2011届高考数学(一轮)复习精品学案课件：第7章 立体几何—空间向量
|λ||a|
. 返回目录
（3）运算律 ） ①分配律：λ(a+b)= 分配律： ②结合律：λ(µa)=(λµ)a. 结合律： 3.共线向量 （1）共线向量的定义 ） 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在 与平面向量一样， 互相平行或重合 的直线 ，则这些向量叫做共线 向量或平行向量. 向量或平行向量 （2）共线向量定理 ） 对于空间任意两个向量a,b(b≠0)，a∥b的充要条件是 ， ∥ 的充要条件是 对于空间任意两个向量 a=λb . 存在实数λ,使 存在实数 使 （3）共线向量的推论 ） 返回目录 λa+λb .
如果l为经过已知点 且平行于已知非零向量 的直线， 如果 为经过已知点A且平行于已知非零向量 的直线， 为经过已知点 且平行于已知非零向量a的直线 那么对于空间任意一点O， 在直线l上的充要条件 那么对于空间任意一点 ，点P在直线 上的充要条件 在直线 是存在实数t,满足等式 满足等式OP=OA+ta ①, 是存在实数 满足等式 其中a叫做直线 的 其中 叫做直线l的 叫做直线 方向向量 .
a (5)a∥b a=λb , ⇔1=λb1 , a2=λb2 ∥ , a3=λb3 ; ⇔ (6)a⊥b a·b=0 , ⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0 ; ⊥ ⇔ 2 2 2 a·a (7)|a|= ; = a +a +a
1 2 3
返回目录
(8)cos<a,b>=
a·b | a |·| b | =
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【评析】用已知向量来表示未知向量,一定要结合 评析】用已知向量来表示未知向量 一定要结合 图形,以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法、 图形 以图形为指导是解题的关键.要正确理解向量加法、 以图形为指导是解题的关键 要正确理解向量加法 减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和 减法与数乘运算的几何意义 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量， 等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量， 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.在立体 我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则 在立体 几何中要灵活应用三角形法则， 几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边 形法则在空间仍然成立. 形法则在空间仍然成立
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＊对应演练＊ 对应演练＊
已知空间四边形OABC中，M，N分别是对边 ，BC 中 分别是对边OA， 已知空间四边形 ， 分别是对边 的中点， 的中点，点G在MN上，且MG=2GN，设 在 上 ， OA=a,OB=b,OC=c,试用基底 ，b，c}表示向量 试用基底{a， ， 表示向量 表示向量OG. 试用基底
如图所示，若在 上取 上取AB=a， 如图所示，若在l上取 ， 则①式可化为OP= OA+tAB . 式可化为 4.共面向量 （1）共面向量的定义： ）共面向量的定义： 通常把 平行于同一个平面 （2）共面向量定理： ）共面向量定理： 返回目录 的向量，叫做共面向量 的向量，叫做共面向量.
如果两个向量a,b不共线，则向量 与向量 与向量a,b共面的充 如果两个向量 不共线，则向量p与向量 共面的充 不共线 要条件是存在唯一的实数对(x,y)，使p=xa+yb. 要条件是存在唯一的实数对 ， （3）共面向量定理的推论： ）共面向量定理的推论： 如图，空间一点 位于平面 位于平面MAB内的充要条件 如图，空间一点P位于平面 内的充要条件 是存在有序实数对(x,y)，使MP= xMA+yMB . 是存在有序实数对 ， 或对空间一点O来说 来说， 或对空间一点 来说，有OP=OM+xMA+yMB. 5.两向量的夹角 非零 向量a,b,在空间任取一点 ，作 在空间任取一点O， 已知两个 向量 在空间任取一点 叫做向量a与b的夹角， 叫做向量 与 的夹角， OA=a,OB=b，则 ∠AOB ， 的夹角 ［0,π］ 如果 ］ <a,b> 范围为 记作 ， ， π a⊥b . ⊥ <a,b>= ，则称 与b 互相垂直 ,记作 则称a与 记作
10.空间向量的坐标运算 若a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)，则 ， (1)a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (2)a-b= (3)λa= (4)a·b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3) （λa1,λa2,λa3） a1b1+a2b2+a3b3 ;
; ;
(λ∈R); ∈
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考点二 共线、共面问题 共线、 如图,已知 分别是空间四边形ABCD的边 如图 已知E,F,G,H分别是空间四边形 已知 分别是空间四边形 的边 AB,BC,CD,DA的中点 的中点. 的中点 四点共面； （1）求证：E,F,G,H四点共面； ）求证： 四点共面 （2）求证：BD∥平面 ）求证： ∥平面EFGH； ；
在单位正交基底e 我们把x,y,z称作 向量 在单位正交基底 1,e2,e3下的坐标 ,记 称作 向量p在单位正交基底 我们把 记 p=(x,y,z) . 作
此时向量p的坐标恰是点 在空间直角坐标系 此时向量 的坐标恰是点P在空间直角坐标系 的坐标恰是点 在空间直角坐标系O—xyz中 中 的坐标(x,y,z). 的坐标 返回目录
2 由线段中点的向量表示式， 由线段中点的向量表示式，得OG=OM+MG=OM+ 3 MN 1 2 = OA+ （MO+OC+CN） ） 2 3 1 2 1 1 = a+ [ - a+c+ (b-c)] 2 3 2 2 1 1 2 1 1 = a- a+ c+ b- c 2 3 3 3 3 1 1 1 = a+ b+ c. 6 3 3
1 （3）OM= （OA+OB+OC+OD）. ） ） 4
【分析】（1）要证 分析】 四点共面， ）要证E,F,G,H四点共面，可寻求 ， 四点共面 可寻求x， y使EG=xEF+yEH.(2)由向量共线得到线线平行，进而 使 由向量共线得到线线平行， 由向量共线得到线线平行 得到线面平行. 得到线面平行 返回目录
的向量称为单位向量. 的向量称为单位向量
③相反向量： 与向量 长度相等而方向相反的向量 ， 相反向量： 与向量a长度相等而方向相反的向量 称为a的相反向量，记为 称为 的相反向量，记为-a. 的相反向量 返回目录
方向相同且模相等 的向量称为相 ④相等向量： 相等向量： 等向量.因此 在空间， 因此， 等向量 因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一 向量或相等向量. 向量或相等向量 2.空间向量的数乘运算 与空间向量a的乘积 （1）定义：实数 与空间向量 的乘积 ）定义：实数λ与空间向量 一个向量，称为向量的数乘运算. 一个向量，称为向量的数乘运算 （2）向量 与λa的关系 ）向量a与 的关系 ①当λ>0时，λa与a方向 时 与 方向 ②当λ=0时，λa= 时 ③当λ<0时，λa与a方向 时 与 方向 的长度是a的长度的 ④λa的长度是 的长度的 的长度是 0 相同 . . 相反 . |λ| 倍，即|λa|= λa 仍是
1 ∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+ BC 2 1 1 =-a+b+ AD=-a+b+ c. 2 2
返回目录
的中点， （3）∵M是AA1的中点， ） 是
1 ∴MP=MA+AP= A1A+AP 2 1 1 1 1 =- a+a+c+ b= a+ b+c， ， 2 2 2 2 1 又NC1=NC+CC1= BC+AA1 2 1 1 = AD+AA1= c+a， ， 2 2 1 1 1 ∴MP+NC1= a+ b+c+a+ c 2 2 2 3 1 3 = a+ b+ c. 2 2 2
2
返回目录
6.数量积的定义 已知两个非零向量a,b， 叫做a,b 已知两个非零向量 ，则 |a|·|b|·cos<a,b> 叫做 |a|·|b|cos<a,b> . 的数量积，记作a·b， 的数量积，记作 ，即a·b= 零向量与任何向量的数量积为0. 零向量与任何向量的数量积为 a2 特别地， 特别地，a·a= 7.数量积的运算律 空间向量的数量积满足如下的运算律： 空间向量的数量积满足如下的运算律： （1）(λa)·b=λ(a·b); ） （2）a·b=b·a（交换律）； ） （交换律）； （3）a·(b+c)=a·b+a·c（分配律）. ） （分配律） 返回目录 |a|2
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9.空间向量的正交分解及其坐标表示 为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量 设e1,e2,e3为有公共起点 的三个两两垂直的单位向量 我们称它们为单位正交基底）， ），以 （我们称它们为单位正交基底），以e1，e2,e3的公共起 为原点， 的方向为x轴 点O为原点，分别以 1,e2,e3 的方向为 轴、y轴、z轴的 为原点 分别以e 轴 轴的 正方向建立空间直角坐标系O—xyz.那么，对于空间任 正方向建立空间直角坐标系 那么， 那么 意一个向量p,一定可以把它平移 使它的起点与原点O 一定可以把它平移， 意一个向量 一定可以把它平移，使它的起点与原点 重合，得到向量OP=p.由空间向量基本定理可知，存在 由空间向量基本定理可知， 重合，得到向量 由空间向量基本定理可知 有序实数组{x,y,z}，使得 有序实数组 ，使得p=xe1+ye2+ze3.
=
.
8.空间向量基本定理 定理如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一 不共面， 定理如果三个向量 不共面 向量p,存在有序实数组 存在有序实数组{x,y,z}，使得 p=xa+yb+zc . 向量 存在有序实数组 ， 由此可知，如果三个向量 不共面， 由此可知，如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间 不共面 ∈ 向量组成的集合就是 {p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R} . 这个集合可看作是由向量a,b,c生成的，我们把 生成的， 这个集合可看作是由向量 生成的 叫做空间的一个基底， 叫做空间的一个基底， a,b,c 都叫做基向量， 都叫做基向量，空间任何三个不共面的向量都可构成 空间的一个基底. 空间的一个基底 {a,b,c}
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高考数学一轮复习第7章立体几何第6讲空间向量及运算课件理
所以x＋y＋z＝－23－16＋16＝－23.
答案
题型二 共线向量与共面向量定理的应用 1．(2018·郑州调研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若 a，b，c三向量共面，则λ等于________． 答案 －9
答案
解析 由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一 直是空间立体几何的基础，一般不单独命 题．预测2020年会与多面体相结合进行考 查，题型为解答题，解题时利用空间向量法 解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.
基础知识过关
1．空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式
□ ①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
(1)求AC1的长； (2)求证：AC1⊥BD.
解 (1)记A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝12. |A→C1|2＝(a＋b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×12＋12＋21＝6， ∴|A→C1|＝ 6，即AC1的长为 6.
A→E＝12(a＋b)，A→F＝12c， ∴A→E·A→F＝12(a＋b)·12c ＝14(a·c＋b·c) ＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.故选C.
解析
角度2 空间向量数量积的应用 2．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶 点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D ＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向 量：
答案
题型二 共线向量与共面向量定理的应用 1．(2018·郑州调研)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若 a，b，c三向量共面，则λ等于________． 答案 －9
答案
解析 由题意知c＝xa＋yb，即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，
[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一 直是空间立体几何的基础，一般不单独命 题．预测2020年会与多面体相结合进行考 查，题型为解答题，解题时利用空间向量法 解决问题，试题难度不会太大，属中档题型.
基础知识过关
1．空间两点间的距离公式、中点公式
(1)距离公式
□ ①设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
(1)求AC1的长； (2)求证：AC1⊥BD.
解 (1)记A→B＝a，A→D＝b，A→A1＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， ∴a·b＝b·c＝c·a＝12. |A→C1|2＝(a＋b＋c)2 ＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a) ＝1＋1＋1＋2×12＋12＋21＝6， ∴|A→C1|＝ 6，即AC1的长为 6.
A→E＝12(a＋b)，A→F＝12c， ∴A→E·A→F＝12(a＋b)·12c ＝14(a·c＋b·c) ＝14(a2cos60°＋a2cos60°)＝14a2.故选C.
解析
角度2 空间向量数量积的应用 2．如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶 点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设A→A1＝a，A→B＝b，A→D ＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向 量：
高考数学一轮总复习教学课件第七章 立体几何与空间向量第7节 利用空间向量求空间距离
|·|
||
=.
考点三 用空间向量求线线、线面、面面的距离
[例3] 在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DD1的中
点,则平面ADE与平面B1C1F之间的距离为
.
解析:以点A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、
y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,连接AB1,
||
=
|-|
+
=3 .
用向量法求点面距离的步骤
(1)建系:建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标:写出(求出)相关点的坐标.
→
(3)求向量:求出相关向量的坐标( ,α内两个不共线向量,平面
α的法向量n).
→
|·|
(4)求距离:d=
.
||
[针对训练] 如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,
如图,已知平面α的法向量为 n,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一
点.过点 P 作平面α的垂线 l,交平面α于点 Q,则 n 是直线 l 的方向向
→
→
量,且点 P 到平面α的距离就是在直线 l 上的投影向量 的长度,
→
因此 PQ=|·
→
·
||
|=|
||
→
|=
|·|
||
× )
)
2.平面α的法向量n=(1,-1,2),点B在α上且B(2,2,3),则P(-2,1,3)
到α的距离为
.
→
→
解析:因为 =(4,1,0),故 P(-2,1,3)到α的距离 d=
|(,,)·(,-,)|
2011年高三数学一轮复习精品导学案：第七章-立体几何(7.3空间向量)
r 如图，设 AB 为平面α的一条斜线段， n 为平面α的法向量，则 B 到平面α的距离
【热点难点精析】
一、空间直角坐标系 （一）求空间中点的坐标 ※相关链接※
1、通过分析几何体的特点，恰当的建立坐标系，可以方便的写出点的坐标，“恰当”的 原则是：①充分利用几何体的垂直关系；②尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上。
（3）求二面角的大小
①如图①，AB，CD 是二面角α- l -β的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ uuur uuur =< AB ， CD >
②如图②， ， 分别是二面角α- l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的
大小θ满足 cosθ=cos< , >或-cos< , > 3、点面距的求法
注：利用空间中两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长，只要建立恰当
的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决。
二、空间向量及其运算
（一）空间向量的线性运算
※相关链接※
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形。可从以下角度入手。
（1）要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；
（2）把要表示感谢向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这
解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 2、热点提示 （1）考查向量法判定线面位置关系； （2）利用向量法求空间角与距离； （3）在解答题中综合考查空间想象能力，计算能力及数形结合思想。
【考纲知识梳理】
一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系及有关概念 （1）空间直角坐标系：以空间一点 O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y 轴， z 轴。这时建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标原点。X 轴，y 轴，z 轴统称坐 标轴。由坐标轴确定的平面叫做坐标平面； （2）右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向 x 轴正方向，食指指向 y 轴方向时， 中指一定指向 z 轴的正方向； （3）空间一点 M 的坐标为有序实数组（x,y,z）,记作 M（x,y,z），其中 x 叫做 M 的横 坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标。 2、空间两点间的距离公式
【热点难点精析】
一、空间直角坐标系 （一）求空间中点的坐标 ※相关链接※
1、通过分析几何体的特点，恰当的建立坐标系，可以方便的写出点的坐标，“恰当”的 原则是：①充分利用几何体的垂直关系；②尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上。
（3）求二面角的大小
①如图①，AB，CD 是二面角α- l -β的两个面内与棱 l 垂直的直线，则二面角的大小θ uuur uuur =< AB ， CD >
②如图②， ， 分别是二面角α- l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的
大小θ满足 cosθ=cos< , >或-cos< , > 3、点面距的求法
注：利用空间中两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长，只要建立恰当
的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决。
二、空间向量及其运算
（一）空间向量的线性运算
※相关链接※
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形。可从以下角度入手。
（1）要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；
（2）把要表示感谢向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这
解向量方法在研究立体几何问题中的应用。 2、热点提示 （1）考查向量法判定线面位置关系； （2）利用向量法求空间角与距离； （3）在解答题中综合考查空间想象能力，计算能力及数形结合思想。
【考纲知识梳理】
一、空间直角坐标系 1、空间直角坐标系及有关概念 （1）空间直角坐标系：以空间一点 O 为原点，建立三条两两垂直的数轴：x 轴，y 轴， z 轴。这时建立了空间直角坐标系 Oxyz，其中点 O 叫做坐标原点。X 轴，y 轴，z 轴统称坐 标轴。由坐标轴确定的平面叫做坐标平面； （2）右手直角坐标系的含义是：当右手拇指指向 x 轴正方向，食指指向 y 轴方向时， 中指一定指向 z 轴的正方向； （3）空间一点 M 的坐标为有序实数组（x,y,z）,记作 M（x,y,z），其中 x 叫做 M 的横 坐标，y 叫做点 M 的纵坐标，z 叫做点 M 的竖坐标。 2、空间两点间的距离公式
高考数学一轮复习第7章立体几何第5节空间向量的运算及应用课件
5．空间位置关系的向量表示
位置关系
直线l1，l2的方向向量分别为 n1，n2 直线l的方向向量为n，平面α的
l1∥l2 l1⊥l2 l∥α
法向量为m
l⊥α
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β α⊥β
向量表示 n1∥n2⇔n1＝λn2
n1⊥n2⇔_n_1_·_n_2＝__0__ n⊥m⇔_n_·_m_＝__0__
3．两个向量的数量积 (1)非零向量 a，b 的数量积 a·b＝_|_a_||_b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉_． (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa)·b＝_λ(_a_·_b_) __； ②交换律：a·b＝_b_·_a_； ③分配律：a·(b＋c)＝__a_·b_＋__a_·_c_.
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
_a_1_b_1＋__a_2_b_2_＋__a_3b_3_
共线
a＝λb (b≠0，λ∈R)
__a_1_＝__λ_b_1，__a_2_＝__λ_b_2_，__a_3＝__λ_b_3_____
1 8
[∵P，A，B，C四点共面，∴34＋18＋t＝1，∴t＝18.]
1234
4．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则 EF的长为________．
2 [|E→F|2＝E→F2＝(E→C＋C→D＋D→F)2 ＝E→C2＋C→D2＋D→F2＋2(E→C·C→D＋E→C·D→F＋C→D·D→F) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，所以|E→F|＝ 2，所以EF的长为 2.]
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第7章 立体几何 7.6 立体几何中的向量方法
.
||
||
4.空间夹角的向量表示
(1)异面直线所成的角
若异面直线 l1,l2 所成的角为 θ,其方向向量分别是 u,v,
|·|
则 cos θ=|cos<u,v>|=
.
||||
(2)直线与平面所成的角
直线 AB 与平面 α 相交于点 B,设直线 AB 与平面 α 所成的角为 θ,直线 AB
(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( × )
(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( × )
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦
值为( C )
2
A.
2
15
B.
5
6
C.
4
6
D.
3
建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=2,则 C1(√3,1,0),A(0,0,2),
l1∥l2
向量表示
μ1∥μ2⇔∃λ∈R,使得 μ1=λμ2
l1⊥l2
μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0
μ 是直线 l 的方向向量,n 是平面 α l∥α
的法向量
l⊥α
n1,n2 分别是平面 α,β 的法向量
μ⊥n⇔μ·n=0
μ∥n⇔∃λ∈R,使得 μ=λn
α∥β
n1∥n2⇔∃λ∈R,使得 n1=λn2
α⊥β
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
利用空间向量证明平行、垂直
例1 如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,
BC=√2AB,B1C1
1
BC ,二面角A1-AB-C是直二面角.
||
||
4.空间夹角的向量表示
(1)异面直线所成的角
若异面直线 l1,l2 所成的角为 θ,其方向向量分别是 u,v,
|·|
则 cos θ=|cos<u,v>|=
.
||||
(2)直线与平面所成的角
直线 AB 与平面 α 相交于点 B,设直线 AB 与平面 α 所成的角为 θ,直线 AB
(4)若空间向量a平行于平面α,则a所在直线与平面α平行.( × )
(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.( × )
2.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦
值为( C )
2
A.
2
15
B.
5
6
C.
4
6
D.
3
建立如图所示的空间直角坐标系,设 AB=2,则 C1(√3,1,0),A(0,0,2),
l1∥l2
向量表示
μ1∥μ2⇔∃λ∈R,使得 μ1=λμ2
l1⊥l2
μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0
μ 是直线 l 的方向向量,n 是平面 α l∥α
的法向量
l⊥α
n1,n2 分别是平面 α,β 的法向量
μ⊥n⇔μ·n=0
μ∥n⇔∃λ∈R,使得 μ=λn
α∥β
n1∥n2⇔∃λ∈R,使得 n1=λn2
α⊥β
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
利用空间向量证明平行、垂直
例1 如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,
BC=√2AB,B1C1
1
BC ,二面角A1-AB-C是直二面角.
高三数学一轮总复习 第七章 立体几何 7.6 空间向量及其运算课件.ppt
5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断
向量的共线与垂直。
3
课前学案 基础诊断
夯基固本 基础自测
4
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间中，具有□1 __大__小__和□2 _方__向___的量叫做空间向量。 (2)相等向量：方向□3 _相__同___且模□4 _相__等___的向量。 (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在直线互相 □5 平__行____或重合的向
8
②两向量的数量积：已知空间两个非零向量a，b，则□16 _|a_|_·|_b_|c_o_s_〈__a_，__b_〉____叫 做向量a，b的数量积，记作□17 ___a_·b________，即a·b＝□18 ___|_a_||b_|_c_o_s〈__a_，__b_〉_____。
(2)空间向量数量积的运算律。
第七章
立体几何
1
第六节 空间向量及其运算
课前学案 基础诊断
课堂学案 考点通关
高考模拟 备考套餐
2
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
2.会推导空间两点间的距离公式。
考纲 导学
3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握 空间向量的正交分解及其坐标表示。 4.掌握空间向量22_＋__a_23 ，cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
28
a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23 ________________________
。
□ →
若A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB＝|AB|＝
29
__a_1_－__a_2_2＋___b_1－__b_2_2_＋__c_1_－_c。22
2011年高考数学理第一轮复习精品课件第7单元立体几何1
│考试说明
2．点、直线、平面之间的位置关系 (1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以 作为推理依据的公理和定理． 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条 直线上所有的点在此平面内． 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平 面． 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 有且只有一条过该点的公共直线． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平 行，那么这两个角相等或互补．
│使用建议
使用建议
1．在编写本单元时考虑了如下问题： (1)重视了空间几何体的三视图和面积、体积计算：根据 近年来课标区的高考命题趋势，空间几何体的三视图结合面 积、体积计算几乎是一道必然的考题． (2)重视了平面的性质：虽然在高考中单独考查平面性质 的试题不多，但这是立体几何的根本所在． (3)强化重点：加强了空间平行、垂直关系证明部分的力 度，除了在38、39讲分专题讲解空间平行、垂直关系的证明 外，还专设第39讲重点讲解空间线面位置关系的证明．
│知识梳理
④几种特殊棱柱、棱锥、棱台 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直 棱柱叫做正棱柱(正棱柱的侧面是全等的矩形，底面是全等的 正多边形)．理解下列关系：
{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直四棱柱} {直棱柱} {棱柱}．
│知识梳理
如果一个棱锥的底面是正多边形并且顶点在底面的射影是 底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．顶点到底面的距离叫 做棱锥的高．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，这些等腰 三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜高．如图35－1，高 SO，斜高SE.
第七单元 立体几何
│知识框架 知识框架
│知识框架
高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 第7课时 空间向量及其运算课件 理 北师大版.ppt
(3)模、夹角和距离公式
设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则|a|＝ a·a ＝ x21＋y21＋z12 ，cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|
＝
x1x2＋y1y2＋z1z2 x21＋y21＋z21· x22＋y22＋z22
[基础自测] 1．已知空间四边形ABCD的对角线为AC、BD，设G是CD的 中点，则A→B＋12(B→D＋B→C)等于( ) A.A→G B.C→G C.B→C D.12B→C
审题视点 将所表示向量置于三角形或多边形中利用三角形 法则或多边形法则可求．
解 (1)∵P是C1D1的中点， ∴A→P＝A→A1＋A→1D1＋D→1P ＝a＋A→D＋12D→1C1 ＝a＋c＋12A→B ＝a＋c＋12b.
(2)∵N是BC的中点， ∴A→1N＝A→1A＋A→B＋B→N ＝－a＋b＋12B→C ＝－a＋b＋12A→D ＝－a＋b＋12c，
＝ xa＋yb＋zc
.
5．空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2 . (2)共线与垂直的坐标表示 设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)， 则a∥b⇔a＝λb⇔ x1＝λx2 ， y1＝λy2 ， z1＝λz2 ，a ⊥b⇔a·b＝0⇔ x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 (a，b均为非零向量)．
(3)∵M是AA1的中点， ∴M→P＝M→A＋A→P＝12A→1A＋A→P ＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c， 又N→C1＝N→C＋C→C1＝12B→C＋A→A1
＝12A→D＋A→A1＝12c＋a， ∴M→P＋N→C1＝12a＋12b＋c＋a＋12c ＝32a＋12b＋32c.
高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第七章 立体几何与空间向量第5节 空间向量及空间位置关系
- + = ,
即 + = -,解得λ= .
- + = ,
(3)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n=
→
→
-3
.
解析:(3)因为=(3,-1,1),=(m+1,n-2,-2),且 A,B,C 三点共
→
→
线,所以存在实数λ,使得=λ,
①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使
得a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是
存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个
空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,
c-a,B
正确;因为点
P
在线段
→
→
→
AN 上,且 AP=3PN,所以= = b+ c-a,所以= ( b+ c-a)= b+
→
→
→
c- a,C 错误;=+=a+ b+ c- a= a+ b+ c,D 正确.故选 BD.
(2)(多选题)如图,M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点,点 N 在线段 OM
→
即 + = -,解得λ= .
- + = ,
(3)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三点共线,则m+n=
→
→
-3
.
解析:(3)因为=(3,-1,1),=(m+1,n-2,-2),且 A,B,C 三点共
→
→
线,所以存在实数λ,使得=λ,
①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使
得a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是
存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个
空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc,
c-a,B
正确;因为点
P
在线段
→
→
→
AN 上,且 AP=3PN,所以= = b+ c-a,所以= ( b+ c-a)= b+
→
→
→
c- a,C 错误;=+=a+ b+ c- a= a+ b+ c,D 正确.故选 BD.
(2)(多选题)如图,M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点,点 N 在线段 OM
→
高考数学一轮总复习 第7章 立体几何 第6节 空间向量的运算及应用课件 理 新人教版
如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1
uuurቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
uuur
uuur
中，设 AA1 ＝a， AB ＝b， AD ＝c，M，
N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用
a，b，c表示以下各向量：
uuur
uuuur
uuur uuuur
(1) AP； (2) A1N ； (3) MP ＋ NC1 .
y，z，使OP ＝xOA＋yOB＋zOC 且x＋y＋z＝1
a·b＝0 a2
向量和 向量差
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) a＋b＝_(a_1_＋__b_1_，__a_2＋__b_2_，__a_3_＋__b_3)_ a－b＝_(a_1_－__b_1_，__a_2－__b_2_，__a_3_－__b_3)_
uuur uuur uuur MP ＝x MA＋y MB
uuur
uuur uuur
对空间任一点O， OP ＝ 对空间任一点O， OP ＝ OM ＋
uuur uuur
uuur uuur
OA＋t AB
x MA＋y MB
uuur
uuur uuur
对空间任一点O，OP ＝ 对空间任一点O， OP ＝x OM ＋
cos〈a，b〉＝__a_21_＋__a_22_＋__a_32 __b_21＋__b_22_＋__b_23_
1．O为空间任意一点，若
uuur OP
＝
3 4
uuur OA
＋
1 8
uuur OB
＋
1 8
uuur OC
，则
A，B，C，P四点
()
A．一定不共面
B．一定共面
C．不一定共面