湖北省武汉市高三模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2025届湖北省武汉武昌区高三3月份第一次模拟考试数学试卷含解析
2025届湖北省武汉武昌区高三3月份第一次模拟考试数学试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设不等式组2000x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，表示的平面区域为Ω，在区域Ω内任取一点(),P x y ，则P 点的坐标满足不等式222x y +≤的概率为A ．π8B ．π4C ．12π+D ．12π+ 2．若直线不平行于平面，且，则（ ） A ．内所有直线与异面B ．内只存在有限条直线与共面C ．内存在唯一的直线与平行D ．内存在无数条直线与相交3．如图所示，已知某几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ），则该几何体的表面积为( )A ．15π2cmB ．21π2cmC ．24π2cmD ．33π2cm4．已知实数x 、y 满足不等式组2102100x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =-+的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．32-D ．2- 5．已知a ，b ∈R ，3(21)ai b a i +=--，则（ ）A ．b ＝3aB ．b ＝6aC ．b ＝9aD ．b ＝12a6．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若函数()f x 在1x =处取得极大值，则函数()y xf x =-'的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．7．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少?”已知l 丈为10尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为1，则该楔体的体积为（ ）A ．10000立方尺B ．11000立方尺C ．12000立方尺D ．13000立方尺8．已知实数,x y 满足,10,1,x y x y y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．32C ．1D ．09．已知等差数列{}n a 中，若5732a a =，则此数列中一定为0的是（ ）A ．1aB ．3aC ．8aD ．10a10．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( )A ．1,2m n ==-B ．1,2m n =-=C ．1,2m n ==D ．1,2m n =-=- 11．()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且满足：()f x 的导函数存在，且()()f x x f x '<，则下列不等式成立的是（ ） A ．()()221f f <B ．()()3344f f <C ．()()2334f f <D ．()()3223f f < 12．设i 是虚数单位，若复数103m i ++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市2024届高三下学期5月模拟训练试题数学试卷含答案
武汉市2024届高三年级五月模拟训练试题数学试卷（答案在最后）武汉市教育科学研究院命制2024.5.21本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合[0,]A a =，(2,3)B =，若A B ⋂=∅，则（）A.02a <≤B.02a << C.0<<3a D.03a <≤【答案】A 【解析】【分析】根据交集为空集，即可求解.【详解】由于A B ⋂=∅，所以02a <≤，故选：A2.已知向量a =，(b = ，则a 在b 上的投影向量的模为（）A.B.1C.0D.2【答案】C 【解析】【分析】求出a b ⋅，根据投影向量的概念求出向量a 在向量b 方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案.【详解】由题意知向量a =，(b = ，则(110a b ⋅=⨯+= ，故向量a 在b 上的投影向量为()(00,02a b b b b⋅⋅=⋅= ，故向量a在向量b0=.故选：C3.设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，则||AB 的最小值为（）A.1B.12C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解.【详解】由2:4C y x =得214x y =，10,16F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意可知直线AB 的斜率存在，故设其方程为116y kx =+，联立116y kx =+与214x y =可得2110464x kx -=-，设()()1122,,,A x y B x y ，则1214x x k +=，故()21212111848y y k x x k +=++=+，因此2121111||8444AB y y k +≥=+=+，当且仅当0k =时取等号，故选：C4.已知一组数据1,2,3,4,x 的上四分位数是x ，则x 的取值范围为（）A.{3}B.[2,3]C.[3,4]D.{4}【答案】C 【解析】【分析】根据上四分位数的定义将条件转化为1,2,3,4,x 中第二大的数是x ，再求解.【详解】在五个数中，上四分位数为第二大的数，故1,2,3,4,x 中第二大的数是x ，所以34x ≤≤.故选：C.5.若1021001210(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++ ，则2a =（）A.180 B.180- C.90- D.90【答案】A 【解析】【分析】由1010[2(12)(1)1]x x =+-+写出其通项公式，依题意对r 赋值即可求得2a .【详解】因1010[2(12)(1)1]x x =+-+，其二项展开式的通项为：10101011010=C [2(1)](1)(1)2C (1),0,1,,10r r r r r rr r T x x r ---++-=-+= ，而2a 是22(1)a x +的系数，故只需取8r =，得28229102C (1)180(1)T x x =+=+，即2180a =.故选：A.6.已知菱形ABCD ，π3DAB ∠=，将DAC △沿对角线AC 折起，使以,,,A B C D 四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A.35B.2C.34D.4【答案】C 【解析】【分析】当三棱锥D ABC -的体积最大时，平面ACD ⊥平面ABC ，以E 为原点，,,EB EC ED分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量,AB CD的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解.【详解】记AC 的中点分别为E ，因为AD CD =，所以DE AC ⊥，同理，BE AC ⊥，记2AB a =，因为π3DAB ∠=，所以π6DAC BAC ==行，所以BE DE a ==，AE CE ==，易知，当平面ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -的体积最大，此时π2BED ∠=，以E 为原点，,,EB EC ED分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()()()0,,0,,0,0,0,,0,0,0,A B a C D a所以()(),0,0,,AB a CD a ==，所以233cos ,224a AB CD a a -==-⨯ ，所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为34.故选：C7.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，1()2P AB =B.当2n =时，事件A 与事件B 不独立C.当3n =时，7()8P A B += D.当3n =时，事件A 与事件B 不独立【答案】D 【解析】【分析】分2n =和3n =的情况分别考虑四个选项.【详解】当2n =时，AB 表示一正一反，故()1112222P AB =⋅⋅=，故A 正确；此时()1112222P A =⋅⋅=，()()11311224P B P B =-=-⋅=，()()()1328P AB P A P B =≠=，故B 正确；当3n =时，A B +表示并非每次都是正面朝上，故()()1117112228P A B P A B +=-+=-⋅⋅=，故C 正确；此时()111332228P AB =⋅⋅⋅=，()()1111113112222224P A P A =-=-⋅⋅-⋅⋅=，()111111132222222P B =⋅⋅+⋅⋅⋅=，所以()()()331842P AB P A P B ==⋅=，故D 错误.故选：D.8.在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足22c a ab -=，2c =，则ABC 面积取最大值时，cos C =（）A.B.14+C.22-D.24+【答案】A 【解析】【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角,A C 的关系，再用角A 的三角函数表示ABC 的面积，换元，利用导数的分析面积最大值，对应的角A 的三角函数值，再利用角,A C 的关系，求cos C .【详解】因为22c a ab -=⇒22c a ab =+，又由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，所以2a ab +=222cos a b ab C +-，所以2cos a b a C =-.由正弦定理得：sin sin 2sin cos A B A C =-⇒()sin sin 2sin cos A A C A C =+-⇒()sin sin cos cos sin sin A C A C A C A =-=-，所以A C A =-或πA C A +-=（舍去），故2C A =.因为2C A =，所以π3B A =-.由正弦定理：sin sin c b C B =⇒()2sin 2sin π3b A A =-⇒()22sin π334sin sin 2cos A A b A A--==.所以1sin 2ABCS bc A = 33sin 4sin cos A A A -=323tan tan 1tan A AA-=+.因为π30A ->⇒π3A <，所以0tan A <<设()3231x x f x x-=+，(x ∈.则()()()()()22322331321x x x x x f x x -+--⋅=+'()4222631x x x --+=+，由()0f x ¢>⇒42630x x +-<⇒260332x -+<<=<，由()0f x '<⇒23x >-，所以()f x在(上单调递增，在上递减，所以当23x =-时，()f x 有最大值.即当2tan 3A =-时，ABC 的面积最大.此时cos cos 2C A =22cos sin A A =-2222cos sin cos sin A AA A-=+221tan 1tan A A -=+13--=12-=.故选：A【点睛】关键点点睛：本题用到了三倍角公式3sin 33sin 4sin ααα=-，因为有些教材不讲这个公式，所以该公式的记忆或推导在该题中就格外重要.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π02ϕ<<）的部分图象如图所示，则（）A.2A =B.()f x 的最小正周期为πC.()f x 在5π5π,126⎛⎫-⎪⎝⎭内有3个极值点 D.()f x 在区间11π,2π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据函数的部分图象求得2A =，π3ϕ=，2ω=值，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质即可逐一判断得解.【详解】对于AB ，根据函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象知，2A =，ππ4()π312T =⨯-=，2π2Tω∴==，故AB 正确，对于C ，由五点法画图知，ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=∈+，解得ππ,Z k k ϕ=+∈23，由于π02ϕ<<，所以π3ϕ=，π()2sin(23f x x ∴=+.令ππ2π,Z 32x k k +=+∈，则π1π,Z 122x k k =+∈，2k =-时，11π12x =-，1k =-时，5π12x =-，当0k =时，π12x =，当1k =时，7π12x =，当2k =时，13π12x =，故()f x 在5π5π,126⎛⎫-⎪⎝⎭内有2个极值点，分别为π12x =，7π12x =，故C 错误，对于D ，11π,2π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，可得：π13π24π,33x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故当π13π233x +=此时()f x 取最大值13ππ2sin 2sin 33=，故D 正确.故选：ABD.10.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22:14xC y +=，圆22:5O x y +=，P 为圆O 上任意一点，Q 为椭圆C 上任意一点.过P 作椭圆C 的两条切线1l ，2l ，当1l ，2l 与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为1k ，2k ，则（）A.椭圆C 的离心率为2B.||PQ 的最小值为1C.||PQ 2+D.22123k k +≥【答案】AC 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程判断选项A ，再由两点间距离，判断BC ，利用切线方程的斜率和韦达定理求解判断选项D.【详解】对于A ，根据题意，21a b ==，，则c =2c e a ==，故A 正确；对于BC ，设(),,22Q x y x -≤≤，则2214x y +=，而圆22:5O x y +=的圆心()0,0O，半径为r =，则OQ ==，因为22x -≤≤，所以204x ≤≤，则231144x ≤+≤，所以12≤≤，即12OQ ≤≤，所以||PQ的最小值为22r -=，最大值为22r +=+，故B 错误，C 正确；对于D ，设()220000,,5P x y x y +=，过点P 的直线方程为：()00y y k x x -=-，联立()002214y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，()()()2220000148440k x k y kx x y kx ++-+--=，根据直线与椭圆的相切，则()()()2220000Δ8414440k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤=--+--=⎣⎦⎣⎦，化简可得，()()22200004210x k x y k y --+-=，可知12,k k 是方程的两个根，所以220012220014144y x k k x x --===---，所以22121222k k k k +≥=，当且仅当12k k =取等号，故D 错误.故选：AC11.对于函数()ln xf x x=，下列说法正确的是（）A.函数()f x 的单调递减区间为(0,1)(1,e)B.(π)(2)f f <C.若方程|(||)|f x k =有6个不等实数根，则ek >D .对任意正实数12,x x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则212ex x >【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，分析导函数即得递减区间，不能用“并”连接；对于B ，由推理得(2)(4)f f =，利用函数单调性比较即得；对于C ，分析函数的奇偶性，分段讨论函数的单调性和图象趋势，得图象简图，结合图象判断两函数交点个数即得；对于D ，设函数ln ()x g x x =，构造函数2e ()()()h x g x g x =-并判断其单调性，利用单调性得出221e >x x 即可.【详解】函数()ln x f x x =的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2ln 1()ln x f x x-'=，对于A ，由()0f x '<可得01x <<或1e x <<，由()0f x '>可得e x >，即函数()f x 的单调递减区间为(0,1)和(1,e)，故A 错误；对于B ，由A 得，函数()f x 在(e,+)∞上单调递增，因244(2)(4)ln 22ln 2ln 4f f ====，e < π4<，故(π)(4)(2)f f f <=，即B 正确；对于C ，易知||(||)ln ||x f x x =为偶函数，当0x >时，(||)()ln xf x f x x==，由A 项知，函数()f x 的单调减区间为(0,1)和(1,e)，增区间为(e,)+∞.又当1x >时，(||)()0f x f x =>，当e x =时，(|e |)e f =，当1x +→时，(||)f x →+∞，x →+∞时，(||)f x →+∞，当01x <<时，(||)0f x <，当0x →时，(||)0f x →，1x -→时，(||)f x →-∞，故函数|(||)|y f x =的图象如图所示.由图可得，直线y k =与函数|(||)|y f x =有6个不同交点，等价于e k >，故C 正确；对于D ，由图，不妨设120e x x <<<，由()()12f x f x =可得1212ln ln x xx x =，即1212ln ln x x x x =，不妨取ln ()xg x x=，设2222lne e ()()ln (ln (ln ))e e 2x h x x x x g x g x xx x x --==-=-，则2ln (2ln )()()[]e x x x h x x -'''=-221ln 1ln e x x x --=-2222(1ln )(e )e x x x--=，则当0e x <<时，221ln 0,e 0x x ->->，故()0h x '>，()h x 在(0,e)上单调递增，又(e)0h =，又10e x <<，2111e ()()()0h x g x g x =-<，即2121e ()()()g x g x g x =<.因ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x-'=，当e x >时，()0g x '<，ln ()x g x x =在(e,)+∞上单调递减，因221e e,e x x >>，故得221e >x x ，即212e x x >，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数的零点和单调性应用,属于难题.解决该题的关键，在于对函数的图象性质的探求，通过奇偶性单调性判断，作出简图，利用函数零点与方程的根、两函数的图象交点的关系转化解决；同时要根据待证不等式特征，设法构造对应的函数，利用该函数的单调性实现相关量的比较即得.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数z满足|i |z -=||z 的最小值为______.【答案】1-【解析】【分析】设i,,R z x y x y =+∈，由条件得2221x y y +=+，所求式||z 消元后化成||z =，结合点的轨迹图形特征，求得y 的范围，结合函数单调性即得||z 的最小值.【详解】设i,,R z x y x y =+∈，由|i |z -=22(1)2x y +-=，即2221x y y +=+而|||i |z x y =-==作出复数z 对应的点(,)Z x y 的轨迹22(1)2x y +-=的图形如图.易得11y ≤≤+故||1z =≥=-，即当且仅当1y =-||z 取最小值1-.1-.13.已知1tan 1tan αα+=-44sin cos αα+=______.【答案】78##0.875【解析】【分析】根据弦切互化可得cos sin cos sin αααα+=-，平方得1cos sin 4αα=，即可根据完全平方求解.【详解】由1tan 1tan αα+=-cos sin cos sin αααα+=-，平方可得12cos sin 312cos sin αααα+=-，故1cos sin 4αα=，()2244222217sin cos sin cos 2sin cos 1248αααααα⎛⎫+=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：7814.已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为1:2，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为______.【答案】283##193【解析】【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，代入棱台的体积公式计算即得.【详解】如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为2x ，则下底面边长为4x ，则,2CM CF x BM BE x ====，11,22CIM MIF BIM MIE ∠=∠∠=∠,故1()902CIB CIM BIM MIE MIF ∠=∠+∠=∠+∠= ,在Rt CIB 中，IM CB ⊥,则由射影定理，2IM CM BM =⋅得221x =，解得22x =，于是棱台的上底面面积为2(2)2x =，下底面面积为2(4)8x =，高为2，故该正四棱台的体积为：1282(28)33V =⨯⨯+=.故答案为：283.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知()()212ln f x f x x x '=-++.（1）求()1f '并写出()f x 的表达式；（2）证明：()1f x x ≤-.【答案】（1）()11f '=，()22ln f x x x x=-++（2）证明见解析【解析】【分析】（1）直接求导并令1x =可得()11f '=，再代入原表达式即可；（2）构造函数()ln g t t t =-并用导数证明()1g t ≥，然后利用()()2f x xg x =-即可.【小问1详解】由()()212ln f x f x x x '=-++有()()2211f x f x x''=-++，取1x =得到()()12112f f ''=-++，解得()11f '=.将()11f '=代入()()212ln f x f x x x '=-++可得()22ln f x x x x =-++.【小问2详解】设()ln g t t t =-，则()111t g t t t'-=-=，故当01t <<时()0g t '<，当1t >时()0g t '>.所以()g t 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，故()()11g t g ≥=.从而()()()22222ln ln 1f x x x x x x xx g x x =-++=-++=-≤-.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用导数判断单调性，属于常规题.16.如图，已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB =，1BC =，2CD =，点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ．（1）求证：平面PAB ⊥平面PBC ；（2）求直线DG 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）223.【解析】【分析】（1）通过线线垂直先证明BC ⊥平面PAB ，即可由线面垂直证明面面垂直；（2）以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，即可由向量法求得线面角的正弦值.【小问1详解】因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以PA BC ⊥，因为90ABC ∠=︒，所以BC AB ⊥，因为PA AB A = ，PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBC ．【小问2详解】取CD 中点E ，连接AE ，因为90ABC ∠=︒，AB CD ∥，1AB BC ==，2CD =，所以四边形ABCE 是矩形，所以AB AE ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AE ⊥，所以AB 、AE 、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系：(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，(0,1,0)E ，(1,1,0)D -，设(0,0,)(0)P t t >，则20,,33t G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,33t AG ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，11,,33t CG ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，11,,33t DG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，因为点A 在平面PCD 内的投影恰好是△PCD 的重心G ，所以AG CG ⊥，所以0CG AG ⋅= ，所以220099t -+=，t =，又(0,1,0)BC =，(1,0,PB = ，令m =r，因为0BC m ⋅=，0PB m ⋅=，所以m是平面PBC 的法向量，DG的方向向量是11,33DG ⎛=- ⎝⎭，所以直线CG 与平面PBC 所成角θ的正弦值为||sin|cos,|3||||m DGm DGm DGθ⋅=〈〉===⋅.故直线DG与平面PBC所成角的正弦值为3.17.已知双曲线22:1E x y-=，直线PQ与双曲线E交于P，Q两点，直线MN与双曲线E交于M，N 两点.（1）若直线MN经过坐标原点，且直线PM，PN的斜率PMk，PNk均存在，求PM PNk k；（2）设直线PQ与直线MN的交点为(1,2)T，且TP TQ TM TN⋅=⋅，证明：直线PQ与直线MN的斜率之和为0.【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据两点斜率公式，结合点差法即可求解，（2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量的坐标运算得数量积()2121411TM TN kk-⋅=+⋅-,()2222411TP TQ kk-⋅=+⋅-,进而根据等量关系化简即可求解.【小问1详解】当直线MN经过坐标原点时，M，N两点关于原点对称.设()11,M x y，()11,N x y--，()00,P x y，于是0101PMy ykx x-=-，0101PNy ykx x+=+.因为M，N，P三点都在双曲线221x y-=，所以2200221111x yx y⎧-=⎨-=⎩，两式作差，22220101x x y y-=-，所以22010101220101011PM PNy y y y y yk kx x x x x x-+-=⋅==-+-.【小问2详解】已知(1,2)T，由题意可知,MN PQ均有斜率，可设直线1:2(1)MN y k x -=-，直线2:2(1)PQ y k x -=-，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y .()111,2TM x y =-- ，()221,2TN x y =--.联立直线MN 方程与双曲线E 的方程：1222(1)1y k x x y -=-⎧⎨-=⎩.整理得，()()()2221111122210k x k k x k -+----=，当2110k -≠时，()Δ4540k =->.()()111221221k k x x k -+=--，()()211221211k x x k ---=-.于是，()()()()12121122TM TN x x y y ⋅=--+-- ()()21121211k x x x x ⎡⎤=+-++⎣⎦()()()211121221121221111k k k k k k ⎡⎤----=+++⎢⎥--⎢⎥⎣⎦()2121411k k -=+⋅-同理可得，()2222411TP TQ k k -⋅=+⋅- .因为TM TN TP TQ ⋅=⋅ ，所以221222121111k k k k ++=--整理得，2212k k =，而12k k ≠，所以120k k +=.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的数量积坐标运算.18.某企业生产一种零部件，其质量指标介于()49.6,50.4的为优品.技术改造前，该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布()50,0.16N ；技术改造后，该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布()50,0.04N .附：若()2~,X N μσ，取()0.6827P X μσ-<=，()20.9545P X μσ-<=.（1）求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差；（2）若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是()01p p <<，各个元件能否正常工作相互独立，如果系统中有超过一半的元件正常工作，系统就能正常工作.系统正常工作的概率称为系统的可靠性.①若控制系统原有4个元件，计算该系统的可靠性，并判断若给该系统增加一个元件，可靠性是否提高？②假设该系统配置有()3,n n n ≥∈N 个元件，若再增加一个元件，是否一定会提高系统的可靠性？请给出你的结论并证明.【答案】（1）0.2718（2）①可靠性为()343pp -，增加一个元件后系统的可靠性会提高；②当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.【解析】【分析】（1）直接根据题目条件及给定的正态分布数据求解；（2）利用二项分布的概率性质求解可靠性，并比较不同n 的取值下可靠性的大小关系即可，当然也可以采取其它的思路求解.【小问1详解】技术改造前，易知150μ=，10.4σ=，则其优品率为()()()11111149.650.420.6827P X P X P X μσμσμσ<<=-<<+=-<=；技术改造后，250μ=，20.2σ=，则其优品率为()()()22222249.650.42220.9545P X P X P X μσμσμσ<<=-<<+=-<=.所以优品率之差为0.95450.68270.2718-=.【小问2详解】①记X 为原系统中正常工作元件个数，Y 为增加一个元件后正常工作元件个数.由条件知，~(4,)X B p ，~(5,)Y B p .()3344443(3)C (1)C 43P p p p X p p ≥=-=-+，3324455555(3)C (1)C (1)C P Y p p p p p ≥=-+-+.因为32(3)(3)6(1)0P X P Y p p ≥-≥=->，所以可靠性提高.②方法一：根据上一问的假设，易知~(,)X B n p ，~(1,)Y B n p +.当n 为奇数时，设()*212,n k k k =-≥∈N ，原系统的可靠性为()P X k ≥，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，(1)(1)()P Y k P X k p P X k ≥+=≥++⋅=.所以，(1)()[(1)()]P Y k P X k P X k p P X k ≥+-≥=≥++⋅=-121[(1)()](1)()(1)(1)0k k k k P X k P X k p P X k C p p p --≥++==-==--<，这说明可靠性降低.当n 为偶数时，设()*22,n k k k =≥∈N ，原系统的可靠性为(1)P X k ≥+，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，(1)(1)()P Y k P X k p P X k ≥+=≥++⋅=.所以，12(1)(1)()(1)0kk k k P Y k P X k p P X k C pp +≥+-≥+=⋅==->，这说明可靠性提高.综上，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.方法二：当n 为奇数时，设()*212,n k k k =-≥∈N ，原系统的可靠性为()P X k ≥，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，21222121212121()C(1)C(1)k k ii k i i i k i k k k i ki kP X k p p p p p ---------==≥=-=-+∑∑()212211211121222121(1)C (1)CC (1)k k i i k i i i i k i kkk k i ki kP Y k p p p p p --++--++----==≥+=-=+-+∑∑于是，(1)()P Y k P X k ≥+-≥()2222112121221212121CC(1)C (1)k k i i i k i i i k i k k k k k i ki kpp p p p p --++--------===+---+-∑∑()2212121212121CC C (1)(1)k ii i i k i k k k k i kp p p p p -+------=⎡⎤=+----⎣⎦∑2211212212121C (1)C (1)(1)k k i k i k i k i k k k i kp p p p p p -++------=⎡⎤=-----⎣⎦∑21C (1)0k k kk p p -=--<，这说明可靠性降低.当n 为偶数时，设()*22,n k k k =≥∈N ，原系统的可靠性为(1)P X k ≥+，新系统的可靠性为(1)P Y k ≥+，由题意可知，2221(1)C(1)kii k iki k P X k p p -=+≥+=-∑()2122112121212211(1)C(1)CC (1)k ki i k ii i i k i k k k k i k i k P X k p p p p p ++--+-++=+=+≥+=-=+-+∑∑于是，(1)()P Y k P X k ≥+-≥()2212122122211CC(1)C(1)kki i ik ii i k i k kkki k i k p p p p p -+--+=+=+=+---+∑∑()2121212212221C (1)C (1)C (1)ki i k i i i k i i i k i k kk k i k p p p p p p p -+-+--+=+⎡⎤=-+---+⎣⎦∑2121221221C(1)()C (1)ki i k i i i k i k kk i k p p p p p p -+--+=+⎡⎤=-+--+⎣⎦∑21211221221C (1)C (1)ki i k i i i k i k k k i k p p p p p -+-+-+=+⎡⎤=---+⎣⎦∑12C (1)0k k k k pp +=->.这说明可靠性提高.综上，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.方法三：设12,,...X X 两两独立且均服从二项分布()1,B p ，记12...2n n n p P X X X ⎛⎫=+++>⎪⎝⎭，则该系统配置有()3,n n n ≥∈N 个元件时，系统的可靠性为n p .则()2122...1m m p P X X X m =+++≥+()()12212221...1...,1m m m P X X X m P X X X m X +<+++≥+++++==()122121...1m m P X X X m p ++=+++≥+=，且()211221...m m p P X X X m --=+++≥()12211...1m P X X X m -=-+++≤-()()1221122121...1...,0m m m P X X X m P X X X m X -->-+++≤--+++==()1221...m P X X X m =-+++≤()1222...1m m P X X X m p =+++≥+=.这就得到212m m p p ->，221m m p p +<.这表明，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.注意到1234X X X X +++服从二项分布()4,B p ，故()()()33434123443C 143p P X X X X p p p p p =+++≥=-+=-.进行完以上准备工作后，我们回到原题.①若控制系统原有4个元件，则系统的可靠性为()3443p pp =-.而4是偶数，所以增加一个元件后系统的可靠性会提高；②根据上面的结论，当n 为奇数时，增加一个元件后系统的可靠性会下降；当n 为偶数时，增加一个元件后系统的可靠性会提高.【点睛】关键点点睛：第2小问②的结果本质上是因为：当n 是偶数时，若添加一个元件，那么要求的正常工作的元件的最小数量不变，还是22n +，但是元件多了一个，所以正常工作的元件数目必然有更大的机会达到要求的值，所以可靠性一定更大了；而当n 是奇数时，若添加一个元件，那么要求的未能正常工作的元件的最大数量不变，还是12n n +-，但是元件多了一个，所以未能正常工作的元件数目必然有更大的机会突破允许的最大值，所以可靠性一定更小了.第2小问的方法三的关键在于：构造一列独立同分布随机变量来比较不同的概率，相比构造单个二项分布随机变量，构造一列独立同分布随机变量会更加便于比较不同的概率，因为此时每个随机变量的取值范围都非常有限，而进行比较时只需要研究多出的一个随机变量即可.这就避免了花费力气对两个取值范围很广的随机变量进行比较，那样太过困难.19.混沌现象普遍存在于自然界和数学模型中，比如天气预测、种群数量变化和天体运动等等，其中一维线段上的抛物线映射是混沌动力学中最基础应用最广泛的模型之一，假设在一个混沌系统中，用n x 来表示系统在第*()n n ∈N 个时刻的状态值，且该系统下一时刻的状态1n x +满足()1n n x f x +=，101x <<，其中2()f x ax ax =-+.（1）当3a =时，若满足对*n ∀∈N ，有()1n n x f x +=，求{}n x 的通项公式；（2）证明：当1a =时，{}n x 中不存在连续的三项构成等比数列；（3）若112x =，1a =，记221n n n S x x +=，证明：1218n S S S +++< .【答案】（1）23n x =；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）把3a =代入，利用给定的两个递推关系，建立方程组求解即得.（2）利用反证法，结合已知定义导出矛盾即可得证.（3）先确定数列的范围和单调性，然后利用21i i i x x x +=-结合放缩法推理即得.【小问1详解】当3a =时，()233f x x x =-+，依题意，212233x x x =-+①，221133x x x =-+②，两式作差，()()2112430x x x x ⎡⎤--+=⎣⎦，则12x x =或1243x x +=，若12x x =，代入①式解得，10x =或123x =，而101x <<，于是123x =；若1243x x +=，将2143x x =-代入②式解得，123x =.因此必有123x =.注意到2233f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1n n x f x +=，从而由123x =归纳即知{}n x 是常数列23n x =.所以{}n x 的通项公式为23n x =.【小问2详解】假设n x ，1n x +，2n x +构成等比数列，则0n x ≠.那么由211n n n n n n x x x x x x +-+==-+，22111111n n n n n n x x x x x x ++++++-+==-+可知1n n x x +=.又21n n n x x x +=-+，则2n n n x x x -+=，解得0n x =，与0n x ≠矛盾.所以{}n x 中不存在连续的三项构成等比数列.【小问3详解】由于当01x <<时，有()()210f x x x x x =-+=->，()21f x x x x =-+<<，即()01f x <<.而101x <<，()1n n x f x +=，故归纳即知对任意正整数n 都有01n x <<.又由0n x >及()1n n x f x +=可知21n n n n x x x x +=-+<，故数列{}n x 单调递减.又由于()221i i i i i i x x x x x x +=--+=-，故()()2222222231111111111111118n n n n n i i i i i i i n i i i i i S x xx x xx xx x x x x x +++======<==-=-<=∑∑∑∑∑.【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.。
湖北省武汉市(新版)2024高考数学部编版摸底(综合卷)完整试卷
湖北省武汉市（新版）2024高考数学部编版摸底(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题若某几何体的三视图（单位：如图所示，则此几何体的体积是 144 ．A．cm3B．cm3C．cm3D．cm3第(2)题若，则（）A．B．C．D．1第(3)题已知集合，集合，则（）A．B．C．D．第(4)题在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(5)题某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪，在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（）A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题数列的前项和为，则（）A．B．C．D．第(8)题函数的图像为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知方程有两个不同的根，，则下列结论一定正确的是（）A．B．C．D．第(2)题已知函数与函数的对称中心相同，则下列结论正确的是（）A．若方程在上有两个不同的实数根，则取值范围是B．将函数的图象向右平移个单位，会与函数的图象重合C．函数的所有零点的集合为D ．若函数在上单调递减，则，第(3)题已知双曲线（，）的上、下焦点分别为、，过点且与一条渐近线垂直的直线l与C的上支交于点P，垂足为A，且，O为坐标原点，则（）A．双曲线C的渐近线方程为B．双曲线C的离心率为C．三角形的面积为D．直线l被以为直径的圆截得的弦长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知中心在原点的椭圆的一个端点为，直线.若上存在相异的两点，关于对称，则椭圆离心率的取值范围是___________.第(2)题已知函数（为自然对数的底数，），当时，函数有______个零点；若函数有四个不同零点，则实数的取值范围是______．第(3)题已知向量，，，，___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，分别是内角的对边，且.（1）求；（2）若，，求的面积.第(2)题某脐橙种植基地记录了10棵脐橙树在未使用新技术的年产量（单位：）和使用了新技术后的年产量的数据变化，得到表格如下：未使用新技术的10棵脐橙树的年产量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵第九棵第十棵年产量30323040403536454230使用了新技术后的10棵脐橙树的年产量第一棵第二棵第三棵第四棵第五棵第六棵第七棵第八棵第九棵第十棵年产量40403550554542505142已知该基地共有20亩地，每亩地有50棵脐橙树.（1）估计该基地使用了新技术后，平均1棵脐橙树的产量；（2）估计该基地使用了新技术后，脐橙年总产量比未使用新技术将增产多少？（3）由于受市场影响，导致使用新技术后脐橙的售价由原来（未使用新技术时）的每千克10元降为每千克9元，试估计该基地使用新技术后脐橙年总收入比原来增加的百分数.第(3)题设函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）设是函数的两个极值点，证明：恒成立.第(4)题已知球内接正四棱锥的高为，、相交于，球的表面积为，若为中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.第(5)题如图，，是圆锥底面圆的两条互相垂直的直径，过的平面与交于点，若，点在圆上，.(1)求证：平面；(2)若，，求三棱锥的体积.。
湖北省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-附答案解析
湖北省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-附答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设集合A ={0，1，2}，B ={m |m =x +y ，x ∈A ，y ∈A }，则集合A 与B 的关系为（ ） A ．A B ∈ B ．A B = C ．B A ⊆ D ．A B ⊆2．已知复数13i2z -+=，若z 是z 的共轭复数，则a b +=（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2-3．已知向量a ，b 的夹角为3π，()2,1a =和3b =，则2a b -=（ ）A B ．21 C ．3 D ．94．下列函数中，值域为()0,∞+的是（ ）A ．()f x =B ．()1(0)f x x x x=+>C ．()f x =D ．()11(1)f x x x=->5．袋中装有四个大小完全相同的小球，分别写有“灵､秀､湖､北”四个字，每次有放回地从中任取一个小球，直到写有“湖”､“北”两个字的小球都被取到，则停止取球．现用随机模拟的方法估计取球停止时的概率，具体方法是：利用计算机产生0到3之间取整数值的随机数，用0123､､､分别代表“灵､秀､湖､北”四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果．现经随机模拟产生了以下18组随机数： 232321230023123021132203001231130133231031320122103233由此可以估计，恰好取球三次就停止的概率为（ ） A ．518B ．29C ．16D ．196．若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值点，则ω的取值范围是（ ）A ．1,23⎛⎤⎥⎝⎦ B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．27,36⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．17,36⎛⎤ ⎥⎝⎦7．已知a b c ===e 为自然常数），则a ､b ､c 的大小关系为（ ）A ．a c b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c<a<b8．如图，已知直角梯形ABCD 中，以直角梯形ABCD 的底边AB 所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则所得几何体的表面积为（ ）A ．B ．(5πC ．(3πD ．(5π+二、多选题9．设,A B 为两个互斥的事件，且()0,()0P A P B >>，则下列各式正确的是（ ） A ．()0P AB = B ．()()()P AB P A P B = C ．()()P AB P A =D ．()()()⋃=+P A B P A P B10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，则()()e 1xf x x -=⋅-，则（ ）A ．当0x <时，则()()e 1xf x x =-⋅+ B ．x ∀∈R ，都有()()1,1f x ∈-C ．()0f x ≥的解集为[)[)1,01,∞-⋃+D ．()f x 的单调递增区间是()2,0-，()0,211．已知点(0,2),(1,1)A B ，且点P 在圆22:(2)4C x y -+=上，C 为圆心，则下列结论正确的是（ ）A ．||||PA PB -的最大值为B ．以AC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线方程为：0x y -=C ．当∠PAB 最大时，则PABD ．PAB12．关于函数()()sin ,,xf x ae x x ππ=+∈-，下列结论中正确的有（ ）A ．当1a =-时，则()f x 的图象与x 轴相切B ．若()f x 在(),ππ-上有且只有一个零点，则满足条件的a 的值有3个C ．存在a ，使得()f x 存在三个极值点D ．当1a =时，则()f x 存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<三、填空题13．若31()n x x-展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中3x 的系数为___________. 14．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，点Q 是直线30x y --=上任意一点，则PQ 的最小距离为________.15．已知()ln(1)sin 2f x x a x =++，若曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为-1，则=a ________；当0a =时，则与曲线ln 1y x =+和曲线()y f x =都相切的直线的方程是________.16．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线12,l l ，过点F 且与抛物线C 分别交于点,M N 和点,P Q ，弦MN 和PQ 的中点分别为,D E ，若12l l ⊥，则下列结论正确的是 ( )①||||MN PQ +的最小值为32②以,,,M N P Q 四点为顶点的四边形的面积的最小值为128 ③直线DE 过定点(6,0)④焦点F 可以同时为弦MN 和PQ 的三等分点四、解答题17．等差数列{n a }满足3614,5a a ==，其前n 项和为n S . (1)求数列{n a }的通项公式； (2)求1210||||||a a a +++的值.18．（1）化简:()()()()πtan πcos 2πsin 2cos πsin ααααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭---（2）已知π3π24βα<<<，()12cos 13αβ-=和()3sin 5αβ+=-，求sin 2α的值.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，(1)证明：PA BD ⊥(2)求直线BC 与平面PCD 所成角的余弦值.20．快递业的迅速发展导致行业内竞争日趋激烈．某快递网点需了解一天中收发一件快递的平均成本y （单位：元）与当天揽收的快递件数即揽件量x （单位：千件）之间的关系，对该网点近7天的每日揽件量i x （单位：千件）与当日收发一件快递的平均成本i y （单位：元）（1,2,3,4,5,6,7i =）的数据进行了初步处理，得到散点图及一些统计量的值．表中1i i w x =和7117i i w w ==∑．(1)根据散点图判断y ax b =+与dy c x=+哪一个更适宜作为y 关于x 的经验回归方程类型？并根据判断结果及表中数据求出y 关于x 的经验回归方程；(2)已知该网点每天的揽件量x （单位：千件）与单件快递的平均价格t （单位：元）之间的关系是)5.7514.5x t ≤≤，收发一件快递的利润等于单件的平均价格减去平均成本，根据（1）中建立的经验回归方程解决以下问题：①预测该网点某天揽件量为2千件时可获得的总利润；②单件快递的平均价格t 为何值时，则该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大？附：对于一组具有线性相关关系的数据(),(1,2,,)i i v i n μ=，其经验回归直线ˆˆˆv βμα=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆnii i nii v v μμβμμ==--=-∑∑和ˆˆv αβμ=-． 21．已知抛物线C ：()220y px p =>上有一点()2,2P .(1)求抛物线C 的标准方程及其准线方程；(2)过点()2,0M 的直线交抛物线C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，记直线OA ，OB 的斜率分别为1k 和2k ，求证：12k k 为定值.22．设0a >，函数()()()21ln ,ln 1x f x x ax g x x x -=-=-+.(1)证明：当1x >时，则()0g x >恒成立 (2)若函数()f x 无零点，求实数a 的取值范围(3)若函数()f x 有两个相异零点12,x x ，求证：212e x x >参考答案与解析1．D【分析】先分别求出集合A 和B ，由此能求出结果．【详解】∵合A={0，1，2}，B={m|m=x+y ，x ∈A ，y ∈A}={0，1，2，3，4}，∴A ⊆B ．故选D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 2．B【分析】先根据复数运算法则计算2,z z ，再化简复数等式，根据复数相等列方程求,a b ，由此可得结论.故选：B.3．C【分析】利用求向量模值的方法求得正确答案； 【详解】解：由题意得：()2a =33cos32a b π=⨯=2222(44233)a a b a b a b b -+∴-=-==-故选：C 4．C【分析】根据函数的定义域、幂函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.故选：C. 5．B【分析】利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】由随机数可知：恰好取球三次就停止的有023,13,203,132，共4组随机数 所以恰好取球三次就停止的概率42189P == 故选：B. 6．C【分析】依据函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可知2ω≤，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知76ππω≥，最后计算可知结果. 【详解】因为()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以T π≥，则2ππω≥，由此可得2ω≤. 因为当32x k ππωπ+=+，即()6k x k Z ππω+=∈时，则函数取得极值欲满足在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在极值点，因为周期T π≥，故在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值故第一个极值点64x ππω=<，得23ω>，又第二个极值点776122x πππω=≥> 要使()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，必须76ππω≥，得76ω≤. 综上可得，ω的取值范围是27,36⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C【点睛】思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断ω；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得46ππω<，76ππω≥即可. 7．D因为41ln43<<，所以a c >，所以b a c >> 故选：D. 8．C【分析】由题意得：旋转后的几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体，根据圆锥与圆柱表面积的求法，代入数据，计算求值，即可得答案. 【详解】旋转后所得几何体，如图所示：所得几何体为一个圆锥与一个同底的圆柱的组合体由题意得1OD BC CD OB AO ===== AD ==所以底面圆的周长为212ππ⨯=，底面圆的面积为21ππ⨯=所以圆锥的侧面积为122π⨯圆柱的侧面积为212ππ⨯=所以所得几何体的表面积为2(3πππ++=. 故选：C 9．ACD【分析】根据互斥事件的含义可知AB =∅，判断A,B ;根据题意可知A B ⊇，从而()()P A B P A =，判断C;根据互斥事件的概率加法公式可判断D. 【详解】∵,A B 为两个互斥事件()0,()0P A P B >> ∴AB =∅，即()0P AB =，故A 正确，B 选项错误 ∵ ,A B 为两个互斥事件,则A B ⊇ ∴ ()()P AB P A = 故C 选项正确∵,A B 为两个互斥事件∴()()()⋃=+P A B P A P B ，故D 选项正确． 故选∶ACD ． 10．BD【分析】对于A ，利用奇函数的定义，可得答案；对于B 、D ，利用导数以及奇函数的性质，可得答案；对于C ，根据对数函数的性质以及不等式的性质，可得答案.【详解】对于A ，当0x <时，则0x ->，则()()e 1xf x x -=⋅--函数()f x 在其定义域上是奇函数，则()()()e 1xf x f x x =--=⋅+，故A 错误；对于B ，当0x >时，则()()e 1x f x x -=- ()()()e 1e e 2x x xf x x x ---'=--+=-当()0,2x ∈时，则0fx，()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，则()0f x '<，()f x 单调递减故()()()22max 2e 21e 1f x f --==-=<当()0,1x ∈时，则0e e 1x -<=，10x -<则()0e111xx x ->->->-；当()1,x ∈+∞时，则e 0x ->，10x ->则()e 10xx -->综上，当0x >时，则()()(()2e 11,e 1,1xf x x --⎤=-∈-⊆-⎦因为函数()f x 是奇函数，所以()00f =当0x <时，则()()()1,1f x f x =--∈-，故B 正确； 对于C ，由B 可知，当()0,1x ∈时，则0e e 1x -<= 10x -< 则()0e111xx x ->->->-；当()1,x ∈+∞时，则e 0x ->，10x ->则()e 10xx -->因为函数()f x 是奇函数，所以当(),1x ∈-∞时，则()0f x <；当()1,0x ∈-时，则()0f x > 因为函数()f x 是奇函数，所以()00f =综上，不等式()0f x ≥，其解集为[][)1,01,∞-⋃+，故C 错误；对于D ，由B 可知，当()0,2x ∈时，则 ()f x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，则 ()f x 单调递减 因为函数()f x 是奇函数，所以当(),2x ∞∈--时，则 ()f x 单调递减； 当()2,0x ∈-时，则 ()f x 单调递增，故D 正确. 故选：BD. 11．BD【分析】由PA PB AB -≤求得最大值判断A ，求出以AC 为直径的圆的方程与圆C 的方程相减得公共弦所在直线方程，判断B ，由圆心在直线AB 上，确定当PC AB ⊥时，则P 直线AB 距离最大为圆C 半径，从而求得PAB 的面积的最大值判断D ，当∠PAB 最大时，则PA 是圆的切线，不可能PC AB ⊥，这样可判断C ． 【详解】由已知圆心为(2,0)C ，半径为2r =AC r =，AB r 即A 在圆外，B 在圆内PA PB AB -≤=，当且仅当P 是AB 的延长线与圆的交点时等号成立，所以最大值A 错；AC 中点为(1,1)，圆方程为222(1)(1)2x y -+-==此方程与圆C 方程相减得并化简得0x y -=，即为两圆公共弦所在直线方程，B 正确； 直线AB 的方程为21212y x -=+-，即20x y +-=，圆心(2,0)C 在直线AB 上，P 到直线AB 的距离的最大值等于圆半径AB PAB的面积的最大值为122=D 正确；当PABPC AB ⊥，而∠PAB 最大时，则PA 是圆的切线，此时PA PC ⊥，不可能有PC AB ⊥，因此C 错误．故选：BD ． 12．BCD【分析】运用导数研究函数的性质及其大致图像，将选项中的几个问题转化为函数问题 通过研究其图像与性质解决.故π41e2e a ⎛ ∈ ⎝⎭时，则cos ()e x x a h x =-=有三个实数根，()f x 存在三个极值点 故C 正确；对于D,()e cos 0e =-cos x x f x x x '=+=⇔由图像可知此方程有唯一实根0x因为3π2e 2>，所以3π3π24111,22ee <<3π103π4e 4f ⎛⎫'-=< ⎪⎝⎭ 03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭000000π()e sin sin cos 4x f x x x x x ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭可知01()0f x -<<，故D 正确. 故选：BCD.【点睛】运用导数可以研究函数的单调性、极值、最值以及切线，从而知道函数的大致图像 借助于图像与性质运用数形结合的思想可以解决有关函数的一系列问题. 13．84【分析】根据二项式系数和的公式，可以求得n 的值，从而通过展开式的通项公式，求出3x 的系数【详解】解：31()n x x-展开式中的所有二项式系数和为2512n =，则9n =，通项公式为27419·(1)rr r r T C x -+=-⋅ 令2743r -=，求得6r =，可得该展开式中3x 的系数639984C C ==故答案为：84. 14【分析】利用导数的几何意义处理即可. 【详解】()21ln 0,2y x x x y x x'=->∴=-令1y '=，则1x =，即曲线2ln y x x =-在()1,1处的切线方程为：111y x即y x =如下图所示，当()1,1P 时PQ 的最小值为点P 到直线30x y --=的距离（Q 为垂足）.故min 2PQ ==.故答案为：215． 1- y x = 【解析】先求导可得1()2cos 21f x a x x '=++，再由(0)1f '=-可得a 的值；当0a =时，则可得ln )(1)(y f x x ==+，设直线l 与曲线ln 1y x =+和曲线()y f x =的切点分别为11(,ln 1)A x x +，22(,ln(1))B x x +根据切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，以及利用两个切点表示出切线斜率，可得方程组，从而解出切点坐标，即得.【详解】由题得，函数()f x 的导数为1()2cos 21f x a x x '=++，由曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为1-，可得(0)121f a '=+=-，解得1a =-.当0a =时，则所以 ()ln(1)f x x =+，设直线l 与曲线ln 1y x =+和曲线()y f x =的切点分别为11(,ln 1)A x x +，22(,ln(1))B x x +则切线的斜率等于曲线在切点处的导数值，又1y x'=和1()1f x x '=+，则有1221211111ln(1)ln 11xx x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨+--⎪=⎪-⎩，解得11x =和20x =，故切点为(1,1),(0,0)A B ，切线斜率1k =，可得切线方程为11(1)y x -=⨯-，即y x =.故答案为：-1，y x =【点睛】本题考查根据导数的几何意义求参数，以及求与两个曲线都相切的直线方程. 16．①②③【解析】依题意得直线12,l l 的斜率均存在，设()11,M x y ，()22,N x y 直线1:(2)l y k x =-，把直线方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义分别求出,MN PQ 的表达式，利用基本不等式求最值即可判断①；求出四边形MNPQ 面积的表达式，利用基本不等式求最值即可判断②；表示出,D E 坐标，进而得到直线DE 的方程即可判断③；假设点F 为弦MN 的三等分点，不妨设2NF FM =，利用平面向量的坐标表示进行求解，根据能否推出矛盾判断④即可.【详解】依题意得直线12,l l 的斜率均存在，且(2,0)F 设()11,M x y 与()22,N x y ，直线1:(2)l y k x =-联立方程2(2)8y k x y x=-⎧⎨=⎩，整理可得()22224840k x k x k -++=所以212248k x x k ++=，则1228||48MN x x k =++=+ 因为12l l ⊥，以1k-代替k 可得，2||88PQ k =+所以228||||888161632MN PQ k k+=+++≥+= 当且仅当1k =±时取等号，所以①正确； 因为12l l ⊥，所以四边形的面积2211||||3221282S MN PQ k k ⎛⎫=⋅=⨯++≥ ⎪⎝⎭ 当且仅当1k =±时取等号，所以②正确；因为2442,D k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ()224,4E k k +-所以直线DE 的方程为224224(4)k y k k ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭()24424k x k k ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭即()2(6)10k x k y ---=，恒过定点(6,0)，故③正确；若点F 为弦MN 的三等分点，不妨设2NF FM = 则()()22112,22,x y x y --=-，所以21224x x -=- 即1226x x +=，又124x x =解得1222x x =⎧⎨=⎩（舍去），或1214x x =⎧⎨=⎩代入212248k x x k ++=，得k =±.故答案为：①②③【点睛】本题考查抛物线的定义及其几何性质、直线与抛物线相交的弦长和面积的求解、基本不等式的运用、平面向量的坐标表示；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握相关知识，并能灵活运用是求解本题的关键；属于综合性试题. 17．(1)233.n a n =- (2)89【分析】（1）根据条件列出关于首项和公差的方程组，即可求通项公式； （2）根据（1）的结果，求数列{}n a 的前n 项和n S ，再代入10n =，即可求解. 【详解】（1）设首项为1a ，公差为d依题意得1121455a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得：1203a d =⎧⎨=-⎩∴()()2013233.n a n n =+-⨯-=- （2）当7n ≤时，则0n a > ∴1212||||||n n n S a a a a a a =+++=+++()23134320222n n n S n n n -=-=-+当8n ≥时，则0n a <∴1212||||...||n n S a a a a a =+++=+++78n a a a ---1172()(a a a =++-++2343)15422n a n n =-+ 故()()22343722343154822n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩ *N n ∈∴2121010343||||...||1022a a a S +++==⨯-1015489⨯+=. 18．（1）1-；（2）5665-. 【分析】（1）先利用诱导公式化简，再结合同角三角函数的关系化简即可； （2）根据π3π24βα<<<，可得3ππ2αβ<+<，π04αβ<-<结合同角三角函数的关系可得()sin αβ-，()cos αβ+的值，进而结合两角和的正弦公式求解即可.【详解】（1）()()()()()πtan πcos 2πsin tan cos cos 21cos πsin cos sin αααααααααα⎛⎫--+ ⎪-⋅⋅⎝⎭==-----⋅-；（2）因为π3π24βα<<< 所以3ππ2αβ<+< π04αβ<-<所以()5sin 13αβ-=()4cos 5αβ+===-所以()()()()()()sin 2sin sin cos cos sin ααβαβαβαβαβαβ=-++=-++-+⎡⎤⎣⎦541235613513565⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19．(1)证明见解析【分析】（1）通过构造线面垂直的方法来证得PA BD ⊥.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线BC 与平面PCD 所成角的正弦值进而求得其余弦值. 【详解】（1）连接BD ，设BD 的中点为O ，连接OA ，OP . 因为AB AD =，所以OA BD ⊥ 因为PB PD =，所以OP BD ⊥又,,OA OP O OA OP ⋂=⊂平面OAP ，所以BD ⊥平面OAP 因为PA ⊂平面OAP ，所以PA BD ⊥.（2）因为90BAD ∠=︒，所以OA OB =，又PA PB = 所以POA POB ≅△△，所以OP OA ⊥ 又,,OA BD O OA BD ⋂=⊂平面ABCD 所以OP ⊥平面ABCD .2,2BD CD ====222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥.如图，以O 为原点，OB ，OP 所在直线分别为x 轴、z 轴建立空间直角坐标系()2,2,0BC =-，平面PCD 的法向量分别为()000,,n x y z =所以00n DC n DP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即000200y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，取0x ，则()3,0,1n =-设BC 与平面PCD 所成的角为α，则sin cos ,BC n α-===则直线BC 与平面PCD .20．(1)dy c x =+更适宜作为y 关于x 的经验回归方程类型，52.75y x=+ (2)①17000元；②单件快递的平均价格10.75t =元时，则该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.【分析】（1）根据散点图可确定回归模型，令1w x=，利用最小二乘法可求得,d c ，由此可得回归方程； （2）设收发x 千件快递获利z 千元，可得()3125164xz x x =-+-≤≤；①将2x =代入解析式即可求得z ；②利用导数可求得z 的单调性，进而确定最大值点，由此可得t . （1）由散点图可知：dy c x=+更适宜作为y 关于x 的经验回归方程类型； 令1w x=，则()()()717212.7550.55iii ii w w y y d w w ==--===-∑∑ 4.650.37 2.75c y dw =-=-⨯= ∴y 关于x 的经验回归方程为52.75y x =+.（2）设收发x 千件快递获利z 千元，则()()23595 2.751251644x x z t y x x x x x ⎛⎫-=-=--=-+-≤≤ ⎪⎝⎭； ①当2x =时，则17z =，即该网点某天揽收2000件快递可获得的总利润约为17000元．②23124z x '=-+，令0z '=，解得：4x =∴当[)1,4x ∈时，则0z '>；当(]4,6x ∈时，则0z '<；z ∴在[)1,4上单调递增，在(]4,6上单调递减 ∴当4x =时，则max 27z =，此时10.75t =；∴单件快递的平均价格10.75t =元时，则该网点一天内收发快递所获利润的预报值最大.21．(1)抛物线C ：22y x =准线方程为：12x =-(2)证明见解析【分析】(1)根据抛物线C 所过的点即可求出C 的方程及其准线方程. (2)设出直线AB 方程，与抛物线C 的方程联立，借助韦达定理即可计算作答.【详解】（1）因抛物线C ：()220y px p =>过点()2,2P ，则有2222p =⨯，解得1p =所以抛物线C 的标准方程是：22y x =，准线方程为：12x =-.（2）依题意，过点()2,0M 的直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 方程为2x my =+由222x my y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得2240y my --=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则122y y m += 和124y y =- 于是得12121221212121212(2)(2)2()4y y y y y y x x my my k m y y m y y k =⋅==+++++2244(2)4m m -=-++1=- 所以12k k 为定值1-. 22．(1)证明见解析 (2)1(,)e+∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，利用导数的正负判断原函数的单调性即可.（2）利用导数求出最值，若函数无零点则说明最大值小于0即可，从而求出a 的范围.（3）通过函数()f x 有两个相异零点12,x x 构造出两个方程11ln x ax =，22ln x ax =再将所证明的不等式212e x x >两边同取对数进行构造，与前面构造的方程建立联系从而得到新不等式1121222(1)ln1x x x x x x ->+，再次构造新函数来证明该不等式成立即可. （1）（1）证明：22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++，由 于已知1x >，∴()0g x '>恒成立，∴()g x 在()1,+∞递增，∴()()10g x g >= ∴1x >时，则()0g x >恒成立 （2）()ln f x x ax =-的定义域是()0,∞+和11()'-=-=axf x a x x. 由于0,0a x >>.令0fx，解得10x a<<∴()f x 在1(0,)a上递增，在1(,)a +∞上递减.∴1()()ln 1f x a a f =--≤，欲使函数()f x 无零点，则只要ln 10a --<即ln 1a >-，∴1e>a ，故所求a 的范围是1(,)e +∞（3）因为()f x 有两个相异的零点，又由于0x > 故不妨令120x x >>，且有11ln x ax = 22ln x ax = ∴1212ln ln ()x x a x x +=+ 1212ln ln ()-=-x x a x x要证()2121212121212ln ln 2e ln 2ln ln 2x x x x x x x x a x x x x ->⇔>⇔+>⇔>⇔+- 112121211212222(1)2()2ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x -->⇔->⇔>+++ 令12x t x =，则1t >，故只要证明2(1)ln ,11t t t t ->>+时恒成立. 而由（1）知1t >时，则2(1)ln 01t t t -->+恒成立，即2(1)ln 01t t t -->+恒成立 从而证明212e x x >.故212e x x >.。
2023-2024学年湖北省武汉市高三下学期数学质量检测模拟试题(六模)含答案
2023-2024学年湖北省武汉市校高三下学期数学模拟试题（六模）一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2{lg ,0100},450A y y x xB x x x ==<<=-++>∣∣，则A B = （）A.()0,2 B.()1,2- C.()1,2 D.()1,5-【正确答案】B【分析】先求出集合,A B ，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg ,0100y x x =<<，所以lg1002y <=，所以}{2,A yy =<∣{}{}245015B x x x x x =-++>=-<<∣，所以A B = ()1,2-.故选：B.2.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则122i z z z +=⋅（）A.31i 22- B.31i 22+C.31i 22-- D.31i 22-+【正确答案】C【分析】利用复数的几何意义和复数的乘除运算求解.【详解】解：由图知：1212i,1i z z =-=+，所以()122ii i 2i 2i1i 1z z z --++=⋅-=+⋅，()()()()2i 1i 31i1i 1i 22------+-=-=，故选：C3.如图，已知AOB 是半径为2，圆心角为π2的扇形，点,E F 分别在,OA OB 上，且3,3OA OE OB OF ==，点P 是圆弧 AB上的动点（包括端点），则PE PF ⋅的最小值为（）A.4243-B.4243+C.83D.163【正确答案】A【分析】以O 为原点，,OA OB 所在直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，设(),,,0P x y x y >，则224x y +=，利用平面向量的坐标运算得()243PE PF x y ⋅=-+ ，结合基本不等式即可求得最值.【详解】如图，以O 为原点，,OA OB 所在直线为,x y轴建立平面直角坐标系则()()222,0,0,2,,0,0,33A B E F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),,,0P x y x y >，则224x y +=，所以()2222222,,433333PE PF x y x y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=--⋅--=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()22224x y x y xy +=+-=，所以()242x y xy +=+，又222x y xy +≥，则42xy ≥，所以02xy <≤，当且仅当x y ==则()2x y +的最大值为8，所以x y +的最大值为，即PE PF ⋅ 的最小值为4243-.故选：A.4.中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为112,,AA BB ，11,CC DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为180 ，则该几何体的表面积为（）A.15π22+ B.15π42+ C.7π2+ D.9π4+【正确答案】D【分析】根据圆柱侧面积公式以及圆的面积公式即可求解每个面的面积,进而可求表面积.【详解】此几何体为两个半圆柱的组合体：一个大的半圆柱中间挖去一个小的同轴半圆柱，()()22112π212π22π121229π422S =⨯-+⨯+⨯⨯+⨯⨯=+表.故选：D 5.()2231cos364sin 18cos722cos 361sin144=+--⋅（）A.-B.6-C. D.6【正确答案】A【分析】利用二倍角公式及诱导公式计算计算可得.【详解】()224sin 18cos722cos 361sin144+--⋅()()2312cos 184sin 18cos 90cos722sin 18011836=--+--⎡⎤⎣⋅⎦()232cos184sin 18sin182sin si 18n 36=+--⋅()24sin 182s 3n 6i =-⋅s 2co 332cos168s36in =⋅-32cos18sin 72-=()32cos1832cos18cos18sin 9018==---=-.故选：A6.设20.021151e ,sin cos ,10010050a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A .a b c<< B.a c b <<C.<<b c a D.b a c<<【正确答案】C【分析】解：由0.02e ,sin0.02,10.021a b c ==+=+，构造()()e sin (0)1xf x x x =->+和()()e (0)1x g x x x =->+，利用其单调性比较.【详解】解：由20.0211e ,sin cos sin0.02,10.021010010a b c ⎛+⎫==+=+⎪⎝= ⎭，令()()e sin (0)1xf x x x =->+，则()e cos 0x f x x =->'，所以()f x 在()0,∞+上递增，则()()00f x f >=，即e 1sin x x >+，则0.02e sin0.021>+，即a b >；令()()e (0)1xg x x x =->+，则()e 10xg x '=->，所以()g x 在()0,∞+上递增，则()()00g x g >=，即e 1x x >+，则0.0221e 0.0>+，即a c >，故选：C7.已知双曲线22:142x y Γ-=的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线Γ的左右两支于,A B 两点，且22F AB F BA ∠∠=，则2BF =（）A.4+ B.4+ C. D.【正确答案】C【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF 即可.【详解】由双曲线22:142x y Γ-=得出2,a b c ===.因为22F AB F BA ∠∠=，所以22F A F B =.作2F C AB ⊥于C ，则C 是AB 的中点.设22F A F B x ==，则由双曲线的定义211222,F A F A a F B F B a -=-=，可得114,4,8F A x F B x AB =-=+=.故2124cos CB BF xF BF =∠=，又由余弦定理得()(()()222221cos 444244F BF xx x x x x xx ++-+-=⋅∠=++⋅，所以()24444x x x x x+-=+⋅，解得x =.故选：C8.若存在R a ∈使对于任意1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦不等式()22ln e2e ln e x ax bxx +-+恒成立，则实数b的最小值为（）A.2e ee 1+-- B.32e e 1e 1++-- C.e- D.1-【正确答案】D【分析】变形为()2e2e ln e ln x x ax bxx-++，由题意知直线y ax b =+恒位于ln ()xf x x=的图象上方，()2e2e ln e ()x g x x-+=的图象下方，b 代表直线y ax b =+在y 轴上的截距，当直线变化时观察b 取得小值时满足的条件.【详解】令ln ()x f x x =，则21ln ()x f x x -'=，故()f x 在1(,1)e 为增函数，(1,e)为减函数，且(1)0f =，在1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的图象如图所示.令()2e2e ln e ()x g x x-+=，则()2222e e ln e3e()x g x x -+-='且()221()e 2e 5e 0e g =->'，1(e)0eg =-<'，所以存在0x 使得00()g x '=当01,e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0()0g x '>，当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，00()g x '<()g x 当01,e x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦为增函数，当[]0,e x x ∈为减函数，当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的图象如图所示.由题意得()2e2e ln e ln x x ax bxx-++，如图，当1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，直线y ax b =+恒位于()y f x =的图象上方，()y g x =的图象下方，b 代表直线y ax b =+在y 轴上的截距，当直线变化时观察得当直线过()e,e 1M -且与曲线ln xy x=相切时，b 最小.设切点为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则000200ln e 11ln e xx x x x -+-=-，整理得()20000(e 1)2e ln e 0x x x x -+---=令2()(e 1)(2e)ln e h x x x x x =-+---，则(1)0h =e ()2(e 1)12(1ln )h x x x x=-+-++'e2(e 1)(12ln )x x x=-+-+而当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，e 2(e 1)3x x -+≥>，12ln 3x +≤所以e2(e 1)(12ln )0x x x-+-+>所以当1,e ex ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>所以当1,e e x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()h x 为增函数，所以()h x 有唯一的零点1，所以01x =，此时直线方程为1y x =-，故min 1b =-.故选：D不等式恒成立求参数范围时常用的方法：①完全分离参数，此法比较简单，分离后只需研究不含参函数的最值即可；②半分离参数，将参数留在一个形式比较简单的函数中，如一次函数或二次函数，另一边的函数可以是稍微复杂一点的不含参函数，将不等式恒成立问题转化为两函数图象位置关系求解；③不分离参数，含参讨论，常常比较复杂要用导数研究最值.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知其前n 项和为9,81n S S =，且2514,,a a a 等比数列，则下列结论正确的是（）A.21n a n =+B.()()()1210012100111100a a a -+-++-= C.2n S n=D.设数列{}12nn a +⋅的前n 项和为n T ，则122n n T n +=⋅+【正确答案】BC【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用9,81n S S =，2514,,a a a 等比数列求出d 、1a ，可判断A ；求出()()()1210012100111a a a -+-++- 可判断B ，利用等差数列求和公式求出n S 可判断C ；求出12+⋅nn a ，再利用错位相减求和可判断D.【详解】对于A ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由9,81n S S =得1989812a d ⨯+=，①由2514,,a a a 等比数列得()25214=a a a ，()()()2111413a d a d a d +=++，②由①②解得2d =，11a =，所以21n a n =-，故A 错误；对于B ，()()()1210012100111135791113199a a a -+-++-=-+-+-+-+⋅+ ()()()()1357911197199=-++-++-+++-+ ()222250100=++++⨯= ，故B 正确；对于C ，2121·2n n S n n +-==，故C 正确；对于D ，()12221+⋅=⋅+nnn a n ，所以所以()()1231325272212212-=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ n nn T n n ，①()()23412325272212212+=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ n n n T n n ，②①-②得，()()1231322222212+-=⋅++++-+⋅ n n n T n ，则()12122n n T n +=-⋅+，故D 错误.故选：BC.10.已知函数()f x 对x ∀∈R 都有()()()42f x f x f =++，若函数()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，且对[]12,0,2x x ∀∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->，则下列结论正确的是（）A.()20f = B.()f x 是偶函数C.()f x 是周期为4的周期函数 D.()()2023100f f <-【正确答案】ABC【分析】由图象的平移可得()f x 是偶函数，从而判断B ；对x ∀∈R 都有()()()42f x f x f =++，取2x =-，可求得()2f ，从而判断A ；进而得到()()4f x f x =+恒成立，从而判断C ；再由已知可得()f x 在[]0,2上单调递增，结合偶函数的性质及周期性，从而判断D.【详解】因为函数()3y f x =+的图象关于直线3x =-对称，所以函数()y f x =的图象关于直线0x =对称，故()f x 是偶函数，B 正确；因为函数()f x 对x ∀∈R 都有()()()42f x f x f =++，所以取2x =-，可得()()()222f f f =-+，又()f x 是偶函数，所以()()22f f -=，从而可得()20f =，A 正确；由()20f =，知()()()()424f x f x f f x =+=++，故()f x 是周期为4的周期函数，C 正确；因为()f x 是偶函数，且是周期为4的周期函数，所以()()()202311f f f =-=，()()()1001000f f f -==，又对[]12,0,2x x ∀∈，当12x x ≠时，都有()()()()21210x x f x f x -->，所以()f x 在[]0,2上单调递增，()()10f f >，即()()2023100f f >-，D 错误.故选：ABC.11.某人有6把钥匙，其中4把能打开门.如果不放回地依次随机抽取3把钥匙试着开门，设事件i A 为“第i 次能打开门”，则下列结论中正确的是（）A.事件1A 与2A 互斥B.()223P A =C.()1289P A A ⋃= D.()3235P A A =∣【正确答案】BD【分析】利用互斥事件的定义和条件概率公式求解即可.【详解】事件1A 与2A 可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；事件2A 为“第2次能打开门”，则()()()222112443265653P A P A A P A A =+=⨯+⨯=，故B 正确；()()12122114116515P A A P A A =-=-⨯= ，故C 错误；()()()23232311P A A P A A P A A A =+24343226546545=⨯⨯+⨯⨯=，()()()222112443265653P A P A A P A A =+=⨯+⨯=，所以()()()2322335P A A P A A P A ==∣,故D 正确.故选：BD12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡除”模型，该“羡除”是以,,,,,A B C D E F 为顶点的五面体，四边形ABCD 为正方形，EF 平面,24,ABCD AB EF AE DE BF CF ======）A.该几何体的表面积为16+B.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212【正确答案】ABD【分析】过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，将该几何体分为一个棱柱与两个棱锥，取AD ，BC 的中点P ，Q ，则EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，然后求出表面积可判断A ；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，可证得FT ⊥面ABCD ，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B ；连接AC ，BD 交于点O ，可求得O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，求出表面积即可判断C ；取AB 的中点N ，得AE ∥FN ，则AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设N 到面FBC 的距离为h ，利用等体积法，由N FBC F NBC V V --=求得h ，进而可得AE 与平面FBC 所成角的正弦值，可判断D ．【详解】∵EF ∥平面ABCD ，EF 在平面ABFE 内，平面ABFE ∩平面ABCD ＝AB ，∴EF ∥AB ，∵AB ∥DC ，∴EF ∥DC ，∵24,AB EF AE DE BF CF ======∴ABFE ，DCFE 均为等腰梯形，过E 作EK ⊥AB 于K ，作EM ⊥DC 于M ，连接KM ，过F 作FG ⊥AB 于G ，作FH ⊥DC 于H ，连接GH ，∴EF ∥KG ∥MH ，EF ＝KG ＝MH ＝2，AK ＝GB ＝DM ＝HC ＝1，∵AB ∥DC ，FH ⊥DC ，∴AB ⊥FH ，又AB ⊥GF ，GF ，FH 在平面FGH 内，GF ∩FH ＝F ，∴AB ⊥面FGH ，同理，AB ⊥面EKM ，∴面FGH ∥面EKM ，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD ，BC 的中点P ，Q ，连接FQ ，EP ，∵AE DE BF CF ====EP ⊥AD ，FQ ⊥BC ，∴FQ ==，∴142EAD FBC S S ==⨯⨯=△△，FG =()1242DCFE ABFE S S ==⨯+=，又4416ABCD S =⨯=，∴该几何体的表面积为16EAD FBC DCFE ABFE ABCD S S S S S ++++=+△△，故A 正确；连接PQ ，交GH 于T ，则T 为GH 的中点，连接FT ，∵AB ⊥面FGH ，FT 在面FGH 内，∴FT ⊥AB ，∵GF ＝FH ＝EK ＝EM ，∴FT ⊥GH ，又AB ，GH 在面ABCD 内，AB ∩GH ＝G ，∴FT ⊥面ABCD ，∴FT ==，∴14133E AKMDF GBCH V V --==⨯⨯=，∵11422FGH S GH FT =⋅=⨯=△∴2FGH EKM FGH V S GK -=⋅==△∴该几何体的体积为3E AKMDF GBCH FGH EKM V V V ---++=，故B 正确；连接AC ，BD 交于点O ，则O 也在PQ 上，连接OE ，OF ，∵EF ∥OQ ，EF ＝OQ ，∴EFQO 为平行四边形，∴EO ＝FQ ＝，同理，FO ＝EP ＝∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝OE ＝OF ＝∴O 为该几何体的外接球的球心，半径R ＝，∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR =，故C 错误；取AB 的中点N ，连接FN ，NC ，∵EF ∥AN ，EF ＝AN ，∴EFNA 为平行四边形，∴AE ∥FN ，∴AE 与平面FBC 所成角等于FN 与平面FBC 所成角，设为θ，设N 到面FBC 的距离为h ，∵N FBC F NBC V V --=，∴1133FBC NBC S h S FT ⋅=⋅△△，∴11124332h ⨯=⨯⨯⨯⨯，∴2h =，∴142sin 12h FN θ===，即AE 与平面FBC 所成角的正弦值为4212，故D 正确．故选：ABD ．三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()261(1)axx ++的展开式中4x的系数为45-，则实数a 的值为__________.【正确答案】4-【分析】求出6(1)x +的通项为，令4x =和2x =求出()261(1)axx ++的展开式中4x 的系数，151545a +=-，解方程即可求出答案.【详解】()266261(1)(1)(1)axx x ax x ++=+++,6(1)x +的通项为：16C r r r T x +=，令4x =时，46C 15=；令2x =时，2615C =，所以()261(1)axx ++的展开式中4x的系数为45-，所以151545a +=-，解得.4a =-故答案为.4-14.已知抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为4的点到抛物线焦点F 的距离为9，点B 是抛物线C 上的点，O 为坐标原点，OFB ∠的平分线交抛物线C 于点A ，且120OFB ∠= ，,A B 都在x轴的上方，则直线AB 的斜率为__________.【正确答案】2【分析】根据题意分别求得直线BF 的方程为5)y x =-和直线AF 的方程为5)y x =-，联立方程组求得B 和5103(,33A ，结合斜率公式，即可求解.【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>上横坐标为4的点到抛物线焦点F 的距离为9，根据抛物线的定义，可得492p+=，解得10p =，所以2:20C y x =，如图所示，因为120OFB ∠= ，可得60xFB ∠= ，所以直线BF 的斜率为1k =可得直线BF 的方程为5)y x =-，联立方程组25)20y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，整理得2350+75=0x x -，解得15x =或53x =（舍去），因为B 都在x 轴的上方，所以点B ，又由OFB ∠的平分线交抛物线C 于点A ，可得120xFA ∠= ，所以直线AF 的斜率为2k =AF 的方程为5)y x =-联立方程组23(5)20y x y x⎧=--⎪⎨=⎪⎩，整理得2350+75=0x x -，解得53x =或15x =（舍去），因为A 都在x 轴的上方，所以点5103(,)33A ，所以AB 的斜率为1031033352153k -==-.故答案为.3215.如图，一根绝对刚性且长度不变､质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动，沙漏摆动时离开平衡位置的位移()f t （单位：cm ）与时间t （单位：s ）满足函数关系()3sin()f t t ωϕ=+(0,0π)ωϕ><<，若函数()f t 在区间[],1a a +上的最大值为M ，最小值为N ，则M N -的最小值为__________.【正确答案】3322【分析】根据题意求得()π3cos2f t t =-，由区间[],1a a +的区间长度14个周期，分区间[],1a a +在同一个单调区间和不同一个单调区间，两种情况讨论，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】由函数()f t 的图象，可得554T =，解得4T =，所以2ππ2T ω==，又由()03f =-，可得sin 1ϕ=-，解得π2π,Z 2k k ϕ=-+∈因为0πϕ<<，所以π2ϕ=-，所以()πππ3sin()3cos 222f t t t =-=-，由区间[],1a a +的区间长度为1，即区间长度为14个周期，当区间[],1a a +在同一个单调区间时，不妨设[],1[0,2]a a +⊆，可得01a ≤≤则()()π(1)π3cos cos 221a M N M N f a f a a -=-=-+-+=ππππ3cossin sin()2224a a a ==++，因为01a ≤≤，可得πππ3π4244a ≤+≤，当πππ244a +=或3π4时，M N -取最小值3；当区间[],1a a +在不同一个单调区间时，不妨设[],1(1,3)a a +⊆，可得12a <<，此时函数()f x 在[],1a a +上先增后减，此时()max 3M f x ==，不妨设()(1)f a f a ≥+，则322a ≤<33cos (1)33sin 22M N a a -=++=-ππ，()min23132M N ⎛⎫∴-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭综上可得，M N -最小值为3-.故答案为.316.已知圆222:O x y r +=与直线34100x y +-=相切，函数()()log 21a f x x =-+过定点P ，过点P 作圆O 的两条互相垂直的弦,AC BD ，则四边形ABCD 面积的最大值为__________.【正确答案】5【分析】先根据相切求半径，再求出定点，最后求得四边形ABCD 面积的表达式，结合基本不等式求得面积的最大值.【详解】由题意圆222:O x y r +=与直线34100x y +-=相切，圆心为(0,0)O ，半径为512d r ====，函数()()log 21a f x x =-+过定点(P 如图连接OA 、OD 作,OE AC OF BD ⊥⊥垂足分别为E 、F ，AC BD ^ ，四边形OEMF 为矩形，已知2OA OC ==，OP =设圆心O 到AC 、BD 的距离分别为1d 、2d ，则222123d d OP +==．四边形ABCD 的面积为：()12S AC BP PD =+，从而：()22121852S AC BD dd =⋅=≤-+=，当且仅当2212d d =时即12d d ==取等号，故四边形ABCD 的面积最大值是5，故5.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的前n 项和为1,3n S a =，且数列{}n S 是3为公比的等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令(1)nn n b a =-⋅，求和13521n b b b b +++++ .【正确答案】（1）13,1,23,2,n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩（2）1394+--n 【分析】（1）先根据等比数列通项公式得S n ，再根据和项与通项关系求数列{a n }的通项公式；（2）由于奇数项从第三项起成等比数列，所以利用等比数列求和公式求和【小问1详解】因为113S a ==，且数列{}n S 是3为公比的等比数列，所以1333n n nS -=⨯=，当2n ≥时，1113323n n n n n n a S S ---=-=-=⨯，当1n =时，13a =不满足上式，所以13,1,23,2,n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩.【小问2详解】由已知可得()()13,1,123,2,nn n n n b a n --=⎧⎪=-⋅=⎨-⨯-≥⎪⎩，所以数列3521,,,n b b b + 是以223-⨯为首项，9为公比的等比数列；所以()()235212319919194nnn b b b +-⨯⨯--+++==- ，所以()11352191939344nn n b b b b ++---++++=-= .18.为了加强地下水管理，防治地下水超采和污染，保障地下水质量和可持续利用，推进生态文明建设，由国务院第149次常务会议通过的《地下水管理条例》自2021年12月1日起施行．某市水务部门组织宣传小分队进行法律法规宣传，某宣传小分队记录了前9周每周普及的人数，得到下表：时间/x 周123456789每周普及的人数y8098129150203190258292310并计算得：9111909i i y y ===∑，()92160i i x x =-=∑，()92155482i i y y =-=∑，()()911800iii x x y y =--=∑．（1）从这9周的数据中任选4个周的数据，以X 表示4周中每周普及宣传人数不少于240人的周数，求X 的分布列和数学期望；（2）由于统计工作人员的疏忽，第5周的数据统计有误，如果去掉第5周的数据，试用剩下的数据求出每周普及的人数y 关于周数x 的线性回归方程．附：线性回归方程ˆˆy bx a =+中，()()()1122211ˆn niii i i i nni ii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆa y bx=-．【正确答案】（1）分布列见解析；数学期望()43E X =（2）307ˆ308yx =+【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；根据数学期望公式可求得数学期望()E X ；（2）去掉第5周数据后，可重新计算最小二乘法所需数据，由此可求得回归直线方程.【小问1详解】由表格数据知：每周普及宣传人数不少于240人的周数3周，则X 所有可能的取值为0,1,2,3，()4649C 1550C 12642P X ∴====；()316349C C 60101C 12621P X ====；()226349C C 4552C 12614P X ====；()136349C C 613C 12621P X ====；X ∴的分布列为：X123P5421021514121∴数学期望()5105140123422114213E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】去掉第5周的数据可得统计表如下：时间/x 周12346789每周普及的人数y8098129150190258292310()11234678958x ∴=+++++++=，()11507190920388y =⨯-=，()82160i i x x =-=∑；去掉第5个月数据前，()()99119iii ii i x x y y x y xy ==--=-∑∑，()()9911918009519010350i i i i i i x y x x y y xy ==∴=--+=+⨯⨯=∑∑，去掉第5个月数据后，()()88955111150788103505203858i i i i i i i i i x x y y x y x y x y x y x y ===''''''--=-=--=-⨯-⨯⨯∑∑∑10350101575351800=--=.()()()8182118003060iii i i x x y y b x x ==--∴===-∑∑$，1507307ˆˆ53088ay bx =-=-⨯=，∴剩下的数据求得的回归直线方程为.307ˆ308yx =+19.在ABC 中，内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ，()2sincos sin sin 22A C Bb c a A c C π+--=-.（1）若2a =，求ABC 面积的最大值；（2）若3B π=，在ABC 边AC 的外侧取一点D （点D 在ABC 外部），使得1DC =，2DA =，且四边形ABCD2，求ADC ∠的大小.【正确答案】（1（2）56π【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得222b c a bc +-=，由余弦定理求得1cos 2A =，得到π3A =，再由余弦定理和基本不等式求得bc 的最大值，进而求得面积的最大值；（2）设(0π)ADC θθ∠=<<，利用余弦定理和ABC 为正三角形，求得ABCD S ，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由()2sincos sin sin 22A C Bb c a A c C π+--=-，因为A C B π+=-，可得()sin sin sin b c B a A c C -=-，又由正弦定理得()22b c b a c -=-，即222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为0πA <<，可得π3A =，所以π3BAC ∠=，在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c b c BAC ∠=+-⋅⋅，即2242b c b c bc bc bc =+-⋅≥-=，当且仅当b c =时取等号，所以113sin 4222ABC S b c BAC ∠=⋅⋅≤⨯⨯= ，所以ABC 【小问2详解】解：设(0π)ADC θθ∠=<<，则1sin sin 2ACD S AD DC θθ=⋅= ，在ADC △中，由余弦定理得2222cos 54cos AC AD DC AD DC θθ=+-⋅=-，由（1）知，π3BAC ∠=且π3B =，所以ABC 为正三角形，所以234ABC S AC θ== ，可得πsin 2sin 23ABCD S θθθ⎛⎫=+=-=+ ⎪⎝⎭，因为0πθ<<，故sin 13πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以ππ32θ-=，可得5π6θ=.20.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，1113,,60,2AA AB AA AC BAA D ∠=⊥=︒在1CC 上且满足12CD DC =.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面BAD ；（2）求平面ABC 与平面11AB C 夹角的余弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）17【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明；（2）建立空间直角坐标系，由空间向量法求解即可.【小问1详解】如图，过点D 作//DE AC 交1AA 于E ，连接,CE BE ，设AD CE O = ，连接1,,BO AC AA DE AE ⊥∴⊥ ，又12CD DC =，可得4CD =∴四边形AEDC 为正方形，CE AD ∴⊥，,,AC AE BAC BAE BA BA ∠∠=== ，,BAC BAE BC BE ∴≅∴= ，O 为CE 的中点，CE BO ∴⊥，因为AD BO O = ，,AD BO ⊂平面BAD ，CE ∴⊥平面BAD ，又CE ⊂ 平面11,ACC A ∴平面11ACC A ⊥平面BAD .【小问2详解】在Rt BOC 中，12CO CE BO ==∴=又142AB AO AD ===,222,BO AO AB BO AD +=∴⊥ ，又,BO CE AD CE O AD CE ⊥⋂=⊂,,平面11,AAC C BO ∴⊥平面11AAC C ，故建立如图空间直角坐标系O xyz -，则()2,2,0A -，(()()(110,0,,2,2,0,2,4,0,0,6,B C C B ---，(112,2,CB C B ∴== ，()()14,6,0,4,0,0AC CA =-= ，设平面11AB C 的一个法向量为()111,,m x y z =r，则11111111460220m C B x y m AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令16x =，得(6,4,m =- ，设平面ABC 一个法向量为()222,,n x y z =r，则222240220n CB x n CA x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令2y =，得()1n =-，cos ,n 17m n m n m ⋅===⋅ ，故平面ABC 与平面11AB C夹角的余弦值为17.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上，且椭圆C过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）,P Q 为椭圆C 上两个动点，且直线AP 与AQ 的斜率之积为1,,6MD PQ D -⊥为垂足，求AD 的最大值.【正确答案】（1）22142x y +=（2）362【分析】（1）由点关于直线对称，以及椭圆过点61,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，构造方程解,a b 得答案；（2）设直线PQ 方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，利用直线AP 与AQ 的斜率之积为16-，整理化简证明直线过定点，进而求出D 的轨迹是圆，把问题转化为圆上的点到椭圆左顶点距离的最大值问题，使问题得到解决.【小问1详解】设椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点(),m n ，则有21,25022n m m n ⎧⨯=-⎪⎪⎨⎪⨯--=⎪⎩4,2,m n ∴==- 椭圆C 的中心O 关于直线250x y --=的对称点落在直线2x a =上，24,a ∴=又椭圆C过点2M ⎛ ⎝⎭，可得213142b +=，解得22b =，所以椭圆C 的方程22142x y +=.【小问2详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意得直线PQ 斜率不为零，设:PQ l x my t =+，由22,1,42x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22()240my t y ++-=，即()2222240m y mty t +++-=，所以12221222,24,2mt y y m t y y m -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩由16AP AQ k k =-，得12121226y y x x ⋅=-++，即()()12126220y y x x +++=，所以()()12126220y y my t my t +++++=，所以()()()22121262(2)0m y y m t y y t ++++++=，所以()()222224262(2)022t mt m m t t m m --+++++=++，化简得220t t +-=，所以1t =或2t =-，若2t =-，则直线:2PQ l x my =-过椭圆的左顶点，不适合题意，所以1t =，所以:1PQ l x my =+过定点()1,0S ，因为,MD PQ D ⊥为垂足，所以D 在以MS为直径的圆上，,2MS MS =的中点为1,4T ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，又()2,0A -，所以564AT ==，所以AD 的最大值为566362442MS AT +=+=，即AD 的最大值为362.关键点点睛：本题是圆锥曲线过定点问题，属于难题，解决问题的关键点有两个，一是过定点问题不是显性的，比较隐晦，识别出来有困难，第二在由斜率的乘积是常数进行化简整理的过程中，计算直线过定点难度比较大，容易形成畏难心理导致计算失败.22.已知函数()222ln x f x a x x a a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）若()0,a f x <的极大值为3，求实数a 的值；（2）若()()220,,e 1x x f x ax a x x a ∞⎛⎫∀∈+<+--- ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围.【正确答案】（1）4a =-（2）⎫+∞⎪⎪⎭【分析】（1）当a<0，对()f x 求导，得出()f x 的单调性和极大值，即可得出答案.（2）由题意整理可得()22ln e ln e x x ax ax a <-，利用换元法，令e (0)x t ax t =>，则22ln ln t t a <-，令()ln g t t t =-，利用导数求出()g t 的最小值，求解即可得出答案.【小问1详解】因为0a <，由20x a >，得0x <，即()f x 的定义域为(),0∞-.因为()222ln x f x a x x a a ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，所以()122122a f x a x x x x a x a ⎛⎫⎛⎫=+--=--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'，因为10,0,0x a x a <<+<，所以当,2a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，当,02a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，所以当0a <时，()f x 在,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.所以当2a x =时，()f x 取得极大值222ln1132244a a a a f a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得4a =-.【小问2详解】当()0,x ∈+∞时，()220,e 1x a f x ax a x x a ⎛⎫><+--- ⎪⎝⎭，即2ln e x x ax x a <-，所以()22ln e ln e x x ax ax a <-.令e (0)x t ax t =>，则22ln ln t t a<-，令()ln g t t t =-，则()111t g t t t '-=-=，所以当()0,1t ∈时，()0g t '<，当()1,t ∈+∞时，()0g t '>，所以()g t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()0,11t g t g ∀>≥=，即()0,e ln e1x x x ax ax ∀>-≥，所以22ln 1a <，所以22e a <，又0a >，所以a >所以实数a 的取值范围是⎫+∞⎪⎪⎭.关键点点睛：本题第二问的关键点在于把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转化后利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了.。
湖北省武汉市2024年数学(高考)统编版模拟(提分卷)模拟试卷
湖北省武汉市2024年数学（高考）统编版模拟(提分卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点．若，则（）A．9B．6C．4D．3第(2)题已知数列满足，且，若表示不超过的最大整数，则（）A．2016B．2017C．4032D．4034第(3)题在中，，，点在线段上.当取得最小值时，（）A．B．C．D．第(4)题已知，，，则下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．第(5)题设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（）A．B．C．D．且第(6)题设a、b、c分别是的三个内角A、B、C所对的边，则是的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件第(7)题样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，P是上底面A1B1C1D1内一点，若AP∥平面BDEF，则线段AP长度的取值范围是（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）A．该几何体的表面积为B．该几何体的体积为C．过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直D．直线平面第(2)题中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化､对称统一的形式美､和谐美.定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”.给出下列命题，其中正确的命题为（）A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个B．函数可以是某个圆的“太极函数”C．正弦函数可以同时是无数个圆的“太极函数”D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形第(3)题下列命题中正确的是（）A．若样本数据，，…，的平均数是11，方差为8，则数据，，…，的平均数是6，方差为2B．已知随机变量服从正态分布，且，则C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归方程为，且数据样本中心点为，则当时，样本的估计值为7D．随机变量，若，，则三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
湖北省武汉市2018-2019学年高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
湖北省武汉市2018-2019学年下学期第三次模拟考试高三数学（理）试题注意事项：1、本卷分第I 卷和第II 卷，满分150分，考试时间120分钟。
2、请考生将答案作答在答题卡上，选考题部分标明选考题号并用2B 铅笔填涂。
第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1．计算()212i i i++-等于（ ） A ．45i - B ．34i - C ．54i - D ．43i - 2．已知命题:p R x ∀∈，cos 1x >，则p ⌝是（ ）A ．R x ∃∈，cos 1x <B ．R x ∀∈，cos 1x <C ．R x ∀∈，cos 1x ≤D ．R x ∃∈，cos 1x ≤3．若()()sin cos cos sin m αβααβα---=，且β为第三象限的角，则cos β的值为（ ）A ．C ．4．已知数列{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差等于（ ） A ．23-B ．13-C ．13D ．235．已知直线m 、l 与平面α、β、γ满足l βγ=，//l α，m α⊂，m γ⊥，则下列命题一定正确的是（ ）A ．αγ⊥且l m ⊥B ．αγ⊥且//m βC ．//m β且l m ⊥D ．//αβ且αγ⊥6．海面上有A ，B ，C 三个灯塔，10n AB =mile ，从A 望C 和B 成60视角，从B 望C 和A 成75视角，则C B =（ ）n mile ．（n m i l e 表示海里，1n mile 1582=m ）．A．．3C．．7．曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）A ．292e B ．24e C ．22e D ．2e 8．已知点P 是圆：224x y +=上的动点，点A ，B ，C 是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且C 0AB⋅B =，则C PA +PB +P 的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 9．已知函数()()()212ln f x a x x =---，()1xg x xe-=（R a ∈，e 为自然对数的底数），若对任意给定的(]00,x e ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的i x （1i =，2），使得()()0i f x g x =成立，则a 的取值范围是（ ） A ．25,1e e -⎛⎤-∞ ⎥-⎝⎦ B ．22,e e -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．22,2e e -⎛⎫⎪⎝⎭ D ．2522,1e e e e --⎡⎫⎪⎢-⎣⎭10．设12,A A 分别为双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左右顶点，若双曲线上存在点M 使得两直线斜率122MA MA k k ⋅<，则双曲线C 的离心率的取值范围为A ．(B ．(C ．)+∞ D ．()0,311．设正实数z y x ,,满足04322=-+-z y xy x ,则当z xy 取得最大值时，zy x 212-+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．49D ．3 12．已知函数()211log e xf x x e e⎛⎫=+-⎪⎝⎭，则使得()()121f x f x +<-的x 的范围是（ ） A ．()0,2 B ．(),0-∞ C ．()(),02,-∞+∞ D ．()2,+∞二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x ，y 满足2x y y x+≤⎧⎨≤⎩，z x ay =+（1a >）的最大值为3，则实数a = ．14．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =-，当1x ≠时，有()()xf x f x ''>成立；若12m <<，()2m a f =，()2b f =，()2log c f m =，则a ，b ，c 大小关系为 ．15．已知抛物线C :24y x =与点()1,2M -，过C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点，若0MA⋅MB =，则k = ．16．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”精神，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租．假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元．若该车使用了n （n *∈N ）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于 ．三．解答题：(本大题共6小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分)17．设数列{}n a 满足1252,14a a a =+=，且对任意*n n ∈，函数()212()n n n f x a x a a x ++=-+满足(1)0f '=．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()111n n n b a a =-+，记数列{}n b 的前项和为n S ，求证：12n S <．18．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD ，其中BMN 是半径为1百米的扇形，3π2=∠ABC ．管理部门欲在该地从M 到D 修建小路：在弧MN 上选一点P （异于M 、N 两点），过点P 修建与BC 平行的小路PQ ．问：点P 选择在何处时，才能使得修建的小路MP 与PQ 及QD 的总长最小？并说明理由．19．如图，在P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥.设D E ，分别为PA AC ，中点.（1）求证：//DE 平面PBC ； （2）求证：BC ⊥平面PAB ；（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D E F ，，的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行? 若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由.20．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左右焦点分别为1F ，2F ，且离心率为12，点M 为椭圆上一动点，12F F ∆M 内切圆面积的最大值为3π． （1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为1A ，过右焦点2F 的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，连结1A A ，1A B 并延长交直线4x =分别于P ，Q 两点，以Q P 为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．已知函数()()2ln 12x f x mx mx =++-，其中01m <≤． （1）当1m =时，求证：10x -<≤时，()33x f x ≤；（2）试讨论函数()y f x =的零点个数．22．选修4-4：坐标系与参数方程已知圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中(),ρθ，0ρ≥，[)0,2θπ∈）． （1）直线l 过原点，且它的倾斜角34πα=，求l 与圆E 的交点A 的极坐标（点A 不是坐标原点）；（2）直线m 过线段OA 中点M ，且直线m 交圆E 于B ，C 两点，求C MB -M 的最大值． 23．选修4-5：不等式选讲已知()1f x x x a =-++，()22g a a a =--．（1）当3a =，解关于x 的不等式()()2f x g a >+；（2）当[),1x a ∈-时恒有()()f x g a ≤，求实数a 的取值范围湖北省武汉市2018-2019学年高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题答案1．ADBDA 6．DDAAB B A 13．2 14．c b a << 15．1 16．317．（1）2(*)n a n n N =∈;（2）见解析．（1）由()212()n n n f x a x a a x ++=-+，得()12()2n n n f x a x a a ++'=-+，故 (1)0f '=,即122n n n a x a a ++=+，故{}n a 为等差数列． 设等差数列{}n a 的公差为d ，由1252,14a a a =+=，得()()11414a d a d +++=，解得2d =，∴数列{}n a 的通项公式为1(1)2(1)22(*)n a a n d n n n N =+-=+-⨯=∈ （2）证明：()()11111()11(21)(21)22121n n n b a a n n n n ===--+-+-+,111111(1)23352121n S n n ∴=-+-+++-- 111(1)2212n =-<+． 18．当BP BC ⊥时，总路径最短.连接BP , 过P 作1PP BC ⊥垂足为1P , 过Q 作1QQ BC ⊥垂足为1Q设1PBP θ∠=()2π03θ<<， 2πMP θ=- 若20πθ<<，在1Rt PBP ∆中，11sin cos PP BP θθ==， 若,2πθ=则11sin cos PP BP θθ==， 若，322πθπ<<则,cos )cos(,sin 11θθπθ-=-==BP PP2cos PQ θθ∴=- 在1Rt QBQ ∆中，111sin CQ QQ PP CQ θθθ===，，2DQ θ= 所以总路径长，)320(sin 3cos 432)(πθθθθπθ<<--+-=f1)3sin(21cos 3sin )('--=--=πθθθθf令()'0f θ=，π2θ=当π02θ<< 时，()'0f θ<当π2π23θ<< 时，()'0f θ> 所以当π2θ=时，总路径最短. 答：当BP BC ⊥时，总路径最短. 19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，点F 是线段AB 中点.试题解析）（1证明：因为点E 是AC 中点， 点D 为PA 的中点，所以PC DE //，又因为PBC DE 平面⊄，PBC PC 平面⊆所以PBC DE 平面//.）（2证明：因为平面⊥PAC 平面平面ABC ， PAC 平面平面AC ABC =，又PAC PA 平面⊂，AC PA ⊥，所以⊥PA 平面ABC . 所以BC PA ⊥.又因为BC AB ⊥，且A AB PA = ，所以PAB CB 平面⊥.）（3解：当点F 是线段AB 中点时，过点D ,E ,F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行.取AB 中点F ，连EF ，连DF .由)1(可知PBC DE 平面//.因为点E 是AC 中点，点F 为AB 的中点， 所以BC EF //，又因为PBC EF 平面⊄，PBC BC 平面⊂， 所以PBC EF 平面//.又因为E EF DE =⋂， 所以PBC DEF 平面平面//，所以平行面内的任一条直线都与平平面PBC DEF . 20．（1）22143x y +=；（2）()1,0和()7,0．（1）已知椭圆的离心率为12，不妨设c t =，2a t =，即b =，其中0t >，又12F F ∆M 内切圆面积取最大值3π时，半径取最大值为r =1212F F F F C 2r S ∆M ∆M =⋅，由12F F C ∆M 为定值，因此12F F S ∆M 也取得最大值，即点P 为短轴端点，因此()122222r b a c ⋅⋅=⋅+，()1124222t t t ⋅=+，解得1t =， 则椭圆的方程为22143x y +=．（2）设直线AB 的方程为1x ty =+，()11,x y A ，()22,x y B ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()2234690t y ty ++-=，则122634t y y t -+=+，122934y y t -=+， 直线1AA 的方程为()()()1122y y x x =----，直线1BA 的方程为()()()2222y y x x =----， 则1164,2y x ⎛⎫P ⎪+⎝⎭，226Q 4,2y x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，假设Q P 为直径的圆是否恒过定点(),m n M ， 则1164,2y m n x ⎛⎫MP =-- ⎪+⎝⎭，226Q 4,2y m n x ⎛⎫M =-- ⎪+⎝⎭， ()2121266Q 4022y y m n n x x ⎛⎫⎛⎫MP⋅M =-+--= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，即()2121266Q 4033y y m n n ty ty ⎛⎫⎛⎫MP⋅M =-+--=⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，即()()()()212122212123612184039nt y y n y y n m t y y t y y --+++-=+++，()()()()()22223612918640936934nt n t n m t t t t ----++-=-+-++， 即()226940nt n m -++-=，若Q P 为直径的圆是否恒过定点(),m n M ，即不论t 为何值时，Q 0MP⋅M =恒成立，因此，0n =，1m =或7m =，即恒过定点()1,0和()7,0．21．（1）见解析；（2）当01m <<时，有两个零点；当1m =时；有且仅有一个零点．试题解析：（1）当1m =时，令()()33x g x f x =-（10x -<≤），则()31x g x x-'=+，当10x -<≤时，30x -≥，10x +>，∴()0g x '≥，此时函数()g x 递增，∴当10x -<≤时，()()00g x g ≤=，当10x -<≤时，()33x f x ≤………①（2）()11mx x m m f x mx⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=+………②，令()0f x '=，得10x =，21x m m =-，（i ）当1m =时，120x x ==，由②得()21x f x x'=+……③∴当1x >-时，10x +>，20x ≥，∴()0f x '≥，此时，函数()f x 为增函数， ∴10x -<<时，()()00f x f <=，()00f =，0x >时，()()00f x f >=，故函数()y f x =，在1x >-上有且只有一个零点0x =； （ii ）当01m <<时，10m m -<，且11m m m-<-， 由②知，当11,x m m m ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，10mx +>，0mx <，10x m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，此时，()0f x '≥；同理可得，当1,0x m m ⎛⎤∈-⎥⎝⎦，()0f x '≤；当0x ≥时，()0f x '≥； ∴函数()y f x =的增区间为11,m mm ⎛⎤-- ⎥⎝⎦和()0,+∞，减区间为1,0m m⎛⎤- ⎥⎝⎦故，当10m x m-<<时，()()00f x f >=，当0x >时，()()00f x f >= ∴函数()y f x =，1,x m m⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭有且只有一个零点0x =；又222111ln 2f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，构造函数()11ln 2t t t t ϕ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，01t <<，则 ()()222111112t t t t tϕ--⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭……④，易知，对()0,1t ∀∈，()0t ϕ'≤，∴函数()y t ϕ=， 01t <<为减函数，∴()()10t ϕϕ>=由01m <<，知201m <<，∴()222111ln 02f m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……⑤ 构造函数()ln 1k x x x =-+（0x >），则()1xk x x-'=，当01x <≤时，()0k x '≥，当1x > 时，()0k x '<，∴函数()y k x =的增区间为(]0,1，减区间为()1,+∞，∴()()10k x k ≤=，∴有222111ln 11m m m≤-<+，则2112m e m --<，∴21111mem mm ---<-，当21111m e x m m----<<时，()21ln 11mx m +<--……⑥ 而222112x mx x mx m-<-<+……⑦ 由⑥⑦知()()22211ln 11102x f x mx mx m m=++-<--++=……⑧ 又函数()y f x =在11,m mm ⎛⎤-- ⎥⎝⎦上递增，21111m e m m m ---->由⑤⑧和函数零点定理知，2011,m x m m ⎛⎫-∃∈- ⎪⎝⎭，使得()00f x =综上，当01m <<时，函数()()2ln 12x f x mx mx =++-有两个零点， 综上所述：当01m <<时，函数()y f x =有两个零点， 当1m =时，函数()y f x =有且仅有一个零点． 22．（1）34π⎛⎫⎪⎝⎭；（2） 试题解析：（1）直线l 的倾斜角34πα=，∴直线l 上的点的极角34πθ=或74πθ=， 代入圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=得ρ=ρ=-，∴直线l 与圆E 的交点A的极坐标为：34π⎛⎫ ⎪⎝⎭． （2）由（1）知线段OA 的中点M的极坐标为34π⎫⎪⎭， ∴M 的直角坐标为()1,1-，又圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=， 圆E 的直角坐标方程2240x y y +-=．设直线m 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数），代入2240x y y +-=得()22sin cos 20t t αα-+-=，()24sin cos 80αα∆=++>．设B ，C 点的参数分别为1t ，2t ，则()122sin cos t t αα+=+，122t t ⋅=-，∴1212C 2sin cos 4t t t t πααα⎛⎫MB -M =-=-=+=+ ⎪⎝⎭，∴max C MB -M =m 的倾斜角4πα=． 23．（1）()(),42,-∞-+∞；（2）[)3,+∞． 试题解析：（1）3a =时，()13f x x x =-++，()34g =． ∴()()2f x g a >+化为136x x -++>解之得：4x <-或2x >∴所求不等式解集为：()(),42,-∞-+∞．（2）[),1x a ∈-，∴()1f x a =+．∴()()22122303f x g a a a a a a a ≤⇔+≤--⇔--≥⇔≥或1a ≤- 又1a -<，∴1a >-综上，实数a 的取值范围为：[)3,+∞．。
武汉外国语学校届高三年级3月份模拟质量检测数学(理)试题word版含答案
于 两点，连
交于点 ，若点
，求 的值并求曲线
1/1
武汉外国语学校届高三 3 月份模拟质量检测数学（理）试题 word 版 含答案
（2）设直线
与曲线 有两个不同的交点 ，与直线
交于点 ，与直线
交于点 ，求
的面积与
面积的比值 的
最大值及取得最大值时 的值．教育精品
21．(12 分)
已知函数
．
（1）当 时，讨论函数 的单调性； （2）求函数 在区间 上零点的个数．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。教育精品
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接 答在答题卡上对应的答题区域内。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。教育精品
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。 答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域
均无效。教育精品
5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。教育精品
1．设集合
，
，则
A． B．
C．
D．
2．若复数 满足
（ 为虚数单位）， 为 的共轭复数，则
A．
B．2
C． D．3
3．在矩形 与
若数列 的前 项和为 ，首项 且
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若
，令
，求数列 的前 项和 ．
18．（12 分）
如图，四边形
湖北省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-含答案解析
湖北省高三下学期模拟考试(理)数学试卷-含答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设集合{}15M x x =-≤<与{}3N x x =≤，则M N ⋃=（ ） A ．{}15x x -≤<B ．{}35x x -≤<C ．{}13x x -≤≤D ．{}33x x -≤≤2．已知圆C 过点()1,2A -和()10B ,，则圆心C 到原点距离的最小值为（ ） A ．12BC ．1 D3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，点(4，1)在双曲线上，则该双曲线的方程为A ．2214x y -=B ．221205x y -= C ．221123y x -= D ．2218x y -=4．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=3，AB=4，则四棱锥P ABCD -外接球与内切球的表面积之比为（ ） A ．413B ．10C ．414D ．115．已知数列{}n a 为等差数列，若1598a a a ++=π，则()28cos +a a 的值为（ ） A ．-12B． C ．12D6．已知函数()f x 的图像与函数2x y =的图像关于直线y x =对称，函数()h x 是奇函数，且当0x >时，则()()h x f x x =-，则()8h -=（ ）A ．4-B ．4C ．5-D ．57．已知椭圆1C ：2222111x y a b +=（110>>a b ）与双曲线2C ：2222221x y a b -=（220a b >>）有相同的焦点1F 和2F ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，点P 为椭圆1C 与双曲线2C 的交点，且123F PF π∠=，则1211e e +取最大值时12e e +的值为（ ）ABC ．1D ．2+8．已知ln 2,ππ>-设e ,π=a e ,b π=e 3,c π=其中e 为自然对数的底数，则（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．b<c<a二、多选题9．经过椭圆()222210x y a b a b+=>>右焦点F 且倾斜角为60︒的直线交椭圆于P ，Q 两点，若P ､Q 两点在y 轴右侧，则椭圆的离心率取值可以为（ ）A ．13B C ．12D 10．下列结论正确的是（ ）． A ．若0x <，则1y x x=+的最大值为2- B ．若0a >与0b >，则22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭C ．若0a >与0b >，且41a b +=，则11a b+的最大值为9D ．若[]0,2x ∈，则y = 211．已知函数π()sin()0,0,||2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则（ ）A ．函数解析式π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．将函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位长度可得函数()f x 的图象C ．直线11π12x =-是函数()f x 图象的一条对称轴 D ．函数()f x 在区间π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为2-12．如图，正三棱柱111ABC A B C 中12AA AB ==，点P 在线段1B C 上（不含端点），则（ ）A ．不存在点P ，使得1AB BP ⊥B ．ABPC ．PA PB +的最小值为6D ．三棱锥1B PAB -与三棱锥1C PAC -的体积之和为定值三、填空题 13．在ABC 中，则AB AD ⋅=______．14．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有________种．15．若函数()2ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x ，其中102a -<<,0b >且()122x f x x <<，则方程()()2210a f x bf x +-=⎡⎤⎣⎦的实根个数为________个.四、双空题16．已知正四面体A BCD -的棱长为3，底面BCD 所在平面上一动点P 满足AP =P 运动轨迹的长度为_______________；直线AP 与直线CD 所成的角的取值范围为______________.五、解答题17．在数列{}n a ，{}n b 中，1n n a b n =++与1n n b a =-+． （1）证明：数列{}3n n a b +是等差数列； （2）求数列32n n na b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足()2cos cos b A C ． (1)求A 的大小；(2)在(1)的条件下，现在给出三个条件:2,,4a B c π===，试从中选出两个可以确定ABC ∆的条件，写出你的选择，并以此为依据求ABC ∆的面积(请至少选出两种可行的方案)．19．如图，在四棱雉P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB CD ∥且AB BC ⊥，N 为PD 的中点.(1)求证：AN ∥平面PBC ；(2)求平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值.20．如图，已知抛物线2:2(0)C y px p => 的焦点为F ，点(),02p T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭是x 轴上一定点，过F 的直线交C与,A B 两点.(1)若过T 的直线交抛物线于,D E ，证明,D E 纵坐标之积为定值；(2)若直线,AT BT 分别交抛物线C 于另一点,P Q ，连接,P Q 交x 轴于点M .证明：,,OF OT OM 成等比数列.21．2020元旦联欢晚会上,A ,B 两班各设计了一个摸球表演节目的游戏：A 班在一个纸盒中装有1个红球,1个黄球,1个白球,这些球除颜色外完全相同,记事件n A ：同学们有放回地每次摸出1个球,重复n 次,n 次摸球中既有红球,也有黄球,还有白球；B 班在一个纸盒中装有1个蓝球,1个黑球,这些球除颜色外完全相同,记事件n B ：同学们有放回地每次摸出1个球,重复n 次,n 次摸球中既有蓝球,也有黑球,事件n A 发生的概率为()n P A ,事件n B 发生的概率为()n P B ． （1）求概率()3P A ,()4P A 及()3P B 与()4P B ；（2）已知()()()111n n n n P A aP A b P B ---=+,其中a ,b 为常数,求()n P A ．22．函数()e sin x f x x =与()()1cos xg x x x =+.(1)求()f x 的单调增区间；(2)对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦使()()12f x g x m +≥成立，求实数m 的取值范围；(3)设()()2sin 2sin x h x f x n x x=⋅-⋅，n 为正实数，讨论()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭的零点个数. 参考答案与解析1．B【分析】先求出集合N ，再由并集的定义即可得出答案.【详解】{|33}N x x =-≤≤，所以{|35}M N x x =-≤<.故选：B. 2．B【分析】由题意可知圆心在线段AB 的垂直平分线上，将所求的最值转化为原点到该直线的距离，即可得解.【详解】由圆C 过点()1,2A -，()10B ,可知圆心在线段AB 的垂直平分线l 上 又1AB k =-，则1l k =又AB 的中点为()0,1，则直线l 的方程为1y x =+圆心C 到原点距离的最小值即为原点到直线l 的距离为d ==故选：B3．C【分析】根据离心率可得一个方程，结合双曲线过点(4，1)得另一个方程，联立可得.，所以c a ①；因为点(4，1)在双曲线上，所以221611a b-=②；因为222c a b =+③；联立①②③可得2212,3a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线方程的求解，根据已知条件建立方程组是求解的关键，注意隐含关系的挖掘使用. 4．C【分析】判断出PC 为外接球直径即可求出外接球半径，由P ABCD O ABCD O PAB O PAD O PBC O PCD V V V V V V ------=++++得3P ABCDV r S-=即可求出内切球半径，即可求出表面积之比.【详解】设四棱锥P ABCD -外接球与内切球的半径分别为R ，r ，由底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD则PC 即为外接球直径，则R ==设内切球球心为O ，因为P ABCD O ABCD O PAB O PAD O PBC O PCD V V V V V V ------=++++又2143163P ABCD V -=⨯⨯= 5PB PD ===四棱锥P ABCD -的表面积21143424524822S =+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以31P ABCD V r S -==故四棱锥P ABCD -外接球与内切球的表面积之比为2244144R r ππ=. 故选：C. 5．A【解析】利用等差数列的性质可知,1952a a a += ,求出5a ,再由2852a a a +=即可求解. 【详解】∵数列{}n a 为等差数列 1598a a a ++=π ∴由等差数列的性质可得 1952a a a += 所以538a π=，即583a π=因为2852a a a +=,所以28163a a π+= ∴281621cos()cos cos 332a a ππ+===-. 故选：A【点睛】本题考查等差数列的性质和三角函数的诱导公式;属于基础题. 6．D【分析】根据题意，即可得到函数()f x 的解析式，然后由对数的运算以及函数的奇偶性，即可得到结果. 【详解】由于函数()f x 的图像与函数2x y =的图像关于直线y x =对称 则2()log f x x =所以当0x >时，则()2log h x x x =- 则()28log 885h =-=-又()h x 为奇函数，则()()885h h -=-=． 故选:D ． 7．B【分析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得a1，a2，c 的关系，由此可得2221314e e +=，再利用三角换元求1211e e +的最大值，并求此时的12e e +的值.故选：B 8．B【分析】将原不等式移项合并，利用放缩法判断a c 、的大小关系；构造函数()ln xf x x=利用导数法求出最大值，确定最大值与()f π的大小关系即可判断.【详解】ln 2,ππ>-ln 2,ππ∴+>2ln ln e ln e ,ππ∴+>()2ln e ln e ,ππ∴>2e e ,ππ∴>23e 3e>e e πππ>∴>， c a ∴> 令()()ln 0x f x x x =>，则()21ln (0)xf x x x-'=> 当0e x <<时，则()21ln 0x f x x -'=>，()ln xf x x∴=在()0,e 上单调递增； 当e x >时，则()21ln 0x f x x -'=<，()ln xf x x∴=在()e +∞，上单调递减；综上所述：b a c << 故选：B 9．BD【解析】根据椭圆方程，求得右焦点(),0F c ，下顶点()0,B b -，设直线方程为()3y x c =-，得到与y 轴的交点，再根据直线交椭圆于P ，Q 两点，且在y 轴右侧求解. 【详解】因为椭圆()222210x y a b a b+=>>所以右焦点(),0F c ，下顶点()0,B b - 因为倾斜角为60所以设直线方程为)3y x c - 令0x =得3y c =-，如图所示：因为直线交椭圆于P ，Q 两点，且两点在y 轴右侧 3c b >，即22223c b a c >=- 所以224c a >，解得12e > 又01e << 所以112e <<故选：BD 10．ABD【解析】利用基本不等式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A 选项，由0x <可得()112y x x x x ⎡⎤⎛⎫=+=--+-≤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当且仅当1x x -=-，即=1x -时，则等号成立；即1y x x=+的最大值为2-；A 正确；当且仅当4b a a b =，即1316a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，则等号成立；即11a b +的最小值为9，故C 错； D 选项，因为[]0,2x ∈，所以()22422x x y +-==，当且仅当xx =立，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，则要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，则必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 11．CD【分析】由图得到2A =，求出其最小正周期为π，再将点π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式，则可判断A ，通过平移的原则得到将其向左平移4π才能得到()f x ，对C 选项，直接代入检验即可，对D ，整体换元法求出函数值域即可得到其最值.【详解】由题图知：2A =，函数()f x 的最小正周期满足35ππ4612T =-，即πT = 则22ππω==，所以函数()2sin(2)f x x ϕ=+． 将点π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式中可得π22sin 6ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭则ππ2π(Z)62k k ϕ+=+∈，得π2π(Z)3k k ϕ=+∈ 因为||2ϕπ<，所以3πϕ=，因为π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故A 错误；将函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度可得函数πππ()2sin 22sin 2463f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，故B 错误；由π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当11π12x =-时，则ππ3π2233211π12x ⎛⎭+= ⨯+=⎝-⎫-⎪所以πsin 213x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以直线11π12x =-是函数()f x 图象的一条对称轴，故C 正确；当π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则22,333πππx ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦所以πsin 23x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，即()[f x ∈-，即()f x 最小值为2-，故D 正确．故选：CD. 12．BD【分析】根据给定的几何体，建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断AB ；把11,AB C BB C 放置于同一平面内，计算两点间距离判断C ；利用等体积法计算判断D. 【详解】在正三棱柱111ABC A B C 中，取BC 的中点O ，连接OA 则OA BC ⊥，又1BB ⊥底面ABC ，则1B B AO ⊥ 又1B B BC B ⋂=，1,B B BC ⊂平面11CBB C所以AO ⊥平面11CBB C ，在平面11CBB C 内作Oz BC ⊥以O 为原点，直线,,OC OA Oz 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系设PAB θ∠=，则1cos cos ,AB AP AB AP AP AB APλθ⋅+===所以sin θ=则11sin 222ABPSAB AP BAP AP =⋅⋅⋅∠=⨯⨯=因为01λ<<，所以当37λ=时，则ABP S △，故B 正确；对于C ，将1BB C △和1AB C 沿1B C 展开在同一平面内，如图连接AB 交1B C 于点T ，可知PA PB AB +≥，当点P 与点T 重合时取得最小值AB依题意12AC BC BB === 11AB BC ==则18843cos 284CB A +-∠==⨯ 1sin CB A ∠=所以11π3cos cos 44AB B AB C ⎛⎫∠=∠+= ⎪⎝⎭在1ABB 中，由余弦定理，得(22222111112cos 2226AB AB BB AB BB AB B =+-⨯⨯⨯∠=+-⨯=+则AB =，即PA PB +C 不正确；对于D ，()111111111·22332B PABC PAC A PBB A PCC PBB PCC V V V V OA SS----+=+=+=⨯⨯⨯故D 正确． 故选：BD.【点睛】关键点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 13．24-【分析】利用基底,AB AC 来表示AD ，从而将AB AD ⋅表示为()23AB AC AB ⋅-+即可求解. 【详解】据题意，可作图如下3AD AB BD AB BC =+=+ BC AC AB =- 23AD AB AC ∴=-+∴()22323AB A AB AD AB AB AB A C C =⋅-+=-+⋅⋅=223cos AB AB BA AC C -+⋅∠=24-.故答案为:24-. 14．20【分析】由题意，根据乙的支付方式进行分类，根据分类与分步计数原理即可求出．【详解】当乙选择支付宝时，则丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C 21C 21＝5，而乙选择支付宝时，则丙丁也可以都选微信，或者其中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C 21C 21＝5，此时共有5+5=10种当乙选择微信时，则丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金，故有1+C 21C 21＝5，而乙选择微信时，则丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C 21C 21＝5，此时共有5+5=10种 综上故有10+10＝20种 故答案为20.【点睛】本题考查了分步计数原理和分类计数原理，考查了转化思想，属于难题. 15．4【分析】根据()f x 有两个极值点可知()0f x '=有两个不等正根，即2210ax bx +-=有两个不等正根，从而可得280b a ∆=+>；采用换元的方式可知方程2210at bt +-=有两个不等实根，从而可将问题转化为()f x 与1y x =和2y x =共有几个交点的问题；通过确定()2f x 和()1f x 的范围可确定()f x 大致图象，从而通过()f x 与1y x =和2y x =的交点确定实根的个数. 【详解】()2ln 2f x x ax bx a b =-++--有两个极值点12,x x()212120ax bx f x ax b x x+-'∴=-++==有两个不等正根即2210ax bx +-=有两个不等正根 280b a ∴∆=+> 且1202b x x a +=-> 12102x x a=-> 令()f x t =，则方程2210at bt +-=的判别式280b a '∆=∆=+> ∴方程2210at bt +-=有两解，且11t x = 22t x =由102a -<<得12112x x a=->，又120x x << 21x ∴> ()1f b =-且0b > ()10f ∴< ()()110f x f ∴≤< ()12201x f x x ∴<<≤<根据()f x '可得()f x 简图如下：可知()y f x =与1y x =有3个交点，与2y x =有1个交点 ∴方程()()2210a f x bf x +-=⎡⎤⎣⎦的实根个数为：314+=个本题正确结果：4【点睛】本题考查方程解的个数的求解问题，解决此类问题常用的方法是将问题转化为曲线与平行于x 轴直线的交点个数问题，利用数形结合的方法来进行求解；本题解题关键是能够确定极值的大致取值范围，从而确定函数的图象.16． ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用正四面体的性质求得OP =P 在以O 动轨迹长，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线AP 与直线CD 所成的角的余弦值的范围，进而求得角的范围.【详解】设底面正BCD △的中心为O ，连接,AO OPA BCD -为正四面体，AO ∴⊥底面BCD即点P 运动轨迹为以O ； 以O 为原点，OB 为x 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系则cos AP CD A x P C Dθ⋅===⋅即直线AP 与直线CD 所成的角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为： ,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦17．（1）证明见解析；（2）112n nn S +=-． 【分析】（1）可将1n n b a =-+代入1n n a b n =++，计算可得数列{}n a 的通项公式，然后根据1n n b a =-+可得数列{}n b 的通项公式，即可计算出数列{}3n n a b +的通项公式，再根据定义法可证明数列{}3n n a b +是等差数列；（2）先根据（1）的结果计算出数列32n n na b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，然后利用错位相减法可求出前n 项和n S . 【详解】（1）证明：由题意，将1n n b a =-+代入1n n a b n =++ 可得11n n a a n =-+++ 即22n a n =+ ∴22n n a +=∴21122n n n n b a +=-+=-+=- ∴233122n n n na b n ++=-=-． ∵()()()11331111n n n n a b a b n n +++-+=-+--=- ∴数列{}3n n a b +是以1-为公差的等差数列． （2）由（1）知3122n n n n a b n+-=则2011222n n n S --=++⋅⋅⋅+ 23110112222n n n S +--=++⋅⋅⋅+ 两式相减得1231111111111142122222212n n n n n n nS -++⎛⎫- ⎪-----⎝⎭=++⋅⋅⋅+-=---111111122222n n n n n ++-+=-+-=-所以112n nn S +=-． 【点睛】本题主要考查数列求通项公式，等差数列的证明，以及运用错位相减法求和的问题，考查了转化与化归思想、逻辑思维能力和数学运算能力，属于中档题. 18．（1）6π；（2）2,,14ABC a B S π∆===或2,,ABC a c S ∆=【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦可得cos A =A 的大小． （2）可以选择2,4a B π==或2,a c ==，两者都可以确定ABC ∆．前者可以用正弦定理算出另外两条边，从而求出面积，后者可利用余弦定理算出另外两条边，从而求出面积．【详解】（1）因为()2cos cos b A C，所以()2sin cos cos B C A A C从而2sin cos cos cos B A C A A C 即()2sin cos B A C A B +=，因sin 0B >所以cos A =()0,A π∈，故6A π=．（2）选择2,4a B π==或2,a c ==，两者都可以确定ABC ∆． 若2,4a B π==，则512C π=，由正弦定理有： sin sin sin a b cA B C==，故25sin sin sin 6412bcπππ== 所以4sin4b π==54sin4sin 41264c πππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭故111sin 1222ABC S bc A ∆==⨯⨯=．若2,a c ==，则由余弦定理有22222222cos 43c b bc A b b b =+-=-=所以2b =，故c =，所以111sin 2222ABC S bc A ∆==⨯⨯所以2,4a B π==时1ABC S ∆或2,a c ==时ABC S ∆=【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式. 三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道两角及一边，可用正弦定理确定三角形，知道两边一角，可以用余弦定理确定另一条边，通过解的个数确定三角形的个数. 19．(1)证明见详解 (2)余弦值为23-【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明相面平行. （2）利用向量法即可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）如图所示取PC 中点为M ，连接NM ，MB.所以NM ∥12DC 且12NM DC =又因为AB ∥12DC 且12AB DC =所以NM ∥AB ，NM =AB 所以四边形NMBA 为平行四边形. 所以AN ∥BM ，又因为AN ⊄平面PBC ，BM ⊂平面PBC 所以AN ∥平面PBC . （2）如图所示取DC 中点为E ，以A 为空间直角坐标系原点，AE 为x 轴，AB 为y 轴，AP 为z 轴 建立空间直角坐标系，所以设平面PBC 的法向量为(),,m x y z =，因为()0,1,1BP =- ()22,0,0BC = 则·=0·220BP m y z BC m x ⎧-+=⎪⎨==⎪⎩ 所以令1y =，得()0,1,1m =设平面PDC 的法向量为(),,n a b c =，因为()21,1PD =-- ()0,2,0DC =则·=220·20PD n a b c DC n b ⎧--=⎪⎨==⎪⎩所以令a =()2,0,4n =所以42cos ,32m n m n m n===⨯⋅又因为平面PDC 与平面PBC 夹角为钝角 所以平面PDC 与平面PBC 夹角的余弦值为23-20．(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）设直线方程为x my t =+，联立抛物线方程用韦达定理可得；（2）借助（1）中结论可得各点纵坐标之积，进而得到F 、T 、Q 三点横坐标关系，然后可证. 【详解】（1）显然过T 的直线斜率不为0，设方程为x my t =+联立22y px =，消元得到2220y pmy pt --=2D E y y pt ∴=-.（2）由（1）设11223344(,,(,),(,),(,)A x y B x y P x y Q x y ）因为AP 与BQ 均过T (t ,0)点，可知13242,2y y pt y y pt =-=-又AB 过F 点，所以212y y p =-，如图：2212344y y y y p t ∴= 2344y y t ∴=- 设M (n ，0）由（1）类比可得223422,42,t y y pn t pn n p∴=-∴==.22,,2p t OF OT t OM p ===，且2222p t t p =⨯∴,,OF OT OM 成等比数列.21．（1）()329P A =()449P A = ()334P B = ()478P B = （2）()()11*121233n n n n P A a n N --⎛⎫⎛⎫==+-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】(1)根据排列组合的方法,分别计算34,A A 中所有的基本事件总数以及满足条件的事件数求解()3P A ,()4P A 再根据对立事件的概率公式以及分步计数原理求解()3P B ,()4P B 即可.(2)根据(1)中的计算分别求得23423,,,,a a a b b ,再代入()()()111n n n n P A aP A b P B ---=+即可求得123a b =⎧⎪⎨=⎪⎩,再根据对立事件的概率公式求解得1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入11123n n n n a a b ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭再利用累加法求解()n P A 即可.【详解】解：（1）A 班3次摸球共有3327=种不同的可能,其中集齐红球,黄球,白球有336A =种,故()362279P A ==； A 班4次摸球共有4381=种不同的可能,n 次后集齐红球,黄球,白球,即某种颜色出现两次其余各出现一次,可能性为12234236C C A =种,故()4364819P A ==； B 班摸球3次共有328=种不同的可能,其中不能集齐黑球,蓝球有2种,故()36384P B ==； B 班摸球4次共有4216=种不同的可能,其中不能集齐黑球,蓝球有2种,即全是黑球或全是蓝球,故()4271168P B =-=； （2）记()n n a P A =,()n n b P B =,根据（1）的计算,不难整理得下表：由于n B 的对立事件总是2种情形,即全是黑球或全是蓝球,故1211122n n n b -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．令23223433a a a b b a a a b b ⎧=⋅+⋅⎨=⋅+⋅⎩,即2321092423994a b a b ⎧=⨯+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得123a b =⎧⎪⎨=⎪⎩或323a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩（舍去,因为4454233a a b ⎛⎫≠+- ⎪⎝⎭） 故11123n n n n a a b ---⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即11121233n n n n a a ---⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭221221233n n n n a a ----⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (2121233)a a -=-⨯ 累加可得()111212(2)33n n n n P A a n --⎛⎫⎛⎫==+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．当1n =时,10a =适合上式,∴()()11*121233n n n n P A a n N --⎛⎫⎛⎫==+-∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查了排列组合在概率计算中的运用,同时也考查了根据数列的递推公式求解通项公式的方法,需要根据题意确定数列前几项的关系,进而推出递推公式利用累加法求解.属于难题. 22．(1)()π3π2π,2πZ 44x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦(2)π2,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦(3)当01n <≤时，则()h x 没有零点；()1,n ∈+∞时，则()h x 有唯一零点.【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）()()12f x g x m +≥，即()()12f x m g x ≥-，设()()t x m g x =-，问题等价于()()min max f x t x ≥，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦根据导数法求出最值，即可求解；（3）求出函数()h x 的导数，通过讨论n 的范围，得到函数的单调区间，从而确定n 的范围即可．【详解】（1）()πsin 4xf x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭当π2π2ππ4k x k ≤+≤+，即()π3π2π,2πZ 44x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时()0f x '≥，()f x 单调递增.综上，()f x 的递增区间是()π3π2π,2πZ 44x k k k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦（2）()()12f x g x m +≥，即()()12f x m g x ≥-，设()()t x m g x =- 则问题等价于()()min max f x t x ≥ π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由（1）可知，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则()0f x '≥，故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增∴()()min 00f x f ==()()c 1o s x t x m x x =-+ ()()cos s i 1n x t x x x x '=-++∵cos 0x x -> ()1sin 0x x +≥当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0t x '> ()t x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，()π2max π2t x t m ⎛⎫==+⎪⎝⎭故π22e 0m ≤，π22e m ≤实数m 的取值范围是π2,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦； （3）()2e sin 2x h x x n x =-，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()()21e 2cos2xh x x n x '=+-①若01n <≤，则∵()21e 2xx +> 2cos22n x ≤∴()0h x '>，则()h x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增，()()00h x h >=∴此时()h x 无零点，②若1n >时，则设()()21e 2cos2x k x x n x =+-，则()()22e 4sin 2xk x x n x '=++∵π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴()22e 0xx +> sin 20x >∴()0k x '>故()k x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上递增.∵()0220k n =-<，π2ππ21e 2022k n ⎛⎫⎛⎫=++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00k x =故()00,x x ∈时，则()0k x <，即()0h x '<，()h x 递减 0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()0k x >，即()0h x '>，()h x 递增故()00,x x ∈时，则()()00h x h <=当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，则()()000h x h <= 202h e πππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭此时由零点存在性定理及单调性得()h x 存在唯一零点.综上，当01n <≤时，则()h x 没有零点；()1,n ∈+∞时，则()h x 有唯一零点.【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．证明任意()()f x g x ≥恒成立可转化为()()min max f x g x ≥。
2022年湖北省武汉市实验学校高三数学理模拟试题含解析
2022年湖北省武汉市实验学校高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的图象大致是( )A．B． C.D．参考答案：A2. 已知为等差数列，为其前项和，公差为，若，则的值为（）A． B． C．D．参考答案：B试题分析：因为，所以，所以，故选B.考点：等差数列的前项和公式与性质.3. 设，，( )A. B. C. D.参考答案：【知识点】指数函数与对数函数.B6,B7【答案解析】B 解析：解：因为根据对数函数的性质可知，所以B为正确选项.【思路点拨】根据指数函数与对数函数的性质可判断值的大小.4. 从个同类产品（其中个是正品，个是次品）中任意抽取个的必然事件是（）A.个都是正品B.至少有个是次品C. 个都是次品D.至少有个是正品参考答案：D 解析：至少有一件正品5. 设x R，则“x>”是“2x2+x-1>0”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，选A.6. 设满足则A.有最小值2，最大值3B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值D.既无最小值，也无最大值.参考答案：B【知识点】简单的线性规划. E5解析：画出可行域，平移直线y=-x+z得，目标函数在（2，0）处取最小值，无最大值，故选B.【思路点拨】画出可行域，平移直线y=-x+z得结论.7. 已知函数，则在上的零点个数为（）A. 1；B. 2；C. 3；D. 4参考答案：B略8. 一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为，则下列关系中正确的为( )A．B．C．D．参考答案：C略9. 若，θ∈[0,π]，则tanθ（）A． B．C．-2 D．2参考答案：C10. 如图，在正四棱锥中，分别是的中点，动点在线段上运动时，下列四个结论：①；②；③；④．中恒成立的为（）（A）①③（B）③④（C）①②（D）②③④参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知平面向量,若,则x=________.参考答案：【分析】由向量垂直的充分必要条件可得：，据此确定x的值即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得：，解得：.故答案：．【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件及其应用，属于基础题.12. 已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S8= ．参考答案：64【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5．可得S8==4（a4+a5）．【解答】解：由等差数列的性质可得：a 1+a 9=18=2a 5，解得a 5=9．又a 4=7，则S 8==4（a 4+a 5）=4×（9+7）=64．故答案为：64．【点评】本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13. 已知a ，b ∈R ，且a –3b +6=0，则2a +的最小值为__________．参考答案：分析：由题意首先求得a -3b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 详解：由可知，且：，因为对于任意x ，恒成立，结合均值不等式的结论可得： .当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为 .14. 设函数f （x ）=alnx+bx 2，若函数f （x ）在x=1处与直线y=﹣相切，则实数a+b=．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】导数的概念及应用．分析；求得函数的导数，由题意可得f （1）=﹣，f′（1）=0，解方程即可得到所求值．解∵f（x ）=alnx+bx 2， ∴f′（x ）=+2bx ，∵函数f （x ）在x=1处与直线y=﹣相切，∴，解得a=1，b=﹣． 则a+b=．故答案为：．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，正确求导和运用切线方程是解题的关键．15. △ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若，且，则△ABC 的周长的取值范围是__________．参考答案：[3,4)，，则，，，，则的周长的取值范围是.16. 已知函数y=cosx 与y=sin （2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是 ．参考答案：【考点】三角方程；函数的零点．【分析】由于函数y=cosx 与y=sin （2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．【解答】解：∵函数y=cosx 与y=sin （2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点， ∴=．∵0≤φ＜π，∴，∴+φ=，解得φ=． 故答案为：．17. 在平面五边形ABCDE 中，已知，，，，，，当五边形ABCDE 的面积时，则BC 的取值范围为．参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武汉市高中毕业生模拟考试理科数学一、选择题1．若集合{}{}1,2,3,4,5,(,)|,,A B x y x A y A x y A ==∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 A ．3 B ．6 C ．8 D ．10 2．若,a b R ∈，则“2a b =”是“复数12a bii+-为纯虚数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是 A ．球 B ．三棱锥 C ．正方体 D ．圆柱 4．将函数()sin f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移4π个单位长度，所得图象经过点3(,0)4π，则ω的最小值是 A ．13 B ．1 C ．53D ．2 5．已知2222360,20x y z a x y z a ++-=+++-=，则实数a 的取值范围为A ．[1,4]B ．(,1][4,)-∞⋃+∞C ．(1,4)D ．(,1)(4,)-∞⋃+∞6．两人进行乒乓球比赛,先赢三局着获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A. 10种B.15种C. 20种D. 30种7．下图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图,P 表示估计结果,则图中空白框内应填入( )A. 1000N P =B. 41000N P =C. 1000M P =D. 41000MP = 8．在数列{}n a 中，已知1222,7,n a a a +==等于*1()n n a a n N +⋅∈的个位数字，则2013a 的值为 A ．8 B ．6 C ．4 D ．2 9．下列函数中，在(0,)2π上有零点的函数是A ．()sin f x x x =-B ．2()sin f x x x π=-C ．2()sin f x x x =-D ．22()sin f x x x π=-10．如图，P 为椭圆221259x y +=上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A ，上顶点B 分别作y 轴，x轴的平行线，它们相交于点C ，过P 引BC 、AC 的平行线交AC 于N ，交BC 于M ，交AB 于D 、E ，记矩形PMCN 的面积为1S ，三角形PDE 的面积为2S ，则12:S S =A ．1B ．2C ．12D ．与点P 的坐标有关 二、填空题11．设向量(1,2),(1,1),(2,)a m b m c m ==+= ，若()a c b +⊥ ，则||a =。
12．“无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:_________.图甲 图乙13．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到如下数据:由表中数据，求得线性回归方程为ˆˆ20yx a =-+。
若在这些样本点中任取一点，则它在回归直线左下方的概率为 。
14．如图，已知球O 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的内切球，则以1B 为顶点，以平面1ACD 被截得的圆为底面的圆锥的全面积为 。
（二）选考题（请考生在第15、16题两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号在方框用2B 铷笔涂黑。
如果全选，则按第15题作答结果计分） 15．(几何证明选讲)如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=︒,过点A 作圆O的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =__________.16．（坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
已知直线l 的参数方程为214x t y t=⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+，则直线l 被曲线C 截得的弦长为 。
三、解答题17．在ABC ∆中，三内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c，已知2,4a c A ===-。
, （1）求sin C 和b 的值； （2）求cos(2)3A π+的值。
.18．在等差数列{}n a 中，已知11a =，公差d 为整数，且满足13243,5a a a a +<+>，数列{}n b 满足11n n n b a a +=，其前n 项和为n S 。
（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2S 为1S 与(*)m S m N ∈的等比中项，求m 的值。
19．某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:从第一个顾客开始办理业务时计时.(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;(2)X 表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X 的分布列及数学期望.20．如图，在四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是平行四边形，4,30AB AD DAB ==∠=︒，又直线PD 与平面ABCD 成60︒的角，2PB PD ==。
（1）求证：平面PAB ⊥平面PBD ；（2）求二面角B PA D --的余弦值。
21．已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C 上任意一点M(x,y)满足()2MA MB OM OA OB +=⋅++.(1) 求曲线C 的方程;(2)动点Q(x 0,y 0)(-2<x 0<2)在曲线C 上,曲线C 在点Q 处的切线为l 向:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l 与PA,PB 都不相交,交点分别为D,E,且△QAB 与△PDE 的面积之比是常数?若存在,求t 的值.若不存在,说明理由.22．已知1()(1)(1)(0,0,0)f x x x xαβαβ=++>>>。
（1）求()f x 的最小值；（2）若0y >，求证：()()()x y x yαβαβαβαβ++≤+；（3）若1212,,,,,,,n n αααβββ 均为正数，求证： 121212121212()()()()nnn n nnααααααααααααββββββ++++++≤⋅⋅+++参考答案一、选择题 1．D 2．B 3．D 4．D 5．A6．D 解析:先分类:3:0,3:1,3:2共计3类,当比分为3:0时,共有2种情形;当比分为3:1时,共有12428C A =种情形;当比分为3:2时,共有225220C A =种情形;总共有282030++=种,选D.7．D 解析:点(,)i i x y 落在单位圆内或圆上,随机产生1000个数,41000MP =,故选D. 8．C 9．D 10．A二、填空题1112．sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+13．13 14．23π15 解析连接OA ,则60AOC ∠=︒,90OAP ∠=︒,因为1OA =,所以PA =16．5三、解答题 17．18．19．解析:设Y 表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y 的分布列如下:Y 1 2 3 4 5 P0.10.40.30.10.1(1)A 表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”,则事件A 对应三种情形:①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.所以()(1)(3)(3)(1)(2)(2)P A P Y P Y P Y P Y P Y P Y ===+==+==0.10.30.30.10.40.40.22=⨯+⨯+⨯=(2)解法一 X 所有可能的取值为0,1,20X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=1X =对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟. 所以(1)(1)(1)(2)P X P Y P Y P Y ===>+=0.10.90.40.49=⨯+=2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯= 所以X 的分布列为X 0 1 2 P0.50.490.0100.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=解法二 X 所有可能的取值为0,1,20X =对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,所以(0)(2)0.5P X P Y ==>=2X =对应两个顾客办理业务所需时间均为1分钟,所以(2)(1)(1)0.10.10.01P X P Y P Y =====⨯=(1)1(0)(2)0.49P X P X P X ==-=-==所以X 的分布列为X 0 1 2 P0.50.490.0100.510.4920.010.51EX =⨯+⨯+⨯=20．21．【解析】解:(1)依题意可得(2,1),(2,1)MA x y MB x y =---=--,||()(,)(0,2)2MA MB OM OA OB x y y +=⨯+=⨯= ,22y =+,化简得曲线C 的方程: 24x y =(2)假设存在点P (0,t )(t <0)满足条件,则直线PA 的方程是12t y x t -=+,直线PB 的方程是12ty x t -=+,曲线C 在点Q 处的切线l 的方程为200,24x x y x =-它与y 轴的交点为2(0,)4x F -,由于022x -<<,因此0112x -<< ①当10t -<<时, 11122t --<<-,存在0(2,2)x ∈-,使得0122x t -=,即l 与直线PA 平行,故当10t -<<时不符合题意②当1t ≤-时,00111,12222x x t t --≤-<≥>,所以l 与直线PA ,PB 一定相交,分别联立方程组2200001122,2424t t y x t y x t x x x x y x y x --⎧⎧=+=+⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=-⎪⎪⎩⎩, 解得D ,E 的横坐标分别是22000044,2(1)2(1)D E x t x tx x x t x t ++==+-+- 则202204(1)(1)E D x tx x t x t +-=---,又20||4x FP t =--, 有22022(4)11||||28(1)PDEE D x t t S FP x x t x +-=⨯-=⨯-- ,又2200414(1)242QAB x x S -=⨯⨯-= 于是2224222000022422000(4)[(1)][4(1)]4(1)441(4)1816QAB PDE S x x t x t x t S t x t t x tx t----+-+-=⨯=⨯-+-++ 对任意0(2,2)x ∈-,要使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数,只需t 满足2224(1)84(1)16t tt t⎧---=⎪⎨-=⎪⎩, 解得t =-1,此时△QAB 与△PDE 的面积之比为2,故存在t =-1,使△QAB 与△PDE 的面积之比是常数2.【点评】本题以平面向量为载体,考查抛物线的方程,直线与抛物线的位置关系以及分类讨论的数学思想. 高考中,解析几何解答题一般有三大方向的考查.一、考查椭圆的标准方程,离心率等基本性质,直线与椭圆的位置关系引申出的相关弦长问题,定点,定值,探讨性问题等;二、考查抛物线的标准方程,准线等基本性质,直线与抛物线的位置关系引申出的相关弦长问题,中点坐标公式,定点,定值,探讨性问题等;三、椭圆,双曲线,抛物线综合起来考查.一般椭圆与抛物线结合考查的可能性较大,因为它们都是考纲要求理解的内容. 22．。