第3章 数值积分法
数值积分方法
的值大.
二、Simpson公式
n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2， x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多 项式 L2(x)：2 b
a
f ( x )dx Ak f ( xk ) A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 ) A2 f ( x2 )
f ( x ) 在节 a x0 x1
xn b
f ( x0 ), f ( x1 ),
, f ( xn )
作n次Lagrange插值多项式: Ln ( x )
l
k 0
n
k
( x ) f ( xk )
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
a
b
b a
f ( x )dx Ln ( x )dx
b]上的积分公式，这种方法称为复合求积法。
5.2.1 复化梯形积分 将[a, b]分成若干小区间，在每个区间[xi, xi+1]上用 梯形积分公式，再将这些小区间上的数值积分累加 起来，就得到区间[a, b]上的数值积分。这种方法称 为复化梯形积分。 ★ 计算公式
将[a, b] n等分, h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih, i = 0,1,2,…,n,
其中
4
M 4 max f
a xb
( 4)
( x)
本题
M 4 的求法： 1 sin x cos txdt f ( x) 0 x
1 1 0 0
1 M4 5
f ( x ) t sin txdt t cos( tx
积分的数值方法
b b
作为平均高度 f() 的近似值而获得的一种数值 积分方法。
中矩形公式是把 [a,b] 的中点处的函数值： a b f ( ) 2 作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积分 方法。 Simpson公式是以函数 f(x) 在 a, b, (a+b)/2 这三点的 函数值 f(a), f(b),
Pn ( x) f ( xk )lk ( x)
k 0 n
式中 这里
( x) lk ( x ) ( x xk )( xk ) j 0 xk x j
n j k
x xj
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
的近似值，即:
多项式Pn(x)易于求积,所以可取
b
y=f(x)
图3-1 数值积分 的几何意义
a
b
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的
有两种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在
积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得:
因而
b
a
f ( x)dx (b a) f ( )
a, b
即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为
R( f ) f ( x) P( x)dx
b a
b
a
f ( n 1) ( ) ( x)dx (n 1)!
其中
a, b
当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f ( n1) ( x) 0 R ( f ) =0,求积公式(3-10)能成为准确的等式。由于 闭区间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以
x4
ex
6.40 6.389
数值积分-计算方法
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
第三章物理学中定积分的数值计算方法
第三章 物理学中定积分的数值计算方法一、填空题1、库仑常数k 等于 9×109mV/C ，真空中的介电常数ε0等于8.85×10-12F/m 。
2、对于电量为Q 的点电荷，在距离r 处产生的电场强度为21ˆˆ()4QrE r rrrπε==。
3、已知定积分()ba f x dx ⎰，被积分函数为()f x ，积分区间为[],ab 。
将该区间N 等分，步长()/x b a N ∆=-，用曲线下的虚矩形面积和近似替代积分值，该方法称为矩形法。
积分近似计算公式为1()()N bi ai I f x dx f x x -==≈∆∑⎰。
4、毕奥—萨伐尔定律所描述的公式为034Idl rdB r μπ⨯=。
5、玻尔兹曼常数是 k=1.38×1023 J/K 。
6、麦克斯韦速率分布律公式23/22/2()4()2v kTdN f v dv v e dv N kTμμππ-==。
7、在计算物理中求解定积分的方法有 辛普森法 、 龙贝格法 、 高斯求积法等。
二、简答1、写出库仑常数、真空中的介电常数和玻尔兹曼常数的值。
答：库仑常数k= 9×109mV/C ，真空中的介电常数ε0= 8.85×10-12F/m ，玻尔兹曼常数是 k=1.38×1023 J/K 。
2、什么是矩形法？答：已知定积分()ba f x dx ⎰，被积分函数为()f x ，积分区间为[],ab 。
将该区间N 等分，步长()/x b a N ∆=-，用曲线下的虚矩形面积和近似替代积分值，该方法称为矩形法。
积分近似计算公式为1()()N bi ai I f x dx f x x -==≈∆∑⎰。
3、毕奥—萨伐尔定律和麦克斯韦速率分布律公式。
答：毕奥—萨伐尔定律所描述的公式为034Idl rdB rμπ⨯=。
麦克斯韦速率分布律公式23/22/2()4()2v kTdN f v dv v e dv N kTμμππ-==。
《数值积分方法》课件
数值积分的分类
按方法分类
可分为直接法和间接法。直接法如蒙特卡洛方法，间 接法如梯形法则、辛普森法则等。
按精确度分类
可分为低阶和高阶方法。低阶方法如梯形法则，高阶 方法如复合梯形法则、复合辛普森法则等。
按使用范围分类
可分为有限区间上的数值积分和无限区间上的数值积 分。
02
直接法
矩形法
总结词：简单直观
在金融建模中的应用
期权定价模型
数值积分方法可以用于求解期权定价模型，从而为金融衍生品定价提供依据。例如，二叉 树模型和蒙特卡洛模拟等。
利率衍生品定价
在利率衍生品定价中，数值积分方法可以用于求解利率期限结构模型，例如LIBOR市场模 型等。
风险管理
通过数值积分方法，可以对金融风险进行量化评估和管理。例如，计算VaR（风险价值） 和CVaR（条件风险价值）等指标，以评估投资组合的风险暴露程度。
自适应插值控制法
总结词
自适应插值控制法是一种通过插值技术来提 高数值积分精度的控制方法。
详细描述
在数值积分过程中，自适应插值控制法利用 插值技术对积分函数进行逼近，以提高数值 积分的精度。这种方法能够根据积分区间和 积分函数的特性，自动选择合适的插值方法 ，以获得更高的积分精度。同时，自适应插 值控制法还能够有效地处理复杂积分函数和
80%
算法设计与实现
数值积分方法的设计与实现是计 算数学的重要研究内容，推动了 科学计算的发展。
数值积分的概念
定义
数值积分是对函数在某个区间 上的定积分进行数值逼近的方 法。
思想
通过选取适当的积分点和权函 数，将定积分的计算转化为数 值逼近问题。
近似公式
常用的数值积分公式有梯形公 式、辛普森公式、复合梯形公 式、复合辛普森公式等。
数值计算方法之数值积分
数值计算方法之数值积分数值积分是数值计算中的一个重要内容，它是对函数在其中一区间上的积分进行数值近似计算的方法。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域都有广泛的应用，如求解不定积分、概率密度函数的积分、求解微分方程初值问题等。
数值积分的基本思想是将积分区间划分为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算，再将结果相加得到近似的积分值。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
首先介绍矩形法。
矩形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的函数值与该小区间的宽度相乘得到每个小矩形的面积，最后将所有小矩形的面积相加得到近似的积分值。
矩形法分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
左矩形法即用每个小区间的最左端点的函数值进行计算，右矩形法用最右端点的函数值进行计算，中矩形法用每个小区间中点的函数值进行计算。
梯形法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间两个端点的函数值与该小区间的宽度相乘，再将每个小梯形的面积相加得到近似的积分值。
梯形法相较于矩形法更为精确，但需要更多的计算量。
辛普森法是将积分区间划分为若干个小区间，然后用每个小区间的三个点的函数值进行插值，将插值函数进行积分得到该小区间的近似积分值，最后将所有小区间的近似积分值相加得到近似的积分值。
辛普森法相比矩形法和梯形法更为精确，但计算量更大。
除了以上几种基本的数值积分方法外，还有龙贝格积分法、高斯积分法等更为精确的数值积分方法。
这些方法的原理和步骤略有不同，但都是通过将积分区间分割为若干小区间，然后进行数值近似计算得到积分值的。
总结起来，数值积分是通过将积分区间分割为若干小区间，然后对每个小区间进行数值近似计算得到积分值的方法。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
数值积分在计算机科学、自然科学以及工程领域均有广泛应用，是数值计算中的重要内容。
数值积分方法求解积分方程
数值积分方法求解积分方程y(x) = f(x) + λ∫K(x, t) y(t) dt其中y(x)是未知函数，f(x)是已知函数，K(x, t)是已知的积分核，λ是常数。
在许多科学领域，如物理、工程、经济等领域，积分方程是非常常见的。
由于积分方程的解通常难以获得解析解，因此需要使用数值方法进行求解。
数值积分方法可以分为两大类：直接积分法和迭代积分法。
直接积分法是将积分方程转化为一个代数方程，然后使用数值代数方法求解。
常用的直接积分法有Trapezoidal规则、Simpson规则和Newton-Cotes规则等。
这些方法都是通过将积分区间分割为若干个小区间，然后在每个小区间上使用适当的插值方法进行计算，最终将这些小区间上的积分结果累加起来得到整个积分方程的数值解。
迭代积分法则是通过将积分方程转化为一个迭代序列，最终得到连续逼近的解。
常见的迭代积分法有Picard迭代法、Newton离散法和倍迭代法等。
这些方法都要求原积分方程具有某些特定的性质，例如可微、紧收敛等。
在每次迭代中，通过逐步逼近不动点来计算解的近似值，直到达到所需的精度要求为止。
数值积分方法在实际应用中具有广泛的适用性和可行性。
它可以处理各种类型的积分方程，包括线性和非线性、奇异和非奇异、特征值问题等。
此外，数值积分方法还可以通过适当选择插值和逼近方法来提高计算效率和精度。
例如，在直接积分法中，可以采用高阶插值多项式来近似积分核，从而提高数值解的精度。
在实际求解中，选择合适的数值积分方法至关重要。
这涉及到对问题的深入理解以及对数值方法的熟悉程度。
在选择数值积分方法时，需要综合考虑问题的特点、数值方法的精度和效率，并根据具体情况进行权衡。
总之，数值积分方法是一种有效的求解积分方程的数学技术。
它具有广泛的适用性和可行性，可以处理各种类型的积分问题。
通过选择合适的数值方法，可以获得高精度和高效率的数值解，为科学研究和工程应用提供重要的支持。
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
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上式称为高斯-勒让德求积公式，或简称高斯求积公式。
第3章 数值积分法
第3章 数值积分法
第3章 数值积分法 对于一般积分区间 [a,b]，可利用积分变量的变换 则变量 t∈[ -1,1]， 而积分变为
式(3-11)和式(3-12)为一维高斯求积公式, 当 f(x)为不超过 2n -1 次的 多项式时, 上述积分可得到完全精确的结果，但对次数高于 2n-1 的 多项式, 则不能得到精确结果。所以, 当已知多项式 f(x)的次数为 m 时， 宜取 n≥(m +1)/2。
第3章 数值积分法 当 kn 值足够小, 按式 (3-21)、 式 (3-22) 计算, 足够的计算精度。 如用兰登变换递推 3 次(n = 3), 则式(3-21Байду номын сангаас、 式(3-22)将简化为
以上两式在模数 k 接近于 1 时，有足够的计算精度。一般说来， 递推次数 n 应随模数 k 值的增大而增加，例如若要求达到 10-6精 度， 一般在 0 < k < 0.7 时， 应取 n = 2 或 n = 3； 而在0.7< k <0.999 时， 可取 n =4。 当 0.999< k <1 且需有更高的精度时，则 必须增加递推项数 n。 当 k 非常接近于 1 与 k =1 时，对应于通常的计算精度，可 采用近似公式
第3章 数值积分法 按式（3-45）求得向量磁位AP值后，即可计算该点的磁感应强 度。注意到圆柱坐标系中B=∇×A的表达式, 现由以上分析已知， Aρ=Az=0，A=Aφe φ ，故以式（3-45）代入，便得任意场点处的磁 感应强度为
式中，B的各分量为
第3章 数值积分法
显然，当场点位于圆环轴线上时，即ρ=0 处，因有模数 k=0， 由式（3-17）、式（3-18）可知，K(0)=π/2，E(0)=π/2，从而可得 沿轴线的磁感应强度分布为
第3章 数值积分法
为提高数值积分的计算精度，可再继续将区间分半，即令 k=2， k=3，…，从而通过所谓复合求积方法的应用，以改善 求积精度。具体说来，复合梯形求积公式为
显然，若当积分区间 [a，b] 为 n=2k 等分时，其结果尚不 够精确，则 如上所述，可把每个子区间再对半分，得 2n=2k+1 个子区间，分别应用梯形公式计算。但注意到算 Tn 时的分点 也是算 T2n 时的分点，故编程计算 T2n 时，只需把新分点上的 函数值算出加到 Tn 中去即可，得
第3章 数值积分法
式中，不失一般性地进一步设定该长直载流导线的全长为 2L，且 场点 P 位于中截面上。这样，当满足 L>>ρ 时，上式可简化为 从而整个源区 S 在点 P 产生的向量磁位为
式中，C=μ0Jln(2L)/(2π)。于是点 P处的磁感应强度
第3章 数值积分法 它在x、y方向上的分量分别为
则按式（3-33）、式（3-34）可分别直接得出其解析解为
第3章 数值积分法
（2）场图的绘制 在场域内, 应用磁场线(即 B 线)或等磁位线均可形象地描述 场分布的状况, 并由场线的疏密度可进而定性乃至定量地分析磁 场的强弱。所谓B线, 即是在该线上任一点的切线方向, 应与该点 B的方向一致。据此，在直角坐标系中，由共线条件：B×dl=0， 可导得 B 线所满足的微分方程为
第3章 数值积分法
只有eφ方向的一个分量。式中，源点与场点间的距离 ；元长度 dl=adα，因而整个环形载流线圈 在点 P 产生的向量磁位
为将这个积分化成椭圆积分，现作如下的变量代换，即令 α=π+2θ，dα=2dθ，cosα=2sin2θ-1，则有
再令 则
式中，K、E 分别为由式（3-15）和式（3-16）定义的第一类和第二类完全椭 圆积分，其数值计算方法已在3.4节中详述。正如前已指出，式中的积分模数 k 值取决于场源的几何尺寸与场点位臵。
式中，
第3章 数值积分法 3.2.2 辛普生求积公式 如果用二次插值多项式——抛物线 y=g(x) 所围成的曲边梯形 面积近似替代 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积，这时所得积分公 式称为辛普生公式
同前理，将区间 [a, b] 经 k 次等分，得 n=2k 个子区间，则 计算精度得以进一步改善的复合辛普生求积公式为
使In(f)≈I(f)，并具有最大可能的代数精度。式中求积节点 xk（k=1， 2，…，n）位于区间 [a,b] 内，被称为高斯积分点。
第3章 数值积分法
当给定权函数ρ(x)=1 时，不失一般性地可假定积分区间为 [1,1]，分析表明，此时利用正交多项式来确定求积节点（高斯积分 点）时，该正交多项式为勒让德多项式，而积分点 x1，x2…，xn即 为 n 次勒让德多项式的 n 个零点，并由此可求得相应的求积公式 的权系数 Ak。表3-1给出了n=1～7时所对应的七组xk与Ak值，由此 即得
第3章 数值积分法
即应遵循ΔA=K（某一指定值）这一原则作图。例如，在场域内， A值的最大与最小值分别为Amax与Amin，即可取ΔA=（Amax-Amin） /n，由此就可以绘出A1=Amax；A2=Amax-ΔA；…； An+1=AmaxnΔA=Amin，共n+1根等A线（即B线），形象地定量描绘出该平 行平面磁场的分布。 3.5.2 轴对称磁场 在无限大、均匀且各向同性媒质中，当场源具有轴对称分布 的特征时，其激励的空间场分布也必然具有轴对称性质，即在通 过对称轴的一系列旋转平面（子午面）上，具有完全相同的场分 布，这类场被称为轴对称场。
第3章 数值积分法 （1）环形线电流的磁场
作为轴对称磁场的基本计算模型，设一半径为 a 的环形载流线圈如图3-6 所示。如上所述，此时空间磁场分布呈轴对称形态，故如图选用圆柱坐标系， 坐标原点位于线圈中心， z 轴与线圈轴线相重合。这样，环形载流线圈中的电 流密度可表示为 J=JΦe Φ，而相应的电流元可记作 Idl=IdleΦ。结合与图3-6对 应的顶视图（见图3-7）可见，对称于所选取的轴对称平面ρOz 的成对电流元 Idl与Idl′，在任意场点 P 所产生的向量磁位 dAP 应是 dAα与 dA′α的合成，即
现以矩形截面的长直载流导线为例，如图 3-4 所示，依据式(3-31)、 式 (3-32)可得
而有
第3章 数值积分法 式中，（x，y）为源点坐标。应用变步长的辛普生积分法，直接 对式（3-33）、式（3-34）进行二重数值积分，即可算出任意场点 处磁感应强度的近似解。 值得指出，如利用以下积分关系
第二类完全椭圆积分
式中， k 称为积分模数 (k2<1)。 由以后的例题可见， k 值可由计 算模型所决定的函数关系获得。
第3章 数值积分法 由于椭圆积分不能通过初等函数在有限形式中予以表示，故 其计算必须采用数值计算方法，常用的有以下几种方法： （1） 级数展开式
理论上， 当项数 n→∞ 时， 式 (3-17) 和式 (3-18) 将趋近于真值。 实际分析表明， 在 k 值较小时， 级数收敛较快， 故只要取不多 的前几项即有令人满意的计算精度； 但在 k 值较大时，级数收敛 很慢，此时对应于较高的计算精度要求，必须增加计算项数。
第3章 数值积分法 （2） 算术几何平均法
式中 数列计算
式 (3-19) 和式 (3-20) 适用于 k = 0.1～ 0.9 场合，计算精度较高， 收敛速度也较快。
第3章 数值积分法 （3） 近似计算公式 由兰登变换的递推关系，第一、二类完全椭圆积分可分别记为
式中, k′为补模 由给定的模数 k 值, 计算
第3章 数值积分法
3.2 梯形与辛普生求积公式
3.2.1 梯形求积公式 定积分 如图3-1所示，其积分值 I 在几 何上可以解释为 x =a 和 x = b 之间函 数 f(x) 图形下面所围成的面积。
为提高精度，可将区间 [a,b] 分半， 即取细分次数 k=1, 得分段数 n=2k=2, 这时步长 h=(b-a)/n=0.5(b-a), 于是相 应的梯形求积公式为
在平行平面场中，按所设定的直角坐标系，如前所述，当 给定场源 J=Jzez，则场中各点的向量磁位 A=Azez=Aez。由此即 得相应的磁感应强度的分量为
第3章 数值积分法 将以上结果代入式（3-38），便得
由此可见，在平行平面磁场中， A等于定值的轨迹即为B线。 显然，以等A线来描绘B线能 极大地简化场图的绘制。为使 B线的分布密度能定量地描绘 出磁场分布的强弱，还必须遵 循相邻两磁力线间的磁通量 ΔΦ相等的原则。以图3-5所示 长直载流导线的磁场为例，通 过单位轴向长度（Δz=1）的磁 通量ΔΦ为
可以证明，复合辛普生求积公式(3-6)与复合梯形求积公式(33)、式(3-4)之间有如下关系：
第3章 数值积分法
当上述变步长辛普生积分法用于计算二重积分时，数值积分的 处理方法是将二重积分
分解为两个单积分
和 求积。具体地说，首先，固定某一个变量 x 的值，设为 x，利用辛 普生求积公式（3-6），得出对应的 g(x) 值；然后依次计算，得出 一系列的 g(x) ；最终再应用式（3-6）便可得该二重积分 S 的近似 值 I。
第3章 数值积分法
第3章 数值积分法
基于电磁场数值分析的需要，本章概括地介绍了常用的几种 数值求积方法，其中高斯求积法与椭圆积分的数值计算等，还将 是构造其他数值计算方法的内容。
3.1 概述
数值积分法是数值计算方法应用中的基本内容之一，它不仅 是各种类型积分表达式数值求积的基础，而且随着数值计算方法 的日益发展，已成为多种数值方法构造中必不可少的组成部分。
数值积分实质上是一种近似的求积方法，即通过构造被积函 数的某种线性组合的逼近函数来近似求其积分值，所以也称为近 似求积法。
对应于式中g(x)不同的函数构造，即可获得不同的数值求积公式。
第3章 数值积分法 当积分区间 [a,b] 较大时，常先将积分区间分成 n 个等长的小 区间，并在每个小区间上采用相应的数值求积公式计算积分的近 似值，然后将这些近似值求和，即得所求积分的如下近似值：