第五章-扭转(材料力学课件)
W = m 2 n (2)
(1)
(1) = (2) 得 N×1000×60 = m 2 n
N m 9549 n
N ─ kW n ─ rpm m ─ N m N ─ PS n ─ rpm m ─ N m
N m 7024 n
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
m A 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
T1 mB 351 N m T2 702 N m T3 mD 468 N m
表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90°变为 88°。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭 转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆 横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。
CL5TU13
解：由
d l 2
2 2 得 l 2 300 30 d 40
max G 2.7 2
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度γ
(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距
离没有改变 根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有剪应 力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直
于半径。
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
m
m
T
T
dA
r
dA
r dA T r dA T
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上
的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
径之比D2/D1。
解：由
T
D1
16
3
T
D2
16
3
(1 0.8 )
4
得：
D2 1 3 1192 . 4 D1 1 0.8
例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆 0.8 轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?
抗扭截面模量： 实心圆： Wt
d
3
16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
d
T dx GI p l
CL5TU5
Tl 若T const，则 GIp
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
T(N m)
T1 351 N m T2 702 N m T3 468 N m
§5-3 薄壁圆筒的扭转实验
一、薄壁圆筒的扭转应力分析
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
CL5TU4
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成
方格,然后加载。
m
m
观察到如下现象：
N 60 9549 229176 N m . 解： m 9549 n 250
由
229176 . 6 40 10 D3 D3 4 4 (1 ) (1 0.8 ) 16 16
m
得 D 791 mm , d 63.3 mm .
例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，
G=80GPa。求该轴长度。
Tl 解： GIp
(1)
max
T Wt
9
( 2)
I p 6 180 80 10 0.05 G (1) 得：l 6 ( 2) max Wt 90 10 2
2.33 m
例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
dA
dA T
A
d G dx dA T A d 2 G dA T dx A
令 I p dA
解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T
m
ml Tl Tl G I p内 G I p内 G I p外
例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力
偶矩。
CL5TU15
解：
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为： AB AC CB 0
最大剪应力，使用：
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
max
T 180 10 56.5 MPa 2 2 2 r t 2 0.13 0.03
3
(2) 利用精确的扭转理论可求得
max
180 10 3 4 3 D 4 0.29 230 (1 ) 1 16 16 290 62.2 MPa
max
T Wt
CL5TU9
下面求极惯性矩I p 和抗扭截面模量Wt
I p dA
2 A
d /2
0
2
2 d 2
d /2
0
3
d
d 4 2 d 2 4 32
4
Wt
Ip
max
3 Ip d d 16 2
o
d
CL5TU5
得 d 94.7 mm
由
5000 80 10
9
d
4
180
0.5
得 d 92.4 mm
32
例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均
为ｌ，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两 端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与 轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的 最大剪应力。
CL5TU14
直径为 d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪 切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅 垂位移。
CL5TU12
解：
CV
32 Pa l Pa l a AB a 4 GIp G d
2
例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭 转角为 6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，
解：设实心轴的直径为 d1 ，由
T
d1
16
3
T
D
16
3
0.8 (1 0.5 )
4
D 得： 1.022 d 1 1.192
2
D
4
2
A空 A实
(1 0.5 ) 0.8
2
d1
4
0.783
0.512
例：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空
心圆管，承受扭矩T=180 kN· 。试求管中的 m
强度条件： max
刚度条件：
T [ ] Wt
d T [ ] d x GI p T 180 [ ] GI p
rad / m
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16
倍？
T T max 3 Wt d Tl Tl 16 4
A
TA 1000 0.015 63.66 MPa 4 Ip 0.04 4 (1 0.5 ) 32
max
1000 T 84.88 MPa Wt 0.04 3 (1 0.54 ) 16
min max
10 20
42.44 MPa
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
E G 2(1 )
§5-4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系 静力学关系
CL5TU5
1.变形几何关系
观察到下列现象:
§5-2 扭矩和扭矩图
T m
扭矩
T m
CL5TU6
例： 图示传动轴，主动轮A输入功率 NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
CL5TU3
解：
NA 50 m A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 mB mC 7024 7024 351 N m n 300 NC 20 mD 7024 7024 468 N m n 300
T
3
例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，
两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，
若将轴ห้องสมุดไป่ตู้横截面面积增加一倍，内外径之比仍
保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？
（按强度计算）。
解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面 积增大一倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最 大许可扭矩为Ｔ1
D1 由 (1 0.5 ) 2 (1 0.5 ) 得 2 4 4 D
剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同
时指向或背离两平面的交线。
三、剪切胡克定律
CL5TU8
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
G
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律。
A A
r 2 rt T
T 2 2 r t
根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的
(1)
(1) = (2) 得 N×1000×60 = m 2 n
N m 9549 n
N ─ kW n ─ rpm m ─ N m N ─ PS n ─ rpm m ─ N m
N m 7024 n
N A 50 PS N B N C 15 PS N D 20 PS n = 300 rpm
m A 1170 N m mB mC 351 N m mD 468 N m
T1 mB 351 N m T2 702 N m T3 mD 468 N m
表面上的圆周线和纵向线间夹角由 90°变为 88°。如杆长 l=300mm，试求两端截面间的扭 转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆 横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。
CL5TU13
解：由
d l 2
2 2 得 l 2 300 30 d 40
max G 2.7 2
(1) 纵向线倾斜了同一微小角度γ
(2) 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距
离没有改变 根据以上实验现象,可得结论： 圆筒横截面上没有正应力，只有剪应 力。剪应力在截面上均匀分布，方向垂直
于半径。
剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径
m
m
T
T
dA
r
dA
r dA T r dA T
例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之 比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上
的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直
径之比D2/D1。
解：由
T
D1
16
3
T
D2
16
3
(1 0.8 )
4
得：
D2 1 3 1192 . 4 D1 1 0.8
例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆 0.8 轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?
抗扭截面模量： 实心圆： Wt
d
3
16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
d
T dx GI p l
CL5TU5
Tl 若T const，则 GIp
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
T(N m)
T1 351 N m T2 702 N m T3 468 N m
§5-3 薄壁圆筒的扭转实验
一、薄壁圆筒的扭转应力分析
等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r,壁厚为 t
CL5TU4
受扭前在其表面上用圆周线和纵向线画成
方格,然后加载。
m
m
观察到如下现象：
N 60 9549 229176 N m . 解： m 9549 n 250
由
229176 . 6 40 10 D3 D3 4 4 (1 ) (1 0.8 ) 16 16
m
得 D 791 mm , d 63.3 mm .
例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，
G=80GPa。求该轴长度。
Tl 解： GIp
(1)
max
T Wt
9
( 2)
I p 6 180 80 10 0.05 G (1) 得：l 6 ( 2) max Wt 90 10 2
2.33 m
例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
dA
dA T
A
d G dx dA T A d 2 G dA T dx A
令 I p dA
解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T
m
ml Tl Tl G I p内 G I p内 G I p外
例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面
C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力
偶矩。
CL5TU15
解：
静力平衡方程为： m A mB m 变形协调条件为： AB AC CB 0
最大剪应力，使用：
(1)薄壁管的近似理论；
(2)精确的扭转理论。
解：(1) 利用薄壁管的近似理论可求得
max
T 180 10 56.5 MPa 2 2 2 r t 2 0.13 0.03
3
(2) 利用精确的扭转理论可求得
max
180 10 3 4 3 D 4 0.29 230 (1 ) 1 16 16 290 62.2 MPa
max
T Wt
CL5TU9
下面求极惯性矩I p 和抗扭截面模量Wt
I p dA
2 A
d /2
0
2
2 d 2
d /2
0
3
d
d 4 2 d 2 4 32
4
Wt
Ip
max
3 Ip d d 16 2
o
d
CL5TU5
得 d 94.7 mm
由
5000 80 10
9
d
4
180
0.5
得 d 92.4 mm
32
例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均
为ｌ，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两 端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与 轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的 最大剪应力。
CL5TU14
直径为 d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪 切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅 垂位移。
CL5TU12
解：
CV
32 Pa l Pa l a AB a 4 GIp G d
2
例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭 转角为 6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，
解：设实心轴的直径为 d1 ，由
T
d1
16
3
T
D
16
3
0.8 (1 0.5 )
4
D 得： 1.022 d 1 1.192
2
D
4
2
A空 A实
(1 0.5 ) 0.8
2
d1
4
0.783
0.512
例：一厚度为30mm、内直径为230mm 的空
心圆管，承受扭矩T=180 kN· 。试求管中的 m
强度条件： max
刚度条件：
T [ ] Wt
d T [ ] d x GI p T 180 [ ] GI p
rad / m
/m
例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半
时，横截面的最大剪应力是原来的 8 倍？
圆轴的扭转角是原来的 16
倍？
T T max 3 Wt d Tl Tl 16 4
A
TA 1000 0.015 63.66 MPa 4 Ip 0.04 4 (1 0.5 ) 32
max
1000 T 84.88 MPa Wt 0.04 3 (1 0.54 ) 16
min max
10 20
42.44 MPa
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E 泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
E G 2(1 )
§5-4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系 静力学关系
CL5TU5
1.变形几何关系
观察到下列现象:
§5-2 扭矩和扭矩图
T m
扭矩
T m
CL5TU6
例： 图示传动轴，主动轮A输入功率 NA=50 马力，从动轮B、C、D输出功率分 别为 NB=NC=15马力 ，ND=20马力，轴的 转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。
CL5TU3
解：
NA 50 m A 7024 7024 1170 N m n 300 NB 15 mB mC 7024 7024 351 N m n 300 NC 20 mD 7024 7024 468 N m n 300
T
3
例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，
两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，
若将轴ห้องสมุดไป่ตู้横截面面积增加一倍，内外径之比仍
保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？
（按强度计算）。
解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面 积增大一倍后内外径分别变为d1 、 D1 ，最 大许可扭矩为Ｔ1
D1 由 (1 0.5 ) 2 (1 0.5 ) 得 2 4 4 D
剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同
时指向或背离两平面的交线。
三、剪切胡克定律
CL5TU8
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
G
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律。
A A
r 2 rt T
T 2 2 r t
根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的
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材料力学扭转第5节 圆轴扭转时的变形
BA
T1l1 GI P1
180
0.8110
CB
T2l2 GI P 2
180
0.9810
CA CB BA 0.9810 (0.8110 ) 0.17 0
例4-4 如图，已知ABC轴结构尺寸为 lAB 1.6m， lBC 1.4m。材料切变模量 G 80GPa，轴上作用有外 力矩 M A 900 N·m，M B 1500 N·m，M C 600 N·m，试
求截面C的相对截面A的转角。
解： 1）用截面法求
各段扭矩
1
2
AB 段：
一、圆轴扭转时的扭转变形
• 扭转角：圆轴扭转时，两横
A
BO
截面相对转过的角度称为这
两截面的相对扭转角。
M
M
d
T (x) GIP
dx
l d
T (x)
l GIP
dx
若在圆轴的 l 长度内，T、G、
IP 均为常数，则圆轴两端截面的 相对扭转角为：
Tl
GIP
• 抗扭刚度：式中的 GIP 称为圆轴的抗扭刚度，它反 映了圆轴抵抗扭转变形的能力。
T1 MA 900 N m
BC 段：
T
600Nm
T2 M c 600 N m
画出扭矩图如图所示
900Nm
AB 截面 极惯性矩
I P1
d14
32
BC 截面 极惯性矩
2）C 截面相对于 A 截面的转角
IP2
d
4AB 段： BC 段：
材料力学 第五章扭转变形.强度、刚度条件(6,7,8)汇总
Me Tb Ta
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
( 4)
例题 6-6
5. 实心铜杆横截面上任意点的切应力为 Ta Ga M e 0 ra ρa I pa Ga I pa Gb I pb 空心钢杆横截面上任意 点的切应力为
b
Tb Gb M e I pb Ga I pa Gb I pb
2
1 dV (dxdydz ) 2 dV dW v dV dxdydz 1 v 2
一、密圈螺旋弹簧
——螺旋角
F
O
d
d ——簧丝横截面的直径 D ——弹簧圈的平均直径
O D
密圈螺旋弹簧 ——螺旋角<5°时的圆柱形弹簧
§4.5
密圈螺旋弹簧的计算
O F
例题 6-6
Me Tb Ta
解： 1. 实心铜杆和空心钢杆横截面上的扭矩分别为Ta 和Tb(图b)，但只有一个独立平衡方程 Ta+Tb= Me (1) 故为一次超静定问题。
例题 6-6
Me Tb Ta
2. 位移相容条件为实心杆和空心杆的B截面相对 于A截面的扭转角相等。在图b中都用表示（设 A端固定）。 Ba Bb ( 2)
a
b
ra
ra
a rb
切应力沿半径的变化 情况如图c所示。
ra
rb
(c)
§5-8非圆截面等直杆扭转的概念
圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平 面假设 的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不 再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲 面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应 力、变形公式对非圆截面杆均不适用。
(2)
材料力学-扭转1ppt课件
横截面上 —
max
T IP
max
IP
T
max
T WP
Ip—截面的极惯性矩，单位：m4 , mm 4
WP
Ip
max
WP —抗扭截面模量，单位：m3, mm3.
整个圆轴上——等直杆：
max
Tm a x WP
三、公式的使用条件： 1、等直的圆轴， 2、弹性范围内工作。
30
四、圆截面的极惯性矩 Ip 和抗扭截面系数Wp
d
dx
d / dx－扭转角变化率
二）物理关系：
弹性范围内 max P
G → G
G
d
dx
方向垂直于半径。
28
三）静力关系：
T A dA
T A dA
G d 2dA dx A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
T
GI p
d
dxp
29
二、圆轴中τmax的确定
结论：
横截面上 0, 0 0 0
根据对称性可知剪应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为剪应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
t
D
20
3、剪应力的计算公式：
T
AdA.r0
2 0
r0
2td
r02t2
d
T
2r0 2t
薄壁圆筒横截面上的剪应力计算式
21
二、关于剪应力的若干重要性质
例题： 1、一传动轴作200r／min的匀速转动，轴上装有五个轮子。 主动轮2输入的功率为60kW，从动轮1、3、4、5依次输出的 功率为18kW、12kW、22kW和8kW。试作出该轴的扭矩图。
材料力学(第五版)扭转刚度
d
于弹簧的中径D的情况，
max
8FD
d 3
在考虑簧丝的曲率和 1 分布不均匀时：
max
k
8FD
d 3
k—修正系数（曲度系数）
k 4c 1 0.615 4c 4 c
弹簧的强度条件：
c D d
max
（三）、弹簧的变形计算
弹簧的压缩（拉伸）变形
外力功：
2
由功能原理： V W
1 2
F
4F 2D3n Gd 4
弹簧的变形 8F D3 n Gd4
Fλ
弹簧的变形
8FD3n Gd 4
令：
C Gd 4 8D3n
C 弹簧刚度
F
C
Fλ
BC段：
TBC 1.2 kN m
A
mA
T (kN m)
Байду номын сангаас
B
C
mB
mC
Wt
BC
d13 16
503 109 16
24.54106 m3
1.2 3.0
(max )BC
TBC
Wt
BC
1200 24.54 106
48.8MPa
轴的强度符合要求
A
Tl
GIP
Me
l
Me
φ 相距 l 的两个截面之间的相对扭转角
φ
弧度
GIP
圆轴的抗扭刚度
对于阶梯轴，以及等直圆轴但扭矩为阶梯形变化的情况，
分段计算，求代数和
Tl GIP
二、圆轴扭转刚度的计算
材料力学第5章弯曲变形ppt课件
qL
4.22kNm
4.22kNm
M
max
32 M
max
76.4MPa
WZ
d 3
例题
20kN m
A
4m
FA
20kN m
A
MA
4m
试求图示梁的支反力
40kN
B
D
2m
2m
B
B1 FB
FB 40kN
B
D
B2
2m
2m
在小变形条件下,B点轴向力较小可忽略不
计,所以为一次超静定.
C
B1 B2
FBBBMF12AA2383qFEqELBqqLI84LI2LLZZ32F35BFF4FEFB83PBPLIEL7Z3L12IZ.218352.k75N5kFkN2PNmEL2IZ2
x
边界条件
A
L2
B
L2
C
y
连续条件
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问下列各梁 的挠曲线近似微分方程应分几段;将分别出现几个积 分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
全梁仅一个挠曲线方程
C
q
EA
共有两个积分常数 边界条件
L1
A
x
B
EI Z
L
y
例题 5.5
用积分法求图示各梁挠曲线方程时,试问在列各梁 的挠曲线近似微分方程时应分几段;将分别出现几个 积分常数,并写出其确定积分常数的边界条件
q
a
B C LBC
B
2a
FN
B
q2a4
8EIZ
FN 2a3
3EIZ
C
FN
a
D
材料力学-扭转
8
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
从圆轴中取一微小的正六面体（单元体）， 其对称两面上的剪应力构成一个力偶，因此 另两个对称面上也必存在转向相反的、由 剪应力构成的力偶。由此得出， 剪应力互等定理： 两个相互垂直的截面上，在其相交处的 剪应力成对存在，且其数值相等而符号相反， 指向或背离交线。 剪应力符号规定： 使单元体产生顺时针方向转动趋势时的剪应力为正 使单元体产生反时针方向转动趋势时的剪应力为负
§7-4 圆轴扭转时的强度计算
要使圆轴杆件扭转时不致产生破坏，应满足各横截面上的最 大剪应力小于材料的许用剪应力，而最大剪应力发生在扭矩最大 的横截面上的边缘处。设圆周半径为R，则圆轴扭转的强度条件 为：
τmax
T = R ≤ [τ ] Ip
Wp =
Ip R
把与截面尺寸和形状有关的参量归到一个参量，令 T 则有：
T ρ ρ 由此，圆轴扭转时横截面上半径为 处的剪应力为：τ ρ = Ip 4、极惯性矩 I 的计算 p πD 4
dϕ T = dX GI p
I p = ∫ ρ dA
2 A
直径为D的实心轴圆截面： I p = 空心轴圆环截面：I p =
π (D 4 − d 4 )
32
32
例：一轴AB传递的功率为Nk=7.5kw， 转速n=360r/min，轴的AC段为实心圆截面， CB段为空心圆截面，如图。已知D=3cm, d=2cm.试计算AC段横截面边缘处的剪应力 以及CB段横截面上外边缘和内边缘处的剪应力。计算扭矩、惯性矩、应力
Wp
≤ [τ ]
Wp
， 称为抗扭截面系数
Wp = 0.2D3
实心圆：
许用剪应力的确定：料 [τ ] = (0.5 ~ 0.6)[σ] 塑 材 ： 性 一般取 脆 材 ：τ ] = (0.8 ~1.0)[σ] 性 料 [
材料力学之四大基本变形 ppt课件
1.轴力：拉正压负。轴力图
2.横截面上的应力： N 或 = FN
A
A
3.变形公式：l Nl 或l FNl
EA
EA
4.强度条件： max [ ]
5.材料的力学性能： ~ 曲线
两个强度指标，两个塑性指标
ppt课件
3
例1-1 图示为一悬臂吊车， BC为
C
实心圆管，横截面积A1 = 100mm2， AB为矩形截面，横截面积 A2 = 200mm2，假设起吊物重为 Q = 10KN，求各杆的应力。
内径d＝15mm，承受轴向载荷F＝20kN作用， 材料的屈服应力σs＝235MPa，安全因数ns＝ 1.5。试校核杆的强度。
ppt课件
8
解：杆件横截面上的正应力为
N
A
(
4F D2
d
2
)
4(20103 N )
[(0.020m)2 (0.015m)2]
1.45108 Pa 145MPa
76.4Nm
mB
9550 NB n
9550 10 500
191Nm
mC
9550 NC n
9550 6 500
114.6 Nm
计算扭矩：
mA
x
T1
MX 0
MX 0
T1 mA 0
mc T2
AB段 BC段
T1设为正的 T2设为正的
T1 mA 76.4Nm
86.6 MPa
ppt课件
5
例1-2：图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆 杆，2段为边长a=25mm的方杆，3段为直径 d3=12mm的圆杆。已知2段杆内的应力σ 2=30MPa，E=210GPa，求整个杆的伸长△l
材料力学第五章
材料力学
Mechanics of Materials 编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版
（主编 袁海庆）
5
弯曲内力
编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版 （主编 袁海庆）
5
弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
q( x)dx dFQ ( x)
M ( x)
O1
dFQ x q x dx
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
对n-n截面形心O1取矩，有
y
A
m
n
m
O1
0 ,
x B q(x)
FQ
二、弯曲内力的正负号规定: 剪力FQ :
FQ dl
+
FQ FQ
－
FQ
以使脱离体有顺时针旋转趋势为正
二、弯曲内力的正负号规定:
弯矩M：
+
M M
－
M
M
以使梁下部纤维受拉为正 为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩 图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
M 直线 (一般为斜直线) 图 特 征
Me
C
利用以上特征
Mechanics of Materials 编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版
（主编 袁海庆）
5
弯曲内力
编制：邹思敏 审定：袁海庆
配套教材： 武汉理工大学出版社《材料力学》第三版 （主编 袁海庆）
5
弯曲内力
5.1 梁的平面弯曲 梁的计算简图 5.2 梁的内力 剪力和弯矩 5.3 剪力方程与弯矩方程 剪力图与弯矩图 5.4 内力与分布荷载间的关系及其应用 5.5 用区段叠加法作梁的弯矩图
y
A
m
n
x B q(x)
x
m n
dx
M(x)+dM(x)
q( x)dx dFQ ( x)
M ( x)
O1
dFQ x q x dx
FQ(x) dx
FQ(x)+dFQ(x) q(x)
5.4.1 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系
对n-n截面形心O1取矩，有
y
A
m
n
m
O1
0 ,
x B q(x)
FQ
二、弯曲内力的正负号规定: 剪力FQ :
FQ dl
+
FQ FQ
－
FQ
以使脱离体有顺时针旋转趋势为正
二、弯曲内力的正负号规定:
弯矩M：
+
M M
－
M
M
以使梁下部纤维受拉为正 为了与后续课程结构力学取得一致，规定弯矩 图要画在梁纤维受拉的一面，可以不标正负号。
例5.1 求简支梁C,B截面的内力。
M 直线 (一般为斜直线) 图 特 征
Me
C
利用以上特征
《材料力学》课件3-5等直圆杆扭转时的变形.刚度条
3
在不同扭矩作用下，杆的变形表现出非线性特征， 这表明我们需要考虑非线性效应对杆刚度的影响。
研究不足与展望
01
虽然我们得到了杆在扭矩作用下的变形公式，但该公式是在一定假设条件下得 到的，可能存在一定的误差。未来可以通过更精确的实验和数值模拟方法来验 证和修正该公式。
02
目前的研究主要集中在等直圆杆的扭转问题上，对于其他形状的杆或复杂结构 的研究尚不够充分。未来可以进一步拓展研究范围，探究不同形状和结构的杆 在扭矩作用下的变形和刚度问题。
刚度条件的数学表达
刚度条件的数学表
达式
根据材料力学和弹性力学的基本 理论，等直圆杆扭转时的刚度条 件可以用数学表达式表示。
刚度常数
在数学表达式中，涉及到一些与 杆件材料、截面尺寸等有关的常 数，这些常数称为刚度常数。
刚度常数的意义
刚度常数是衡量杆件刚度的具体 数值，可以通过试验和计算获得， 是杆件设计和选用的重要依据。
ERA
刚度条件的定义与意义
刚度条件定义
在等直圆杆扭转时，杆件抵抗扭转变 形的能力称为刚度条件。
刚度条件的物理意义
刚度条件的意义
在工程实际中，刚度条件是设计、制 造和选用杆件的重要依据，满足刚度 条件的杆件才能保证结构的稳定性和 安全性。
它反映了杆件在承受扭矩作用时，抵 抗扭转变形的能力，是衡量杆件扭转 变形能力的重要参数。
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
3-5等直圆杆扭转时的变形
与刚度条件
• 等直圆杆扭转时的基本概念 • 等直圆杆扭转时的变形分析 • 等直圆杆扭转时的刚度条件 • 等直圆杆扭转时的工程应用 • 结论与展望
目录
CONTENTS
材料力学：第5章：扭转
d
dx d
在外表面上
d dx
d r dx
2. 物理关系 根据剪切胡克定律, 当剪应力不超过材料 的剪切比例极限时
G
剪应力方向垂直于半径
d G dx
3.静力学关系
dA
dA T
A
o
dA
d G dx dA T A d 2 G dA T dx A
2
I p dA 极惯性矩
d T 则 dx G I p
A
令 I p dA
2 A
d G T T G G Ip Ip dx
d T dx G I p
W = m 2 n
(1) = (2) 得 N×1000× 60 = m 2 n
(2)
N m 9549 n
N ─ kW n ─ rpm m ─ N m N ─ PS n ─ rpm m ─ N m
N m 7024 n
§5-2 扭矩和扭矩图
Ip
极惯性矩：
32 4 4 4 (D d ) D 4 (1 ) 空心圆： I p 32 32 抗扭截面模量： 3 d 实心圆： Wt 16 3 D 4 (1 ) 空心圆： Wt 16
实心圆： I p
d
4
二、圆轴扭转时的变形
d T d x GI p T d dx GI p
d
T dx GI p l
Tl 若T const，则 GIp
Nl l EA
圆轴扭转时的强度条件和刚度条件
强度条件：
刚度条件：