第一章2.2等差数列的前n项和(第2课时) -北师大版高一数学必修5课件
第2章2.2第1课时
必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
【自主解答】 (1)是等差数列． ∵an＋1－an＝4－2(n＋1)－(4－2n) ＝4－2n－2－4＋2n＝－2(常数)， ∴{an}是等差数列，且公差为－2. (2)不是等差数列． ∵a1＝2，a2＝6，a3＝12， ∴a2－a1≠a3－a2，
课 时 作 业
课 堂 互 动 探 究
教 师 备 课 资 源
菜
单
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
思 想 方 法 技 巧
教学手段：多媒体计算机和传统黑板相结合．通过计算机 模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造 条件，这样做，可以使学生有兴趣地学习，注意力也容易集中， 符合教学论中的直观性原则和可接受性原则．而保留使用黑板 则能让学生更好的经历整个教学过程．
必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
【自主解答】 (1)由 an＝a1＋(n－1)d 得，
a1＋4d＝10， a1＋11d＝31， a1＝－2， 解得 d＝3.
∴a20＝－2＋19×3＝55. (2)∵a1＝－2，d＝3，∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5， 令 3n－5＝85，∴n＝30. ∴85 是该数列的第 30 项．
新课标 ·数学
教 学 教 法 分 析 教 学 方 案 设 计 课 前 自 主 导 学
必修5
思 想 方 法 技 巧 当 堂 双 基 达 标
2.2 第 1 课时
等差数列 等差数列
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 掌握等差数列的概念；理解等差数列的通项公式的推导过 程；能运用等差数列的通项公式解决一些问题．
高考数学必修五 第二章 2.2 第1课时等差数列的概念及通项公式
§2.2 等差数列第1课时 等差数列的概念及通项公式学习目标 1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差中项的概念.知识点一 等差数列的概念 思考 给出以下三个数列： (1)0,5,10,15,20； (2)4,4,4,4，…； (3)18,15.5,13,10.5,8,5.5. 它们有什么共同的特征？答案 从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数.梳理 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，可正可负可为零. 知识点二 等差中项的概念思考 下列所给的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列： (1)2,4；(2)－1,5；(3)0,0；(4)a ，b . 答案 插入的数分别为3,2,0，a ＋b2.梳理 如果三个数a ，A ，b 组成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.知识点三 等差数列的通项公式思考 对于等差数列2,4,6,8，…，有a 2－a 1＝2，即a 2＝a 1＋2；a 3－a 2＝2，即a 3＝a 2＋2＝a 1＋2×2；a 4－a 3＝2，即a 4＝a 3＋2＝a 1＋3×2. 试猜想a n ＝a 1＋( )×2. 答案 n －1梳理 若一个等差数列{a n }，首项是a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .此公式可用累加法证明.1.若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(×)2.任意两个实数都有等差中项.(√)3.从通项公式可以看出，若等差数列的公差d>0，则该数列为递增数列.(√)4.若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定成等差数列.(√)类型一等差数列的概念例1判断下列数列是不是等差数列？(1)9,7,5,3，…，－2n＋11，…；(2)－1,11,23,35，…，12n－13，…；(3)1,2,1,2，…；(4)1,2,4,6,8,10，…；(5)a，a，a，a，a，….考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用解由等差数列的定义得(1)，(2)，(5)为等差数列，(3)，(4)不是等差数列.反思与感悟判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去它的前一项差是否为同一个常数，但当数列项数较多或是无穷数列时，逐一验证显然不行，这时可以验证a n＋1－a n(n≥1，n∈N*)是不是一个与n无关的常数.跟踪训练1数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n的等差数列考点等差数列的概念题点等差数列概念的理解运用答案 A解析∵a n＋1－a n＝2(n＋1)＋5－(2n＋5)＝2，∴{a n}是公差为2的等差数列.类型二等差中项例2 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，c 使这五个数成等差数列，求此数列. 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用解 ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列， ∴b 是－1与7的等差中项， ∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1.又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7.反思与感悟 在等差数列{a n }中，由定义有a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，即a n ＝a n ＋1＋a n －12，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5，求m 和n 的等差中项. 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用解 由m 和2n 的等差中项为4，得m ＋2n ＝8. 又由2m 和n 的等差中项为5，得2m ＋n ＝10. 两式相加，得m ＋n ＝6.所以m 和n 的等差中项为m ＋n2＝3.类型三 等差数列通项公式的求法及应用 命题角度1 基本量(a 1，d )的计算例3 在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，求通项公式a n . 考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项解 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36.解得d ＝2，a 1＝2. ∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .反思与感悟根据已知量和未知量之间的关系，列出方程求解的思想方法，称为方程思想.等差数列{a n}中的每一项均可用a1和d表示，这里的a1和d就像构成物质的基本粒子，我们可以称为基本量.跟踪训练3(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；(2)判断－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项，如果是，是第几项？考点等差数列基本量的计算问题题点求等差数列的项解(1)由a1＝8，a2＝5，得d＝a2－a1＝5－8＝－3，由n＝20，得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49.(2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为a n＝－5＋(n－1)×(－4)＝－4n－1.由题意，令－401＝－4n－1，得n＝100，即－401是这个数列的第100项.命题角度2等差数列的实际应用例4某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以，可以建立一个等差数列{a n}来计算车费.令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2.即需要支付车费23.2元.反思与感悟在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素.跟踪训练4在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5℃，5 km高度的气温是－17.5℃，求2 km，4 km,8 km高度的气温.考点等差数列的应用题题点等差数列的应用题解用{a n}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，则a1＝8.5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8.5＋4d＝－17.5，解得d＝－6.5，∴a n＝15－6.5n.∴a2＝2，a4＝－11，a8＝－37，即2 km,4 km,8 km 高度的气温分别为2℃，－11℃，－37℃.1.下列数列不是等差数列的是( ) A.1,1,1,1,1 B.4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D.－3，－2，－1,1,2考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用 答案 D2.已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( ) A.2 B.3 C.－2 D.－3 考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 C解析 由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.3.已知在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则角B 等于( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 B解析 因为A ，B ，C 成等差数列，所以B 是A ，C 的等差中项，则有A ＋C ＝2B ， 又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，从而B ＝60°.4.已知等差数列－5，－2,1，…，则该数列的第20项为( ) A.52 B.62 C.－62D.－52考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 A解析 公差d ＝－2－(－5)＝3，a 20＝－5＋(20－1)d ＝－5＋19×3＝52. 5.已知等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，则它的项数是( )A.92B.47C.46D.45考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 C解析 d ＝－1－1＝－2，设－89为第n 项，则－89＝1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)·(－2)，∴n ＝46.1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法(1)a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (2)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列； (3)a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数，n ∈N *)⇔{a n }是等差数列.但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可.2.由等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可以看出，只要知道首项a 1和公差d ，就可以求出通项公式，反过来，在a 1，d ，n ，a n 四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量.一、选择题1.若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列{a n }是( ) A.公差为1的等差数列 B.公差为13的等差数列C.公差为－13的等差数列D.不是等差数列 考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用 答案 B解析 由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为13的等差数列.2.在数列{a n }中，a 1＝2，2a n ＋1－2a n ＝1，则a 101的值为( ) A.52 B.51 C.50 D.49 考点 等差数列的概念 题点 等差数列概念的理解运用答案 A解析 因为2a n ＋1－2a n ＝1，a 1＝2，所以数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，所以a 101＝a 1＋100d＝2＋100×12＝52.3.若a ≠b ，则等差数列a ，x 1，x 2，b 的公差是( ) A.b －a B.b －a 2C.b －a 3D.b －a 4考点 等差数列基本量的计算问题 题点 等差数列公差有关问题 答案 C解析 由等差数列的通项公式，得b ＝a ＋(4－1)d ， 所以d ＝b －a3.4.已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5等于( ) A.15 B.22 C.7 D.29考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 A解析 设{a n }的首项为a 1，公差为d ，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋7d ＝22，a 6＝a 1＋5d ＝7，解得a 1＝47，d ＝－8.所以a 5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.5.等差数列20,17,14,11，…中第一个负数项是( ) A.第7项 B.第8项 C.第9项D.第10项考点 等差数列的通项公式 题点 通项公式的综合应用 答案 B解析 ∵a 1＝20，d ＝－3， ∴a n ＝20＋(n －1)×(－3)＝23－3n ，∴a7＝2＞0，a8＝－1<0.6.若5，x ，y ，z,21成等差数列，则x ＋y ＋z 的值为( ) A.26 B.29 C.39 D.52 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 C解析 ∵5，x ，y ，z,21成等差数列，∴y 既是5和21的等差中项也是x 和z 的等差中项. ∴5＋21＝2y ，∴y ＝13，x ＋z ＝2y ＝26， ∴x ＋y ＋z ＝39.7.一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23 考点 等差中项 题点 等差中项及其应用 答案 C解析 ∵b 是x,2x 的等差中项，∴b ＝x ＋2x 2＝3x 2，又∵x 是a ，b 的等差中项，∴2x ＝a ＋b ， ∴a ＝x 2，∴a b ＝13.8.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) A.15 B.30 C.31 D.64考点 等差数列基本量的计算问题 题点 求等差数列的项 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1＋3d ＝1，a 7＋a 9＝2a 1＋14d ＝16，得⎩⎨⎧a 1＝－174，d ＝74，∴a 12＝a 1＋11d ＝－174＋11×74＝15.二、填空题9.若一个等差数列的前三项为a ，2a －1，3－a ，则这个数列的通项公式为________. 考点 等差数列的通项公式题点 求通项公式答案 a n ＝n 4＋1，n ∈N * 解析 ∵a ＋(3－a )＝2(2a －1)，∴a ＝54. ∴这个等差数列的前三项依次为54，32，74， ∴d ＝14，a n ＝54＋(n －1)×14＝n 4＋1，n ∈N *. 10.现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升.考点 等差数列的应用题题点 等差数列的应用题答案 6766解析 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧ a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766. 11.首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________.考点 等差数列的通项公式题点 通项公式的综合应用答案 ⎝⎛⎦⎤83，3解析 设a n ＝－24＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d ≤0，a 10＝－24＋9d >0，解得83<d ≤3. 三、解答题12.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，设b n ＝a n 2n －1. (1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.考点 等差数列的概念题点 等差数列概念的理解运用(1)证明 由已知a n ＋1＝2a n ＋2n，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1.又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝n ，又b n ＝a n 2n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n ·2n －1. 13.已知等差数列{a n }：3,7,11,15，….(1)135,4m ＋19(m ∈N *)是{a n }中的项吗？试说明理由；(2)若a p ，a q (p ，q ∈N *)是数列{a n }中的项，则2a p ＋3a q 是数列{a n }中的项吗？并说明你的理由. 考点 等差数列的通项公式题点 通项公式的综合应用解 由题意可知，a 1＝3，d ＝4，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1.(1)令a n ＝4n －1＝135，∴n ＝34，∴135是数列{a n }的第34项.令a n ＝4n －1＝4m ＋19，则n ＝m ＋5∈N *，∴4m ＋19是数列{a n }的第m ＋5项.(2)∵a p ，a q 是数列{a n }中的项，∴a p ＝4p －1，a q ＝4q －1.∴2a p ＋3a q ＝2(4p －1)＋3(4q －1)＝8p ＋12q －5＝4(2p ＋3q －1)－1，其中2p ＋3q －1∈N *，∴2a p ＋3a q 是数列{a n }的第2p ＋3q －1项.四、探究与拓展14.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 10＝________. 考点 等差数列的概念题点 等差数列概念的理解运用答案 110解析 易知a n ≠0，∵数列{a n }满足a n －1－a n ＝a n a n －1(n ≥2)，∴1a n －1a n －1＝1(n ≥2)，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，公差为1，首项为1，∴1a 10＝1＋9＝10，∴a 10＝110. 15.已知数列{a n }满足：a 1＝10，a 2＝5，a n －a n ＋2＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.考点 等差数列的通项公式 题点 求通项公式解 由a n －a n ＋2＝2知，{a n }的奇数项，偶数项 分别构成公差为－2的等差数列. 当n ＝2k －1时，2k ＝n ＋1，a 2k －1＝a 1＋(k －1)·(－2)＝12－2k ， ∴a n ＝12－(n ＋1)＝11－n (n 为奇数). 当n ＝2k 时，a 2k ＝a 2＋(k －1)·(－2)＝5－2k ＋2 ＝7－2k .∴a n ＝7－n (n 为偶数).∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧7－n ，n 为偶数，11－n ，n 为奇数.。
高中数学第二章数列2.2等差数列第1课时等差数列的概念与通项公式课件新人教A版必修5
3．在等差数列{an}中，若 a1·a3＝8，a2＝3，则公差 d＝( )
A．1 B．－1 C．±1 D．±2 a1（a1＋2d）＝8，
解析：由已知得 a1＋d＝3，
解得 d＝±1. 答案：C
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4. lg( 3 ＋ 2 ) 与 lg( 3 － 2 ) 的 等 差 中 项 是 ______________．
第十六页，共32页。
[变式训练] (1)已知数列 3，9，15，…，3(2n－1)，…， 那么 81 是它的第________项( )
A．12 B．13 C．14 D．15 (2)已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断 153 是不是这个数列的项，如果是，是第几项？ 解析：(1)an＝3(2n－1)＝6n－3，由 6n－3＝81，得 n ＝14.
第十七页，共32页。
(2)设首项为 a1，公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， a1＋（15－1）d＝33，
由已知 a1＋（61－1）d＝217，
a1＝－23， 解得
d＝4. 所以 an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27，
第十八页，共32页。
令 an＝153，即 4n－27＝153，解得 n＝45∈N*， 所以 153 是所给数列的第 45 项． 答案：(1)C (2)45
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)√
第七页，共32页。
2．已知等差数列{an}中，首项 a1＝4，公差 d＝－2，
则通项公式 an 等于( )
A．4－2n
B．2n－4
C．6－2n
D．2n－6
解析：因为 a1＝4，d＝－2，所以 an＝4＋(n－1)×(－
2)＝6－2n.
第一部分 第二章 2.2 第一课时 等差数列
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1．等差中项：如果a，A，b成 等差 数列，那么A 叫做a与b的等差中项．
2．等差中项的性质
a＋b A是a与b的等差中项⇔ A＝ (或 2A＝a＋b ). 2
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问题：若一等差数列{an}的首项为a1，公差是d，则
根据其定义可得： a2－a1＝________，即a2＝a1＋________； a3－a2＝________，即a3＝a2＋d＝a1＋________； a4－a3＝________，即a4＝a3＋d＝a1＋________； …
(2)证bn＋1－bn是一个常数．
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[精解详析]
(1)an＋1－an
＝[p(n＋1)2＋q(n＋1)]－(pn2＋qn) ＝2pn＋p＋q. 欲使{an}为等差数列，则2pn＋p＋q应是一个与n无关 的常数，
而只有2p＝0即p＝0时，an＋1－an＝q为常数．
故当p＝0，q∈R时，数列{an}是等差数列．
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问题：观察下面的这三个数列：
0,5,10,15,20，…①
22,22.5,23,23.5,24,24.5，…② 18,15.5,13,10.5,8,5.5③ 这些数列有什么共同特点呢？ 提示：以上三个数列从第2项起，每一项与前一项的差都 等于同一个常数(即：每个数列都具有相邻两项差为同一 个常数的特点)．
∴a9＝a1＋(9－1)d＝1＋8×2＝17.
答案：17
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5．(1)求等差数列8,5,2，…的第20项；
(2)－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？ 如果是，是第几项？ 解：(1)由a1＝8，d＝5－8＝－3，n＝20， 得a20＝8＋(20－1)×(－3)＝－49. (2)由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4， 得这个数列的通项公式为
高中数学第二章数列2.2.1等差数列第2课时等差数列的性质课件新人教B版必修5
第二十三页，共42页。
【解】 由题意可知，，(n≥2，n∈N＋)，每年获利构成等差数列{an}，且首项 a1＝200，公差 d ＝－20.
所以 an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20) ＝－20n＋220. 若 an<0，则该公司经销这一产品将亏损， 由 an＝－20n＋220<0，解得 n>11， 即从第 12 年起，该公司经销这一产品将亏损.
解得
a1＝1， d＝3
或
a1＝16， d＝－3，
∴d＝3 或－3.
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法二：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48，及 a2＋a24＝a3＋a23＝2a13. 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34，及 a3＋a4＝a2＋a5 得 2(a2＋a5)＝34， 即 a2＋a5＝17. 解aa22＋·a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝＝41.3， ∴d＝a55－－2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－－2a2＝4－313＝－3.
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【自主解答】 由题图可知，从第 1 年到第 6 年平均每个养鸡场出产的鸡
数成等差数列，记为{an}，公差为 d1，且 a1＝1，a6＝2；从第 1 年到第 6 年的养 鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，公差为 d2，且 b1＝30，b6＝10；从第 1 年到 第 6 年全县出产鸡的总只数记为数列{cn}，则 cn＝anbn.
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4.已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则 a12＝________. 【解析】 在等差数列{an}中，由于 a7＋a9＝a4＋a12，所以 a12＝(a7＋a9)－ a4＝16－1＝15. 【答案】 15
2.2.2等差数列的通项公式(第4课时)等差数列前n项和的性质 学案(含答案)
2.2.2等差数列的通项公式（第4课时）等差数列前n项和的性质学案（含答案）第4课时等差数列前n项和的性质学习目标1.会利用等差数列性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n 项和的函数特征求最值知识点一等差数列an的前n项和Sn的性质性质1等差数列中依次k项之和Sk，S2kSk，S3kS2k，组成公差为k2d的等差数列若等差数列的项数为2nnN*，则S2nnanan1，S 偶S奇nd，S奇0；性质2若等差数列的项数为2n1nN*，则S2n12n1anan是数列的中间项，S奇S偶an，S奇0知识点二等差数列an的前n项和公式与函数的关系1将公式Snna1变形，得Snn2n.若令A，a1B，则上式可以写成SnAn2Bn，1等差数列前n项和Sn不一定是关于n的二次函数当公差d0时，Snna1，不是项数为n的二次函数当d0时，此公式可看成二次项系数为，一次项系数为，常数项为0的二次函数，其图象为抛物线yx2x上的点集，坐标为n，SnnN*因此，由二次函数的性质可以得出结论当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值2关于n的二次函数也不一定是等差数列的前n项和，由SnAn2BnC，当C0时，Sn不是某等差数列的前n项和；当C0时，令A，a1B，则能解出a1和d，因此这时一定是某等差数列的前n项和2若an为等差数列，公差为d，则为等差数列，公差为.1等差数列的前n项和一定是常数项为0的关于n的二次函数2等差数列an的前n项和SnAn2Bn.即an 的公差为2A.3若等差数列an的公差为d，前n项和为Sn.则的公差为.4数列an的前n项和Snn21，则an不是等差数列题型一等差数列前n项和的性质的应用例11等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，求数列an的前3m项的和S3m；2已知某等差数列an共有10项，若其奇数项之和为15，偶数项之和为30，求其公差解1在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列，30,70，S3m100成等差数列27030S3m100，S3m210.2依题意有a1a3a5a7a915，a2a4a6a8a1030，得5d15，d3.反思感悟等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简.化难为易.事半功倍的效果跟踪训练11等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S69，则S9________.2等差数列an的公差为，且S100145，则奇数项的和a1a3a5a99________.答案118260解析1S3，S6S3，S9S6成等差数列，2S6S3S3S9S6，即2933S99，S918.2设a1a3a5a99S奇，a2a4a6a100S偶，则S奇S偶S100145.S偶S奇50d25.得2S奇120，S奇60.题型二Sn与函数的关系命题角度1SnAn2Bn的应用例21两个等差数列an，bn的前n项和分别为Sn和Tn，已知，求的值解方法一设Snk7n22n，Tnkn23n，k0，则a5S5S4k75225k7422465k，b5T5T4k5235k423412k..方法二.2已知an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，且S77，S1575，求数列的前n项和Tn.解设等差数列an的公差为d，则Snna1d.S77，S1575，即解得a1d2，，数列是等差数列，且其首项为2，公差为.Tnn2nnN*反思感悟将等差数列前n项和公式Snna1d整理成关于n的函数，可得Snn2n.即Snna1dn2n，利用Sn与函数的关系可以使运算更简便跟踪训练21在例21的条件下，求的值2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S33，S515，求S9.解1设Snk7n22n，Tnkn23n，则a565k，b6T6T5k6236k523514k，.2为等差数列，设公差为d，则d1，n3d1n3n2，927，S97963.命题角度2等差数列an的前n项和Sn的最值例3在等差数列an中，若a125，且S9S17，求Sn的最大值解方法一S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n2n226nn132169.当n13时，Sn有最大值169.方法二同方法一，求出公差d2.an25n122n27.a1250，由得又nN*，当n13时，Sn有最大值169.方法三同方法一，求出公差d2.S9S17，a10a11a170.由等差数列的性质得a13a140.a130，a140.当n13时，Sn有最大值169.方法四同方法一，求出公差d2.设SnAn2Bn.S9S17，二次函数fxAx2Bx的对称轴为x13，且开口方向向下，当n13时，Sn取得最大值169.反思感悟1等差数列前n项和Sn取得最大小值的情形若a10，d0，则Sn 存在最大值，即所有非负项之和若a10，d0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和2求等差数列前n项和Sn最值的方法寻找正.负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找运用二次函数求最值跟踪训练3已知等差数列an中，a19，a4a70.1求数列an的通项公式；2当n为何值时，数列an的前n 项和取得最大值解1由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1n1d112nnN*2方法一由1知，a19，d2，Sn9n2n210nn5225，当n5时，Sn取得最大值方法二由1知，a19，d20，an是递减数列令an0，则112n0，解得n.nN*，n5时，an0，n6时，an0.当n5时，Sn取得最大值数形结合感悟事物本质典例在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________答案解析方法一由当且仅当n8时Sn 最大，知a80且a90，于是解得1d，故d的取值范围为.方法二Snn2n，由题意知d0，对称轴x，n8时，Sn取最大值7.58.5，即87，d.素养评析利用数形结合抓住事物本质，解决问题才能思路清晰，方法简捷等差数列ana10，d0或a10，d0中，andna1d，其图象为ydxa1d上的一系列点，要求Sn的最大小值，只需找出距x轴最近的两个点；Snn2n，其图象为yx2x上的一系列点要求Sn的最大小值，只需找出距对称轴最近的点.1若数列an的前n项和Snn22n，则an1an的值为A1B2C3D4答案B解析由Snn22n可判断an为等差数列，公差为2.an1an2.2若等差数列an的前5项和为25，则a3的值为A2B3C4D5答案D解析S55a325，a35.3设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7________.答案49解析S77749.4等差数列an中，若公差为2，a1a4a76，则a3a6a9________.答案18解析a3a6a9a1a4a7a3a1a6a4a9a76d12，a3a6a912618.5等差数列an中，公差d0，前n项和为Sn，S100，则Sn 取最小值n________.答案5解析S100，可设Snnn10，对称轴n5，且d0.n5时，Sn最小1等差数列an的前n项和Sn，有下面几种常见变形1Sn；2Snn2n；3n.2求等差数列前n项和最值的方法1二次函数法用求二次函数的最值方法来求其前n项和的最值，但要注意nN*，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观2通项法当a10，d0，时，Sn取得最大值；当a10，d0，时，Sn取得最小值。
等差数列第二课时教案
2.2等差数列第二课时人教A版必修五教学目标1.知识与技能在理解等差数列定义及如何判定等差数列, 学习等差数列通项公式的基础上, 掌握等差中项的定义及应用, 明确等差数列的性质, 并用其进行一些相关等差数列的计算.2.过程与方法以等差数列的通项公式为工具, 探究等差数列的性质, 同时进一步培养学生归纳, 总结的一些数学探究的方法.3.情感、态度与价值观在学习的过程中形成主动学习的情感与态度.在运用知识解决问题中体验数学的实际应用价值.教学重点（1）明确等差中项的定义及应用.（2）理解并掌握等差数列的性质.教学难点理解等差数列的性质的应用.教辅手段PPT,多媒体投影幕布教学过程一、复习引入——温故知新【内容设置与处理方式】借助课件引导学生共同回顾所学的等差数列的相关知识1. 等差数列的定义2. 等差数列的通项公式与公差二、 新知探究（一） 等差中项【内容设置与处理方式】直接给出等差中项的定义: 由三个数 组成的等差数列是最简单的等差数列, 此时 叫做 和 的等差中项.同样,在等差数列}{n a 中,就有212+++=n n n a a a 成立.等差中项可应用于判断一个数列是否为等差数列.（二） 等差数列的性质列举几个数列, 观察数列的特点, 研究公差与数列单调性的关系.问题1: 数列1: 1,3,5,7,9,11, ……数列2: 30, 25,20, 15,10,5, ……数列3: 8,8,8,8,8,8, ……引导学生观察, 得到等差数列的一个性质.性质1：若数列 是等差数列, 公差为 .若 >0,则是 递增数列；若 <0,则 是递减数列；若 =0,则 是常数列.2.问题2:在等差数列}{n a 中,探究等差数列中任意两项m n a a ,之间的关系.它们之间的关系可表示为:d m n a a m n )(-+=参考证明: 由等差数列的通项公式 得d m a a m )1(1-+=∴d m n d m a d n a a a m n )(])1([])1([11-=-+--+=-即等式成立由此也可得到公差的另一种表示:mn a a d m n --=性质2: d m n a a m n )(-+=;m n a a d m n --= 问题3: 在等差数列 中, 若 ,则 一定成立吗?特别地, ,则 成立?启发学生应用等差数列的通项公式来证明该问题。
人教版高二下期数学选择性必修第二册-4.2.1 等差数列的概念(第1课时)【课件】
题型二 等差中项
例 2 若 m 和 2n 的等差中项为 4，2m 和 n 的等差中项为 5，求 m 和 n 的等 差中项．
【解析】 由 m 和 2n 的等差中项为 4，得 m＋2n＝8. 又由 2m 和 n 的等差中项为 5， 得 2m＋n＝10. 两式相加，得 m＋n＝6. 所以 m 和 n 的等差中项为m＋2 n＝3.
答：方法一(累加法)：因为{an}是等差数列，所以 an－an－1＝d， an－1－an－2＝d，an－2－an－3＝d， … a2－a1＝d， 上述式子等号两边分别相加得 an－a1＝(n－1)d，所以 an＝a1＋(n－1)d.
方法二(迭代法)：因为{an}是等差数列，所以 an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d＝an－2 ＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋(n－1)d.
4．2 等差数列 4．2.1 等差数列的概念(第1课时) 等差数列的概念及通项公式
要点 1 等差数列 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于 _同__一_个__常_数__，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的_公__差__，公 差通常用字母 d 表示．
要点 2 等差中项 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A 叫做 a 与 b 的___等_差__中_项_____，且__2_A_＝__a＋__b___． 要点 3 等差数列的通项公式 (1)等差数列的通项公式：an＝___a_1＋__(n_－_1_)_d ____．变形：d＝ann－ －1a1. (2)通项公式 an＝a1＋(n－1)d 的推广： an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．变形：d＝ann－－mam.
答：an＝a1＋(n－1)d，① am＝a1＋(m－1)d，② ①－②，得 an－am＝(n－m)d⇒an＝am＋(n－m)d.
1819 第2章 2.2 2.2.1 2.2.2 第1课时 等差数列的概念及通项公式
双 基
量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
合 作 探 究 • 攻 重
2．已知数列的其中两项，求公差 d，或已知一项、公差和其中一项的序 号，求序号的对应项时，通常应用变形 an＝am＋(n－m)d.
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习
标
•
•
探
固
新
[跟踪训练]
双
知
基
2．已知递减等差数列{an}前三项的和为 18，前三项的积为 66.求该数列
• 固
新
双
知
合 作 探 究 • 攻 重
可知aa11＋ ＋411dd＝＝1301，， 解得ad＝1＝3－，2， ∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
基
课
(2)由 an＝13，得 3n－5＝13，解得 n＝6.
时 分
层
作
业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预
达
习 •
[规律方法]
标 •
探
固
新 知
1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d 中包含了四个
合 作
的通项公式，并判断－34 是该数列的项吗？
探
究
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
返 首 页
自
当
主
堂
预 习 • 探
[解] 依题意得aa11＋ a2aa32＝＋6a63＝ ，18，
达 标 • 固
新
双
知 合
∴3aa1·1＋a1＋3d＝ d·1a8， 1＋2d＝66，
人教A版高中数学必修五第二章第2节《等差数列》(第2课时)教案
2.2.2等差数列的性质
一、教学目标：
1.明确等差中项的概念；进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式,
2.能通过通项公式与图像认识等差数列的性质，能运用等差数列的性质解决某些问题。
二、教学重点难点：
教学重点：等差数列的定义及性质的理解与应用
教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题
三、教学策略及设计
“数学教学是数学活动的教学”，“数学活动是思维的活动”，新课标也在倡导独立自主，合作交流，积极主动，勇于探索的学习方式。
基于这种理念的指导，在教法上采用探究发现式课堂教学模式，在学法上以学生独立自主和合作交流为前提，重视学生在学习过程中，能否运用等差数列的定义发现和推导等差数列的性质。
设计流程如下:
四、教学过程：。