河北省石家庄二中高三(上)期末数学试卷含答案
河北省石家庄二中2023-2024学年高一上学期期末数学试题
g(x) 为偶函数，且最小正周期为 π ，则下列说法正确的是（ ） 2
A．
y
f
(x)
的图象关于Biblioteka π 12,0
对称
B．
f
(x)
在
0,
5π 12
上单调递减
C．
g
(x)
1 2
的解集为
π 6
kπ 2
,
π 3
kπ 2
,
k
Z
D．方程
f
(x)
g
x 2
在
0,
5π 4
上有且只有两个相异实根
三、填空题 13．函数 y ax2 3 （ a 0 ，且 a 1）的图象过定点 A，则点 A 的坐标是．
,
5π 6
上单调，且满足
f
7π 12
f
3π 4
,
f
2π 3
；函数
f
x
在区间
2π 3
, 13π 6
上恰有
5
个零点，则
的取
值范围为．
四、解答题 17．已知关于 x 的不等式 x2 ax b 0 .
（1）该不等式的解集为 (1, 2) ，求 a b ；
（2）若 b a 1，求此不等式的解集.
A． , 2
B． , 2
C． , 4
D．, 4
6．设 a sin7 ，则（ ）
A． a2 2a log2 a
B． log2 a 2a a2
C． a2 log2 a 2a
D． log2 a a2 2a
7．定义：如果函数 y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在 x0（a＜x0＜b），满足
河北省石家庄二中 2023-2024 学年高一上学期期末数学试题
2020-2021学年河北省石家庄二中高三(上)期末数学试卷
2020-2021学年河北省石家庄二中高三（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U R =，集合{|(4)0}A x x x =-<，2{|log (1)2}B x x =-<，则()(U A B =⋂ )A ．{|14}x x <<B ．{|01}x x <C ．{|04}x x <<D ．∅2．（5分）对于任意复数1z ，2z ，任意向量a ，b ，给出下列命题，其中真命题的个数是()①1212||||||z z z z ++；②||||||a b a b ++；③若2212z z =，则12z z =±；④若22a b =，则a b =±．A ．1B ．2C ．3D ．43．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为( ) A ．5B ．5C ．2D ．24．（5分）函数2()sin f x x x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y =-++++-的最小值为( )A ．2BC ．2D ．2+6．（5分）若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 大小关系正确的是()A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<7．（5分）据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19．现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为( ) A ．67B ．335C ．1135D ．0.198．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，M 是BC 的中点，AM c b =-，4a =，则ABC ∆的面积的最大值为( )A B ．C ．D ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．（5分）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和n S ，780a a +<，则下列结论一定正确的是()A ．若10a >，则公差0d <B ．若10a <，则7S 最小C ．150S <D ．140S <10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的有( ) A ．直线1A BB ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC11．（5分）函数()(1)x f x x e lnx =---在(0,)+∞上有唯一零点0x ，则下列四个结论正确的是( ) A ．1=B ．1>C ．001x x e =D ．0112x e <<12．（5分）椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是( )A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为8B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF =C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3 三、填空题（每小题5分，共20分） 13．（5分）已知向量(1,1)a =，b 与a 的夹角为34π，且||1a b +=，则b = ． 14．（5分）在41(1)x x--的展开式中，常数项为 ． 15．（5分）请你举出与曲线()sin 2f x x =在原点(0,0)处具有相同切线的一个函数： ． 16．（5分）棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为 ，内切球球面上有一动M ，则13MB MC +的最小值为 ．四、解答题（每小题12分，共72分）17．（12分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=；②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-，]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期．18．（12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足422(*)n n n S a n N -=∈． （1）设1n n n b a a +=+，证明：{}n b 是等比数列． （2）求n S ．19．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折，使点A 至点1A 位置，若M 为线段1A C 的中点． （1）证明：//MB 平面1A DE ，并求MB 的长．（2）在翻折过程中，当三棱锥1A DEM -的体积取最大值时，求平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值．20．（12分）某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系： 鱼的重量（单位：百斤） 2040X <<4060X60X >冲水机只需运行台数1 23若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)(n y x ⋯，)n y ，其回归方程ˆˆˆyb a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynxyxx y y bxnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．21．（12分）已知点(1,0)A -，(1,1)B -，抛物线2:4C y x =，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，O 为坐标原点．（1）求OM OP ⋅；（2）证明：直线PQ 恒过定点．22．（12分）已知函数2()1xe f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数．（1）若1b =，且当0x 时，()1f x 总成立，求实数a 的取值范围； （2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1231()()2f x f x e a+<+<．2020-2021学年河北省石家庄二中高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共40分）1．（5分）已知全集U R =，集合{|(4)0}A x x x =-<，2{|log (1)2}B x x =-<，则()(U A B =⋂ )A ．{|14}x x <<B ．{|01}x x <C ．{|04}x x <<D ．∅【解答】解：{|04}A x x =<<，{|014}{|15}B x x x x =<-<=<<，U R =，{|1U B x x ∴=或5}x ，(){|01}U AB x x =<．故选：B ．2．（5分）对于任意复数1z ，2z ，任意向量a ，b ，给出下列命题，其中真命题的个数是()①1212||||||z z z z ++；②||||||a b a b ++；③若2212z z =，则12z z =±；④若22a b =，则a b =±．A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：由复数与平面向量满足三角形法则，①1212||||||z z z z ++；②||||||a b a b ++；知①②正确，由复数的运算知，若2212z z =，可得22120z z -=，即1212()()0z z z z +-=，则12z z =±，成立，故③正确，若(1,1)a =，(1,1)b =-，满足22a b =，但不满足22a b =，故④错误． 故选：C ．3．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点到渐近线的距离等于实轴长，则此双曲线的离心率为( )AB ．5CD ．2【解答】解：焦点到渐近线的距离等于实轴长， 2b a ∴=，2222215c b e a a∴==+=、5e ∴=故选：A ．4．（5分）函数2()sin f x x x x =+的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：函数2()sin f x x x x =+是偶函数，关于y 轴对称，故排除B ， 令()sin g x x x =+，()1cos 0g x x ∴'=+恒成立， ()g x ∴在R 上单调递增， (0)0g =，()()0f x xg x ∴=，故排除D ，当0x >时，()()f x xg x =单调递增，故当0x <时，()()f x xg x =单调递减，故排除C ． 故选：A ．5．（5分）“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120︒时，“费马点”与三个顶点的连线正好三等分“费马点”所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120︒，根据以上性质，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y =-++++-的最小值为( )A ．2B 3C ．23D ．23+【解答】解：根据题意画出图象并建立如图所示的直角坐标系， 设三角形三个顶点分别为A ，B ，C ，函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y -++++-(,)x y到点(1,0)C ，点(1,0)B -，点(0,2)A 的距离之和，可知ABC ∆为等腰三角形， 则这个等腰三角形的“费马点”在高线AO 上，设点G 为“费马点”，连接GB ，GC ，则60OGB OGC ∠=∠=︒， 3GO =，23GB GC ==，32GA =-， ∴距离之和为32323223GA GB GC ++=-++=+． 即函数222222()(1)(1)(2)f x x y x y x y =-++++++-的最小值为23+． 故选：D ．6．（5分）若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 大小关系正确的是()A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<【解答】解：01a b <<<；01b a a a a b b ∴<<<=，log log 1b b a b >=；x y z ∴<<．故选：A ．7．（5分）据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19．现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为( ) A ．67B ．335C ．1135D ．0.19【解答】解：由连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055，连续熬夜72小时诱发心脏病的概率为0.19，则连续熬夜48小时没有诱发心脏病的概率为0.945，连续熬夜72小时没有诱发心脏病的概率为0.81，则这人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为0.8160.9457P ==， 故选：A ．8．（5分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，M 是BC 的中点，AM c b =-，4a =，则ABC ∆的面积的最大值为( )A B ．C ．D ．【解答】解：在ABM ∆中，由余弦定理得，222224()cos 24AB BM AM c c b B AB BM c +-+--==⋅， 在ABC ∆中，由余弦定理得，2222216cos 28AB BC AC c b B AB BC c +-+-==⋅，则22224()1648c c b c b c c+--+-=，即2248b c bc +=-， 因为(0,)BAC π∠∈，2216212cos (1,1)2b c bc BAC bc bc+--∠==∈-，所以(4,12)bc ∈，又sin BAC ∠=所以11sin 22ABC S bc BAC bc ∆=∠=故当8bc =时，ABC S ∆的面积的最大值为． 故选：B ．二、多选题（每小题5分，共20分）9．（5分）已知{}n a 为等差数列，其前n 项和n S ，780a a +<，则下列结论一定正确的是()A ．若10a >，则公差0d <B ．若10a <，则7S 最小C ．150S <D ．140S <【解答】解：A 、当10a >时，因为7812130a a a d +=+<，所以0d <，故A 正确． B 、当10a <，0d <时，满足780a a +<，n S 无最小值，故B 错误．C 、当10a >，0d <，且满足780a a +<时，80a <，此时15815S a =，当10a <，0d >，且满足780a a +<时，8a 的符号无法确定，故C 错误．D 、14787()0S a a =+<，故D 正确．故选：AD ．10．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列直线或平面与平面1ACD 平行的有( ) A ．直线1A BB ．直线1BBC ．平面11A DCD ．平面11A BC【解答】解：对于A ，由于11//A B D C ，且1A B ⊂/平面1ACD ，可得直线1//A B 平面1ACD ； 对于B ，由于11//B B D D ，且1D D ⋂平面11ACD D =，可得直线1B B 不平行平面1ACD ； 对于C ，由于11A DAD ，1A D ⊂平面11A DC ，可得平面11A DC 不与平面1ACD 平行；对于D ，由于11//A B D C ，11//C B D A ，1A B ，1C B ⊂平面11A BC ，可得平面11//A BC 平面1ACD ． 故选：AD ．11．（5分）函数()(1)x f x x e lnx =---在(0,)+∞上有唯一零点0x ，则下列四个结论正确的是( ) A ．1=B ．1>C ．001x x e =D ．0112x e <<【解答】解：函数()f x 的零点即为方程(1)0x x e lnx ---=，即(1)x x e lnx =--的根， 等价于函数()(1)x g x x e lnx =--的图象与直线y =有唯一公共点，11()1(1)()x x x g x e xe x e x x'=-+-=+-，(0)x >， 因为1()x t x e x=-在(0,)+∞上单调递增，且当0x +→时，()t x →-∞，当x →+∞时，()t x →+∞，所以存在0x ，使得0010x e x -=，且当00x x <<时，0010x e x -<，()0g x '<，()g x 单调递减， 当0x x >时，0010x e x ->，()0g x '>，()g x 单调递增， 所以00000000011()()(1)(1)11x x g x g x x e lnx x ln x lne x x =--=-+=-+=，所以1=，A 正确，B 错误；又0010x e x -=，所以001xx e =，C 正确； 令()1(0)x h x xe x =->，则()(1)x h x x e '=+，当112x e <<时，()0h x '>，1211()1022h e =-<，故D 错误；故选：AC ．12．（5分）椭圆22:14x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是( )A ．过点2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，则1ABF ∆的周长为8B ．椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF = C ．椭圆C 的离心率为12D ．P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点P ，Q 的最大距离为3 【解答】解：对于选项A ：由椭圆定义可得：1212||||||||24AF AF BF BF a +=+==，因此1ABF ∆的周长为121122||||||||||||||48AF BF AB AF BF AF BF a ++=+++==，所以选项A 正确；对于选项B ：设(,)P m n ，则2214m n +=，且22m -，又1(F，2F ，所以1(3,)PF m n =--，2(3,)PF m n =-，因此2222123()132044m m PF PF m m n m =-+=+--=-=，解得[2m -，2]，故选项B正确； 对于选项C ：因为24a =，21b =，所以2223c a b =-=，即c 所以离心率c e a ==所以选项C 错误；对于选项D ：设1(p x，1)y ，则点P 到圆221x y +=的圆心的距离为||PO =因为111y -，所以||||113max max PQ PO =+==， 所以选项D 正确， 故选：ABD ．三、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）已知向量(1,1)a =，b 与a 的夹角为34π，且||1a b +=，则b = (1,0)-或(0,1)- ． 【解答】解：因为向量(1,1)a =，所以||2a =，由||1a b +=， 平方得2221a a b b +⋅+=，即2322||cos ||14b b π++=，解得||1b =， 设(,)b x y =，由夹角公式得，3cos4π，所以1x y +=-，与221x y +=联立， 解得01x y =⎧⎨=-⎩或10x y =-⎧⎨=⎩，所以(0,1)b =-或(1,0)b =-．故答案为：(0,1)-或(1,0)-． 14．（5分）在41(1)x x--的展开式中，常数项为 5- ． 【解答】解：41(1)x x--的展开式中的通项公式：4141(1)()(0r r r r T x r x-+=--=，1，2，3，4)． 1()r x x -的通项公式：211()(1)r r rrT x x x--+=-=-，令20r -=，即2r =．0r =，0=；2r =，1=；4r =，2=． ∴常数项122244115=-⨯+⨯=-．故答案为：5-．15．（5分）请你举出与曲线()sin 2f x x =在原点(0,0)处具有相同切线的一个函数： 2y x = ． 【解答】解：因为()sin 2f x x =，所以()2cos2f x x '=，则(0)2f '=，因此与曲线()f x 在原点处具有相同切线的函数的图象必过原点 且在原点的导函数等于2，如直线2y x =过原点，又2y '=，满足题意． 故答案为：2y x =．16．（5分）棱长为36的正四面体ABCD 的外接球与内切球的半径之和为 球球面上有一动M ，则13MB MC +的最小值为 ．【解答】解：将正四面体ABCD放入如图的正方体，则正四面体ABCD=设正四面体ABCD 的内切球半径为r ，根据等体积法有3321114436323r -⨯⨯⨯=⨯，解得r =所以外接球与内切球的半径之和为=由阿波罗尼斯球得内切球球心O 是线段CH 上以C ，E 为定点，空间中满足(1)PCPEλλ=≠的点P 的集合，连结CO 并延长交平面ABD 于点H ，交内切球上方的点设为K ， 过M 作ME CH ⊥，交CH 于点E ，连结BM ，CM ，设OE x =，由（1）空可知，KC HCCO OH KE HE===，=，解得x =，3KC KE λ===， 所以3MCME=， 所以13MC ME =，所以13MB MC MB ME BE +=+，在BOE ∆中，BO CO OE ===1cos cos 3BOE BOH ∠=-∠=-，所以BE ==，所以13MB MC +的最小值为．故答案为：．四、解答题（每小题12分，共72分）17．（12分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=；②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-，]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期．【解答】解：（Ⅰ）由函数212()2cos sin f x x x ωω=+， 则2(0)2cos 0sin 02f =+=；（Ⅱ）选择条件①，则()f x 的一个周期为π；由2()2cos sin 2f x x x =+(cos21)sin 2x x =++2)1x x =+)14x π=++；因为[,]26x ππ∈-，所以372[,]4412x πππ+∈-；所以1sin(2)14x π-+，所以1()12f x +； 当242x ππ+=-，即38x π=-时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值为1-选择条件②，则()f x 的一个周期为2π； 由2()2cos sin f x x x =+22(1sin )sin x x =-+ 21172(sin )48x =--+；因为[,]26x ππ∈-，所以1sin [1,]2x ∈-；所以当sin 1x =-，即2x π=-时，()f x 在[,]26ππ-取得最小值为1-．18．（12分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足422(*)n n n S a n N -=∈． （1）设1n n n b a a +=+，证明：{}n b 是等比数列． （2）求n S ．【解答】（1）证明：由422n n n S a -=可得：111422n n n S a +++-=，两式相减整理得：112n n n a a -++=， 又当1n =时，有11422S a -=，解得：11a =，当2n =时，有22224244(1)2S a a a -==+-，解得：20a =， 1211a a b ∴+==，11211222nn n n n n n n b a a b a a +++-++===+，∴数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知：112n n n a a -++=，∴当n 为偶数时，0211234121()()()2223n n n n n S a a a a a a ---=++++⋯++=++⋯+=； 当n 为奇数时，13212345121()()()12223n n n n n S a a a a a a a --+=+++++⋯++=+++⋯+=， 综合以上，可得：12(1)3n n n S -+-=．19．（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=︒，24AB AD ==，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折，使点A 至点1A 位置，若M 为线段1A C 的中点． （1）证明：//MB 平面1A DE ，并求MB 的长．（2）在翻折过程中，当三棱锥1A DEM -的体积取最大值时，求平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值．【解答】解：（1）证明：如图，取1DA 的中点H ，连接MH ，EH ，因为M 为1A C 的中点，H 为1DA 的中点，所以//MH CD ，12MH CD =，又E 为AB 的中点，所以//EB CD ，12EB CD =，所以//MH EB ，且MN EB =，即四边形MHEB 为平行四边形，所以//MB HE ，又MB ⊂/平面1A DE ，HE ⊂平面1A DE ，所以//MB 平面1A DE ， 因为四边形MHEB 为平行四边形，所以MB HE =，又△1A DE 为等边三角形，H 为1DA 的中点，所以3HE ，即3MB = （2）如图，连接EC ，设三棱锥1A DEM -的高为h ，因为M 为1A C 的中点，所以111126A DEM A DEC DEC V V V h --==⋅，又2DE =，4DC =，60EDC ∠=︒，所以DEC S ∆为定值，在翻折过程中，当平面1A DE 垂直于平面DEBC 时，h 最大，三棱锥1A DEM -的体积取最大值，取DE 的中点O ，连接1A O ，因为平面1A DE ⊥平面DEBC ，平面1A DE ⋂平面DEBC DE =，1AO DE ⊥， 所以1A O ⊥平面DEBC ，取DC 的中点为N ，以OE 所在直线为x 轴，ON 所在直线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则1(0A ，0，3)，(2B ，3，0)，(1C ，23，0)， 所以1(2A B =，3，3)-，(1BC =-，3，0)， 设平面1A BC 的法向量(n x =，y ，)z ，则1233030n A B x y z n BC x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,3)n =， 又平面1A DE 的一个法向量(0m =，1，0)， 所以13cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅，因为二面角的平面角为锐角，所以平面1A BC 与平面1A DE 所成的二面角的余弦值为13．20．（12分）某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X （百斤）都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有20期，超过60百斤的有12期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y （百斤）与使用某种饵料的质量x （百斤）之间的关系如图所示．（1）根据数据可知y 与x 具有线性相关关系，请建立y 关于x 的回归方程ˆˆˆybx a =+；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．（2）养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X 有如下关系： 鱼的重量（单位：百斤） 2040X<<4060X60X >冲水机只需运行台数1 23若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？附：对于一组数据1(x ，1)y ，2(x ，2)(n y x ⋯，)n y ，其回归方程ˆˆˆyb a =+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1122211()()ˆ()nni iii i i nniii i x ynxyxx y y bxnx x x ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-．【解答】解：（1）依题意，5x =，4y =，51()()26i i x x y x --=∑．∴51521()()3ˆ13()i ii x x yy bx x --==-∑∑，337ˆˆ451313ay bx =-=-⨯=， 所以337ˆ1313yx =+． 当10x =时，67ˆ513y=>，故此方案可行． （2）设盈利为Y ，安装1台时，盈利5000Y =， 安装2台时，2040X <<，3000Y =，15p =；40X ，10000Y =，45p =．14()300010000860055E Y ∴=⨯+⨯=，安装3台时，2040X <<，1000Y =，15p =，；4060X ，8000Y =，P 35=；60X >，15000Y =，15P =．131()10008000150008000555E Y ∴=⨯+⨯+⨯=．86008000>，故应提供2台增氧冲水机．21．（12分）已知点(1,0)A -，(1,1)B -，抛物线2:4C y x =，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M ，P 两点，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，O 为坐标原点．（1）求OM OP ⋅；（2）证明：直线PQ 恒过定点．【解答】解：（1）设点1(M x ，1)y ，2(P x ，2)y ，由题意，设直线:1l x my =-， 由214x my y x=-⎧⎨=⎩得2440y my -+=， △216160m =->，21m ∴>，又124y y =， ∴212121212()14516y y OM OP x x y y y y ⋅=+=+=+=．（2）证明：设23(4y Q ，3)y ，直线BQ 的斜率为BQ，直线QM 的斜率为QM，直线PQ 的斜率为PQ，M ，B ，Q 三点共线，BQ QM∴=，∴31322233111444y y y y y y +-=--，即32313114y y y y +=-+， 23133(1)()4y y y y ∴++=-，即131340y y y y +++=，124y y =，124y y ∴=，∴33224440y y y y ⋅+++=，即23234()40(*)y y y y +++=，23223232444PQy y y y y y -==+-，∴直线PQ 的方程是222234()4y y y x y y -=-+，即22232()()4y y y y x y -+=-， 2323()4y y y y y x ∴+-=，由(*)式可知，23234()4y y y y -=++代入上式，得23(4)()4(1)y y y x ++=-， 令4010y x +=⎧⎨-=⎩，解得14x y =⎧⎨=-⎩，∴直线PQ 恒过定点(1,4)-．22．（12分）已知函数2()1x e f x ax bx =++，其中0a >，b R ∈，e 为自然对数的底数．（1）若1b =，且当0x 时，()1f x 总成立，求实数a 的取值范围； （2）若0b =，且()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求证：1231()()2f x f x e a+<+<． 【解答】解：（1）当1b =，则22212()(),()1(1)x xae ax x ea f x f x ax x ax x -+='=++++，当102a <时，()0f x '，()f x 在[0，)+∞上单调递增，()(0)1f x f =； 当12a >时，()f x 在21[0,]a a -上单调递减，在21[,)a a-+∞上单调递增，则21()()(0)1min a f x f f a-=<=，不成立， ∴实数a 的取值范围为1(0,]2．（2）证明：当0b =时，2222(21)(),()1(1)x x e e ax ax f x f x ax ax -+='=++， 函数()f x 存在两个极值点，2440a a ∴->，即1a >，由题意知，1x ，2x 为方程2210ax ax -+=的两根，故121212,x x x x a+==， 不妨设12x x <，则12012x x <<<<，121221122212()()112x x x x e x e x e e f x f x ax ax ++=+=++，由（1）知，当211,,0,121x e b a x ax x ==++，即2112x e x x ++（当且仅当0x =时取等号）， ∴当0x >时，恒有2112x e x x >++，221212221112121211111163()()[(1)(1)][(4)](2)122222222f x f x x x x x x x x x x x x x a a+>+++++=++++=+=+第21页（共21页） ， 又211121212111()()[(2)]22x x x x x e x e f x f x x e x e -++==+-， 令2()(2)(01)x x h x xe x e x -=+-<<，则2()(1)()0x x h x x e e -'=-+>， ∴函数()h x 在(0,1)上单调递增，()h x h （1）2e =，从而12()()f x f x e +<， 综上可得：1231()()2f x f x e a+<+<．。
2024届河北省石家庄二中高三上学期第二次调研数学试题及答案
高三上学期学情调研二数学学科试卷（时间：120分钟，分值：150分）一、单选题（共8题，每题5分，共40分．）1.已知集合(){(){},,,A x y y B x y y x ====∣∣，则A B ⋂中元素的个数为（）A.3B.2C.1D.02.已知32i -+（i 是虚数单位）是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，则m n -=（）A.7- B.11- C.19- D.134i -3.已知||3,||5a b == ，设,a b的夹角为120︒，则b 在a 上的投影向量是（）A.56a B.536aC.56a -D.536a -4.已知函数()f x 的局部图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（）A.1()sin 2xf x e x π=⋅ B.1||()cos2x f x ex π=⋅C.()ln ||sin2f x x x π=⋅ D.()ln ||cos 2f x x x π=5.已知正四面体A BCD -的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A BCD -，则所得截面的面积为A. B. C. D.6.已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量X 表示摸球8次后的总分值，则()D X =（）A .8B.169C.163D.167.已知tan1.04x =，3log a x =，2a b =，sin c b =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b<< D.c b a<<8.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为）A.13B.23C.3D.3二．多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分；共20分．）9.投掷一枚质地均匀的股子，事件A =“朝上一面点数为奇数”，事件B =“朝上一面点数不超过2”，则下列叙述正确的是（）A.事件,A B 互斥B.事件,A B 相互独立C.()56P A B ⋃=D.()13P B A =10.已知数列{}n a 为等比数列，首项10a >，公比()1,0q ∈-，则下列叙述正确的是（）A.数列{}n a 的最大项为1aB.数列{}n a 的最小项为2aC.数列{}1n n a a +为递增数列D.数列{}212n n a a -+为递增数列11.已知AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径（S 为顶点，O 为圆心），点B 为圆O 上异于,A C 的动点，1,SO OC ==）A.圆锥SO 的侧面积为B.SAB ∠的取值范围为ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭C.若,AB BC E =为线段AB 上的动点，则min ()SE CE +=D.过该圆锥顶点S12.已知()f x '是()f x 的导函数，()()sin cos 0f x a x b x ab =-≠，则下列结论正确的为（）A.()f x 与()f x '的图像关于直线3π4x =对称B.()()f x f x '+与()()f x f x -'有相同的最大值C.将()f x '图像上所有的点向右平移π2个单位长度可得()f x 的图像D.当a b =时，()()f x f x '+与()()f x f x -'都在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增三、填空题（共4题，每题5分，共20分．）13.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______．14.已知双曲线C ：2222x y a b-＝1的焦距为10，P(2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________．15.某省示范性高中安排5名教师去,,A B C 三所乡村中学支教，每所中学至少去1人，因工作需要，其中的教师甲不能去A 中学，则分配方案的种数为__________.（用数字作答）16.已知()33f x x x =-，若过点()P 的动直线l 与()f x 有三个不同交点，自左向右分别为,,P E F ，则线段EF 的中点纵坐标的取值范围为__________.四、解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分．）17.在ABC 中，a 、b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）若sin B 是方程29920100x x -+=的一个根，求cos C 的值．18.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足24(1),n S n n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的n N +∈，不等式25n T a a <-恒成立，求实数a 的取值范围.19.为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员M 都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为35和25，且每场比赛中犯规4次以上的概率为14．（1）求甲队第二场比赛获胜的概率；（2）用X 表示比赛结束时比赛场数，求X 的期望；（3）已知球员M 在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点.（1）若//PD 平面ACE ，求:PE PB 的值；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.21.设抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，过点()1,0T 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，点A 在第二象限，当F 在l 上时，A 与B 的横坐标和为4-．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）过A 作斜率为12的直线与x 轴交于点M ，与直线OB 交于点N （O 为坐标原点），求AN AM．22.已知()sin f x x =，()ln g x x =，()21=--h x x ax ．（1）若[]0,1x ∈，证明：()()1≥+f x g x ；（2）对任意[]0,1x ∈都有()()()0x f eh x g x +->，求整数a 的最大值．高三上学期学情调研二数学学科试卷（时间：120分钟，分值：150分）一、单选题（共8题，每题5分，共40分．）1.已知集合(){(){},,,A x y y B x y y x ====∣∣，则A B ⋂中元素的个数为（）A.3B.2C.1D.0【答案】C 【解析】【分析】集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立方程组求得方程组解的个数，即为交集中元素的个数.【详解】由题可知：集合A 表示半圆上的点，集合B 表示直线上的点，联立y =y x =，x =，整理得212x =，即22x =±，当2x =-时，0y x =<，不满足题意；故方程组有唯一的解,22⎛ ⎪⎝⎭.故,22A B ⎧⎫⎛⎪⎪= ⎨⎬ ⎪⎪⎝⎭⎩⎭.故选：C.2.已知32i -+（i 是虚数单位）是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，则m n -=（）A.7-B.11- C.19- D.134i-【答案】A 【解析】【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对，应用韦达定理，求得m n -的值【详解】因为32i -+是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根,所以32i --也是方程的根.根据根与系数的关系可得()()()()32i 32i 32i 32i n m⎧-+--=⎪⎨-++--=-⎪⎩即得136nm =⎧⎨=⎩,所以6137m n -=-=-故选:A.3.已知||3,||5a b ==，设,a b的夹角为120︒，则b在a上的投影向量是（）A.56a B.536aC.56a -D.536a -【答案】C 【解析】【分析】列出投影向量公式，即可计算求解.【详解】b 在a 上的投影向量5cos1206a b aa⋅=-故选：C4.已知函数()f x 的局部图象如图所示，则()f x 的解析式可以是（）A.1()sin 2xf x e xπ=⋅ B.1||()cos2x f x ex π=⋅C.()ln ||sin 2f x x x π=⋅ D.()ln ||cos2f x x x π=【答案】D 【解析】【分析】利用排除法，根据奇偶性和()f x 在()0,1x ∈时的函数值正负可排除.【详解】由图可得()f x 的图象关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，其中A 选项，()11()sin sin 22xxf x e x e x f x ππ-⎛⎫-=⋅-=-⋅=- ⎪⎝⎭，故()f x 为奇函数，与图象不符，故排除A ；C 选项，()()ln ||sin ln ||sin 22f x x x x x f x ππ⎛⎫-=-⋅-=-⋅=- ⎪⎝⎭，故()f x 为奇函数，与图象不符，故排除C ；B 选项，当()0,1x ∈时，10xe >，cos02x π>，则()0f x >，与图象不符，故排除B.故选：D.5.已知正四面体A BCD -的内切球的表面积为36π，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体A BCD -，则所得截面的面积为A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】先由内切球表面积求出其半径，结合图像，找出球心半径，用相似三角形列方程求出正四面体边长，再求出所需截面即可.【详解】解：由内切球的表面积2S 436R ππ==表，得内切球半径3R =如图，过点A 作AH ⊥平面BCD ，则点H 为等边BCD 的中心连接BH 并延长交CD 于点E ，且点E 为CD 中点，连接AE 记内切球球心为O ，过O 作OF AE ⊥，设正四面体边长为a则BE AE 2a ==，2BH BE 33a ==，HE 6a =，AH 3a =又因为OH OF 3==，所以AO 33a =-由AOF ~AEH ，得AO OF AE HE =，即333326a -=，解得a =因为ABE 过棱AB 和球心O ，所以ABE 即为所求截面且2ABE 11362S 22234BE AH a a a =⋅⋅=⨯⨯==【点睛】本题考查了空间几何体的内切球，找到球心求出半径是解题关键.6.已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量X 表示摸球8次后的总分值，则()D X =（）A.8 B.169C.163D.16【答案】D 【解析】【分析】先利用古典概型概率计算公式求出从袋中随机取出一球，该球为红球的概率，然后利用二项分布的方差计算公式得到有放回地摸球8次摸到红球的个数Y 的方差，因为3X Y =，利用方差的性质即可得到答案【详解】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为41=123，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用Y 表示取到红球的个数，则1(8,3Y B :故：1116()8(1)339D Y =创-=又因为3X Y =根据方差的性质可得：16()(3)9()9169D X D Y D Y ===´=故选：D7.已知tan1.04x =，3log a x =，2a b =，sin c b =，则,,a b c 的大小关系为（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a<<【答案】B【分析】由ππ1.0443<<，得出102a <<，再判断112c <<，1b >，得出结果.【详解】因为ππ1.0443<<，πtan1.04tan 3x =<=，且πtan1.04tan 14x =>=，则1x <<，310log log 2a x <=<=，即102a <<；所以12a b <=<，即b 1<<，所以1πsin sin1sin 126c b =<<=<，即112c <<.所以a c b <<.故选：B .8.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，()0,2P ，()0,2Q -过点P 的直线1l 与椭圆交于A ，B ，过点Q 的直线2l 与椭圆交于C ，D ，且满足12l l ∕∕，设AB 和CD 的中点分别为M ，N ，若四边形PMQN 为矩形，且面积为）A.13B.23C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】不妨设1l ，2l 两条直线的斜率大于零，连结OM，由题意知22||16PM MQ PM MQ ⎧⋅=⎪⎨+=⎪⎩，求出||PM ，||QM ，求出AB ，OM 的斜率，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用点差法，转化推出椭圆的离心率即可．【详解】解：如图，不妨设1l ，2l 两条直线的斜率大于零，连结OM ，由题意知22||16PM MQ PM MQ ⎧⋅=⎪⎨+=⎪⎩，解得||2PM =，||MQ =，或||PM =||2MQ =（舍），所以||2PM =，||MQ =，在PMQ 中，因为||||||2OM PM PO ===，所以60BPO POM ∠=∠=︒，故此时tan 303AB k =︒=，tan1503OM k =︒=-，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=，即2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，即2213AB OM b k k a ⋅=-=-，因此离心率22222213c b e a a ==-=，所以e =，故选：D．二．多选题（共4题，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分；共20分．）9.投掷一枚质地均匀的股子，事件A =“朝上一面点数为奇数”，事件B =“朝上一面点数不超过2”，则下列叙述正确的是（）A.事件,A B 互斥B.事件,A B 相互独立C.()56P A B ⋃= D.()13P B A =【答案】BD 【解析】【分析】根据互斥事件和独立事件定义可知AB 正误；根据()()()()P A B P A P B P A B =+- 可知C 错误；由条件概率的公式可求得D 正确.【详解】对于A ，若朝上一面的点数为1，则事件,A B 同时发生，∴事件,A B 不互斥，A 错误；对于B ， 事件A 不影响事件B 的发生，∴事件,A B 相互独立，B 正确；对于C ，()()()()32126663P A B P A P B P A B =+-=+-= ，C 错误；对于D ，()16P AB = ，()3162P A ==，()()()116132P AB P B A P A ∴===，D 正确.故选：BD.10.已知数列{}n a 为等比数列，首项10a >，公比()1,0q ∈-，则下列叙述正确的是（）A.数列{}n a 的最大项为1aB.数列{}n a 的最小项为2aC.数列{}1n n a a +为递增数列D.数列{}212n n a a -+为递增数列【答案】ABC 【解析】【分析】分别在n 为偶数和n 为奇数的情况下，根据项的正负和2n n a a +-的正负得到最大项和最小项，知AB 正误；利用()2212110n n n n n a a a a q q a +++-=->和()()21222120n n n n a a a a ++-+-+<可知CD 正误.【详解】对于A ，由题意知：当n 为偶数时，10n a a <<；当n 为奇数时，0n a >，()2210n n n a a a q +-=-<，1a ∴最大；综上所述：数列{}n a 的最大项为1a ，A 正确；对于B ，当n 为偶数时，0n a <，()2210n n n a a a q +-=->，2a ∴最小；当n 为奇数时，20n a a >>；综上所述：数列{}n a 的最小项为2a ，B 正确；对于C ，21n n n a a a q += ，2121n n n a a a q +++=，()()222212111n n n n n n n a a a a q a a q q a ++++∴-=-=-，10q -<< ，210q ∴-<，1210n n n n a a a a +++∴->，∴数列{}1n n a a +为递增数列，C 正确；对于D ，()212211n n n a a a q --+=+ ，()2122211n n n a a a q ++++=+，()()()()()()22122212212121111n n n n n n n a a a a q a a q q a ++-+--∴+-+=+-=+-；10q -<< ，10q ∴+>，210q -<，又210n a ->，()()21222120n n n n a a a a ++-∴+-+<，∴数列{}212n n a a -+为递减数列，D 错误.故选：ABC .11.已知AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径（S 为顶点，O 为圆心），点B 为圆O 上异于,A C的动点，1,SO OC ==）A.圆锥SO的侧面积为B.SAB ∠的取值范围为ππ,63⎛⎫⎪⎝⎭C.若,AB BC E =为线段AB上的动点，则min ()SE CE +=D.过该圆锥顶点S【答案】AC 【解析】【分析】依次判断每个选项，直接计算A 正确；当2AB =时，π3∠=SAB ，B 错误；当1,,S E C 三点共线时SE CE +最小，根据余弦定理计算得到C 正确；计算截面SMN S a =△，根据均值不等式计算得到D 错误，得到答案.【详解】对选项A ：母线长2SC ==，侧面积为πS rl ==，正确；对选项B ：SAB △中，2SA SB ==，0AB <<，则当2AB =时，π3∠=SAB ，错误；对选项C ：ABC为等腰直角三角形，AB BC ==，将SAB △放平得到1S AB ，如图2所示，当1,,S E C 三点共线时SE CE +最小，F 为AB 中点，连接1S F ，则1S F AB ⊥，111sin 4S FABS S B∠==，1S C ===对选项D ：如图3，设截面为SMN ，Q 为MN 中点，连接,OQ SQ ，设2MN a =，(a ∈，则12SMN S MN SQ a a =⨯===△22422a a +-≤=，当a =a =时等号成立，D 错误.故选：AC【点睛】关键点睛：本题考查了立体几何中侧面积，截面积和线段和的最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和空间想象能力，其中，将空间的线段和转化为平面的距离是解题的关键.12.已知()f x '是()f x 的导函数，()()sin cos 0f x a x b x ab =-≠，则下列结论正确的为（）A.()f x 与()f x '的图像关于直线3π4x =对称B.()()f x f x '+与()()f x f x -'有相同的最大值C.将()f x '图像上所有的点向右平移π2个单位长度可得()f x 的图像D.当a b =时，()()f x f x '+与()()f x f x -'都在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】BC 【解析】【分析】先求得()f x 的导函数()cos sin f x a x b x '=+，然后根据三角函数图像平移,根据函数的对称性,根据求三角函数的值域，根据求解三角函数的单调性等分别验证ABCD 选项的正误.【详解】已知()f x 的图像与3π2f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像关于直线3π4x =对称，()3π3π3πsin cos cos sin 222f x a x b x a x b x f x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=---=-+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 选项错误；()()()()()sin cos f x f x a b x a b x x ϕ'+=++-=+，其中tan a ba b ϕ-=+，()()f x f x '∴+，()()()()()sin cos f x f x a b x a b x x θ'-=--+=-，其中tan a ba b θ+=-，()()f x f x '∴-，故B 选项正确；()()sin cos 0f x a x b x ab =-≠ ，()cos sin f x a x b x '∴=+.将()f x '的图像向右平移π2个单位得()ππcos sin sin cos 22y a x b x a x b x f x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像，故C 选项正确；当a b =时，()()2sin f x f x a x '+=，()()2cos f x f x a x '-=-，当0a >时，()()f x f x '+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()()f x f x -'在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，当a<0时，()()f x f x '+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()()f x f x -'在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，综上可知()()f x f x '+和()()f x f x -'在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调性相同，但可能递增也可能递减，故D 选项错误.故选：BC三、填空题（共4题，每题5分，共20分．）13.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______．【答案】30【解析】【分析】建立组合模型求解【详解】25()x x y ++表示5个因式2x x y ++的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x ，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，即可算出答案．25()x x y ++表示5个因式2x x y ++的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x ，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，故含52x y 的项系数是253221C C C 30⋅⋅=.故答案为：3014.已知双曲线C ：2222x y a b -＝1的焦距为10，P(2，1)在C 的渐近线上，则C 的方程为________．【答案】22205x y -＝1【解析】【详解】由焦距为10知，c ＝5，即a 2＋b 2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程为y ＝±bax ，带入点P 的坐标得，a ＝2b ，联立方程组可解得a 2＝20，b 2＝5，所以双曲线方程22205x y-＝1.15.某省示范性高中安排5名教师去,,A B C 三所乡村中学支教，每所中学至少去1人，因工作需要，其中的教师甲不能去A 中学，则分配方案的种数为__________.（用数字作答）【答案】100【解析】【分析】利用部分平均分组的计算方法可求得三所学校分配人数分别为1,1,3和1,2,2时的安排方法数，在两种情况下分别求得甲去A 中学的安排方法数，利用间接法可求得结果.【详解】①若三所学校分配人数分别为1,1,3时，共有11354322C C A 60A ⋅=种安排方法；其中甲去A 中学的安排方法有12224242C A C A 20+=种；则此时分配方案的种数为602040-=种；②若三所学校分配人数分别为1,2,2时，共有12354322C C A 90A ⋅=种安排方法；其中甲去A 中学的安排方法有21224432C C C A 30+=种；则此时分配方案的种数为903060-=种；综上所述：满足题意的分配方案的种数为4060100+=种.故答案为：100.16.已知()33f x x x =-，若过点()P 的动直线l 与()f x 有三个不同交点，自左向右分别为,,P E F ，则线段EF 的中点纵坐标的取值范围为__________.【答案】938⎛- ⎝【解析】【分析】将直线l 与()f x 的方程联立，化简后得到关于x 的一元二次方程，利用韦达定理、中点坐标公式即可得线段EF的中点横坐标，再求出过点(的两条切线，结合图像，即可求得线段EF 的中点纵坐标的取值范围．【详解】设11(,)E x y ，22(,)F x y ，线段EF 的中点,()M s t，:(l y k x =，易得()P 在()f x 上，由33(x x k x -=+，得2()0x x k --=，故1x ，2x为方程20x k -=的两个根，所以1222x x s +==，故点M在直线2x =上，2()33f x x '=-，()0f x '>，解得1x <-或1x >；()0f x '<，解得11x -<<，∴()f x 在(),1-∞-和()1,+∞上单调递增，在()1,1-上单调递减，(1)2f -=，(1)2f =-，过P 作()f x的切线，设切点坐标为000(,)(A x y x ≠，则有0()f x '==，即200230x -=，解得02x =，此时切线斜率034k =-，切线方程为3(4y x =-+．又(6f '=，则P点处的切线方程6(y x =+．如图所示，两条切线与2x =的交点纵坐标分别为938-，，故8t ⎛∈- ⎝．故答案为：8⎛- ⎝．【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，辨析清楚“在点”与“过点”的切线方程的求法是解题的四、解答题（共6题，17题10分，其余各题12分，共70分．）17.在ABC 中，a 、b ，c 分别是角A 、B 、C 的对边，且()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-．（1）求角A 的大小；（2）若sin B 是方程29920100x x -+=的一个根，求cos C 的值．【答案】（1）3π；（2）cos 20C =．【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边后，利用余弦定理得到1cos 2A =，进而求得；（2）解方程求得方程的根，并作出取舍得到9sin 10B =，利用同角三角函数的关系得到cos B 的值，然后利用诱导公式和两角和的余弦公式求得.【详解】（1）∵()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，∴()()()a b a b c b c +-=-，即222b c a bc +-=，∴2221cos 22b c a A bc +-==，又∵三角形内角()0,A π∈，∴3A π=；（2）29920100x x -+=等价于()()10910110x x --=，解得910x =或1110x =；∵1sin 0B >>，∴9sin 10B =，∴cos 10B ==±，∴()()cos cos cos sin sin cos cosC A B A B A B A Bπ=--=-+=-9121021020⎛⎫=⨯-⨯±= ⎪ ⎪⎝⎭.18.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足24(1),n S n n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，若对任意的n N +∈，不等式25n T a a <-恒成立，求实数a 的取【答案】（1） 1, 1 21, 24n n a n n ì=ïïï=í+ï³ïïî（2）3a ≤-或4a ≥【解析】【分析】（1）由n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -ì=ïï=íï-=ïî即可得出通项公式；（2）先利用裂项相消法求出n T ，由25n T a a <-恒成立，可得需求n T 的最大值，根据n T 的单调性构造不等关系即可求解【小问1详解】24(1)n S n =+Q 当1n =时，214(11)a =+，即11a =当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，故224(1)21n a n n n =+-=+，得214n n a +=.易见11a =不符合该式，故 1 121, 24n n a n n ì=ïïï=í+ï=ïïî，【小问2详解】由0n a >，易知n T 递增；112145T a a ==当2n ≥时，()()111611821232123n n a a n n n n +骣÷ç==-÷ç÷ç桫++++.从而41111111281285577921235235n T n n n 骣ç=+-+-++-=-<çç桫+++L .又由25n T a a <-，故212a a ≤-，解得3a ≤-或4a ≥即实数a 的取值范围为3a ≤-或4a ≥19.为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员M 都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为35和25，且每场比赛中犯规4次以上的概率为14．（1）求甲队第二场比赛获胜的概率；（2）用X 表示比赛结束时比赛场数，求X 的期望；（3）已知球员M 在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率．【答案】（1）1120（2）249100（3）56125【解析】【分析】（1）设=i A “第i 场甲队获胜”，i B =“球员M 第i 场上场比赛”，1i =，2，3．根据对立事件的概率公式即可求解；（2）由题意知X 的可能取值为2，3，结合对立事件和独立事件的概率公式和数学期望的计算公式即可求解；（3）根据对立事件、独立事件的概率公式和条件概率公式计算即可求解.【小问1详解】设=i A “第i 场甲队获胜”，i B =“球员M 第i 场上场比赛”，1i =，2，3．由全概率公式()()()()()2222222P A P B P A B P B P A B =+3332111454520⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭．【小问2详解】X 的可能取值为2，3．由题意知()135P A =，由（1）知()21120P A =，则()125P A =，()2920P A =，()()()()()()()1212121231129512520520100P X P A A P A A P A P A P A P A ==+=+=⨯+⨯=，()()49312100P X P X ==-==，()514924923100100100E X =⨯+⨯=．【小问3详解】()214P B =，此时()325P A =，()()()()1221232123212212321232P A A B A A A B A A A B P A A B P A A A B P A A A B ++=++3233222255555555=⨯+⨯⨯+⨯⨯56125=．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点.（1）若//PD 平面ACE ，求:PE PB 的值；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值为63，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值.【答案】（1）13（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，交AC 于点G ，由线面平行性质可证得//PD EG ，又//AB CD ，由平行线分线段成比例可求得结果；（2）取AB 中点M ，可证得四边形AMCD 为矩形，则以C 坐标原点可建立空间直角坐标系，利用线面垂直的判定可证得BC ⊥平面PAC ，可知平面PAC 的一个法向量为CB；设()0,0,P a ，利用二面角的向量求法可构造方程求得a ；利用线面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】连接BD ，交AC 于点G ，连接EG ；//PD 平面ACE ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD 平面ACE EG =，//PD EG ∴，::PE PB DG BD ∴=；//AB CD Q ，::1:2DG GB CD AB ∴==，:1:3DG BD ∴=，:1:3PE PB ∴=，即:PE PB 的值为13.【小问2详解】取AB 中点M ，连接CM ；//CD AM ，CD AM =，∴四边形AMCD 为平行四边形，//AD CM ∴，又AB AD ⊥，∴四边形AMCD 为矩形，则CM CD ⊥，则以C 为坐标原点，,,CM CD CP 正方向为,,x y z轴，可建立如图所示空间直角坐标系，12AD CM AB == ，2ACB π∴∠=，即AC BC ⊥；PC ⊥ 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PC BC ∴⊥；,PC AC ⊂ 平面PAC ，PC AC C ⋂=，BC ∴⊥平面PAC ；设()0CP a a =>，则()0,0,P a ，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0B -，11,,222a E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1,0CA ∴= ，11,,222a CE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1,1,0CB =- ，设平面EAC 的法向量(),,n x y z = ，则0110222CA n x y a CE n x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =-，则x a =，y a =-，(),,2n a a ∴=-- ；又平面PAC 的一个法向量为()1,1,0CB =- ，cos,3CB nCB nCB n⋅∴<>==⋅，解得：2a=；()1,1,2PA∴=-，()2,2,2n=--，cos,3PA nPA nPA n⋅∴<>==⋅，∴直线PA与平面EAC 所成角的正弦值为23.21.设抛物线()2:20C x py p=>的焦点为F，过点()1,0T的直线l与抛物线C交于A，B两点，点A在第二象限，当F在l上时，A与B的横坐标和为4-．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过A作斜率为12的直线与x轴交于点M，与直线OB交于点N（O为坐标原点），求ANAM．【答案】（Ⅰ）24x y=（Ⅱ）2ANAM=【解析】【分析】（Ⅰ）设()11,A x y，()22,B x y，代入抛物线方程，利用AB TFk k=可求得p，得抛物线方程；（Ⅱ）由题意直线l斜率存在，设():1l y k x=-，代入抛物线方程，整理后应用韦达定理得12124,4x x k x x k+==，设()33,N x y，由直线,AM OB方程联立解得3y，而133111AN y y yAM y y-==-，此式用横坐标表示后代入上面的结论可得．【详解】解：（Ⅰ）设()11,A x y，()22,B x y，由题2112x py=，2222x py=，由124x x+=-，则直线l斜率为2212121212122222x xy y x xp pkx x x x p p--+====---，又0,2pF⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0T，则2pk=-，从而有22pp-=-，所以2p=，从而抛物线C的方程为24x y=．（Ⅱ）由题意直线l斜率存在，设():1l y k x=-，由()214y k x x y⎧=-⎨=⎩得2440x kx k -+=，则216160k k ∆=->，解得0k <或1k >，又点A 在第二象限，所以0k <，124x x k +=，124x x k =．设()33,N x y ，由题()111:2AM y y x x -=-，22:y OB y x x =．联立解得2121232248x x x x y x -=-，2121213212221112124821124x x x x AN y y x x x x x AM y x x x ----==-=--，将124x x k +=，124x x k =代入上式得1222121211212421112242x x x k x x x x x x k x x x ----=-=-=---，即2AN AM=．【点睛】本题考查求抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，解题方法是设而不求的思想方程，即设交点1122(,),(,)x y x y ，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得1212,x x x x +，把1212,x x x x +代入其他条件化简变形计算．22.已知()sin f x x =，()ln g x x =，()21=--h x x ax ．（1）若[]0,1x ∈，证明：()()1≥+f x g x ；（2）对任意[]0,1x ∈都有()()()0x f e h x g x +->，求整数a 的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）2．【解析】【分析】（1）利用二次求导求得存在唯一零点()00,1x ∈，使得0()0x F '='，()0F x '>在()0,1上恒成立上可以证明()F x 在定义域上的单调性，可知()0F x ≥，便可证明结论.（2）先判断整数2a ≤可知sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---，接着证明()sin 221ln 0x H x e x x x =+--->在区间(0,1]上恒成立即可可出结论.【详解】解：（1）证明：设()()sin ln 1F x x x =-+，()01x ≤≤，则()1cos 1F x x x '=-+．因为()()21sin 1F x x x ''=-+，且[0,1]x ∈则()F x ''在[]0,1，单调递减，1sin104-<，()()01F x F ''''<=所以存在唯一零点()00,1x ∈，使得0()0x F '='则()F x '在()00,x 时单调递增，在0(),1x 上单调递减又()111cos1cos 0223F π'=-+>-+=，'(0)0F =所以()0F x '>在()0,1上恒成立上，所以()F x 在[0,1]单调递增则()()00F x F ≥=，即()0F x ≥，所以()()1≥+f x g x ．（2）因为对任意的(]0,1x ∈，()()()0f x e h xg x +>﹣即sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立令1x =，则sin1e a>由（1）知sin1ln 2>，所以ln 2sin1123e e e =<<<由于a 为sin 21ln 0x e x ax x +--->整数，则2a ≤因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x+---≥+---下面证明()sin 221ln 0x H x e x x x =+--->，在区间(0,1]上恒成立即可.由（1）知()sin ln 1x x >+，则sin 1x e x >+故()22121ln ln H x x x x x x x x >++---=--设()2ln G x x x x -=-，(]0,1x ∈，则()()()2111210x x G x x x x+-'=--=≤，所以()G x 在(]0,1上单调递减，所以()()10G x G ≥=，所以()0H x >在(]0,1x ∈上恒成立.综上所述,a 的最大值为2．。
2024届石家庄市第二中学数学高三上期末预测试题含解析
2024届石家庄市第二中学数学高三上期末预测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．102．下列不等式成立的是（ ） A ．11sincos 22> B ．11231122⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．112311log log 32<D ．11331123⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．已知集合{}21|A x log x =<，集合{}|2B y y x ==-，则A B =（ ）A ．(),2-∞B ．(],2-∞C ．()0,2D ．[)0,+∞4．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺5．若0,0x y >>，则“222x y xy +=的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =6．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．7．函数22()2cos (sin cos )2f x x x x =++-的一个单调递增区间是（ ） A ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．59,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S S S h =+下下上上•）. A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸9．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种B ．27种C ．37种D ．47种10．设a ，b 是非零向量，若对于任意的R λ∈，都有a b a b λ-≤-成立，则 A ．//a bB ．a b ⊥C ．()-⊥a b aD ．()-⊥a b b11．下列命题为真命题的个数是（ ）（其中π，e 为无理数） 32e >；②2ln 3π<；③3ln 3e<. A ．0B ．1C ．2D ．312． “中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ） A ．56383B ．57171C ．59189D ．61242二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄市2022-2023学年高三上学期期末考试数学答案
数学答案一、单选题：1-4BCDD 5-8ACCA二、多选题：9.AD 10.AC 11.ABD 12.ACD三、填空题:13.314.4231．15.316.312k e =-四、解答题：17.解析：()1由已知12312321n n n a a a a ++++=- ①得：当1n =时，得11a =……………………………………………………1分当n 2≥时，11231123121n n n a a a a ---++++=- ②①-②得：12n nn a -=，12n n n a -=………………………………………………3分检验:11a =成立，故12n n na -=………………………………………………4分()22122n n n b -=,令n S =3521123111124622222-⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⨯+⨯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ n n b b b b +n ③3572121111111246(22)2422222-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ n n n S +n n ④③-④得213521311111222422222+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n S n +………………6分312111124311222142214n n n S n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎝⎭=⨯-⨯+⨯ ⎪⎝⎭-………………………………………………8分化简得：4161163949nn S n ⎛⎫⎛⎫=--⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………10分18.解析：()1由正弦定理得：sin sin 2sin 6sin A B A+Cπ+⎛⎫= ⎪⎝⎭，……………………………………………1分2sin sin sin sin 6A+C A B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即)()cos sin sin sin A A C A A C +=++得：1sin 62C-π⎛⎫= ⎪⎝⎭……………………………3分在ABC ∆中，3πC=；………………………………………………4分()2法一：由ABC ∆面积公式得：(12a b c =++即12a b c ab ++=①………6分又由余弦定理得：222a b -c ab +=②……………………………………………8分由已知得3b a =+③由①②③得4322150a a a --=即()222150a a a --=…………………………………10分又0a >,解得5a =,8b =,7c =所以ABC ∆周长为20.………………………………………………12分法二：由ABC ∆面积公式得：(142ab a b c =++即12a b c ab ++=①………6分又由余弦定理得：222a b -c ab +=………………………………………………8分即()223a b c ab +-=，()()3a b c a b c ab +++-=②把①代入②得：6a b c +-=③由①③得：()412a b ab +=+④又由3b a =+⑤得250-=a a ,………………………………………………10分又0>a ，由④⑤得：5a =,8b =,7c =所以ABC ∆周长为20.………………………………………………12分19.（本小题满分12分）(1)根据直方图可知，成绩在[80,100]的频率为(0.0250.010)100.35+⨯=，成绩[90,100]的频率为0.1，小于0.2，因此获奖的分数线应该介于[80,90)之间，………………………………1分设分数线为[80,90)x ∈，使得成绩在[,100]x 的概率为0.2，……………………2分即(90)0.0250.010100.2x -⨯+⨯=………………………………3分可得86x =所以获奖分数线划定为86；………………………………4分（2）应从[80,90)和[90,100]两组内分别抽取5人和2人.………………………………6分则ξ的可能取值为0,1,2………………………………7分305237102(0)357C C P C ξ====215237204(1)357C C P C ξ====12523751(2)357C C P C ξ====.ξ的分布列为ξ012P 274717………………………………10分数学期望2416()0+127777ξ=⨯⨯+⨯=E .………………………………12分20.解析：（1）设AD 的中点为G ，连接FG EG ,，则//,//FG PD GE CD ,………………1分//平面平面FG PD FG PCD PD PCD ⎧⎪⊄⎨⎪⊂⎩ ,//FG ∴平面PCD ，………………………………2分同理//GE 平面PCD ，………………………………3分G EG FG = ,∴平面//EFG 平面PCD ，……………………………4分∴//EF 平面PCD .………………………………5分（2） 点P 在以AB 为直径的半圆上，PA PB ∴⊥.………………………………6分设122AD DC AB ===，则4AB =，PB =，2,PA PB ∴==60PAB ∴∠= .………………………………7分 平面ABP ⊥平面ABCD ，AD DC ⊥，AD ∴⊥平面PAB .故以A 为原点，建立空间直角坐标系，(0,0,0)A ，(0,4,0)B ，(0,2,2)C ，(0,0,2)D ，(0,3,1)E，P，1,0)22F，5(,1)22EF =-- ，)0,3,3(-=BP ，(0,2,2)BC =- ，………………………………8分设平面PBC 的法向量(,,)n x y z = ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BC n BP n，即30220y y z -=-+=⎪⎩，取1=y ，得n =，………………………………10分设θ为直线EF 与平面PBC 所成角，则sin 10EF n EF n θ⋅==⋅ ，………………………………11分∴直线EF 与平面PBC.……………………………12分21.解析：（1）由题意可得：22431a b +=，又离心率为2，所以2c a =，......................2分可得12b a =，那么2a b =，代入可得：4a =，2b =，所以椭圆C 的标准方程为221164x y +=.....4分（2）由题意可知，原点O 到直线l 的距离为2=，即：224(1)m k =+，..........................................................6分设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得：222(14)84160k x kmx m +++-=，其判别式2222644(41)(416)k m k m ∆=-+-22216(164)1920=+-=>k m k ，可知0k ≠由韦达定理可得：122814kmx x k +=-+，212241614m x x k-=+，..................................8分那么AB =整理得：=，.......................................10分△ABO的面积2223181224214k k S k ++⋅=⋅=+当且仅当2k =±时取得等号，所以△ABO 的面积的最大值4............................12分22.解析：（1）由题意，首先0)0(=F ，求导：()cos F'x x -m =，.....................1分当1m ≥时，可知cos 0F'(x)x -m =≤，所以)(x F 单调递减，则0)0()(=≤F x F ，所以命题成立；.............2分当1m ≤-时，cos 0F'(x)x -m =≥，所以)(x F 单调递增，则0)0()(=≥F x F ，所以命题不成立；................3分当11m -<<时，由F'(x)在[0,]π上单调递减，'(0)10F m =->，'()10F m π=--<，所以)('x F 在),0(π上存在唯一零点0x ，使得0)('0=x F ，当0(0,)x x ∈时，)('x F 为正，)(x F 单调递增，则0)(>x F ，所以命题不成立............4分综上所述：m 的取值范围为1m ≥..........................................................5分（2）由题意可知：2ln 35sin 32)(+-+=x a x x x G ，那么：2ln 35sin 322ln 35sin 32222111+-+=+-+x a x x x a x x ，整理可得：)()sin (sin 32)ln (ln 35121212x x x x x x a -+-=-，不妨设12x x >，由（1）可知：当1m =时，)(x F 在R 上单调递减，则当12x x >时，有：)()(12x F x F <成立，即：1122sin sin x x x x -<-，整理可得：1212sin sin x x x x -<-，所以：)(35)()(32)()sin (sin 32)ln (ln 35121212121212x x x x x x x x x x x x a -=-+-<-+-=-，..................7分那么1212ln ln x x x x a --<，要证：a x x 221>+，只需证：121221ln ln 2x x x x x x -->+即可.......................................8分即证：11(2ln 121212+->x x x x x x ，设112>=t x x ，令2(1)()ln (1)1t h t t t t -=->+，...........................10分则22(1)'()0(1)-=>+t h t t t ，2(1)()ln 1t h t t t -∴=-+在(1,)+∞上单调递增，则2(1)()ln (1)01t h t t h t -=->=+，2(1)ln 1t t t -∴>+，所以得证..............................................................12分。
河北省石家庄第二中学2025届数学高三第一学期期末达标检测试题含解析
河北省石家庄第二中学2025届数学高三第一学期期末达标检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F 且EF =22，则下列结论中错误的是（ ）A ．AC ⊥BEB ．EF //平面ABCDC ．三棱锥A -BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ,BF 所成的角为定值2．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1-B ．12- C ．12D ．13．已知集合{}|,A x x a a R =≤∈，{}|216xB x =<，若A B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．∅B ．RC ．(],4-∞D ．(),4-∞4．如图，ABC ∆内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，,//,,,DC BE DC BE DC CB DC CA =⊥⊥22AB EB ==，则三棱锥E ABC -体积的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．235．已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()f x x =，则函数4()()12x F x f x x+=+-在区间[9,10]-上零点的个数为（ ） A ．9B ．10C ．18D ．206． “2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是34，则判断框中应填入的条件是（ ）A ．5?i >B ．5?i <C ．4?i >D ．4?i <8．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A ．33B ．22C ．32D ．2339．如图是2017年第一季度五省GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是（ ）A ．2017年第一季度GDP 增速由高到低排位第5的是浙江省．B ．与去年同期相比，2017年第一季度的GDP 总量实现了增长．C ．2017年第一季度GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D ．去年同期河南省的GDP 总量不超过4000亿元．10．已知向量(1,4)a =，(2,)b m =-，若||||a b a b +=-，则m =（ ） A ．12-B ．12C ．-8D ．811．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．40322017B ．20152016C ．20162017D ．2015100812．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述： 甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路； 乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路； 丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ） A ．甲走桃花峪登山线路 B ．乙走红门盘道徒步线路 C ．丙走桃花峪登山线路D ．甲走天烛峰登山线路二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省石家庄市第二中学高三上学期理数真题试卷
河北省石家庄市第二中学高三上学期理数真题试卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|A x y ==，A B φ=，则集合B 不可能是（ ）A ．{|1}x x <-B ．{(,)|1}x y y x =-C ．2{|}y y x =-D ．{|1}x x ≥-【答案】D【分值】5分【解析】∵集合A=={x|x ≥1}，A ∩B=ϕ，∴B={x|x ＜1},∴集合B 不可能是{x|x ≥﹣1}．故选：D ．【考查方向】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．【易错点】交集及其运算，注意集合代表元素的属性【解题思路】求出集合A={x|x ≥1}，由A ∩B=ϕ，得B={x|x ＜1}，由此能求出结果．2.已知直线10ax y a +--=与直线102x y -=平行，则a 的值是（ ） A ． 1 B ． -1 C ． 2 D ．-2【答案】D【分值】5分【解析】因为直线ax+y ﹣1﹣a=0与直线x ﹣y=0平行，所以必有﹣a=2，解得a=﹣2．故选D【考查方向】本题考查两条直线平行的判定，是基础题．【易错点】两直线平行条件的应用（整式条件）【解题思路】两条直线平行倾斜角相等，即可求a 的值．3.下列判断错误的是（ ）A ．“||||am bm <”是“||||a b <”的充分不必要条件B ．命题“,0x R ax b ∀∈+≤”的否定是“00,0x R ax b ∃∈+>”C ．若()p q ⌝∧为真命题，则,p q 均为假命题D ．命题“若p ，则q ⌝”为真命题，则“若q ，则p ⌝”也为真命题【答案】C【分值】5分【解析】对于A ，“|am|＜|bm|”中可知|m|＞0，由不等式的性质可判定，故正确； 对于B ，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定，故正确；对于C ，若￢（p ∧q ）为真命题，p ∧q 为假命题，则p ，q 至少一个为假，故错； 对于D ，若“p ，则￢q ”与“若q ，则￢p ”互为逆否命题，同真假，故正确． 故选：C ．【考查方向】本题考查了命题真假的判定，涉及到了复合命题的处理，属于基础题．【易错点】对命题的否定，复合命题，充要条件的判定理解。
石家庄市第二中学2019届高三数学上学期期末考试模拟试题含答案文
石家庄二中2018-2019学年第一学期期末试卷高三数学理科模拟试题一、选择题：本题共12小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z 满足26z z i +=+（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】D设(),z a bi a b R =+∈，代入26z z i +=+，得()26a bi a bi i ++-=+，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值，则答案可求． 【详解】解：设(),z a bi a b R =+∈，由26z z i +=+，得()26a bi a bi i ++-=+， 即36a bi i -=+，{361a b =∴-=，解得2a =，1b =-．∴复数z 在复平面内所对应的点的坐标为()2,1-，位于第四象限．故选：D ．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 2.已知全集11{|0}1{|21}8x U x R x M x N x x ⎧⎫=∈<=-=<<⎨⎬⎩⎭，，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A. {|31}x x -<<-B. {|30}x x -<<C. {|10}x x -≤<D. {|10}x x -<<【答案】C由题意可得{|10}M x x x =-或，{|30}N x x =-<<，由文氏图可得题中表示的集合为()U C M N ⋂，据此可得图中阴影部分表示的集合.【详解】求解分式不等式11x>-可得{|10}M x x x =-或， 求解指数不等式1218x <<可得{|30}N x x =-<<， 由文氏图可得题中表示的集合为()U C M N ⋂，易知{|10}U C M x x =-≤≤，故(){|10}U C M N x x ⋂=-≤<. 本题选择C 选项.本题主要考查集合的表示方法，集合的基本运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若0,141=+=a a a k ，则k=（ ） A. 10 B. 7C. 4D. 3【答案】A由等差数列的性质可得70a =，然后再次利用等差数列的性质确定k 的值即可. 【详解】由等差数列的性质可知：9579468750S S a a a a a a -=++++==,故70a =，则410720a a a +==，结合题意可知：10=k .本题选择A 选项.本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题.4.某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为（ ）A.103 B. 35 C. 45D.CF BC ⊥【答案】D已知随机选派2人参加围棋比赛的方法有25C 种，而选出的2人中没有女队员的方法有23C 种，据此可得满足题意的概率值.【详解】由题意结合排列组合公式可得随机选派2人参加围棋比赛的方法有25C 种，而选出的2人中没有女队员的方法有23C 种，结合古典概型计算公式可得：选出的2人中有女队员的概率为22532510371010C C P C --===. 本题选择D 选项.有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 5.双曲线222x my m -=的右焦点到一条渐近线的距离为（ ） A. 2C. 1D. 与m 的值有关 【答案】C由题意可知0m >，据此可得右焦点坐标为⎫⎪⎪⎭0my ±=,利用点到直线距离公式求解其距离即可.【详解】由题意可知0m >，双曲线方程即：2212x y m -=，故22222,1,122m ma b c a b ===+=+，则右焦点坐标为⎫⎪⎪⎭0±=,故右焦点到一条渐近线的距离为1d ==.本题选择C 选项.本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6.要得到函数2y x =的图象，只需将函数22y sin x cos x =+的图象上所有的点（ ） A. 向左平行移动4π个单位长度 B. 向左平行移动8π个单位长度C. 向右平行移动4π个单位长度D. 向右平行移动8π个单位长度【答案】D结合辅助角公式可得28y x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，据此确定函数需要平移的方向和长度即可.【详解】由于sin 2cos 22248y x x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故要得到函数2y x =的图象，只需将函数22y sin x cos x =+的图象上所有的点向右平行移动8π个单位长度. 本题选择D 选项.本题主要考查函数的平移变换公式，三角函数图像平移的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.在A B C ，，中，3445a b A ===︒，，，则V ABC 的形状可能是（ ） A. 钝角或锐角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D. 锐角或直角三角形【答案】A由余弦定理可得1c =，结合大边对大角可知∠B 为△ABC 中的最大角，求解B cos 的值即可确定△ABC 的形状.【详解】由余弦定理有：A bc c b a cos 2222-+=，即2916242c c =+-⨯⨯⨯，整理可得：270c -=，解得：1c =，由于11242⎫=<⎪⎭，结合大边对大角可知∠B 为△ABC 中的最大角，当1c =时，222cos 02a c b B ac +-=>，△ABC 为锐角三角形；当1c =时，222cos 02a c b B ac +-=<，△ABC 为钝角三角形；综上可得：ABC V 的形状可能是钝角或锐角三角形. 本题选择A 选项.解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．8.若实数x y ，满足不等式组1010240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则目标函数24x y z x -+=-的最大值是（ ）A. -7B. 13-C. 14-D.41 【答案】C首先画出不等式组表示的可行域，目标函数即：26144x y y z x x -+-==---，结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最大值时点的坐标即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：26144x y y z x x -+-==---，其中64y x --表示可行域内的点与()4,6连线的斜率值，据此结合目标函数的几何意义可知64y x --在点()0,1A 处取得最小值，此时目标函数24x y z x -+=-的最大值为：max 0121044z -+==--.本题选择C 选项.(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 9.下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（ ）A. 662π+B. 664π+C. 662π-D.664π-【答案】B由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，结合题中所给的数据求解组合体的表面积即可.【详解】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，其中长方体的长宽高分别为为3,3,4，圆柱的底面半径为1=r ，圆柱的高为5， 据此可得，组合体的表面积2(333434)212664S ππ=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯=+. 本题选择A 选项.(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10.若函数2(1)()f x x x ax b =-++（）的图象关于点（-2，0）对称，12,x x 分别是f x （）的极大值与极小值点，则21x x -=（ ）A. B. C. - D. 3【答案】C由题意可得：0)2(=-f ，由函数的式结合对称性可得()50f -=，据此可得函数的式为32()6310f x x x x =---+，结合导函数研究函数的极值，由韦达定理可定21x x -的值.【详解】由题意可得：(2)3(42)0f a b -=-+=， 函数图象关于点（-2，0）对称，且()10f =，故()50f -=，即：(5)6(255)0f a b -=-+=, 据此可得：2405250b a b a -+=⎧⎨-+=⎩，解得：107b a =⎧⎨=⎩,故函数的式为：()232()(1)7106310f x x x x x x x =-++=---+，()22'()3123341f x x x x x =---=-++，结合题意可知：12,x x 是方程0142=++x x 的两个实数根，且12x x >，故1212x x x x -=--===-.本题选择C 选项.本题主要考查函数式的求解，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.函数2612xf x x xsin x R π=-+∈（）（）的零点个数为（ ） A. 10 B. 8C. 6D. 4【答案】B很明显0x =不是()f x 的零点，当0x ≠时，原问题等价于考查函数6sin2xy π=与函数1y x x=+交点的个数，绘制函数图像，结合函数的性质确定零点的个数即可. 【详解】很明显0x =不是()f x 的零点，当0x ≠时，令26102xx xsinπ-+=可得16sin2xx x π=+，则原问题等价于求解函数6sin2xy π=与函数1y x x=+交点的个数，注意到两个函数都是奇函数，故考查当0x >时两函数交点的个数，绘制函数图像如图所示，当6x =时，16x x +>，故当0x >时两函数交点的个数为4个， 结合函数的对称性可知函数6sin2xy π=与函数1y x x=+交点的个数为8个.综上可得：函数2612xf x x xsin x R （）（）π=-+∈的零点个数为8. 本题选择B 选项.函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． (3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12.已知实数1212,,,x x y y 满足，2222112212121,1,0x y x y x x y y +=+=+=，则112211x y x y +-++-的最大值为（ ）2 B. 2C. 22D. 4【答案】D设点()()1122,,,A x y C x y 在圆221x y +=上，且90AOC ∠=o，原问题等价于求解点A 和点C 到直线10x y +-=距离之和的2倍的最大值，据此数形结合确定112211x y x y +-++-的最大值即可.【详解】设点()()1122,,,A x y C x y 在圆221x y +=上，且90AOC ∠=o， 原问题等价于求解点A 和点C 到直线10x y +-=距离之和的2倍的最大值，如图所示，易知取得最大值时点A ,C 均位于直线10x y +-=下方， 作AD ⊥直线10x y +-=于点D ，CF ⊥直线10x y +-=于点F ， 取AC 的中点B ，作BE ⊥直线10x y +-=于点E ， 由梯形中位线的性质可知2AD CFBE +=，当AC P 直线10x y +-=时，直线AC 方程为10x y ++=，两平行线之间的距离：()1122d --==由圆的性质2BE ≤综上可得：112211x y x y +-++-(2224=.本题选择D 选项.本题主要考查距离公式的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 二、填空题：本题共4小题。
2019届河北省石家庄市第二中学高三第一学期期末模拟数学(文)试题(解析版)
2019届河北省石家庄市第二中学高三第一学期期末模拟数学（文）试题一、单选题1．设复数z满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】设，代入，得，由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【详解】解：设，由，得，即，，解得，．复数z在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．已知全集，则图中阴影部分表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得，，且文氏图可得题中表示的集合为，据此可得图中阴影部分表示的集合.【详解】求解分式不等式可得，求解指数不等式可得，由文氏图可得题中表示的集合为，易知，故.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的基本运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3．等差数列的前9项的和等于前4项的和，若，则k=（）A．10 B．7 C．4 D．3【答案】A【解析】由等差数列的性质可得，然后再次利用等差数列的性质确定k的值即可. 【详解】由等差数列的性质可知：,故，则，结合题意可知：.本题选择A选项.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题.4．某围棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加围棋比赛，则选出的2人中有女队员的概率为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】已知随机选派2人参加围棋比赛的方法有种，而选出的2人中没有女队员的方法有种，据此可得满足题意的概率值.【详解】由题意结合排列组合公式可得随机选派2人参加围棋比赛的方法有种，而选出的2人中没有女队员的方法有种，结合古典概型计算公式可得：选出的2人中有女队员的概率为. 本题选择D选项.【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用. 5．双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（）A．2 B．C．1 D．与m的值有关【答案】C【解析】由题意可知，据此可得右焦点坐标为，渐近线方程为,利用点到直线距离公式求解其距离即可.【详解】由题意可知，双曲线方程即：，故，则右焦点坐标为，易知双曲线的渐近线方程为,故右焦点到一条渐近线的距离为.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，点到直线距离公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向左平行移动个单位长度C．向右平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【答案】D【解析】结合辅助角公式可得，据此确定函数需要平移的方向和长度即可.【详解】由于，故要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查函数的平移变换公式，三角函数图像平移的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．在中，，则的形状可能是（）A．钝角或锐角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．锐角或直角三角形【答案】A【解析】由余弦定理可得，结合大边对大角可知∠B为△ABC中的最大角，求解的值即可确定△ABC的形状.【详解】由余弦定理有：，即，整理可得：，解得：，由于，结合大边对大角可知∠B为△ABC中的最大角，当时，，△ABC为锐角三角形；当时，，△ABC为钝角三角形；综上可得：的形状可能是钝角或锐角三角形.本题选择A选项.【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．8．若实数满足不等式组，则目标函数的最大值是（）A．-7 B．C．D．【答案】C【解析】首先画出不等式组表示的可行域，目标函数即：，结合目标函数的几何意义确定目标函数取得最大值时点的坐标即可求得其最大值.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：，其中表示可行域内的点与连线的斜率值，据此结合目标函数的几何意义可知在点处取得最小值，此时目标函数的最大值为：.本题选择C选项.【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．9．下图是某实心机械零件的三视图，则该机械零件的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，结合题中所给的数据求解组合体的表面积即可.【详解】由三视图可知该机械零件是一个长方体中间穿一个圆柱，其中长方体的长宽高分别为为，圆柱的底面半径为，圆柱的高为，据此可得，组合体的表面积.本题选择A选项.【点睛】(1)以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．10．若函数的图象关于点（-2，0）对称，分别是的极大值与极小值点，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得：，由函数的解析式结合对称性可得，据此可得函数的解析式为，结合导函数研究函数的极值，由韦达定理可定的值.【详解】由题意可得：，函数图象关于点（-2，0）对称，且，故，即：,据此可得：，解得：,故函数的解析式为：，，结合题意可知：是方程的两个实数根，且，故.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．函数的零点个数为（）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【解析】很明显不是的零点，当时，原问题等价于考查函数与函数交点的个数，绘制函数图像，结合函数的性质确定零点的个数即可.【详解】很明显不是的零点，当时，令可得，则原问题等价于求解函数与函数交点的个数，注意到两个函数都是奇函数，故考查当时两函数交点的个数，绘制函数图像如图所示，当时，，故当时两函数交点的个数为4个，结合函数的对称性可知函数与函数交点的个数为8个.综上可得：函数的零点个数为8.本题选择B选项.【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．12．已知实数满足，，则的最大值为（）A．B．2 C．D．4【答案】D【解析】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，据此数形结合确定的最大值即可.【详解】设点在圆上，且，原问题等价于求解点A和点C到直线距离之和的倍的最大值，如图所示，易知取得最大值时点A,C均位于直线下方，作直线于点，直线于点，取的中点，作直线于点，由梯形中位线的性质可知，当直线时，直线方程为，两平行线之间的距离：，由圆的性质，综上可得：的最大值.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查距离公式的应用，等价转化的数学思想，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．已知向量满足，则=___________.【答案】【解析】由题意可知，据此结合题意求解的值即可. 【详解】由题意结合平行四边形的性质和向量的运算法则有：，结合题意可得，解得：.【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．在的展开式中，项的系数为_______（结果用数值表示）.【答案】19【解析】由，，结合排列组合的结论计算可得项的系数.【详解】由于：，，，据此结合排列组合的性质可得项的系数为：.故答案为：19．【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．15．已知点和抛物线，过C的焦点作直线与C交于两点，若，则弦长=_______.【答案】5【解析】由题意，设直线AB的斜率为k，点，首先利用抛物线的定义和性质求得直线的斜率为k=2，然后利用弦长公式确定弦长的值即可.【详解】设直线AB的斜率为k，点，则，，设AB中点，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线的垂线，垂足为A'，B'，则.为AB中点，∴M为A'B'的中点，平行于x轴，∴y1+y2=2，k=2.设直线AB的倾斜角为，则：，故，由弦长公式可得：.故答案为：5．【点睛】本题主要考查抛物线定义的应用，抛物线的焦点弦的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．定义在正实数上的函数，其中表示不小于x的最小整数，如，，当时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则=____.【答案】【解析】首先求解n=1,2,3,4,5时的值，然后利用递推关系可得的值.【详解】易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以. 当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以.当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，；当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，所以；当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，所以.由此类推：.故.【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.三、解答题17．如图，在平面四边形ABCD中，AB=2，AC=2，∠ADC=∠CAB=90°，设∠DAC=θ．（1）若θ=60°，求BD的长度；（2）若∠ADB=30°，求tanθ．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）第（1）问，在△ABD中，利用余弦定理直接求出BD.(2)第（2）问，在△ABD中，写出正弦定理再化简即得解.试题解析：（1）由题意可知，AD＝1．在△ABD中，∠DAB＝150°，AB＝2，AD＝1，由余弦定理可知，BD2＝(2)2＋12－2×2×1×(－)＝19,BD＝．（2）由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°－θ，在△ABD中，由正弦定理可知，. 18．为了解全市统考情况，从所有参加考试的考生中抽取4000名考生的成绩，频率分布直方图如下图所示.（1）求这4000名考生的半均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）由直方图可认为考生考试成绩z服从正态分布，其中分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差，那么抽取的4000名考生成绩超过84.81分（含84.81分）的人数估计有多少人？（3）如果用抽取的考生成绩的情况来估计全市考生的成绩情况，现从全市考生中随机抽取4名考生，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求.（精确到0.001）附：①；②，则；③.【答案】（1）分；（2）634人；（3）0.499【解析】（1）根据加权平均数公式计算；（2）根据正态分布的对称性计算P（z≥84.81），再估计人数；（3）根据二项分布的概率公式计算P（ξ≤3）．【详解】（1）由题意知：中间值概率∴，∴名考生的竞赛平均成绩为分.（2）依题意服从正态分布，其中，，，∴服从正态分布，而，∴.∴竞赛成绩超过分的人数估计为人人.（3）全市竞赛考生成绩不超过分的概率.而，∴.【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.19．如图，三棱柱中，分别为棱的中点.（1）在上确定点M，使平面，并说明理由。
2020-2021石家庄市高三数学上期末试题及答案
(
)
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角
三角形
3．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若
S6 S3
3，则
S9 S6
（
）
A． 2
B． 7 3
C． 8 3
D． 3
4．在 ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A ， B ， C 的对边，若 b 2c ， a 6 ，
3x y 8 0
处取得最大值，则 a 的取值范围为_____________．
14．已知向量 a
1, x,b
x,
y 2
，其中
x
0 ，若
a
与b
共线，则
y x
的最小值为
__________．
15．△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 acosB＝5bcosA，asinA﹣bsinB＝
a3 a5 10
a1 3d 5
d 3
∴
S10
10a1
10 9 2
d
40
135
95 ．
考点：等差数列的通项公式和前 n 项和公式．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】 先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】
数列 an 为等比数列， a1 1， a7 8a4 ，
【点睛】
三角形的面积公式常见形式有两种：一是 1 （底 高），二是 1 bcsinA .借助 1 （底
2
2
2
高）时，需要将斜三角形的高与相应的底求出来；借助 1 bcsinA 时，需要求出三角形两边 2
及其夹角的正弦值.
5．C