2012届高考数学第一轮专题复习测试卷第十五讲 导数的应用
高考数学一轮复习效果监测 导数的综合应用.pdf
导数的综合应用 【选题明细表】 知识点、方法题号参数范围及恒成立问题1、5、7、8、9不等式问题2、4、10实际应用题3、6一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为( A ) (A){x|x>0}(B){x|x<0} (C){x|x1}(D){x|x<-1或0<xex-ex=0, 所以g(x)=ex·f(x)-ex为R上的增函数. 又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为g(x)>g(0), 解得x>0. 故选A. 3.如图所示,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)=0),则导函数y=S'(t)的图象大致为( A ) 解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0)(D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)<f(4),又由f'(x)≥0,得f(x)为增函数,所以a+2b<4,而a,b为正数,所以a+2b<4所表示的区域为如图所示的直角三角形AOB(不包括边界),其中A(0,4),B(2,0),可看成是直线PM的斜率,其中P(-2,-2),M(b,a)在直角三角形AOB的内部(不包括边界),所以kPB<kPM<kPA,而kPA==3,kPB==,所以<kPM<3,故选B. 5.(2013淄博一检)已知a≤+ln x对任意x∈恒成立,则a的最大值为( A ) (A)0(B)1(C)2(D)3 解析:设f(x)=+ln x=+ln x-1, 则f'(x)=-+=. 当x∈时,f'(x)0, 故函数f(x)在(1,2]上单调递增, ∴f(x)min=f(1)=0, ∴a≤0,即a的最大值为0. 故选A. 二、填空题 6.电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y=x3-x2-40x (x>0),为使耗电量最小,则速度应定为 .? 解析:由y'=x2-39x-40=0, 得x=-1或x=40, 由于0<x<40时,y'40时,y'>0. 所以当x=40时,y有最小值. 答案:40 7.关于x的方程x3-3x2-a=0有三个不同的实数解,则实数a的取值范围是 .? 解析:方程可化为a=x3-3x2, 设f(x)=x3-3x2, 则f'(x)=3x2-6x, 由f'(x)>0,得x>2或x<0; 由f'(x)<0,得0<x2或a2或a0), (1)若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切, ①求实数a,b的值; ②求函数f(x)在上的最大值. (2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈,x∈(1,e2]都成立,求实数m的取值范围. 解:(1)①f'(x)=-2bx, ∵函数f (x)在x=1处与直线y=-相切, ∴ 解得 ②f(x)=ln x-x2, f'(x)=-x=, 当≤x≤e时, 令f'(x)>0得≤x<1; 令f'(x)<0,得10, ∴h(a)在a∈上单调递增, ∴h(a)min=h(0)=-x, ∴m≤-x对所有的x∈(1,e2]都成立. ∵1<x≤e2, ∴-e2≤-xln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1. (1)解:∵f'(x)=ex-2, 由f'(x)<0可得,x0可得x>ln 2, 所以函数f(x)的单调递减区间为(-∞,ln 2), 单调递增区间为(ln 2,+∞). 当x=ln 2时,有极小值f(ln 2)=2(1-ln 2+a). (2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R, 于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当a>ln 2-1时, g'(x)的最小值为g'(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g'(x)>0, 所以g(x)在R内单调递增. 于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞), 都有g(x)>g(0). 而g(0)=0, 从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0, 即ex-x2+2ax-1>0, 故ex>x2-2ax+1.。
2012届高考数学一轮复习课后强化作业2.3导数的实际应用(文理合用 人教A版)
2012届高考数学一轮复习课后强化作业2.3导数的实际应用一、选择题1．(2010·山东济南市模考)直线y＝kx＋b与曲线y＝x3＋ax＋1相切于点(2,3)，则b 的值为( )A．－3B．9C．－15D．－7[答案] C[解析] 将点(2,3)分别代入曲线y＝x3＋ax＋1和直线y＝kx＋b，得a＝－3,2k＋b＝3.又k＝y′|x＝2＝(3x2－3)|x＝2＝9，∴b＝3－2k＝3－18＝－15，故选C.2．(2010·安徽合肥市质检)函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( )[答案] D[解析] 由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f′(x)≤0，在(－∞，0)上f′(x)≥0，故选D.3．(文)(2010·甘肃省质检)函数f(x)＝x3－ax2＋x在x＝1处的切线与直线y＝2x平行，则a＝( )A．0B．1C．2D．3[答案] B[解析] 由条件知，f ′(1)＝3×12－2a ×1＋1＝2， ∴a ＝1.(理)(2010·烟台市诊断)曲线y ＝2cos x 在x ＝π4处的切线方程是( )A ．x －y －4＋π4＝0B ．x ＋y ＋4－π4＝0C ．x ＋y －4＋π4＝0D ．x ＋y ＋4＋π4＝0[答案] C[解析] y ′|x ＝π4＝－2sin x |x ＝π4＝－2sin π4＝－1，∴切线方程为y －2cos π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，即x ＋y －1－π4＝0，故选C.4．(文)圆柱的表面积为S ，当圆柱体积最大时，圆柱的底面半径为( ) A.S3πB.3πSC.6πS6πD ．3π·6πS [答案] C[解析] 设圆柱底面半径为r ，高为h ，∴S ＝2πr 2＋2πrh ∴h ＝S －2πr 22πr又V ＝πr 2h ＝rS －2πr 32，则V ′＝S －6πr 22，令V ′＝0得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ，r ＝6πS6π. (理)内接于半径为R 的球并且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2RC.43RD.34R [答案] C[解析] 设圆锥的高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2∴r 2＝2Rh －h 2∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3V ′＝43πRh －πh 2，令V ′＝0得h ＝43R .5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33cm B.1033cm C.1633cm D.2033cm [答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (400－x 2) (0＜x ＜20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x ＝2033. 当0＜x ＜2033时，V ′＞0；当2033＜x ＜20时，V ′＜0所以当x ＝2033时，V 取最大值．6．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系是R ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000， x ＞400.则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 [答案] D[解析] 由题意，总成本为C ＝20000＋100x .所以总利润为P ＝R －C ＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x ＞400，P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x ＞400.令P ′＝0，得x ＝300，易知当x ＝300时，总利润最大．7．(文)(2010·山东邹平)若函数y ＝e x＋mx 有极值，则实数m 的取值范围是( ) A ．m >0 B ．m <0 C ．m >1 D ．m <1 [答案] B[解析] y ′＝e x＋m ，由条件知e x＋m ＝0有实数解， ∴m ＝－e x<0，故选B.(理)(2010·泰安质检)已知非零向量a ，b 满足：|a |＝2|b |，若函数f (x )＝13x 3＋12|a |x2＋a ·b x 在R 上有极值，设向量a ，b 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 [答案] D[解析] ∵函数f (x )在R 上有极值，∴f ′(x )＝x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有两不等实根，∴Δ＝|a |2－4|a |·|b |cos θ＝4|b |2－8|b |2cos θ>0，∴cos θ<12，∴选D.[点评] 若f (x )为三次函数，f (x )在R 上有极值，则f ′(x )＝0应有二不等实根，当f (x )有两相等实根时，不能保证f (x )有极值，这一点要特别注意，如f (x )＝13x 3，f ′(x )＝x 2＝0有实根x ＝0，但f (x )在R 上单调增，无极值．即导数为0是函数有极值的必要不充分条件．8．(文)(2010·常德市检测)已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a 、b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，则a ＋b 的最小值是( )A.23B.32 C ．2 D ．3 [答案] C[解析] f ′(x )＝x 2＋2ax －b ，在[－1,3]上有f ′(x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1≤0f 3≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥16a －b ≤－9，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝16a －b ＝－9得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝3，∴当直线a ＋b ＝z 经过点A (－1,3)时，z min ＝2.(理)(2010·鞍山一中)函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．a >－316B ．－65<a <－316C ．a >－65D ．－65≤a ≤－316[答案] B[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x ＋2)(x －1)有两个零点－2和1，故由题设条件知－2和1是函数f (x )的一个极大值点和一个极小值点，∵f (x )的图象经过4个象限，∴f (－2)·f (1)<0， ∴⎝⎛⎭⎪⎫16a 3＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫56a ＋1<0，∴－65<a <－316，故选B.9．在内接于半径为R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75R D ．以上都不对 [答案] B[解析] 设矩形垂直于半圆直径的边长为x ，则另一边长为2R 2－x 2，则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0＜x ＜R )，l ′＝2－4xR 2－x2，令l ′＝0，解得x ＝55R . 当0＜x ＜55R 时，l ′＞0；当55R ＜x ＜R 时，l ′＜0. 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R ，455R . 10．(文)函数y ＝x ＋2cos x 在[]0，π上取得最大值时，x 的值为( ) A ．0 B.π6 C.5π6D ．π [答案] B[解析] y ′＝1－2sin x ，令1－2sin x ＝0，∵x ∈[]0，π，∴x ＝π6或5π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6时f ′(x )≤0，f (x )单调递减，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6＋2cos π6＝π6＋3，f (π)＝π＋2cos π＝π－2，且π－2<π6＋3，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6. (理)如图，过函数y ＝x sin x ＋cos x 图象上点(x ，y )的切线的斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为( )[答案] A[解析] ∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，易知其图象为A. 二、填空题11．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2:1，该长方体的最大体积是________．[答案] 3m 3[解析] 设长方体的宽为x ，则长为2x ，高为92－3x (0<x <2)，故体积为V ＝2x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫92－3x ＝－6x 3＋9x 2，V ′＝－18x 2＋18x ，令V ′＝0得，x ＝0或1，∵0<x <2，∴x ＝1.∴该长方体的长、宽、高各为2m 、1m 、1.5m 时，体积最大，最大体积V max ＝3m 3. [点评] 注意长方体的长、宽、高都是正值，且长、宽、高的和的4倍为总长度．请再练习下题：用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m ，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．[解析] 设容器的短边长为x m ， 则另一边长为(x ＋0.5)m ， 高为14.8－4x －4x ＋0.54＝3.2－2x .由3.2－2x >0和x >0，得0<x <1.6， 设容器的容积为y m 3，则有y ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )(0<x <1.6)， 整理得y ＝－2x 3＋2.2x 2＋1.6x ， ∴y ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6，令y ′＝0，有－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，即15x 2－11x －4＝0，解得x 1＝1，x 2＝－415(不合题意，舍去)，∴高＝3.2－2＝1.2，容积V ＝1×1.5×1.2＝1.8 答：高为1.2m 时容积最大，最大容积为1.8m 3.12．(2010·江苏，14)将边长为1m 的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，则s 的最小值是________．[答案]3233[解析] 设DE ＝x ， 则梯形的周长为：3－x ，梯形的面积为：12(x ＋1)·32(1－x )＝34(1－x 2)∴s ＝3－x 2341－x 2＝433·x 2－6x ＋91－x2，x ∈(0,1)， 设h (x )＝x 2－6x ＋91－x2， h ′(x )＝－6x 2＋20x －61－x 22. 令h ′(x )＝0，得：x ＝13或x ＝3(舍)，∴h (x )最小值＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝8， ∴s 最小值＝433×8＝3233.13．(文)曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是________．[答案] 34[解析] y ＝1x与y ＝x 2的交点P (1,1)，如右图易求得K AP ＝2，K BP ＝－1，因此可求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B (2,0)，故S △ABP ＝34. (理)函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x ) ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x ≤π2的值域为________．[答案] ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，e π22 [解析] f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e xcos x ，0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数．∴f (x )的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12e π2，f (x )的最小值为f (0)＝12.∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，12e π2. 14．某工厂要围建一个面积为128m 2的矩形堆料场，一边可以用原有的墙壁，其它三边要砌新的墙壁，要使砌墙所用的材料最省，堆料场的长、宽应分别为________．[答案] 16m 8m[解析] 解：设场地宽为x m ，则长为128xm ，因此新墙总长度为y ＝2x ＋128x(x ＞0)，y ′＝2－128x2，令y ′＝0，∵x >0，∴x ＝8.因为当0＜x ＜8时，y ′＜0；当x ＞8时，y ′＞0， 所以当x ＝8时，y 取最小值，此时宽为8m ，长为16m. 即当堆料场的长为16m ，宽为8m 时，可使砌墙所用材料最省． 三、解答题15．用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2m 2的正四棱锥形有盖容器(如右图)．设容器的高为h m ，盖子边长为a m.(1)求a 关于h 的函数解析式；(2)设容器的容积为V m 3，则当h 为何值时，V 最大？求出V 的最大值．(容器的厚度忽略不计)[解析] (1)如右图，作PO ⊥平面ABCD ，O 为垂足，作OE ⊥BC 于E ，连结PE ，则PE ⊥BC ，正四棱锥的全面积为第 10 页 共 12 页 金太阳新课标资源网2＝4×12×a ×h 2＋a22＋a 2.所以a ＝11＋h2(h >0)．(2)V ＝13a 2h ＝13·h 1＋h 2(h >0)，V ′＝13·1＋h 2－h 2h 1＋h 22＝1－h 231＋h 22.所以当0<h <1时，V ′>0.所以V (h )在(0,1]上为增函数． 当h >1时，V ′<0，所以V (h )在[1，＋∞)上为减函数． 故h ＝1为函数V (h )的唯一极大值点也是最大值点， ∴V max ＝16.答：当高h ＝1m 时，容积取最大值16m 3.16．(2010·陕西宝鸡市质检)高新开发区某公司生产一种品牌笔记本电脑的投入成本是4500元/台．当笔记本电脑销售价为6000元/台时，月销售量为a 台；市场分析的结果表明，如果笔记本电脑的销售价提高的百分率为x (0<x <1)，那么月销售量减少的百分率为x 2.记销售价提高的百分率为x 时，电脑企业的月利润是y 元．(1)写出月利润y 与x 的函数关系式；(2)如何确定这种笔记本电脑的销售价，使得该公司的月利润最大．[解析] (1)依题意，销售价提高后变为6000(1＋x )元/台，月销售量为a (1－x 2)台， 则y ＝a (1－x 2)[6000(1＋x )－4500]， 即y ＝1500a (－4x 3－x 2＋4x ＋1)(0<x <1)． (2)由(1)知y ′＝1500a (－12x 2－2x ＋4)， 令y ′＝0得，6x 2＋x －2＝0， 解得x ＝12或x ＝－23(舍去)．当0<x <12时，y ′>0；当12<x <1时，y ′<0.故当x ＝12时，y 取得最大值．此时销售价为6000×32＝9000元．故笔记本电脑的销售价为每台9000元时，该公司的月利润最大．17．(文)(2010·南通模拟)甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度第 11 页 共 12 页 金太阳新课标资源网不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是P ＝119200v 4－1160v 3＋15v ， (1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解析] (1)汽车从甲地到乙地需用400v 小时，故全程运输成本为Q ＝400P v ＝v 348－5v 22＋6000 (0<v ≤100)．(2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0得，v ＝80， ∴当v ＝80千米/小时时，全程运输成本取得最小值，最小值为20003元． (理)已知函数f (x )＝x 3＋3bx 2＋cx ＋d 在(－∞，0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且f (x )＝0的一个根为－b .(1)求c 的值；(2)求证：f (x )＝0还有不同于－b 的实根x 1、x 2，且x 1、－b 、x 2成等差数列；(3)若函数f (x )的极大值小于16，求f (1)的取值范围．[解析] (1)f ′(x )＝3x 2＋6bx ＋c ， x ＝0是极大值点，f ′(0)＝0，∴c ＝0.(2)由(1)知，f (x )＝x 3＋2bx 2＋d ，令f ′(x )＝0得，x ＝0或－2b ，由f (x )的单调性知，－2b ≥2，∴b ≤－1，∵－b 是方程f (x )＝0的一个根，则(－b )3＋3b (－b )2＋d ＝0，d ＝－2b 3，∴f (x )＝x 3＋3bx 2－2b 3＝(x ＋b )(x 2＋2bx －2b 2)．方程x 2＋2bx －2b 2＝0的根的判别式，Δ＝4b 2－4(－2b 2)＝12b 2>0.又(－b )2＋2b (－b )－2b 2＝－3b 2≠0，即－b 不是方程x 2＋2bx －2b 2＝0的根．∴f (x )＝0有不同于－b 的根x 1、x 2.∵x 1＋x 2＝－2b ，∴x 1，－b ，x 2成等差数列．(3)∵x →＋∞，f (x )→＋∞，且x ＝0是极大值点，∴f (0)<16，即－2b 3<16，∴b >－2，于是－2<b ≤－1，第 12 页 共 12 页金太阳新课标资源网 令g (b )＝f (1)＝－2b 3＋3b ＋1，∴g ′(b )＝－6b 2＋3， ∵－2<b ≤－1时，g ′(b )<0，∴g (b )在(－2，－1]上单调递减，∴g (－1)≤g (b )<g (－2)，即0≤g (b )<11. 即0≤f (1)<11.。
高三数学一轮复习(函数、导数及其应用)单元练习题 新人教版 试题
2012版高三数学一轮精品复习学案：函数、导数及其应用导数【高考目标定位】一、变化率与导数、导数的计算 1、考纲点击（1）了解导数概念的实际背景 （2）理解导数的几何意义；（3）能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x 2,y=x 3,y=1x,y ; （4）能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数。
能求简单的复合函数（仅限于形如f(ax+b)的复合函数）的导数。
2、热点提示（1）导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中；（2）导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用研究的同时考查导数的运算。
二、导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题 1、考纲点击（1）了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）；（2）了解函数在某点取得极值域的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）。
（3）会利用导数解决某些实际问题。
2、热点提示（1）在高考中，重点考查利用导数研究函数的单调性，求单调区间、极值、最值，以及利用导数解决生活中的优化问题。
有时在导数与解析几何、不等式、平面向量等知识交汇点处命题。
（2）多以解答题的形式出现，属中、高档题目。
【考纲知识梳理】一、变化率与导数、导数的计算 1、函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率函数y=f(x)从x 1到x 2的平均变化率为2121()()f x f x x x --，若21x x x ∆=-，21()()y f x f x ∆=-则平均变化率可表示为y x∆∆。
2、函数y=f(x)在x=x 0处导数 （1）定义称函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率0000()()limlimx x f x x f x yxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆为y=f(x)在x=x 0处导数，记作 0000000()()()|,()lim limx x x x f x x f x yf x y f x x x =∆→∆→+∆-∆'''==∆∆或即 （2）几何意义函数f(x)在点x 处的导数0()f x '的几何意义是在曲线y=f(x)上点（0x ，0()f x '）处的切线的斜率。
2012届高考数学一轮复习 2-11导数的应用课件 理 北师大版
a a2 即当 x＝－ 时， f ′(x)取得最小值－ 9－ . 3 3 a2 ∴－ 9－ ＝－ 12，即 a2＝ 9. 3 解得 a＝ ± 3.由题设 a<0，得 a＝－ 3.
(2) 由(1)知a＝－3，因此 f(x) ＝x3－3x2－ 9x－1， f ′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)． 令f ′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 当x∈(－∞，－1)时，f ′(x)>0， 故 f(x)在(－∞，－1)上为增函数； 当x∈(－1,3)时，f ′(x)<0， 故 f(x)在(－1,3)上为减函数；
三基强化 1．函数y＝x3－3x的单调递减区间是( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－1,1) D ． ( － ∞ ，－ 1) ， (1 ， ＋∞) 解析：∵y′＝3x2－3，∴由3x2－3<0，得－ 1<x<1. 答案：C
2．函数 f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞) 上是增函数，则实数a的取值范围是( ) A．[3，＋∞) B．[－3，＋∞) C．(－3，＋∞) D．(－∞，－3) 解析：∵ f(x) ＝ x3 ＋ ax － 2 在 (1 ，＋ ∞ ) 上 是增函数， ∴f ′(x)＝3x2＋a≥0在(1，＋∞)上恒成立． 即a≥－3x2在(1，＋∞)上恒成立． 又∵在(1，＋∞)上－3x2<－3，∴a≥－3. 答案：B
(4)确定f ′(x)在各个开区间内的符号，根据f ′(x) 的符号判定函数 f(x) 在每个相应小开区间 内的增减性． 2．证明可导函数 f(x)在(a，b)内的单调性 的步骤 (1)求 f ′(x)． (2)确认 f ′(x)在(a，b)内的符号． (3)作出结论： f ′(x)>0时 f(x)为增函数； f ′(x)<0时 f(x)为减函数．
2012高考一轮复习梯度教学数学理全国版课件12.5导数的应用(第3课时)
(1)在AB上求一点D，使沿折线PDAO修建 公路的总造价最小； (2)对于(1)中得到的点D，在DA上求一点E， 使沿折线PDEO修建公路的总造价最小. 解：(1)如图，PH⊥α，HB α，PB⊥AB. 由三垂线定理的逆定理知，AB⊥HB，所以 ∠PBH是山坡与α所成二面角的平面角，则 ∠PBH=θ，PB=PHsinθ=1.
f 1 3 2 b，
1 3 1 2 f x x ax bx (a，b为常数) 已知函数 3 2
所以直线l的方程为
因为切线l在点A处穿过y=f(x)的图象，
1 a y ( b ) (1 a b ) ( x 1)， 3 2 2 a 即y 1 a b x . 3 2 2 a 令g x f x ［ 1 a b x ］ 3 2 1 3 1 2 2 a x ax a 1 x . 3 根的个数， 确定根的范围等问题，一般转化为研究函数图象 的公共点问题.以导数为工具，先分析函数的基 本性质，再研究图象，是一种有效的办法. 4.解函数的最值的实际问题，首先把各变量 用各字母分别表示出来，然后分析问题中各个变 量之间的关系，找出适当的函数关系式;
其次确定函数的定义区间，用数学知识 求得最大、最小值；最后所得结果要符合问 题的实际意义，即进行检验 .如在区间内函数 只有一个点使 f ′(x)=0 ，且在这点上函数有极 大或极小值，那么解实际问题时，可以不与 端点值进行比较，而直接可以得出这就是最 大或最小值.
2 3
已知m，n是正整数，且2≤m＜n. 证明：(1+m)n＞(1+n)m. 证明：不等式可化为nln(1+m)＞mln(1+n)， 1 n 即 1 m x ln ＞ln . ln 1 x m n 设 则 f x 1 x 1 x .
高考第一轮复习数学：2.13--导数的应用-答案
高考第一轮复习数学：2.13--导数的应用-答案2.13 导数的应用答案●知识梳理1.函数的单调性（1）设函数y=f（x）在某个区间内可导,若f′（x）＞0,则f（x）为增函数;若f′（x）＜0,则f（x）为减函数.（2）求可导函数单调区间的一般步骤和方法.①确定函数f（x）的定义区间.②求f′（x）,令f′（x）=0,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根.③把函数f（x）的间断点〔即包括f（x）的无定义点〕的横坐标和上面的各实根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f（x）的定义区间分成若干个小区间.④确定f′（x）在各小开区间内的符号,根据f′（x）的符号判定函数f（x）在每个相应小开区间内的增减性.2.可导函数的极值（1）极值的概念设函数f（x）在点x0附近有定义,且若对x0附近所有的点都有f（x）＜f（x0）（或f（x）＞f（x0））,则称f（x0）为函数的一个极大（小）值,称x0为极大（小）值点.（2）求可导函数f（x）极值的步骤.①求导数f′（x）.②求方程f′（x）=0的根.③检验f′（x）在方程f′（x）=0的根的左右的符号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数y=f（x）在这个根处取得极大值;如果在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么函数y=f（x）在这个根处取得极小值.3.函数的最大值与最小值（1）设y=f（x）是定义在区间［a,b］上的函数,y=f （x）在（a,b）内有导数,求函数y=f（x）在［a,b］上的最大值与最小值,可分两步进行.①求y=f（x）在（a,b）内的极值.②将y=f（x）在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.（2）若函数f（x）在［a,b］上单调增加,则f（a）为函数的最小值,f（b）为函数的最大值;若函数f（a）在［a,b］上单调递减,则f（a）为函数的最大值,f（b）为函数的最小值.特别提示我们把使导函数f′（x）取值为0的点称为函数f（x）的驻点,那么（1）可导函数的极值点一定是它的驻点,注意这句话中的“可导”两字是必不可少的.例如函数y=|x|在点x=0处有极小值f（0）=0,可是我们在前面已说明过,f′（0）根本不存在,所以点x=0不是f（x）的驻点.（2）可导函数的驻点可能是极值点,也可能不是极值点.例如函数f（x）=x3的导数是f′（x）=3x2,在点x=0处有f′（0）=0,即点x=0是f（x）=x3的驻点,但从f（x）在（－∞, +∞）上为增函数可知,点x=0不是f（x）的极值点.●点击双基1.（海淀区高三第一学期期末模拟）函数y =x sin x +cos x 在下面哪个区间内是增函数A.（2π,2π3）B.（π,2π）C.（2π3,2π5） D.（2π,3π）解析：y ′=（x sin x +cos x ）′=sin x +x cos x －sin x =x cos x ,当x ∈（2π3,2π5）时,恒有x cos x ＞0.答案：C2.函数y =1+3x －x 3有A.极小值－2,极大值2B.极小值－2,极大值3C.极小值－1,极大值1D.极小值－1,极大值3解析：y ′=3－3x 2=3（1+x ）（1－x ）.令y ′=0得x 1=－1,x 2=1.当x ＜－1时,y ′＜0,函数y =1+3x －x 3是减函数;当－1＜x ＜1时, y ′＞0,函数y =1+3x －x 3是增函数;当x ＞1时,y ′＜0,函数y =1+3x －x 3是减函数.∴当x =－1时,函数y =1+3x －x 3有极小值－1;当x=1时,函数y=1+3x－x3有极大值3.答案：D3.设f（x）在（a,b）内有定义，x0∈（a,b），当x ＜x0时，f′（x）＞0;当x＞x0时，f′（x）＜0.则x0是A.间断点B.极小值点C.极大值点D.不一定是极值点解析:f（x）在x0处不一定连续.答案:D4.函数f（x）=ｅx＋ｅ－x在（０，＋∞）上的单调性是__________.解析:∵f′（x）=e x－e－x=e－x（e2x－1）,∴当x ∈（0,+∞）时，f′（x）＞0.∴f（x）在（0，+∞）上是增函数.答案:增函数5.若函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调递增函数，则m的取值范围是___________________________________.解析:f′（x）=3x2+2x+m.∵f（x）在R上是单调递增函数,∴f ′（x ）＞0在R 上恒成立，即3x 2+2x +m ＞0.由Δ=4－4×3m ＜0,得m ＞31. 答案:m ＞31 ●典例剖析【例1】 求函数y =342+-+x x 的值域.剖析:求函数值域是中学数学中的难点，一般可以通过图象观察或利用不等式性质来求解，也可以利用函数的单调性求出值域.本题形式结构复杂，可采用求导的方法求解.解:函数的定义域由⎩⎨⎧≥+≥+03042x x 求得x ≥－2. 求导得y ′=421+x －321+x =34224232+⋅++-+x x x x . 由y ′＞0得23+x ＞42+x , 即⎪⎩⎪⎨⎧+>+>+>+,42)3(403042x x x x 解得x ＞－2,即函数y =42+x －3+x 在（－2,+∞）上是增函数.又此函数在x =－2处连续,∴在［－2,+∞）上是增函数，而f （－2）=－1.∴函数y =42+x －3+x 的值域是［－1,+∞）.评述:函数y =f （x ）在（a ,b ）上为单调函数，当在［a ,b ］上连续时，y =f （x ）在［a ,b ］上也是单调函数.【例2】 已知f （x ）=ax 3+bx 2+cx （a ≠0）在x =±1时取得极值，且f （1）=－1,（1）试求常数a 、b 、c 的值；（2）试判断x =±1是函数的极大值还是极小值，并说明理由.剖析:考查函数f （x ）是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f ′（x ）=0的根建立起由极值点x =±1所确定的相关等式，运用待定系数法确定a 、b 、c 的值.（1）解法一:f ′（x ）=3ax 2+2bx +c ,∵x =±1是函数的极值点,∴x =±1是方程3ax 2+2bx +c =0的两根.由根与系数的关系知⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==-②①13,032a c a b又f （1）=－1,∴a +b +c =－1.由①②③解得a =21,b =0,c =－23. 解法二:由f ′（1）=f ′（－1）=0,得3a +2b +c =0, ①3a－2b +c =0. ②又f （1）=－1,∴a +b +c =－ 1.③由①②③解得a =21,b =0,c =－23. （2）解:f （x ）=21x 3－23x ,∴f ′（x ）=23 x 2－23=23 （x －1）（x +1）.当x ＜－1或x ＞1时,f ′（x ）＞0;当－1＜x ＜1时，f ′（x ）＜0.∴x =－1时，f （x ）有极大值；x =1时,f （x ）有极小值.【例3】 已知函数f （x ）=2ax －21x ,x ∈（0,1］. （1）若f （x ）在x ∈（0,1］上是增函数，求a的取值范围；（2）求f （x ）在区间（0,1］上的最大值.剖析:（1）要使f （x ）在（0,1］上为增函数，需f ′（x ）＞0,x ∈（0,1）.（2）利用函数的单调性求最大值.解:（1）由已知可得f ′（x ）=2a +32x ,∵f （x ）在（0,1）上是增函数，∴f ′（x ）＞0,即a ＞－31x , x ∈（0,1］.∴a ＞－1.当a =－1时，f ′（x ）=－2+32x 对x ∈（0,1）也有f ′（x ）＞0，满足f （x ）在（0,1］上为增函数，∴a ≥－1.（2）由（1）知,当a ≥－1时,f （x ）在（0,1］上为增函数,∴［f （x ）］max =f （1）=2a －1.当a ＜－1时，令f ′（x ）=0得x =31a -, ∵0＜31a -＜1,∴0＜x ＜31a -时,f ′（x ）＞0; 31a -＜x ≤1时，f ′（x ）＜0.∴f （x ）在（0,31a -）上是增函数，在（31a -,1]减函数. ∴［f （x ）］max =f （31a -）=－332a .评述:求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.深化拓展（1）也可用函数单调性的定义求解.思考讨论函数f （x ）在区间D 上的极值与最值有什么联系？●闯关训练 夯实基础1.下列各式正确的是A.x －63x ＞sin x （x ＞0）B.sin x ＜x （x ＞0）C.π2x ＞sin x （0＜x ＜2π）D.以上各式都不对解析：令F （x ）=x －sin x ,则F ′（x ）=1－cos x ＞0（当x ＞0,x ≠2n π,n =1,2,…）.故F （x ）在x ＞0时单调递增.因此当x ＞0时,有F （x ）＞F （0）=0.答案：B2.函数f （x ）=sin （3x －6π）在点（6π,23）处的切线方程是A.3x +2y +3－2π=0B.3x －2y +3－2π=0C.3x －2y －3－2π=0D.3x +2y －3－2π=0解析:因为f ′（x ）=3cos （3x －6π）,所以所求切线的斜率为f ′（6π）=23,切线方程为y －23=23 （x －6π）,即3x －2y +3－2π=0.答案:B 3.函数y =x－2x （x ≥0）的最大值为_____________.解析:y ′=x21－2,当0＜x ＜161时，y ′＞0,∴y =x －2x 在（0,161）上为增函数.当x ＞161时，y ′＜0,∴y =x －2x 在（161,+∞）上是减函数.∴y =x －2x 在（0,+∞）上的最大值为161－162=81. 答案:81 4.（北京东城区模拟题）如果函数y =f （x ）的导函数的图象如下图所示,给出下列判断:①函数y =f （x 21）内单调递增; ②函数y =f （x ）在区间（－21,3）内单调递减; ③函数y =f （x ）在区间（4,5）内单调递增; ④当x =2时,函数y =f （x ）有极小值; ⑤当x =－21时,函数y =f （x ）有极大值.则上述判断中正确的是_____________ 解析:当x ∈（4,5）时,恒有f ′（x ）＞0. 答案:③5.已知f （x ）=2ax －x b +ln x 在x =－1,x =21处取得极值.（1）求a 、b 的值； （2）若对x ∈［41,4］时，f （x ）＞c 恒成立，求c 的取值范围.解:（1）∵f （x ）=2ax －xb +ln x , ∴f ′（x ）=2a +2x b +x1. ∵f （x ）在x =－1与x =21处取得极值， ∴f ′（－1）=0,f ′（21）=0, 即⎩⎨⎧=++=-+.0242,012b a b a 解得⎩⎨⎧-==.1,1b a ∴所求a 、b 的值分别为1、－1.（2）由（1）得f ′（x ）=2－21x +x 1=21x（2x 2+x －1）=21x （2x －1）（x +1）.∴当x ∈［41,21］时，f ′（x ）＜0;当x ∈［21,4］时，f ′（x ）＞0.∴f （21）是f （x ）在［41,4］上的极小值.又∵只有一个极小值，∴f （x ）min =f （21）=3－ln2.∵f（x）＞c恒成立，∴c＜f（x）min=3－ln2.∴c的取值范围为c＜3－ln2.6.（全国Ⅰ,理19）已知a∈R，求函数f（x）=x2e ax 的单调区间.解:f′（x）=2x e ax+ax2e ax=（2x+ax2）e ax.①当a=0时，若x＜0，则f′（x）＜0，若x＞0,则f′（x）＞0.所以当a=0时，函数f（x）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数.②当a＞0时，由2x+ax2＞0，解得x＜－2或xa＞0;由2x+ax2＜0,得－2＜x＜0.a所以当a＞0时，函数f（x）在区间（－∞，－2）a内为增函数，在区间（－2,0）内为减函数，在区间（0，a+∞）内为增函数.③当a＜0时，由2x+ax2＞0，得0＜x＜－2.a 由2x+ax2＜0，得x＜0或x＞－2.a所以当a＜0时，函数f（x）在区间（－∞,0）内为减函数，在区间（0，－2）内为增函数，在区间（－a2,+∞）内为减函数.a培养能力7.已知x∈R,求证：e x≥x+1.证明:设f （x ）=e x －x －1,则f ′（x ）=e x －1. ∴当x =0时，f ′（x ）=0,f （x ）=0.当x ＞0时，f ′（x ）＞0,∴f （x ）在（0,+∞）上是增函数.∴f （x ）＞f （0）=0.当x ＜0时，f ′（x ）＜0,f （x ）在（－∞,0）上是减函数，∴f （x ）＞f （0）=0.∴对x ∈R 都有f （x ）≥0.∴e x ≥x +1.8.（全国Ⅱ，文21）若函数f （x ）=31x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1,4）内为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a 的取值范围.解:函数f （x ）的导数f ′（x ）=x 2－ax +a －1. 令f ′（x ）=0,解得x =1或x =a －1.当a －1≤1，即a ≤2时，函数f （x ）在（1,+∞）上为增函数，不合题意.当a －1＞1,即a ＞2时，函数f （x ）在（－∞,1）上为增函数，在（1,a －1）内为减函数，在（a －1,+∞）上为增函数.依题意应有当x ∈（1,4）时，f ′（x ）＜0, 当x ∈（6,+∞）时，f ′（x ）＞0. 所以4≤a －1≤6,解得5≤a ≤7. 所以a 的取值范围是［5,7］.探究创新9.已知函数f （x ）的图象与函数h （x ）=x +x1+2的图象关于点A （0，1）对称.（1）求f （x ）的解析式； （2）若g （x ）=f （x ）+xa ,且g （x ）在区间（0，2］上为减函数，求实数a 的取值范围.解:（1）设f （x ）图象上任一点坐标为（x ,y ），点（x ,y ）关于点A （0，1）的对称点（－x ,2－y ）在h （x ）图象上.∴2－y =－x +x -1+2.∴y =x +x 1,即f （x ）=x +x1. （2）g （x ）=x +xa 1+,∵g ′（x ）=1－21x a +,g （x ）在（0，2］上递减， ∴1－21x a +≤0在x ∈（0,2］时恒成立,即a ≥x 2－1在x ∈（0,2）时恒成立. ∵x ∈（0,2]时，（x 2－1） max =3,∴a ≥3. ●思悟小结1.函数单调性的充分条件，若f ′（x ）＞0（或＜0），则f （x ）为增函数（或减函数）.2.函数单调性的必要条件，设f （x ）在（a ,b ）内可导，若f （x ）在（a ,b ）上单调递增（或递减），则f ′（x ）≥0（或f ′（x ）≤0）且f ′（x ）在（a ,b ）的任意子区间上都不恒为零.3.可以用单调性求函数的极值、最值. ●教师下载中心 教学点睛利用导数解有关函数的单调性、极值、最值的问题是本节的主要题型，也是高考考查的重点，复习时应引起足够的重视.解单调性的题目时要注意判断端点能否取到，用导数求单调函数的最值时要注意由极值到最值的过渡.拓展题例【例题】 设函数y =f （x ）=ax 3+bx 2+cx +d 图象与y 轴的交点为P ,且曲线在P 点处的切线方程为24x +y －12=0,若函数在x =2处取得极值－16,试求函数解析式,并确定函数的单调递减区间.错因点评：有的同学不知道P 点处的斜率为y ′|px ,即y ′|x =0为已知切线方程的斜率 －24.又当x =2时有极值,且极值为－16,找不到与a 、b 、c 、d 的关系,从而无法求出a 、b 、c 、d ,导致错解.正确思路：由y ′=3ax 2+2bx +c f ′（0）=c , ∵切线24x +y －12=0的斜率k =－24, ∴c =－24,把x =0代入24x +y －12=0得y =12.得P 点的坐标为（0,12）,由此得d =12,f （x ）即可写成f （x ）=ax 3+bx 2－24x +12.由函数f （x ）在x =2处取得极值－16,则得⎩⎨⎧-+=-+=-,244120,364816b a b a 解得⎩⎨⎧==.3,1b a ∴f （x ）=x 3+3x 2－24x +12,f ′（x ）=3x 2+6x －24.令f ′（x ）＜0,得－4＜x ＜2.∴递减区间为（－4,2）.。
走向清华北大》2012高考总复习导数的应用
[解]1 f x 3x2 3a 3 x2 a ,当a 0时,
对x R,有f x 0, 当a 0时, f x 的单调增区间为, . 当a 0时,由f x 0, 解得x a或x a; 由f x 0, 解得 a x a. 当a 0时, f x 的单调增区间为(, a ), ( a, ); f x 的单调减区间为( a , a ).
答案:D
2.(2010·重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间[-
2,2]上的最大值是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:f′(x)=3x2-3,当x∈[-2,-1]或[1,2]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增; 当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.故极大值为f(-1)=2,极 小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,∴f(x)在[-2,2]上的最 大值为2.
[反思感悟]此题虽是研究两个函数图象的交点个数问题,但实 质仍然是研究函数的单调性和极值问题,导数法求单调区 间的主要步骤是:求导;解不等式.求极值的一般方法是:求 导;求根;讨论根左右导数的符号,确定极值并求值.
类型三
函数的最值
解题准备:1.根据最值的定义,求在闭区间[a,b]上连续,开区间 (a,b)内可导的函数的最值时,可将过程简化,即不用判断使 f′(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点 与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)值.
①函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减; ②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减; ③当x=-3时,函数f(x)有极大值; ④当x=7时,f(x)有极小值.
2012届高考数学一轮精品14.3导数的应用(考点疏理 典型例题 练习题和解析)
2012届高考数学一轮精品：14.3导数的应用（考点疏理+典型例题+练习题和解析）14.3导数的应用【知识网络】1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项式函数的单调区间．2．结合函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值；以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值．3．体会导数在解决实际问题中的作用． 【典型例题】[例1]（1）函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为( )．(2,)+∞ Ｂ．(,2)-∞ Ｃ．(,0)-∞ Ｄ．(0,2)（2）函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个（3）已知函数bx ax x x f --=23)(的图象与x 轴切于点（1，0），则)(x f 的极值为（ ）A ．极大值274，极小值0 B ．极大值0，极小值274C ．极小值－274，极大值0D ．极大值－274，极小值0 （4）设函数)(3x x a y -=的递减区间为)33,33(-，则a 的取值范围是 ． （5）函数]1,0[11)(22在x x x x x f -++-=上的最小值是 . [例2] 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<， （I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.[例3] 已知向量x f t x x x ⋅=-=+=)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t 的取值范围.[例4] 已知,a R ∈函数2().f x x x a =-（Ⅰ）当a =2时，求使f （x ）＝x 成立的x 的集合； （Ⅱ）求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值.【课内练习】1．函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．函数y=x 3－3x 的单调递增区间是 （ ）A ．（－1，1）B ．（－∞，－1）C ．（－∞，－1）和（1，＋∞）D ．（1，＋∞）3． 若函数y=x 3－2x 2＋mx ，当x=13时，函数取得极大值，则m 的值为 （ ） A ．3B ．2C ．1D ．234．函数212xxy +=在（ ）A ．（－∞，+∞）内是增函数B ．（－∞，+∞）内是减函数C ．（－1，1）内是增函数，在其余区间内是减函数D．（－1，1）内是减函数，在其余区间内是增函数5．已知函数f(x)=x3－12x在区间（－∞，－2）与（2，＋∞）内是增函数，在（－2，2）内是减函数，那么这个函数的极大值是；极小值是．6．函数y=x4－2x3在[－2，3]上的最大值是；最小值是．7．已知函数y= 3x3＋2x2－1在区间（m,0）上为减函数，则m的取值范围是．8．设函数f(x)=ax－(a+1)ln(x+1)，其中a -1，求f(x)的单调区间．9．用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?10．已知函数f(x)=d cx bx ax +++2331,其中a , b , c 是以d 为公差的等差数列，，且a ＞0,d ＞0.设的极小值点，在为)(0x f x ［1-0,2ab］上，'1()f x x 在处取得最大值，在处取得最小值2x ，将点依次记为（))(,(,()),(,()),(,22'21'100x f x f x x f x x f x A ， B ， C(I)求0x 的值(II)若△ABC 有一边平行于x 轴，且面积为32+，求a ,d 的值14.3导数的应用【典型例题】[例1] （1）D ．提示：直接求导后看极大值点与极小值点． （2）A ．提示：给出的函数图象是导函数图象不是原函数图象． （3）A ．提示：据f(1)=0,f′(1)=0,求a,b,在通过求导得极值． （4）0>a 提示：与函数的极值点联系． （5）53．提示：先判断在给定区间上的单调性． [例2]. 解(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+（II ）由（I ）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤⎛⎫--+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当0m <时，有211>+，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表： 故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭单调递减，在2(1,1)m+单调递增，在(1,)+∞上单调递减.（III ）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>又0m <所以222(1)0x m x m m -++<即[]222(1)0,1,1x m x x m m -++<∈-① 设212()2(1)g x x x m m=-++，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，所以22(1)0120(1)010g m mg ⎧-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得43m -<又0m <所以403m -<< 即m 的取值范围为4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭例3、解法1：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则.0)()1,1(,)1,1()(≥'--x f x f 上可设则在上是增函数在若,23)(,)1,1(,230)(22x x x g x x t x f -=--≥⇔≥'∴考虑函数上恒成立在区间,31)(=x x g 的图象是对称轴为由于开口向上的抛物线，故要使x x t 232-≥在区间（－1，1）上恒成立⇔.5),1(≥-≥t g t 即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当->'-'≥x f x f x f t5≥t t 的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2≥'--++-='x f x f t x x x f 上可设则在上是增函数在若)(x f ' 的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(≥-=-'≥-='∴t f t f.5.)1,1()(,0)()1,1()(≥->'-'t t x f x f x f 的取值范围是故上是增函数在即上满足在例4、解：（1）当a=2时,()22f x x x =-，则方程f(x)=x即为22x x x -=解方程得：1230,1,1x x x == （2）（I ）当a>0时,()32223,,x ax x af x x x a ax x x a⎧-≥⎪=-=⎨-<⎪⎩， 作出其草图见右, 易知()f x 有两个极值点1220,3ax x ==借助于图像可知 当01a <≤时，函数()f x 在区间[1,2]上为增函数，此时()()min 11f x f a ==- 当12a <≤时,显然此时函数的最小值为()0f a = 当23a <<时，42233a <<，此时()f x 在区间21,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，∴(){}min min (1),(2)f x f f =，又可得()()11,248f a f a =-=- ∴()()2137f f a -=- 则当733a ≤<时，()()210f f -≥，此时()min (1)1f x f a ==-x当723a <<时，()()210f f -<，此时()min (2)48f x f a ==- 当3a ≥时，223a≥,此时()f x 在区间[]1,2为增函数，故()min (1)1f x f a ==-(II)当0a =时，()2f x x x =，此时()f x 在区间[]1,2也为增函数，故()min (1)1f x f == （III ）当0a <时，其草图见右显然函数()f x 在区间[]1,2为增函数，故()min (1)1f x f a ==-【课内练习】1．B 提示：令导数等于0． 2．C ．提示：求导后找极值点． 3．C ．提示：f′（13）=0 4．D ．提示：求导后判断单调性． 5．16，－16．提示：利用极值定义． 6．32，－2716．提示：考虑区间端点函数值和极值的大小． 7． [－49，0）．提示：考虑导函数在（m,0）内恒为负． 8．(1)减；（2）－1≤a≤0,(－1,+∞) 减; a>0, 1(1,)a -减,1(,)a+∞增.9． 设容器的高为x ，容器的体积为V ， 则V=（90-2x ）（48-2x ）x,(0<V<24) =4x 3-276x 2+4320xx∵V′=12 x 2-552x+4320由V′=12 x 2-552x+4320=0得x 1=10，x 2=36 ∵x<10 时，V′>0, 10<x<36时，V′<0, x>36时，V′>0,所以,当x=10,V 有极大值V(10)=1960 又V(0)=0,V(24)=0,所以当x=10,V 有最大值V(10)=1960 10． (I)解:2b a c =+22()2()(1)()f x ax bx c ax a c x c x ax c '∴=++=+++=++令()0f x '=,得1c x x a=-=-或 0,00a d a b c>>∴<<<1,1c ca a ∴>-<- 当1cx a-<<-时, ()0f x '<;当1x >-时, ()0f x '>所以f(x)在x=-1处取得最小值即1o x =- (II)2()2(0)f x ax bx c a '=++>()f x '∴的图像的开口向上,对称轴方程为bx a=-由1ba>知2|(1)()||0()|b b b a a a ---<--()f x '∴在2[1,0]ba-上的最大值为(0)f c '=即1x =0又由21,[1,0]b b b a a a>-∈-知 ∴当b x a=-时, ()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a '-=-=-即 01()(1)3f x f a =-=- 21(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a∴---- 由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2221,a =3(1)3d a d a-=-即又由三角形ABC 的面积为32+得1(1)()223b ac a -+⋅+=利用b=a+d,c=a+2d,得222(2)3d d a+=联立(1)(2)可得3,d a ==.解法2: 2()2(0)f x ax bx c a '=++> 2(1)0,(0)b f f c a''-== 又c>0知()f x 在2[1,0]b a -上的最大值为(0)f c '= 即: 1x =0又由21,[1,0]b b b a a a>-∈-知 ∴当b x a=-时, ()f x '取得最小值为22(),b d b f x a a a '-=-=-即 01()(1)3f x f a =-=- 21(1,),(0,)(,)3b d A a B c C a a∴---- 由三角形ABC 有一条边平行于x 轴知AC 平行于x 轴,所以2221,a =3(1)3d a d a-=-即又由三角形ABC 的面积为32+得1(1)()223b ac a -+⋅+=利用b=a+d,c=a+2d,得222(2)3d d a+=联立(1)(2)可得3,d a ==．。
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学习型教学案(有答案)
高考数学理科一轮复习导数的综合应用学案（有答案）本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案15 导数的综合应用导学目标：1.应用导数讨论函数的单调性，并会根据函数的性质求参数范围.2.会利用导数解决某些实际问题．自主梳理．函数的最值函数f在[a，b]上必有最值的条件如果函数y＝f的图象在区间[a，b]上________，那么它必有最大值和最小值．求函数y＝f在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：①求函数y＝f在内的________；②将函数y＝f的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．2．实际应用问题：首先要充分理解题意，列出适当的函数关系式，再利用导数求出该函数的最大值或最小值，最后回到实际问题中，得出最优解．自我检测．函数f＝x3－3ax－a在内有最小值，则a的取值范围为A．0≤a<1B．0<a<1c．－1<a<1D．0<a<122．设f′是函数f的导函数，将y＝f和y＝f′的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是3．对于R上可导的任意函数f，若满足f′≥0，则必有A．f＋f<2fB．f＋f≤2fc．f＋f≥2fD．f＋f>2f4．函数f＝12ex在区间0，π2上的值域为______________．5．f＝x2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________．探究点一求含参数的函数的最值例1 已知函数f＝x2e－ax，求函数在[1,2]上的最大值．变式迁移1 设a>0，函数f＝alnxx.讨论f的单调性；求f在区间[a,2a]上的最小值．探究点二用导数证明不等式例2 已知f＝12x2－alnx，求函数f的单调区间；求证：当x>1时，12x2＋lnx<23x3.变式迁移2 设a为实数，函数f＝ex－2x＋2a，x∈R.求f的单调区间与极值；求证：当a>ln2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.探究点三实际生活中的优化问题例3 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元的管理费，预计当每件产品的售价为x元时，一年的销售量为2万件．求分公司一年的利润L与每件产品的售价x的函数关系式；当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q．变式迁移3 甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x与年产量t满足函数关系x＝XXt.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S元．将乙方的年利润ω表示为年产量t的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y＝0.002t2，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S是多少？转化与化归思想的应用例已知函数f＝lnx－x＋1.若xf′≤x2＋ax＋1，求a的取值范围；证明：f≥0.【答题模板】解∵f′＝x＋1x＋lnx－1＝lnx＋1x，x>0，∴xf′＝xlnx＋1.由xf′≤x2＋ax＋1，得a≥lnx－x，令g＝lnx－x，则g′＝1x－1，[2分] 当0<x<1时，g′>0；当x>1时，g′<0，[4分]∴x＝1是最大值点，gmax＝g＝－1，∴a≥－1，∴a的取值范围为[－1，＋∞)．[6分]证明由知g＝lnx－x≤g＝－1，∴lnx－x＋1≤0.是快速解决的关键．)[8分]当0<x<1时，x－1<0，f＝lnx－x＋1＝xlnx ＋lnx－x＋1≤0，∴f≥0.当x≥1时，x－1>0，f＝lnx－x＋1＝lnx＋xlnx－x＋1＝lnx－xln1x－1x＋1≥0，∴f≥0.[11分]综上，f≥0.[12分]【突破思维障碍】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力，同时也考查了函数与方程思想、化归与转化思想．通过转化，本题实质还是利用单调性求最值问题．．求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要分类讨论参数的范围．若已知函数单调性求参数范围时，隐含恒成立思想．2．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式y＝f；求函数的导数f′，解方程f′＝0；比较函数的区间端点对应的函数值和极值，确定最值；回到实际问题，作出解答．一、选择题．已知曲线c：y＝2x2－x3，点P，直线l过点P且与曲线c相切于点Q，则点Q的横坐标为A．－1B．1c．－2D．22．已知函数y＝f，y＝g的导函数的图象如图所示，那么y＝f，y＝g的图象可能是3．设f′是函数f的导函数，y＝f′的图象如图所示，则y＝f的图象最有可能是4．函数f＝－x3＋x2＋tx＋t在上是增函数，则t的取值范围是A．t>5B．t<5c．t≥5D．t≤55．若函数f＝sinxx，且0<x1<x2<1，设a＝sinx1x1，b＝sinx2x2，则a，b的大小关系是A．a>bB．a<bc．a＝bD．a、b的大小不能确定题号2345答案二、填空题6．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为________．7．要建造一个长方体形状的仓库，其内部的高为3m，长和宽的和为20m，则仓库容积的最大值为_____________________________________________________________m3.8．若函数f＝4xx2＋1在区间上是单调递增函数，则实数m的取值范围为________．三、解答题9．已知函数f＝122－ln．求f的单调区间；若x∈[1e－1，e－1]时，f<m恒成立，求m的取值范围．0．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用c与隔热层厚度x满足关系：c＝k3x ＋5，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．求k的值及f的表达式；隔热层修建多厚时，总费用f达到最小，并求最小值．1．设函数f＝lnx，g＝ax＋bx，函数f的图象与x轴的交点也在函数g的图象上，且在此点有公共切线．求a、b的值；对任意x>0，试比较f与g的大小．答案自主梳理．连续①极值②端点值自我检测．B 2.D 3.c4.12，12eπ25.6课堂活动区例1 解题导引求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数在闭区间上的单调性，一般方法是令f′＝0，求出x 值后，再判断函数在各区间上的单调性，在这里一般要用到分类讨论的思想，讨论的标准通常是极值点与区间端点的大小关系，确定单调性或具体情况．解∵f＝x2e－ax，∴f′＝2xe－ax＋x2•e－ax＝e－ax．令f′>0，即e－ax>0，得0<x<2a.∴f在，2a，＋∞上是减函数，在0，2a上是增函数．①当0<2a<1，即a>2时，f在[1,2]上是减函数，∴fmax＝f＝e－a.②当1≤2a≤2，即1≤a≤2时，f在1，2a上是增函数，在2a，2上是减函数，∴fmax＝f2a＝4a－2e－2.③当2a>2，即0<a<1时，f在[1,2]上是增函数，∴fmax＝f＝4e－2a.综上所述，当0<a<1时，f的最大值为4e－2a；当1≤a≤2时，f的最大值为4a－2e－2；当a>2时，f的最大值为e－a.变式迁移1 解函数f的定义域为，f′＝a•1－lnxx2，由f′＝a•1－lnxx2>0，得0<x<e；由f′<0，得x>e.故f在上单调递增，在上单调递减．∵f在上单调递增，在上单调递减，∴f在[a,2a]上的最小值[f]min＝min{f，f}．∵f－f ＝12lna2，∴当0<a≤2时，[f]min＝lna；当a>2时，[f]min＝ln2a2.例2 解题导引利用导数解决不等式问题的主要方法就是构造函数，通过研究函数的性质进而解决不等式问题．解f′＝x－ax＝x2－ax，若a≤0时，f′>0恒成立，∴函数f的单调增区间为．若a>0时，令f′>0，得x>a，∴函数f的单调增区间为，减区间为．证明设F＝23x3－，故F′＝2x2－x－1x.∴F′＝x－12x2＋x＋1x.∵x>1，∴F′>0.∴F在上为增函数．又F在上连续，F＝16>0，∴F>16在上恒成立．∴F>0.∴当x>1时，12x2＋lnx<23x3.变式迁移2 解由f＝ex－2x＋2a，x∈R，知f′＝ex－2，x∈R.令f′＝0，得x＝ln2.于是当x变化时，f′，f的变化情况如下表：xln2f′－＋f极小值故f的单调递减区间是，单调递增区间是，f在x＝ln2处取得极小值，极小值为f＝eln2－2ln2＋2a＝2．证明设g＝ex－x2＋2ax－1，x∈R.于是g′＝ex－2x＋2a，x∈R.由知当a>ln2－1时，g′最小值为g′＝2>0.于是对任意x∈R，都有g′>0，所以g在R内单调递增，于是当a>ln2－1时，对任意x∈，都有g>g．而g＝0，从而对任意x∈，都有g>0，即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.例3 解分公司一年的利润L与售价x的函数关系式为L＝2，x∈[9,11]．L′＝2－2＝．令L′＝0，得x＝6＋23a或x＝12．∵3≤a≤5，∴8≤6＋23a≤283.在x＝6＋23a两侧L′的值由正变负．∴①当8≤6＋23a<9，即3≤a<92时，Lmax＝L＝2＝9．②当9≤6＋23a≤283，即92≤a≤5时，Lmax＝L＝[12－]2＝43.所以Q＝96－a，3≤a<92，43－13a3，92≤a≤5.综上，若3≤a<92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q＝9；若92≤a≤5，则当每件售价为元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q＝43．变式迁移3 解因为赔付价格为S元/吨，所以乙方的实际年利润为ω＝XXt－St.由ω′＝1000t－S＝1000－Stt，令ω′＝0，得t＝t0＝2.当t<t0时，ω′>0；当t>t0时，ω′<0.所以当t＝t0时，ω取得最大值．因此乙方获得最大利润的年产量为2吨．设甲方净收入为v元，则v＝St－0.002t2.将t＝2代入上式，得到甲方净收入v与赔付价格S之间的函数关系式：v＝10002S－2×10003S4.又v′＝－10002S2＋8×10003S5＝10002×8000－S3S5，令v′＝0，得S＝20.当S<20时，v′>0；当S>20时，v′<0，所以S＝20时，v取得最大值．因此甲方向乙方要求赔付价格S＝20元/吨时，可获得最大净收入．课后练习区．A 2.D 3.c 4.c 5.A6.63d解析如图所示，为圆木的横截面，由b2＋h2＝d2，∴bh2＝b．设f＝b，∴f′＝－3b2＋d2.令f′＝0，由b>0，∴b＝33d，且在上f′>0，在[33d，d]上f′<0.∴函数f在b＝33d处取极大值，也是最大值，即抗弯强度最大，此时长h＝63d.7．300解析设长为xm，则宽为m，仓库的容积为V，则V＝x•3＝－3x2＋60x，V′＝－6x＋60，令V′＝0得x＝10.当0<x<10时，V′>0；当x>10时，V′<0，∴x＝10时，V最大＝300．8．＝41－x2x2＋12≥0，解得－1≤x≤1.由已知得⊆[－1,1]，即m≥－12m＋1≤1m<2m ＋1，解得－1<m≤0.9．解∵f＝122－ln，∴f′＝－11＋x＝x2＋x1＋x．……………………………………………………………………………………………∴f在上单调递增，在上单调递减．…………………………………………………………………令f′＝0，即x＝0，则xf′－＋f极小值……………………………………………………………………………………………又∵f＝12e2＋1，f＝12e2－1>12e2＋1，又f<m在x∈[1e－1，e－1]上恒成立，∴m>12e2－1.………………………………………………………………………………0．解设隔热层厚度为xcm，由题设，每年能源消耗费用为c＝k3x＋5，再由c＝8，得k＝40，因此c＝403x＋5，…………………………………………而建造费用为c1＝6x.…………………………………………………………………最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f＝20c＋c1＝20×403x＋5＋6x＝8003x＋5＋6x．………………………………………………………………f′＝6－24003x＋52，令f′＝0，即24003x＋52＝6，解得x＝5，x＝－253．…………………………………………当0<x<5时，f′<0，当5<x<10时，f′>0，………………………………………………………………故x＝5是f的最小值点，对应的最小值为f＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值70万元．……………………………………………………………………………………………1．解f＝lnx的图象与x轴的交点坐标是，依题意，得g＝a＋b＝0.①……………………………………………………………又f′＝1x，g′＝a－bx2，且f与g在点处有公共切线，∴g′＝f′＝1，即a－b＝ 1.②……………………………………………………由①②得a＝12，b＝－12.…………………………………………………………………令F＝f－g，则F＝lnx－＝lnx－12x＋12x，∴F′＝1x－12－12x2＝－122≤0.∴F在上为减函数．………………………………………………………当0<x<1时，F>F＝0，即f>g；当x＝1时，F＝0，即f＝g；当x>1时，F<F＝0，即f<g．综上，0<x<1时，f>g；x＝1时，f＝g；x>1时f<g．…………………………………………………………………………。
2012高考数学一轮复习--导数的应用(2)(文) ppt共69页文档
x1
f(x)
f(x) -6
(1, 3) -
3 (3, 4) 4
0
+
-1Байду номын сангаас
-12
∴f(x) 在 [1, 4] 上的最大值是 f(1)=-6.
导数的应用举例 4
已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x) 在区间 [1, +∞) 上是增函
数在,[1求, a实] 上数的a 的最取大值值范; (围3);在((22))若的x条=-件13下是,
解: ∵f(x)=5x4+3ax2+b, 又当 x=-1, x=1 时 f(x) 取得极值, ∴f(1)=f(-1)=0. 即 5+3a+b=0. ∴b=-3a-5. ① 代入 f(x) 得, f(x)=5x4+3ax2-3a-5=(x+1)(x-1)[5x2+(3a+5)]
又∵仅当 x=-1和x=1 时 f(x) 取得极值, ∴5x2+(3a+5)0 恒成立. ∴3a+5>0. ∴a>- 53.
得
x=-
2 3
或
1.
∵f(-1)=5 12,
f(-
2 3
)=5
2227,
f(1)=3
1 2
,
f(2)=7,
∴f(x) 在 [-1, 2] 上的最大值为 7.
∴7<m. 故实数 m 的取值范围是 (7, +∞).
导数的应用举例 2
已知函数 f(x)=x5+ax3+bx+1 仅当 x=-1, x=1 时取得极值, 且极大值比极小值大 4, 求 a, b 的值.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十五讲 导数的应用一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．) 1．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：因为y ′＝－x 2＋81，所以当x >9时，y ′<0；当x ∈(0,9)时，y ′>0，所以函数y ＝－13x 3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．答案：C2．(2011·荆州质检题)函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a 的取值为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4}D ．[2,4]解析：f ′(x )＝3ax 2－3，当a ≤0时，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当0<a ≤1时，f ′(x )＝3ax 2－3＝3a ⎝⎛⎭⎫x ＋1a ⎝⎛⎭⎫x －1a ，f (x )在[－1,1]上为减函数，f (x )min ＝f (1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意；当a >1时，f (－1)＝－a ＋4≥0且f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－2a＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4，故选C.答案：C3．设f (x )、g (x )是R 上的可导函数，f ′(x )，g ′(x )分别为f (x )、g (x )的导函数，且满足f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0，则当a <x <b 时，有( )A ．f (x )g (b )>f (b )g (x )B ．f (x )g (a )>f (a )g (x )C ．f (x )g (x )>f (b )g (b )D ．f (x )g (x )>f (b )g (a ) 解析：令y ＝f (x )·g (x )，则y ′＝f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x )， 由于f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )<0， 所以y 在R 上单调递减， 又x <b ，故f (x )g (x )>f (b )g (b )．答案：C4．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤12，12e π2 B.⎝⎛⎭⎫12，12e π2 C.⎣⎡⎦⎤1，e π2 D.⎝⎛⎭⎫1，e π2 解析：f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x cos x ，当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，且只有在x ＝π2时f ′(x )＝0，∴f (x )是⎣⎡⎦⎤0，π2上的增函数， ∴f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝12e π2， f (x )的最小值为f (0)＝12.∴f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，12e π2.故应选A. 答案：A5．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥0 B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4解析：∵f ′(x )＝2x ＋2＋ax ，f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立， 所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立． 记g (x )＝－(2x 2＋2x ),0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C. 答案：C6．(2010·江西)如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图象大致为( )解析：由导数的定义知，S ′(t 0)表示面积函数S (t 0)在t 0时刻的瞬时变化率．如图，正五角星薄片中首先露出水面的区域I ，此时其面积S (t )在逐渐增大，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S ′(t )也应逐渐增大；当露出的是区域Ⅱ时，此时的S (t )应突然增大，然后增大速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S ′(t )也随之突然变大，再逐渐变小，但S ′(t )>0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S (t )的值不再变化，故其导数值S ′(t )最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.答案：A二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．) 7．函数f (x )＝x ＋9x的单调区间为________．解析：f ′(x )＝1－9x 2＝x 2－9x2，令f ′(x )<0，解得－3<x <0或0<x <3，故单调减区间为(－3,0)和(0,3)． 答案：(－3,0)，(0,3)8．若函数f (x )＝x 3－3x ＋a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上递增，在(－1,1)上递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)>0f (1)<0，∴－2<a <2. 答案：－2<a <29．函数f (x )＝x 3－px 2＋2m 2－m ＋1在区间(－2,0)内单调递减，且在区间(－∞，－2)及(0，＋∞)内单调递增，则实数p 的取值集合是________．解析：由已知条件可知，f (x )在x ＝0和x ＝－2处分别取得极小值和极大值．∵f ′(x )＝3x 2－2px ＝x (3x －2p )，∴3×(－2)－2p ＝0，∴p ＝－3.∴p 的取值集合是{－3}． 答案：{－3}10．函数y ＝sin2x －x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的最大值是________，最小值是________． 答案：π2 －π2三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．) 11．设函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同实根，求实数a 的取值范围； (3)已知当x ∈(1，＋∞)时，f (x )≥k (x －1)恒成立，求实数k 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝3x 2－6，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2. 因为当x >2或x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <2时，f ′(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)；单调减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示，当5－42<a <5＋42时，直线y ＝a 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点，即方程f (x )＝a 有三个不同的解．(3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)．因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝x2＋x－5，此函数在(1，＋∞)上是增函数．所以g(x)>g(1)＝－3.所以k的取值范围是k≤－3.评析：(1)利用导数求单调区间和极值．(2)由(1)的结论，问题转化为y＝f(x)和y＝a的图象有3个不同的交点，利用数形结合的方法求解．(3)将问题转化为不等式恒成立问题，利用分离参数法求解．本题综合考查了利用导数求单调区间、极值以及方程、函数、不等式三者之间的相互转化，对理性思维能力要求较高．12．已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数a、b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a、b的值；若不存在，请说明理由．解：显然a≠0.f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a>0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x＝又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)>f(2)．所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即－16a＋3＝－29，a＝2.(2)当a<0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当x ＝0时，f (x )取得最小值，所以b ＝－29. 又f (2)＝－16a －29，f (－1)＝－7a －29，f (2)>f (－1)． 所以当x ＝2时，f (x )取得最大值，即－16a －29＝3，a ＝－2. 综上所述a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.评析：本题综合运用了求极值、最值的方法确定系数a 、b ，注意对a 的讨论和最大值、最小值的确定． 13．已知函数f (x )＝x 2e－ax(a >0)，求函数在[1,2]上的最大值．分析：通过求导先判断单调性再求最值．在求最值时，对a 的情况要进行讨论． 解：f (x )＝x 2e－ax(a >0)， ∴f ′(x )＝2x e－ax＋x 2·(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．令f ′(x )>0，即e－ax(－ax 2＋2x )>0，得0<x <2a.∴f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上是减函数， 在⎝⎛⎭⎫0，2a 上是增函数． ①当0<2a <1，即a >2时，f (x )在(1,2)上是减函数，∴[f (x )]max ＝f (1)＝e －a .②当1≤2a ≤2，即1≤a ≤2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1，2a 上是增函数，在⎝⎛⎭⎫2a ，2上是减函数， ∴[f (x )]max ＝f ⎝⎛⎭⎫2a ＝4a －2e －2. ③当2a >2时，即0<a <1时，f (x )在(1,2)上是增函数，∴[f (x )]max ＝f (2)＝4e－2a.综上所述，当0<a <1时，f (x )的最大值为4e －2a，当1≤a ≤2时，f (x )的最大值为4a －2e －2，当a >2时，f (x )的最大值为e －a .评析：求函数在闭区间上的最值，首先应判断函数的单调性，一般情况下是先利用导数求出单调区间，分清单调区间与已知区间的关系，有时也需要分类讨论，分类时要不重不漏．。