高等数学(侯风波)第1章课件PPT
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高等数学第1章 函数、极限与连续PPT科技
狄利克雷函数
( 一般指最小正周期 ).
周期为
1, x 为有理数
0 , x 为无理数
4.有界性
x D , M 0 , 使 f ( x) M ,称 f (x)为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界.
三、函数的简单性质
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
1.单调性
x1, x2, f (Ix, )x当1Mx2,时称， 为有上界
y
若
f
(
x1 )
f
,M
(x2
)f,(称x
),f
称( x为) 有为下I 界上的
单调增函数 ;
若若f对(x任1意) 正数f (Mx2, )均, 存称在 f ( x) 为
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
02
第2节
数列的极限
一、数列极限的例子
二 、数列与整标函数
三 、数列的极限
四 、数列极限的性质
一、数列极限的例子
极限概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，要计算 由曲线y＝x2和直线y＝0，x＝1围成的“曲边三角形”的面积A.
并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x 0 可表为 x0
y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数
( 一般指最小正周期 ).
周期为
1, x 为有理数
0 , x 为无理数
4.有界性
x D , M 0 , 使 f ( x) M ,称 f (x)为有界函数. x I , M 0 , 使 f ( x) M , 称 f (x) 在 I 上有界.
说明: 还可定义有上界、有下界、无界.
三、函数的简单性质
设函数 y f (x) , x D , 且有区间 I D .
1.单调性
x1, x2, f (Ix, )x当1Mx2,时称， 为有上界
y
若
f
(
x1 )
f
,M
(x2
)f,(称x
),f
称( x为) 有为下I 界上的
单调增函数 ;
若若f对(x任1意) 正数f (Mx2, )均, 存称在 f ( x) 为
证: 由 f (x) 的对称性知
f (a x) f (a x), f (b x) f (b x)
于是
f (x)
f (2a x)
故 f (x) 是周期函数 , 周期为
02
第2节
数列的极限
一、数列极限的例子
二 、数列与整标函数
三 、数列的极限
四 、数列极限的性质
一、数列极限的例子
极限概念是由求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，要计算 由曲线y＝x2和直线y＝0，x＝1围成的“曲边三角形”的面积A.
并可用一个式子表示的函数 , 称为初等函数 . 否则称为非初等函数 .
例如 ,
y xx, ,
x 0 可表为 x0
y
x2 , 故为初等函数.
又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
非初等函数举例: 符号函数
第一章函数 《高等数学》课件
基础平台
第一部分 极限初论
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极限初论三个内容的关系 函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
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第一章 函 数
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第一章 函 数
§1.1 函数的概念 §1.2 函数的基本性质 §1.3 复合函数与反函数 §1.4 初等函数及其应用 §1.5 常用经济函数
t s
s/km 200
100
0
0
1
2
0
100
200
1
2
t/h
思考：
(1) 在描点时，是怎样确定一个点的位 置的？ 哪个变量作为点的横坐标？哪 个变量作为点的纵坐标？ (2) 函数的定义域是什么？ (3) s 的值能大于 200 吗？能是负值吗？ 为什么？函数的值域是什么？ (4) 随行驶时间 t 的增大，距离 s有怎样 的变化？
函数的定义
设x和y是两个变量，D 是一个给定的非空数集. 如果对于每个数x∈D，按照一定对应法则总有唯一 确定的数值y和它对应，则称y是x的函数。
D
B
f：对应法则
x.
y.
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记作
因变量
自变量
定义域
其中, x 称为自变量，y 称为因变量，数集 D 称
为这个函数的定义域。
在某一自然现象或社会现象中，往往 同时存在多个不断变化的量（变量），这 些变量并不是孤立变化的，而是相互联系 并遵循一定的规律。函数就是描述这种联 系的一个法则。
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例如，在自由落体运动中，设物体下落的 时间为t，落下的距离为s。假定开始下落 的时刻为t=0，则变量s与t之间的相依关系 由数学模型
第一部分 极限初论
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极限初论三个内容的关系 函数 — 研究对象 极限 — 研究方法 连续 — 研究桥梁
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第一章 函 数
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第一章 函 数
§1.1 函数的概念 §1.2 函数的基本性质 §1.3 复合函数与反函数 §1.4 初等函数及其应用 §1.5 常用经济函数
t s
s/km 200
100
0
0
1
2
0
100
200
1
2
t/h
思考：
(1) 在描点时，是怎样确定一个点的位 置的？ 哪个变量作为点的横坐标？哪 个变量作为点的纵坐标？ (2) 函数的定义域是什么？ (3) s 的值能大于 200 吗？能是负值吗？ 为什么？函数的值域是什么？ (4) 随行驶时间 t 的增大，距离 s有怎样 的变化？
函数的定义
设x和y是两个变量，D 是一个给定的非空数集. 如果对于每个数x∈D，按照一定对应法则总有唯一 确定的数值y和它对应，则称y是x的函数。
D
B
f：对应法则
x.
y.
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记作
因变量
自变量
定义域
其中, x 称为自变量，y 称为因变量，数集 D 称
为这个函数的定义域。
在某一自然现象或社会现象中，往往 同时存在多个不断变化的量（变量），这 些变量并不是孤立变化的，而是相互联系 并遵循一定的规律。函数就是描述这种联 系的一个法则。
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例如，在自由落体运动中，设物体下落的 时间为t，落下的距离为s。假定开始下落 的时刻为t=0，则变量s与t之间的相依关系 由数学模型
高数说课课件
《高等数学》说课课件
滨州职业学院基础课教学部
张
秀
玲
说课内容
一、课程基本信息 二、课程设计 三、 几点说明
一、课程基本信息
1.1课程名称：《高等数学》 1.2课程类型：职业核心能力课程 1.3课程性质：必修课 1.4课程学分：4 1.5计划课时：第一学期60学时（周学时4） 1.6使用教材：普通高等教育“十一五”国家 级 规划教材，高等教育出版社出版的《高等数学》 （第三版，主编 侯风波） 1.7适用专业：建筑工程技术专业
2.10第一次课设计
第一次课主要包括教学活动的组织、分组和课程介绍。 （1）教师及课程总体情况介绍.课程说明及要求，安 排教学总体内容及时间计划，明确活动组织及参与要 求。 （2）明确提出教学规范和纪律要求. 选出一位科代表 或联系人。 （3）告知考核内容、要求、评分标准及各项目所占 比例。 （4）布置第一堂课学习和活动内容并有效组织。 附: 《高等数学》单元课程设计1 第一次课教案
2.3.2教学内容设计及学时分配
共60学时
函数基础知识 极限与连续 导数及其应用
4学时 18学时 20学时 16学时 2学时
不定积分和定积分
评估测试
2.4模块设计
2.4.3手 段不同 解释不 同规律 2.4.4不规 则图形和 几何体我 也可应对
2.4.5 我在滨职快 乐成长
2.4.1 变化的 世界有 规律
三、 几点说明
1．教学实施需要借助多媒体、图板、 电子笔、记号笔、纸张等相关教学活动 中所必须的教学设备、用品、消耗品. 2．教学实施过程中学生人数最多不超过 50人. 3．例题练习及项目活动选题应密切结合 学生未来的岗位职责及能力需求，体现 学生将来的职业特点.
滨州职业学院基础课教学部
张
秀
玲
说课内容
一、课程基本信息 二、课程设计 三、 几点说明
一、课程基本信息
1.1课程名称：《高等数学》 1.2课程类型：职业核心能力课程 1.3课程性质：必修课 1.4课程学分：4 1.5计划课时：第一学期60学时（周学时4） 1.6使用教材：普通高等教育“十一五”国家 级 规划教材，高等教育出版社出版的《高等数学》 （第三版，主编 侯风波） 1.7适用专业：建筑工程技术专业
2.10第一次课设计
第一次课主要包括教学活动的组织、分组和课程介绍。 （1）教师及课程总体情况介绍.课程说明及要求，安 排教学总体内容及时间计划，明确活动组织及参与要 求。 （2）明确提出教学规范和纪律要求. 选出一位科代表 或联系人。 （3）告知考核内容、要求、评分标准及各项目所占 比例。 （4）布置第一堂课学习和活动内容并有效组织。 附: 《高等数学》单元课程设计1 第一次课教案
2.3.2教学内容设计及学时分配
共60学时
函数基础知识 极限与连续 导数及其应用
4学时 18学时 20学时 16学时 2学时
不定积分和定积分
评估测试
2.4模块设计
2.4.3手 段不同 解释不 同规律 2.4.4不规 则图形和 几何体我 也可应对
2.4.5 我在滨职快 乐成长
2.4.1 变化的 世界有 规律
三、 几点说明
1．教学实施需要借助多媒体、图板、 电子笔、记号笔、纸张等相关教学活动 中所必须的教学设备、用品、消耗品. 2．教学实施过程中学生人数最多不超过 50人. 3．例题练习及项目活动选题应密切结合 学生未来的岗位职责及能力需求，体现 学生将来的职业特点.
《高等数学第一章》PPT课件
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处右
0
连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续.
例2
讨论函数
f
(x)
x 2,
x
2,
x 0, x 0,
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x)在U ( x0 )内有定义, x U ( x0 ), x x x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y f ( x) f ( x0 ),称为函数 f ( x)相应于x的增量.
y
y
y f (x)
y f (x)
★
f
(
x)
1, 1,
当x是有理数时, 当x是无理数时,
在定义域 R内每一点处都间断, 但其绝对值处 处连续.
判断下列间断点类型:
y
y f x
x1 o
x2
x3
x
例8 当a取何值时,
函数
f
(x)
cos a
x, x,
x 0, 在 x 0处连续. x 0,
解 f (0) a,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
o
x
这种情况称为无穷间 断点.
例7 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
高等数学课件第1章 函数与极限
W {y y f (x), x D}
为函数的值域。
说明：函数值
f (x0 )
f (x) xx0
y xx0
y(x0 )
1.1.2 函数概念(续二)
【说明】
(1) 对应法则是函数概念的一个重要因素。变量用什 么字母无关紧要。
(2) 定义域是函数概念的另一个重要因素。自然定义 域 实际定义域
A r 2
y x2
(3) 表示函数的方法有多种。解析法（也称公式法）、 图像法、表格法
1.1.2 函数概念(续三)
一元函数 多元函数
A 1 absin
2
实例4：说明由方程 x2 y2 r 2确定的两个变量x和y之 间的相依关系。
多值函数 单值函数
例1-1 某汽车公司规定从甲地运货至乙地的收费标 准是：如果货物重量不超过30千克，则每千克 收费1.5元；如果货物重量超过30千克，则超出 部分每千克收费增至2.5元；试写出货物运费F与 货物重量m之间的函数关系。
1.2 初等函数
1.2.1 常值函数 1.2.2 幂函数 1.2.3 指数函数与对数函数 1.2.4 三角函数 1.2.5 反三角函数 1.2.6 复合函数 初等函数
1.2 初等函数(续)
➢ 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函 数和反三角函数6类是最常见最基本的，这些函数 称为基本初等函数。
➢ 表示集合最常用的方法是描述法：
A {x | p(x)}
➢ 其中x表示A的元素，p(x)代表x满足的条件。
1.1.1 常量与变量 数集(续二)
例如 A {x x t 2 1,t R}
通常省略说明属于实数集R的部分，即
A {x x t 2 1}
➢ 区间是R的一个连续子集。 ➢ 区间分为有限区间和无穷区间两大类，这两类区间
高等数学 第一部分 函数、极限与连续 课件ppt
a 1 时，y log a x 单调递增， y
y logax (a 1)
0 a 1时y， log a x 单调递减。 o
x
y logax (0 x 1)
1-1 函数
4. 三角函数
正弦函数：y sin x
定义域：(,)．
值 域：[1,1] ．
单调性：
在
2
2k , 2
2k
单调增加；2
1-1 函数
函数的表示法
1）以数学式子表示函数的方法叫公式法如： y x2, y cos x 公式法的优点是便于理论推导和计算．
2）以表格形式表示函数的方法叫表格法，它是 将自变量的值与对应的函数值列为表格，如三角函 数表、对数表等，表格法的优点是所求的函数值容 易查得．
3）以图形表示函数的方法叫图形法或图象法， 这种方法在工程技术上应用很普遍，其优点是直观 形象，可看到函数的变化趋势．
4
2
3
（2） y sin x cosx 的周期T 2
（3） y cos 2x tan x 的周期T 3 ．
3 3 6
1-1 函数
4．有界性
定义 1.6 设函数 y f (x) 的定义域为 D，如果存在 一个正常数 M，使得对于任意的 x D ，都有| f (x) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上有界．如果不存在这样的正常 数 M，即对任意的正常数 M，都存在某个点 x0 D ，使 得| f (x0 ) | M , 则称函数 y f (x) 在 D 上无界．
2k ,
3
2
2k
单调减少．
奇偶性：奇函数．
周期性：周期函数．
有界性：有界函数．
余弦函数：y cosx
1-1 函数
高等数学第一章第4节.ppt
下页
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值.
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断 点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例如, 函数f(x)=x在开区间(a, b) 内既无最大值又无最小值.
下页
定理1(最大值和最小值定理)
在点x0也连续. >>> 例1 因为sin x和cos x都在区间(−∞, +∞)内连续, 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的. 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在 其有定义的区间内都是连续的.
首页
定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续, 那 么它的反函数x=f −1(y)在区间Iy={y|y=f(x), x∈Ix}上也是单 调增加(或减少)且连续的. 例2 由 y=sin x 在 间[−π , π ] 上 调 加 连 , 于 区 [− 单 增 且 续 2 2 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[−1, 1]上也是连续的. 同样, y=arccos x 在区间[−1, 1]上是连续的. y=arctan x 在区间(−∞, +∞)内是连续的. y=arccot x 在区间(−∞, +∞)内是连续的.
下页
•间断点举例 例2 函 y =sin 1 在 x=0 没 定 , 数 点 有 义 x 所以点x=0是函数的间断点. 当x→0时, 函数值在−1与+1之间变动无限多次, 所以点x=0称为函数的振荡间断点.
1 y=sin x
下页
•间断点举例
x2 −1 x 1 例3 函 y = 数 在 = 没 定 , 有 义 x−1 所以点x=1是函数的间断点. x2 −1 =lim(x+1 =2 ) , 因 lim 为 x→ x− 1 1 1 x→ : x=1 y=2, 如果补充定义: 令x=1时y=2, 则所给 函数在x=1成为连续, 所以x=1称为 该函数的可去间断点.
定理1(最大值和最小值定理)
在闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大 值和最小值.
应注意的问题:
如果函数仅在开区间内连续, 或函数在闭区间上有间断 点, 那么函数在该区间上就不一定有最大值或最小值. 例如, 函数f(x)=x在开区间(a, b) 内既无最大值又无最小值.
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定理1(最大值和最小值定理)
在点x0也连续. >>> 例1 因为sin x和cos x都在区间(−∞, +∞)内连续, 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的. 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在 其有定义的区间内都是连续的.
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定理2 如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续, 那 么它的反函数x=f −1(y)在区间Iy={y|y=f(x), x∈Ix}上也是单 调增加(或减少)且连续的. 例2 由 y=sin x 在 间[−π , π ] 上 调 加 连 , 于 区 [− 单 增 且 续 2 2 所以它的反函数y=arcsin x 在区间[−1, 1]上也是连续的. 同样, y=arccos x 在区间[−1, 1]上是连续的. y=arctan x 在区间(−∞, +∞)内是连续的. y=arccot x 在区间(−∞, +∞)内是连续的.
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•间断点举例 例2 函 y =sin 1 在 x=0 没 定 , 数 点 有 义 x 所以点x=0是函数的间断点. 当x→0时, 函数值在−1与+1之间变动无限多次, 所以点x=0称为函数的振荡间断点.
1 y=sin x
下页
•间断点举例
x2 −1 x 1 例3 函 y = 数 在 = 没 定 , 有 义 x−1 所以点x=1是函数的间断点. x2 −1 =lim(x+1 =2 ) , 因 lim 为 x→ x− 1 1 1 x→ : x=1 y=2, 如果补充定义: 令x=1时y=2, 则所给 函数在x=1成为连续, 所以x=1称为 该函数的可去间断点.
高数第一章 一元函数 PPT课件
月份 t 零售量 s 1 81 2 84 3 45 4 45 5 9 6 5 7 6 8 15 9 94 10 11 12 123 161 144
此表表示了毛线的零售量s随月份t而变化的函数关系 它的定 义域为 D{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12}
常用的函数表示法有公式法、表格法和图形法 图像法——用函数的图像表示自变量和因变量间的关系 例3 某河道的一个断面图形如下 其深度y与一岸边0到 测量点的距离x之间的对应关系由图中的曲线所示 这里深度 y是测距x的函数关系是用图形表示的 它的定义域为D=[0 b]
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
恩格斯
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了.
二、如何学习高等数学 ?
x0 x
由此可知微分的一个重要应用是：近似计算。
2、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
曲边梯形的面积如何求？ 设曲边梯形是由连续曲线 和 x 轴，以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
A?
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
2 22 r 2 r xx y y y x2 x2 yy y log log x x 1) 1) a(3 a(3
有些函数它的因变量与自变量的对应规则是用一个方程 F ( x, y ) 0 表示的 称为隐函数
此表表示了毛线的零售量s随月份t而变化的函数关系 它的定 义域为 D{1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12}
常用的函数表示法有公式法、表格法和图形法 图像法——用函数的图像表示自变量和因变量间的关系 例3 某河道的一个断面图形如下 其深度y与一岸边0到 测量点的距离x之间的对应关系由图中的曲线所示 这里深度 y是测距x的函数关系是用图形表示的 它的定义域为D=[0 b]
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
恩格斯
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了.
二、如何学习高等数学 ?
x0 x
由此可知微分的一个重要应用是：近似计算。
2、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
曲边梯形的面积如何求？ 设曲边梯形是由连续曲线 和 x 轴，以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
A?
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
2 22 r 2 r xx y y y x2 x2 yy y log log x x 1) 1) a(3 a(3
有些函数它的因变量与自变量的对应规则是用一个方程 F ( x, y ) 0 表示的 称为隐函数
大一高数 第一章ppt课件
在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点 a x x x x x b 0 1 2 n 1 n 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 在第 i 个窄曲边梯形上任取 y 作以 [xi 1, x i ]为底 , f (i ) 为高的小矩形, 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 Ai , 得
f ( x x ) f ( x ) f ( x ) x 0 0 0
由此可知微分的一个重要应用是：近似计算。
2、定积分问题举例
矩形面积 ah
h
a a
h 梯形面积 (a b) 2
曲边梯形的面积如何求？ 设曲边梯形是由连续曲线
b
h
y f ( x ) ( f ( x ) 0 )
大一高数 第一 章教学
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
恩格斯
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了.
2) 近似.
[ x ,x i i 1 i]
xi 1 x i b x i A f ( ) x x x x ) ,i 1 , 2 , , n ) i i i( i i i 1
o a x1
3) 求和.
A A i f (i )xi
i 1
半开区间
[ a , b ] xa x b
[ a , b ) x a x b ( a , b ] x a x b
f ( x x ) f ( x ) f ( x ) x 0 0 0
由此可知微分的一个重要应用是：近似计算。
2、定积分问题举例
矩形面积 ah
h
a a
h 梯形面积 (a b) 2
曲边梯形的面积如何求？ 设曲边梯形是由连续曲线
b
h
y f ( x ) ( f ( x ) 0 )
大一高数 第一 章教学
引
言
一、什么是高等数学 ?
初等数学 — 研究对象为常量, 以静止观点研究问题. 高等数学 — 研究对象为变量, 运动和辩证法进入了数学.
数学中的转折点是笛卡儿的变数. 有了变数 , 运动进入了数学, 有了变数，辩证法进入了数学 ,
恩格斯
有了变数 , 微分和积分也就立刻成 为必要的了.
2) 近似.
[ x ,x i i 1 i]
xi 1 x i b x i A f ( ) x x x x ) ,i 1 , 2 , , n ) i i i( i i i 1
o a x1
3) 求和.
A A i f (i )xi
i 1
半开区间
[ a , b ] xa x b
[ a , b ) x a x b ( a , b ] x a x b