封闭表面之内的液体质量变化应等 于同一时间间隔内液体流入质量与流出质量之差。用质量 守恒原理建立起来的方程叫连续性方程。在稳定渗流时,单 元体内质量应为常数。
渗流过程若是弹性液体，应将液体状态方程列入描述渗流 力学过程的数学模型。
第三节 状态方程
二、气体状态方程
理想气体(分子无体积、分子间无 作用力)状态方程为
PVnRT
P—气体压力 V—压力P时的气体总体积 T—绝对温度 R—气体常数 n—气体摩尔数
真实气体的状态方程
PVZ•nRT
z—压缩因子，z=f(P，T)，在给定温度压力下实际气体占 有的体积与同条件下理想气体占有体积之比。
规律，是否物理化学渗流或非牛顿液体渗流。
第一节 建立数学模型的原则
3.确定未知数和其它物理量之间的关系
运动方程：速度和压力梯度的关系
vi
状态方程：物理参数和压力的关系
f
A, B,
dP dx
Ai=fi(P，T);Bi=fi(P，T) 连续性方程：渗流速度v和坐标及时间的关系或饱和度与
坐标和时间的关系：
侧面的诸类方程综合联系起来，是数学模型必要的部分）。 以上三类方程是油气渗流数学模型的基本组成部分。 (4)能量守恒方程（只有研究非等温渗流问题时才用到）。 (5)其它附加的特性方程（特殊的渗流问题中伴随发生的物理或化
学现象附加的方程。如物理化学渗流中的扩散方程等）。 (6)有关的边界条件和初始条件（是渗流数学模型必要的内容）。
第三节 状态方程
三、岩石的状态方程
岩石的压缩性对渗流的影响：①压力变化会引起孔隙大小
发生变化，故孔隙度是随压力而变化的状态函数； ②由于
孔岩隙石大的△φ小压—变缩当化性压力引用变起压化渗缩ΔP透系时的率数孔的描隙变述度的化：改。C 变量f VVff
1 d
P P dP
分离变量，Cf取常数，并设P=P0时，φ
单相渗流的连续性方程 两相渗流的连续性方程
第四节 质量守恒方程
一、单相渗流的连续性方程
微分法（无穷小单元分析法）：地层中取微小六面体单元， 其中M点质量速度在各坐标上分量为ρvx、ρvy、ρvz。
vx
(vx
x
)
dx 2
vy
(vy
y
)
dy 2
vz
(vz
z
)
dz 2
第四节 质量守恒方程
1.流入流出质量差
v= f(x，y，z，t，A，B)(对单相流体)
S= f(x，y，z，t，A，B)(对两相流体)
确定伴随渗流过程发生的其它物理化学作用的函数关系 （如能量转换方程、扩散方程等等）
第一节 建立数学模型的原则
4.写出数学模型所需的综合微分方程(组)
用连续性方程做为综合方程，把其它方程都代入连续性方程中， 最后得到描述渗流过程全部物理现象的统一微分方程或微分方程 组。
dt时间经a'b'面流入的质量流量应为：
vx (xvx)d2xdydzdt
CL
1
d
dP
(4)
第三节 状态方程离变量，CL取常数，并设P=P0时，ρ=ρ0积分(4)式：
eCL(PP0) 0
(5)
将(5)式按麦克劳林级数展开，取其前两项已具有足够的精
确性：
0[1C L(PP 0)] (6)
C流在L中1值0-，是4(1油一/M气个P层变a)温左量度右，大。它致随不温变度，和可压把力C不L同值略看有成改常变数，;在数地量下级渗
vr K gradP
或写成：
K P
vx
x
vy
K
P y
vz
K
P z
第三节 状态方程
渗流是一个运动过程，而且也是一个状态不断变化的过程， 由于和渗流有关的物质（岩石、液体、气体）都有弹性。因 此，随着状态变化，物质的力学性质会发生变化。所以，描 述由于弹性而引起力学性质随状态而变化的方程式称为“状 态方程”。
液体的状态方程 气体的状态方程 岩石的状态方程
第三节 状态方程
一、液体的状态方程
液体具有压缩性，随着压力降低，体 积膨胀，其特性可用压缩系数来描述：
CL
1 VL
dVL dP
(1)
根据质量守恒原理，在压缩或膨胀时
液体质量M不变,即
M VL (2)
微分上式得：
dVL
M
2
d
(3)
将VL、dVL代入(1)式得：
第二章 油气渗流的数学模型
建立数学模型的原则 运动方程 状态方程 质量守恒方程 数学模型的初边值条件
第一节 建立数学模型的原则
建立数学模型的基础 油气渗流数学模型的一般结构 建立数学模型的步骤
第一节 建立数学模型的原则
二、油气渗流数学模型的一般结构
(l)运动方程（所有数学模型必须包括的组成部分）。 (2)状态方程（在研究弹性可压缩的多孔介质或流体时需要包括）。 (3)质量守恒方程（又称连续性方程，它可以将描述渗流过程各个
5.根据量纲分析原则检查所建立的数学模型量纲是否一致 6.确定数学模型的适定性:解的存在、唯一、稳定性问题 7.给出问题的边界条件和初始条件
第二节 运动方程
渗流服从线性规律时，渗流速度为: v K P
L
其微分形式为： v K dP
dL
将上式从均质地层的稳定渗流 推广到非均质地层的不稳定渗流
性压缩系数C、导压系数æ等)和流体的物理参数（如 粘度μ、密度ρ、体积系数B等)
第一节 建立数学模型的原则
2.研究各物理量的条件和状况
过程状况：是等温过程还是非等温过程； 系统状况：是单组分系统还是多组分系统，甚至是凝
析系统； 相态状况：是单相还是多相甚至是混相； 流态状况：是服从线性渗流规律还是服从非线性渗流
第一节 建立数学模型的原则
三、建立数学模型的步骤 1.确定建立模型的目的和要求
解决的问题:①压力P的分布②速度v的分布（包括求流 量） ③ 饱和度S的分布④ 分界面移动规律。
自变量：空间和时间，(x,y,z)或(r,θ,z)和时间t 因变量：压力P和速度v；两相或多相流S分布 其它参数：地层物性参数(如渗透率K、孔隙度ф、弹