概率频率
频率与概率的关系
频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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概率与统计的频率与相对频率
概率与统计的频率与相对频率概率与统计是数学中非常重要的分支，用于研究随机事件的发生规律和数据的分布情况。
在概率与统计中，频率和相对频率是两个常用的概念，用于描述数据的出现次数和占比。
本文将详细介绍频率和相对频率的概念，以及它们在概率与统计中的应用。
一、频率的概念与应用频率是指某个事件在一系列独立实验中发生的次数。
在统计学中，我们通常会进行多次实验，然后通过观察实验结果的频率来估计事件发生的概率。
频率可以用以下公式表示：频率 = 事件发生的次数 / 实验的总次数例如，我们进行一次抛硬币的实验，将硬币抛掷10次，记录正面朝上的次数为6次。
那么这个事件（硬币正面朝上）的频率就是6/10=0.6。
频率在概率与统计学中有着广泛的应用。
通过频率，我们可以对事件的发生概率进行估计，并作出相应的判断。
例如，在赌博游戏中，通过观察往期开奖结果的频率，我们可以判断某个号码的出现概率，从而增加中奖的机会。
二、相对频率的概念与应用相对频率是指某个事件在一系列独立实验中发生的概率，也即事件发生的次数与实验总次数的比值。
相对频率可以用以下公式表示：相对频率 = 事件发生的次数 / 实验的总次数相对频率是频率的一种标准化表示方式，它可以帮助我们进行概率的比较和分析。
相对频率的取值范围在0到1之间，可以用百分比表示。
相对频率在概率与统计学中有着重要的应用。
通过相对频率，我们可以比较不同事件的发生概率，并进行概率的推断和预测。
在实际应用中，常常会用相对频率来描述事件的发生概率，以便更好地理解和解释数据。
三、概率与统计中的实例应用概率与统计在现实生活中有着广泛的应用，涵盖了各个领域。
下面将通过两个实例来说明概率与统计中频率与相对频率的应用。
实例一：投硬币游戏假设我们进行一次投硬币游戏，将硬币投掷10次，记录正面朝上的次数。
我们可以通过统计频率来估计正面朝上的概率。
如果投掷10次中正面朝上的次数为6次，那么频率就是6/10=0.6。
频率与概率知识点总结
频率与概率知识点总结频率与概率是概率论中非常重要的概念，它们在统计学、数据分析、风险管理等领域都有着广泛的应用。
本文将对频率与概率的概念、性质、常见计算方法以及应用进行全面的总结。
一、频率的概念频率是指某一事件在一定时间或次数内发生的次数。
频率通常由次数除以总数得到，可以用来描述某一事件出现的概率大小。
频率的计算通常使用简单的数学方法，适用于各种具体的事件。
频率的性质1. 频率的取值范围为[0, 1]。
因为频率是事件发生的次数与总数的比值，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 频率的和为1。
在多次实验中，各个事件的频率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 频率与事件的发生次数成正比。
频率是事件的发生次数与总数的比值，所以事件发生的次数增加时，其频率也会增加。
频率的计算方法频率的计算通常使用下面的公式：频率 = 事件发生的次数 / 总数频率的应用频率广泛应用于统计学、数据分析、市场调研等领域。
通过对样本进行频率统计，可以得到样本中各个事件发生的概率大小，从而为决策提供参考依据。
二、概率的概念概率是描述某一事件发生可能性的数值，表示事件发生的可能性大小。
概率的分析通常使用概率分布、基本概率、条件概率等方法，适用于各种抽样实验、随机变量等概率事件。
概率的性质1. 概率的取值范围为[0, 1]。
因为概率是事件发生的可能性大小，所以其取值范围必然在0到1之间，表示事件发生的概率。
2. 概率的和为1。
在多个互斥事件的情况下，各个事件的概率之和等于1，这是因为所有事件发生的可能性都包括在内。
3. 概率与频率有关。
概率也可以用频率表示，即概率等于事件发生的频率。
在多次实验中，事件的频率趋于稳定时，可用频率代替概率。
概率的计算方法概率的计算通常使用下面的公式：概率 = 事件发生的次数 / 总数概率的应用概率广泛应用于统计学、概率论、数据分析、风险管理等领域。
通过对概率的分析，可以评估各种事件发生的可能性大小，为风险管理、模型建立、决策制定等提供参考依据。
频率与概率的概念、古典概率
频率与概率的联系
频率是概率的近似值，当实验或观察 次数足够多时，频率趋近于概率。
在长期实践中，人们常常根据频率来 估计概率，从而做出相应的决策。
概率是频率的极限值，即当实验或观 察次数趋于无穷时，频率的值就是该 事件的概率。
如何选择频率或概率方法
01
在实际应用中，应根据 具体情况选择使用频率 或概率方法。
02
古典概率
古典概率的定义
古典概率是指在一系列等可能 事件中，某一事件发生的概率。
古典概率的定义基于事件的等 可能性，即每个事件发生的可 能性是相等的。
古典概率通常用于描述那些可 以重复进行且结果已知的实验， 例如掷骰子、抽签等。
古典概率的计算方法
计算公式
$P(A) = frac{有利于A的基本事件数}{全部 基本事件数}$
频率与概率的关系
频率是概率的估计
通过大量试验或观察，我们可以得到某一事件的频率，这个频率可以作为该事 件概率的一个估计值。
概率是频率的极限
当试验次数趋于无穷时，频率趋于概率。也就是说，如果一个随机事件的频率 在长期观察中稳定在某个值附近，那么我们可以认为这个值就是该事件的概率。
频率与概率的优缺点
频率和概率在统计学、决策理论、贝叶斯推断等领域中都有广泛应用。
如何更好地理解和应用频率与概率
• 了解频率与概率的基本定义和性质：掌握概率的基本性质，如概率的取值范围 、独立性、互斥性等，有助于更好地理解和应用频率与概率。
• 掌握概率计算方法：了解概率的基本计算方法，如加法公式、乘法公式、全概 率公式等，有助于计算复杂事件的概率。
可观察性
频率可以直接通过试验或观察获 得，不需要复杂的数学模型或理 论。
可验证性
概率和频率的计算方法
概率和频率的计算方法
概率和频率是统计学中重要的概念，它们可以用来描述不同的现象，并用来预测未知的事件。
概率是一个衡量某件事发生的可能性的概念，它是一个介于0和1之间的实数，0表示某件事不可能发生，而1表示某
件事肯定会发生。
概率描述了某件事发生的可能性，即它可以用来预测未知的事件，但不能绝对保证其准确性。
频率是指某种事件发生的次数，它描述了某件事发生的可能性，但与概率不同，它是描述实际发生次数的一种衡量方法。
概率和频率的计算方法有很多，其中最简单的一种是贝叶斯定理。
贝叶斯定理可以用来计算某件事情在特定情况下发生的概率，其计算公式为：P(A|B)=P(B|A)*P(A)/P(B)，其中P(A)表示某件事发生的先验概率，P(B|A)表示某件事发生的条件概率，P(B)表示另一件事发生的概率。
另外，频率的计算也可以通过计算实际发生次数来完成。
其计算公式为：频率=实际发生次数/总发生次数。
概率和频率的计算方法有很多，可以根据不同的场景和情况选择合适的方法来计算。
此外，概率和频率的计算还可以通过计算机软件来完成，例如用Excel来计算概率和频率，可以
更加方便快捷地完成计算。
总之，概率和频率是统计学中重要的概念，它们可以用来描述不同的现象，并用来预测未知的事件。
有多种不同的计算方法可以用来计算概率和频率，在不同的场景中选择合适的计算方法，可以有效地完成概率和频率的计算工作。
初中数学知识点：频率与概率的关系
初中数学知识点：频率与概率的关系
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
要点诠释：
（1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率；
（2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
（3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
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频率估计概率的公式
频率估计概率的公式
用频率估计概率的公式是f=p，在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数m称为事件A发生的频数。
比值m/n称为事件A发生的频率，用文字表示定义为：每个对象出现的次数与总次数的比值是频率。
某个组的频数与样本容量的比值也叫做这个组的频率。
有了频数（或频率）就可以知道数的分布情况。
在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图。
三节频率与概率
于是 P(B A) P(B) P( A).
又因 P(B A) 0, 故 P( A) P(B).
(4) 对于任一事件 A, P( A) 1. 证明 A S P( A) P(S) 1,
故 P( A) 1. (5) 设 A 是 A的对立事件, 则 P( A) 1 P( A). 证明 因为 A A S, A A , P(S) 1,
柯尔莫哥洛夫资料
Andrey Nikolaevich Kolmogorov
Born: 25 Apr. 1903 in
Tambov, Tambov province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in
Moscow, Russia
作业
• P32，3，4
SUCCESS
THANK YOU
概率的可列可加性
2. 性质
(1) P() 0.
证明 An (n 1,2,),
则 An ,且 Ai Aj , i j. n1
由概率的可列可加性得
P()Pຫໍສະໝຸດ n1Ann1
P( An )
P()
n1
P() 0.
P() 0
(2) 若A1, A2,, An是两两互不相容的事件,则有
序号 nH
f
nH
f
nH f
1 2 3
2 0.4
22 0.44 251 0.502
随3 n的增0.6大,
在 25 1
频率2
处f波呈0动.5现0较出大稳24定9 性0.498
1 0.2
21 0.42 256 0.512
4 5
5 1
1.0 在
1
25 0.50 处波动较小
0.2 2 24 0.48
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中的随机数序列。对某些问题该方法的实际速 度一般可比Monte Carlo方法提出高数百驶的向倍彼胜岸利，并 可计算精确度。
☞ 读一读P170
投针试验
蒲丰投针法国自然哲学家蒲丰先生经常搞
点有趣的试验给朋友们解闷。
1777年的一天，蒲丰先生又在家里为宾客
们做一次有趣的试验，他先在一张白纸上画
满了一条条距离相等的平行线。然后，他抓
出一大把小针，每根小针的长度都是平行线
之间距离的一半。蒲丰说：“请诸位把这些
小针一根一根地往纸上随便扔吧。”客人们
试验的方法来决定圆周率π。本世纪40
年代电子计算机的出现，特别是近年来
高速电子计算机的出现，使得用数学方
法在计算机上大量、快速地模拟这样的
试验成为可能。
驶向胜利 的彼岸
读一读 3 蒙特卡罗方法 简介
考虑平面上的一个边长为1的正方形及其内部 的一个形状不规则的“图形”，如何求出这个 “图形”的面积呢？Monte Carlo方法是这样 一种“随机化”的方法：向该正方形“随机地” 投掷N个点落于“图形”内，则该“图形”的 面积近似为M/N。 可用民意测验来作一个不严格的比喻。民意 测验的人不是征询每一个登记选民的意见，而 是通过对选民进行小规模的抽样调查来驶确向胜定利可 能的优胜者。其基本思想是一样的。 的彼岸
驶向胜利 的彼岸
做一做 1
亲历知识的发生和发展
同学们,我们按下列步骤,亲自来体验一下这个有趣的试验:
1.两人一组;
2.在纸上画出一些平行线,先确定平行线之间的距离a和针长l(l<a) 的值(每根小针的长度都是平行线之间距离的一半);
3.至少做100次试验,分别记录其中相交(用1表示)和不相交(用0 表示)的次数;
4.统计试验数据,估计针与平行线相交的概率.
合 计
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 1
15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
4
合 计
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 3
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
读一读 5
蒙特卡罗方法简介
另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论 基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法” (QuasiMonte Carlo方法)—近年来也获得迅速发展。 我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方 法即是其中的一例。这种方法的基本思想是
“用确定性的超均匀分布序列(数学上称为Low
9
合 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 6 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75
计
4
合 计
76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 8
90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
顿计划”。该计划的主持人之一、数学
家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥
的Monte Carlo—来命名这种方法，为
它蒙上了一层神秘色彩。
驶向胜利 的彼岸
读一读 2 蒙特卡罗方法 简介
Monte Carlo方法的基本思想很早以前
就被人们所发现和利用。早在17世纪，
人们就知道用事件发生的“频率”来决
定事件的“概率”。19世纪人们用投针
☞ 投针试验
想一想 ,如果我们亲自做这个实验
相交和不相交的可能性相同吗？
你能通过列表或树状图求出该针与平行线 相交的概率吗？
驶向胜利 的彼岸
☞ 投针试验 学习目标
1.经历试验,统计等活动过程,在活动过程中 进一步发展生生之间合作交流的意识和能力; 2.能用试验的方法估计一些复杂的随机事 件发生的概率.
好奇地把小针一根根地往纸上乱扔。
驶向胜利 的彼岸
☞ 读一读P170
投针试验
蒲丰投针 最后蒲丰宣布结果：大家共投针2212次，
其中与直线相交的就有704次。用704去除2212， 得数为3.142。他笑了笑说：“这就是圆周率π的 近似值。”这时，众宾客哗然：“圆周率π?这根 本和圆沾不上边呀?”蒲丰先生却好像看透了众人 的心思，斩钉截铁地说：“诸位不用怀疑，这的 确就是圆周率π的近似值。你们看，连圆规也不 要，就可以求出π的值来。只要你有耐心，投掷 的次数越多，求出的圆周率就越精确。”这就是 数学史上有名的“投针试验”。
9
做一做 2
亲历知识的发生和发展
同学们,我们按下列步骤,统计一下全班的试验结果: 1.两个小组(200次); 2.10个小组(1000次); 3.全班(约1200次); 4.全年级(约9600次). 其中相交（用1表示）和不相交(用0表示)
200
1000
1200
9600
1
0
驶向胜利
的彼岸
读一读 4
蒙特卡罗方法 简介
科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金 融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及 交易风险估算，问题的维数（即变量的个数） 可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随 维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数 的灾难”(Course Dimensionality)，传统的 数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算 机）。Monte Carlo方法能很好地用来对付维 数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖 于维数。以前那些本来是无法计算的问驶题向胜现利在 也能够计算量。为提高方法的效率，科的学彼家岸 们 提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。
859
π的试验值 3.159 6 3.155 4 3.137 3.159 5
3.141 592 9
3.17 5
读一读 1
蒙特卡罗方法 简介
蒙特卡罗方法 简介
蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，或称计
算机随机模拟方法，是一种基于“随机
数”的计算方法。这一方法源于美国在
第一次世界大战进研制原子弹的“曼哈
读一读 0
亲历知识的发生和发展
投针试验的历史资料
试验者
时间 投掷次数
Wolf
1850年 5 000
Smitn
1855年 3 204
C.Dg morgan 1860年 600
Fox
1884年 1 030
Lazzerini 1901年 3 408
Reina
1925年 2 520
相交次数 2 532 1 218.5 382.5 489 1 808