第三节频率与概率
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频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
《频率与概率》概率PPT
科学课件：/kejian/kexu e/ 物理课件：/kejian/wuli/
化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/
10.3 频率与概率
第十章 概 率
考点
学习目标
核心素养
在具体情境中，了解随机事
件发生的不确定性和频率的 数学抽象、数学运 频率与概率
稳定性，了解概率的意义以 算
及频率与概率的区别
概率的意义解释 会用概率的意义解释生活中 直观想象、数学建
实例
的实例
模
随机模拟
会用随机模拟的方法估计概 率
数学建模
第十章 概 率
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P P T图表：www.1ppt.c om /tubia o/
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英语课件：/kejian/y ingy u/ 美术课件：/kejian/meishu/
次抛掷恰好出现“正面向上”的概率为________． PPT模板：/moban/ P P T背景：www.1ppt.c om /be ij ing/ P P T下载：www.1ppt.c om /xia za i/ 资料下载：www.1ppt.c om /zilia o/ 试卷下载：www.1ppt.c om /shiti/
频率与概率(课件)高二数学课件(沪教版2020必修第三册)
因之外 ， 是否还有其他解释呢？
实际上 ， 概率可以从频率的角度来检验 ． 频率也是一个生活中常
用的词 ． 如果一个随机试验只有两种可能的结果 ， 一个是“ 成
功 ”， 概率是 P （ ０＜ P ＜１ ）， 一个是 “ 失败 ”， 概率是
１－ P ， 那么这个随机试验称为 伯努利试验 ． 如果抛掷一枚硬币 ，
注意 ， 伯努利大数定律的成立有一个条件 ， 即 “ 假设我们可 以独立地重复一个伯努利试验 ”， 这个条件非常关键 ． 抛掷硬币 、 掷骰子这类随机试验可以独立地重复 ， 然而许多随机现象是不可 以独立地重复的 ． 例如 ， 某人今年会不会得流感是随机的 ， 每个
人的高考成绩也是随机的 ， 但这些现象都不能独立地重复 ． 可以 独立地重复的才称得上是一个试验 ． 虽然人们对于不能独立地重 复的随机现象也谈论概率 ， 但那是主观的概率 ， 并不能检验 ．
6、下面是某批乒乓球质量检查结果表： （1）在上表中填上优等品出现的频率； （2）估计该批乒乓球优等品的概率是多少？
抽取球数 优等品数 优等品出现的频率
50
100
200
500
1 000
45
92
194
470
954
2 000 1 902
【解析】如下表所示： （2）从表中数据可以看出，这批乒乓球优等品的概率是0.95；
机的数
通过大量的观察 ， 人们发现了下面这个定律 ， 它说明频率具有稳定性 ， 在试验次数足够多时 ， 会稳定地趋向于概率 ． 这给出了由概率来表示 可能性大小的理由 ， 或者说概率在某种意义上是可以检验的 ．
这个结论之所以被称为定律 ， 或许是因为它直观地像是一个自然定 律 ． 它很早就被数学家观察到 ， 并在瑞士数学家雅各布 ·伯努利 １ ７１３ 年出版的书中首次给出了证明 ．
概率论与统计1-3 随机事件的概率
基本事件总数为 10 10 10 103 , A 所包含基本事件的个数为 6 6 4, 6 6 4 0.144 . 故 P ( A) 3 10
同类型的问题还有：
1) 电话号码问题；
2) 骰子问题.
3) 英文单词、书、报等排列问题.
例6
分房模型
有n个人，每个人都以同样的概率 1/N 被分配在N(n≤N)间房中的每一间中，试求 下列各事件的概率：
nH
1061 2048 6019 12012
f
德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
f (H ) n的增大
1 . 2
重要结论
频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的
满足等式
rn r r1 r2 n n n n
根据定1.2知 P ( A1 Am ) P ( A1 ) P ( Am )
说明
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但也有 不足，即无法根据此定义计算某事件的概率.
三、古典概型
1.古典概型定 义
m Cn ( N 1)nm
m C n ( N 1) n m P (C ) Nn
同类型的问题还有： 1) 球在杯中的分配问题； (球人，杯房) 2) 生日问题； (日 房，N=365天) ( 或 月 房，N=12月)
3) 旅客下站问题； ( 站房 )
4) 印刷错误问题； (印刷错误人，页房)
mn 基本事件总数为: C M N m n CM CN A 所包含基本事件的个数为
高中数学 3.1.3频率与概率课件 新人教B版必修3
研一研·问题(wèntí)探究、课堂更
3.1.3
高效 问题 2 我们把硬币正面朝上的频率所趋向的稳定值称作硬
币正面朝上的概率,你能给随机事件 A 发生的概率下个定义
吗？ 答 一般地,在 n 次重复进行的试验中,事件 A 发生的频率mn ,
当 n 很大时,总是在某个常数附近摆动,随着 n 的增加,摆动幅
次试验无关.
第六页，共22页。
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
3.1.3
问题 4 概率的取值范围是什么？为什么？
答 概率的取值范围是[0,1],因为在 n 次试验中,事件 A 发生 的频数 m 满足 0≤m≤n,所以 0≤mn ≤1.当 A 是必然事件 时,P(A)＝1,当 A 是不可能事件时,P(A)＝0.
解析 一枚质量均匀的铜板,抛掷一次正面向上的概率为 0.5 ,从题意中知抛掷 100 枚结果正面都向上,因此这 100 枚铜 板两面是一样的可能性最大.
第二十页，共22页。
练一练·当堂检测(jiǎn cè)、目标达
3.1.3
成落实处 3.某中学要在高一年级的二、三、四班中任选一个班参加社区
研一研·问题探究(tànjiū)、课堂更高效
3.1.3
问题 1 历史上曾有人作过抛掷硬币的大量重复试验,结果如 下表所示
实验者 试验次数(n) 出现正面的次数(m) 出现正面的频率(m/n)
棣莫佛 2 048
1 061
0.518 1
蒲丰
4 040
2 048
0.506 9
费勒
10 000
4 979
0.497 9
3.1.3
[问题情境] 据澳大利亚媒体报道,最近澳大利亚税务局盯上 了一个神秘的赌博俱乐部“庞特俱乐部”.传说这个天才赌 博团 19 名成员全部由数学家组成,他们在全球各个赌场奔走, 用专业的数学方法计算概率,号称”十赌九赢”,仅仅 3 年就 赚取了超过 24 亿澳元(约 156 亿元人民币).今天我们就来学 习概率.
概率论1-3
§1.3 频率与概率
历史上概率的四次定义
① 统计定义 基于频率的定义
② 古典定义
概率的最初定义
③ 几何定义
④公理化定义
1930年后由前
苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
一、频率
对于一个事件（除必然事件和不可能事件外） 来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。 我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可 能性究竟有多大。例如，为了确定水坝的高度，就 要知道河流在造水坝地段每年最大洪水达到某一高 度这一事件发生的可能性的大小。我们希望找到一 个合适的数来表征事件在一次实验中发生的可能性 的大小。为此，首先引入频率，它描述了事件发生 的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生 的可能性的大小——概率。
但是，梅德尔在大量的抛掷骰子的试验中发现，第一 种情况比第二种情况更可能出现，这是怎么回事？问题究 竟出在哪里？
差事件的概率
若 A B，则 P (B － A) = P(B) － P(A)
BA
B A (B A)
P(B) P(A (B A)) P(A) P(B A)
Ｐ（Ｂ－Ａ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）
A n
n ）.
P( Ai) P( Ai)
P( ) i
P()
i 1
i 1
i 1
i n 1
n
P( Ai)
i 1
P(A B) P(A) P(B) AB
17世纪法国赌场中，赌场老板愿意用一对一的赌注设 赌局，规则是：若玩家将一颗骰子抛掷四次，至少出现一 次“6”点，则玩家赢。也有人提出另一种规则：若玩家 将两颗骰子抛掷24次，至少出现一次“双6”点，则玩家 赢。
解 设Ａ=“甲击中目标”，Ｂ=“乙击中目标”，
Ｃ=“目标被击中”， 则
历史上概率的四次定义
① 统计定义 基于频率的定义
② 古典定义
概率的最初定义
③ 几何定义
④公理化定义
1930年后由前
苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出
一、频率
对于一个事件（除必然事件和不可能事件外） 来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生。 我们常常希望知道某些事件在一次试验中发生的可 能性究竟有多大。例如，为了确定水坝的高度，就 要知道河流在造水坝地段每年最大洪水达到某一高 度这一事件发生的可能性的大小。我们希望找到一 个合适的数来表征事件在一次实验中发生的可能性 的大小。为此，首先引入频率，它描述了事件发生 的频繁程度，进而引出表征事件在一次试验中发生 的可能性的大小——概率。
但是，梅德尔在大量的抛掷骰子的试验中发现，第一 种情况比第二种情况更可能出现，这是怎么回事？问题究 竟出在哪里？
差事件的概率
若 A B，则 P (B － A) = P(B) － P(A)
BA
B A (B A)
P(B) P(A (B A)) P(A) P(B A)
Ｐ（Ｂ－Ａ）＝Ｐ（Ｂ）－Ｐ（Ａ）
A n
n ）.
P( Ai) P( Ai)
P( ) i
P()
i 1
i 1
i 1
i n 1
n
P( Ai)
i 1
P(A B) P(A) P(B) AB
17世纪法国赌场中，赌场老板愿意用一对一的赌注设 赌局，规则是：若玩家将一颗骰子抛掷四次，至少出现一 次“6”点，则玩家赢。也有人提出另一种规则：若玩家 将两颗骰子抛掷24次，至少出现一次“双6”点，则玩家 赢。
解 设Ａ=“甲击中目标”，Ｂ=“乙击中目标”，
Ｃ=“目标被击中”， 则
25.2.2《频率与概率》ppt课件
2. 频率与概率
观看图片
复习导入
（一）什么是概率？ 表示一个事件发生的可能性大小的数， 叫做该事件的概率(probability). P （事件 A ） 事件A发生的概率表示方法为: 例：你投掷手中的一枚普通的六面体骰 子，“出现数字1”的概率是多少？ 解：Ｐ（出现数字1）=1/6 读作：“出现数字1”的概率为 1/6
n Ｐ( Ａ) ＝ m
2、怎样计算事件发生的概率？
计算事件的概率时要弄清以下两 点：
① 要清楚关注的是发生哪个或哪些结果个数； ② 要清楚所有机会均等的结果的个数； 以上两种结果个数之比就是关注的结果发生的概 率. 简单事件的概率公式为： 关注的结果的个数 P（事件发生）＝ 所有机会均等的结果的个数
解： P（取出取出两枚硬币总值小于1.5元） =
3 = 6
1 2
课堂小结
通过本节课的学习，对本章的知识你 有哪些新的认识和体会？ 获得哪些分析概率的方法？你还有哪 些问题？请与同伴交流.
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
学习的敌人是自己的满足，要认真学习 一点东西，必须从不自满开始。对自己， “学而不厌”，对人家，“诲人不倦”， 我们应取这种态度。 —— 毛泽东
0.857
0.892
0.910
0.913
0.893
0.903
0.905
当试验的油菜籽的粒数很多时,油菜籽发芽的频 率 接近于常数0.9,在它附近摆动.
m 在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率 总是接近于 n 某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件A的概率,记做
P(A)
注： (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验; (2)只有当频率在某个常数附近摆动时,这个常数才叫做事件A的 概率; (3)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值;
频率与概率优秀课件ppt
114530.524. 21840
同理可求得2000年、2001年和2002年男婴出生的频率分别为：
0.521,0.512,0.512.
(2)各年男婴出生的频率在0.51~0.53之间，故该市男婴出生
的概率约是0.52.
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
注意点： 1.随机事件A的概率范围 必然事件与不可能事件可看作随机事 件的两种特殊情况.
因此，随机事件发生的概率都满足： 0≤P(A)≤1
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
人们经过大量试验和实际经验的积累逐 渐认识到：在多次重复试验中，同一事件 发生的频率在某一数值附近摆动，而且随 着试验次数的增加，一般摆动幅度越小，
从使用情况来看，闭胸式的使用比较 广泛。 敞开式 盾构之 中有挤 压式盾 构、全 部敞开 式盾构 ，但在 近些年 的城市 地下工 程施工 中已很 少使用 ，在此 不再说 明。
概率的意义
像木棒有长度，土地有面积一样，概率 是对随机事件发生的可能性大小的度量， 它反映了随机事件发生的可能性的大小。 但随机事件的概率大，并不表明它在每一 次试验中一定能发生。概率的大小只能说 明随机事件在一次试验中发生的可能性的 大小，即随机性中含有的规律性。认识了 这种随机性中的规律性，就使我们能比较 准确地预测随机事件发生的可能性。
4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金
频率与概率PPT课件
也可用如下方法求概率：
开始
硬币1
正
反
硬币2 正 反 正 反
树状图
P（出现两个正面）=
树状图：从上至下每条路径就是一个可能出现的结果。
我们把这种列举试验中所有机画会树均状等图的结关果键的：图1确形定称为
树状图
层数，2是确定每层分叉
的个数。
第7页/共14页
树状图 法练习
1.小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的 袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只 就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子 的概率是多少？
第5页/共14页
例题：对两枚骰子可能出现的情况进行分析，列表如下
第
第
二
一个 个
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
解第二：只 设两第双一只 袜子A分1 别为AA12、A2、B1B1、BB2，2 则
A1
开始 （A2，A1） （B1,A1） （B2，A1）
AA21
（AA1，2A2） B1
B2 （B1,A2） （B2，A2）
B1
（A1，B1） （A2，B1）
（B2，B1）
A所2 以BB21穿B相2 同A一1 双（BA11袜，BB2子）2 的（A概A12，率BA2）1为B（2B41,B2）A11 A2 B1
频率与概率(优秀)课件
率都相等。由 此，我们可以 画出树状图.
综上，共有以下八种机会均等的结果： 正正正 正正反 正反正 反正正 正反反 反正反 反反正 反反反
P（正正正）＝P（正正反）学＝习交流P1PT
所以，这一说法正确.
9
8
练习
1.小明是个小马虎，晚上睡觉时将两双不同的 袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只 就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子 的概率是多少？
P（出现两个正面）=
试验得到的频率与理论分析计 算出的概率有何关系？
列表法：事件包含两步时，用表格列出事件所有可能出现的结果
学习交流PPT
5
也可用如下方法求概率：
开始
硬币1
正
反
硬币2 正 反 正 反
树状图
P（出现两个正面）=
树状图法：按事件发生的次序从上至下每条路径 列出事件的一个可能出现的结果。
（1）满足两个骰子的点数相同的结果有6个，
则
P（点数相同）=
6 36
1
=6
（2）满足两个骰子的点数之和是9的结果有4个， 则
4
P（和为9）= 36
1
=9
（3）满足至少有一个骰子的点数为2的结果有11
个，则
11
P（至少一个点数为2）= 学习交流PPT
36
8
例：抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出
用力旋转图25.2.2所示的转盘甲和转盘乙的 指针，如果你想让指针停在蓝色区域，那么选哪 个转盘成功的概率比较大？
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12
思考
1、有同学说：转盘乙大，相应地，蓝色区域的面积也大， 所以选转盘乙成功的概率比较大。你同意吗？
成功的概率不由扇形面积的大小决定，而由 扇形面积所占转盘面积的百分比决定的。