北师大版选修11第二章圆锥曲线与方程第一节
轴、
专家点评（师大附中张文俊）
本课例教学目标定位准确，设计力求符合现代教育理念和新课程标准的教学方案；教学方法选择较为恰当。
教学过程中，能正确地处理好教师与学生的关系，教师作为组织者与引导者，利用天体围绕地球运行轨迹的演示，激发学生学习数学的兴趣，鼓励学生大胆探索，勇于创新，提高学生参与数学活动的兴趣和积极性，同时设置了不同层次的知识面，以适应不同学生的认知过程，增强了学生的自信心，在师生互动的过程中，让学生体会数学的严谨；基本体现了新课标中让学生自主学习的教学理念；教学中能通过恰当的问题情景，设计比较有效的问题，以帮助学生积极思考，注意了学生的思维方式的培养和学生能力的提升，并注意了数学美的发现，使学生能深切地感受到椭圆方程、图形的对称美，获得成功的喜悦，提供学生的数学素养。
高中数学第二章圆锥曲线与方程1椭圆1.2椭圆的简单性质实用课件北师大版选修11
4．若点 P(a,1)在椭圆x22＋y32＝1 的外部，则 a 的取值范围为(
)
A.－2
3
3，2
3
3
B.2
3
3，＋∞∪－∞，－2
3
3
C.43，＋∞
D.－∞，－43
第十八页，共27页。
解析：因为点 P 在椭圆x22＋y32＝1 的外部， 所以a22＋132＞1，解得 a＞233或 a＜－233，故选 B. 答案：B
第二十四页，共27页。
7．椭圆 x2＋4y2＝1 的离心率为
()
3
3
A. 2
B.4
2
2
C. 2
D.3
解析：将椭圆方程 x2＋4y2＝1 化为标准方程得 x2＋y12＝1，则
4
a2＝1，b2＝14，c＝ a2－b2＝ 23，离心率 e＝ac＝ 23，故选 A. 答案：A
第二十五页，共27页。
8．过椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于
3．椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆 的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为 a2＝b2＋c2，所以ba＝ 1－e2，因 此，当 e 越趋近于 1 时，ba越接近于 0，椭圆越扁；当 e 越趋近于 0 时， ba越接近于 1，椭圆越接近于圆．当且仅当 a＝b 时，c＝0，两焦点重合， 图形变为圆，方程为 x2＋y2＝a2.所以 e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．
第二十页，共27页。
6．已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上的点到焦点的最近距离为 4，短轴长为 8 5，求椭圆的方程．
b＝4 5， 解：由题意得，a－c＝4，
a2＝b2＋c2，
高中数学(北师大版,选修11)：第二章+圆锥曲线与方程(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,12
[答案] C [解析] 由条件知 a＝6，e＝ac＝13，∴c＝2，∴b2＝a2－c2 ＝32，故选 C.
3．(2014·长春市高二期末调研)中心在原点，焦点在 x 轴上，
长轴长为 18，且两个焦点恰好将长轴三等分的椭圆的方程是
() A.8x12 ＋4y52 ＝1 C.8x12 ＋7y22 ＝1
B.8x12 ＋y92＝1 D.8x12 ＋3y62 ＝1
[答案] C
[解析] 由长轴长为 18 知 a＝9，∵两个焦点将长轴长三等
焦距 |F1F2|＝2c(c＝ a2－b2) |F1F2|＝2c(c＝ a2－b2)
性 范围 质 对称性
顶点
____|_x_|≤_a_，__|y_|_≤_b____ ____|x_|≤_b_，__|_y_|≤_a____ 关于___x_轴__、__y_轴__和__原__点___对称
_(_±__a_,_0_)，__(_0_，__±__b_)__ __(_0_，__±__a_)，__(_±__b_,0_)__
轴 离心率
长轴长__2_a__，短轴长__2_b__
c e＝__a___ (0<e<1)
如图所示，在 Rt△BF2O 中，cos∠BF2O＝ac，记 e＝ac则 0<e<1，e 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁；e 越小，∠BF2O 越 大，椭圆越圆．
6．根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画 出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆 的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是 与坐标系无关的本身固有性质，如__长__、__短__轴__长___、__焦__距__、 __离__心__率___ ； 一 类 是 与 坐 标 系 有 关 的 性 质 ， 如 __顶__点____ 、 __焦__点____．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 1.1 椭圆及其标准方程课件 北师大版选修1-1.pptx
知识点二 椭圆的标准方程
思考1
椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么 关系？ 答案
椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点 间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆， a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角 形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半. a、b、c始终满足关系式a2＝b2＋c2.
1 2 3 4 405
规律与方法
1.平面内到两定点 F1，F2的距离之和为常数 ，即|MF1|＋|MF2|＝2a，当 2a>|F1F2|时，轨迹是椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2| 时，轨迹不存在. 2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解， 也可以通过椭圆的定义进行求解. 3.用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标 准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，也可设Ax2＋By2＝1(A>0， B>0，A≠B)求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.
答案
固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.
思考2
在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件 吗？ 答案 笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长.
5
梳理
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|) 的点的集 合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间 的距离叫作椭圆的焦距.
41
本课结束
42
x2sin α＋y2cos α＝1，可化为
x2 1
＋
y2 1
＝1，
sin α cos α
1 sin
α>co1s
高中数学第二章圆锥曲线与方程1椭圆1.1椭圆及其标准方程实用课件北师大版选修11
1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位 置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情 况求解；也可设为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)求解．
2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的 方程的解是否都在曲线上．
3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出 |PF1|＋|PF2|＝2a 求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角 形问题的常用方法．
a＋2a－3＞0， a＞－6.
解得 a＞3 或－6＜a＜－2，故选 D.
答案：D
第十五页，共30页。
2．已知椭圆的焦点在 y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和 为 8，焦距为 2 15，则此椭圆的标准方程为______________． 解析：由已知，2a＝8,2c＝2 15，∴a＝4，c＝ 15， ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为1y62 ＋x2＝1. 答案：1y62 ＋x2＝1
第二十八页，共30页。
8．已知动圆 M 过定点 A(－3,0)，并且在定 圆 B：(x－3)2＋y2＝64 的内部与其相内 切，求动圆圆心 M 的轨迹方程． 解：设动圆 M 和定圆 B 内切于点 C， 由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动 圆圆心 M 到两定点 A(－3,0)，B(3,0)的距离之和等于定圆的 半径， ∴动圆圆心 M 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆， 且 2a＝8,2c＝6，b＝ a2－c2＝ 7， ∴M 的轨迹方程是1x62＋y72＝1.
__a_2_－__b_2＝__c_2___
第七页，共30页。
1．平面内点 M 到两定点 F1，F2 的距离之和为常数 2a， 当 2a>|F1F2|时，点 M 的轨迹是椭圆； 当 2a＝|F1F2|时，点 M 的轨迹是一条线段 F1F2； 当 2a<|F1F2|时，点 M 的轨迹不存在． 2．椭圆的标准方程有两种形式，若含 x2 项的分母大于含 y2 项的分母，则椭圆的焦点在 x 轴上，反之焦点在 y 轴上．
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程课件9 北师大版选修11
a2-c2 有什么几何意义？
| OP | a2 c2 b
则方程可化为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0).
3、椭圆的标准方程:
焦点在x轴：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
y
F1 o
M
F2 x
焦点在y轴： y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
y
F2
M
ox
F1
巩固运用 深化新知
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
回扣定义
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离 之和等于常数（大于|F1F2| ）的点的 集合叫椭圆
(1)若|MF1|+|MF2|>|F1F2|,M点轨迹为椭圆
(2)若|MF1|+|MF2|=|F1F2|,M点轨迹为线段 (3)若|MF1|+|MF2|<|F1F2|,M点轨迹不存在
将圆x2+y2=4上的点的横坐标保持 不变，纵坐标变为原来的一半，求所得 的曲线的方程，并说明它是什么曲线？
不
图形
同
点
标准方程
y M
F1 O F2
x
y
F2 M
O
x
F1
x2 + y2 = 1a > b > 0 x2 + y2 = 1a > b > 0
a2 b2
b2 a2
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0 F1 0,- c，F2 0,c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ相 a、b、c 的关系 同
点 焦点位置的判断
a2 c2 b2 (a b 0)
数学北师大版高中选修1-1北师大版选修1-1第二章圆锥曲线与方程第一节椭圆及其标准方程PPT课件
x y 2 1a b 0 2 a b
2
2
F1
x y 2 1a b 0 2 b a
2
2
椭圆的标准方程焦点所在坐标轴的判断方法： 2 2
只要看
x
和
y
的分母的大小
共同进步！
F1
M
O
F2
x
b | MO |
y
M F1 o
F2
x
x y 2 1a b 0 2 a b
2
2
表示焦点在x轴， 焦点为F1（-c,0），F2（c,0） 焦距为2c, b2 = a2 - c2的椭圆的标准方程。 如果是以F1，F2所在直线为y轴，建立直角坐标系，所求出的椭圆 的标准方程又是什么呢？ y 这也是椭圆的标 2 准方程 y2
2 2
解：（1）因为4>3 ， 所以椭圆的焦点在
x 轴上，
a 2 4 , b2 3 c a2 b2 1 2c 2
则椭圆的两个焦点分别 是(-1,0) 和(1,0),焦距为2
（2）
x2 y2 原式可化为 1 4 8
得椭圆的焦点在 y 轴上
a 2 8, b2 4, c a 2 b 2 2,
x c 2 y 2
a
2a
x c 2 y 2
两边平方得：x c 2 y 2 4a 2 4a 移项化简得：
x c 2 x c 2 y 2
a 2 cx
x c 2 y 2
移项化简得： 两边平方： 化简得
a x c y 2 a4 2a2cx c2 x2
神舟六号飞船飞行轨道图
预备知识回顾：
两点间距离公式： 已知：点A ( x1 , y1 ) ，B ( x2 , y2 ) ，则
高中数学 第二章 圆锥曲线与方程课件 北师大版选修1-1
北师大版 ·选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
圆锥曲线与方程 第二章
3．要做到“数”与“形”的统一．由于几何研究的对象 是图形，而图形的直观性会帮助我们发现问题，启发我们的思 路，找出解决问题的有效方法，所以在解决本章的问题，最 好先根据已知条件画出草图，通过观察、分析图形的特征，将 数和形结合起来．
4．要掌握一些常见的求曲线方程的方法．曲线是符合某 种条件的点的轨迹，求动点的轨迹方程是解析几何的主要问题 之一，常见的方法有直接法、定义法、待定系数法、相关点 法、参数法等．
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程课件北师大版选修11
+
探究
(tànjiū)三
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
一
思维辨析
(3)设所求椭圆的方程为 mx2 +ny2 =1(m>0,n>0,m≠n).
∵点
6
,
3
×
6
3
×
2 2
3
∴
即
3 和点
2
3
8
9
2
2 2
,1
3
都在椭圆上,
+ × ( 3)2 = 1,
2
+ × 12 = 1,
2
2
(4-0) + (3 2-2) =12,所以 a=6.
2
+ 32 =1.
第十七页，共36页。
探究(tànjiū)
一
探究(tànjiū)
二
探究(tànjiū)
三
思维辨析
(法二)因为椭圆的焦点在 y 轴上,
2
所以可设其标准方程为2 +
18
16
+
2 = 1,
2
由题意得
解得
2 = 2 + 4,
9
“0<m<9”成立,故是充要条件.
(2)由已知椭圆的焦点(jiāodiǎn)在x轴上,且a2=16,b2=7,
∴c2=9,c=3.
∴椭圆的焦点(jiāodiǎn)坐标为(-3,0)和(3,0).
答案:(1)C (2)(-3,0)和(3,0)
第十页，共36页。
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
高中数学(北师大版,选修11)：第二章+圆锥曲线与方程(
第二章 §11.1一、选择题1．设F 1，F 2为定点，|F 1F 2|＝6，动点M 满足|MF 1|＋|MF 2|＝6，则动点M 的轨迹方程是( )A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段[答案] D[解析] ∵|MF 1|＋|MF 2|＝6，|F 1F 2|＝6，∴|MF 1|＋|MF 2|＝|F 1F 2|，∴点M 的轨迹是线段F 1F 2.2．已知椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到其一个焦点的距离为3，则点P 到另一个焦点的距离为()A ．2B ．3C ．5 D.7[答案] D[解析] 利用椭圆的定义可知|PF 1|＋|PF 2|＝10.∵|PF 1|＝3，∴|PF 2|＝7.3．若方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0,2)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)[答案] D[解析] 先将方程x 2＋ky 2＝2变形为x 22＋y 22k＝1.要使方程表示焦点在y 轴上的椭圆，需2k >2，即0<k <1.4．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为( )A ．－1B ．1 C. 5 D ．－ 5[答案] B[解析] 椭圆方程5x 2＋ky 2＝5可化为：x 2＋y 25k＝1，又∵焦点是(0,2)，∴a 2＝5k ，b 2＝1，c 2＝5k －1＝4，∴k ＝1.5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦点在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( ) A ．4B ．5C ．7D ．8[答案] D [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >0，m －2>0，m －2>10－m ，m －2－10＋m ＝4.解得m ＝8. 6．已知椭圆过点P (35，－4)和点Q (－45，3)，则此椭圆的标准方程是( ) A.y 225＋x 2＝1 B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对[答案] A[解析] 设椭圆方程为：Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0)， 由题意得⎩⎨⎧ 925A ＋16B ＝1，1625A ＋9B ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝125. 二、填空题 7．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为________．[答案] x 24＋y 23＝1 [解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝3a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1， 故b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 8．过点(－3,2)且与x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆方程是________． [答案] x 215＋y 210＝1 [解析] 因为焦点坐标为(±5，0)，设方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1，将(－3,2)代入方程可得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15，故方程为x 215＋y 210＝1.9．动点P 到两定点A (－3,0)、B (3,0)距离之和为10，则点P 的轨迹方程为________．[答案] x 225＋y 216＝1 [解析] ∵|AB |＝6<10，∴所求轨迹为以A 、B 为焦点的椭圆，由定义知a ＝5，c ＝3，∴b ＝4，∴方程为x 225＋y 216＝1. 三、解答题10．如图所示，已知点P 是椭圆y 25＋x 24＝1上的点，F 1和F 2是焦点，且∠F 1PF 2＝30°，求△F 1PF 2的面积．[答案] 8－4 3[解析] 在椭圆y25＋x24＝1中，a ＝5，b ＝2，∴c ＝a 2－b 2＝1，又∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25①由余弦定理知|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos30°＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝4②①式两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝20③③－②得(2＋3)|PF 1|·|PF 2|＝16，∴|PF 1|·|PF 2|＝16(2－3)，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin30°＝8－4 3.一、选择题11．设P 是椭圆x 216＋y 212＝1上一点，P 到两焦点F 1、F 2的距离之差为2，则△PF 1F 2是() A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形[答案] B[解析] 由椭圆定义，知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8.又|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝5，|PF 2|＝3.又|F 1F 2|＝2c ＝216－12＝4，∴△PF 1F 2为直角三角形．12．已知椭圆的两个焦点分别是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．射线D ．直线[答案] A[解析] ∵|PQ |＝|PF 2|且|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PQ |＋|PF 1|＝2a ，又∵F 1、P 、Q 三点共线，∴|PF 1|＋|PQ |＝|F 1Q |，∴|F 1Q |＝2a .即Q 在以F 1为圆心，以2a 为半径的圆上．13．若△ABC 的两个顶点坐标A (－6,0)，B (6,0)，△ABC 的周长为32，则顶点C 的轨迹方程为( ) A.x 2100＋y 264＝1 B.y 2100＋x 264＝1(y ≠0) C.x 236＋y 264＝1(y ≠0) D.x 2100＋y 264＝1(y ≠0) [答案] D[解析] 由题意得|CA |＋|CB |＋|AB |＝32，又|AB |＝12，∴|CA |＋|CB |＝20>|AB |，由椭圆定义知，顶点C 的轨这是以A ，B 为焦点的椭圆，其方程为x 2100＋y 264＝1(y ≠0)． 14．(2014·邯郸市一模)椭圆x 212＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1和F 2，点P 在椭圆上．如果线段PF 2的中点在y 轴上，那么|PF 2|是|PF 1|的( )A ．7倍B ．5倍C ．4倍D ．3倍 [答案] A[解析] 解法1：由条件知F 1(－3,0)，F 2(3,0)，P (－3，±32)，即|PF 1|＝32，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝43，∴|PF 2|＝732， 即|PF 2|＝7|PF 1|.解法2：由已知，则PF 1⊥F 1F 2，∴PF 1＝b 2a ＝32，而F 1F 2＝2c ＝6，∴|PF 2|2＝(32)2＋62， ∴|PF 2|＝732，∴|PF 2|是|PF 1|的7倍． 二、填空题15．已知椭圆的焦点是F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，则|F 1F 2|是|PF 1|和|PF 2|的等差中项，则该椭圆的方程是________．[答案] x 24＋y 23＝1 [解析] 由题意得2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|，∴4c ＝2a ＝4，∴a ＝2.又c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 16．已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.[答案] 3[解析] 本题考查椭圆的定义及整体代换的数学思想．由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，又∵PF 1→⊥PF 2→，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，∴2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－4c 2＝4b 2，∴|PF 1|·|PF 2|＝2b 2，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝b 2＝9，∴b ＝3. 三、解答题17．设△ABC 的三顶点A 、B 、C 对应三边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c (a >b >c )成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．[答案] x 24＋y 23＝1(－2<x <0) [解析] 设点B 的坐标为(x ，y )．∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b ，即|BC |＋|BA |＝2|AC |，∴|BC |＋|BA |＝4.根据椭圆的定义易知，点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1. 又∵a >b >c ，∴a >c ，即|BC |>|AB |，∴(x －1)2＋y 2>(x ＋1)2＋y 2，∴x <0，∴点B 的轨迹是椭圆的一半，方程为x 24＋y 23＝1(x <0)． 又当x ＝－2时，点B 、A 、C 在同一直线上，不能构成△ABC ，∴x ≠－2.∴顶点B 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(－2<x <0)． 18．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1(0，－1)，F 2(0,1)，且3a 2＝4b 2. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 在这个椭圆上，且|PF 1|－|PF 2|＝1，求∠F 1PF 2的余弦值．[答案] (1)y 24＋x 23＝1 (2)35[解析] (1)由题意得椭圆焦点在y 轴上，且c ＝1.又∵3a 2＝4b 2，∴a 2－b 2＝14a 2＝c 2＝1， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆标准方程为y 24＋x 23＝1. (2)如图所示，|PF 1|－|PF 2|＝1.又由椭圆定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|＝52，|PF 2|＝32，|F 1F 2|＝2， cos ∠F 1PF 2＝(52)2＋(32)2－222×52×32＝915＝35.。